Compito del 10 feb 2005

Facoltà di Ingegneria
Fisica I – Prova in itinere – 10 feb 2005 – Compito C
Esercizio n.1
Un blocco, di dimensioni trascurabili e di massa di m = 2 kg, legato ad un filo, viene fatto ruotare orizzontalmente su
m
un piano senza attrito, descrivendo un cerchio di raggio r = 1 m alla velocità di modulo costante v = 10 . Il filo è in
s
tensione. Calcolare l’accelerazione normale e l’accelerazione tangenziale del blocco e la tensione del filo.
Rispondere quindi alle seguenti domande:
1. l’accelerazione tangenziale vale
m
A. 0 2 (*)
s
m
B. 15 2
s
m
C. 45 2
s
m
D. 95 2
s
2. l’accelerazione normale vale
m
A. 0 2
s
m
B. 15 2
s
m
C. 50 2
s
m
D. 100 2 (*)
s
3. il modulo della tensione del filo è
A. 40 N
B. 100 N
C. 150 N
D. 200 N (*)
Esercizio n.2
Un blocco, di dimensioni trascurabili, legato ad un filo, ruota orizzontalmente su un piano senza attrito, descrivendo un
rad
cerchio di raggio r = 1 m con accelerazione angolare costante α = 10 2 . Il filo è in tensione. Supponendo che il
s
blocco parte da fermo al tempo t = 0 dalla posizione θ 0 = 0 , calcolare la velocità angolare e la posizione angolare al
tempo t = 1s .
Rispondere quindi alle seguenti domande:
4. al tempo t = 1s la velocità angolare del blocco vale
rad
A. 10
(*)
s
rad
B. 20
s
rad
C. 30
s
rad
D. 40
s
5. al tempo t = 1s l’angolo che individua la posizione del blocco vale
A. 5rad (*)
B. 15rad
C. 25rad
D. 40rad
Esercizio n.3
Un cilindro omogeneo di raggio r e massa m rotola senza strisciare giù da un piano inclinato di un angolo α , partendo
da un’altezza h. Determinare la velocità del centro di massa del cilindro quando raggiunge la base del piano inclinato.
Rispondere quindi alle seguenti domande:
r
m
6. il momento di inerzia del cilindro rispetto
all’asse di rotazione passante per il suo centro di
massa vale
A. I = mr 2
h
1
B. I = m 2 r
2
C. I = m 2 r
1
D. I = mr 2 (*)
2
7. la velocità v del centro di massa del cilindro è legata alla velocità angolare ω di rotazione intorno all’asse di
rotazione passante per il suo centro di massa dalla relazione
A. v = ωr (*)
1ω
B. v =
2 r
ω
C. v =
r
D. v = ω 2 r
8. l’energia cinetica del cilindro vale
1
A.
mv 2
2
3
B.
mv 2 (*)
4
C. 2mv 2
9.
D. mv 2
la velocità del centro di massa del cilindro alla base del piano inclinato vale
A.
v = 2gh
B.
v=
C.
v=2
D.
v=
gh
2
gh
3
(*)
1
gh
2
Esercizio n.4
Un blocco di massa m è sospeso in aria tramite un filo
inestensibile collegato ad un secondo blocco di massa M (M<m),
che può scivolare senza attrito su un piano orizzontale. Il filo è
avvolto su una carrucola che gira senza attrito intorno ad un
perno fisso ed ha momento di inerzia I e raggio R (vedi figura).
Trovare le accelerazioni dei due blocchi, trascurando l’attrito
dell’aria.
Rispondere quindi alle seguenti domande:
M
10. l’ accelerazione a M del blocco di massa M e quella a m del blocco di massa m sono legate dalla relazione:
am
2
= 2a m
A.
aM =
B.
aM
C.
aM =
am
3
I, R
m
D. a M = a m (*)
11. l’accelerazione del blocco di massa M vale
Mg
A. a M =
I + (m + M )R 2
mg
(*)
I
+
+
m
M
R2
= mg
B.
aM =
C.
aM
D. a M =
Mg
m+M
Esercizio n.5
Un blocco, assimilabile ad un punto materiale di massa m = 4 kg , partendo da fermo, scivola da un’altezza h = 4 m
lungo una guida priva di attrito. Alla base della guida, il blocco colpisce e comprime una molla ideale di costante
N
(vedi figura). Trovare la massima
elastica k = 200
m
m
compressione della molla.
