PK
23/2
.
.
.
2
a
c
Fisi
DA
#HIARA0RANTE
area UFDOJDPTDJFOUJöDB
a
c
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a
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...in
i
amica dei fluid
s Statica e dinLOROPROPAGAZIONE
s,EONDEELA
s)LSUONO
OLORI
s,ALUCEEICESSIONEERIFRAZIONE
s,ALUCERIFL RFERENZAEDIFFRAZIONE
s,ALUCEINTETURA
s,ATEMPERA
s )LCALORE I
s)GASPERFETTONDOPRINCIPIO
s0RIMOESECDINAMICA
DELLATERMO
SIMONE
EDIZIONI
Estratto della pubblicazione
'RUPPO %DITORIALE %SSELIBRI - 3IMONE
Copyright © 2006 Esselibri S.p.A.
Via F. Russo 33/D
80123 Napoli
Azienda certificata dal 2003 con sistema qualità ISO 14001 : 2004
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e con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione
scritta dell’editore.
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l’editore è a disposizione degli aventi diritto. L’editore provvederà, altresì, alle
opportune correzioni nel caso di errori e/o omissioni a seguito della segnalazione degli interessati.
Prima edizione: aprile 2006
PK23/2 - Fisica 2
ISBN 88-244-7794-1
Ristampe
8 7 6 5 4 3 2 1
2006
2007
2008
2009
Questo volume è stato stampato presso
Officina Grafica Iride
Via Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 24 - Arzano (NA)
Per informazioni, suggerimenti, proposte: [email protected]
Autore:
Chiara Pranteda
Redazione:
Daniele Ragosta
Grafica e copertina:
Gianfranco De Angelis
Impaginazione e grafici:
Pasquale Antignano
Estratto della pubblicazione
Il peso non dorme mai G.B.
Presentazione
○
○
○
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Con questo volume si continua il viaggio nel mondo della Fisica iniziato idealmente nel primo volume; andremo alla scoperta delle leggi
dell’idrostatica e dell’idrodinamica, della differenza fra calore e temperatura, di come avviene la percezione dei colori e dei suoni, del comportamento dei gas perfetti e infine delle leggi della termodinamica.
Ciascun capitolo è corredato da esempi relativi a ogni argomento trattato e da un test a risposta multipla.
Il linguaggio e le formulazioni adoperate sono state rese il più semplice possibile, così che il volume possa essere utilizzato come efficace
strumento di preparazione in vista di esami e per testare e migliorare
la propria preparazione.
ALFABETO GRECO
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θϑ
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
iota
kappa
lambda
mi
ni
xi
òmicron
pi
ρ
σ
τ
υ
ϕφ
χ
ψ
ω
rho
sigma
tau
ipsilon
phi
chi
psi
òmega
INDICE DEI SIMBOLI
>
<
≥
≤
≠
∞
→
∀
≅
±
sen α
cos α
maggiore
minore
maggiore o uguale
minore o uguale
diverso da
infinito
tende a
per ogni
circa uguale a
più o meno
seno dell’angolo α
coseno dell’angolo α
tan α
cotan α
arctan α
log
ln
lim
∂
∫
∑
∏
cost
tangente dell’angolo α
cotangente dell’angolo α
arcotangente dell’angolo α
logaritmo in base 10
logaritmo neperiano
limite
derivata parziale
integrale
sommatoria
produttoria
costante
Estratto della pubblicazione
1. Statica dei fluidi
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Di cosa parleremo
▼
Trasmissione delle
forze nei fluidi
▼
Principio di Pascal
Variazione di pressione
in un fluido a riposo
▼
Legge di Stevino
Corpi che affondano e
corpi che galleggiano
1. Statica dei fluidi
Principio
di Archimede
▼
▼
▼
▼
Statica dei
fluidi
Densità e pressione
▼
In questo capitolo ci occuperemo della statica dei fluidi (idrostatica) e nel
capitolo successivo della dinamica dei fluidi (idrodinamica) e tratteremo principalmente il comportamento dei liquidi; le considerazioni che faremo potranno essere estese anche ai gas.
