4. ORGANIZZAZIONE DELL`EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI

4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
4.7
Sistema sismo-resistente a setti
L’organizzazione sismica di un edificio mediante l’utilizzo di setti in calcestruzzo armato
consente, rispetto al caso dei sistemi a telaio, di suddividere lo studio della struttura per i
carichi verticali, affidato ad un telaio, e quello per i carichi orizzontali.
La resistenza al sisma viene garantita dai setti che, in quanto elementi strutturali
bidimensionali, forniscono una rigidezza decisamente superiore ai pilastri nella loro
dimensione maggiore. Questo implica che per poter assorbire azioni da più direzioni è
necessario distribuirli in pianta sia lungo X che lungo Y, in quanto la rigidezza trasversale dei
setti è invece dello stesso ordine di grandezza del telaio e, pertanto, essi risultano
trasversalmente più deformabili.
I setti vengono concepiti come mensole incastrate a terra che lavorano in campo elastico per
azioni modeste, mentre garantiscono una buona duttilità per azioni orizzontali più intense
grazie alla formazione di cerniere plastiche alla base (zona più sollecitata a momento e taglio)
in grado di dissipare l’energia del sisma. In generale, sono sollecitati alla base da un momento
e taglio molto elevati e da un carico verticale modesto.
Il trasferimento delle forze di piano ai setti avviene mediante la realizzazione di diaframmi in
grado di assorbire momento flettente e taglio.
Rispetto al telaio perciò non è più necessaria la realizzazione di travi incrociate e la
progettazione dei nodi non richiede più particolare cautela. Inoltre il rispetto della gerarchia
delle resistenze risulta più semplice e i fenomeni di piano debole o altri meccanismi locali
difficilmente possono verificarsi.
Vi sono però una serie di accorgimenti da rispettare nella disposizione in pianta dei setti, sia
per le azioni sismiche, sia per quelle azioni indirette caratterizzate dal ritiro e dalle
deformazioni termiche.
Delle casistiche riguardanti variazioni termiche e ritiro se ne è già discusso rispettivamente in
par. 4.3 e par. 4.4, mentre riguardo alle azioni sismiche è importante fare alcune
considerazioni.
In primo luogo è preferibile che i setti siano disposti in pianta secondo direzioni ortogonali, in
quanto se così non fosse per alcune situazioni di carico orizzontale la struttura potrebbe
ruotare attorno al centro di rotazione del sistema, come nel caso mostrato in Figura 4.71,
oppure potrebbe rendere difficoltoso separare gli effetti lungo la direzione X e Y, come
mostrato in Figura 4.72.
181
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.71: Sistema a setti non paralleli con centro di rotazione all’intersezione dei due assi (di minor
rigidezza).
Figura 4.72: Sistema a setti non ortogonali.
In secondo luogo è consigliabile una loro disposizione simmetrica, in modo tale da limitare
effetti torcenti dell’edificio una volta sottoposto a carico orizzontale.
I sistemi a setti nel complesso possono essere suddivisi in due categorie:
-
Sistemi isostatici: sistemi per cui sono sufficienti le equazioni di equilibrio per
determinare le sollecitazioni agenti sui singoli setti;
-
Sistemi iperstatici: sistemi che, oltre all’equilibrio, necessitano l’imposizione delle
equazioni di congruenza, quindi riguardanti le deformazioni degli elementi, per
determinarne le sollecitazioni.
4.7.1
182
Sistemi isostatici
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.73: Esempio di sistema isostatico con 3 setti.
In genere i sistemi isostatici sono caratterizzati da 3 elementi, 2 in una direzione e 1 nell’altra,
per cui la sola condizione di equilibrio è sufficiente per determinarne la sollecitazione agente.
Considerando il caso illustrato in Figura 4.73, dove i setti in direzione Y presentano le
medesime caratteristiche geometriche, è possibile scomporre il problema nelle due direzioni
e determinare la reazione dei setti mediante 3 equazioni di equilibrio.
Per l’equilibrio verticale:
𝑅1 = 𝑅2 =
𝐹𝑦
2
(4.101)
dove:
𝑅1
Reazione del setto S1 alla forza sismica Fy ;
𝑅2
Reazione del setto S2 alla forza sismica 𝐹𝑦 ;
𝐹𝑦
Risultante dell’azione sismica in direzione Y al piano considerato.
Per l’equilibrio orizzontale:
𝑅3 = 𝐹𝑥
(4.102)
dove:
𝑅3
Reazione del setto S3 alla forza sismica 𝐹𝑥 ;
𝐹𝑥
Risultante dell’azione sismica in direzione X al piano considerato.
↷
Per l’equilibrio attorno al punto O ( ):
+
𝐹𝑥 ·
𝐿𝑦
− 𝑅3 · 𝐿𝑦 ≠ 0 𝑐𝑜𝑛 𝐹𝑥 = 𝑅3
2
(4.103)
dove:
𝐿𝑦
Lunghezza dell’edificio in direzione Y.
183
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
L’equilibrio alla rotazione non è verificato in quanto nei due setti verticali si generano delle
forze ΔR1 e ΔR 2 uguali e opposte che costituiscono una coppia di braccio 𝐿𝑥 con il compito di
equilibrare la non simmetria del sistema in X.
L’equilibrio corretto attorno al punto O risulta pertanto:
𝐹𝑥 ·
𝐿𝑦
− 𝑅3 · 𝐿𝑦 + 𝛥𝑅2 · 𝐿𝑥 = 0
2
(4.104)
Considerando che:
𝛥𝑅1 + 𝛥𝑅2 = 0
(4.105)
dove:
𝛥𝑅1
Reazione nel setto S1 per effetto dell’azione sismica 𝐹𝑥 .
𝛥𝑅2
Reazione nel setto S2 per effetto dell’azione sismica 𝐹𝑥 .
𝐿𝑥
Lunghezza dell’edificio in direzione X.
Tuttavia vi sono casi particolari in cui, anche se con un numero di setti maggiore di 3, è
possibile determinare le azioni con semplici condizioni di equilibrio. Tra questi vi sono sistemi
con doppia simmetria in pianta o sistemi simmetrici con molti setti uguali tra loro (Figura
4.74).
Figura 4.74: Sistemi isostatici con più di tre setti.
Nel primo caso le reazioni dei setti risultano essere:
𝑅1 = 𝑅2 =
𝐹𝑦
2
(4.106)
𝑅3 = 𝑅4 =
𝐹𝑥
2
(4.107)
dove:
184
𝑅1
Reazione del setto S1 alla forza sismica 𝐹𝑦 ;
𝑅2
Reazione del setto S2 alla forza sismica 𝐹𝑦 ;
𝑅3
Reazione del setto S3 alla forza sismica 𝐹𝑥 ;
𝑅4
Reazione del setto S4 alla forza sismica 𝐹𝑥 ;
𝐹𝑦
Risultante dell’azione sismica in direzione Y al piano considerato;
𝐹𝑥
Risultante dell’azione sismica in direzione X al piano considerato.
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Nel secondo caso, essendo i setti tutti uguali (con medesima rigidezza) e disposti in maniera
simmetrica rispetto all’asse Y, le reazioni dei setti risultano essere:
𝑅𝑖 =
𝐹𝑦
𝑛
(4.108)
dove:
4.7.2
𝑅i
Reazione del setto i-esimo alla forza sismica 𝐹𝑦 ;
𝑛
Numero di setti in direzione Y.
Sistemi iperstatici
Questa tipologia di sistemi si presenta nel caso in cui si abbia un numero di elementi sismoresistenti maggiore di 3, in cui le sole condizioni di equilibrio non sono più sufficienti e in cui
sono richieste l’introduzione di equazioni di congruenza.
Figura 4.75: Esempio di impalcato vincolato in modo iperstatico.
Vengono assunte le seguenti ipotesi semplificative:
-
Comportamento linearmente elastico dei setti;
-
Il telaio non interagisce nell’assorbimento delle azioni sismiche;
-
Setti flessibili trasversalmente;
-
Vincolo di incastro al piede di ciascun setto;
-
Setti a rigidezza costante lungo l’altezza o con rigidezze variabili mantenendo lo
stesso rapporto tra loro;
-
Impalcati rigidi nel piano (rigidezza assiale infinita).
La prima ipotesi implica che il setto è assimilabile ad una molla di rigidezza k che, sottoposta
ad una forza F, subisce uno spostamento orizzontale 𝜂.
185
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.76: Equivalenza tra setto e molla elastica di rigidezza k.
Poiché il setto intercetta un numero di diaframmi di piano pari al numero di piani dell’edificio,
esso può essere schematizzato ad ogni piano da una molla di rigidezza k che diminuisce con
l’aumentare dell’altezza, al fine di simulare la minor rigidezza dell’elemento per i piani più
alti (dove gli spostamenti orizzontali sono maggiori). Nell’esempio in Figura 4.76 la forza in
direzione x al j-esimo piano è esprimibile secondo la seguente relazione:
𝑗
𝐹𝑥𝑗 = 𝑘𝑥𝑖 · 𝜂𝑗
(4.109)
dove:
𝐹𝑥𝑗
𝑗
𝑘𝑥𝑖
𝜂𝑗
Forza in direzione x agente al piano j-esimo;
Coefficiente di rigidezza della molla relativa all’i-esimo setto, della quota jesima e orientato lungo l’asse x;
Spostamento relativo al j-esimo piano (costante).
La seconda ipotesi tiene conto del fatto che la rigidezza del telaio risulta essere di molto
inferiore alla rigidezza del setto lungo la sua direzione principale, in maniera proporzionale
al momento d’inerzia della sezione. Pertanto, si ipotizza ragionevolmente che sotto l’azione
sismica sia l’elemento più rigido, ovvero il setto, ad assorbire e contrastare l’azione, mentre il
telaio, più deformabile e meno rigido, subisca lo spostamento imposto senza opporre una
rilevante azione di contrasto.
