Topografia idoneità 4 - Spadaro Emanuele Topografia e Ingegneria

APPUNTI DI TOPOGRAFIA
IDONEITA’ ALLA CLASSE 4a
PROF. SPADARO EMANUELE
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Alfabeto Greco
Lettera Greca
minuscola
























maiuscola
A
B


E
Z
H

I
K

M
N

O

P

T
Y

X


Corrispondente
lettera italiana
Nome delle
lettere
a
b
g
d
e
z
e
th
i
c
l
m
n
cs
o
p
r
s
t
u (francese)
f
ch
ps
o
alfa
beta
gamma
delta
épsilon
zeta
éta
theta
iota
cappa
lambda
mu
nu
csi
òmicron
pi (greco)
rho
sigma
tau
upsilon
fi
chi
psi
oméga
Segni Matematici
Segno
significato
Segno
significato









perpendicolare, a 90°
non perpendicolare
parallelo
uguale e parallelo
uguale (identico)
coincidente
non uguale (diverso)
congruenete
simile









circa
maggiore
maggiore o uguale
minore
minore o uguale
sommatoria
appartiene
non appartiene
da, a
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
DEFINIZIONE DI ANGOLO
Si definisce angolo la parte di piano compresa fra due semirette che hanno origine nello stesso
punto
fig. 1
DEFINIZIONE DI ANGOLO ORIENTATO
Per evitare l’incertezza se si intenda  o  l’angolo fra i due segmenti OA e OB è opportuno dare
un orientamento al senso di rotazione che deve avere un segmento per sovrapporsi all’altro con il
quale forma l’angolo in questione.
In topografia si usa il senso orario e si dirà che l’angolo  è rappresentato dalla rotazione che deve
compiere il segmento OA per sovrapporsi ad OB. Si scriverà quindi:
 = AOB;
 = BOA.
Esercizio proposto
Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti
elementi:
AB = 16,28m; BC = 19,32m; CD = 15,12m; DE = 10,92m; EF = 13,12m; ABC =  = 140°;
BCD =  = 130°; CDE =  = 100°; DEF =  = 280°.
Suggerimento: utilizzando un goniometro destrorso (che avanza con la graduazione in senso orario),
posizionare lo zero nella direzione della prima lettera della terna che individua il generico angolo e
il numero che rappresenta la sua ampiezza nella direzione della terza lettera.
UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI
Le unità di misura angolari utilizzati in topografia sono :
i sessagesimali (sg);
i sessadecimali (sd);
i centesimali o gon (g);
i radianti (rad) per la verità questi sono quasi mai utilizzati in topografia.
I Sessagesimali
L’unità di misura è il grado che si definisce come la novantesima parte dell’angolo retto.
L’angolo sessagesimale si indica con i gradi (°), i primi (‘) e i secondi (“). primi e secondi sono
sottomultipli del grado.
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
In particolare:
1° (un grado) = 60’ (sessanta primi)
1’ (un primo) = 60” (sessanta secondi)
perciò:
1° = 3600”
In genere un angolo in sessagesimali si indica:
sg = g° p’ s”.
Ad esempio  = 65°44’38”.
I Sessadecimali
L’unità di misura è la stessa del sistema sessagesimale.
Il sistema sessadecimale è stato introdotto per semplificare le operazioni di calcolo un tempo
onerose. L’angolo sessadecimale è composto da gradi, decimi, centesimi,millesimi e decimillesimi
di grado.
Un esempio di angolo sessadecimale è il seguente:
 = 121°,6359.
Sia per i sessagesimali che per i sessadecimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in
DEG (D).
I Centesimali (o Gon)
Sono strutturati in modo analogo ai sessadecimali, perciò hanno una parte intera rappresentata
dai gradi centesimali (o gon) e quattro decimali che rappresentano i decimi, centesimi, millesimi e
decimillesimi di grado.
L’angolo giro in centesimali conta 400gon, l’angolo piatto 200gon e l’angolo retto 100gon.
Perciò il grado centesimale corrisponde alla centesima parte dell’angolo retto.
Vi sono modi diversi per scrivere un angolo centesimale.
1° modo:
 = 75c, 42¯73¯ ¯
75c = gradi centesimali
42¯ = primi centesimali
73¯ ¯ = secondi centesimali
essendo:
1¯ (un primo centesimale) = 1c /100 (un centesimo di grado)
ed
1¯ ¯ (un secondo centesimale) = 1c /10000 (un decimillesimo di grado)
2° modo:
 = 75g, 42c 73 cc
75g = gradi centesimali
42c = primi centesimali
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
73cc = secondi centesimali
analogamente a prima si avrà:
1c = 1g /100
ed
1cc = 1g /10000.
3° modo: è molto utilizzato perché più pratico e veloce
 = 75c, 4273.
4° modo: è il modo più utilizzato perché più pratico, veloce e moderno
 = 75g, 4273
oppure
 = 75,4273gon.
Per operare con i centesimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in GRAD (G).
Sistema Assoluto O Analitico
L’unità di misura è il radiante che è l’angolo che sottende un arco lungo come il raggio della
circonferenza a cui l’arco appartiene.
 = 1rad
se
AB = R
Tra arco, angolo e raggio del settore circolare
OAB esiste la seguente relazione:
rad = AB / R
fig. 2
L’angolo giro nel sistema assoluto vale
retto vale /2 radianti.
2 radianti, l’angolo piatto vale  radianti, l’angolo
Per operare con i radianti le calcolatrici scientifiche vanno impostate in RAD (R).
PASSAGGIO FRA SESSADECIMALI, CENTESIMALI E RADIANTI
Per effettuare questi passaggi, tenendo conto della proporzionalità fra l’angolo in una determinata
unità di misura e il corrispondente angolo piatto, è sufficiente applicare le seguenti uguaglianze:
sd
g
rad
------- = ---------- = -------- .
 rad
180° 200gon
