Dispensa di Macchine Elettriche

A. Di Gerlando – R. Perini
Dispensa di Macchine Elettriche
I
1. INTRODUZIONE. ................................................................................................................................ 1
2. RICHIAMI SUI SISTEMI TRIFASE.................................................................................................... 3
1. Generalità sui sistemi trifase. .............................................................................................................. 3
2. Potenza nei sistemi trifase................................................................................................................... 4
3. Sistemi trifase in regime sinusoidale. ................................................................................................. 5
4. Sistemi trifase a tre fili, simmetrici ed equilibrati.............................................................................. 7
4.1. Carico equilibrato connesso a stella............................................................................................. 7
4.2. Carico equilibrato connesso a triangolo....................................................................................... 9
5. Studio delle reti trifase a tre fili simmetriche ed equilibrate. ........................................................... 10
6. Sistemi trifase a tre fili simmetrici e squilibrati. .............................................................................. 12
7. Sistemi trifase a quattro fili.............................................................................................................. 12
7.1. Sistemi trifase a quattro fili, con quarto filo di impedenza nulla. ............................................. 13
7.2. Sistemi trifasi a quattro fili, con quarto filo di impedenza non nulla......................................... 15
3. RICHIAMI SUL CAMPO MAGNETICO. .......................................................................................... 18
1. Generalità.......................................................................................................................................... 18
2. Circuiti magnetici. ............................................................................................................................ 18
3. Legge di Hopkinson (o legge di Ohm magnetica). ........................................................................... 21
4. Calcolo di riluttanze e studio dei circuiti magnetici.......................................................................... 22
5. La legge della induzione elettromagnetica........................................................................................ 25
6. Flusso del campo e flusso concatenato. ............................................................................................ 28
7. Induttanza (o autoinduttanza). .......................................................................................................... 29
8. Mutua induttanza. ............................................................................................................................. 31
9. F.e.m. indotte di auto e mutua induzione: sistemi lineari. ................................................................ 35
10. Richiami riguardanti le azioni meccaniche sui sostegni del campo magnetico. ............................. 37
4. CENNI SUI MATERIALI IMPIEGATI NELLE MACCHINE ELETTRICHE. ................................ 42
1. Materiali Conduttori. ........................................................................................................................ 42
Dipendenza della resistività dalla temperatura. ................................................................................ 43
2. Materiali Magnetici........................................................................................................................... 43
Ciclo di isteresi ................................................................................................................................. 44
Perdita per isteresi............................................................................................................................. 48
Perdite per correnti parassite............................................................................................................. 48
3. Materiali Isolanti............................................................................................................................... 50
Rigidità dielettrica............................................................................................................................. 51
Dipendenza dalla temperatura delle proprietà isolanti...................................................................... 51
5. IL TRASFORMATORE....................................................................................................................... 53
1. Generalità.......................................................................................................................................... 53
2. Principi di funzionamento; cenni costruttivi..................................................................................... 54
3. Studio del trasformatore con le equazioni degli induttori mutuamente accoppiati........................... 55
4. Il trasformatore ideale. ...................................................................................................................... 56
5. Il trasformatore reale con nucleo magnetico senza perdite............................................................... 59
6. Proprietà elettriche e magnetiche intrinseche del trasformatore ideale............................................. 65
7. Perdite nel materiale magnetico e loro rappresentazione circuitale. ................................................. 66
8. Funzionamento in regime sinusoidale. Circuiti equivalenti semplificati. ......................................... 67
9. Grandezze nominali. ........................................................................................................................ 69
10. Funzionamento a vuoto. Trasformatori di misura voltmetrici (TV). ............................................. 69
11. Funzionamento in corto circuito. Trasformatori di misura amperometrici (TA). .......................... 71
12. Dati di targa. .................................................................................................................................. 74
13. Variazione di tensione nel passaggio da vuoto a carico................................................................. 74
14. Corrente di corto circuito............................................................................................................... 77
15. Perdite e rendimento. ...................................................................................................................... 80
16. Autotrasformatore ideale. ............................................................................................................... 82
17. Trasformatore ideale a tre avvolgimenti. ........................................................................................ 84
18. Trasformatori trifase. ...................................................................................................................... 85
6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE.................................................................................................... 88
Il campo magnetico monofase. ............................................................................................................. 88
Campo di f.m.m. al traferro prodotto da un avvolgimento trifase percorso da corrente alternata
sinusoidale. ........................................................................................................................................... 91
II
Campo di f.m.m. a due poli prodotto da un avvolgimento bifase percorso da corrente alternata
sinusoidale. ........................................................................................................................................... 93
Avvolgimenti a più coppie polari. Angolo meccanico e elettrico......................................................... 94
F.m.m. e flusso di un polo. ................................................................................................................... 96
F.e.m. indotta in un avvolgimento da un campo di f.m.m. ................................................................... 97
7. MACCHINA SINCRONA. ................................................................................................................ 100
1. Generalità e caratteristiche costruttive............................................................................................ 100
2. Funzionamento con solo induttore percorso da corrente. ............................................................... 102
3. Funzionamento con solo indotto percorso da corrente. .................................................................. 104
3.1. Effetti delle correnti di statore. ................................................................................................ 104
3.2. F.m.m., flussi e f.e.m. di indotto. ............................................................................................. 106
3.3. Diagramma vettoriale delle grandezze nel funzionamento con solo indotto alimentato.......... 107
4. Funzionamento a carico. ................................................................................................................. 107
4.1. Reazione di indotto (o di armatura). ........................................................................................ 107
4.2. Diagramma vettoriale della macchina isotropa e circuito equivalente..................................... 108
5. Energetica delle grandezze meccaniche.......................................................................................... 110
5.1 Stabilità statica. ......................................................................................................................... 112
8. MACCHINA A INDUZIONE (ASINCRONA)................................................................................. 115
1. Cenni costruttivi e generalità. ......................................................................................................... 115
2. Funzionamento con avvolgimento secondario aperto e rotore fermo............................................. 117
2.1. Il campo rotante e le f.e.m. indotte. ......................................................................................... 117
2.2. Rappresentazione vettoriale sul piano della macchina............................................................. 119
3. Funzionamento con avvolgimento secondario chiuso e rotore fermo. ........................................... 120
3.1. Effetti delle f.m.m. agenti al traferro. ...................................................................................... 121
3.2. Circuito equivalente a rotore bloccato. .................................................................................... 122
4. Funzionamento con avvolgimento secondario aperto e rotore in movimento. ............................... 123
5. Funzionamento con avvolgimento secondario chiuso e rotore in movimento................................ 124
5.1. Velocità dei campi rotanti. ....................................................................................................... 124
5.2. Circuiti equivalenti e trasformazione di frequenza. ................................................................. 125
6. Circuiti equivalenti per lo studio del funzionamento...................................................................... 127
6.1. Interpretazione magnetica ed energetica della trasformazione di frequenza. .......................... 127
6.2. Potenza e coppia trasmesse al traferro. .................................................................................... 127
6.3. Circuito equivalente semplificato della macchina asincrona. .................................................. 128
7. Significati di scorrimento e modi di funzionamento della macchina asincrona.............................. 129
7.1. Caratteristica meccanica della macchina asincrona trifase. ..................................................... 130
7.2. Funzionamento della macchina asincrona con scorrimento nel campo s > 1 (freno). ............ 133
7.3. Funzionamento della macchina asincrona con scorrimento nel campo s < 0 (generatore). ..... 133
8. Avviamento (“spunto”) dei motori asincroni.................................................................................. 133
9. Inversione del moto. ....................................................................................................................... 135
10. Grandezze nominali. ..................................................................................................................... 135
11. Controllo scalare di una macchina asincrona (regolazione V/f). .................................................. 137
9. MACCHINE CON COLLETTORE A LAMELLE (A CORRENTE CONTINUA). ........................ 142
1. Generalità e caratteristiche costruttive............................................................................................ 142
1.1. Principio di funzionamento...................................................................................................... 142
1.2. Struttura della macchina a collettore........................................................................................ 143
2. Funzionamento a vuoto................................................................................................................... 144
3. Funzionamento a carico. ................................................................................................................. 149
3.1. Coppia elettromagnetica ed equazioni di funzionamento. ....................................................... 149
3.2. Reazione di indotto: effetti e rimedi. (*).................................................................................. 152
4. Modi di eccitazione della macchina a c.c.. ..................................................................................... 153
5. Caratteristiche della macchina a c.c. nel funzionamento come generatore.................................... 154
6. Caratteristiche della macchina a c.c. nel funzionamento come motore. ......................................... 155
7. Caratteristica meccanica del motore a c.c. con eccitazione indipendente....................................... 155
8. Regolazione di armatura e campo di un motore in c.c. ad eccitazione separata. ............................ 157
9. Equazioni rappresentative della macchina in c.c. ad eccitazione separata in regime dinamico...... 160
10. Motore a c.c. con eccitazione serie. .............................................................................................. 164
10.1. Caratteristica meccanica in assenza di saturazione. ............................................................... 164
10.2. Caratteristica meccanica in condizioni di saturazione magnetica. ......................................... 165
III
10. CARATTERIZZAZIONE DINAMICA DI UN SERVOMOTORE IN CORRENTE CONTINUA A
MAGNETI PERMANENTI. .................................................................................................................. 168
Costanti di tempo elettrica e meccanica.............................................................................................. 168
Avviamento a carico, potenza transitoria e scelta del rapporto ingranaggi ........................................ 172
IV
1. INTRODUZIONE.
Si definisce “macchina elettrica” un dispositivo per la conversione dell’energia da:

elettrica  elettrica (con diversi valori della tensione e della corrente)

elettrica  meccanica
basato sulle due seguenti leggi:
1. legge dell’induzione elettromagnetica (di Faraday –Neumann):
et  
dc t 
,
dt
c t  : flusso concatenato con una bobina;
e(t): forza elettromotrice indotta nella bobina.
2. Legge delle azioni elettrodinamiche:
F i   x B ,
F : forza che agisce su un conduttore, di lunghezza  , percorso dalla corrente i e posto in un
campo magnetico di induzione B . Il termine “x” indica il prodotto vettoriale.
Si consideri un raddrizzatore statico (ponte di Graetz), fig. 01. Esso converte energia elettrica
dalla tensione alternata alla tensione continua. Il suo funzionamento non si basa sulle due leggi
sopra enunciate, ma sulla proprietà dei diodi di condurre la corrente in modo unidirezionale.
NON è quindi una macchina elettrica.
Si consideri un elettromagnete (fig. 02). Alimentando l’avvolgimento, si crea un campo
magnetico che attira l’ancora mobile verso il nucleo. Il funzionamento si basa sulle leggi prima
enunciate.
D’altra parte questo dispositivo comporta solo un piccolo spostamento dell’ancora mobile, per
poi trattenerla nella posizione finale. Il suo scopo non è una continua conversione di energia
elettrica in meccanica e quindi NON può essere definito una macchina elettrica.
Fig. 01. Un convertitore statico NON è una macchina
elettrica, poiché non basa il suo funzionamento sulle
leggi dell’induzione elettromagnetica e delle azioni
elettrodinamiche.
Fig. 02. Un elettromagnete NON è una in macchina
elettrica, poiché non effettua una CONTINUA
CONVERSIONE dell’energia elettrica meccanica, ma
solo un piccolo spostamento dell’ancora mobile,
mantenendola poi in posizione.
Le macchine elettriche sono:
 trasformatore: macchina statica che converte l'energia elettrica con valori diversi di
tensione e corrente;
1
 macchine sincrona, asincrona ed in corrente continua: si tratta di macchina rotanti che
possono funzionare sia da motore che da generatore.
Premesse.
Saranno esposti i seguenti argomenti:
 il sistema trifase, in quanto la maggioranza delle macchine elettriche è di tipo trifase;
 alcuni richiami sul campo magnetico e sui concetti di auto–induttanza e mutua–
induttanza;
 cenni sui materiali impiegati nelle macchine elettriche;
 il trasformatore;
 il campo magnetico rotante;
 la macchina sincrona;
 la macchina asincrona (ad induzione);
 la macchina in corrente continua.
Si fa presente che le grandezze costanti sono indicate con la lettera maiuscola (es. V), mentre le
grandezze variabili nel tempo con la lettera minuscola (es. v). Per le grandezze sinusoidali, la
lettera maiuscola indica il valore efficace; il fasore ed il suo coniugato sono indicati
rispettivamente con la sopralineatura ( V ) e sottolineatura ( V ).
2
2. RICHIAMI SUI SISTEMI TRIFASE.
1. Generalità sui sistemi trifase.
Si consideri una linea costituita da tre conduttori (1, 2, 3 in fig. 01): supponendo l'energia
fluente da sinistra verso destra, si può immaginare la linea come connessione tra una rete di
generazione (G) e una di utilizzazione (U), entrambe collegate alla linea tramite tre morsetti.
Fig. 01. Linea trifase a tre fili che connette una rete di generazione G ad una di utilizzazione U.
Se si misurano i valori istantanei contemporanei delle correnti nei tre fili come indicato in figura, si ha (legge di Kirchhoff delle correnti):
i1  i 2  i3  0 .
Le correnti che percorrono i fili sono chiamate correnti di linea.
Le tensioni misurate fra ciascuna coppia di conduttori (v12, v23, v31), come indicato in fig.01,
sono dette tensioni di linea o tensioni concatenate: si noti che il primo indice individua il verso
di misura della tensione (morsetto contrassegnato del voltmetro a valori istantanei).
Per la legge di Kirchhoff delle tensioni vale la relazione:
v12  v 23  v31  0 ;
anche per le tensioni concatenate si può osservare che ciascuna di esse è pari alla somma,
cambiata di segno, delle altre due:
v12   v 23  v31  ;
v 23   v12  v31  ;
v 31   v12  v 23 
.
Oltre alle tensioni di linea, in un sistema trifase si definiscono le tensioni di fase, differenza
fra il potenziale di ciascun filo di linea e il potenziale di un punto 0 (v. fig. 01), in generale
esterno alla linea trifase: v10, v20, v30 .
Applicando anche in questo caso la legge delle tensioni, si deducono i seguenti legami fra tensioni di fase e di linea:
v12  v10  v 20 ;
v 23  v 20  v30 ;
v31  v30  v10 ;
3
2. Potenza nei sistemi trifase.
Si consideri un sistema trifase a tre fili: le correnti di linea istantanee contemporanee siano
i1 t  , i 2 t  , i3 t  e le tensioni concatenate istantanee contemporanee siano v12 t  , v 23 t  , v31 t  .
La corrente nel terzo conduttore è interpretabile come la somma, cambiata di segno, delle altre
due:
i3   i1  i 2 
.
Pertanto, il sistema trifase a tre fili può essere immaginato come costituito da due sistemi
monofase aventi come filo di andata i fili 1 e 2 ed il filo 3 come ritorno in comune.
Si consideri un generico punto esterno 0 e le tensioni di fase istantanee contemporanee v10 ,
v 20 , v30 .
La potenza istantanea che transita sulla linea trifase può essere vista come la potenza associata
alle due linee monofase di cui si è detto. Essa vale:
pt   v13  i1  v 23  i2
.
Elaborando questa espressione si ottiene:
pt   v13  i1  v 23  i2  v10  v30   i1  v 20  v30   i2 
 v10  i1  v 20  i2  v30   i1  i 2   v10  i1  v 20  i2  v30  i3
,
cioè la potenza trifase è pari alla somma delle potenze di ciascun filo.
In definitiva la potenza istantanea di una rete trifase (e le potenze che da essa si deducono) è
la somma delle potenze associate a ciascun conduttore, qualunque sia il centro 0 rispetto al
quale si valutano le tensioni di fase; in particolare, tale centro può cadere su uno dei tre
conduttori.
Questo suggerisce una procedura molto vantaggiosa per la misura della potenza trifase, nota
come inserzione Aron: la potenza trifase può essere misurata con l'impiego di due soli
wattmetri, inseriti come mostrato in fig. 02. Naturalmente tale inserzione è valida per il rilievo
non solo della potenza istantanea, ma anche della potenza attiva.
Le considerazioni svolte riguardo ad un sistema a tre fili possono essere generalizzate nel caso
di una linea ad N fili: preso uno dei fili come conduttore di ritorno comune per i rimanenti (N1), la potenza trasmessa lungo tale linea è pari alla somma delle potenze delle (N-1) reti
monofasi che hanno quel filo come conduttore di ritorno in comune.
Fig. 02. Misura della potenza transitante lungo la linea (inserzione Aron).
4
3. Sistemi trifase in regime sinusoidale.
Se il sistema trifase funziona in regime alternato sinusoidale, le grandezze elettriche sono
rappresentabili con i corrispondenti vettori (tensioni di linea: V12 , V 23 , V31 ; tensioni di fase:
V10 , V20 , V30 ; correnti di linea: I 1 , I 2 , I 3 ).
Agli effetti della definizione delle tensioni di linea, verrà nel seguito utilizzata la seguente
convenzione per l'assegnazione del nome ai tre fili: identificato ad arbitrio uno qualsiasi dei
conduttori con il N°1, si chiama 2 il conduttore tale che la tensione V12 è in anticipo sulla
tensione V23 e questa sulla tensione V31 .
Complessivamente, le relazioni precedentemente considerate per i valori istantanei
contemporanei delle tensioni e delle correnti si possono scrivere:
V12  V 23  V31  0 ;
V12  V10  V20 ;
V23  V20  V30 ;
V31  V30  V10 ;
I1  I 2  I 3  0 .
Pertanto i vettori tensione di linea ed i vettori corrente di linea costituiscono i lati di due
triangoli (fig. 03): infatti una poligonale chiusa di vettori concorrenti (in particolare un
triangolo) è caratterizzata dall'avere risultante nulla.
Se in un sistema trifase a tre fili i vettori tensione di linea formano un triangolo scaleno (V12
 V23  V31), si parla di "sistema di tensioni dissimmetriche"; viceversa, se il suddetto triangolo
delle tensioni di linea è equilatero (vettori di uguale modulo e sfasati fra loro di 120°), si parla
di "sistema di tensioni simmetriche".
Considerato un sistema trifase con tensioni simmetriche, se i vettori correnti di linea formano
un triangolo scaleno qualunque, si parla di "sistema trifase di correnti squilibrate"; viceversa, se
tale triangolo di correnti è equilatero, si parla di "sistema di correnti equilibrate".
Fig. 03. Triangolo dei vettori delle tensioni concatenate e delle correnti di linea.
Quanto alle possibili scelte del punto 0 per la definizione delle tensioni di fase, si consideri la
situazione rappresentata in fig. 04.a. Dai tre fili sono derivate tre impedenze uguali Z ,
connesse "a stella": detto G il centro stella, la somma delle tensioni di fase misurate rispetto a G
può così esprimersi:


V1G  V2G  V3G  Z  I1  Z  I 2  Z  I 3  Z  I1  I 2  I 3  0 .
Dunque le tre tensioni di fase misurate rispetto al centro stella G delle impedenze hanno somma
vettoriale nulla. Per quanto riguarda il diagramma vettoriale, si mostra facilmente che il punto
5
"elettrico" G, rispetto al quale le tensioni di fase hanno somma vettoriale nulla, coincide con il
baricentro del triangolo delle tensioni concatenate (v. fig. 04.b): tale punto prende il nome di
centro teorico del sistema trifase di tensioni.
Fig. 04a – 04b. Costruzione pratica del centro teorico G del sistema trifase di tensioni.
Talvolta è consuetudine indicare con un solo indice le tensioni di fase misurate rispetto al
centro teorico G ( V1  V1G ; V 2  V 2G ; V3  V3G ); per tali tensioni vale la relazione:
V1  V 2  V3  0
.
Anche nei sistemi trifase, come per un qualunque circuito in regime sinusoidale, si
definiscono la potenza apparente, attiva e reattiva.
In generale il vettore potenza apparente trifase At è così definito:
3
At  P  j  Q 

k 1
3
Ak 
 Vk 0  I k
.
k 1
Anche la potenza apparente trifase gode della proprietà di invarianza rispetto al punto 0 di
riferimento delle tensioni di fase. Come punto 0 si può pertanto scegliere un punto posto su uno
dei tre fili (misura della potenza secondo Aron):
At  V13  I1  V23  I 2 .
Esprimendo la potenza attiva mediante l'operatore prodotto scalare () fra vettori, si ha:
Pt  V13  I 1  V 23  I 2 . [W: watt]
La potenza reattiva può essere espressa attraverso il modulo del prodotto vettoriale (x) fra
vettori tensione e corrente (infatti: V x I  V  I  sin VI  ).
Nel caso del sistema trifase a tre fili si ha:
Qt   V13 x I1 |  | V23 x I 2
[var: volt-ampere reattivi]
(per ogni prodotto vettoriale si deve considerare il modulo con segno positivo se la corrente è in
ritardo rispetto alla tensione, altrimenti il segno negativo).
Si definisce fattore di potenza di una rete trifase la quantità:
6
P
cos   t
At
.
Il fattore di potenza cos  è una quantità invariante rispetto allo spostamento del punto 0 cui
sono riferite le tensioni di fase: infatti, rispetto a tale spostamento non cambiano Pt, Qt, At, e
quindi neanche il cos .
4. Sistemi trifase a tre fili, simmetrici ed equilibrati.
Costituiscono una categoria assai ampia nell'insieme dei sistemi trifase oggetto di studio: è
infatti evidente l'opportunità pratica che i sistemi trifase impiegati nelle applicazioni siano
realizzati in modo costruttivamente simmetrico e fatti funzionare, per quanto possibile, con
carichi equilibrati.
Un esempio molto semplice di sistema trifase a tre fili, simmetrico nelle tensioni, è
rappresentato dalla terna di generatori raffigurata in fig. 05. Tale sistema contiene tre generatori
ideali collegati a stella, le cui tensioni:
E1  E ;
E2  E  e
 j
2
3
;
E3  E  e
 j
4
3
costituiscono un sistema simmetrico di vettori: la caratteristica di tale sistema di vettori è quella
di essere uguali ed a 120° (2·/3 radianti) l'uno dall'altro. Conseguenza di ciò è che questi tre
vettori sono a somma nulla: pertanto, il centro stella di tali generatori coincide con il centro
teorico G, cioè con il baricentro del triangolo delle tensioni concatenate.
Nel caso di sistema simmetrico di tensioni, il triangolo delle tensioni concatenate è equilatero:
anche le tensioni di linea costituiscono tre vettori uguali fra loro e posti a 120° l'uno dall'altro.
In questa situazione simmetrica (fig. 06), tra il modulo delle tensioni di linea ed il modulo delle
tensioni di fase sussiste la seguente relazione:
Vlinea  3  V fase  1.732  V fase .
Infatti (fig. 06):
V12
 E1  sin 60
2
Fig. 05. Sistema simmetrico nelle tensioni ed equilibrato
nelle correnti
V12
3
 E1 
2
2
da cui la tesi.
Fig. 06. Diagramma vettoriale delle tensioni e delle
correnti in un sistema trifase simmetrico ed
equilibrato.
4.1. Carico equilibrato connesso a stella.
Nel sistema di fig. 05 vi è anche una terna di impedenze uguali, di valore Z  Z  e j ,
collegate a stella.
Dette V1 , V 2 , V3 le tensioni di fase misurate ai morsetti delle impedenze di carico Z ,
valgono le seguenti leggi delle tensioni:
7
V1  E1  V0G ;
V 2  E 2  V 0G ;
V3  E3  V0G
essendo V0G la tensione fra il centro stella delle impedenze e quello dei generatori.
D'altra parte, considerata la simmetria delle tensioni dei generatori e l'uguaglianza delle
impedenze di carico, è evidente che il punto 0, centro stella delle impedenze di carico connesse
a stella, si trova allo stesso potenziale del punto G:
V 0G  0 ;
da ciò si deduce che le tensioni di fase sulle impedenze sono uguali alle corrispondenti tensioni
dei generatori.
Le correnti, pertanto, sono pari a:
V1
E1
E
I1 

  e  j ;
Z
Z Z
 2 
 
3

E  j
I2 

 e 
Z
Z
Z
V2
E2
;
 4 
 
3

E  j
I3 

 e 
Z
Z
Z
V3
E3
.
Dunque il sistema delle correnti di linea costituisce una terna di correnti equilibrate (vettori
uguali in modulo ed a 120° l'uno dall'altro), come mostrato in fig. 06: ciascuna corrente di linea
è sfasata dello stesso angolo  (angolo caratteristico dell'impedenza Z ) rispetto alla
corrispondente tensione di fase.
Per quanto riguarda la potenza trifase, dalla definizione generale di vettore potenza apparente
trifase si ottiene:
At  E1  I 1  E 2  I 2  E3  I 3  3  E  I  e j .
Dunque in un sistema simmetrico ed equilibrato la potenza apparente trifase è il triplo della
potenza apparente di ciascuna fase; il modulo di At è pari a:
At  3  E  I  3  Vlinea  I .
Le potenze attiva e reattiva valgono rispettivamente:
Pt  3  E  I  cos  3  Vlinea  I  cos
Qt  3  E  I  sin   3  Vlinea  I  sin  .
Queste espressioni mettono in evidenza una importante caratteristica dei sistemi trifase: se si
considerasse di volere trasportare con tre linee monofase una potenza di fase pari a E·I·cos, la
linea di trasporto complessiva necessiterebbe di sei conduttori, ciascuno dimensionato per
trasportare la corrente di linea I. Viceversa la adozione di una linea trifase consente di
dimezzare il numero di conduttori necessari, a pari potenza totale trasportata.
Per quanto riguarda la potenza istantanea, nel caso monofase essa è costituita da un valore
medio, pari alla potenza attiva P, più una sinusoide potenza istantanea a valore medio nullo, di
ampiezza pari alla potenza apparente A, e di frequenza doppia rispetto a quelle di tensione e
corrente.
Nel caso trifase simmetrico ed equilibrato, la potenza istantanea trifase è la somma delle
potenze istantanee di fase:
pt t   p1 t   p 2 t   p3 t   v1 t   i1 t   v 2 t   i2 t   v3 t   i3 t  ,
8
dove le tensioni di fase sono misurate rispetto al centro teorico.
Considerate per tensioni e correnti le seguenti espressioni:
v1 t   2  V f  cos  t  ;
2 

v 2 t   2  V f  cos   t 
;
3 

4 

v 3 t   2  V f  cos   t 
;
3 

2
4




i1 t   2  I  cos  t   ; i 2 t   2  I  cos   t 
   ; i3 t   2  I  cos   t 
  ;
3
3




le singole potenze di fase risultano pari a:
v1  i1  V f  I  cos  V f  I  cos2    t   ;
4


  ;
v 2  i 2  V f  I  cos  V f  I  cos 2    t 
3


8
2




    V f  I  cos  V f  I  cos 2    t 
  ;
v 3  i3  V f  I  cos  V f  I  cos 2    t 
3
3




Si riconosce facilmente che nella somma delle potenze istantanee di fase le tre sinusoidi si
annullano istante per istante (infatti sono di uguale ampiezza e sfasate fra loro di 120°), per cui:
p t t   3  V f  I  cos  3  Vlinea  I  cos ;
pertanto la potenza istantanea trifase di un sistema simmetrico ed equilibrato è costante.
Il fatto che la potenza trifase istantanea è costante non è in contraddizione con l'esistenza di
una potenza reattiva trifase, pari a Qt  3  Vlinea  I  sin  : infatti, per ciascuna fase k (k=1,2,3)
la potenza reattiva è il valor massimo della potenza istantanea (pkq) associata alla componente
istantanea di corrente (ikq) in quadratura con la tensione istantanea di fase (vk); pertanto è nulla
la somma di tali potenze istantanee, mentre non è nulla la somma dei loro valori massimi
( V f  I  sin  ). Discorso analogo vale per la At .
Si noti che, pur esprimendo la tensione di fase Vf in funzione della tensione di linea Vlinea
( V f  Vlinea 3 ), l'angolo  è sempre quello di sfasamento fra tensione di fase e corrente di


linea.
4.2. Carico equilibrato connesso a triangolo.
Si tratta di una situazione circuitale del tipo di fig. 07: il sistema delle tensioni (sia di fase che di linea)
è sempre simmetrico, mentre le impedenze Z , uguali fra loro, sono collegate a triangolo. Data la
simmetria delle tensioni concatenate, le correnti nei lati del triangolo costituiscono un sistema
equilibrato, il cui valore è pari a:
V
V
V
I 23  23 ;
I 31  31 .
I 12  12 ;
Z
Z
Z
D'altra parte sussistono le seguenti leggi delle correnti ai nodi:
I 1  I 12  I 31 ;
I 2  I 23  I 12 ;
I 3  I 31  I 23 ;
considerando che anche il sistema delle correnti di linea è equilibrato, si può costruire il diagramma
vettoriale di fig. 08, che corrisponde graficamente alle precedenti leggi delle correnti.
9
Fig. 07. Sistema trifase simmetrico ed equilibrato con carico
connesso a triangolo.
Fig. 08. Diagramma vettoriale delle correnti del
sistema di fig. 07.
Per quanto riguarda il legame fra i moduli di tali correnti si ottiene, analogamente a quanto visto per le
tensioni:
I linea  3  I triang .
E' interessante osservare che, se le stesse impedenze di valore Z vengono collegate a stella, le potenze
assorbite dalla linea risultano pari ad 1/3 di quelle del collegamento a triangolo.
Infatti la potenza apparente trifase nel collegamento a stella vale:
AtY  3  V f  I lineaY
V f
 3 V f  
 Z

2
V

  3 f

Z

,
mentre la potenza apparente trifase nel caso di collegamento triangolo (indicando con ID la corrente nel
lato del triangolo) vale :
AtD  3  Vlinea  I D  3 
ovvero:
 3 V f

 Z

 3 V f 

V2
 9 f ,

Z

AtD  3  AtY .
Visto in termini di correnti di linea, il confronto comporta che:
I lineaY 
Vf
AtY