La determinazione delle reazioni dei setti nei sistemi iperstatici risulta più complessa rispetto
al caso isostatico e l’introduzione della congruenza implica la necessità di determinare la
rigidezza dei setti. Ciò comporta considerazioni, ipotesi e approfondimenti aggiuntivi che
vengono riportati nei paragrafi che seguono.
4.7.3
Posizionamento di centro delle masse e centro di taglio
Relativamente ad un impalcato è possibile definire due importanti punti:
186
-
Centro delle masse (baricentro);
-
Centro di taglio (centro delle rigidezze).
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Per quanto riguarda il centro delle masse è possibile affermare che esso rappresenta il punto
in cui viene applicata la risultante delle azioni sismiche del piano. Viene valutato
suddividendo la pianta dell’edificio in aree omogenee facendo una media ponderata rispetto
ad un punto di riferimento.
Le coordinate del centro di massa G (𝑋𝐺 , 𝑌𝐺 ) sono fornite dalle seguenti relazioni:
𝑋𝐺 =
∑𝑖 𝑚𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗
∑𝑖 𝑚𝑖𝑗
(4.110)
𝑌𝐺 =
∑𝑖 𝑚𝑖𝑗 ∙ 𝑦𝑖𝑗
∑𝑖 𝑚𝑖𝑗
(4.111)
dove:
𝑋𝐺
Distanza in ascissa del baricentro dell’impalcato dal punto di riferimento;
𝑌𝐺
Distanza in ordinata del baricentro dell’impalcato dal punto di riferimento;
𝑚𝑖𝑗
Massa dell’elemento i-esimo relativa all’impalcato j-esimo;
𝑥𝑖𝑗
𝑦𝑖𝑗
Distanza in ascissa del baricentro dell’elemento i-esimo dal punto di
riferimento;
Distanza in ordinata del baricentro dell’elemento i-esimo dal punto di
riferimento.
Un calcolo più accurato può essere condotto individuando all’interno della pianta tutti gli
elementi omogenei aventi massa (oltre agli impalcati anche pareti di tamponamento ed
elementi strutturali) con distanza (𝑥𝑖𝑗 ; 𝑦𝑖𝑗 ) presa dal baricentro dell’elemento stesso.
Il centro di taglio (C.T.) rappresenta invece il centro delle rigidezze del sistema. Costituisce
quel punto per cui all’applicazione in esso di una forza orizzontale avviene una semplice
traslazione di tutti i punti dell’impalcato nella direzione della forza e dipende fortemente dalla
distribuzione in pianta degli elementi sismo-resistenti.
Se in un impalcato il centro di taglio corrisponde con il centro delle masse, all’applicazione
dell’azione sismica, che per definizione deve passare per il centro delle masse, avviene una
semplice traslazione del sistema. Se invece, come accade sempre nella realtà, il centro di taglio
differisce da quello delle masse, sotto azione sismica alla traslazione nella direzione della forza
si aggiunge anche una rotazione del sistema attorno allo stesso centro di taglio. Nell’ipotesi
che l’impalcato sia infinitamente rigido nel piano, tutti i punti appartenenti ad esso traslano
della medesima quantità e ruotano del medesimo angolo.
Ipotizzando di considerare l’esempio dove la forza sismica, scomposta nelle due direzioni
ortogonali, è applicata nel centro di taglio, si ottiene che la rotazione dell’impalcato è nulla e
tutti i punti traslano rigidamente nella direzione della forza.
187
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.77: Esempio di impalcato con forza sismica passante per C.T..
La reazione nei setti viene espressa dalle seguenti relazioni generali:
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑅𝑥𝑖 = 𝑘𝑥𝑖 ∙ 𝑢̅
𝑅𝑦𝑖 = 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑣̅
dove:
𝑗
𝑅𝑥𝑖
𝑗
𝑅𝑦𝑖
𝑗
𝑘𝑦𝑖
𝑗
𝑘𝑥𝑖
Reazione del setto i-esimo al piano j-esimo orientato lungo l’asse x;
Reazione del setto i-esimo al piano j-esimo orientato lungo l’asse y;
Rigidezza rispetto all’asse y del setto i-esimo al piano j-esimo;
Rigidezza rispetto all’asse x del setto i-esimo al piano j-esimo.
𝑢̅
Traslazione orizzontale del setto in direzione x;
𝑣̅
Traslazione orizzontale del setto in direzione y.
Imponendo gli equilibri alla traslazione si ottiene:
188
(4.112)
(4.113)
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝑗
𝑗
𝑗
𝐹𝑥 = ∑ 𝑅𝑥𝑖 = ∑ 𝑘𝑥𝑖 ∙ 𝑢̅
𝑖
𝑗
𝐹𝑦
=
{
𝑖
𝑗
∑ 𝑅𝑦𝑖
𝑖
(4.114)
𝑗
= ∑ 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑣̅
𝑖
Da cui:
𝑗
𝑢̅ =
𝐹𝑥
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑥𝑖
(4.115)
𝑗
𝑣̅ =
{
𝐹𝑦
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑦𝑖
Imponendo gli equilibri alla rotazione attorno al punto O si ottiene:
𝑗
𝑗
𝑗
𝐹𝑥 ∙ 𝑌𝐶𝑇 = ∑ 𝑅𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = ∑ 𝑘𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 ∙ 𝑢̅
𝑖
𝑗
𝐹𝑦
∙ 𝑋𝐶𝑇 =
{
𝑗
∑ 𝑅𝑦𝑖
𝑖
𝑖
𝑗
(4.116)
∙ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖 ∙ 𝑣̅
𝑖
dove:
𝑋𝐶𝑇
𝑌𝐶𝑇
𝑦𝑖
𝑥𝑖
Distanza in ascissa del centro di taglio dell’impalcato dal punto di riferimento;
Distanza in ordinata del centro di taglio dell’impalcato dal punto di
riferimento;
Distanza del baricentro dell’i-esimo setto orientato lungo x dal punto di
riferimento;
Distanza del baricentro dell’i-esimo setto orientato lungo y dal punto di
riferimento.
Sostituendo le relazioni (4.115) in (4.116) si ottengono i valori delle coordinate del centro di
taglio nella seguente forma:
𝑋𝐶𝑇 =
𝑌𝐶𝑇 =
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑦𝑖
∙ 𝑥𝑖𝑗
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑦𝑖
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑥𝑖
∙ 𝑦𝑖𝑗
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑥𝑖
(4.117)
(4.118)
dove:
𝑋𝐶𝑇
𝑌𝐶𝑇
𝑗
𝑘𝑦𝑖
𝑗
𝑘𝑥𝑖
Distanza in ascissa del centro di taglio dell’impalcato dal punto di riferimento;
Distanza in ordinata del centro di taglio dell’impalcato dal punto di
riferimento;
Rigidezza rispetto all’asse y del setto i-esimo al piano j-esimo;
Rigidezza rispetto all’asse x del setto i-esimo al piano j-esimo.
La definizione di centro di taglio sopra esposta fa riferimento ad un modello elastico lineare,
mentre nella condizione reale, superato il momento di prima fessurazione 𝑀𝐶𝑟𝑖 , avviene una
diminuzione della rigidezza del setto fino al raggiungimento del momento ultimo 𝑀𝑢𝑖 , da cui
si instaura la plasticizzazione della base.
189
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.78: Comportamento di un setto al raggiungimento del momento ultimo.
Il valore del momento ultimo è come segue:
𝑗
𝑀𝑢𝑖 = 𝑅𝑦𝑖 𝑧𝑗
(4.119)
dove:
𝑀𝑢𝑖
Momento ultimo dell’i-esimo setto;
𝑗
𝑅𝑦𝑖
Reazione dell’i-esimo setto alla forza 𝐹𝑦 al piano j-esimo;
𝑗
𝑧𝑗
Quota del piano j-esimo.
Ciò implica che la reazione del singolo setto non è più proporzionale alla rigidezza, ma al
momento ultimo 𝑀𝑢𝑖 che la base è in grado di offrire, di fatto costante al III stadio. Essendo la
quota 𝑧𝑗 pure costante, la reazione del setto è costante. A questo stadio però non è più possibile
utilizzare il principio della sovrapposizione degli effetti, tuttavia è ancora possibile definire
un centro di taglio del sistema.
Figura 4.79: Formazione di cerniere plastiche alla base di un sistema iperstatico a setti.
