Elettroni veloci
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Mathesis Roma 16 marzo 2016 Proposta di soluzione di Adriana Lanza Elettroni veloci ( adattamento da Battimelli-Stilli Le vie della Fisica Vol. 3- Laterza) Obiettivi Confrontare le leggi e le formule della Fisica classica con quelle corrispondenti della Fisica relativistica nell’ambito della Meccanica e nell’Elettromagnetismo Utilizzare le approssimazioni in modo consapevole L’acceleratore lineare di Stanford porta un fascio di elettroni all’energia di 40 GeV, accelerandoli lungo un tubo rettilineo lungo 3 km; gli elettroni acquistano dunque, lungo il percorso, un’energia pari a 13,3 MeV per ogni metro. a) Se fosse valida l’espressione classica dell’energia cinetica , quanto spazio dovrebbero percorrere gli elettroni nel tubo dell’acceleratore per raggiungere la velocità della luce? b) In realtà gli elettroni che emergono all’estremità dell’acceleratore hanno una velocità v minore di quella della luce ma molto prossima a c. Quanto vale il rapporto Se un raggio di luce e uno di questi elettroni facessero una corsa su un tratto di 10 km, quale sarebbe il vantaggio del raggio luminoso sull’elettrone? c) Quanto risulta lungo l’acceleratore per un osservatore solidale con il riferimento degli elettroni? d) Se si volesse accelerare il fascio di elettroni utilizzando un ciclotrone <<classico>> in cui il campo magnetico B è uguale a 1T, assumendo il valore della velocità oltre il quale la trattazione classica non dà più un’approssimazione soddisfacente, quale dovrebbe essere il suo raggio massimo ? Quale sarebbe la correzione tenendo conto degli effetti relativistici? Tenendo conto degli effetti relativistici, quale dovrebbe essere il raggio massimo del ciclotrone se gli elettroni avessero energia pari a 40 GeV? Soluzione a) L’energia necessaria per accelerare l’elettrone corrisponde al lavoro compiuto dal campo elettrico uniforme Allo spostamento di 1 metro corrisponde un lavoro di Se fosse valida l’espressione classica dell’energia cinetica da cui , quando Mathesis Roma 16 marzo 2016 Proposta di soluzione di Adriana Lanza metri Sarebbe sufficiente, pertanto, una distanza di circa 2 cm. b) Quanto vale, in percentuale, la differenza tra la velocità degli elettroni,al termine dei tre chilometri del percorso, e la velocità della luce? L’energia cinetica relativistica è dove è l’energia a riposo dell’elettrone ed è uguale circa a 7,8278 il rapporto tra Essendo 2 =1- può essere calcolato, in via approssimata, nel modo seguente molto vicino all’unità, la quantità può essere sostituita da La velocità degli elettroni differisce da quella della luce circa dello Se un raggio di luce e uno di questi elettroni facessero una corsa su un tratto di 10 km, il vantaggio del raggio luminoso, al traguardo, sarebbe uguale a = c) Per un osservatore solidale con il riferimento del fascio di elettroni il <<tubo>> dell’acceleratore si muove verso di lui con velocità v. La misura della lunghezza risulta contratta del fattore d) Il massimo valore del raggio di un ciclotrone si ottiene dalla relazione Mathesis Roma 16 marzo 2016 Proposta di soluzione di Adriana Lanza Nel nostro caso si trova m da cui si evince che la costruzione di tale ciclotrone non è proponibile Tenendo conto degli effetti relativistici ( aumento della massa ) il valore del raggio diventa Se A parità di campo magnetico,pertanto, il valore di R non varia in modo significativo In generale, se indichiamo con il rapporto tra l’energia cinetica e l’energia a riposo dell’elettrone, si dimostra facilmente che Nel caso in esame, se gli elettroni raggiungono l’ energia di 40 GeV, la loro velocità v , come abbiamo visto, si può considerare uguale a c, ; quindi, come succede per i fotoni, Poiché , per valori alti di , la quantità = i due risultati sono da considerarsi uguali. Se gli elettroni avessero energia pari a 40 GeV si avrebbe =1+ Pertanto, se B=1 T ( 1+ Si deve comunque tener conto anche del fatto che , se la massa non rimane costante, varia di conseguenza anche la velocità angolare della particella Mathesis Roma 16 marzo 2016 Proposta di soluzione di Adriana Lanza Si perde quindi il sincronismo tra il moto di rotazione degli elettroni e l’oscillazione della tensione alternata applicata agli elettrodi, a meno che non si faccia variare opportunamente il campo magnetico.