;
3 V f
Z
I lineaD 
3 V f
AtD

3 V f
Z
;
pertanto nel caso di collegamento a stella la corrente di linea risulta pari ad 1/3 di quella del
collegamento a triangolo.
In alcune applicazioni, questo fatto viene sfruttato per limitare la corrente assorbita dalla linea (vedi, ad
esempio, la commutazione stella-triangolo durante l'avviamento di un motore asincrono).
5. Studio delle reti trifase a tre fili simmetriche ed equilibrate.
Lo studio di una rete trifase simmetrica nelle tensioni ed equilibrata nelle correnti può essere
facilmente ricondotto alla risoluzione di una rete monofase equivalente, previa trasformazione
degli eventuali carichi trifasi collegati a triangolo negli equivalenti carichi collegati a stella.
Considerando il caso di carichi passivi, costituiti da impedenze, si tratta di effettuare la
trasformazione rappresentata in fig. 09:
10
1
ZY   Z D .
3
Fig. 09. Trasformazione di un carico da triangolo a stella.
Ad esempio, la rete trifase di fig. 10.a può essere trasformata come indicato nella fig. 10.b: in
questo modo tutti i carichi (realmente collegati a stella o in connessione a stella equivalente)
presentano un centro stella fisico.
Data l'ipotesi di simmetria ed equilibrio, tutti i centri stella della rete (i punti G, 0', 0", 0"'
nell'esempio di fig. 10.b) risultano fra loro equipotenziali e quindi ogni fase del sistema trifase
(ad esempio la fase 1) può essere rappresentata utilizzando il circuito equivalente monofase di
fig. 11.
Fig. 10.a . Rete trifase simmetrica ed equilibrata con carichi connessi a stella ed a triangolo.
Calcolate le grandezze di interesse relative a questo circuito (correnti, potenze attive e reattive
della fase 1), le quantità delle altre fasi si ottengono in modo molto semplice: le potenze attive e
reattive sono uguali a quelle già calcolate per la fase studiata, mentre le correnti si ottengono da
quelle calcolate, con una opportuna rotazione di 120° (fase 2) e di 240° (fase 3).
Per quanto riguarda i carichi originariamente connessi a triangolo, le correnti nei lati di tali
triangoli si ottengono facilmente con le equazioni ai nodi, ovvero con il diagramma vettoriale
mostrato in precedenza.
Nel caso di reti monofasi è utile l’impiego del metodo di Boucherot per il calcolo con equazioni scalari
delle grandezze tensioni, correnti, potenze.
Poiché la potenza attiva, reattiva e apparente di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato è pari a tre
volte quella del monofase equivalente, anche le reti trifase possono essere studiate con il metodo di
Boucherot: si può passare al monofase equivalente e poi da questo alle potenze del trifase moltiplicando
per tre i risultati, oppure si può applicare il metodo di Boucherot direttamente alla rete trifase, facendo
ovviamente attenzione al tipo di collegamento (per collegamenti a triangolo si devono considerare le
tensioni di linea, mentre si impiegano quelle di fase nel caso stella).
11
Fig. 10.b Trasformazione dei carichi a triangolo, di fig. 10.a, negli equivalenti a stella.
Fig. 11. Rete equivalente di una fase del sistema trifase di fig. 10.b .
6. Sistemi trifase a tre fili simmetrici e squilibrati.
Normalmente i generatori trifasi sono in grado di fornire un sistema simmetrico di tensioni; tuttavia
può avvenire che i carichi non siano equilibrati nelle correnti, per effetto di impedenze di carico diverse
sulle tre fasi. Tale condizione si presenta quando lo squilibrio delle correnti di linea non è tale da
modificare sensibilmente la simmetria delle tensioni (per effetto delle diverse cadute di tensione sulle
impedenze della linea e/o sulle impedenze interne del generatore) .
Un esempio di circuito squilibrato è rappresentato in fig. 12; come metodo risolutivo si può adottare
uno qualunque dei metodi di impiego generale, ad esempio le equazioni di Kirchhoff:
 I1  I 2  I 3  0

 E1  Z1  I1  Z 2  I 2  E 2  0

 E 2  Z 2  I 2  Z 3  I 3  E3  0
La risoluzione di questo sistema fornisce le correnti cercate.
Quanto alle potenze, valgono le espressioni generali già riportate nella parte finale del Prg. 3.
7. Sistemi trifase a quattro fili.
Uno schema di linea trifase a quattro fili, avente la funzione di connettere una zona di
generazione della potenza (sottosistema G) ad una zona di utilizzazione (carichi A, B, C, D) è
quello rappresentato in fig. 13: il quarto filo, detto “conduttore di neutro” o semplicemente
“neutro”, è connesso al centro stella del generatore e viene distribuito insieme ai conduttori
delle tre fasi.
I sistemi a quattro fili sono molto usati nella distribuzione di energia a bassa tensione in
quanto, con un solo sistema trifase, rendono disponibile agli utilizzatori due diversi livelli di
tensione:
12
 un sistema trifase di tensioni concatenate ad uso degli apparecchi trifasi (utenze
industriali);
 un sistema trifase di tensioni di fase (minori rispetto a quelle di linea nel rapporto 3 )
per la alimentazione di carichi monofase (tipicamente utenze domestiche).
In altre parole, il sistema di distribuzione in bassa tensione (<1000V) dell’Ente Distributore di
Energia (ENEL, società municipalizzate) è a quattro fili alla tensione di 400V/230V. Ogni
singola abitazione è connessa tra una fase ed il neutro ( V fase  230V ). Per equilibrare l’insieme
dei carichi monofase, le diverse abitazioni sono connesse tra il neutro e i diversi (tre) conduttori
di fase (carichi A, B, C di fig. 13).
Le aziende che richiedono all’Ente Distributore di Energia una potenza elettrica minore di 80 –
100kW sono alimentate con tutti e quattro i conduttori. I tre conduttori di fase (1, 2, 3), tra cui
esiste la tensione Vlinea  400V , alimentano i motori, tipicamente trifase. Tra ogni conduttore di
fase ed il neutro ( V fase  230V ) sono connessi i carichi di minor potenza, quali lampade di
illuminazione, calcolatori, stampanti.
Fig. 12. Sistema trifase a tre fili simmetrico e
squilibrato.
Fig. 13. Schema di un sistema trifase a quattro fili. A, B, C
rappresentano carichi monofase di tipo domestico; D rappresenta
una piccola industria.
Le utenze industriali di potenza superiore a 80 – 100 kW sono alimentate da un sistema trifase a
tre fili (par. 4) alla tensione:
 Vlinea  15kV o Vlinea  23kV per potenze fino ad alcuni MW (mega–watt);
 tensioni superiori (ad es. Vlinea  60kV o Vlinea  130kV ) per potenze maggiori.
All’interno dell’azienda, dei trasformatori (cap. 5) adattano la tensione ai livelli richiesti dai
diversi carichi (ad es. Vlinea = 400V, 500V, 690V; 3kV, 6kV), rendendo naturalmente anche
disponibile il conduttore di neutro, se richiesto (praticamente per la sola rete con Vlinea  400V ).
7.1. Sistemi trifase a quattro fili, con quarto filo di impedenza nulla.
Si tratta di sistemi per i quali si può ritenere trascurabile la c.d.t. lungo il quarto filo, per
effetto della corrente I 0 che lo percorre: questo fatto può essere dovuto all'entità trascurabile
della impedenza di tale filo, e/o al modesto valore della I 0 .
Un semplice esempio di circuito con 4° filo di impedenza nulla è rappresentato in fig. 14, nel
quale si considerano, in generale, impedenze di fase diverse fra loro: i centri stella G dei generatori ed O delle impedenze sono vincolati allo stesso potenziale dal collegamento di
13
impedenza nulla costituito dal quarto filo. Pertanto le tensioni ai morsetti delle impedenze
coincidono con le corrispondenti tensioni dei generatori, da cui:
I1 
V1
Z

E1
Z
;
I2 
V2

E2
;
Z
Z
I 0  I1  I 2  I 3 .
I3 
V3
Z

E3
Z
Fig. 14. Sistema trifase simmetrico a quattro fili, con quarto filo di impedenza nulla.
Queste relazioni mettono in evidenza che le correnti di ciascuna fase si calcolano
semplicemente come dovute alla propria tensione di fase E , indipendentemente dal fatto che le
impedenze di carico siano uguali o diverse fra loro. Questo fatto, dovuto alla presenza del
quarto filo, costituisce un ulteriore motivo di adozione della distribuzione a quattro fili: infatti
in tal modo ciascun carico monofase assorbe una corrente che dipende dal valore della tensione
di fase generata E (a meno delle c.d.t. in linea) e dalla propria impedenza. Pertanto lo squilibrio
nelle altre fasi non si ripercuote sulla fase considerata, come invece avviene nel caso a tre fili.
Inoltre il quarto filo è percorso dalla somma vettoriale delle tre correnti di fase: pertanto se i
carichi sono abbastanza equilibrati, la corrente I 0 è modesta (al limite nulla per un sistema
perfettamente equilibrato). Per tale ragione si potrebbe adottare, per il quarto filo, una sezione
di conduttore inferiore a quella dei conduttori di fase.
Infine, si consideri una rete trifase a tre fili con tensione concatenata di valore V1=230 V e
corrente massima ammissibile I. Essa può trasportare una potenza apparente massima
ammissibile pari a:
A  3  V1  I  3  230  I  400  I VA .
Elevando la tensione di linea al valore V 2  3  V1 (cioè a V2=400 V) e distribuendo insieme
alla linea trifase, anche il quarto filo, i carichi monofase hanno ancora a disposizione la
tensione V1 (questa volta come tensione di fase). Nell'ipotesi che tali carichi siano disposti in
modo che le impedenze complessive di fase siano praticamente uguali (carichi equilibrati), è
possibile trasportare una potenza apparente pari a:
A '  3  V2  I  3  400  I  3  A  1.732  A
con la sola aggiunta del quarto conduttore. Pertanto, con un aumento del 33,3% del rame
impiegato (nell'ipotesi di adottare per il quarto filo una sezione pari a quella di ogni fase) si ha
una aumento della potenza del 73,2% .
14
7.2. Sistemi trifasi a quattro fili, con quarto filo di impedenza non nulla.
Si tratta di sistemi per i quali l'ipotesi precedentemente assunta non è quantitativamente
sostenibile.
Nel seguito è mostrato un esempio dei metodi di studio adottabili per la risoluzione di questi
sistemi, con riferimento al circuito rappresentato in fig. 15. La risoluzione di questo circuito
può essere fatta applicando i metodi di uso generale per l'analisi delle reti, quali le equazioni di
Kirchhoff:
 I1  I 2  I 3  I 0  0

 E1  Z1  I1  Z 0  I 0  0

E 2  Z 2  I 2  Z 0  I 0  0
E  Z  I  Z  I  0
3 3
0 0
 3
La risoluzione di questo sistema fornisce direttamente le quattro correnti cercate.
Fig. 15. Sistema trifase a quattro fili, con quarto filo di impedenza non nulla.
Esempio 1
Si abbia un sistema trifase simmetrico a tre fili, con tensione nominale Vn = 400V, che alimenta un
carico equilibrato connesso a triangolo ed uno connesso a stella, con impedenza rispettivamente di
valore:
Z a  Ra  j  X a =(30 + j21) 
Z b  Rb  j  X b =(60 + j24) 
Il circuito è riportato in fig. 01_es.
Le tre tensioni di fase hanno valore efficace:
V
E1  E2  E3  n = 230 V.
3
Si determinino:
 la corrente e le potenze attiva e reattiva fornita ai singoli carichi;
 la corrente all’interno del triangolo;
 la corrente di linea;
 la potenza attiva e reattiva erogata dal generatore;
 il fattore di potenza globale.
15
Fig. 01_es. Rete elettrica dell’esempio.
Si ricorda che, quando si parla della tensione di una rete trifase o di una macchina elettrica trifase, ci si
riferisce sempre alla tensione concatenata. Nei calcoli invece, poiché si fa uso del circuito equivalente
monofase, compare la tensione di fase.
Si applica il metodo esposto al par. 5.
In primo luogo si trasforma il carico a triangolo nella stella equivalente:
Z aY 
Za
=(10 + j7.0) 
3
Si hanno ora due carichi trifase a stella equilibrati. I centri stella sono allo stesso potenziale del centro
stella teorico G (centro stella del generatore di f.e.m.). E’ quindi possibile ottenere il circuito equivalente
monofase di fig. 02_es:
Si consideri il fasore E1 sull’asse reale: E1  E1 .
La corrente fornita al primo carico vale:
Ia 
E1
 I a  e  ja = (15.4 – j10.8) A = 18.8 e – j35.0° A
Z aY
Le potenze attiva e reattiva fornite al carico a valgono:
Pa  3  E1  I a  cos a   3  Vn  I a  cos a  = 10.6 kW;
Qa  3  E1  I a  sin  a   3  Vn  I a  sin  a  = 7.46 kvar (potenza reattiva induttiva).
Fig. 02_es. Circuito equivalente monofase della rete di fig. 01_es.
16
Il fattore di potenza vale cos(a) = 0.819 R (R: ritardo).
Analogamente per il secondo carico:
Ib 
E1
= (3.30 – j1.32) A = 3.56 e – j21.8° A
Zb
Le potenze attiva e reattiva fornite al carico b valgono:
Pb = 2.28 kW
Qb = 0.912 kvar (potenza reattiva induttiva).
Il fattore di potenza vale cos(b) = 0.928 R .
La corrente all’interno del triangolo ha valore efficace minore della corrente di linea del carico stesso:
I
I   a = 10.9 A .
3
Il collegamento a triangolo ha il vantaggio di ridurre la corrente all’interno del triangolo di 1.73 volte
rispetto alla corrente di linea: in tal modo si possono utilizzare conduttori di sezione minore. La tensione
applicata alla singola impedenza è però quella concatenata (400V) e non quella di fase (230V).
La corrente di linea (fornita dal generatore) vale:
I g  I a  I b = (18.7 – j12.1) A = 22.3 e – j32.9° A
La conservazione delle potenze attiva e reattiva consente di valutare algebricamente la potenza erogata
dal generatore:
Pg = Pa + Pb = 12.9 kW
Qg = Qa + Qb = 8.37 kvar (potenza reattiva induttiva)
Ag  Pg2  Q g2 = 15.4 kVA
Il fattore di potenza globale è pari a:
cos( g ) 
Pg
Ag
= 0.840 R
Tale valore è minore di 0.90, per cui l’insieme dei carichi richiede di essere rifasato tramite una batteria
di condensatori, posta in parallelo.
17
3. RICHIAMI SUL CAMPO MAGNETICO.
1. Generalità.
Si definisce campo magnetico una regione di spazio dove un pezzo di magnetite (FeOFe2O3) è
sottoposto a delle forze.
Nel corso di Fisica, si è visto che il campo magnetico è definito localmente da due grandezze:
 vettore induzione magnetica B , la cui unità di misura è il tesla (T);
 vettore forza magnetica (o intensità del campo magnetico) H , la cui unità di misura è
ampere/metro (A/m).
Tra questi due vettori esiste la relazione:
B H ,
dove  è la permeabilità magnetica del mezzo in cui si svolge il campo. L'unità di misura della
permeabilità magnetica è henry/metro (H/m).
E' diffuso esprimere la permeabilità come:
  0 r ,
dove:
0 è la permeabilità del vuoto (0 = 410-7 H/m);
r è la permeabilità relativa del materiale rispetto a quella del vuoto. E' una grandezza
adimensionale.
Per lo studio delle macchine elettriche, si distinguono:
 materiali caratterizzati da permeabilità costante e praticamente pari a quella del vuoto
0;
 materiali (detti ferromagnetici) la cui permeabilità magnetica dipende dai valori di B o
H. La permeabilità relativa assume valori molto maggiori dell'unità (r  103  104). Di
essi si parlerà più avanti.
2. Circuiti magnetici.
Si faccia riferimento al nucleo toroidale avvolto di fig. 01.
Si tratta di un nucleo magnetico toroidale, caratterizzato da un diametro interno Di e da un
diametro medio di sezione Dm (si supponga che la differenza fra i due diametri sia piccola
rispetto al valore di ciascuno: nucleo sottile); sia A la sezione retta del nucleo, il cui materiale
magnetico costitutivo sia di tipo lineare ed isotropo (le sue proprietà intrinseche non cambiano
al variare dell'intensità del campo magnetico e della direzione considerata). Attorno al nucleo
sia avvolto un conduttore, a costituire un solenoide di N spire; queste siano uniformemente
distribuite e percorse da corrente continua di valore I.
Con tale disposizione il campo magnetico risulta confinato all'interno del nucleo, in ogni punto
è diretto parallelamente alla tangente alla linea media (di diametro Dm) ed ha il verso indicato
in figura; inoltre, l'induzione magnetica B risulta uniforme in tutti i punti della sezione A.
La quantità  m    Dm rappresenta la lunghezza media del nucleo magnetico.
Si definisce "circuito magnetico" un tubo di flusso del vettore induzione magnetica, ad esempio
il nucleo toroidale di fig. 01.
La legge di Ampere o della circuitazione comporta che:
H  lm  N  I
,
18
 il primo membro di questa relazione (H·lm) può essere interpretato come risultato della
circuitazione del vettore H lungo la linea media lm, linea chiusa di integrazione;
 il secondo membro della suddetta relazione (N·I) è la corrente totale concatenata con il
circuito magnetico costituito dal nucleo toroidale.
La quantità (N·I), che costituisce la corrente di eccitazione del campo magnetico, è detta forza–
magneto–motrice (f.m.m.) ed è usualmente indicata col simbolo M (unità di misura ampere–
spire [A]).
Fig. 01. Nucleo magnetico toroidale: esempio di
circuito magnetico.
Fig. 02. Solenoide costituito da N spire, percorse dalla
corrente I.
Nel caso generale di un campo magnetico non uniforme, la suddetta relazione si generalizza
nella seguente forma:
H  dl  N  I ;