Raggiunto perciò il momento ultimo dei setti, in riferimento alla Figura 4.77, si impongono gli
equilibri alla traslazione lungo le due direzioni x e y:
𝑗
𝑗
𝐹𝑦 = ∑ 𝑅𝑦𝑖 = ∑
𝑖
190
𝑖
𝑀𝑢𝑥𝑥,𝑖
𝑧𝑗
(4.120)
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝑗
𝑗
𝐹𝑥 = ∑ 𝑅𝑥𝑖 = ∑
𝑖
𝑖
𝑀𝑢𝑦𝑦,𝑖
𝑧𝑗
(4.121)
dove:
𝑀𝑢𝑥𝑥,𝑖
Momento ultimo dell’i-esimo setto diretto lungo y;
𝑀𝑢𝑦𝑦,𝑖
Momento ultimo dell’i-esimo setto diretto lungo x;
𝑗
𝐹𝑦
𝑗
𝐹𝑥
𝑗
𝑅𝑦𝑖
𝑗
𝑅𝑥𝑖
Forza sismica ultima del piano j-esimo lungo y;
Forza sismica ultima del piano j-esimo lungo x;
Reazione ultima (Stadio III) del setto i-esimo al piano j-esimo diretto lungo y;
Reazione ultima (Stadio III) del setto i-esimo al piano j-esimo diretto lungo x;
Imponendo l’equilibrio alla rotazione attorno al punto O:
𝑗
𝑗
𝑋𝐶𝑇 · 𝐹𝑦 = ∑ 𝑅𝑦𝑖 · 𝑥𝑖𝑗 = ∑
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
𝑌𝐶𝑇 · 𝐹𝑥 = ∑ 𝑅𝑥𝑖 · 𝑦𝑖𝑗 = ∑
𝑖
𝑖
𝑀𝑢𝑥𝑥,𝑖
𝑥𝑖𝑗
𝑧𝑗
(4.122)
𝑀𝑢𝑦𝑦,𝑖
𝑦𝑖𝑗
𝑧𝑗
(4.123)
Dalle relazioni precedenti si ottiene:
𝑋𝐶𝑇 =
𝑌𝐶𝑇 =
𝑗
∑𝑖 𝑅𝑦𝑖
∙ 𝑥𝑖𝑗
𝑗
∑𝑖 𝑅𝑦𝑖
𝑗
∑𝑖 𝑅𝑥𝑖
∙ 𝑦𝑖𝑗
𝑗
∑𝑖 𝑅𝑥𝑖
=
=
𝑀𝑢𝑥𝑥,𝑖
⁄𝑧𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗
∑𝑖 𝑀𝑢𝑥𝑥,𝑖 ∙ 𝑥𝑖𝑗
=
𝑀𝑢𝑥𝑥,𝑖
∑𝑖 𝑀𝑢𝑥𝑥,𝑖
∑𝑖
⁄𝑧𝑗
(4.124)
𝑀𝑢𝑦𝑦,𝑖
⁄𝑧𝑗 ∙ 𝑦𝑖𝑗
∑𝑖 𝑀𝑢𝑦𝑦,𝑖 ∙ 𝑦𝑖𝑗
=
𝑀
∑𝑖 𝑀𝑢𝑦𝑦,𝑖
∑𝑖 𝑢𝑦𝑦,𝑖⁄𝑧𝑗
(4.125)
∑𝑖
∑𝑖
Dalle relazioni (4.124) e (4.125) si nota come al raggiungimento dello Stadio III sia ancora
possibile definire un centro di taglio e che esso rappresenti il baricentro dei momenti ultimi (e
non delle rigidezze elastiche come nello Stadio II).
4.7.4
Reazione dei setti
La coincidenza tra centro di taglio e centro delle masse nella realtà è molto difficile. La
normativa italiana ([1] § 7.2.6) a tal proposito impone di considerare un’eccentricità del centro
di taglio rispetto al centro delle masse accidentale pari al 5% della dimensione massima
geometrica dell’impalcato perpendicolare alla forza sismica. Perciò, considerando un’azione
sismica nelle due direzioni e un centro di taglio di coordinate (𝑒𝑥 ; 𝑒𝑦 ) rispetto al centro delle
masse, l’impalcato subirà una traslazione rigida 𝑢̅ in direzione x e 𝑣̅ in direzione y unite ad
una rotazione ϑ attorno al centro di taglio. Considerando l’esempio in Figura 4.80 è possibile
determinare le reazioni dei setti sfruttando il principio della sovrapposizione degli effetti
suddividendo in tre sotto-casi il problema in questione:
𝐴 =𝐵+𝐶+𝐷
(4.126)
191
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.80: Esempio di sistema iperstatico con eccentricità del centro di taglio.
𝑗
Caso B: si considera la sola azione sismica 𝐹𝑦 traslandola dal centro delle masse al
-
centro di taglio, dunque di una quantità 𝑒𝑥 , in modo da avere solo traslazione (Figura
4.81). La traslazione dell’impalcato j-esimo nel suo complesso è la medesima subita
da tutti gli elementi i-esimi appartenenti ad esso, nello specifico si ha:
𝑗
𝑣𝑖 = 𝑣 𝑗 = 𝑐𝑜𝑠𝑡.
𝑗
𝑅𝑦𝑖 = 𝑘𝑦𝑖 · 𝑣 𝑗
(4.127)
(4.128)
dove:
𝑗
𝑣𝑖
Traslazione in direzione y dell’i-esimo setto appartenente al piano j-esimo;
𝑣𝑗
Traslazione in direzione y del piano j-esimo;
𝑗
𝑅𝑦𝑖
Reazione dell’i-esimo setto appartenente al piano j-esimo orientato in direzione
y;
𝑗
𝑘𝑦𝑖
Rigidezza dell’i-esimo setto orientato in direzione y appartenente al piano jesimo.
192
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝑗
Figura 4.81: Caso B con solo 𝐹𝑦 in C.T..
Per l’equilibrio:
𝑗
𝑗
𝐹𝑦 = (∑ 𝑘𝑦𝑖 ) ∙ 𝑣 𝑗
(4.129)
𝑖
Da cui:
𝑗
𝑣𝑗 =
𝐹𝑦
(4.130)
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑦𝑖
Per la (4.128) e la (4.130):
𝑗
𝑗
𝑅𝑦𝑖 =
𝑘𝑦𝑖
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑦𝑖
𝑗
∙ 𝐹𝑦
(4.131)
𝑗
Caso C: si considera la sola azione sismica 𝐹𝑥 traslandola dal centro delle masse al
-
centro di taglio, dunque di una quantità 𝑒𝑦 , in modo da avere solo traslazione (Figura
4.82). La traslazione dell’impalcato j-esimo nel suo complesso è la medesima subita
da tutti gli elementi i-esimi appartenenti ad esso, nello specifico si ha:
𝑗
𝑢𝑖
= 𝑢 𝑗 = 𝑐𝑜𝑠𝑡.
𝑗
𝑗
𝑅𝑥𝑖 = 𝑘𝑥𝑖 · 𝑢 𝑗
(4.132)
(4.133)
dove:
𝑗
Traslazione in direzione x dell’i-esimo setto appartenente al piano j-esimo;
𝑗
Traslazione in direzione x del piano j-esimo;
𝑢𝑖
𝑢
𝑗
𝑅𝑥𝑖
Reazione dell’i-esimo setto appartenente al piano j-esimo orientato in direzione
x;
𝑗
𝑘𝑥𝑖
Rigidezza dell’i-esimo setto orientato in direzione x appartenente al piano jesimo.
193
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝑗
Figura 4.82: Caso C con solo 𝐹𝑥 in C.T..
Per l’equilibrio:
𝑗
𝑗
𝐹𝑥 = (∑ 𝑘𝑥𝑖 ) ∙ 𝑢 𝑗
(4.134)
𝑖
Da cui:
𝑗
𝑢𝑗 =
𝐹𝑥
(4.135)
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑥𝑖
Per la (4.133) e la (4.135):
𝑗
𝑗
𝑅𝑥𝑖 =
-
𝑘𝑥𝑖
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑥𝑖
𝑗
∙ 𝐹𝑥
(4.136)
Caso D: per tener conto dell’eccentricità del centro di taglio rispetto al centro delle
masse è necessario aggiungere agli effetti dei casi B e C una componente torcente che
𝑗
ruota l’impalcato attorno al centro di taglio e che ha valore 𝑀𝑡 (Figura 4.83).
𝑗
Figura 4.83: Caso D con 𝑀𝑡 .
194
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝑗
𝑗
𝑗
𝑀𝑡 = 𝐹𝑥 · 𝑒𝑦 + 𝐹𝑦 · 𝑒𝑥
(4.137)
Si tenga conto che negli impalcati rigidi il centro di taglio coincide con il centro di torsione:
Figura 4.84: Caso D
La posizione dell’i-esimo setto, utilizzando le coordinate polari, risulta:
𝑥𝑖 = 𝜌𝑖 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑖
(4.138)
𝑦𝑖 = 𝜌𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑖
(4.139)
dove:
𝑥𝑖
Ascissa del baricentro dell’i-esimo setto rispetto a C.T.;
𝑦𝑖
Ordinata del baricentro dell’i-esimo setto rispetto a C.T.;
𝜌𝑖
Distanza del baricentro dell’i-esimo setto rispetto a C.T.;
𝛼𝑖
Coordinata angolare dell’i-esimo setto.
Ricordando (4.128) e (4.133) le reazione nei setti sono esprimibili nel seguente modo:
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑅𝑥𝑖 = 𝑘𝑥𝑖 ∙ 𝑢𝑖
(4.140)
𝑅𝑦𝑖 = 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑣𝑖
(4.141)
Figura 4.85: Descrizione in coordinate polari del baricentro dell’i-esimo elemento rispetto a C.T..
Facendo riferimento alla Figura 4.85 si possono scrivere le seguenti relazioni:
𝑗
𝑗
𝑠𝑖 = 𝜌𝑖 · 𝑡𝑎𝑛 𝜗𝑖 ≅ 𝜌𝑖 ∙ 𝜗
𝑗
(4.142)
𝑗
𝑗
(4.143)
𝑗
𝑗
(4.144)
𝑢𝑖 = 𝑠𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑖
𝑣𝑖 = 𝑠𝑖 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑖
dove:
195
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝑗
Traslazione del baricentro dell’i-esimo setto in seguito alla rotazione 𝜗𝑖 ;
𝑗
𝑗
Angolo di rotazione rigida dell’impalcato per l’applicazione di 𝑀𝑡 .