Rispondere quindi alle seguenti domande:
h
12. durante il moto del blocco si conserva
A. la quantità di moto del blocco
k
B. l’energia potenziale del blocco
C. l’energia cinetica del blocco
D. l’energia meccanica del blocco (*)
13. Assumendo come punto di riferimento la base della guida, l’energia potenziale del blocco all’altezza h vale
A. 181.6 J
B. 78.4 J
C. 107.1 J
D. 156.8 J (*)
14. La compressione massima della molla vale
A. 3.45 m
B. 1.25 m (*)
C. 7.02 m
D. 0.89 m
Esercizio n.6
Un’asta rigida omogenea di massa M e lunghezza L è sospesa ad un estremo, punto O, e
può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per O.
Inizialmente essa è disposta verticalmente in equilibrio ed è colpita da un proiettile,
r
assimilabile ad un punto materiale, di massa m (m=(1/60)M) e viaggiante con velocità v 0
diretta come in figura, che vi si conficca completamente.
Studiare la collisione tra il proiettile e l’asta e rispondere alle seguenti domande:
15. Il momento di inerzia dell’asta rispetto ad un asse orizzontale passante per il suo
centro di massa e parallelo a quello di rotazione passante per O vale
1
A. I CM = ML2
3
B. I CM = ML2
1
(*)
C. I CM = ML2
12
1
D. I CM = ML2
2
16. La collisione tra l’asta ed il proiettile è una collisione:
A. perfettamente elastica
B. completamente anelastica (*)
C. anelastica
D. conservativa
17. Durante la collisione tra l’asta ed il proiettile si conserva la seguente grandezza fisica:
O
M, L
m
A. nessuna grandezza fisica
B. la quantità di moto totale
C. l’energia meccanica totale
D. il momento angolare totale rispetto al polo O (*)
18. Subito dopo la collisione il sistema asta+proiettile si mette in moto nel piano verticale ruotando attorno ad O con la
seguente velocità angolare ω 0 :
1 v0
(*)
21 L
v
B. ω 0 = 21 0
L
v0
C. ω 0 =
L
1 v0
D. ω 0 =
2 L
Altre domande
19. Un sasso viene lanciato orizzontalmente da una torre. Il suo moto è
A. uniformemente accelerato in direzione orizzontale ed uniforme in direzione verticale
B. uniforme in direzione orizzontale ed uniformemente accelerato in direzione verticale (*)
C. uniformemente accelerato sia in direzione orizzontale che verticale
D. uniforme sia in direzione orizzontale che verticale
20. Una ruota omogenea ha massa M, raggio R e momento d’inerzia I rispetto all’asse passante per il suo centro di
massa (CM). Se la ruota compie un moto di puro rotolamento, con il CM che si sposta con velocità di modulo
v CM , l’energia cinetica della ruota risulta
A.
ω0 =
1
2
Mv CM
2
1
1 I 2
2
+
B.
Mv CM
v CM (*)
2
2 R2
1 I 2
v CM
C.
2 R2
1
1 2
2
D.
Mv CM
+ Iv CM
2
2
21. Il centro di massa di un sistema di particelle è quel punto individuato dal vettore
r
m i ri
r
A. r = i
m i ri
A.
∑
∑
i
r
∑m r
r
r=
∑m
i i
B.
i
(*)
i
i
r
∑r
r
r=
∑m
i
C.
i
i
i
D.
r
r=
∑m
∑m r
i
i
i i
i
r
r
22. Un punto materiale di massa m ha posizione r rispetto ad un polo O e velocità v . Su di esso agisce una forza
r
F . Il suo momento meccanico rispetto ad O è ( ∧ indica il prodotto vettoriale)
r r
A. r ∧ F (*)
r r
B. r ⋅ mv
r r
C. r ⋅ F
r
r
D. r ∧ mv
23. Il teorema di Koenig dell’energia cinetica dice che
A. L’energia cinetica di un sistema di particelle è sempre nulla
B. L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del centro di massa (CM)
del sistema
C. L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del CM del sistema più
l’energia cinetica del sistema rispetto al sistema del centro di massa (*)
D. L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del sistema rispetto al
sistema del centro di massa
24. Un moto rettilineo (posizione x, velocità v, accelerazione a) è armonico quando l’accelerazione è
A. a = costante
25.
26.
27.
28.
29.