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
FUNZIONI
Si dice funzione l’operatore matematico che ad ogni valore della variabile indipendente x associa
un solo valore della variabile dipendente y.
In generale si scrive:
y = f(x)
Alcuni esempi di funzioni sono i seguenti:
y = 2x + 3;
y = x2 - 1;
y x.
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Nelle funzioni goniometriche la variabile indipendente è un angolo mentre la variabile
dipendente è un numero adimensionato.
Le funzioni goniometriche più importanti per la topografia sono:
1.
2.
3.
4.
la funzione seno (sin);
la funzione coseno (cos);
la funzione tangente (tg);
la funzione cotangente (cotg).
DEFINIZIONE DI SENO E COSENO TANGENTE E COTANGENTE
Per definire le funzioni goniometriche utilizzeremo il cerchio goniometrico. Tale cerchio è
caratterizzato dal fatto che il suo raggio è sempre unitario. Ciò non vuol dire che deve
necessariamente valere un centimetro o un decimetro o un metro o un ..... ma vuol dire che
qualunque sia la sua lunghezza essa va presa come unità di misura del disegno.
fig. 3
Si definisce seno dell’angolo  la proiezione del raggio BC sull’asse orizzontale (per questo
detto asse dei seni) perciò:
CD = AB = sin
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Analogamente si definisce coseno dell’angolo  la proiezione del raggio BC sull’asse verticale
(per questo detto asse dei coseni) perciò:
AC = BD = cos.
In base alla definizione data sia il seno che il coseno avranno valori compresi fra -1 e 1.
Si definisce tangente dell’angolo  il segmento EF della retta tangente al cerchio goniometrico e
parallela all’asse dei seni. Essendo E il punto di tangenza col cerchio ed F il punto di intersezione
fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:
EF = tg.
Si definisce cotangente dell’angolo  il segmento GH della retta tangente al cerchio
goniometrico e parallela all’asse dei coseni. Essendo G il punto di tangenza col cerchio e H il punto
di intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:
GH = cotg.
In base alla definizione data sia la tg che la cotg hanno valori compresi fra meno infinito (-  ) e
più infinito (+  ).
Esercizio risolto
Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno,
 = 56°.
il coseno, la tangente e la cotangente del seguente angolo:
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per
la risoluzione con calcolatrice scientifica.
Risoluzione grafica:
Si costruisce la figura in modo
preciso assumendo come unità di
misura il raggio BC. Quindi si
misurano con accuratezza i
segmenti
CD, AC, EF ed GH
dividendo la lunghezza di ogni
segmento per la lunghezza del
raggio BC si determinano i valori
delle funzioni goniometriche.
Dalla figura si legge:
BC = 27 mm; CD = 23 mm;
AC = 15 mm;
EF = 38 mm; GH = 19 mm.
fig. 4
sin = 23 : 27 = 0,85;
cos = 15 : 27 = 0,56;
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tg = 38 : 27 = 1,41;
cotg = 19 : 27 = 0,70.
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Risoluzione con calcolatrice scientifica:
Dopo avere impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo:
sin
5
6
=
0,82904;
tg
5
6
=
1,48256.
cos
5
6
=
risoluzione grafica
0,85
0,56
1,41
0,70
sin56°
cos56°
tg56°
cotg56°
0,55919;
risoluzione con calcolatrice
scientifica
0,82904
0,55919
1,48256
non siamo ancora in grado
di calcolarlo
Si nota una sufficiente rispondenza fra le due serie di risultati. Naturalmente i risultati grafici sono
affetti da inevitabili errori di graficismo.
Esercizio proposto
Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno,
il coseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli:  = 20°;  = 40°;  = 70°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per
la risoluzione con calcolatrice scientifica.
RELAZIONI FONDAMENTALI
Fra le funzioni goniometriche esistono alcune importanti proprietà.
Relazione fra seno e coseno
Fra seno e coseno esiste la seguente importante relazione fondamentale:
sin2 + cos2 = 1
Relazione fra seno coseno e tangente
Fra seno, coseno e tangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:
tg = sin / cos
Relazione fra seno coseno e cotangente
Fra seno, coseno e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:
cotg = cos / sin
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Relazione fra tangente e cotangente
Fra tangente e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:
cotg = 1 / tg
Esercizio risolto
Calcolare la cotangente di 58°.
Dopo aver impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo:
1
:
tg
5
8
= 0,62487
Esercizio risollto
Dato sin = 3 / 5 determinare: cos, tg e cotg.
sin2 + cos2  = 1
_________
cos =   1 - sin2  =  4 / 5
sapendo che:
si ricava:
per la tangente utilizzando la (3) si ricava:
tg = sin / cos =  3/4
per la cotangente utilizzando la (5) si ricava:
cotg = cos / sin =  4 / 3.
Esercizio risolto
Data tg = 5 determinare: sin; cos e cotg.
per la cotangente si utilizza la sua relazione con la tangente:
cotg = 1 / tg = 1 / 5
per determinare seno e coseno si scrive il seguente sistema:
 sin / cos = 5
 sin2 + cos2 = 1
risolviamo per sostituzione:
25 cos2+ cos2 = 1
e razionalizzando:
infine:
 sin = 5 cos
 (5 cos)2 + cos2 = 1
26 cos2 = 1
______