𝑠𝑖
𝜗
𝑗
Per (4.138), (4.139), (4.142), (4.143) e (4.144) si ottiene:
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑢𝑖 = 𝜌𝑖 ∙ 𝜗𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑖 = 𝑦𝑖 · 𝜗
𝑗
𝑣𝑖 = 𝜌𝑖 ∙ 𝜗𝑖 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑖 = 𝑥𝑖 · 𝜗
(4.145)
𝑗
(4.146)
Per l’equilibrio:
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑀𝑡 = ∑ 𝑅𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 + ∑ 𝑅𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖 = ∑(𝑘𝑥𝑖 ∙ 𝑢𝑖 ∙ 𝑦𝑖 + 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑣𝑖 ∙ 𝑥𝑖 )
𝑖
𝑖
(4.147)
𝑖
Considerando le relazioni (4.145) e (4.146):
𝑗
𝑗
𝑗
𝑀𝑡 = ∑(𝑘𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖2 + 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖2 ) ∙ 𝜗
𝑗
(4.148)
𝑖
Da cui:
𝑗
𝑀𝑡
𝑗
𝜗 =
(4.149)
𝑗
𝑗
∑𝑖 (𝑘𝑥𝑖
∙ 𝑦𝑖2 + 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖2 )
Tenendo conto di (4.140), (4.141) e (4.145):
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑅𝑥𝑖 = 𝑘𝑥𝑖 ∙ 𝑢𝑖 = 𝑘𝑥𝑖 · 𝑦𝑖 · 𝜗
𝑗
𝑅𝑦𝑖 = 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑣𝑖 = 𝑘𝑦𝑖 · 𝑥𝑖 · 𝜗
𝑗
(4.150)
𝑗
(4.151)
Infine per (4.149) le reazioni dei setti risultano essere:
𝑗
𝑗
𝑅𝑥𝑖
=
𝑘𝑥𝑖
𝑗
∑𝑖 (𝑘𝑥𝑖
∙
𝑦𝑖2
+
𝑗
𝑗
𝑘𝑦𝑖
∙
𝑥𝑖2 )
∙
𝑥𝑖2 )
· 𝑦𝑖 · 𝑀𝑡
(4.152)
𝑗
𝑘𝑦𝑖
𝑗
𝑅𝑦𝑖 =
𝑗
∑𝑖 (𝑘𝑥𝑖
∙
𝑦𝑖2
+
𝑗
𝑗
𝑘𝑦𝑖
· 𝑥𝑖 · 𝑀𝑡
(4.153)
Considerando le equazioni (4.152) e (4.153) è possibile effettuare le seguenti osservazioni:
-
𝑗
𝑗
le azioni 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 si ripartiscono proporzionalmente alle rigidezze dei setti; perciò gli
elementi che assorbono più carico sono i setti con maggior rigidezza, mentre strutture
meno rigide, come il telaio progettato ai carichi verticali, si deformano opponendo una
resistenza trascurabile ai fini del calcolo;
-
i setti che sono posizionati ad una distanza maggiore tendono ad assorbire più carichi in
𝑗
𝑗
quanto la reazione è proporzionale a 𝑦𝑖 nel caso di 𝑅𝑥𝑖 , e 𝑥𝑖 nel caso di 𝑅𝑦𝑖 (i setti perimetrali
hanno infatti maggior braccio);
-
la ripartizione ai vari piani è identica se le rigidezze sono costanti oppure variano con la
quota, mantenendo costante i rapporti fra loro;
-
si trascura la rigidezza torsionale e trasversale dei singoli setti.
196
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
In via definitiva, sommando i casi B, C e D, la determinazione complessiva delle reazioni nei
setti è definita dalla somma delle relazioni (4.131), (4.136), (4.152) e (4.153):
𝑗
𝑘𝑥𝑖
𝑗
𝑅𝑥𝑖 =
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑥𝑖
𝑗
𝑘𝑥𝑖
𝑗
∙ 𝐹𝑥 +
𝑗
𝑗
∑𝑖 (𝑘𝑥𝑖
∙ 𝑦𝑖2 + 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖2 )
𝑗
𝑗
𝑅𝑦𝑖
=
𝑘𝑦𝑖
𝑗
∑𝑖 𝑘𝑦𝑖
𝑗
· 𝑦𝑖 · 𝑀𝑡
(4.154)
𝑗
∙
𝑗
𝐹𝑦
+
𝑘𝑦𝑖
𝑗
𝑗
∑𝑖 (𝑘𝑥𝑖
∙ 𝑦𝑖2 + 𝑘𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖2 )
𝑗
· 𝑥𝑖 · 𝑀𝑡
(4.155)
La prima componente delle relazioni (4.154) e (4.155) è di tipo traslatorio e fornita dai casi B e
C, mentre la seconda componente è di tipo torcente e fornita dal caso D.
Si può notare inoltre che la resistenza che un setto può offrire in direzione trasversale non
viene tenuta in considerazione, in quanto la sua rigidezza è di molto inferiore rispetto a quella
che può offrire un altro setto nella direzione ortogonale, che quindi assorbirà necessariamente
più carico.
4.7.5
Rigidezza dei setti: ipotesi di calcolo
L’ultimo parametro da definire prima della determinazione della reazione dei setti è la
𝑗
rigidezza 𝑘𝑖 . Per poterla determinare è necessario fare due ipotesi semplificative:
-
setti incastrati alla base;
-
setti con rigidezza costante con l’altezza.
La prima ipotesi risulta essere di grande importanza: finora si è parlato del generico impalcato
j-esimo, senza però discutere l’influenza che gli altri impalcati hanno sulla determinazione
delle azioni.
La seconda ipotesi introduce un’ulteriore semplificazione andando ad eliminare la
dipendenza del momento d’inerzia del setto e della posizione del centro di taglio dalla quota
𝑧𝑗 del piano.
In generale si possono distinguere 3 casistiche corrispondenti a differenti modelli di calcolo
della rigidezza:
1.
Solai flessibili (rigidezza flessionali non infinita);
2.
Solai rigidi flessionalmente
3.
Quinte tozze
197
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.86: Primo caso a solai flessibili.
Nel caso di solai flessibili si ipotizza che la rigidezza flessionale dei solai sia trascurabile
rispetto a quella dei setti verticali, i quali, considerati come mensole, risultano avere un
incastro perfetto alla base.
Nella realtà i setti non si comportano come mensole in quanto interagiscono con i piani a cui
sono connessi, generando un momento positivo (sugli impalcati) a seguito della loro
inflessione. Tuttavia negli edifici residenziali, dove la luce dei solai è in genere inferiore ai 6
m con uno spessore molto ridotto, questi momenti positivi sono trascurabili. Per questo
motivo la rigidezza del solaio (spesso alleggerito) risulta essere di molto inferiore alla
rigidezza del setto, per cui la schematizzazione a mensola è ragionevole.
𝑗
𝑗
Con questa semplificazione gli spostamenti orizzontali 𝑢𝑖 e 𝑣𝑖 del setto i-esimo al piano jesimo risultano essere:
𝑗
𝑧𝑗3
𝑗
∙ 𝑅𝑥𝑖
3 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑦𝑦𝑖
(4.156)
𝑗
𝑧𝑗3
𝑗
∙ 𝑅𝑦𝑖
3 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑥𝑥𝑖
(4.157)
𝑢𝑖 =
𝑣𝑖 =
dove:
𝑢𝑖
𝑗
Spostamento orizzontale del setto i-esimo diretto lungo x al piano j-esimo;
𝑗
𝑣𝑖
Spostamento orizzontale del setto i-esimo diretto lungo y al piano j-esimo;
𝑧𝑗
Quota altimetrica del j-esimo piano;
𝐸𝑐
Modulo elastico del calcestruzzo;
𝐼𝑦𝑦𝑖
Momento d’inerzia rispetto all’asse y dell’i-esimo setto orientato lungo x;
𝐼𝑥𝑥𝑖
Momento d’inerzia rispetto all’asse x dell’i-esimo setto orientato lungo y;
𝑗
𝑅𝑥𝑖
𝑗
𝑅𝑦𝑖
Reazione dell’i-esimo setto orientato lungo x al piano j-esimo;
Reazione dell’i-esimo setto orientato lungo y al piano j-esimo.
Nelle relazioni (4.156) e (4.157) si possono ricavare dei termini riconducibili alla rigidezza dei
setti:
𝑗
𝑘𝑥𝑖 =
198
3 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑦𝑦𝑖
𝑧𝑗3
(4.158)
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝑗
𝑘𝑦𝑖 =
3 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑥𝑥𝑖
𝑧𝑗3
(4.159)
Nel caso di solai rigidi si ipotizza che la rigidezza flessionale dei solai sia grande rispetto a
quella dei setti, considerati invece snelli. È un caso che accade assai meno di frequente rispetto
al primo, ma che si può trovare ad esempio negli edifici commerciali in cui sono presenti luci
elevate (dell’ordine dei 12 m, che quindi necessitano di travi di altezza importante) e setti
snelli, per esempio per la presenza di ampie superfici vetrate.
In questo caso la deformata dei setti con carico orizzontale non viene ipotizzata a mensola
come nel caso precedente, ma con un vincolo di incastro in corrispondenza di ogni solaio
(Figura 4.87).
All’applicazione della forza 𝐹𝑗 ad un determinato piano j-esimo corrisponde uno spostamento
𝑗
orizzontale ∆𝑢 per ogni interpiano di altezza ∆𝑧. Lo spostamento complessivo orizzontale 𝑢𝑖
subito dal setto i-esimo al piano j-esimo di applicazione della forza vale:
𝑗
𝑢𝑖 =
𝑧𝑗
· 𝛥𝑢
𝛥𝑧
(4.160)
dove:
𝑗
𝑢𝑖
Spostamento orizzontale del setto i-esimo diretto lungo x al piano j-esimo;
𝑧𝑗
Quota del piano j-esimo;
𝛥𝑧
Altezza di interpiano;
𝛥𝑢
Spostamento orizzontale in corrispondenza di ciascun solaio.
Figura 4.87: Esempio di struttura a solai rigidi e setti snelli.
Considerando che:
𝛥𝑢 =
𝛥𝑧 3
𝑗
· 𝑅𝑥𝑖
12 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑦𝑦𝑖
(4.161)
Dalla (4.160) e (4.161) si ottiene:
𝑗
𝑢𝑖 =
𝑧𝑗
𝛥𝑧 3
𝑗
·
· 𝑅𝑥𝑖
𝛥𝑧 12 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑦𝑦𝑖
(4.162)
Valutando le relazioni (4.140), (4.141), (4.161) e (4.162) si evince che la rigidezza del setto è
espressa nel seguente modo:
199
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝑗
𝑘𝑥𝑖 =
𝑗
𝑘𝑦𝑖 =
12 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑦𝑦𝑖
· 𝑧𝑗
𝛥𝑧 2
(4.163)
12 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑥𝑥𝑖
· 𝑧𝑗
𝛥𝑧 2
(4.164)
L’ultimo caso riguarda le quinte tozze, dove la deformazione avviene prevalentemente a
taglio e tipicamente presente negli edifici in muratura. Indicativamente si può definire tozzo
un setto che presenta la seguente caratteristica:
𝑏
> 0,5
𝐻
(4.165)
dove:
𝑏
Lunghezza del setto;
𝐻
Altezza del setto.
