DIVISORI Proposizione [Euclide, VII.1].

DIVISORI
Proposizione [Euclide, VII.1].
Dati due numeri diversi tra loro,
se il minore è sottratto ripetutamente a turno dal maggiore, se il
numero restante non misura mai il
precedente finchè non rimane che
un’unità, allora i due numeri sono
primi tra loro.
Proposizione [Euclide, VII.2].
Dati due numeri non primi tra loro, trovare il massimo comun divisore.
SONA
Paulus Gerdes; Geometry from Africa, Mathematical and educational
explorations. The Mathematical Association of America, Washington
D.C. 1999.
UNITÀ DI MISURA
FRAZIONI EGIZIE
Ricordiamo i papiri matematici, ca. XV sec. A.C.
I
=
Notazione:
1
2
=
2
3
=
3
4
= X1
X
Un numero frazionario era una ‘somma’ di quantità di questo tipo,
( con “denominatori” distinti!) (scrittura non univoca)
Per il resto,
I
I
Papiro di Amos: tavole di ‘conversione’ per scrivere
m
n
2
n
con n dispari.
Per scrivere
all’egiziana:
P
(1) scomporre m = i ai 2i con ai ∈ {0, 1}.
P 2ki
(2) scrivere mn =
n
(3) usare le tabelle
((4) “eliminare i conflitti” se appaiono denominatori comuni.)
Esempio:
3 5 6
5, 6, 7
OPERAZIONI EGIZIE!
Il trattamento delle frazioni diventa più “naturale” alla luce della maniera
egizia per eseguire moltiplicazioni e divisioni.
Esempio: 41 × 59
*1
2
4
*8
16
*32
41
59
118
236
472
944
1888
⇒
+
+
+
2419
ALTRE CIVILTÀ ANTICHE
Mesopotamia: abbiamo già visto la scrittura ‘decimale’ anche con parte
non intera.
Esisteva una “notazione” per n1 , ovvero “quel numero che preso n volte
da’ 1” Si scriveva igi - n -gal.
Esistevano tavole con l’espansione decimale dei reciproci.
Grecia: Notazione “accentuata”: β̀ = 12 .
Osservazione: in generale (sicuramente in Egitto) sembra che un numero
‘frazionario’ ( mn ) venisse inteso indifferenziatamente sia come rapporto
(m : n) che come prodotto (m · n1 ).
CINA
Notazione ‘retorica’: “ yx ” si scrive y fen zhi x, ovvero “x di y parti”.
Il risultato di una divisione è dato come parte intera più una frazione.
Regole di calcolo:
Somma:
I denominatori moltiplicano i numeratori non corrispondenti; sommare;
prendere ciò come dividendo. I denominatori moltiplicati fanno il divisore.
Effettuare la divisione. Ciò che non riempie il divisore, nominarlo con il
divisore. Se i denominatori sono uguali, semplicemente sommarli.
I
La somma di due frazioni viene data come il risultato di una
divisione - quindi non necessariamente è di nuovo una ‘frazione’.
I
non si specifica che si sta sommando ‘due’ frazioni!
I
Altrove nei “nove capitoli” si descrive la riduzione ‘ai minimi termini’
cercando il m.c.d.
CINA
Regole di calcolo:
Divisione: Problema n.17 dei “nove capitoli”
Sette uomini si dividono otto sapek e un terzo.
Si chiede quanto ottiene un uomo.
Soluzione:
Prendere il numero di uomini come divisore, il numero di sapek come
dividendo. Se le parti sono tutte di un tipo, far comunicare. Se le parti
sono di tipo diverso, prima equipararli, poi far comunicare.
I
“far comunicare” (“tong”):
a+
c+
I
b
e
d
e
→
b
e
d
f
→
ae + b
ce + d
“equiparare” (“tòng”):
a+
c+
a+
c+
bf
ef
de
ef
INDIA
Già dai Sulbasutras è attestato l’uso di frazioni.