dove N·I è la corrente totale concatenata con la linea di integrazione. Questa relazione, nota con
il nome di legge della circuitazione di Ampère, si enuncia così:
"la circuitazione del vettore forza magnetica H lungo una linea chiusa è pari alla totale
corrente concatenata con tale linea (f.m.m. complessiva)".
Il valore della f.m.m. agente lungo una linea è dato dalla corrente totale con cui la linea è
concatenata; un caso tipico è quello di avvolgimenti a forma di solenoide, nei quali tutte le
spire sono percorse dalla medesima corrente (v.fig. 02).
Se N è il numero di spire dell'avvolgimento e I è la corrente che lo percorre, la sua f.m.m. è
espressa da:
M = N·I .
Il senso della corrente e quello della corrispondente f.m.m. sono legati dalla regola della vite
destrorsa: disponendo la vite col suo asse nella direzione della corrente e facendola ruotare, il
senso di rotazione e quello di avanzamento individuano rispettivamente i sensi corrispondenti
della corrente e della f.m.m.. Correlativamente, disponendo la vite col suo asse nel senso
d'azione della f.m.m. e facendola ruotare in senso destrorso, il senso d'avanzamento individua
appunto il senso della f.m.m. e la rotazione d'anello della corrente.
Nella fig. 02 il verso delle grandezze dirette normalmente al piano del disegno è rappresentato
con un punto o con una croce a seconda che la grandezza sia rivolta verso l'osservatore o in
senso contrario. Si ricorda, infine, che il senso di una f.m.m. si indica anche per mezzo della
sua polarità, collocando il Nord nel verso dove essa esce dall'avvolgimento che la produce e il
Sud nel verso dove vi entra.
Si consideri ora un circuito magnetico, costituito da tubi di flusso variamente collegati fra di
loro: attorno ad alcuni di questi tubi siano disposti degli avvolgimenti, costituiti da spire
percorse da correnti continue.
19
In tale sistema la legge di Ampère (che può essere scritta per un qualsiasi cammino chiuso)
risulta di utile impiego quando venga applicata alla linea media delle maglie magnetiche (vedi
fig. 03); conviene in tal caso spezzare l'integrale di linea di H in tanti contributi quanti sono i
"p" tronchi di tubo di flusso contenuti nella maglia. Se vi sono "q" f.m.m. agenti lungo la
maglia considerata, si ha:
p
l
q
H  dl 
k 1
k
Mh
.
1
Quando poi la forza magnetica H sia costante lungo ciascun tronco di lunghezza lk, la relazione
scritta si semplifica come segue:
p
q
k 1
1
 H k  lk   M h
.
Fig. 03 Esempio di circuito magnetico.
Si consideri vera la circostanza (frequente in molte applicazioni e comunque sempre verificata
per strutture magnetiche del tipo di fig. 03) che la linea chiusa l passi per punti caratterizzati da
assenza di correnti; in altre parole si faccia l'ipotesi che tali correnti siano, al più, concatenate
con la linea considerata, ma questa si sviluppi lungo punti dello spazio non interessati da
correnti: pertanto lungo la linea l il vettore H è irrotazionale. Allora è possibile definire una
funzione scalare potenziale magnetico U, in perfetta analogia a quanto avviene per il campo di
conduzione (con V potenziale elettrico).
In base a questa osservazione, si chiama tensione magnetica o differenza di potenziale
magnetico (d.d.p.m.) la quantità:
U U A U B 
B
 A H  t dl  H  l AB
.
In tal modo la legge di Ampère assume il seguente aspetto:
p

k 1
q
Uk 
Mh
.
1
Tale relazione è formalmente identica a quella relativa alle maglie elettriche, già nota sotto il
nome di legge di Kirchhoff delle tensioni, e si enuncia così:
"la somma delle tensioni magnetiche misurate ordinatamente lungo i lati di una maglia
magnetica uguaglia la somma delle f.m.m. agenti".
20
Ad esempio, con riferimento alla maglia di fig. 03, assunto il verso orario come verso di
percorrenza della maglia, si può scrivere:
8
 H k  l k  N1  I 1  N 2  I 2
k 1
.
Il segno meno davanti alla f.m.m. del tronco 2 si giustifica osservando che, in base alla regola
della vite destrorsa, il senso di tale f.m.m. è opposto al verso di percorrenza della maglia.
Se ora si pone l'ulteriore ipotesi di campo uniforme in ciascuna sezione di ogni tronco di
circuito magnetico, la tensione magnetica ai "capi" di tale tronco può essere espressa come
segue:
Bk
l
 l k  B k  Ak  k   k   k

  Ak
U k  H k  lk 
 k : flusso nel generico tronco k-esimo, misurato in weber [Wb];
 k : riluttanza del generico tronco k-esimo, misurata in henry-1 [H-1].
Pertanto la legge delle tensioni per i circuiti magnetici può essere scritta come segue:
p

q
 k  k 
k 1
Mh
.
1
3. Legge di Hopkinson (o legge di Ohm magnetica).
Con riferimento ai circuiti elettrici, nella sua forma più generale la legge di Ohm si applica ad
un tronco di un circuito nel quale circola corrente e nel quale agiscono eventualmente una o più
forze elettromotrici. Si assume come direzione convenzionale positiva per la corrente quella
che va da A a B; una f.e.m. o una d.d.p. positive tendono a far circolare una corrente positiva.
Detta V = VA – VB (v. fig. 04), la legge di Ohm si scrive: V + E = R·I.
In modo analogo la legge di Hopkinson (v. fig. 05): in un tronco di circuito magnetico,
interessato dal flusso , nel quale agisca eventualmente una f.m.m. M (o più f.m.m. di valore
risultante M) ed ai capi del quale esista una d.d.p.m. U, vale la seguente relazione:
U  M  
Fig. 04. Legge di Ohm per un tronco di circuito
elettrico.
.
Fig. 05. Legge di Hopkinson per un tronco di circuito
magnetico.
In essa si è indicata con  la riluttanza del tronco di circuito, dipendente dalla sezione, dalla
lunghezza lAB e dal materiale magnetico di cui è costituito. Per i segni vale la convenzione
analoga a quella illustrata per la legge di Ohm.
Il termine    rappresenta la caduta di tensione magnetica (c.d.t.m.) sulla riluttanza .
D.d.p.m., f.m.m., c.d.t.m. sono grandezze omogenee (tensioni magnetiche), la cui unità di
misura è [A].
21
Dei tre casi particolari per la legge di Ohm dei circuiti elettrici, il primo (quello di I=0) non ha
riscontro nel caso del tronco di circuito magnetico, dato che in natura non esistono materiali
isolanti magnetici, capaci di opporre al passaggio del flusso una riluttanza praticamente infinita.
Di conseguenza non può esistere una f.m.m. a circuito aperto: un circuito nel quale agisca una
f.m.m. è sempre interessato da flusso.
Il secondo e terzo caso si verificano invece anche nei circuiti magnetici:
 circuito chiuso (U = 0). Risulta: M     cioè la risultante delle f.m.m. agenti uguaglia
la totale c.d.t.m. nel circuito;
 tronco di circuito senza f.m.m. (M = 0). Risulta: U     cioè la d.d.p.m. ai morsetti
uguaglia la c.d.t.m. nel tronco.
Si usa spesso anche l'espressione reciproca:     U , nella quale   1     A l è la
permeanza del circuito.
4. Calcolo di riluttanze e studio dei circuiti magnetici.
Il calcolo di una permeanza o di una riluttanza è generalmente piuttosto complesso e incerto,
per le seguenti ragioni:
 tolti pochi casi semplici, il campo non ha configurazione uniforme; i tubi risultano di
sezione variabile e difficili da determinare in modo rigoroso;
 la permeabilità dei materiali magnetici è fortemente variabile al variare dello stato di
magnetizzazione.
Esistono pochi casi nei quali è possibile studiare il campo magnetico con metodo analitico.
Tuttavia, nella maggior parte delle situazioni possono essere sufficienti metodi grafici per il
tracciamento delle linee di flusso ed equipotenziali; diversamente, è necessario studiare il
problema in forma numerica, con l'uso del calcolatore.
Dalle considerazioni precedenti, in numerose occasioni è già emersa l'analogia formale tra
leggi, grandezze e proprietà dei campi e dei circuiti elettrici e magnetici: in base a tale
proprietà, un sistema magnetico può essere studiato con le stesse metodologie utilizzate per
studiare un sistema elettrico. A tale scopo è sufficiente tenere presente le grandezze che si
corrispondono nella analogia, come riportato nel seguente schema:
Grandezze elettriche
f.e.m. [V]
Tensione (o c.d.t.) [V]
Corrente [A]
Densità di corrente [A/mm2]
Grandezze magnetiche
f.m.-m. [A]
Tensione magnet. (o c.d.t.m.) [A]
Flusso [Wb]
Induzione magn. (densità di flusso)
[Wb/m2 =T]
Forza elettrica [V/m]
K
Forza magnetica [A/m]
Conduttività[S/m]
Permeabilità [H/m]

Resistività [m]

Riluttività [H-1m]
R
Resistenza []
Riluttanza [H-1]
Conduttanza [S]
G
Permeanza [H]
1H = 1s (henry); 1Wb = 1Vs (weber); 1Wb/m2 = 1T (tesla)
E
V
I
S
M
U

B
H

1


L'osservazione di questa tabella suggerisce un utile metodo per risolvere i circuiti magnetici: il
dispositivo magnetico da studiare viene schematizzato con una rete a parametri concentrati
nella quale, in forza della analogia elettrico-magnetica, le f.m.m. vengono rappresentate con
bipoli generatori di "tensione magnetica" M ed i tronchi in materiale magnetico, costituenti i
tubi di flusso, vengono raffigurati con riluttanze.
Al fine di una più efficace visualizzazione, si possono anche adottare gli stessi simboli
circuitali dei circuiti elettrici (simbolo di generatore di f.e.m. per la f.m.m. e quello di resistenza
22
per la riluttanza), purché si ricordi che i fenomeni rappresentati rimangono fisicamente diversi,
pur se trattati in modo analogo.
I metodi di analisi delle reti magnetiche sono simili a quelli impiegati per risolvere le reti
elettriche; ad esempio, impiegando le equazioni di Kirchhoff, si opera nel seguente modo:
 lungo i diversi "lati magnetici" della rete si indicano le convenzioni di misura dei flussi
, come fossero delle correnti;
 si scrivono tante equazioni dei flussi ai nodi quanti sono i nodi (n) della rete meno uno:
ln
k 0
(n–1 equazioni) ;
k 1
 si scrivono tante equazioni delle tensioni magnetiche quante sono le maglie magnetiche
indipendenti (l-n+1) della rete:
lm
U k  0
(l–n+1 equazioni) ;
k 1
 si scrive una equazione di Hopkinson (Ohm magnetica) per ogni lato della rete:
U  M   .
Più semplicemente, si applica il metodo di analisi alle maglie studiato per i circuiti elettrici.
Esempio 1.
Si consideri il nucleo in ferro di fig. 01_es, in cui la colonna centrale presenta un traferro di spessore .
La lunghezza dei diversi tronchi sia d e la sezione sia A. Il nucleo in ferro abbia permeabilità magnetica
relativa costante e pari a r. Due avvolgimenti, di N1 e N2 spire, siano avvolti sulla prima e terza
colonna. Essi siano alimentati dalle tensioni V1 e V2 e percorsi dalle correnti I1 e I2.
Si faccia inoltre l'ipotesi che tutto il flusso sia confinato nei soli tronchi del nucleo magnetico, senza
dispersioni (tutte le spire di ogni bobina concatenano lo stesso flusso).
Ricavare la rete elettrica equivalente al circuito magnetico (più brevemente, il circuito magnetico
equivalente), le espressioni ed i valori delle riluttanze dei diversi tronchi ed il flusso al traferro.
d=50 mm; =1 mm; A=100 mm2;
N1=1000; N2=100; I1=1 A; I2=2 A;
0=4 10-7 H/m: permeabilità magnetica del vuoto;
r=5000: permeabilità relativa;
Fig. 01_es. Nucleo in ferro avvolto da due bobine.
Fig. 02_es. Rete elettrica equivalente al circuito
magnetico (circuito magnetico equivalente).
La rete elettrica equivalente al circuito magnetico è riportata in fig. 02_es. Si calcolano ora le riluttanze
dei singoli tronchi del circuito magnetico (fisico), le cui lunghezze medie vanno valutate con riferimento
ai nodi magnetici h e k:
23
1  2 
1
3 d
= 2.39 105 H-1

0  r A
;  
d 


1
2 

= 0.390 105 H-1
3a  3b 

A
0  r
1 
 = 79.6 105 H-1
0 A
[1 H = 1  s , henry]
Si noti che  >> 3a = 3b. Seppur di spessore molto minore della lunghezza dei tronchi in ferro, la
riluttanza del traferro è maggiore di quella dei tronchi ferromagnetici; ciò è dovuto all’alta permeabilità
magnetica del ferro.
Sia: 3  3a    3b = 80.4 105 H-1 .
Le permeanze magnetiche risultano pari a:
1   2 
1
= 4.19 10-6 H
1
Le f.m.m. sono pari a:
 
1
= 0.126 10-6 H

M 1  N1  I1 = 1000 A;
3   
M 2  N 2  I 2 = 200 A.
Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni magnetiche alla prima e seconda maglia e la legge dei
flussi ad uno dei due nodi, il sistema di equazioni risolvente è:
M 1  1  1  3   3

M 2  2   2  3   3
      0
2
3
 1
da cui:
1 
2  3   M1  3  M 2 = 2.54 10-3 Wb
1  2  1  3  2  3
3 
2 
3  M 1  1  3   M 2
= 2.49 10-3 Wb
1  2  1  3  2  3
2  M 1  1  M 2
= 0.0491 10-3 Wb
1  2  1  3  2  3
[1 Wb = 1 V s , weber]
Dato l’alto valore della riluttanza 3, il flusso nella colonna centrale è molto minore del flusso nelle due
colonne laterali.
Se il traferro in aria non esistesse ( = 0), si avrebbe:
 