Lo spostamento orizzontale del setto i-esimo vale come segue:
𝑗
𝑢𝑖 = 𝛾𝑖 · 𝑧𝑗
(4.166)
dove:
𝑗
𝑢𝑖
Spostamento orizzontale del setto i-esimo diretto lungo x al piano j-esimo;
𝛾𝑖
Deformazione angolare alla base del setto;
𝑧𝑗
Quota relativa al j-esimo piano.
Figura 4.88: Esempio di struttura con quinte tozze (parete i al piano j).
Si consideri che:
𝛾𝑖 =
𝑇𝑖
· 𝜒𝑖
𝐺 · 𝐴𝑖
dove:
𝑇𝑖
Risultante del taglio nell’i-esimo setto alla quota di applicazione di 𝐹𝑗 ;
𝐺
Modulo di rigidezza tangenziale;
𝜒𝑖
Fattore di taglio;
𝐴𝑖
Area della sezione del setto.
Il modulo di rigidezza tangenziale è valutato secondo la seguente relazione:
200
(4.167)
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝐺=
𝐸𝑐
≅ 0.4 ∙ 𝐸𝑐
2 ∙ (1 + 𝜈)
(4.168)
dove:
𝐸𝑐
Modulo elastico calcestruzzo;
𝜈
Coefficiente di Poisson del calcestruzzo, assunto pari a 0.2.
Perciò lo spostamento al piano j-esimo del setto i-esimo risulta:
𝑗
𝑢𝑖 =
𝑇𝑖
· 𝜒𝑖 · 𝑧𝑗
𝐺 · 𝐴𝑖
(4.169)
Tenendo conto di (4.140) (4.141) e (4.169) la rigidezza del setto risulta:
𝑗
𝑗
𝑘𝑥𝑖 = 𝑘𝑦𝑖 =
𝐺 · 𝐴𝑖
𝜒𝑖 · 𝑧𝑗
(4.170)
È importante ora fare delle considerazioni riguardo le due ipotesi esposte precedentemente,
ovvero di incastro alla base dei setti e di rigidezza costante con l’altezza. Si consideri che se i
setti sono perfettamente incastrati al piede e hanno rigidezza costante (𝐼𝑦𝑦𝑖 e 𝐼𝑥𝑥𝑖 = cost) lungo
z, la forza 𝐹𝑗 si ripartisce interamente nel piano j, mentre gli altri impalcati risultano semplici
distanziatori senza fornire alcun tipo di contributo.
Figura 4.89: Schema relativo all’interazione tra i vari impalcati all’applicazione della forza 𝐹𝑗 .
Nella Figura 4.89 viene mostrato un esempio di setti connessi con impalcati sotto l’azione di
una forza orizzontale 𝐹𝑗 . Si può notare che nei tratti AB i due setti sottoposti a uguali
𝑗
spostamenti 𝑢𝑖 hanno stessa deformata, quindi anche i tratti BC rettilinei (con momento nullo,
e quindi deformata lineare) hanno la stessa rotazione. Ciò implica che ad assorbire la forza è
solo il piano j-esimo allineato con essa, mentre tutti gli altri piani funzionano da semplici
distanziatori.
Tuttavia nella realtà il terreno presenta una propria deformabilità, rendendo il vincolo alla
base del setto cedevole. Il comportamento a mensola del setto sottoposto a forza orizzontale
𝐹𝑗 avrà dunque una componente dello spostamento orizzontale dovuto alla deformazione
dell’elemento e un’altra componente dovuta alla rotazione alla base per effetto del cedimento.
201
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.90: Comportamento a mensola del setto con cedimento alla base.
Lo spostamento orizzontale vale dunque:
𝜂𝑖𝑇𝑂𝑇 = 𝜂1𝑖 + 𝜂𝑖2
(4.171)
dove:
𝜂𝑖𝑇𝑂𝑇
𝜂1𝑖
𝜂𝑖2
Spostamento totale orizzontale del setto i-esimo;
Spostamento orizzontale per effetto del cedimento del terreno;
Spostamento orizzontale per effetto della deformazione del setto.
Le varie componenti valgono:
𝑀𝑖
𝑅𝑖 ∙ 𝑧
∙𝑧 =
∙𝑧
𝑘𝜗𝑖
𝑘𝜗𝑖
𝜂1𝑖 = 𝜗𝑖 ∙ 𝑧 =
𝜂𝑖2 = 𝑅𝑖 ∙
𝑧3
3 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑖
(4.172)
(4.173)
dove:
𝜗𝑖
Angolo di rotazione del setto per effetto del cedimento;
𝑧
Quota di applicazione della forza 𝑅𝑖 ;
𝑀𝑖
Momento flettente generato alla base del setto per effetto della forza 𝑅𝑖 ;
𝑘𝜗𝑖
Rigidezza del vincolo cedevole con rotazione 𝜗𝑖 ;
𝑅𝑖
Reazione dell’i-esimo setto all’azione sismica;
𝐸𝑐
Modulo elastico del calcestruzzo;
𝐼𝑖
Momento d’inerzia del setto i-esimo.
Per (4.171), (4.172) e (4.173) ne risulta:
𝜂𝑖𝑇𝑂𝑇 = 𝑅𝑖 ∙ (
𝑘𝑖 =
𝑅𝑖
𝑇𝑂𝑇
𝜂𝑖
𝑧2
𝑧3
+
)
𝑘𝜗𝑖
3 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑖
=
(4.174)
1
𝑧2
𝑘𝜗𝑖
+
𝑧3
3 ∙ 𝐸𝑐 ∙ 𝐼𝑖
(4.175)
Con un solo impalcato questa ulteriore cedevolezza non crea alcun problema. Viceversa, con
più impalcati e setti con rigidezze/cedevolezze diverse, nasce una ridistribuzione differente
delle forze sismiche.
202
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Infatti, dalla relazione (4.175) si evince che la rigidezza e, conseguentemente, la reazione del
singolo setto i-esimo al piano j-esimo dipende dalla quota z. Ciò significa che le sollecitazioni
al j-esimo impalcato non risultano più essere indipendenti dagli altri e la deformata ai vari
piani dei setti non crescerà più in maniera costante, ma dipenderà dalla quota degli impalcati.
Ciò implica inoltre che la forza 𝐹𝑗 applicata al piano j-esimo andrà a caricare anche il piano j1 e j+1, invalidando le ipotesi fatte in precedenza riguardo il calcolo delle reazioni nei sistemi
iperstatici. Di fatto, non si ha più ridistribuzione delle forze sismiche indipendente dal piano.
Oltre all’importanza di avere un vincolo di incastro alla base dei setti senza cedimenti, è
sostanziale che tutti i setti dell’impalcato considerato si deformino in modo costante e allo
stesso modo.
Se si considera la mensola semplice in Figura 4.91 caricata dalla forza F, la funzione 𝑦(𝑥) che
fornisce lo spostamento verticale è definita come segue:
𝑦(𝑥) = ∫ [∫ 𝑦 ′′ (𝑥) ∙ 𝑑𝑥] ∙ 𝑑𝑥 + 𝐶1 ∙ 𝑥 + 𝐶2
(4.176)
Figura 4.91: Deformazione a mensola dei setti sismo-resistenti.
Analogamente, affinché i setti sollecitati da azione sismica si deformino nella stessa maniera,
deve accadere che la funzione 𝑓(x) = y ′′ (x) sia uguale per tutti gli elementi.
Imponendo questa condizione la rigidezza del setto non dipende più dalla quota z e la
reazione che esercita all’impalcato j-esimo è indipendente dagli altri piani. Si può inoltre
dimostrare che la deformata è identica anche con rigidezze differenti tra i setti.
203
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.92: Esempio di diversa deformazione dei setti sotto azione sismica.
Se invece non si avesse la stessa deformazione tra i due setti nascerebbero delle forze negli
altri impalcati, come mostrato in Figura 4.92, che richiederebbero un’analisi tridimensionale
(elementi finiti) più complessa e che non potrebbe più basarsi sul principio della
sovrapposizione degli effetti.
Facendo riferimento al primo caso di solai flessibili, di fatto la condizione più comune, e alla
definizione della rigidezza dei setti, è possibile sviluppare ulteriormente le relazioni (4.117) e
(4.118) relative alla definizione delle coordinate del centro di taglio. Con le ipotesi relative ai
setti esposte precedentemente, ovvero di incastro alla base e rigidezza costante con l’altezza,
si possono ottenere le seguenti nuove formulazioni tenendo conto anche delle relazioni (4.158)
e (4.159):
𝑋𝐶𝑇 =
∑𝑖 𝐼𝑥𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑖𝑗
∑𝑖 𝐼𝑥𝑥𝑖
(4.177)
𝑌𝐶𝑇 =
∑𝑖 𝐼𝑦𝑦𝑖 ∙ 𝑦𝑖𝑗
∑𝑖 𝐼𝑦𝑦𝑖
(4.178)
Si noti che la semplificazione del termine 𝑧𝑗 è potuta avvenire assumendo che la quota del
generico impalcato j-esimo dal piede di ciascun setto fosse la medesima. Inoltre, assumendo
che la rigidezza dei setti sia costante con l’altezza, si può dimostrare dalle relazioni (4.177) e
(4.178) che la posizione del centro di taglio rimane costante ai diversi piani. Ciò implica inoltre
che la ripartizione della forza sismica è costante ai vari piani, mentre ciò che si modifica è la
sola azione sismica.