Esposizione sistematica nei trattati del V-VII secolo D.C.: specialmente
di Brahmagupta e Mahavira.
Notazione: in uso notazione “retorica” (“spezzare”, “dividere”), ma
anche “due settimi”. Scrittura sintetica:
a
a
=
;
b
b
a
b
a+ = b
c
c
c
e
a
a
+ − =
b
b d
f
(b < c).
c
d
·e
f
p
p r
q
: =
r
q s
s
Gli interi erano considerati come frazioni con “denominatore unitario”!
LIU HUI E IL LÜ
La scrittura
a+
a
b
= b
c
c
con (b < c) è diffusa in tutto l’oriente, e ha sue ‘regole aritmetiche’ che
non si riducono sulla conversione in scrittura frazionaria.
Esempio: Il lü di due numeri (descritto da Liu Hui nel suo commento ai
“nove capitoli”), ovvero la loro forma adatta alla somma.
MAGHREB
Nei primi testi arabi (quelli della casa della saggezza a Baghdad) le
grandezze frazionarie sono scritte nel solco della notazione indiana.
XI secolo: Kitab-al-bayan-al-hassar, attivo nel Maghreb, pubblica un
trattato dove le frazioni si scrivono con un tratto separatore orizzontale.
Egli distingue:
I
I
I
Frazioni semplici mn
Somme mn22 mn11 ↔ mn11 +
n2
m2
Prodotti
n2
m2
I
Frazioni ‘legate’:
n1
n2
n1
×
↔
m1
m1
m2
n1 + mn22
n2 n1
↔
m2 m1
m1
EUROPA
Il calcolo con grandezze frazionarie si diffonde in Europa con i trattati
d’abaco e specialmente con il liber Abaci di Leonardo Pisano, ‘Fibonacci’,
che usa notazioni simili a quelle maghrebine accennate.
In Fibonacci:
I
La regola per risolvere proporzioni è illustrata ‘geometricamente’:
Se un Cantare si vende per
40 lire, quanto valgono 5
Rotuli?
40
100
5
N.B.: un cantare = 100 rotuli
I
Ancora nel XV secolo questa “regola del tre” è applicata in modo
macchinoso nel caso che i numeri siano frazioni.
FRAZIONI CONTINUE
Proposizione [“Euclide”].
Ogni razionale positivo può essere espresso come frazione continua
limitata.
Approssimazioni di numeri irrazionali con frazioni continue sono esplorate
già dal IV-V secolo D.C. (Teone di Alessandria, Aryabatha,... fino a
Fibonacci e Pacioli)
Definizione: Una frazione continua (discendente, ordinaria) è
n1 +
1
n2 +
1
1
n3 + ...
Teorema. Per ogni reale irrazionale positivo esiste una e una sola
frazione continua (discendente, ordinaria) “che lo rappresenta”.
FRAZIONI CONTINUE
Esempio:
√
2←1+
1
2+
1
2+
√
Forma generale per n?
Frazioni continue ascendenti:
e ←1+
Perchè?
1+
1+
1+
1
2+ 1
...
1+
2
1
1+ ...
6
5
4
3
DEBITI
Cina: fin da prima del 200 A.C.: “debiti” contabilizzati con bastoncini
rossi. Regole per somma e sottrazione, non per la moltiplicazione (perchè
con i debiti...).
Grecia: nell’Arithmetica Diofanto (ca. III D.C.) tratta equazioni a
coefficienti interi, sia positivi che negativi.
I
ammette soluzioni frazionarie
I
descrive le regole per moltiplicare numeri negativi, ma
I
non accetta soluzioni negative. Chiama la soluzione
x = −4
“assurda”.
di
4x + 20 = 4
DIOFANTO
Epigramma tombale: Dio gli concesse di rimanere fanciullo un sesto della
sua vita, dopo un altro dodicesimo le sue guance germogliarono; dopo un
settimo egli accese la fiaccola del matrimonio; e dopo cinque anni gli
nacque un figlio. Ma questi, giovane e disgraziato e pur tanto amato,
aveva appena raggiunto la metà dell’età cui doveva arrivare suo padre,
quando morı̀. Quattro anni ancora mitigando il proprio dolore con
l’occuparsi della scienza dei numeri, attese Diofanto prima di raggiungere
il termine della sua esistenza.