cos =
1 / 26
___
cos =   26 / 26
___
sin =  5 26 / 26.
Esercizio proposto
Sapendo che cotg = 3 determinare sin, cos, e tg.
Esercizio proposto
Sapendo che:
sin x tg  = 2
determinare sin, cos, tg e cotg.
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
SEGNI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE NEI VARI QUADRANTI
In base alle definizioni date per le funzioni goniometriche, ragionando sul cerchio goniometrico
determiniamo i segni del seno e del coseno. Tenendo conto che se la proiezione del raggio è un
segmento a destra dell’origine (sull’asse dei seni) o verso l’alto (sull’asse dei coseni) il segno è più
viceversa è meno. Per i segni delle funzioni tangente e cotangente si utilizzano le relazioni (3) e (5).
1°
2°
3°
4°
quadrante quadrante
quadrante
quadrante
0°90° 90°180° 180°270° 270°360°
sin
+
+
-
-
cos
+
-
-
+
tg
+
-
+
-
cotg
+
-
+
-
fig. 5
VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ALCUNI ARCHI NOTEVOLI
0°
30°
45°
60°
90°
sin
0
½
2
3
1
0
-1
0
cos
1
3
2
½
0
-1
0
1
tg
0
3
3
imp.
0
imp.
0
cotg
imp.
0
imp.
0
imp.
2
3
3
1
1
2
2
3
2
3
180° 270° 360°
FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Nelle funzioni inverse le variabili cambiano di significato cioè la x diventa variabile dipendente e
la y variabile indipendente. Se ad esempio la funzione diretta o semplicemente funzione è la
seguente:
y = x2
la funzione inversa è:
__
x=y.
Le funzioni inverse goniometriche associano un angolo (arco) ad un numero. Per questo sono
dette funzioni arco. Le funzioni goniometriche inverse che assumono importanza per la topografia
sono:
 arcoseno (arcsin) che è la funzione inversa del seno;
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10
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
 arcocoseno (arccos) che è la funzione inversa del coseno;
 arcotangente (arctg) che è la funzione inversa della tangente.
Arcoseno
L’arcoseno di un numero è l’angolo il cui seno è uguale al numero di partenza.
La funzione arcoseno si scrive nel seguente modo:
 = arcsin y
dove:  = angolo (arco)
arcsin = funzione inversa
y = numero adimensionato.
Poichè come già detto (vedi pag. 11) il seno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 la
variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).
Esercizio risolto
Calcolare l’arcoseno di 0,38.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i
sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF
sin
0
,
3
8
=
22°,33368
2NDF
DMS
22°20'01",25
Arcocoseno
L’arcocoseno di un numero è l’angolo il cui coseno è uguale al numero di partenza.
La funzione arcocoseno si scrive nel seguente modo:
 = arccos y
dove:  = angolo (arco)
arccos = funzione inversa
y = numero adimensionato.
Poichè come già detto (vedi pag. 11) il coseno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 la
variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).
Esercizio risolto
Calcolare l’arcocoseno di 0,38.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i
sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF
COS
0
,
3
8
=
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67°,66632
2NDF
DMS
67°39'58",75
11
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Arcotangente
L’arcotangente di un numero è l’angolo la cui tangente è uguale al numero di partenza.
La funzione arcotangente si scrive nel seguente modo:
dove:  = angolo (arco)
arctg = funzione inversa
y = numero adimensionato.
 = arctg y
Poichè come già detto (vedi pag. 10) la tangente può assumere solo valori compresi fra - e + la
variabile indipendente y potrà avere tutti i valori compresi in questo intervallo.
Esercizio risolto
Calcolare l’arcotangente di 43.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i
sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF
tg
4
3
=
88°,66778
2NDF
DMS