Alla luce delle relazioni (4.158) e (4.159), è possibile inoltre riscrivere le relazioni (4.154) e
(4.155) riguardanti la determinazione delle reazioni dei setti in sistemi iperstatici:
𝑗
𝑅𝑥𝑖 =
𝑗
𝑅𝑦𝑖 =
4.7.6
204
𝐼𝑦𝑦𝑖
𝐼𝑦𝑦𝑖
𝑗
𝑗
∙ 𝐹𝑥 +
· 𝑦𝑖 · 𝑀𝑡
∑𝑖 𝐼𝑦𝑦𝑖
∑𝑖(𝐼𝑦𝑦𝑖 ∙ 𝑦𝑖2 + 𝐼𝑥𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑖2 )
(4.179)
𝐼𝑥𝑥𝑖
𝐼𝑥𝑥𝑖
𝑗
𝑗
∙ 𝐹𝑦 +
· 𝑥𝑖 · 𝑀𝑡
∑𝑖 𝐼𝑥𝑥𝑖
∑𝑖 (𝐼𝑦𝑦𝑖 ∙ 𝑦𝑖2 + 𝐼𝑥𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑖2 )
(4.180)
Schema statico a trave
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
In un sistema sismo-resistente a setti, la presenza di pareti rigide consente di fare riferimento
a schemi semplificati considerando l’impalcato come una trave vincolata ai setti (Figura 4.93).
Così facendo si riduce un problema bidimensionale ad un problema monodimensionale, in
cui i vincoli di appoggio risultano cedevoli in modo inversamente proporzionale alla rigidezza
dei setti.
Figura 4.93: Esempio di schematizzazione a trave di un impalcato.
La schematizzazione a trave va effettuata in entrambe le direzioni, calcolandone taglio e
momento flettente, e individuando la situazione più gravosa.
L’azione sismica è schematizzata come un carico distribuito, che può essere più o meno
costante a seconda della ripartizione dei carichi permanenti e variabili.
Il contributo delle reazioni dei setti posti ortogonalmente alla componente del sisma
considerato (R5y e R6y), atti al bilanciamento del momento torcente per effetto dell’eccentricità
del centro di taglio e all’eccentricità accidentale, viene considerato nel caso monodimensionale
come un momento distribuito agente su tutta la lunghezza dell’impalcato. Allo stesso modo,
quando da normativa vigente si valutano le sollecitazioni sotto un’azione combinata di carico
sismico nelle due direzioni secondo la relazione (4.32) (per cui 𝐸 = 1,00 ∙ 𝐸𝑥 + 0,30 ∙ 𝐸𝑦 + 0,30 ∙
𝐸𝑧 ), l’effetto dovuto all’azione diretta parallelamente alla schematizzazione a trave viene
valutata come momento distribuito.
Nella determinazione delle reazioni dei setti mediante le equazioni (4.179) e (4.180)
l’eccentricità accidentale 𝑒𝑎𝑐𝑐 deve essere considerata in aggiunta all’eccentricità reale solo nel
𝑗
calcolo del momento torcente 𝑀𝑡 :
𝑗
𝑀𝑡 = 𝐹𝑗 ∙ (𝑒 + 𝑒𝑎𝑐𝑐 )
(4.181)
205
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
dove:
𝑗
Momento torcente relativo al piano j-esimo;
𝑗
Forza sismica agente al piano j-esimo;
𝑀𝑡
𝐹
𝑒
𝑒𝑎𝑐𝑐
Eccentricità reale del centro di taglio da centro di massa;
Eccentricità accidentale.
𝑗
Nel calcolo della seconda componente delle reazioni dei setti, dovuta all’effetto di 𝑀𝑡 , la
distanza dal centro di taglio che compare al numeratore va invece valutata per la sola
eccentricità reale.
L’introduzione dell’eccentricità accidentale secondo le indicazioni della normativa può essere
considerata come traslazione del centro delle masse rispetto al centro di taglio. In questo modo
è come se al momento torcente reale, dovuto alla non corrispondenza del centro delle masse
con il centro di taglio, si aggiungesse un momento torcente fittizio al fine di generare una
sovrastima cautelativa dell’azione sollecitante nei setti.
Figura 4.94: Esempio di sistema iperstatico a setti.
𝑗
Una volta determinate le reazioni, la sovrastima di 𝑀𝑡 non rende tuttavia il sistema equilibrato.
Va perciò considerato nell’equilibrio un momento torcente fittizio calcolato come:
𝑗∗
𝑀𝑡 = 𝐹𝑗 ∙ 𝑒𝑎𝑐𝑐
(4.182)
Considerando ad esempio l’impalcato mostrato in Figura 4.94 è possibile definire il centro di
massa secondo le relazioni (4.110) e (4.111) e il centro di taglio secondo (4.177) e (4.178).
Ipotizzando un’azione sismica distribuita 𝑓𝑦 è possibile determinare le reazioni nei setti
secondo le relazioni (4.179) e (4.180).
206
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.95: Impalcato soggetto ad azione sismica 𝑓𝑦 .
Come già discusso precedentemente, l’inserimento dell’eccentricità accidentale necessita
l’introduzione di un momento torcente fittizio, come espresso dalla relazione (4.182), per
riequilibrare il sistema. Passando poi allo schema monodimensionale a trave (Figura 4.96),
oltre alle reazioni dei setti diretti parallelamente all’azione sismica e al carico 𝑓𝑦 , è necessario
introdurre un momento distribuito che tenga conto delle reazioni dei setti perpendicolari
𝑗
𝑗∗
all’azione simica e che equilibrano il momento torcente 𝑀𝑡 e quello fittizio 𝑀𝑡 .
Figura 4.96: Sistema autoequilibrato a trave dell’impalcato.
In particolare si avrà, per il caso considerato, la seguente relazione:
𝑗
𝑚𝑦 =
𝑥
𝐹𝑦 ∙ 𝑒𝑎𝑐𝑐
∑𝑖 𝑅𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖
−
𝐿𝑥
𝐿𝑥
(4.183)
dove:
𝑚𝑦
Momento distribuito per azione sismica diretta lungo y;
𝑗
𝐹𝑦
Risultante dell’azione sismica lungo y dell’impalcato j-esimo;
𝑥
𝑒𝑎𝑐𝑐
𝑗
Eccentricità accidentale lungo x per l’azione sismica 𝐹𝑦 ;
𝐿𝑥
Dimensione dell’impalcato lungo x;
𝑅𝑥𝑖
Reazione dei setti perpendicolari alla direzione dell’azione simica 𝐹𝑦 ;
𝑦𝑖
Distanza del baricentro dell’i-esimo setto diretto lungo x dal centro di taglio.
𝑗
207
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Analogamente, se l’impalcato fosse sollecitato dall’azione sismica 𝑓𝑥 , lo schema a trave sarebbe
da considerare nella direzione y e il momento distribuito da applicare sarebbe:
𝑗
𝑚𝑥 =
𝑦
𝐹𝑥 ∙ 𝑒𝑎𝑐𝑐 ∑𝑖 𝑅𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖
−
𝐿𝑦
𝐿𝑦
(4.184)
dove:
𝑚𝑥
Momento distribuito per azione sismica diretta lungo x;
𝑗
𝐹𝑥
𝑦
𝑒𝑎𝑐𝑐
Risultante dell’azione sismica lungo x dell’impalcato j-esimo;
𝑗
Eccentricità accidentale lungo y per l’azione sismica 𝐹𝑥 ;
𝐿𝑦
Dimensione dell’impalcato lungo y;
𝑅𝑦𝑖
Reazione dei setti perpendicolari alla direzione dell’azione simica 𝐹𝑥 ;
𝑥𝑖
Distanza del baricentro dell’i-esimo setto diretto lungo y dal centro di taglio.
𝑗
Andando successivamente a valutare le combinazioni di carico che determinano la condizione
di maggior sollecitazione per l’impalcato, secondo la relazione (4.32), nel medesimo sistema
autoequilibrato a trave si deve tener conto di una percentuale di azione sismica diretta
perpendicolarmente all’azione principale, come da Figura 4.97.
Figura 4.97: Combinazione sismica su un impalcato con 𝐸𝑦 + 30% 𝐸𝑥 .
Il contributo fornito dall’azione sismica 𝑓𝑥 sullo schema a trave illustrato in Figura 4.97 è
fornito da un nuovo momento distribuito che tiene conto sia dell’eccentricità del centro di
taglio, reale e accidentale, sia delle reazioni nei setti lungo x per effetto di 𝑓𝑥 :
𝑗
𝑚′ =
𝑦
𝐹𝑥 ∙ (𝑒 𝑦 + 𝑒𝑎𝑐𝑐 ) ∑𝑖 𝑅𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖
+
𝐿𝑥
𝐿𝑥
(4.185)
Sommando il caso con 100% Ey e quello con 30% Ex si avrà dunque una sovrapposizione degli
effetti del momento distribuito 𝑚𝑦 e 𝑚′ .
Similmente se si considerasse una combinazione 100%Ex + 30% Ey il valore del momento
distribuito 𝑚′ sarebbe espresso nella seguente maniera:
𝑗
𝑚′ =
208
𝑥
𝐹𝑦 ∙ (𝑒 𝑥 + 𝑒𝑎𝑐𝑐
) ∑𝑖 𝑅𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖
+
𝐿𝑦
𝐿𝑦
(4.186)
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Individuata la combinazione di carico più gravosa e valutate le azioni in gioco nel sistema
autoequilibrato a trave, si possono determinare i relativi diagrammi di momento flettente e
taglio. L’assorbimento di questo genere di sollecitazioni e la loro trasmissione ai setti sismoresistenti spetta ad altri elementi molto importanti del sistema, ovvero i diaframmi di piano.
Figura 4.98: Esempio di digrammi di taglio e momento flettente per un impalcato soggetto ad azione
sismica.
