La dinamica del moto circolare

La dinamica del moto circolare
Per risolvere i problemi di moto circolare, la II legge della dinamica va proiettata
sugli assi del sistema di riferimento tangente.
Attenzione: il sistema di riferimento tangente è fermo rispetto al riferimento di
laboratorio; non si muove insieme al punto materiale. Pertanto è un sistema
inerziale.
Moto circolare uniforme
La dinamica del moto circolare uniforme è caratterizzata da una forza di modulo costante in
tutti i punti della traiettoria e diretta sempre verso il centro.
Il caso più semplice è quello di un punto P vincolato a muoversi su una circonferenza
di raggio r. Se la reazione vincolare è espressa da una fune, il diagramma di corpo
libero è come mostrato in figura.
L’equazione della dinamica si scrive:
r
r
T=ma
Proiettando sugli assi:
 T = m ac

 0 = m at
;

v2
T
=
m

r

dv
0=m

dt
La seconda equazione implica v = cost. Il moto è uniforme perché la forza applicata ha componente tangenziale nulla.
La prima equazione, noti m, v, r, permette di determinare la tensione della fune, che risulta costante in modulo.
Il diagramma di corpo libero è identico se il moto è vincolato da una rotaia: alla tensione della fune si sostituisce la
reazione normale del vincolo.
Il caso di un’auto che percorre una curva è molto simile. Il
diagramma di corpo libero è mostrato in figura, con vista
dall’alto e trasversale. In questo caso, la forza diretta verso
il centro è una forza di attrito radente statico. L’equazione
della dinamica si scrive:
r
r r
r
Fa + R + P = m a
r r
I vettori R e P sono uguali e opposti; quindi l’equazione si semplifica e diventa identica a quella del moto
vincolato da una fune, a patto di sostituire la forza di attrito radente statico alla tensione della fune. In
particolare, la componente centripeta è
Fa = m
v2
r
Se la velocità è troppo alta, l’auto sbanda. Ciò accade quando la forza di attrito raggiunge il massimo valore
possibile, pari a µsP. La massima velocità possibile è quindi:
µs mg = m
v2
r
; v = µs g r
La III legge di Keplero
A differenza dei casi precedenti, la traiettoria di un corpo soggetto alla forza di
gravitazione può essere una circonferenza, ma è anche possibile che sia una qualunque
altra conica.
L’equazione della dinamica di un pianeta in orbita approssimativamente circolare intorno
al Sole si scrive:
r
r
Fg = m a
Detta Ms la massa del Sole, m quella del pianeta, r il raggio dell’orbita, si ha per la
proiezione sull’asse centripeto:
G
Ms m
= m ω2 r
r2
Semplificando e ricordando che la velocità angolare è legata al periodo di rivoluzione dalla relazione ω =
2π
, si
T
ottiene la III legge di Keplero:
M
r3
= G s2 = cost
2
T
4π
Considerando pianeti diversi, è costante il rapporto tra il cubo del raggio dell’orbita e il quadrato del periodo di
rivoluzione.
Moto circolare non uniforme
Come esempio di moto circolare non uniforme, si consideri il caso di un oggetto vincolato a una fune e spinto da una
forza con direzione sempre tangente. Il diagramma di corpo libero è mostrato in figura.
L’equazione della dinamica si scrive:
r r
r
T+F=ma
Proiettando sugli assi:
 T = m ac

 F = m at
;

v2
 T = m
r

dv
 F=m

dt
Dalla seconda equazione segue:
dv F
=
dt m
;
v=
F
t + vo
m
Il modulo della velocità aumenta secondo la legge del moto uniformemente accelerato. La tensione non è costante; dalla
prima equazione, si ricava infatti:
T=
mF

 t + vo 
r m

2