88°40'04",01
Esercizio proposto
Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri:
2,87940.
0,23499;
0,56232;
TRIGONOMETRIA
La trigonometria (dal greco misura dei triangoli) studia le relazioni tra i lati e gli angoli dei
triangoli. Essa utilizza le funzioni goniometriche per la risoluzione dei triangoli.
Risolvere un triangolo vuol dire determinare tutti i suoi elementi (tre lati, tre angoli e la
superficie).
Una cosa nota a priori per qualsiasi triangolo è che la somma dei suoi angoli interni corrisponde
all’angolo piatto. Questa affermazione può essere dimostrata nel modo seguente:
si traccia AD prolungamento di AB,
si traccia AE parallela a BC quindi si
nota che:
CAE =  (angoli alterni interni)
e
EAD =  (angoli corrispondenti)
Perciò:
 +  +  = 180°.
fig. 6
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
TRIANGOLI RETTANGOLI
Sono quei triangoli che hanno sempre un angolo retto (90°). In esso i lati che definiscono
l’angolo retto sono detti cateti mentre il lato opposto all’angolo retto è detto ipotenusa.
Per risolvere questo tipo di triangoli si possono utilizzare alcuni teoremi già noti quali ad esempio
Pitagora ed Euclide oppure i seguenti teoremi trigonometrici.
PRIMO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il seno
dell’angolo ad esso opposto.
In base all’enunciato si possono scrivere le
seguenti formule:
c = a sin
b = a sin
fig. 7
(7)
le (7) possono anche essere scritte nel modo
seguente:
AB = BC sin
AC = BC sin
SECONDO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il coseno
dell’angolo ad esso adiacente.
In base all’enunciato si possono scrivere le
seguenti formule:
b = a cos
c = a cos
fig. 8
(8)
le (8) possono anche essere scritte nel modo
seguente:
AC = BC cos
AB = BC cos
TERZO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e la
tangente dell’angolo ad esso opposto.
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13
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
In base all’enunciato si possono scrivere le
seguenti formule:
c = b tg
b = c tg
fig. 9
(9)
le (9) possono anche essere scritte nel modo
seguente:
AB = AC tg
AC = AB tg
QUARTO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e la
cotangente dell’angolo ad esso adiacente.
In base all’enunciato, con riferimento alla fig. 11, si possono scrivere le seguenti formule:
b = c cotg
c = b cotg
le precedenti possono anche essere scritte nel modo seguente:
AC = AB cotg
AB = AC cotg
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: c = 31,08 m; a = 51,98 m. Risolvere
il triangolo.
Nella risoluzione di questi problemi è sempre opportuno disegnare il triangolo, in scala per
verificare i risultati, mettendo i vertici in senso orario qualora non venga specificato, esplicitamente
o implicitamente, il contrario.
b  a2  c2
in questo caso che fra i dati non vi sono angoli si è
liberi di scegliere per essi l’unità di misura che si
desidera.
Scegliamo i centesimali perciò impostiamo la
calcolatrice in GRAD.
Essendo:
c = a sin
si ricava:
 = 100g -  = 59,1986 gon
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 = arcsin (c /a) = 40,8014 gon
S = ½ b c = 647,40 m2.
14
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: b = 27,45 m; CBA =  = 32,865
gon. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD
 = 100g -  = 67,135 gon
b = a sin
essendo:
si ricava:
a = b / sin = 55,61 m
c = b tg = 48,36 m
S = ½ b c = 663, 74 m2
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 35,61 m; b = 25,88 m.
Risolvere il triangolo.
(R. a = 44,02 m;  = 59,9909 gon;  = 40,0091 gon; S = 460,79 m2.)
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 68,51 m; CBA =  = 12,5133
gon. Risolvere il triangolo.
(R. b = 13,38 m; c = 67,19 m;  = 87,4867 gon; S = 449,50 m2.)
FORMULE PER IL CALCOLO DELL’AREA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