1 
 =0
0 A
Inoltre: 3 
d 
 
1
2
3a  3b 
   = 0.398 105 H-1
A
0  r
3  3a    3b = 0.796 105 H-1.
1
1
 1   2 . Sostituendo, si ha:
3
3
1 
4  M1  M 2
= 3.52 10-3 Wb
15  3
3 
2 
M1  4  M 2
= 1.51 10-3 Wb
15  3
M1  M 2
= 2.01 10-3 Wb
5  3
24
5. La legge della induzione elettromagnetica.
Si consideri una spira immersa in un campo magnetico.
La causa di tale campo può essere qualunque: in particolare, possono verificarsi una o più fra le seguenti
condizioni:
 il campo può essere generato dalla corrente circolante nella spira stessa (che quindi deve essere
chiusa);
 il campo magnetico può essere generato da una sorgente esterna, quale una o più correnti
circolanti in altri avvolgimenti nelle vicinanze, magneti permanenti o simili.
Si definisce flusso concatenato, e si indica con c, il flusso che attraversa la spira considerata: tenuto
conto che la spira costituisce un cammino chiuso e che tutti i tubi di flusso, comunque generati, sono
pure chiusi, il flusso attraversante l'area racchiusa dalla spira risulta con essa concatenato, al pari degli
anelli di una catena (di qui il nome di flusso concatenato).
Supponiamo che il flusso concatenato c sia variabile nel tempo:  c   c t  .
La causa di tale variazione può essere qualunque, potendosi verificare una o più fra le condizioni
seguenti:
 il campo magnetico cui c è associato può variare nel tempo, perchè ad esempio variano nel
tempo le correnti (o la corrente) che lo producono, restando invariata nel tempo la
configurazione geometrica del sistema (costituito dall'insieme della spira e dei dispositivi di
sostegno del campo);
 il campo magnetico non varia nel tempo, ma vi è moto relativo tra la spira ed il sostegno del
campo, con conseguente variazione del flusso c concatenato con la spira;
 la spira è soggetta a deformazione meccanica, con conseguente modifica dell'area da essa
abbracciata e del corrispondente flusso concatenato c.
In corrispondenza di una qualunque di queste cause di variazione di flusso concatenato nel
tempo, si verifica sperimentalmente (legge di Faraday) che nella spira viene indotta una f.e.m.
(e) di valore, in modulo:
e
d c
dt
Per poter precisare il segno nella espressione scritta, è necessario indicare le modalità di misura.
In fig. 06.a, 06.b sono precisate tali modalità: per ragioni di maggior comprensibilità, si è
schematizzato il tubo di flusso concatenato con la spira come costituito da un tronco fisico di
circuito magnetico. Tuttavia quanto segue vale in generale, anche per una spira disposta in aria.
In fig.06.a il flusso concatenato perfora la spira dal basso verso l'alto: se, in termini di
convenzioni di misura, si decide di legare il verso della f.e.m. indotta (e) al verso del flusso c
con la regola della vite destrorsa (già adottata per le f.m.m.), la f.e.m. risulta agente lungo la
spira con il verso indicato. A tale senso d'azione della f.e.m. corrisponde, per la misura della
f.e.m. ai morsetti della spira per mezzo di un voltmetro ideale a valori istantanei, la inserzione
rappresentata.
Con tali convenzioni di misura, l'esperienza mostra il seguente risultato, in tutti i possibili casi:
se il flusso concatenato c sta crescendo nel tempo (cioè dc/dt > 0), il voltmetro a valori
istantanei evidenzia valori negativi e viceversa. Perciò con queste modalità di misura la legge
dell'induzione si scrive:
e
d c
dt
.
25
Se, invece, si conviene di legare il verso della f.e.m. a quello del flusso con la regola opposta
a quella della vite destrorsa, allora nella precedente espressione compare il segno positivo (fig.
06.b):
e
Fig. 06.a Convezione di misura della f.e.m. indotta con
la regola della vite destrorsa.
d c
dt
.
Fig. 06.b Convezione di misura della f.e.m. indotta con
la regola della vite sinistrorsa.
La presenza del segno negativo associato alla prima modalità di misura illustrata ha un preciso
significato fisico, tanto da aver meritato di essere ricordata come legge di Lenz: tale significato, valido in
generale, si può facilmente illustrare nel caso in cui il campo magnetico sia prodotto da una corrente che
percorre la spira stessa. Si supponga (v. fig. 07) che la spira sia di resistenza R e sia chiusa su un
generatore di tensione costante E. In assenza di una qualunque perturbazione, la corrente i che percorre
la spira è pari a i=(E/R)=costante, per cui è pure costante il flusso concatenato c, diretto come mostrato
in figura, in base al verso della corrente ed alla regola della vite destrorsa relativa alle f.m.m..
Ipotizziamo ora che, a causa di una perturbazione di natura qualsiasi, la corrente subisca un incremento
infinitesimo pari a di: a tale incremento segue un aumento della f.m.m. e quindi del flusso concatenato.
Se fisicamente la f.e.m. e (misurata come legata a c con la regola della vite destrorsa) fosse pari a
e=dc/dt, essa agirebbe concordemente con la f.e.m. E del generatore; quindi condurrebbe ad un
ulteriore incremento di corrente, cioè di f.m.m., con conseguente aumento di flusso concatenato, e così
via, fino a valori infiniti di corrente e di flusso. Il sistema sarebbe perciò fisicamente instabile,
circostanza del tutto contraddetta dall'esperienza.
In modo perfettamente analogo si riconosce che, ad una iniziale perturbazione che porti ad una
riduzione della corrente, conseguirebbe un progressivo incremento della corrente e del flusso, con versi
opposti ai precedenti e con evoluzione ugualmente instabile.
Pertanto le convenzioni di misura scelte per indicare il verso della f.e.m. indotta devono rendere conto
della stabilità di ogni circuito elettrico, non tanto con l'uso o meno del segno meno nella formula, quanto
con la coerenza intrinseca di tali convenzioni al suddetto principio di stabilità: il segno meno è
necessario se si assume la f.e.m. agente nella spira legandone il verso a quello del flusso con la regola
della vite destrorsa; tale segno non deve essere impiegato se si adotta la convenzione di misura opposta.
Fig. 07. F.e.m. indotta in una bobina dalla variazione della corrente in essa circolante.
26
Si consideri ora una bobina costituita da N spire, immersa in un campo magnetico variabile nel tempo.
La generica spira k della bobina risulta concatenata con un flusso ck, in generale di valore diverso da
spira a spira; per effetto di tale flusso concatenato, nella spira k viene indotta una f.e.m. di valore:
d c k
ek  
dt
La f.e.m. complessiva (e), indotta in tutta la bobina di N spire e misurabile con un voltmetro ideale ai
morsetti della bobina stessa, è dunque pari a:
e

 ek    
k
k
d c k 
d

dt 
dt


 c k 
 k


.
Si definisce flusso totale concatenato con la bobina la quantità:
c 
 c k
k
pari alla somma dei flussi concatenati con ciascuna spira costituente la bobina.
Nel caso particolare in cui le N spire della bobina concatenino lo stesso flusso  (si pensi ad esempio al
nucleo di fig. 06a,b, attorno al quale sia posta non una sola spira ma una bobina di N spire e nel quale
risulta confinato tutto il flusso del campo), si può scrivere la seguente relazione:
c 
 c k  N  
k
cioè il flusso totale concatenato con l'avvolgimento è pari al numero di spire moltiplicato per il flusso
concatenato da ciascuna spira.
La legge della induzione nella formulazione finora considerata (e = – dc/dt) viene
usualmente denominata legge generale della induzione elettromagnetica: essa, infatti, si applica
in tutte le possibili situazioni descritte inizialmente ed è dunque di validità del tutto generale.
Vi sono tuttavia dei casi in cui è possibile fare uso di formulazioni specifiche della legge della
induzione: particolarmente significativa è quella nota sotto il nome di "legge elementare della
induzione elettromagnetica".
La legge elementare della induzione non è di impiego generale, ma richiede che il campo
magnetico che interessa la spira abbia le seguenti caratteristiche: il vettore induzione B può
essere uniforme o disuniforme nello spazio, ma non deve variare nel tempo; il campo
magnetico deve perciò essere stazionario.
E' evidente che tale condizione è compatibile con l'insorgere di f.e.m. indotte solo nel caso di
moto relativo (o deformazione) della spira (o di una parte di essa) rispetto ai sostegni del
campo.
Detto l il cammino chiuso coincidente con il percorso lungo la spira, si può dimostrare che la
f.e.m. indotta nella spira (misurata agente nella spira legandone il verso a quello del flusso con
la regola della vite destrorsa) è pari a:

e  v x B  dl
dove:
 v è il vettore velocità (rispetto ai sostegni del campo) dell'elemento dl di spira
(elemento orientato, il cui versore è concorde con il verso in cui si misura la f.e.m.);
 il simbolo x indica il prodotto vettoriale fra vettori;
27
 B è il vettore induzione magnetica in corrispondenza dell'elemento d l considerato;
 il simbolo  indica il prodotto scalare fra vettori.
La qualifica di "elementare" attribuita alla precedente formulazione della legge della induzione è legata
precisamente al fatto che la f.e.m. viene calcolata come sommatoria integrale delle f.e.m. infinitesime
indotte in ogni elemento di spira. Si ricordi, però, che fisicamente la f.e.m. è sempre indotta in una spira
chiusa (perchè legata al flusso con essa concatenato) ed ha significato solamente come valore
complessivo; la sua valutazione frazionata, con l'attribuzione di contributi associati a singoli segmenti di
spira, costituisce solo un metodo di calcolo, talvolta molto utile nelle applicazioni.
L'osservazione dell'espressione della f.e.m. in forma elementare rende ragione del perché, per
consentirne l'uso, il campo debba essere stazionario: secondo tale formula, a generare la f.e.m. è solo
l'effetto del taglio relativo tra conduttore e campo, dovuto al moto relativo fra spira (o segmenti di spira)
e sostegni del campo. Poiché l'integrale è di linea, nessun contributo alla f.e.m. può venire dai punti
interni all'area della spira, in corrispondenza dei quali è quindi necessario che il campo non cambi nel
tempo.
L'espressione integrale mostrata si semplifica se la spira è composta da segmenti rettilinei e si osserva
che i prodotti fra vettori conducono ad un risultato equivalente a quello ottenibile considerando le
componenti normali reciproche di tali vettori: componente di velocità normale al campo e proiezione del
vettore v x B sul tratto di conduttore considerato.
Se poi i tre vettori v , B , l  sono tra loro perpendicolari, la f.e.m. indotta nel segmento di spira
di lunghezza l vale:
e  B l v
.
Per quanto riguarda il verso, si applica la "regola della mano destra": disponendo il pollice nel
senso del moto del conduttore rispetto ai sostegni del campo e l'indice nel senso del vettore
induzione B , il medio dà il verso della f.e.m. lungo il segmento considerato.
6. Flusso del campo e flusso concatenato.
Le considerazioni relative alla legge della induzione elettromagnetica suggeriscono di
analizzare in maggiore dettaglio le questioni relative ai tubi di flusso del campo magnetico ed al
loro concatenamento rispetto ad avvolgimenti immersi in tale campo.
Il flusso del campo è quello che interessa il complesso dei tubi del campo magnetico;
indicando con d il flusso di un tubo elementare, il flusso del campo è espresso da:

 d
dove l'integrale è esteso a tutto il volume nel quale si sviluppa il campo. In questo modo, tutti i
flussi infinitesimi d vengono sommati, indipendentemente dal loro concatenamento,
eventualmente diverso, con le spire costituenti l'avvolgimento (fig. 08).
Sia dato un circuito magnetico in cui tutte le linee di forza del vettore B concatenino in ugual
modo i conduttori della bobina percorsa da corrente che sostiene il campo (Fig. 09). E' il caso
tipico in cui il campo magnetico si svolge praticamente nei circuiti ferromagnetici. Si parla
quindi di flusso mediamente concatenato.
Si consideri il generico tubo di flusso elementare d; se I è la corrente nell'avvolgimento di N
spire, la f.m.m. che sostiene il tubo di flusso d è pari a M = N I.
d  M  d 
dove d è la permeanza del circuito magnetico elementare.
28
Il flusso totale concatenato (o, più semplicemente, flusso concatenato) con l'avvolgimento è
l'integrale dei flussi concatenati elementari, dc:

 c  d c
Fig. 08. Linee dei forza del campo magnetico prodotto da una bobina
in aria. d è il tubo di flusso elementare di un generico tubo di flusso
(indicato in tratteggio)
Fig. 09. Circuito magnetico in un materiale
ferromagnetico. Le linee di forza del campo
magnetico concatenano le spire in ugual
modo.
Il flusso dc è pari al flusso del tubo elementare (d), moltiplicato per il numero di spire N con
il quale tale tubo è concatenato. Pertanto l'espressione del flusso concatenato con la bobina è la
seguente:
 c  d c  N  d  N 2  I  d  I  N 2  d ,




cioè:
c  I  N 2 c

 c  d .
con
In effetti, nella formula per il calcolo del flusso concatenato c, il numero di concatenamenti
figura al quadrato. Ciò dipende dal fatto che le spire dell'avvolgimento intervengono due volte
nel fenomeno: in primo luogo a produrre la f.m.m. che eccita il flusso del campo; in secondo
luogo a costituire il numero dei concatenamenti fra flusso del campo ed avvolgimento.
In definitiva si può dire che:
 il flusso di ciascun tubo del campo rende conto della situazione prodotta dalla corrente
I che circola nelle N spire della bobina (cioè della f.m.m. N·I che sostiene il flusso di
tale tubo);
 il flusso del medesimo tubo, moltiplicato per il suo grado di concatenamento, rende
ragione dell'interazione avvolgimento–campo: il flusso totale concatenato, infatti, è la
grandezza da cui dipende la f.e.m. indotta nella bobina.
7. Induttanza (o autoinduttanza).
L'induttanza L di un circuito è un parametro che serve a studiare le relazioni fra la corrente
che percorre il circuito, il flusso prodotto da detta corrente (e concatenato col circuito) e la
f.e.m. indotta in esso dalla variazione di tale flusso: L è un parametro dipendente dalle
caratteristiche geometriche e fisiche del circuito magnetico concatenato con l'avvolgimento
considerato.
L'induttanza è definita dalla relazione:
L
c
I
,
29
dove I è la corrente che percorre il circuito e c è il flusso totale concatenato col circuito
(prodotto dalla sola corrente che lo percorre); ricordando le precedenti relazioni, l'induttanza di
un avvolgimento si può esprimere in funzione del suo numero di spire N e della permeanza c:
L  N 2 c .
Si deve sottolineare il fatto che il parametro autoinduttanza, essendo definito come rapporto
fra flusso concatenato autogenerato e corrente che lo genera, deve essere calcolato
considerando il solo flusso prodotto dalla bobina considerata: eventuali altri avvolgimenti
concatenati con lo stesso circuito magnetico devono essere neutralizzati, cioè si devono
considerare aperti.
La nozione di induttanza è particolarmente utile quando il circuito magnetico si svolge in un
mezzo a permeabilità costante; in tal caso, infatti, tale parametro risulta costante, in particolare
è indipendente dal valore della corrente che percorre il circuito.
Esempio 2
Si riprenda la struttura dell’esempio 1 (fig. 01_es) e si supponga aperto l’avvolgimento 2. Si mostra il
calcolo dell'induttanza dell'avvolgimento di N1 spire appartenente alla struttura magnetica di fig. 03_es:
Fig. 03_es. Struttura magnetica
Fig. 04_es. Circuito magnetico equivalente (cioè, rete
elettrica equivalente al circuito magnetico).
Facendo uso della analogia elettrica, la struttura magnetica di fig. 03_es può essere studiata mediante il
circuito magnetico di fig. 04_es, nel quale la bobina di N1 spire percorsa da corrente è rappresentata da
una f.m.m. M1=N1·I1 e le riluttanze dei tronchi magnetici sono state ricavate nell’esempio 1.
La risoluzione di questo circuito fornisce per il flusso 1 circolante nel tronco avvolto l'espressione:
1 
M1
tot
dove  tot  1 
 2  3
 2  3
L'induttanza della bobina vale:
L1 
Con traferro pari a =1 mm, L1 = 2.125 H;
 c1 N1  1 N12
.