B. a = −kx 2 con k=costante
C. a = − kv con k=costante
D. a = − kx con k=costante (*)
Un oggetto viene sollevato da terra fino ad un’altezza di 1 m e poi abbassato all’altezza di 0.5 m. La forza di
gravità compie un lavoro complessivo
A. Nullo
B. Positivo
C. Negativo (*)
D. Di segno dipendente dal cammino seguito
Un corpo rigido sospeso ad un punto fisso posizionato al di sopra del suo centro di massa è in equilibrio stabile
quando:
A. il momento meccanico totale delle forze esterne rispetto al punto di sospensione è nullo e la risultante
delle forze esterne è nulla (*)
B. non ci sono attriti
C. l’energia meccanica è nulla
D. l’energia cinetica è massima
Un punto materiale che si muove descrivendo una traiettoria circolare può avere
A. accelerazione normale nulla ed accelerazione tangenziale diversa da zero
B. accelerazione normale diversa da zero ed accelerazione tangenziale nulla (*)
C. accelerazione normale ed accelerazione tangenziale nulle
D. accelerazione normale ed accelerazione tangenziale parallele tra loro
Nel moto parabolico di un proiettile lanciato verso l’alto ad un angolo di 45°, nel punto di altezza massima, la
velocità ha
A. componente orizzontale nulla e componente verticale diversa da zero
B. componente orizzontale diversa da zero e componente verticale nulla (*)
C. entrambe le componenti nulle
D. entrambe le componenti diverse da zero
r r
Siano a e b due vettori e sia θ l’angolo tra di essi. Il modulo della differenza vale
A.
a 2 + b 2 + 2ab cos θ
B.
a 2 + b 2 − 2ab cos θ (*)
C.
a2 + b2
D. a + b
r
30. Un punto materiale di massa m si muove con velocità costante v . All’istante t=0, viene applicata ad esso una
r
r
forza F , di modulo costante e sempre ortogonale a v . Il punto materiale
r
r F
A. continua a muoversi con velocità di modulo v + t (t è il tempo)
m
r
B. si muove nella direzione della forza con velocità di modulo v
r
r F
C. si muove nella direzione della forza con velocità di modulo v + t
m
r
D. continua a muoversi con velocità di modulo v (*)
Soluzioni
Esercizio n.1
Il blocco si muove di moto circolare uniforme.
L’accelerazione tangenziale del blocco è nulla perché il modulo della velocità non cambia. L’accelerazione normale (o
centripeta) vale invece
v2
m
an =
= 100 2
r
s
Il filo trasmette la forza centripeta necessaria al blocco per descrivere il cerchio. Quindi
v2
T=m
= 200 N
r
Esercizio n.2
Il moto del blocco è circolare uniformemente accelerato.
La velocità angolare al tempo t = 1s risulta
rad
ω = ω 0 + αt
⇒
ω = 10
s
essendo ω 0 = 0 la velocità angolare al tempo t = 0
La posizione angolare del blocco al tempo t = 1s risulta:
θ = θ 0 + ω0 t +
1 2
αt
2
⇒
θ = 5rad
Esercizio n.3
1
mr 2 , compie un moto di puro rotolamento e quindi la relazione tra v ed ω
2
è: v = ωr . La sua energia cinetica è la somma di quella di traslazione del centro di massa e quella di rotazione intorno
all’asse passante per il centro di massa:
1
1
3
E k = mr 2 + Iω 2 = mv 2
2
2
4
Applicando il principio di conservazione dell’energia, possiamo ottenere il valore della velocità v del centro di massa
del cilindro alla base del piano inclinato:
Il cilindro, di momento di inerzia I =
mgh =
3
mv 2
4
⇒
v=2
gh
3
m
r
T2
r
T2
I
r
T1
Esercizio n.4
Riferendosi alla figura a fianco ed applicando le leggi della
dinamica ai due blocchetti ed alla carrucola si ha:
r
T1
mg − T1 = ma

T2 = Ma
RT − RT = Iα
2
 1
M
essendo a l’accelerazione comune ai due blocchi ed α =
r
Mg
a
R
l’accelerazione angolare della carrucola.
Risolvendo il sistema si ottiene
a=
mg
I
+m+M
R2
Esercizio n.5
Rispetto alla base della guida, l’energia potenziale del blocco è
E p = mgh = 156.8J
Alla base della guida, il blocco possiede un’energia cinetica uguale a quella potenziale iniziale. Mentre il blocco
comprime la molla, questa energia cinetica si trasforma in energia potenziale elastica della molla e la trasformazione è
completa quando la molla è compressa al massimo. Quindi:
1 2
kx
2
dove x è la compressione massima della molla.
mgh =
⇒
x=
2mgh
= 1.25m
k
Esercizio n.6
Nell’urto, il momento angolare del sistema proiettile più sbarra rispetto al polo O si conserva, essendo nullo il momento
meccanico totale delle forze esterne rispetto a tale polo. Non si conserva invece la quantità di moto totale a causa della
reazione vincolare impulsiva che insorge durante la collisione e che rende la risultante delle forze esterne non nulla.
La conservazione del momento angolare dà:
mv 0 L = I '0 ω 0
da cui
ω0 =
1 v0
21 L
essendo
I 'o = I o + mL2 =
1
21
ML2 + mL2 =
ML2
3
60