Più precisamente ci occuperemo di liquidi perfetti e cioè di liquidi incomprimibili e privi di attriti interni.
5
Estratto della pubblicazione
1) Densità e pressione
La materia, dal punto di vista macroscopico, può essere suddivisa in
solida e fluida; i fluidi, dal latino ‘fluere’ – scorrere, sono tutte quelle
sostanze presenti in natura allo stato liquido o gassoso.
I fluidi, a differenza dei solidi, non hanno forma propria; infatti, un
liquido tende ad espandersi sotto l’influenza del proprio peso, mentre
un gas, molto più leggero, tende a occupare tutto lo spazio disponibile. Questo diverso comportamento è determinato dai legami intermolecolari che caratterizzano le varie sostanze i quali sono: molto forti
nei solidi, deboli nei liquidi, quasi inesistenti nei gas. Si dice che una
porzione di fluido – liquido o gas – è in quiete (rispetto a un determinato sistema di riferimento), quando la sua posizione globale non muta
al variare del tempo, benché, all’interno della porzione stessa, le molecole continuino a muoversi in ogni senso.
Le variabili che caratterizzano i fluidi in quiete, sono principalmente la
densità e la pressione.
1.1 La densità
m
La densità ρ =
è definita dal rapporto fra la massa m del fluido e il
V
volume V occupato da esso.
La densità può dipendere da molti fattori quali la pressione e la temperatura. Nel caso dei liquidi questa dipendenza è irrilevante mentre per
i gas è notevole.
L’equazione dimensionale della densità è [ρ] = [m · l –3 ] e l’unità di
Kg
misura è il 3 .
m
1. Statica dei fluidi
1.2 La pressione
La pressione esercitata da una forza su una superficie S è definita
F
dalla relazione P = 1 , dove F1 è la componente della forza perpendiS
colare alla superficie S.
L’equazione dimensionale della pressione è:
[P] = [F · S -1] = [m · a · l -2] = [m · lt -2 · l -2] = [m · l -1t -2]
6
Estratto della pubblicazione
L’unità di misura nel Sistema Internazionale è il Pascal (Pa) dove
1Pa =
1N
1dine
, nel Sistema C.G.I. è il baria dove 1baria =
.
1m 2
1cm 2
Vale la trasformazione:
1Pa =
1N
105 dine
= 4 2 = 10barie
2
1m
10 cm
2) Trasmissione delle forze nei fluidi - Principio di Pascal
Consideriamo la figura 1.a in cui due recipienti dotati di pistone contenenti un liquido sono messi in collegamento. I recipienti sono dotati di
un pistone e hanno la stessa sezione S.
h1
h
S
S
h
In stato di quiete i due pistoni si trovano alla medesima altezza.
Se appoggiamo un peso sul pistone di sinistra il pistone di destra viene
automaticamente sollevato e questo significa che la forza applicata sul
pistone di sinistra viene trasmessa al pistone di destra (Fig. 1.b).
7
Estratto della pubblicazione
1. Statica dei fluidi
(Figg. 1.a, 1.b, 1.c)
Per riportare i due pistoni allo stesso livello è necessario appoggiare
su quello di destra lo stesso peso che avevamo posato su quello di
sinistra (Fig. 1.c).
L’esperienza dimostra che se il cilindro di destra avesse avuto una
superficie doppia del cilindro di sinistra, per ristabilire l’equilibrio avremmo dovuto appoggiare sul pistone di destra un peso doppio di quello
appoggiato sul pistone di sinistra (Fig. 2).
P
P
P
S2 = 2S1
S1
(Fig. 2)
Quindi, quello che si trasmette da una parte all’altra del liquido non è
la forza applicata ma la pressione.
Principio di Pascal
Una pressione esercitata in un punto di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità.
Consideriamo due cilindri muniti di stantuffi e comunicanti fra loro (Fig. 3).