I1
I1
tot
per = 0, L1 = 3.35 H.
Si consideri il circuito di fig. 03_es e si supponga che sia alimentato con una tensione variabile
nel tempo v1(t) (fig. 10). La corrente variabile nel tempo i1(t) produce il flusso magnetico 1(t);
questo induce nella bobina una f.e.m. che si oppone alla causa che l'ha generata (legge di
Lenz):
30
e1  
dc1
di
 L1  1
dt
dt
(regola della vite sinistrorsa)
(Si ricorda che le lettere minuscole rappresentano grandezze variabili nel tempo: e1  e1 t  . )
In fig. 10 si vede intuitivamente come la f.e.m. e1 si opponga al passaggio della corrente i1.
Inoltre, nella formula la f.e.m. e1 è stata espressa mediante il parametro induttanza L1.
In altre parole, l'induttanza L1 è un parametro che rende ragione dell'interazione tra la bobina,
percorsa da corrente, ed il campo magnetico da essa prodotto. Tale interazione si manifesta
come f.e.m. indotta nella bobina, che si oppone alla causa che l'ha generata (legge di Lenz).
La legge di Ohm per la bobina è:
v1  R1  i1  e1  0
v1  R1  i1  L1 
d i1
dt
Tale equazione viene rappresentata dal circuito equivalente di fig. 11.
Fig. 10. Rete elettrica (fisica) in regime variabile. Essa crea un
campo magnetico che induce una f.e.m. nella bobina. La f.e.m.
indotta si oppone alla corrente che l’ha determinata (regola di misura
della vite sinistrorsa).
Fig. 11. Circuito elettrico equivalente della
struttura di fig. 10.
8. Mutua induttanza.
Si consideri un nucleo in ferro, di permeabilità magnetica infinita, su cui sono avvolte due
bobine (Fig. 12): la bobina 1, di N1 spire, è percorsa dalla corrente i1, mentre la bobina 2, di N2
spire, non è percorsa da corrente. Il campo magnetico, prodotto dalla sola bobina 1, è costituito
da linee di flusso che si sviluppano nel nucleo ferromagnetico. E' evidente che tutte le linee di
flusso devono avere un concatenamento con la bobina alimentata, perchè devono essere tutte
sostenute da una f.m.m. . Solo una parte di esse concatena la bobina 2.
Le mutue induttanze sono parametri analoghi alle auto-induttanze: esse servono a rendere
ragione degli effetti, su un circuito, delle correnti circolanti in un altro circuito.
Si consideri alimentato il solo avvolgimento 1, essendo la bobina 2 a morsetti aperti: si vuole
valutare il flusso concatenato con la bobina 2 per effetto della corrente i1 circolante
nell'avvolgimento 1. Il flusso 2, sostenuto dalla bobina 1 e concatenato con la bobina 2, è pari
a:
2 
3
3
 1 

 2  3
 2  3
 3  N 1  i1
m1

  12  N1  i1 .
 2  3
1   2  1   3   2   3
1 
 2  3
31
Fig. 12.b. Circuito elettrico equivalente del
circuito magnetico.
Fig. 12.a. Parte del flusso prodotto dalla corrente i1 concatena
l’avvolgimento 2 e vi induce la f.e.m e2.
Esso concatena le N2 spire della bobina 2. Si definisce flusso totalmente concatenato con la
bobina 2, sostenuto dalla bobina 1, la quantità:
 c 12  N 2   2  N 2  N 1   12  i1 .
Si definisce mutua induttanza dell'avvolgimento 2 rispetto all'avvolgimento 1 alimentato la
quantità:
L12 
 c 12
i1
.
Inserendo in questa relazione di definizione l'espressione del flusso c12 si ottiene:
L 12  N1  N 2  12 .
Lasciando inalterate le bobine e la loro posizione reciproca, si immagini ora di alimentare
solamente la bobina 2, essendo la 1 a morsetti aperti: è evidente che valgono tutti i discorsi fatti
in precedenza, pur di scambiare il pedice 1 con 2 e viceversa.
Si può definire anche in questa situazione un parametro di mutua induttanza, pari a:
L21 
 c 21
i2
;
L 21  N1  N 2   21 .
L'esperienza mostra che le due mutue induttanze sono uguali fra loro (principio di reciprocità),
cioè:
L12 = L21 .
Questa uguaglianza è d'altra parte dimostrabile in base a considerazioni teoriche che indicano
come l'eguaglianza delle mutue induttanze è verificata alla sola condizione che l'intero
fenomeno si svolga in un mezzo esente da fenomeni dissipativi, ma non necessariamente
normale.
Si può dunque definire una unica mutua induttanza, indicandola con Lm.
La mutua induttanza rende ragione dell'interazione tra il campo magnetico, sostenuto dalla
bobina 1, con la bobina 2. tale interazione si manifesta come f.e.m. indotta nella bobina 2:
e2 
d c12
di
 Lm  1 .
dt
dt
32
Grazie a questo fenomeno è possibile trasferire potenza elettrica dalla bobina 1 alla 2.
Osservando il circuito magnetico di fig. 12.a, 12.b, si nota come, del flusso magnetico 1
prodotto dalla bobina 1, solo una parte si concateni con la seconda bobina (2). La rimanente
quota (3) viene definita flusso disperso perché non ha alcun effetto utile, relativo al
trasferimento di potenza dalla bobina 1 alla 2.
Mentre l'autoinduttanza non può che essere positiva, la mutua induttanza può essere positiva o
negativa: infatti, quando si consideri un solo avvolgimento alimentato, il flusso con esso concatenato può
avere, rispetto a tale avvolgimento, un unico verso, definito dalla regola della vite destrorsa. Viceversa,
quando si consideri il concatenamento con un avvolgimento diverso da quello alimentato, il verso del
flusso non è più prefissato a priori: pertanto, per definire il segno della mutua induttanza è necessario
conoscere il senso di avvolgimento delle bobine attorno al circuito magnetico e conoscere i versi delle
correnti circolanti.
Contrassegnato un morsetto di ciascun avvolgimento (la scelta è a piacere), si deve confrontare il verso
dei flussi concatenati, valutati nelle due seguenti, distinte condizioni di funzionamento:
 è alimentato il solo avvolgimento 1, con una corrente i1 di verso positivo (ad esempio entrante
dal morsetto contrassegnato): si osserva il verso del flusso che concatena l'avvolgimento 2;
 ora è alimentato il solo avvolgimento 2, con una corrente i2 di verso positivo (ad esempio
entrante dal morsetto contrassegnato): se il verso del flusso prodotto da 2 e con esso
concatenato è concorde con quello che in esso circolava quando era prodotto da 1, la mutua
induttanza è positiva; se i versi dei due flussi sono discordi, la mutua induttanza è negativa.
Il confronto può essere effettuato anche con riferimento ai versi delle rispettive f.m.m., verificando che
tali f.m.m., pensate agenti separatamente e successivamente, siano cospiranti (cioè producano flussi
concordi, in uno dei due avvolgimenti, scelto a piacere): poiché per ciascuna bobina vi sono due
morsetti, e l'avvolgimento può essere avvolto in modo destrorso o sinistrorso attorno al circuito
magnetico, sono possibili i quattro casi illustrati in fig. 13.
Fig. 13. Segno del coefficiente di mutua induttanza.
Esempio 3
Come esempio di applicazione dei coefficienti di auto e mutua induttanza si consideri la struttura
magnetica di fig. 12.a riportata in fig. 14.a, costituita da un nucleo magnetico a tre colonne di cui sono
noti il materiale (con µ=costante) e le dimensioni: due bobine, avvolte come in figura, siano percorse da
due correnti, i1 e i2, entrambe funzioni del tempo con legge assegnata.
33
L'equivalente circuito magnetico è rappresentato in fig. 14.b, nella quale sono messe in evidenza le
f.m.m. m1=N1·i1 ed m2=N2·i2 e le convenzioni di misura dei flussi.
La soluzione completa di questo circuito magnetico è stata ricavata nell’esempio 1 e viene qui riportata:
  3

1  2
 m1  3  m2
D
D

  3
 2  3  m1  1
 m2
D
D


3  2  m1  1  m2
D
D
D  1  2  1  3  2  3
Fig. 14.a
Fig. 14.b
Calcolando i flussi concatenati con i due avvolgimenti e mettendo in evidenza le correnti si ottiene:
  3 
 


 c1  N 1  1   N12  2
 i1   N1  N 2  3   i 2

D 
D


 
  3 


 c 2  N 2   2   N 1  N 2  3   i1   N 22  1
 i2 .
D
D 



L’autoinduttanza della seconda bobina vale:
  3
1  3
.
L2  N 22  1
 N 22 
D
1  2  1  3  2  3
La mutua induttanza Lm è pari a:

3
  


Lm   N1  N 2  3    N1  N 2 
D 
1  2  1  3  2  3 

Il segno è positivo.
E’ possibile definire il coefficiente di mutuo accoppiamento k tra le due bobine:
k
Lm
L1  L2
Con i dati di cui all’esempio 1 si ricava:
 [mm]
L1 [H]
L2 [H]
Lm [H]
k
0
3.35
0.0335
0.0838
0.250
1
2.13
0.0213
0.206
0.971
Il coefficiente di accoppiamento k tra le due bobine risulta essere tanto più elevato quanto minore è il
flusso nella colonna centrale, cioè il flusso “disperso”, così detto perchè non concatena le due bobine.
34
Nella situazione di ambedue gli avvolgimenti alimentati, i flussi concatenati risultano funzione lineare
di entrambe le correnti. Considerate le caratteristiche di linearità del sistema (originate dall'avere assunto
µ=costante), la soluzione completa può essere ottenuta con il principio di sovrapposizione degli effetti:
l'impiego di tale principio per il calcolo dei flussi concatenati corrisponde esattamente ad applicare le
definizioni di auto e mutua induttanza.
Si consideri, infatti, la fig. 15, nella quale si studia il funzionamento della rete magnetica di fig. 14 con
il metodo di sovrapposizione degli effetti; dall'analisi di ciascuna situazione si ottiene:
N  '
N 1  1'
N  "
N  "
L12  2 2  L21  1 1 .
L2  2 2
i1
i1
i2
i2
Sviluppando i calcoli definiti da questi rapporti si ottengono i coefficienti delle correnti mostrati nelle
espressioni complessive precedenti, da cui:
 c1  L1  i1  Lm  i 2
.

 c 2  Lm  i1  L2  i 2
L1 
Fig. 15.a
Fig. 15.b
9. F.e.m. indotte di auto e mutua induzione: sistemi lineari.
Si consideri una bobina, idealmente di resistenza nulla, percorsa da corrente ed avvolta
attorno ad un nucleo magnetico come raffigurato in fig. 16 (l'avvolgimento è qui rappresentato
come costituito di una sola spira, per maggiore semplicità): nell'ipotesi che tale bobina sia
l'unica ad essere percorsa da corrente (fra le altre eventualmente presenti ed avvolte attorno al
medesimo nucleo), il flusso e la f.e.m. (considerata agente nella spira legandola al verso del
flusso con la regola della vite sinistrorsa) sono diretti come in figura. Il valore della f.e.m. è pari
a:
e
d c
dt
Fig. 16. Convenzione della vite sinistrorsa per la f.e.m. .
35
D'altra parte, essendo l'avvolgimento un bipolo utilizzatore, è spontanea per la misura delle
grandezze elettriche ai morsetti la adozione della convenzione degli utilizzatori: vale pertanto,
per l'avvolgimento la seguente legge delle tensioni:
v  e0

v e
d c
dt
.
Se il circuito magnetico è lineare e la configurazione geometrica del sistema non cambia nel
tempo (sistema lineare tempo-invariante), si ha (L = costante):
v e
d  c d L  i 
di

 L
dt
dt
dt
Questa espressione definisce il legame funzionale fra tensione e corrente ai morsetti di un
induttore ideale avente un valore di induttanza L (v. fig. 17.a): pertanto tale relazione può dirsi
legge di Ohm dell'induttore.
Si consideri ora la presenza di due avvolgimenti mutuamente accoppiati; si è già visto che i
flussi totali con essi concatenati si possono esprimere in funzione delle correnti secondo le
relazioni:
 c1  L1  i1  Lm  i 2
,

 c 2  Lm  i1  L2  i 2
nelle quali l'eventuale segno negativo della mutua induttanza è da considerarsi intrinseco. Se si
adotta, per la misura delle tensioni ai morsetti, la stessa convenzione impiegata nel caso della
bobina singola, si ha:
v1 
d c1
dt
v2 
d c 2
dt
.
Se il circuito magnetico è lineare e la configurazione geometrica del sistema non cambia nel
tempo (sistema lineare tempo-invariante), si ha:
di
di
v1  L1  1  Lm  2
dt
dt
di1
di 2
v 2  Lm 
 L2 
.
dt
dt
L'insieme di queste due espressioni, in quanto definiscono il legame funzionale tra tensioni e
correnti, costituisce la legge di Ohm di due induttori ideali mutuamente accoppiati (v. fig.17.b).
Fig. 17.a
Fig. 17.b
36
10. Richiami riguardanti le azioni meccaniche sui sostegni del campo magnetico.
Il procedimento più consigliabile per calcolare il valore di tali azioni meccaniche (forze,
coppie, sforzi) consiste nel ricorrere al principio dei lavori virtuali: si valuta cioè l'energia
accumulata nel campo magnetico nelle condizioni che si vogliono studiare e se ne calcola la
variazione conseguente ad uno spostamento infinitesimo applicato alla parte di struttura
magnetica sulla quale interessa conoscere la forza agente. Tale variazione misura il lavoro
virtuale della forza, agente nella direzione dello spostamento considerato.
Allo scopo di ricavare le espressioni per il calcolo di queste azioni meccaniche si faccia
riferimento, a titolo di esempio, alla struttura di fig.18, tipica di un elettromagnete: si tratta di
un nucleo di sezione A, costituito da un tronco a C fisso ed un altro tronco a C libero di
muoversi ed affacciato al precedente tramite due traferri di spessore x. Attorno al circuito
magnetico è disposto un avvolgimento di N spire, alimentato da un generatore di tensione vg.
Fig.18 – Caso di esempio per il calcolo delle azioni meccaniche.
Si vuole calcolare la forza Fx che si esercita fra i due tronchi magnetici, nella direzione delle x
crescenti. A tal fine si deve considerare il seguente bilancio di energia:
dL g  dL j  dWm  Fx  dx
che esprime il lavoro compiuto dal generatore (dLg), trasformato nella somma del lavoro
perduto nella resistenza per effetto Joule (dLJ), dell’incremento di energia magnetica
accumulata (dWm) e del lavoro meccanico (Fx·dx).
Esplicitando ciascun termine di questo bilancio si ottiene:
v g  i  dt  R  i 2  dt  dWm  Fx  dx
D'altra parte, in base alla legge delle tensioni si ha:
vg  R  i  e  R  i 
d c
dt
sostituendo questa relazione in quella di bilancio energetico si giunge a:
i  d c  dWm  Fx  dx
Se ora si immagina di effettuare lo spostamento virtuale mantenendo costante il flusso
 c  cost, si ricava:
 W 
Fx   m 
 x  c cost
37
il segno meno significa che la forza, assunta come forza di allontanamento fra i due tronchi di
circuito magnetico, è in realtà, attrattiva (coerentemente a quanto ci si deve attendere
dall'analogia fra linee di campo ed elastici in tensione).
Si può mostrare che l'espressione ricavata per la forza è di validità del tutto generale, anche nel
caso di strutture magnetiche con diversa configurazione, concatenate con più avvolgimenti
alimentati ed eventualmente caratterizzate da non linearità nel legame fra le grandezze
magnetiche.
La forza può essere calcolata anche attraverso un'altra espressione. Infatti, si indichi con Wm' la
co-energia magnetica, definita come:
Wm'  i   c  Wm
Calcolando il differenziale di tale quantità,
dWm'  i  d c   c  di  dWm
e sostituendo in quest'ultima espressione la relazione di bilancio energetico
i  d c  dWm  Fx  dx 
si ricava:
dWm'  Fx  dx   c  di
Operando ora lo spostamento virtuale a corrente costante (i = cost) si ottiene:
 W ' 
Fx   m 
 x 
i  cos t
Anche questa espressione della forza è di validità del tutto generale.
Peraltro, nella ipotesi che la struttura magnetica sia costituita da materiale con permeabilità
costante, tale espressione può essere trasformata come indicato nel seguito.
Infatti, l'energia magnetica nel caso lineare è pari a:
1
Wm   L  i 2
2
D'altra parte si ha:
1
Wm'  i   c  Wm  L  i 2   L  i 2  Wm ;
2
cioè nel caso lineare energia e co-energia magnetica sono numericamente uguali. Pertanto la
forza può essere così calcolata:
dL
1
 W 
 i 2 
Fx   m 
dx
2
 x 
icost
Con riferimento alla struttura di fig.1, il circuito magnetico ha una riluttanza equivalente pari a:
 eq  2   x   n
Con:  x 
x

riluttanza di un traferro, n  n
 A
o  A
riluttanza del nucleo.
Considerato che la permeabilità del nucleo è molto più elevata di quella del traferro ( µ » µo),
la riluttanza del nucleo può essere trascurata rispetto a quella del traferro:
 eq  2   x .
Essendo L  N 2 eq , si ottiene:
38
1
dL 1
d  N 2  o  A 
 W 
  i 2   i 2  
Fx   m 
 ,
dx 2
dx 
2 x
 x  i  cos t 2

da cui:
Fx  
1 L 2
 i ;
2 x
questa espressione mostra che la forza è attrattiva (segno meno).
Tramite le relazioni fra grandezze magnetiche la precedente espressione si trasforma come
segue:
Fx  
1  c 2
1
2
1 B2