Per calcolare l’area di un triangolo rettangolo possono essere utilizzate formule diverse a seconda
degli elementi noti.
In particolare se sono noti i cateti la formula da utilizzare è:
S = ½ b c.
(10)
Quando invece è noto un cateto e un angolo si utilizza la
seguente formula:
S = ½ b2 tg
opuure:
S = ½ c2 tg .
Le precedenti si ottengono dalla (10) dove, utilizzando il
terzo teorema sui triangoli rettangoli, alla c prima e alla b
poi si sostituiscono le seguenti espressioni:
c = b tg
e
b = c tg.
Quando è nota l’ipotenusa e un angolo si può utilizzare la seguente espressione:
S = 1/4 a2 sin(2).
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15
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
A questa formula si giunge ragionando sulla figura 13 che si ottiene ribaltando intorno al lato AC
il triangolo della figura 12.
SABC = ½ SBCB’ = ½ ( ½ B’CBH)
ed essendo:
B’C = a
si ha:
e
BH = a sin(2)
dal triangolo
rettangolo BCH
SABC = 1/4 a2 sin(2).
fig. 10
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: CBA =  = 75,2018gon, S =
864,30m2. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD.
Essendo:
S = ½ c2 tg
si ricava:
c
quindi:
a  b 2  c 2 = 70,15 m;
2S
= 26,64 m
tg
b = c tg = 64,89 m
 = 100g -  = 24,7982 gon.
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: BC = a = 58,3m, S = 615,00 m 2.
Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD.
Essendo:
S = 1/4 a2 sin(2)
si ricava:
 = ½ arcsin (4 S : a2) = 25,7019gon
quindi:
 = 100g -  = 74,2981gon
c = a sin = 22,58m
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b = a cos = 53,66m.
16
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 6482,00m 2;  = 53° 31’ 42”.
Risolvere il triangolo.
(R. a = 164,68m; b = 97,89m; c = 132,43m;  = 36° 28’ 18”.)
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 254,36m; S = 10000m 2.
Risolvere il triangolo.
(R.  = 19° 05’ 39”;  = 70° 54’ 21”; b 240,37m; c = 83,21m.)
CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Come sin qui visto per risolvere un triangolo rettangolo è necessario conoscere almeno due
elementi dei quali almeno uno deve essere lineare (lati, perimetro, superficie, .......).
RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI
Sono qualsiasi quei triangoli per i quali l’unica cosa nota a priori è la somma degli angoli interni
(180° o 200 gon o  rad). Per la risoluzione di questi triangoli, a seconda dei dati e dopo averli
scomposti in due triangoli rettangoli, si possono utilizzare i teoremi sui triangoli rettangoli. Ma la
risoluzione risulta molto più spedita se vengono applicati i teoremi per essi specifici. Esistono
diversi teoremi per la risoluzione dei triangoli rettangoli, fra questi assumono particolare
importanza:
1. il teorema dei seni;
2. il teorema di Carnot.
TEOREMA DEI SENI
Enunciato: in un triangolo qualsiasi il rapporto fra il lato e il seno dell’angolo opposto è
costante ed è uguale al doppio del raggio del cerchio circoscritto (il cerchio circoscritto passa per i
tre vertici del triangolo. Il suo centro è detto circocentro e si ottiene come intersezione degli assi dei
tre lati. Ciascun asse di ciascun lato passa per il punto medio del lato ed è perpendicolare al lato).
HO, MO ed NO sono gli assi rispettivamente
dei lati AB, BC ed AC.
In base all’enunciato possiamo scrivere la
seguente formula:
a : sin = b : sin = c : sin = 2 R
fig.11
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(11)
Dalla (11) si possono scrivere le seguenti sei
relazioni:
17
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
a : sin = b : sin ;
a : sin = 2 R;
a : sin = c : sin;
b : sin = 2 R;
b : sin = c : sin;
c : sin = 2 R.
Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
a = 28,23m;  = 53,1200 gon;  = 71,1600gon. Risolvere il triangolo.
B

