Mathesis Roma 16 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Elettroni veloci
( adattamento da Battimelli-Stilli Le vie della Fisica Vol. 3- Laterza)
Obiettivi
Confrontare le leggi e le formule della Fisica classica con quelle corrispondenti della Fisica
relativistica nell’ambito della Meccanica e nell’Elettromagnetismo
Utilizzare le approssimazioni in modo consapevole
L’acceleratore lineare di Stanford porta un fascio di elettroni all’energia di 40 GeV, accelerandoli lungo un
tubo rettilineo lungo 3 km; gli elettroni acquistano dunque, lungo il percorso, un’energia pari a 13,3 MeV
per ogni metro.
a) Se fosse valida l’espressione classica dell’energia cinetica
, quanto spazio dovrebbero
percorrere gli elettroni nel tubo dell’acceleratore per raggiungere la velocità della luce?
b) In realtà gli elettroni che emergono all’estremità dell’acceleratore hanno una velocità v minore di
quella della luce ma molto prossima a c.
Quanto vale il rapporto
Se un raggio di luce e uno di questi elettroni facessero una corsa su un tratto di 10 km, quale
sarebbe il vantaggio del raggio luminoso sull’elettrone?
c) Quanto risulta lungo l’acceleratore per un osservatore solidale con il riferimento degli elettroni?
d) Se si volesse accelerare il fascio di elettroni utilizzando un ciclotrone <<classico>> in cui il campo
magnetico B è uguale a 1T, assumendo
il valore della velocità oltre il quale la trattazione
classica non dà più un’approssimazione soddisfacente, quale dovrebbe essere il suo raggio
massimo ? Quale sarebbe la correzione tenendo conto degli effetti relativistici?
Tenendo conto degli effetti relativistici, quale dovrebbe essere il raggio massimo del ciclotrone se gli
elettroni avessero energia pari a 40 GeV?
Soluzione
a) L’energia necessaria per accelerare l’elettrone corrisponde al lavoro compiuto dal campo
elettrico uniforme
Allo spostamento di 1 metro corrisponde un lavoro di
Se fosse valida l’espressione classica dell’energia cinetica
da cui
, quando
Mathesis Roma 16 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
metri
Sarebbe sufficiente, pertanto, una distanza di circa 2 cm.
b) Quanto vale, in percentuale, la differenza tra la velocità degli elettroni,al termine dei tre chilometri
del percorso, e la velocità della luce?
L’energia cinetica relativistica è
dove
è l’energia a riposo dell’elettrone ed è uguale circa a
7,8278
il rapporto tra
Essendo
2
=1-
può essere calcolato, in via approssimata, nel modo seguente
molto vicino all’unità, la quantità
può essere sostituita da
La velocità degli elettroni differisce da quella della luce circa dello
Se un raggio di luce e uno di questi elettroni facessero una corsa su un tratto di 10 km, il vantaggio del
raggio luminoso, al traguardo, sarebbe uguale a
=
c) Per un osservatore solidale con il riferimento del fascio di elettroni il <<tubo>> dell’acceleratore si
muove verso di lui con velocità v.
La misura della lunghezza risulta contratta del fattore
d) Il massimo valore del raggio di un ciclotrone si ottiene dalla relazione
Mathesis Roma 16 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Nel nostro caso si trova
m
da cui si evince che la costruzione di tale ciclotrone non è proponibile
Tenendo conto degli effetti relativistici ( aumento della massa
) il valore del raggio diventa
Se
A parità di campo magnetico,pertanto, il valore di R non varia in modo significativo
In generale, se indichiamo con
il rapporto tra l’energia cinetica e l’energia a riposo
dell’elettrone, si dimostra facilmente che
Nel caso in esame, se gli elettroni raggiungono l’ energia di 40 GeV, la loro velocità v , come abbiamo
visto, si può considerare uguale a c, ; quindi, come succede per i fotoni,
Poiché , per valori alti di
, la quantità
=
i due risultati sono da considerarsi uguali.
Se gli elettroni avessero energia pari a 40 GeV si avrebbe
=1+
Pertanto, se B=1 T
( 1+
Si deve comunque tener conto anche del fatto che , se la massa non rimane costante, varia di
conseguenza anche la velocità angolare della particella
Mathesis Roma 16 marzo 2016
Proposta di soluzione di Adriana Lanza
Si perde quindi il sincronismo tra il moto di rotazione degli elettroni e l’oscillazione della tensione
alternata applicata agli elettrodi, a meno che non si faccia variare opportunamente il campo magnetico.