   N  B  A2 
 
2 A ;
2 xL
2
2 o
N 2  o  A
la forza Fx è quella complessiva che si esercita in entrambi i traferri; si noti che tale forza non
dipende dal valore del traferro x, ma solo dall'induzione e dalla sezione A delle aree affacciate.
La forza di un solo traferro è, per ragioni di simmetria, pari a:
1 B2

A ;
2 o
da questa relazione si deduce che la forza per unità di area è pari all'energia accumulata nel
campo magnetico per unità di volume (B²/(2·µ)); in generale si può affermare che tale energia
è tanto più elevata (a pari induzione B) quanto più bassa è la permeabilità µ. Pertanto in un
circuito magnetico dotato di traferri, l'energia magnetica è, prevalentemente, accumulata nel
solo volume dei traferri (i tronchi in materiale magnetico, avendo    , hanno energia
accumulata praticamente nulla).
Fx1  
Questa osservazione suggerisce un metodo semplice per il calcolo della forza di attrazione,
anche quando il circuito magnetico sia costituito da più tronchi di circuito magnetico; si
consideri, ad esempio, la struttura di fig.19: in essa la forza di attrazione fra i due nuclei può
essere calcolata nel modo seguente:
 si studia il circuito magnetico equivalente calcolando i flussi nei traferri, e le induzioni
corrispondenti:

Bk  k
con k = 1, 2 , 3;
Ak
 la forza F di attrazione fra le due strutture è data dalla somma delle forze di ciascun
traferro, calcolabile come prodotto della energia immagazzinata per unità di volume,
moltiplicata per la corrispondente sezione:
F
3
3
k 1
k 1
 Bk 2
 Fk   2o
 Ak .
Fig. 19 – Caso di esempio per il calcolo semplificato della forza sviluppata tra parti
ferromagnetiche di nucleo con più traferri.
39
E' significativo operare un confronto tra le forze ottenibili dal campo magnetico rispetto alle
corrispondenti del campo dielettrico. A tale scopo si consideri, in entrambi i casi, la forza per
unità di area (energia per unità di volume) nell'ipotesi di campo uniforme (caso di un
condensatore piano per il campo dielettrico; caso di un traferro piano per il campo magnetico);
il mezzo considerato sia, in entrambi i casi, l'aria. Poiché sia la permeabilità che la costante
dielettrica p.u. dell’aria sono unitarie, si fa riferimento ai parametri o e  o rispettivamente.
Esprimendo l'energia magnetica specifica come B²/(2·µo) e quella dielettrica specifica come
o  K 2 2 , il loro rapporto è pari a:
 
 
2
2
Wmv
1

 B
 c2  B
K
K
Wdv  o   o
essendo c 2  1
 o   o 
la velocità della luce nel vuoto al quadrato (c ≈ 300000 km/s).
Poiché nei traferri dei circuiti magnetici si ottengono agevolmente induzioni dell'ordine di B ≈
1 T, mentre un valore massimo ragionevole della forza elettrica è K ≈ 1 kV/mm (rigidità
dielettrica dell'aria secca: Kr ≈ 2 kV/mm), con B = 1,05 T, K =1 kV/mm, si ricava:
Wmv Wdv  105 ;
dunque le forze ottenibili dal campo magnetico sono enormemente più elevate delle
corrispondenti ottenibili dal campo dielettrico: è quindi evidente la ragione per la quale
esistono trasduttori elettromagnetici di energia, mentre non si usano trasduttori basati
sull'energia del campo dielettrico (se non su scala micro- e nano-metrica).
Il principio dei lavori virtuali consente di valutare anche le azioni meccaniche globali e
specifiche che il campo magnetico esercita sullo stesso avvolgimento che lo produce. Si
consideri, ad esempio, un solenoide di N spire, raggio R ed altezza h, immerso in aria e
percorso da corrente (v. fig. 20): si vuole determinare la forza in senso assiale e la pressione
radiale che il campo esercita sul solenoide.
Fig. 20 – Caso di esempio per il calcolo delle azioni meccaniche interne al dispositivo
Trascurando gli effetti di bordo, l'induttanza del solenoide è pari a:
N 2    R2
h
Per valutare la forza in senso assiale si consideri una incremento virtuale dh della altezza h (la
forza Fh è quindi pensata come forza agente nel senso di un allungamento del solenoide).
Calcolando la forza come derivata della energia magnetica rispetto alla deformazione virtuale
dh imposta si ricava:
L  o 
dL
1
1   N 2  R 2 2
 W 
Fh   m 
 i2     o
i ;
dh
2
 h  i cost 2
h2
40
il segno meno indica che la forza assiale agisce, in realtà, nel senso di comprimere il solenoide
(tale comportamento è qualitativamente conforme a quanto deducibile dall'analogia tra linee di
campo ed elastici in tensione).
Per calcolare l'azione meccanica in senso radiale è opportuno osservare che, per ragioni di
simmetria cilindrica, tale azione è diretta radialmente: essa ha dunque risultante nulla, mentre la
grandezza di interesse è la pressione che si esercita sulle pareti del solenoide (forza per unità di
superficie): per calcolare tale pressione (pR) si consideri una deformazione in senso radiale (dR)
del solenoide (con tale deformazione la pressione viene pertanto considerata agente nel senso di
dilatare il solenoide). Detta Alat l'area laterale del solenoide, si ottiene:
pR 
1  Wm 
1
i 2 dL 1
N2 2






i ;
o
Alat  R  i cost 2  R  h 2 dR 2
h2
questa espressione mostra che la pressione radiale agisce effettivamente nel senso di dilatare il
solenoide, come del resto prevedibile in base alla citata analogia.
Un ultimo esempio mostra l'applicazione del metodo al calcolo di una coppia. Si considerino i
due avvolgimenti di fig.21, immersi in aria: l'avvolgimento N° 1 è fisso mentre quello N°2 può
ruotare attorno ad un perno come raffigurato in figura; quando l'angolo  indicato è nullo i due
avvolgimenti sono allineati assialmente; si assume che, in base al verso delle correnti e al senso
di avvolgimento delle bobine, la mutua induttanza tra esse per  = 0 è massima positiva.
Fig. 21 – Caso di esempio per il calcolo della coppia tra bobine percorse da corrente.
L'espressione della energia magnetica è, come noto:
1
1
Wm   L1  i12   L2  i22  M     i1  i2 ;
2
2
l'azione meccanica che si esercita fra i due avvolgimenti è una coppia, il cui valore si può così
calcolare con il principio dei lavori virtuali:
dM   
 W 
 i1  i2 
C m 
;
d
   i1 ,i2 cost
assumendo poi per M() la seguente relazione:
M     M max  cos     N1  N 2  m.max  cos   
o
dove N1 e N2 sono il N spire delle due bobine e m.max la permeanza mutua massima, si ottiene:
C   M max  i1 i2  sen      m.max  m1  m2  sen   
Pertanto la coppia è proporzionale alla f.m.m. m1 = N1i1 e m2 = N2i2 dei due avvolgimenti e
agisce nel senso di un loro riallineamento: essa dunque permane finché è diverso da zero
l'angolo  fra gli assi magnetici dei due avvolgimenti; questo è un principio di carattere
generale, tipico di tutti i trasduttori elettromeccanici basati sui circuiti mutuamente accoppiati.
41
4. CENNI SUI MATERIALI IMPIEGATI NELLE MACCHINE ELETTRICHE.
1. Materiali Conduttori.
Per i conduttori vale la relazione
K   S ,
o la sua duale
S K ,
che fornisce il legame tra forza elettrica K e densità di corrente S , essendo  e 
rispettivamente la resistività e la conducibilità del materiale. In definitiva, queste espressioni
affermano che un conduttore è sempre interessato da densità di corrente non nulla quando sia
interessato da forza elettrica non nulla e viceversa.

R   ,
Per la resistenza vale dunque la seguente espressione:
A
dove  è detta resistività, si misura in [·mm2/m] (nella pratica in [µ·m]), ed è un parametro
fisico caratteristico del materiale. Talvolta si fa riferimento al suo inverso, detto conducibilità,
misurato in siemens/metro [S/m].
I materiali più comunemente usati nelle applicazioni elettriche sono il rame e l'alluminio, i cui
valori orientativi di resistività (a 20°C) sono indicati nella seguente tabella:
Materiale
Resistività [ m] a 20°C
Resistività [ m] a 75°C
Rame
Alluminio
0.0170  0.0178
0.0280  0.0300
0.0207  0.0217
0.0340  0.0366
E' interessante elaborare l'espressione della potenza perduta per effetto Joule in un conduttore filiforme
di resistenza R: considerata l'omogeneità del materiale, la corrente I risulta uniformemente distribuita in
tutta la sezione A del conduttore. Si può dunque definire densità di corrente S [A/mm²] la quantità:
S
I
.
A
Mediante questa relazione e l'espressione della resistenza R, si ottiene:
PR  R  I 2   
 2 2
 S  A    S 2  Volume .
A
Il prodotto pv    S 2 della resistività per il quadrato della densità di corrente rappresenta quindi la
perdita per unità di volume di materiale conduttore; indicata con  la densità [kg/m3], la perdita per unità
di massa risulta pari a:

pm   S 2

.
Per il rame  = 8960 kg/m3; misurando la densità di corrente in A/mm2 ed assumendo la temperatura di
75°C, si ricava: pm = 2.34 S2 [W/kg].
La densità di corrente delle macchine elettriche è generalmente S = 24 A/mm2; quindi la potenza
specifica persa pm varia tra 1040 W/kg. Per le piccole macchine (<100 W) si può avere anche S = 7–9
A/mm2 .
42
Dipendenza della resistività dalla temperatura.
La dipendenza del parametro resistività dalla temperatura per metalli puri è di tipo lineare, per
un buon intervallo di temperatura (da –100  +200 °C), corrispondente a quello di normale
impiego dei materiali: si osserva perciò un andamento del tipo di fig. 01. Estrapolando tale
andamento lineare anche per temperature inferiori a quelle di impiego corrente, si ottiene
un’intercetta con l'asse delle temperature in corrispondenza alla temperatura  c (comunque si
noti che tale valore, in generale, non corrisponde al reale comportamento del materiale in tale
zona).
Fig. 01. Dipendenza della resistività  di un materiale conduttore dalla temperatura .
Si può scrivere la seguente relazione:
 2 R2  2   c


,
1 R1 1  c
dove c vale –235°C per il rame, –225°C per l'alluminio; si osservi inoltre che il rapporto
delle resistività risulta uguale a quello delle resistenze, considerando trascurabili le variazioni
dimensionali con la temperatura.
La formula può essere scritta anche in funzione della differenza di temperatura    2  1 :
 2 R2