S1
F1
P1
S2
F2
P1
1. Statica dei fluidi
(Fig. 3)
8
Se sullo stantuffo di sinistra di sezione S1 si applica una forza F1 , la
pressione risultante è p1 =
F1
. Per il principio di Pascal deve essere
S1
p2 = p1 e quindi la forza trasmessa sarà pari a:
F2 = p2S2 = p1S2 =
F1
S
⋅ S2 = F1 ⋅ 2
S1
S1
Esempio
In una pressa idraulica simile a quella in figura 2,la sezione del pistone maggiore ha un’area S1
= 200cm2 mentre quella del pistone minore è S2 = 5,0cm2.
Se a quest’ultimo viene applicata una forza di 250N, si determini la forza F1 agente sul pistone
maggiore.
F2
F1
(Fig. 4)
Soluzione
Per il principio di Pascal la pressione esercitata sul pistone minore è uguale a quella esercitata
sul pistone maggiore, ossia p1 = p2. Quindi, essendo p =
F1 = S1
F
F F
si ha 1 = 2 da cui segue che:
S
S1 S 2
F2
250
= 200 ⋅
= 10000N = 10kN
5
S2
Se p0 è la pressione esercitata sulla superficie di un fluido di densità
ρ, la pressione alla profondità h è data da:
p = p0 + ρgh
9
Estratto della pubblicazione
1. Statica dei fluidi
3) Variazione di pressione in un fluido a riposo. Legge di Stevino
Dimostrazione
Consideriamo una porzione cilindrica del fluido di area S, e di spessore dy (Fig. 5).
Indichiamo con dp la differenza di pressione fra la base superiore e quella inferiore del
cilindro quindi, se p è la pressione sulla faccia superiore, su quella inferiore sarà p + dp.
p·S
p
p + dp
dy
S
S
p = mg
(p + dp) · S
(Fig. 5)
Essendo il fluido in quiete anche la porzione considerata non è in movimento e quindi
la somma delle forze agenti su di essa è media.
Analizziamo le pressioni che si esercitano sulle superfici del cilindro e, siccome una
pressione è definita dal rapporto fra la forza applicata perpendicolarmente a una superficie e la superficie stessa, vediamo quali sono le forze che agiscono perpendicolarmente alle superfici del cilindro:
Superficie laterale
Le forze che agiscono perpendicolarmente alla superficie laterale sono forze orizzontali le quali, essendo dovute unicamente alla pressione, hanno tutte lo stesso valore e si
annullano per ragioni di simmetria.
Basi del cilindro
Le forze che agiscono perpendicolarmente alle basi del cilindro sono:
1. Statica dei fluidi
— La forza di pressione sulla faccia superiore del cilindro F1 = S · p diretta verso il basso.
— La forza di pressione sulla faccia inferiore del cilindro F2 = S · (p + dp) diretta verso l’alto.
— La forza peso del cilindro F3 = mg = (ρV)g = (ρSdy)g = ρSgdy diretta verso il basso.
Siccome la forza risultante deve essere nulla si ha che:
– F1 + F2 – F3 = 0
e quindi:
–S · p + S · (p + dp) – ρSgdy = 0, da cui segue che:
(3.1)
dp
= ρg
dy
10
Estratto della pubblicazione
La (3.1) ci dice come varia la pressione con la profondità.
Per un aumento di profondità di dy si ha un aumento di pressione pari a dp = ρgdy · ρg è il
peso specifico del fluido, e ne rappresenta il peso per unità di volume.
Infatti il peso di un fluido di massa m è dato da:
(3.2) p = mg = ρVg
Se il volume del fluido è unitario (V = 1) la (3.2) diventa p = ρg che è proprio il peso
specifico.
Dalla (3.1) si ha che se p1 è la pressione alla profondità y1 e p2 è la pressione alla profondità y2, la differenza di pressione è data da:
(3.3) p2 – p1 = ρg (y2 – y1)
Dalla (3.3) segue che se conosciamo la pressione p0 al livello superficiale di un liquido,
la pressione ad una profondità h = y2 – y1 è data da:
(3.4) p = p0 + ρgh
p0
p = p0 + ph
h
(Fig. 6)
che è nota come legge di Stevino.
3.1 La pressione idrostatica
Possiamo riscrivere la (3.4) come p = p0 + ph dove il termine ph = ρgh
rappresenta la pressione idrostatica del fluido.
