MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Docente: Ana Millán Gasca
a.a. 2011-2012
Complementi ed esercitazioni 6 – Tema IV L’aritmetica elementare
La seconda forma del principio di induzione
Considerata una successione di infinite proposizioni matematiche A1, A2 , A3 ,...
costituiscono la proposizione generale A, se innanzitutto
che insieme
– (a) si dimostra che un primo caso sia vero;
e poi
– (b) si individua un metodo che rende possibile il passo induttivo, ossia un metodo per dimostrare
che, se la proposizione è vera per A1, A2 , A3 ,..., Ak , allora è vera anche Ak +1
allora ne segue che tutte le proposizioni della successione sono vere e A è dimostrata.
La dimostrazione del teorema di rappresentazione dei numeri interi
Una lunga consuetudine con i numeri naturali che risale all’infanzia ci porta a
eseguire l’algoritmo della divisione in colonna nella sicurezza che riusciremo a trovare un
quoziente e un resto. Nel tema IV è stata dimostrato il teorema che assicura l’esistenza e
unicità di quoziente e resto, con opportune condizioni sul resto (si veda Lezioni di
matematica e didattica della matematica, Lezione 5, § 5. 2).
Questa teorema ci permette di dimostrare il teorema sulla rappresentazione degli interi
in una base b scelta a piacere che abbiamo enunciato nel tema I.
TEOREMA (RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NATURALI) Sia b un numero naturale maggiore di 1.
Ogni numero naturale n può essere rappresentato in modo unico nella forma
n = ak × b k + ak−1 × b k−1 + ...+ a3 × b 3 + a2 × b 2 + a1 × b1 + ao
con k un numero naturale, a0 , a1, a2 , ..., ak numeri naturali minori di b e ak ≠ 0
Per dimostrare il risultato procediamo per induzione, usando la seconda forma del
principio di induzione.
(a) Per il numero 1 la proposizione è ovvia.
(b) Supponiamo ora che il risultato sia stato dimostrato vero per ogni numero naturale
da 1 a n, e vediamo che è vero anche per n + 1. Applicando la divisione intera a n + 1
e b sappiamo che esistono e sono univocamente individuati q e r (0 ≤ r0 < b ) con
n +1= b⋅ q + r
Poiché il quoziente q è minore di n + 1 , secondo la nostra ipotesi possiamo
rappresentarlo in modo unico nel modo seguente:
q = ak ⋅ b k + ak−1 ⋅ b k−1 + ...+ a3 ⋅ b 3 + a2 ⋅ b 2 + a1 ⋅ b1 + ao
con k un numero naturale, a0, a1, a2, ..., ak numeri naturali minori di b e ak ≠ 0
Quindi abbiamo
n + 1 = b ⋅ q + r = b ⋅ (ak ⋅ b k + ak−1 ⋅ b k−1 + ...+ a3 ⋅ b 3 + a2 ⋅ b 2 + a1 ⋅ b + ao ) + r =
= ak ⋅ b k +1 + ak−1 ⋅ b k + ...+ a3 ⋅ b 4 + a2 ⋅ b 3 + a1 ⋅ b 2 + ao ⋅ b + r
vale a dire, possiamo rappresentare n + 1
usando k + 2
numeri naturali
r,a0 , a1, a2 , ..., ak
I numeri primi
Da Euclide, Elementi, Libro IX
Proposizione 20. Vi sono più primi di ogni quantità proposta di numeri primi.
Partizione
DEFINIZIONE (Insieme delle parti di un insieme). La famiglia dei sottoinsiemi di un
insieme U è a sua volta un insieme, detto insieme delle parti o insieme potenza, e si indica
con ℘(U).
DEFINIZIONE (Partizione). Una partizione di U è un sottoinsieme di ℘(U) che
verifica le condizioni seguenti:
– l’unione di tutti i sottoinsiemi di U che appartengono alla partizione è uguale a U;
– due qualsivoglia sottoinsiemi di U diversi della partizione sono disgiunti.
Esercizi
1) a) Dimostrare che la relazione “essere multiplo” verifica le proprietà riflessiva,
antisimmetrica e transitiva.