1 
1  1  
1 R1
1   c
il coefficiente 1 
1
1  c
;
[°C-1] prende il nome di coefficiente di temperatura. Per
1  20  40C , esso vale circa 1  0.4% °C-1 . Durante il funzionamento la macchina si scalda,
raggiungendo temperature pari a 70120 °C nei punti interni più caldi. Assumendo la
temperatura dell’aria ambiente pari a 40°C (per convenzione), un incremento della temperatura
di 3080°C comporta un incremento della resistività del 1232%.
2. Materiali Magnetici.
I materiali magnetici impiegati nelle applicazioni sono quelli detti comunemente
ferromagnetici: la loro composizione può essere molto varia, includendo in ogni caso almeno
uno fra i seguenti metalli: ferro, nickel e cobalto.
43
Per tali materiali la caratteristica funzionale di maggiore interesse è la relazione fra il campo
magnetico H e l'induzione B che essa produce.
I materiali magnetici sono caratterizzati dal possedere una permeabilità apparente, rapporto tra
induzione e intensità del campo magnetico (µ=B/H), che dipende principalmente dall'ampiezza
del campo magnetico stesso e in certi casi anche dalla sua direzione (materiali con
comportamento anisotropo).
La permeabilità apparente dei materiali ferromagnetici può raggiungere valori molto elevati
(fino a 103÷104 volte la µ0 e oltre); se però essi vengono riscaldati oltre un certo valore di
temperatura, detto temperatura di Curie, perdono tale proprietà e diventano paramagnetici (µ
lievissimamente superiore a µ0).
Peraltro, la temperatura di Curie è sensibilmente al di sopra dei valori raggiungibili nelle
comuni applicazioni elettriche dei materiali magnetici; precisamente si ha:
Materiale
Ferro
Nickel
Cobalto
Temperatura di Curie [°C]
774
372
749
Ciclo di isteresi
Per definire facilmente le condizioni atte a caratterizzare il comportamento dei materiali ferromagnetici,
si riprenda in considerazione la configurazione sperimentale di nucleo toroidale uniformemente avvolto:
infatti, poiché in tal caso il campo risulta uniforme in ogni sezione del nucleo, è agevole dedurre il
legame fra le grandezze locali (B e H) dal corrispondente legame fra le grandezze globali (e M=N·I). In
realtà, per maggior semplicità realizzativa i rilievi sperimentali normalizzati impiegano nuclei quadrati a
quattro colonne, con sezione quadrata (prova Epstein, vedi Norme CEI).
Se si considera un nucleo costituito da un materiale precedentemente mai magnetizzato, al crescere del
campo H (imposto dall'esterno perchè proporzionale alla corrente dell'avvolgimento a solenoide), la
induzione B cresce secondo un andamento sul tipo di fig. 02: tale andamento prende il nome di curva di
prima magnetizzazione.
Fig. 02. Curva di prima magnetizzazione (tratto ascendente) e di successiva smagnetizzazione.
Con la imposizione di un campo H*, si supponga di avere raggiunto un valore B* su tale curva: se a
partire da questa condizione si riduce progressivamente H, l'esperienza mostra che non viene più
ripercorsa la curva precedente, ma un tratto di curva ad essa superiore. In particolare, all'annullarsi di H
(cioè della corrente nell'avvolgimento) l'induzione B non si annulla: il valore di magnetizzazione residua
che si verifica in tale situazione viene detto induzione residua (Br), e la sua entità dipende dal tipo di
materiale considerato.
44
Per annullare la induzione B è necessario invertire il verso del campo H applicato (invertendo il verso
della corrente): il valore di campo H per il quale l'induzione si annulla durante il processo di
smagnetizzazione si chiama forza coercitiva (Hc).
Il fenomeno per cui il legame B-H non costituisce un curva ad un sol valore, ma dipende dalle
precedenti condizioni di magnetizzazione del materiale prende il nome di isteresi magnetica.
Se ora si considera di sottoporre il materiale a magnetizzazione alternata, con valori di forza magnetica
compresi fra due estremi simmetrici ed opposti (+H, –H), dopo un certo numero di magnetizzazioni di
assestamento il funzionamento si stabilizza lungo un ciclo, detto ciclo di isteresi: il tratto inferiore di tale
ciclo costituisce il segmento ascendente (forza magnetica variabile da –H a +H), mentre quello superiore
è il segmento discendente.
Come esempio, in fig. 03 sono raffigurati tre cicli di isteresi: essi sono detti cicli di isteresi simmetrici
perchè, grazie alla variazione simmetrica del campo H imposto, presentano una simmetria rispetto
all'origine del piano B-H.
Per un dato materiale, ogni ciclo di isteresi simmetrico è completamente definito se sono noti i suoi
vertici (±Hmax, ±Bmax): il luogo dei vertici dei cicli di isteresi simmetrici viene detto curva di
magnetizzazione normale. L'esperienza mostra che l'andamento di tale curva si discosta poco da quello
della curva di prima magnetizzazione.
In fig. 04 è rappresentata una curva di magnetizzazione normale B(H), insieme alla curva di permeabilità
µ(H) ad essa associata. Si può osservare come µ abbia un massimo approssimativamente in
corrispondenza del punto di tangenza della retta spiccata dall'origine alla curva B(H): dopo tale massimo,
la permeabilità decresce all'aumentare del campo magnetico, evolvendo verso una condizione che viene
definita saturazione del materiale.
La permeabilità in un punto qualsiasi della curva di magnetizzazione normale, per esempio P' nella fig.
04, è proporzionale alla tangente dell'angolo  formato dalla retta congiungente il punto con l'origine e
l'asse delle ascisse; la pendenza della tangente alla curva in un punto qualsiasi (per esempio la pendenza
(tg) della tangente alla curva B(H) in P" di fig. 04) è detta permeabilità differenziale (µd); quando tale
permeabilità eguaglia quella del vuoto (µ0) si ha la saturazione del materiale.
Fig. 03. Cicli di isteresi di un materiale ferromagnetico.
45
Fig. 04. Curva di magnetizzazione normale (B(H)) e corrispondente permeabilità magnetica .
In una prima classificazione, i materiali ferromagnetici si possono suddividere in due
categorie principali:
 materiali teneri: sono caratterizzati da cicli di isteresi molto stretti, per cui si possono
facilmente magnetizzare e smagnetizzare; sono prevalentemente costituiti da acciaio a
basso contenuto di carbonio o da leghe ferro-silicio, nelle quali però il ferro è
largamente preponderante. Vengono impiegati per la realizzazione dei circuiti
magnetici nei dispositivi elettromagnetici statici (trasformatori e induttori) e rotanti
(generatori e motori elettrici a corrente continua e corrente alternata);
 materiali duri: presentano un'elevata isteresi magnetica e perciò si prestano a formare
magneti permanenti.
Quando la macchina elettrica è alimentata non a bassa frequenza (come quella “industriale”: 50
Hz) ma a frequenza molto più elevata (> 10 kHz), si utilizza la ferrite. Si tratta di ossido di
ferro combinato con uno o più metalli, quali rame, nickel, manganese, zinco; l’ossido viene
polverizzato e successivamente sinterizzato. Un impiego è nei trasformatori ad impulso, usati
ad esempio negli alimentatori switching. La ferrite presenta il vantaggio di avere un’alta
resistività elettrica e quindi non ha perdite per correnti parassite (vedi oltre). Per contro, la
ferrite si satura per valori di induzione molto bassi.
In fig. 05 sono riportate le curve di magnetizzazione normale (B(H)) e la corrispondente
permeabilità magnetica relativa r = /0 per un materiale tenero, l’acciaio con sigla 3050. E’
un acciaio con cifra di perdita (vedi oltre) di 0.30 W/kg e lamierino di spessore 0.50mm.
In fig. 06 sono indicate per confronto la caratteristica di magnetizzazione dell’acciaio 3050 e di
una tipica ferrite.
46
2.0
B [T]
r
B
6000
1.5
4000
1.0
2000
0.5
r
H [A/m]
0
0
10
100
103
104
105
Fig. 05. Curva di magnetizzazione normale (B(H)) e corrispondente permeabilità magnetica relativa r
per il materiale 3050 (cifra di perdita: 0.30W/kg; spessore lamierino: 0.50mm).
2.0
B [T]
3050
1.5
1.0
0.5
ferrite
H [A/m]
0
10
100
103
104
105
Fig. 06. Curva di magnetizzazione normale (B(H)) per il materiale 3050 e per una ferrite.
47
Dal punto di vista energetico il ciclo di isteresi ha un preciso significato.
Perdita per isteresi
Nel corso di Fisica, si è visto come la quantità:
Wmv 
B2
B
H  dB
1
rappresenti l'energia magnetica per unità di volume assorbita (nel caso che B1<B2) o ceduta (nel
caso che B1>B2) dal materiale, rispettivamente durante il processo di magnetizzazione o di
smagnetizzazione.
In fig. 07 è mostrato schematicamente un ciclo di isteresi: limitandosi, per semplicità, al solo
semipiano delle H positive, si può osservare quanto segue:
 l'area del triangolo mistilineo 412 rappresenta l'energia specifica ceduta dal generatore
di alimentazione al materiale magnetico durante la fase di magnetizzazione del
materiale (H crescente);
 l'area del triangolo mistilineo 213 è l'energia restituita dal materiale al generatore
durante la fase di smagnetizzazione (H decrescente).
Pertanto, l'area del ciclo di isteresi (il triangolo mistilineo 413 ne racchiude la metà)
rappresenta l'energia persa durante un ciclo, per unità di volume di materiale.
Per le applicazioni nelle quali vengono impiegati materiali teneri, è evidente l'importanza di
usare materiali con cicli di isteresi stretti.
Fig. 07. L’area racchiusa da un ciclo di isteresi rappresenta l’energia persa in un ciclo, per unità di volume.
Perdite per correnti parassite
Lo studio delle perdite nei materiali ferromagnetici in condizioni comunque variabili è
estremamente complesso e va al di là degli scopi di questa trattazione: verrà pertanto
considerato il solo comportamento in regime di magnetizzazione alternata sinusoidale.
Oltre alle perdite per isteresi vi sono anche le perdite per correnti parassite, dette anche
correnti di Foucault.
48
Qualitativamente il meccanismo è il seguente: nella massa di un materiale ferromagnetico
sottoposto a magnetizzazione variabile si inducono delle f.e.m.; d'altra parte il materiale è
caratterizzato da un valore non infinito di resistività elettrica.
Pertanto nella massa del materiale, in corrispondenza dei percorsi lungo i quali sono indotte le
f.e.m., si possono pensare delle spire ideali, chiuse in corto circuito: in queste spire circolano
delle correnti parassite, con conseguenti perdite per effetto Joule, del tipo E²/R.
Se il materiale magnetico fosse massiccio, il suo comportamento alle frequenze industriali
sarebbe del tutto insoddisfacente: infatti le perdite sarebbero molto elevate e l'induzione B
sarebbe, in confronto al funzionamento in regime stazionario, notevolmente ridotta e
fortemente disuniforme nella sezione normale alla direzione del flusso.
Per tale ragione il circuito magnetico si realizza con una struttura laminata: si tratta di
lamierini di spessore (tipicamente 0.35 o 0.5 mm), isolati fra loro.
Allo scopo di studiare quantitativamente il fenomeno, si consideri un lamierino di spessore ,
larghezza a e profondità  . Esso sia investito nel senso della laminazione da un campo
magnetico con distribuzione uniforme: tale campo sia caratterizzato da un valore di induzione B
(valore efficace) e da una direzione perpendicolare alle dimensioni  ed a di fig. 08.
Sia per costruzione
  a   .
Fig. 08. Lamierino immerso in un campo magnetico (indicato dalle croci) alternato, con induzione di
valore efficace B e frequenza f.
Si divida idealmente la lastra magnetica in due parti, ciascuna di spessore /2. Essa può essere
vista come una spira ideale, con due lati di lunghezza a, due lati di lunghezza trascurabile /2 e
sezione    2  .
La f.e.m. E indotta in tale spira vale (valore efficace in regime sinusoidale, legge della vite
sinistrorsa):
E    c    B  a   ;
dove c è il valore efficace del flusso concatenato con la spira.
La resistenza R della spira vale:


2a  
2

R   fe 
  fe


2

2a
4a
,
  fe 



2
 fe : resistività del ferro.
La potenza persa per correnti parassite è (valor medio in un periodo):
49
Pcp 
E 2 2    f  B  a   2
f2

 2 
 B 2   2  a      .
4a
R
 fe
 fe 

E’ importante determinare la perdita specifica, per unità di massa. Sia fe la densità del ferro. La
perdita specifica è pari a:
Pcp _ m   2 
f2
 B 2  2 .
 fe   fe
Quest'ultima espressione mostra che le perdite per correnti parassite sono proporzionali al
quadrato della frequenza f, della induzione B e dello spessore , mentre sono inversamente
proporzionali alla resistività  fe del materiale magnetico costituente il lamierino. I
provvedimenti costruttivi che consentono di ridurre le perdite per correnti parassite sono la
riduzione dello spessore (compatibilmente con le esigenze tecnologiche: =0.35–0.50 mm) e
l'aumento della resistività (adozione di leghe al silicio: 3 – 4 % di Si).
In definitiva le perdite specifiche nel ferro (per unità di massa e per un dato lamierino) si
possono così scrivere:
P fe _ m  Pist _ m  Pcp _ m    f  B    f 2  B 2
dove si è assunto un esponente n=2 nelle perdite per isteresi, avendo inoltre inglobato nel
coefficiente il fattore che lega BM a B ( BM  2  B ).
Si definisce cifra di perdita di un materiale la potenza persa per unità di massa per correnti
parassite ed isteresi, alla induzione magnetica massima e alla frequenza di riferimento
(solitamente BM=1T, f=50Hz). Ad esempio il lamierino di sigla 3050 presenta una cifra di
perdita di 0.30W/kg (prime due cifre della sigla) ed ha spessore =0.50mm (ultime due cifre
della sigla).
La resistività di un normale acciaio è  fe 0.1 m, mentre la resistività di una ferrite
(impiegata per alte frequenze) è pari a  fe 1010 m: si capisce quindi come le perdite per
correnti parassite nella ferrite siano trascurabili, anche per frequenze molto alte.
3. Materiali Isolanti.
Per i conduttori si è visto che vale la relazione
K   S ,
che fornisce il legame tra forza elettrica K e densità di corrente S , essendo  la resistività del
materiale: un conduttore è sempre interessato da densità di corrente non nulla quando sia
interessato da forza elettrica non nulla e viceversa.
In modo diverso si comporta un materiale isolante: sottoposto ad un campo elettrico K , in
tale materiale non si sviluppa un campo di correnti di conduzione (rappresentato dal vettore
S ), ma si verifica un fenomeno fisico diverso, noto come polarizzazione di cariche elettriche.
Si dice isolante (o dielettrico) un materiale contraddistinto da una resistività enormemente
maggiore di quella dei conduttori, idealmente infinita. In realtà, come ordine di grandezza si
può dire che, mentre i conduttori hanno resistività (a temperatura ambiente) di 10-6 ÷ 10-8 m,
per i dielettrici i valori salgono a 1016 ÷ 1018  m.
50
Inoltre, mentre per i conduttori la resistività è l'unica grandezza elettrica caratterizzante il
materiale, per i dielettrici interessano soprattutto i parametri rigidità dielettrica e la dipendenza
dalla temperatura.
Rigidità dielettrica.
L'esperienza evidenzia che i dielettrici reali hanno il seguente comportamento: se tra i due
elettrodi (armature) si applica una tensione continua V di piccolo valore, il circuito elettrico non
è interessato a regime da corrente apprezzabile (idealmente tale corrente è nulla). Peraltro sulle
due armature risultano accumulate delle cariche elettriche, +Q e -Q rispettivamente.
Se ora si aumenta gradualmente il valore di tensione, il comportamento del sistema resterà
immutato, almeno fino al raggiungimento di un certo valore (Vlim) della tensione: vi saranno da
un lato assorbimento di corrente praticamente nulla a regime e dall'altro accumulo crescente di
cariche sulle armature, in misura proporzionale alla tensione applicata.
Se si incrementa ulteriormente la tensione tra i due elettrodi, avverrà una scarica: essa prende il
nome di scarica disruttiva e, a causa di tale evento, il dielettrico perderà le sue qualità isolanti.
Ciò che qualifica il comportamento non è però la massima tensione sopportata ma la forza
elettrica: a tale proposito si definisce "rigidità dielettrica" (Kr) la massima forza elettrica
sopportata dall'isolante, al limite della perforazione.
La rigidità dielettrica Kr (pari al più alto valore del gradiente elettrico che il materiale può
sopportare senza dar luogo a scarica) si misura formalmente in (V/m), in pratica in (kV/mm); si
tratta della rigidità di massa (campo lungo lo spessore del materiale).
(*) Kr è influenzata soprattutto dai seguenti elementi:


forma degli elettrodi;
temperatura: nei liquidi Kr cresce e nei solidi decresce con la temperatura;

umidità: riduce drasticamente Kr;


spessore: per i solidi omogenei Kr decresce all'aumentare dello spessore; per gli stratificati cresce, a pari
spessore, all'aumentare del numero degli strati;
durata di applicazione della sollecitazione: Kr cresce al decrescere della durata, con incrementi importanti

per durate dell'ordine dei microsecondi;
frequenza: Kr diminuisce con l'aumentare della frequenza (nel campo delle frequenze industriali).
I valori per i materiali usuali sono:
Materiali
Aria secca
Mica
Olii minerali
Resine termoindurenti
Kr [kV/mm]
23
40  180
12  20
10  40
Dipendenza dalla temperatura delle proprietà isolanti.
La durata di vita di una macchina elettrica è praticamente legata a quella dei suoi isolanti. Il
fattore di invecchiamento più importante per un isolante è la temperatura di funzionamento.
Sperimentalmente si ricavano delle curve che legano la durata di vita alla temperatura di
funzionamento (fig. 09). Esse mostrano che un aumento di 10°C della temperatura di
funzionamento dimezza la vita dell’isolante.
51
Fig. 09. Curva della durata di vita di un isolante.
Gli isolanti sono divisi in classi di isolamento, individuate da una data temperatura . Il criterio
di assegnamento alle diverse classi è l’indice di temperatura a 20.000 h. Si valuta qual è la
temperatura alla quale il materiale presenta una perdita percentuale di alcune proprietà, quali:
 il dimezzamento della resistenza a flessione;
 il dimezzamento della rigidità dielettrica.
Le diverse classi sono:
Classi di
isolamento
Y
A
Temperatura
[°C]
90
105
E
B
F
120
130
155
H
200
220
250
180
200
220
250
Materiali
Carta, cotone, seta
Materiali organici della classe Y impregnati o
immersi in olio
Smalti per fili
Fibre e tessuti di vetro, agglomerati di mica
Materiali della classe B impregnati con sostanze di
elevata stabilità termica (resine siliconiche ed
epossidiche)
52