Esso indica infatti la pressione alla profondità h dovuta soltanto al
peso del liquido sovrastante.
Per chiarire ciò consideriamo nuovamente la figura 6.
Se indichiamo con m la massa di liquido contenuta al suo interno e
quindi tra la superficie e la profondità h, il peso di tale massa è pari a:
P = mg = ( ρV)g = (ρSh)g
La pressione esercitata da tale liquido è pari a:
1. Statica dei fluidi
P
= ρ gh
S
che è proprio la pressione idrostatica prima definita.
ph =
11
3.2 Conseguenza della legge di Stevino
Paradosso idrostatico
Consideriamo la figura 7 in cui dell’acqua viene fatta scendere attraverso una cannula in una botte.
colonna d’acqua
p0
h
P1
P1
P1
p=p0+ρgh
(Fig. 7)
Per la legge di Stevino la pressione sul fondo della botte è pari a:
1. Statica dei fluidi
p = p0 + ph = p0 + ρgh
dove p h è la pressione idrostatica e dipende soltanto dall'altezza della
colonna d’acqua contenuta nella cannula.
Quindi anche se la cannula è molto stretta, la pressione nel vaso aumenterà linearmente con l’altezza dell’acqua presente nella cannula.
Per il principio di Pascal, questa pressione si trasmette in ogni altro
punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità.
Quindi, la pressione idrostatica si eserciterà sia sulla base che sulla
superficie laterale della botte con la stessa intensità e, di conseguenza,
anche la forza esercitata dall’acqua contro la botte, essendo il prodotto
della pressione per la superficie, aumenterà proporzionalmente con
l’altezza della colonna d’acqua nella canna.
La forza esercitata sulla base della botte viene controbilanciata dalla
reazione vincolare del piano su cui la botte è appoggiata mentre, con12
tinuando a versare l’acqua, ad un certo punto la superficie laterale
della botte non sarà più in grado di contrastare la forza premente
dell’acqua e si romperà.
4) Il Principio di Archimede
Enunciato
Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso
l’alto pari al peso del volume del liquido spostato.
Consideriamo una porzione C di un fluido in equilibrio in un recipiente (Fig. 8.a).
F
Fa
F
C
C
→
P
P
Pe
(Figg. 8.a e 8.b)
Le forze agenti su C sono:
— la forza peso P ;
Siccome C è in equilibrio, la somma di queste due forze deve essere
uguale a zero:
P +Fa = 0
da cui segue che:
F a = −P
13
Estratto della pubblicazione
1. Statica dei fluidi
— la risultante delle forze di pressione F a, detta forza di Archimede, esercitata dal restante liquido sulla superficie di C.
Pertanto la forza di Archimede deve avere la stessa intensità ma verso
opposto alla forza del peso ed è, quindi, rivolta verso l’alto, e di valore
pari al peso di C e cioè al peso del volume del liquido in C.
Sostituiamo ora C con un corpo K avente le stesse dimensioni (e quindi lo stesso volume) di C. Anche in questo caso, le forze agenti su K
sono la forza peso e la forza di Archimede, ma, mentre il peso di K
dipende, ovviamente, da K stesso, la forza di Archimede, essendo esercitata dal liquido esterno, è uguale a quella che si esercitava su C.
Se sostituissimo K con un altro oggetto K’ avente le stesse dimensioni,
la forza di Archimede continuerebbe ad essere invariata.
Forze agenti su un corpo immerso in un fluido
Calcolare la risultante delle forze agenti su un corpo immerso in un fluido nel caso che
il corpo abbia la forma di un parallelepipedo.
F1
b1
P1
S
h
P2
b2
F2
1. Statica dei fluidi
(Fig. 9)
Per la legge di Stevino, la pressione in un liquido è la stessa alla stessa altezza, quindi
sulle facce laterali del parallelepipedo le forze di pressione sono uguali in modulo e si
annullano reciprocamente a due a due.
Le due basi, invece, si trovano a profondità diverse e quindi le forze di pressione saranno differenti.
Se p è la pressione a livello della base superiore, per la legge di Stevino, alla base inferiore la pressione è p + ρgh.