Ovvero:
1
1
1
1
x + x + x + 5 + x + 4 = x;
6
12
7
2
x = 84
INDIA
Brahmagupta (VII sec.) astronomo che confessa che alcuni suoi problemi
matematici sono scritti “per puro piacere”.
I
Formula regole per la somma e la moltiplicazione di grandezze
negative
I
Da’ regole per trattare con le frazioni (=quozienti), affermando che
0 : 0 = 0 e che
Una quantità divisa per sero diventa una frazione il cui denominatore
è zero. Questa frazione viene denominata “quantità infinita”. In
questa quantità avente zero come divisore non c’è alcuna
alterazione, sebbene molti possano essere aggiunti o tolti, cosı̀ come
nessun cambiamento può aver luogo nella divinità immutabile
quando i mondi vengono creati o distrutti, anche se numerosi ordini
di esseri vengono assorbiti o creati.
INDIA
Bhaskara II (1114-1185)
I
Elenca regole per operare con numeri negativi, compreso
“La radice quadrata di un numero positivo è sia positiva che
negativa (!)”
“Non c’è radice quadrata di un numero negativo, perchè è
non-quadrato”
I
Risolve equazioni quadratiche, anche con radici negative chiamandole però “inadeguate”.
Commentando la soluzione x = 50 e x = −5 di x 2 − 45x = 250
scrive
“il secondo valore non deve essere preso, perhè è inadeguato, la
gente non approva soluzioni negative!
ARABI
Al-Khwarizmi (ca. 780-850)
I
elenca regole per calcolare con numeri negativi (come gli indiani), e
le giustifica con esempi:
Se 8 × 17 = 136, e 8 = 10 − 2, 17 = 20 − 3, allora usando
l’algoritmo per i binomi si ottiene
200 + (−2) × (20) + 10 × (−3) + (−2)(−3)
che è uguale a 136 se (−2)20 = −40 piuttosto che 40, ecc.
I
tuttavia nei suoi sei tipi di equazione di secondo grado (con
coefficienti positivi) non compare
ax 2 + bx + c = 0
perchè non ha mai radici positive.
I
qualifica “impossibili” equazioni di secondo grado con discriminante
negativo!
ARITMETICA MERCANTILE
Nicolas Chuquet (ca. 1445-2500)
I
Scrive il primo testo di algebra francese Triparty en la science des
nombres, stampato.... nel 1880!
I
Regole di calcolo con numeri negativi, ma soluzioni negative (o
nulle!) di equazioni sono rifiutate.
Johann Widman: Mercantile Arithmetic, 1489, introduce
i simboli “+” e “-”
Michael Stifel (1487-1567)
I
Riduce tutte le forme di Al-Khwarismi ad una sola forma di
equazioni di secondo grado, permettendo coefficienti negativi.
I
Scrive che soluzioni negative di equazioni devono essere considerati
meno di nulla, e quindi “numeri absurdi”.
!
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RINASCIMENTO
Robert Recorde (1510-1558) Introduce il simbolo “=”.
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Simon Stevin[$&&'-=!()3!'#%!(&$%!)9'83!/%!.$&06#'B!\,1!'&!)7&*1!'#%!'%1*&0-!$%9%'*'*&,!&4!
(1548-1620)
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I
Scrive un]%(&.%!^'.*,_!8*,%-!&4!&,%!8%,6'#=!'#0-!TTTTTT!=!/%+)0-%!,&!`!'#*,6-=!+),!/%!
trattato sull’utilizzo delle ‘frazioni decimali’
(&$%!%V0)8B!\,1!,&.!()$K!'#%-%!,0(/%$-B!CB!Ca:!b!CD!T!SCB!