4.8
Progettazione dei diaframmi di piano
Il diaframma di piano rappresenta quell’elemento strutturale che in ogni impalcato ha il
compito di trasferire le forze di piano ai setti sismo-resistenti, in grado di assorbire
sollecitazioni di taglio e momento flettente attraverso specifici elementi.
L’organizzazione del diaframma di piano avviene effettuando una suddivisione dei compiti.
Come mostrato in Figura 4.99 si ipotizza di schematizzare la generica sezione del diaframma
di piano in correnti agli estremi collegati da un pannello caratterizzato da un’anima sottile. Ai
correnti si ipotizza di affidare il momento flettente, mentre al pannello si ipotizza di affidare
il taglio.
Queste ipotesi sono supportate dall’analisi di una sezione ideale a doppia “T”, la quale
rappresenta con buona approssimazione il comportamento del diaframma di piano. Andando
ad analizzare il diagramma degli sforzi di taglio (Figura 4.100) si può notare come essi si
sviluppino principalmente nella zona centrale e abbiano un valore del tutto trascurabile alle
estremità.
209
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.99: Schematizzazione del diaframma di piano come costituita da correnti e anima sottile.
Figura 4.100: Taglio e momento flettente di una sezione ideale a doppia T.
Per quanto riguarda invece il momento flettente si può notare che il diagramma degli sforzi a
farfalla presenti i valori massimi in corrispondenza delle estremità. Ciò implica che, in virtù
della maggior distanza dall’asse neutro, i correnti sono gli elementi che assorbono
maggiormente questo tipo di sollecitazione e trascurare la resistenza a flessione del pannello,
così come a taglio dei correnti, risulta essere un’approssimazione del tutto accettabile.
Oltre a correnti e pannello d’anima, altri elementi fondamentali all’organizzazione simica
dell’impalcato sono i ripartitori. Mentre i correnti sono posizionati ortogonalmente alla
direzione del sisma, i ripartitori sono disposti parallelamente e hanno il compito di trasferire
il flusso di sforzi distribuito lungo l’anima in reazione concentrata nei setti sismo-resistenti.
La predisposizione di questi elementi all’interno della struttura non significa introdurre
necessariamente dei nuovi elementi all’interno dell’impalcato: il lavoro di ripartitori e correnti
sono molte volte assolti da travi di bordo e cordoli opportunamente armati, mentre quello di
anima viene solitamente assolto dalla sottile cappa di 4/5 cm di calcestruzzo armato al di sopra
delle pignatte, anche in questo caso opportunamente armata con rete elettrosaldata.
210
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
4.8.1
Progettazione dei correnti
Come già introdotto in precedenza, i correnti sono quegli elementi del diaframma di piano
che hanno il compito di assorbire il momento flettente generato da un’azione sismica
sull’impalcato.
Figura 4.101: Individuazione dei correnti all’interno del diagramma di piano.
Considerando l’azione sismica diretta lungo x o y lo sviluppo dei correnti avviene
perpendicolarmente ad essa, contrastando il momento sollecitante mediante una coppia di
forze che sollecitano assialmente i correnti.
Il valore del momento flettente utilizzato per la determinazione della coppia di forze è il valore
massimo ottenuto dal diagramma dei momenti relativo alla schematizzazione a trave
dell’impalcato, considerando la combinazione di carico più gravosa.
La valutazione della forza assiale agente nei correnti avviene come segue:
𝐹𝑐 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑧
(4.187)
dove:
𝐹𝑐
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑧
Forza assiale all’interno del corrente che può essere alternativamente di
trazione e compressione;
Momento massimo sollecitante dell’impalcato nella condizione di carico più
gravosa;
Braccio della coppia di forze 𝐹𝑐 corrispondente alla distanza assiale tra i due
correnti.
Mentre nel corrente compresso è il calcestruzzo a resistere all’azione assiale, nel corrente teso
è necessario calcolare l’area di armatura. Poiché il compito di corrente è assunto da un
elemento già armato a flessione, l’armatura calcolata è da considerarsi come aggiuntiva a
quella già presente e va posizionata in maniera baricentrica all’interno della sezione in modo
da non variarne la percentuale compromettendo la duttilità della trave (Figura 4.102).
L’armatura aggiuntiva da inserire e da estendere in maniera continua su tutta la lunghezza
vale:
𝛥𝐴𝑠𝑐 =
𝐹𝑇
𝑑𝑜𝑣𝑒 𝐹𝑇 = 𝐹𝑐
𝑓𝑦𝑑
(4.188)
dove:
211
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝛥𝐴𝑠𝑐
Armatura aggiuntiva per il corrente teso;
𝐹𝑇
Azione assiale di trazione nel corrente;
𝑓𝑦𝑑
Valore di progetto dello snervamento dell’acciaio.
Figura 4.102: Esempio di posizionamento dell’armatura 𝛥𝐴𝑠 all’interno del cordolo, in corrispondenza
del baricentro.
Poiché il sisma nella realtà agisce nelle due direzioni, i correnti sono alternativamente prima
tesi poi compressi, per cui è necessario predisporre la medesima armatura in entrambi gli
elementi.
4.8.2
Progettazione del pannello d’anima
Il pannello d’anima è quell’elemento che, a differenza dei correnti, assolve il compito di
assorbire il taglio. Il valore di taglio utilizzato per il dimensionamento di questo elemento è il
valore massimo ottenuto dal diagramma del taglio relativo alla schematizzazione a trave
dell’impalcato, considerando sempre la combinazione di carico più gravosa.
All’interno della generica sezione del pannello non si considera lo sforzo di taglio massimo,
ma quello medio, definito come:
𝜏𝑚 =
𝑇𝑚𝑎𝑥
𝑧·𝑡
(4.189)
dove:
𝜏𝑚
𝑇𝑚𝑎𝑥
𝑡
Sforzo tangenziale medio nella sezione maggiormente sollecitata a taglio;
Taglio massimo sollecitante dell’impalcato nella condizione di carico più
gravosa;
Spessore del pannello d’anima.
Figura 4.103: Diagramma degli sforzi tangenziali all’interno della sezione generica dell’impalcato.
Valutando il diagramma rappresentato in Figura 4.103 è possibile osservare che il considerare
lo sforzo d taglio medio anziché quello massimo non comporta un sostanziale cambiamento
212
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
nella valutazione delle sollecitazioni (trattasi di trave alta in condizioni ultime, per cui
l’andamento uniforme è ragionevole).
Una grandezza che è utile introdurre per l’elemento in questione è il flusso degli sforzi
tangenziali. È una grandezza che deriva direttamente dagli sforzi taglianti presenti nella
sezione d’anima moltiplicando per lo spessore 𝑡, come espresso dalla seguente relazione:
𝑞𝑚 = 𝜏𝑚 ∙ 𝑡 =
𝑇𝑚𝑎𝑥
𝑧
(4.190)
dove:
𝑞𝑚
Flusso di sforzi tangenziali medio;
Poiché il valore del taglio varia a seconda della sezione considerata, in linea teorica anche il
flusso 𝑞𝑚 dovrebbe variare. Tuttavia per semplicità si assume in ogni sezione il taglio
massimo, in modo da avere un valore del flusso costante, oltre che all’interno della sezione
stessa, anche in tutte le sezioni del pannello d’anima. Come mostrato in Figura 4.104 il
pannello è sollecitato a puro taglio e questo implica che, come mostrato dal piano di Mohr in
Figura 4.105, si hanno isostatiche di trazione e compressione inclinate a 45° perpendicolari tra
loro. L’equilibrio del pannello è garantito dai flussi di sforzi che si generano tra il pannello e
correnti e ripartitori; risulta perciò importante garantirne il corretto trasferimento mediante
un’apposita armatura.
Analizzando il semplice pannello e le sollecitazioni agenti si possono individuare i puntoni
compressi di calcestruzzo inclinati che necessitano di un’armatura per contenerne la spinta.
Figura 4.104: Andamento del flusso degli sforzi tangenziali nel pannello d’anima.
Figura 4.105: Stato di sollecitazione dell’infinitesimo elemento del pannello d’anima nel piano di
Mohr.
213
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.106: Puntoni compressi e armatura tesa del pannello d’anima.
La prima fessurazione avviene con il raggiungimento della resistenza massima a trazione da
parte dello sforzo principale di trazione, ovvero:
𝑓𝑐𝑡 = 𝜎𝐼𝐼
(4.191)
Analizzando il puntone compresso con il tirante verticale mostrato in Figura 4.107 si
ottengono le seguenti relazioni di equilibrio orizzontale e verticale:
𝑞𝑚2 · 𝛥𝑥 − 𝑛𝑝𝑐 · 𝑐𝑜𝑠 45° = 0
(4.192)
𝐹𝑠𝑣 − 𝑛𝑝𝑐 · 𝑠𝑖𝑛 45° = 0
(4.193)
dove:
𝑞𝑚2
Flusso di sforzi tangenziali medio tra pannello e correnti;
𝛥𝑥
Passo dei ferri d’armatura verticali;
𝑛𝑝𝑐
Azione assiale nel corrente compresso di calcestruzzo inclinato;
𝐹𝑠𝑣
Forza di trazione in ogni ferro d’armatura verticale con passo Δ𝑥.
Il tiro del ferro verticale risulta perciò essere:
𝐹𝑠𝑣 = 𝑞𝑚2 · 𝛥𝑥
(4.194)
Allo stesso modo analizzando l’equilibrio orizzontale e verticale del puntone compresso con
il tirante orizzontale si ottiene:
𝐹𝑠𝑜 − 𝑛𝑝𝑐 · 𝑐𝑜𝑠 45° = 0
(4.195)
𝑞𝑚1 · 𝛥𝑦 − 𝑛𝑝𝑐 · 𝑠𝑖𝑛 45° = 0
(4.196)
dove:
𝑞𝑚1
Flusso di sforzi tangenziali medio tra pannello e ripartitori;
𝛥𝑦
Passo dei ferri d’armatura orizzontali;
𝐹𝑠𝑜
Forza di trazione in ogni ferro d’armatura orizzontale con passo Δ𝑦.