Aiuto: Applicare la definizione di multiplo; confrontare con la dimostrazione delle proprietà della
relazione “essere maggiore o uguale”.
b) La relazione essere multiplo in N è un relazione d’ordine totale?
2) Dobbiamo impacchettare 224 mele da agricoltura biologica. Abbiamo a
disposizione il necessario per preparare confezioni da 6 mele. Studiare l’andamento
dei resti in funzione del numero di confezioni preparate. Quale è il resto minimo?
A quale numero di confezioni corrisponde?
3) Enunciare il teorema di esistenza e unicità di quoziente e resto. Confronti i criteri
matematici usati per la ricerca del quoziente e i possibili usati nei problemi di
ripartizione o suddivisione in casi reali.
4) Su quale principio fondamentale della aritmetica si basa la dimostrazione della
esistenza di quoziente e resto?
5) Calcolare i resti delle divisioni successive di 2476 per 10. Cosa si osserva?
2476 = 247 ×10 + 6 =
= (24 ×10 + 7) ×10 + 6 = 24 ×10 2 + 7 ×10 + 6
= (2 ×10 + 4 ) ×10 2 + 7 ×10 + 6 = 2 ×10 3 + 4 ×10 2 + 7 ×10 + 6
(l’ultimo quoziente è il “resto” di un’ultima divisione 2 = 0 ×10 + 2 che possiamo quindi
evitare di eseguire).
Per scrivere 2476 in altre basi dobbiamo eseguire divisioni per la base e le “cifre” che
servono a rappresentarlo (non necessariamente quattro come in base 10) sono i resti
ottenuti. Quante cifre servono a rappresentare questo numero in base 2? Come lo
avrebbero rappresentato gli astronomi babilonesi?
6)
Indagare i concetti matematici sottostanti i seguenti problemi elementari.
a) In una divisione, il divisore è 170, il quoziente 8 e il resto 2. Quale è il divisore?
b) In quanti modi è possibile disporre 24 fiori in vasi dello stesso numero di fiori?
c) «Un bandito distribuisce 660 monete d’oro, il bottino di un furto, in parti uguali
fra i suoi 35 seguaci. Il capo si tiene solo il resto. Si tratta di un bandito generoso,
oppure di un vero furbo?»
7) Calcolare il massimo comun divisore usando l’algoritmo euclideo: a) di 45 e 72; b)
di 61 e 24; c) di 1338 e 750
8) Trovare due numeri interi, uno positivo e uno negativo, congrui con 5 modulo 6.
9) Quando due numeri interi sono congrui modulo 7? Trovare le classi di congruenza
che la congruenza modulo 7 determina nell’insieme Z: la famiglia di sottoinsiemi
che ha ottenuto è una partizione di Z. Quante sono? Consideri l’insieme Z7 e calcoli
le tabelline dell’addizione e della moltiplicazione.
10)All’indirizzo Agenzia delle Entrate_Informazioni sulla codificazione delle persone
fisiche potete trovare la procedura per ottenere i 16 caratteri alfanumerici del codice
fiscale italiano. Quale modulo è usato per ottenere la lettera che serve come
carattere di controllo?
11)Applicare la procedura usata nella dimostrazione del teorema sulla infinità dei
numeri primi per trovare cinque numeri primi, a partire da p1 = 2 e p2 = 3.
12)Calcoli i numeri generati dalle seguenti formule per i valori indicati
(a)
(b)
per
per
13)Indichiamo con An il numero di primi che si trovano fra i primi n numeri naturali.
Consideriamo la “densità” dei primi compresi tra i primi n numeri naturali data da
. Calcolate questo valore per n da 1 a 20 e rappresentate i valori ottenuti sulla
retta usando la carta a quadretti. Quale è l’andamento di tali numeri?
14)Dimostrare che il prodotto di due multipli di 12 è divisibile per 9.
Altri esercizi si trovano in rete: Lezioni di matematica e didattica della matematica, Roma, 2009,
Lezione 5. Leggete anche Il mago dei numeri (terza notte) e Sono il numero 1.