14
Se S è la sezione del solido, la forza agente sulla base superiore è F1 = p · S ed è diretta
verso il basso; la forza agente sulla base inferiore è F2 = pS + ρghS. La forza risultante
agente sul corpo è quindi data da: F = F2 – F1 = pS + ρghS – pS – ρghS. Ma V = hS è il
volume del parallelepipedo e Ps = ρg è il peso specifico del liquido. Quindi F = PsV ed è
proprio il peso del liquido spostato come affermato nella legge di Archimede.
Spesso nei problemi si crea un po’ di confusione su questa formula: la forza di Archimede è data dal prodotto tra il volume V del corpo immerso e il peso specifico Ps del
fluido in cui il corpo è immerso.
Corpi che affondano e corpi che galleggiano
L’esperienza ci insegna che non tutti i corpi affondano. Vediamo perché un corpo affonda e perché un altro corpo galleggia.
Abbiamo visto che su un corpo immerso in un liquido agiscono la sua
forza peso diretta verso il basso e la spinta di Archimede diretta verso
l’alto quindi:
(i) Se il peso del corpo è maggiore della spinta di Archimede il corpo
affonda.
(ii) Se il peso del corpo è uguale della spinta di Archimede il corpo è
in equilibrio in ogni posizione.
(iii)Se il peso del corpo è minore della spinta di Archimede il corpo
galleggia.
Indicando con P s il peso specifico del corpo e con PL il peso specifico
del liquido, il peso del corpo è dato da P = P sV e la spinta di Archimede è data da F = PLV.
Quindi dalle (i),(ii) e (iii) deriva che:
Per l’equilibrio dei corpi ha anche grande importanza la forma che, se
opportunamente sagomata, può spostare un liquido maggiore e ricevere così una maggiore spinta verso l’alto. In tali condizioni un corpo
può galleggiare anche se il suo peso specifico è maggiore di quello del
fluido che lo contiene.
15
1. Statica dei fluidi
(i*) Se P s > PL il corpo affonda.
(ii*) Se P s = P L il corpo è in equilibrio in ogni posizione.
(iii*) Se P s < P L il corpo galleggia.
Esempio
La massa di un blocco di alluminio è 25g, sapendo che la sua densità è ρ = 2700kg/m3 .
(i) Calcolare il suo volume.
(ii) Quale sarà la tensione di un filo che sostiene il blocco quando questo è totalmente immerso nell’acqua?
Soluzione
(i) Poiché ρ =
V=
m
segue che:
V
0,025Kg
m
=
= 9,26 ⋅10−6 m 3 = 9,26cm 3
ρ 2700Kg / m 3
(ii) Quando il blocco è immerso in acqua, esso risente della spinta di Archimede (Fig.10.a).
→
T
T
P
T
P
(Figg. 10.a, 10.b, 10.c)
1. Statica dei fluidi
Se il blocco fosse appeso fuori dall’acqua la tensione del filo sarebbe uguale al peso del corpo
mentre se il blocco è immerso nell’acqua (Fig. 10.b) si ha che:
tensione del filo = peso del corpo – spinta di Archimede
Per alcuni studenti non è molto chiaro che cosa si intende per tensione del filo, essa è la forza
che voi sentireste se foste voi a tenere in mano il filo (Fig. 10.c).
La spinta di Archimede è data dal peso del liquido spostato e cioè da:
volume del corpo × peso specifico del liquido in cui il corpo è immerso × accelerazione di
gravità
Ricordando che l’acqua ha una densità di 1000Kg/m3 , la spinta di Archimede è pari a:
A = PH2 OVg = (1000kg/m3 )(9,26 · 10–6m3 )(9,81m/s 2) = 0,091N
Il peso del corpo è pari a: P = mg = (0,025kg )(9,81m/s 2) = 0,245N.
Quindi la tensione del filo è: T = P – A = (0,245 – 0,091) N0,154N.
16
Estratto della pubblicazione
Test di verifica
1. Un cubo di metallo di lato 2,0cm è appeso ad un filo legato a una
bilancia; se il cubo, quando è completamente immerso nell’acqua, ha
una massa apparente di 47,3g, quale massa apparente avrà se completamente immerso nella glicerina con Ps = 1,26?
