ESERCIZI: dimostrazioni sulle equivalenze
1) Dimostrare che una mediana di un triangolo lo divide in due triangoli equivalenti.
2) Dimostrare che le diagonali di un parallelogramma lo dividono in quattro triangoli equivalenti.
3) Dimostrare che le tre mediane di un triangolo lo dividono in sei triangoli equivalenti.
4) Dimostrare che, congiungendo i punti medi di due lati di un triangolo, questo risulta suddiviso in
due parti, una equivalente al triplo dell’altra.
5) Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che:
BD=DE=EC.
Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE.
Dimostrare che l’area del quadrilatero DENM è la quarta parte dell’area del triangolo ABC.
6) Il quadrilatero ABCD è circoscritto alla circonferenza di centro O. Dimostrare che la somma delle
aree dei triangoli ABO e DOC è equivalente alla somma delle aree dei triangoli BCO e ADO.
7) Dato il triangolo ABC siano M il punto medio del lato AB, N il punto medio del lato BC, L il punto
medio del lato AC. Dimostrare che i quattro triangoli LMA, NMB, MNC e LMC sono equivalenti.
8) Se dal punto medio M del lato BC di un qualunque triangolo ABC si tracciano le parallele agli altri
due lati, queste incontrano i lati AB e AC in due punti, L e, rispettivamente, N.
Dimostrare che si ottiene un parallelogramma ALMN che ha area la metà di quella del triangolo ABC.
9) Dimostrare che il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un qualunque quadrilatero
ha area la metà dell’area del quadrilatero.
10) Dato un trapezio ABCD, detti N e M i punti medi dei lati obliqui, dimostrare che i triangoli AND e
BMC sono equivalenti.
11) Dato il parallelogramma ABCD, sia P un punto della diagonale AC. Da P si traccino le parallele ai
lati del parallelogramma, suddividendo quindi il parallelogramma in quattro parallelogrammi.
Dimostrare che i due parallelogrammi che non sono tagliati dalla diagonale AC hanno la stessa area
(questo risultato va sotto il nome di teorema dello gnomone)
12) E’ dato un qualunque quadrilatero ABCD ed i punti medi N e M dei due suoi lati opposti AB e CD.
Congiunti tali punti con un estremo opposto (in modo tale che i due segmenti non si intersecano),
dimostrare che il quadrilatero BNDM ottenuto ha area la metà dell’area del quadrilatero ABCD.
13) ABCD è un parallelogramma e P un suo punto interno. Dimostrare che la somma delle aree dei
triangoli ABP e DCP equivale alla somma delle aree dei triangoli APD e BCP.
14) Dimostrare che se due triangoli hanno due lati congruenti e gli angoli tra essi compresi
supplementari allora sono equivalenti.
15) Sia ABC un qualsiasi triangolo. Sui suoi lati ed esternamente a esso si costruiscano i tre quadrati
ABDE, BCFG
e CAHL. Dimostrare che i triangoli AHE, BDG e CFL sono equivalenti al triangolo ABC.
1) I triangoli hanno basi congruenti e stessa altezza
2) Sappiamo che il punto O di intersezione delle diagonali le divide in segmenti congruenti. Si può applicare ai triangoli DBC e
DBA e ABC il risultato precedente. Per la proprietà transitiva, i quattro triangoli sono equivalenti.
3) I triangoli che hanno un vertice nel baricentro sono a due a due equivalenti, perché hanno basi congruenti e stessa
altezza…
4) Se si congiungono i due punti medi M e N anche con l’atro punto medio, si ottengono, per il Teorema di Talete, quattro
triangoli congruenti (e perciò equivalenti). Il quadrilatero ABMN risulta avere perciò area tripla di quella del triangolo NMC.
5) Per il risultato 4) DENM è i tre quarti di DEA, che, a sua volta, è un terzo di ABC.
6) Per il teorema sui quadrilateri circoscritti alla circonferenza, si ha
AB + CD = AD + BC. I quattro triangoli hanno inoltre tutti la stessa altezza (il raggio della circonferenza). Le due coppie di
triangoli hanno somma delle basi congruenti e stessa altezza.
7) Poiché LN è parallelo ad AB (Teorema di Talete sui triangoli) allora AML equivale a MBN (basi congruenti e stessa altezza).
E, per lo stesso motivo, AML equivale a MLC e MBN equivale a NMC.
Per la proprietà transitiva ...
8) Si traccia una diagonale del parallelogramma e si ragiona come in 7.
9) Si tracciano le diagonali del quadrilatero. Ai quattro triangoli AOB, BOC, COD e DOA si può applicare il risultato 8.
10) Si traccia MN, che è parallella alle due basi. I triangoli MND e MNC sono equivalenti (stessa base e stessa altezza) I
triangoli MNA e MNB sono equivalenti (stesso motivo), per somma…
11) I parallelogrammi possono essere ottenuti per differenza da certi triangoli tra loro congruenti perché sono ottenuti
tracciando una diagonale…
12) Tracciare BD. Il quadrilatero BNDM risulta così suddiviso i due triangoli equivalenti rispettivamente a AND e BCM.
13) Tracciare le parallele ai lati per P e osservare come vengono scomposti i quattro parallelogrammi che si ottengono.
14) Se si tracciano le altezze dei triangoli a due dei lati congruenti (AB e A’B’), si ottengono triangoli CBH e C’A’H’ congruenti
(criterio dei triangoli rettangoli). I triangoli ABC e A’B’C’ sono quindi equivalenti perché hanno basi congruenti e altezza
congruenti.
15) Se consideriamo i triangoli AEH e ABC, essi hanno due lati congruenti (perché lati dei quadrati) e gli angoli tra essi
compresi supplementari (facile da dimostrare). Per il risultato precedente, essi sono equivalenti. Allo stesso modo si dimostra
l’equivalenza tra gli altri due triangoli BDG e CFL ed il triangolo ABC.