0 1
1 6
2 7...
3
12.3167
→ 123
!
I
Nella
sua Arithmetica definisce il “numero” come
)8(&-'!)!+%,'0$3!/%4&$%!*'!.)-!.*1%83!0-%1B!R),3!9%&98%!0-%1!'.&!9)$)88%8!8*,%-!'#)'!-'&&1!
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“ciò che spiega la quantità di ogni cosa”
non distinguendo tra quantità discrete e continue!
”`EEa=!RB\B\B!
! ``!
>0,1%1!/3!'#%!5B2B>B!
BAROCCO
Albert Girard (1595-1632)
Da’ il primo enunciato completo del Teorema Fondamentale dell’algebra
riconoscendo come ‘legittime’ radici complesse di polinomi.
Isaac Newton (1642-1727)
Quantities are either Affirmative, or greater than nothing;
or Negative, or less than nothing.
Colin Maclaurin (1698-1746)
I
Quantità negative rese “reali” introducendo modelli quali “spostarsi
a destra e sinistra su una retta” ecc.
I
Giustifica le regole di moltiplicazione: per ogni a, b positivi
a − a = 0 → (a − a)b = 0 → ab + (−a)b = 0
da cui, siccome ab è positivo, (−a)b deve essere negativo.
ARITMETICA E ALGEBRA
Leonhard Euler (1707-1783)
I
Algebra ↔ Aritmetica generalizzata.
Maggior distinzione di MacLaurin:
“...l’aritmetica tratta dei numeri propriamente detti ... si estende
solo a certi metodi di calcolo che derivano dalla vita quotidiana ...
l’algebra, invece comprende tutti i casi che si presentano nella
scienza dei numeri”
I
Per b positivo, 3(−b) deve essere negativo perchè “tre volte un
debito è un debito triplo”
I
Siccome a(−b) è negativo per a, b positivi, allora (−a)(−b) è
positivo perchè deve avere segno opposto a a(−b).
ALGEBRA SIMBOLICA
George Peacock (1791-1858) Distingue:
I
Algebra aritmetica (ovvero: dei numeri reali non-negativi
rappresentati da lettere)
I
Agebra simbolica (dove le lettere non devono avere nessuna
interpretazione e le operazioni sono indotte dall’aritmetica)
Esempio: La legge distributiva a(b − c) = ab − ac vale per
l’aritmetica (quando la parentesi è definita). Quindi vale, senza
restrizioni, per l’algebra simbolica.
Regole per i segni: se b,c positivi vale (aritmeticamente)
(a − b)(c − d) = ac − bc − ad + bd
ponendo a, d = 0: (−b)c = −bc;
ponendo a, c = 0: (−b)(−d) = bd.
STRUTTURE ALGEBRICHE
Augustus De Morgan (1806-1871)
I “It is astonishing that the human intellect should ever have tolerated
such an absurdity as the idea of a quantity less than nothing”
I
Sostiene che sistemi algebrici possano essere definiti interamente per
mezzo di regole formali (assiomi), e fornisce esempi, ma
I
sostiene però che solo un’interpretazione / il contenuto di un
sistema algebrico gli da’ senso.
William Rowan Hamilton (1805-1865)
I
Cerca di dare consistenza ai numeri negativi ponendo la dicotomia
tra segni come il contrasto tra direzione ‘in avanti’ e ‘indietro’
(rispetto allo stato attuale).
I
Con l’introduzione dei quaternioni “convince” i matematici che è
possibile definire un sistema algebrico puramente in termini
assiomatici.
OGGI
Costruzioni/Definizioni:
I
Assiomatiche.
Algebriche (“chiusure” rispetto a operazioni/polinomi).
I
Esplicite (costruzione di insieme con operazione).
I
In generale:
N→Z→Q→R→C→H
... non corrisponde affatto allo sviluppo storico dei concetti!