❏
❏
❏
❏
❏
a)
b)
c)
d)
e)
40g;
45g;
50g;
60g;
25g.
2. Un pallone aerostatico e la sua navicella hanno da vuoti una massa
complessiva di 2,0·102kg.
Una volta riempito, il pallone contiene 900m3 di elio di densità pari a
0,183kg/m3. Qual è il carico supplementare che il pallone può sollevare oltre al proprio peso?
(La densità dell’aria è ρ = 1,29kg/m3).
❏
❏
❏
❏
❏
a)
b)
c)
d)
e)
7,9kN;
8,9kN;
9,9kN;
10,9kN;
6,9kN.
3. Un pezzo di metallo ha una massa di 5g se misurato nell’aria, di 3g se
misurato nell’acqua e di 3,24g nel benzene. Qual è la densità del
metallo?
a)
b)
c)
d)
e)
0,50kg/m3 ;
1,50kg/m3 ;
2,30kg/m3 ;
3,50kg/m3 ;
2,50kg/m3 .
1. Statica dei fluidi
❏
❏
❏
❏
❏
17
4. Una molla che può essere o di bronzo (Ps = 8,8) o di ottone (Ps = 8,4)
ha una massa di 1,26g se misurata in aria e di 1,11g se misurata in
acqua. Di che cosa è fatta la molla?
❏ a) bronzo;
❏ b) ottone.
5. Qual è il volume della porzione di un blocco di quarzo (ρ = 2,65g/cm3)
che rimane sommersa quando il blocco fluttua in un recipiente riempito di mercurio (ρ = 13,6g/cm3)?
❏ a) 0,195;
❏ b) 0,200;
❏ c) 0,205;
❏ d) 0,210;
❏ e) 0,240.
Risposte esatte
1. Statica dei fluidi
1) b); 2) a); 3) e); 4) b); 5) a).
18
Estratto della pubblicazione
2. Dinamica dei fluidi
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Di cosa parleremo
▼
▼
Equazione di
continuità
▼
Equazione di Bernoulli
▼
Numero di Reynolds
Legge di Stokes
Paradosso idrodinamico
Teorema di Torricelli
2. Dinamica dei fluidi
▼
Attriti interni
▼
▼
▼
Tubi di flusso
Linee di flusso
▼
Fluidi
stazionari
e non
stazionari
▼
In questo capitolo vogliamo descrivere il moto di un fluido.
A tal fine, possiamo o studiare il moto di ogni singola particella che compone il fluido e poi dedurre il moto del fluido nell’insieme oppure rinunciare a
studiare il movimento di ogni singola particella e considerare il fluido nel
suo insieme determinandone le caratteristiche spazio-temporali.
Noi procederemo nel secondo modo descrivendo il moto del fluido nella sua
totalità e studiando poi le sue proprietà nello spazio e nel tempo.
Come esempio supponiamo di voler studiare il flusso di persone che entrano
in una stazione ferroviaria. Potremmo studiare il movimento di ogni singola
persona e poi trarre le conclusioni sul flusso di persone che transitano per la
stazione oppure potremmo studiare come varia nel tempo e nello spazio il
flusso nel suo insieme. Questo vuol dire considerare un punto della stazione
e studiare il flusso di persone che passano per quel punto oppure considerare l’intera stazione in un istante preciso e studiare il flusso delle persone in
quell’istante.
19
Estratto della pubblicazione
1) Fluidi stazionari e non stazionari
Il moto di un fluido può essere stazionario o non stazionario.
Consideriamo una sezione normale al fluido; il moto di un fluido è
stazionario quando la velocità di ogni elemento del fluido che passa
per quella sezione è costante nel tempo.
La velocità del fluido varia a seconda della sezione che sta attraversando ma attraversa una stessa sezione con la stessa velocità.