Il tiro del ferro orizzontale risulta perciò essere:
𝐹𝑠𝑜 = 𝑞𝑚1 · 𝛥𝑦
214
(4.197)
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.107: Equilibrio del puntone compresso con i tiranti verticale e orizzontale.
L’area di armatura verticale e orizzontale risultano:
𝐴𝑠𝑣 =
𝑞𝑚2 · 𝛥𝑥
𝑓𝑦𝑑
(4.198)
𝐴𝑠𝑜 =
𝑞𝑚1 · 𝛥𝑦
𝑓𝑦𝑑
(4.199)
dove:
𝐴𝑠𝑣
Area di armatura verticale nel tratto 𝛥𝑥;
𝐴𝑠𝑜
Area di armatura orizzontale nel tratto 𝛥𝑦;
𝑓𝑦𝑑
Tensione di snervamento di progetto dell’acciaio pari a 391,3 MPa.
Si noti che il calcolo dell’armatura viene effettuato utilizzando 𝑓𝑦d e non 𝜎𝑠,𝑚𝑎𝑥,𝑒𝑠 , in quanto la
progettazione sismica che si sta effettuando rientra nello stato limite di salvaguardia della vita,
quindi stato limite ultimo.
Nel caso in cui si ipotizzi:
𝑞𝑚1 = 𝑞𝑚2
(4.200)
𝛥𝑥 = 𝛥𝑦
(4.201)
Si ottiene che l’armatura verticale e orizzontale sono le medesime con il medesimo passo:
𝐹𝑠𝑣 = 𝐹𝑠𝑜
(4.202)
In generale si tenga conto che l’azione assiale all’interno del puntone di calcestruzzo
compresso viene considerata costante, ipotizzando che non vi sia nessun tipo di interazione
tra armatura e puntone se non sul contorno.
215
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
Figura 4.108: Meccanismo di attivazione dei puntoni e tiranti all’interno di un pannello d’anima
sollecitato al contorno da flusso costante.
L’attivazione del meccanismo puntone-tirante avviene al superamento del valore di resistenza
massima a trazione del calcestruzzo 𝑓𝑐𝑡 , il quale, per equilibrio, necessita di una forza verticale
offerta dall’armatura per contrastare la spinta. Il tiro nel ferro verticale e orizzontale che
equilibrano un puntone attivano a loro volta altri puntoni e altri ferri d’armatura.
L’inclinazione a 45° dei puntoni è giustificata dall’ipotesi che il pannello, caratterizzato da due
dimensioni geometriche paragonabili, sia sollecitato solo a taglio e questo in linea teorica
dovrebbe implicare un posizionamento dell’armatura perpendicolare allo sviluppo delle
fessure. Tuttavia per praticità, come accade per le staffe all’interno di una trave, normalmente
si utilizza una rete elettrosaldata con ferri verticali e orizzontali con uguale passo Δy e Δ𝑥.
Figura 4.109: Trasferimento degli sforzi dal pannello d’anima al ripartitore e infine al setto.
4.8.3
216
Progettazione dei ripartitori (lesene)
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
L’ultimo elemento caratterizzante il diaframma di piano è il ripartitore. Questo elemento
risulta essere fondamentale per il funzionamento di tutto il sistema in quanto è responsabile
della trasmissione del flusso di taglio dell’anima ai setti sismo-resistenti (Figura 4.109).
È un compito generalmente assolto da travi di bordo, cordoli o da elementi appositamente
realizzati con questo scopo. Raccogliendo il flusso degli sforzi tangenziali provenienti dal
pannello d’anima, il ripartitore viene caricato progressivamente da un’azione assiale, di
trazione o compressione, che poi va ad essere concentrata nel setto sismo-resistente (Figura
4.110).
Figura 4.110: Andamento dell’azione assiale nel ripartitore.
L’azione assiale nel ripartitore, ad andamento lineare, ha un valore massimo che,
considerando lo schema in Figura 4.110, vale:
𝑁𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑎 · (𝐿𝑦 − 𝐻1 )
dove:
𝑁𝑚𝑎𝑥
(4.203)
Azione massima assiale agente nel ripartitore;
𝑞𝑎
Flusso degli sforzi tangenziali medio agente tra pannello d’anima e ripartitore;
𝐿𝑦
Misura geometrica del pannello/ripartitore su cui si sviluppa 𝑞𝑎 ;
𝐻1
Sviluppo in pianta del setto S1 su cui si innesta il ripartitore.
Sul setto S1 nella lunghezza 𝐻1 si sviluppa un flusso di sforzi tangenziali 𝑞𝑆1 tale per cui:
𝑞𝑆1 · 𝐻1 = 𝑞𝑎 · 𝐿𝑦
(4.204)
𝑅𝑆1 = 𝑞𝑆1 · 𝐻1
(4.205)
𝑅𝑆1 = 𝑁𝑚𝑎𝑥
(4.206)
Mentre il flusso 𝑞𝑎 si sviluppa su una lunghezza 𝐿𝑦 , il flusso 𝑞𝑆1 si sviluppa su una lunghezza
più ridotta 𝐻1 e ciò implica necessariamente che 𝑞𝑆1 sia maggiore di 𝑞𝑎 .
Come nel corrente, anche per il ripartitore è necessario calcolare l’armatura integrativa atta
all’assorbimento dell’azione assiale. Se anche in questo caso l’elemento viene sollecitato a
flessione dai carichi verticali, è importante posizionare l’armatura in maniera baricentrica
217
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
all’interno della sezione per non comprometterne la duttilità, altrimenti è possibile disporla in
maniera distribuita. Il calcolo viene effettuato mediante la seguente relazione:
𝛥𝐴𝑠𝑟 =
𝑁𝑚𝑎𝑥
𝑓𝑦𝑑
(4.207)
dove:
𝛥𝐴𝑠𝑟
Armatura aggiuntiva per il ripartitore;
𝑁𝑚𝑎𝑥
Azione assiale massima nel ripartitore;
𝑓𝑦𝑑
4.8.4
Valore a snervamento dell’acciaio di progetto.
Duttilità dei diaframmi di piano
La duttilità è un fattore molto importante quando si tratta di strutture in zona sismica, perché
garantisce la dissipazione dell’energia trasmessa per effetto del terremoto. Tuttavia nei sistemi
sismo-resistenti a setti non si affidano capacità dissipative ai diaframmi di piano, ma è
comunque buona norma che questo elemento abbia un certo grado di duttilità e che quindi il
collasso avvenga sempre per acciaio snervato ovvero lato calcestruzzo compresso con barre
ben oltre il limite di snervamento.
Analizzando l’equilibrio del nodo di una estremità del puntone compresso del pannello
d’anima si può osservare come esso sia soggetto nel tratto Δ𝑥 a 3 azioni differenti, vale a dire
il flusso 𝑞𝑚2 , il tiro della barra d’armatura 𝐹𝑠𝑣 e l’azione 𝑛𝑝𝑐 (Figura 4.111).
Gli equilibri verticale e orizzontale forniscono le seguenti relazioni:
𝑛𝑝𝑐 · 𝑐𝑜𝑠 45° = 𝑞𝑚2 · 𝛥𝑥
{
𝑛𝑝𝑐 · 𝑠𝑖𝑛 45° = 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠𝑣
(4.208)
Da cui:
𝑞𝑚2 · 𝛥𝑥 = 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠𝑣
(4.209)
Figura 4.111: Nodo di estremità di un puntone con relativa armatura di equilibrio.
Ipotizzando una distribuzione degli sforzi a compressione costanti all’interno del puntone si
può ottenere che:
𝑛𝑝𝑐 = 𝜎𝑐 · 𝛥𝑥 · 𝑡 · 𝑐𝑜𝑠 45° = 𝜎𝑐 · 𝛥𝑥 · 𝑡 ·
dove:
218
√2
2
(4.210)
4. ORGANIZZAZIONE DELL’EDIFICIO PER CARICHI ORIZZONTALI
𝜎𝑐
Sforzo di compressione all’interno del puntone di calcestruzzo;
𝑡
Spessore del pannello d’anima.
Considerando la seconda relazione in (4.208) e la precedente (4.210) si ottiene:
𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠𝑣
√2
2
= 𝜎𝑐 · 𝛥𝑥 · 𝑡 ·
√2
2
(4.211)
Da cui:
𝜎𝑐 =
2 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠𝑣
𝛥𝑥 · 𝑡
(4.212)
Considerando gli stati limite ultimi, al fine di evitare fragilità del pannello è opportuno che σc
sia inferiore al valore di progetto 𝑓𝑐𝑑 normalmente assunto, perciò:
2 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠𝑣
< 𝜈 ∙ 𝑓𝑐𝑑
𝛥𝑥 · 𝑡
(4.213)
dove:
𝑓𝑐𝑑
ν
Valore di resistenza a compressione di progetto del calcestruzzo agli stati limite
ultimi;
Coefficiente di efficienza ben dettagliato nel Capitolo 5.
Vedendo la stessa relazione in un’altra forma si ottiene:
∗
𝐴𝑠𝑣
1 𝑓𝑐𝑑
< ∙
𝛥𝑥 · 𝑡 2 𝑓𝑦𝑑
(4.214)
dove:
∗
𝑓𝑐𝑑
Valore di resistenza a compressione di progetto ridotto del calcestruzzo nel
pannello d’anima agli stati limite ultimi e pari a 𝜈 ∙ 𝑓𝑐𝑑 , con 𝜈 < 1 ;
La relazione (4.214) risulta essere la condizione di duttilità del pannello d’anima, dove il primo
membro rappresenta una sorta di percentuale d’armatura d’anima (𝜌̅𝑠 ) all’interno dell’area di
competenza (percentuale d’armatura d’anima), mentre il secondo il rapporto tra la resistenza
di progetto del calcestruzzo ridotta del coefficiente di influenza e la resistenza dell’acciaio.
219