In figura 1 sono state evidenziate le sezioni P e Q nell’istante t1 e nell’istante t2.
t = t2
t = t1
P
P
Q
v➝1
v➝1
➝
v2
Q
v➝2
(Figg. 1.a e 1.b)
→
Tutti gli elementi del fluido che passano per P e Q hanno velocità v 1
→
nel punto P e v 2 nel punto Q.
Un flusso è detto non stazionario quando la velocità del fluido passante per una determinata sezione varia nel tempo.
La traiettoria di ogni elemento del fluido è detta linea di flusso e
risulta in ogni istante tangente alla sua velocità (Fig. 2)
2. Dinamica dei fluidi
v➝ 1
•
P1
v➝
• 2
P2
➝
• v3
P3
linea di flusso
(Fig. 2)
Due linee di flusso non possono mai intersecarsi in quanto nel punto
di intersezione gli elementi del fluido potrebbero seguire o l’una o
20
Estratto della pubblicazione
l’altra linea di flusso variando la propria velocità in modo casuale e
questo è contrario alla definizione di flusso stazionario.
Per ogni punto di un flusso stazionario possiamo tracciare una linea di
flusso. In figura 3 sono state evidenziate le linee di flusso che passano
per i punti di una linea chiusa.
S1
S2
(Fig. 3)
In questo modo si ottiene una superficie tubolare detta tubo di flusso.
Siccome le linee di flusso non possono intersecarsi, nessun elemento
del fluido può attraversare il tubo di flusso e questo vuol dire che,
indicando con S 1 e S2 due sezioni normali alle linee, tutti gli elementi di
flusso che entrano nel tubo di flusso da S1 devono uscire da S2.
2) Equazione di continuità
L’equazione di continuità esprime la conservazione della massa nel
fluido.
Consideriamo un fluido in moto stazionario e due sezioni S 1 e S2 nor→
21
Estratto della pubblicazione
2. Dinamica dei fluidi
→
mali ad esso di area A1 e A 2. Indichiamo con v 1 e v 2 le velocità con cui
le particelle attraversano le due sezioni e con ρ1 e ρ2 le densità del
fluido in prossimità delle sezioni.
La quantità di massa di fluido che attraversa la sezione S1 nell’intervallo
di tempo Δt, è data da:
(2.1) Δm1 = ρ1ΔV = ρ1A1v 1Δt
Nello stesso intervallo di tempo la massa che attraversa la superficie S2
è data da:
(2.2) Δm2 = ρ2ΔV = ρ2A2v 2Δt
A1
S 1 v1
S1=v1Δt
A2
S 2 v2
v2
S2=v2Δt
(Fig. 4)
Siccome il flusso è stazionario non possiamo avere elementi di flusso
che attraversano il tubo di flusso, questo vuol dire che tutta la massa
che entra dalla superficie S1 deve uscire dalla superficie S 2 e cioè deve
essere Δm1 = Δm2, ovvero ρ1 A1v 1Δt = ρ2 A2v 2Δt, da cui segue che:
(2.3) ρ1A 1v1 = ρ2A2 v2
che è l’equazione di continuità.
La (2.3) esprime il principio di conservazione della massa nella dinamica dei fluidi e può anche essere scritta come:
(2.4) ρAv = cost
Se il fluido è incomprimibile la densità è costante e quindi:
(2.5) Av = cost
Av è detto flusso di volume o portata volumetrica ed è il volume di
fluido che attraversa una sezione trasversale nell’unità di tempo. Esso
si misura in m3/s nel S.I. e in cm 3/s nel sistema C.G.I.
3) Equazione di Bernoulli
Consideriamo un fluido che si muove di moto stazionario lungo il tubo
di flusso disegnato in figura 5.
Δx2 = v2Δt
F2 = P2A2
A2
S2 S'2
2. Dinamica dei fluidi
F1 = P1A1 Δx1 = v1Δt
A1
v
y1 S1 1 S'1
y2
(Fig. 5)
22
Supponiamo che il tubo di flusso coincida con le pareti del contenitore in cui si muove il fluido.
Il fluido entra nel tubo da una sezione S 1 ad un’altezza y1 . S1 rimane
costante per un certo tratto per poi allargarsi ad un valore S2 e alzarsi
ad un’altezza y2.
Studiamo il moto della porzione di fluido tratteggiato in figura.
Durante un breve intervallo di tempo Δt il fluido che attraversa inizialmente la superficie S1 si è portato fino a S'1 ad una distanza Δx1 = v1Δt
mentre il fluido in S2 si è portato fino a S2 ad una distanza Δx2 = v2Δt.
Dato che il resto del volume tra le due superfici resta invariato consideriamo soltanto questi due volumi, tratteggiati in figura, che sono
uguali per il principio di continuità.
Per il teorema dell’energia cinetica:
Sulla superficie S 1 agisce la forza di pressione F1 = p1A 1 del fluido che
entra nella sezione ed è diretta verso destra.
Sulla superficie S 2 agisce la forza di pressione F 2 = p2A2 del fluido alla
destra della sezione ed è diretta verso sinistra.
Su tutto il fluido agisce la forza di gravità in quanto la porzione di
fluido di massa m viene sollevata dalla quota y1 alla quota y2.
Il lavoro compiuto sul sistema dalla forza F 1 è: L1 = p1A 1·Δx1.
Il lavoro compiuto sul sistema dalla forza F 2 è: L2 = –p2A 2·Δx2 .
Il lavoro compiuto sul sistema dalla forza F 3 è: L3 = –mg(y2 – y1).
Il lavoro totale compiuto sul sistema è quindi:
(3.1) L = L 1 + L2 + L3 = p1A 1·Δx1 – p2A 2·Δx2 – mg(y2 – y1)
Ma:
(3.2) A 1 · Δx1 = A 2 · Δx2 = ΔV
è il volume di fluido tratteggiato in figura.
Se la densità del fluido è costante si ha:
m
(3.3) ΔV =
ρ
dove m è sempre la porzione di fluido tratteggiata.
23
Estratto della pubblicazione
2. Dinamica dei fluidi
Il lavoro compiuto dalla forza risultante agente sul sistema uguaglia
la variazione di energia cinetica del sistema.
Per la (3.2) e la (3.3) la (3.1) diventa:
m
m
L = p1ΔV − p2 ΔV − mg ( y 2 − y1 ) = p1 − p2 − mg ( y 2 − y1 )
ρ
ρ
1 2 1 2
La variazione dell’energia cinetica del fluido è ΔE c = mv 2 − mv1 .
2
2
Per il teorema dell’energia cinetica L = ΔEc, quindi:
1
1
m
m
− p2 − mg ( y 2 − y1 ) = mv 22 − mv12
ρ
ρ
2
2
da cui segue, dopo alcuni passaggi matematici:
1 2
1 2
(3.4) p1 + ρv1 + ρ gy1 = p2 + ρv 2 + ρ gy 2
2
2
Poiché sono state prese due sezioni qualsiasi del fluido la (3.4) può
anche essere scritta come:
1 2
(3.5) p + ρv + ρ gy = cost
2
che è l’equazione di Bernoulli.
L’equazione di Bernoulli è applicabile soltanto ai moti stazionari in
quanto le sezioni considerate appartengono ad un tubo di flusso.
Da notare che, in condizioni statiche (idrostatica), l’equazione di Bernoulli continua a valere. Infatti in questo caso si ha che v1 = v2 = 0 e
l’equazione di Bernoulli diventa p1 + ρgy1 = p2 + ρgy2 da cui:
p1 – p2 = –ρg(y2 –y1)
che è la legge di Stevino.
Il termine p1 + ρgy1, che ha le dimensioni di una pressione, è detto pres1 2
sione statica, mentre p + ρv + ρ gy è detto pressione dinamica.
2
Per condotti orizzontali la legge di Bernoulli diventa:
1
1
p1 + ρv12 = p2 + ρv 22
2
2
1
e cioè p + ρv 2 = cost .
2
In particolare, si può osservare che anche nella legge di Bernoulli
troviamo il paradosso idrodinamico. Infatti, dovendo essere la somma
1
p + ρv 2 costante, ad un aumento di velocità deve corrispondere una
2
diminuzione di pressione e viceversa.
2. Dinamica dei fluidi
p1
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Estratto della pubblicazione