c
A
h

 = 200g - ( + ) = 75,7200gon
a

b
essendo:
C
b : sin = a : sin
 b = a sin : sin = 34,26m
c : sin = a : sin
 c = a sin : sin = 35,36m
S=½bh
h = a sin
sostituendo nella precedente si ha:
S = ½ a b sin = 448,83m2.
La formula utilizzata per il calcolo della superficie è detta di camminamento. Si può esprimere
nel modo seguente:
l’area di un triangolo qualsiasi è data dal semi prodotto fra due lati e il seno dell’angolo compreso.
Perciò:
S = ½ a b sin
S = ½ a c sin
S = ½ b c sin
Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti:  = 71,43gon;
circoscritto:
R = 33,12m. Risolvere il triangolo.
 = 49,58gon. Ed il raggio del cerchio ad esso
 = 200g - ( + ) = 78,99gon
a : sin = 2 R

a = 2 R sin = 59,68m
b : sin = 2 R

b = 2 R sin = 46,53m
c : sin = 2 R

c = 2 R sin = 62,67m
S = ½ a c sin = 1313,59 m2.
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18
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Esercizio proposto
Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
b = 403,82m;  = 53° 27’ 24”;  = 58° 19’ 42”. Risolvere il triangolo.
(R.
 = 68° 12’ 54”; c = 370,11m; a = 349,38m;
S = 60037,09m2.)
Esercizio proposto
Del triangolo ABC sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 191,24m e gli angoli
 = 65,0500gon;  = 56,8889gon. Risolvere il triangolo.
(R.
 = 78,0611gon; a = 326,27m; b = 359,99m;
c = 298,08m; S = 45769,00m2.)
TEOREMA DI CARNOT
Se gli elementi noti sono due lati e l’angolo compreso, oppure i tre lati il problema non può
essere risolto con il teorema dei seni.
In questo caso entra in gioco il Teorema di Carnot il cui enunciato si esprime nel seguente modo:
In un triangolo qualunque il quadrato di un lato è uguale alla somma del quadrato degli
altri due diminuiti del doppio prodotto fra questi ultimi e il coseno dell’angolo che essi
comprendono.
B

c
a


A
(15)
b
C
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 

fig. 12
a  b 2  c 2  2bc  cos 
b 2  a 2  c 2  2ac  cos 

b  a 2  c 2  2ac  cos 
c 2  a 2  b 2  2ab  cos 

c  a 2  b 2  2ab  cos 
Per trovare gli angoli quando sono noti i tre lati si applicano le seguenti formule che si ottengono
invertendo le (15)
  ar cos
b2  c2  a2
2bc
a2  c2  b2
2ac
2
a  b2  c2
  ar cos
2ab
  ar cos
Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
AB = c = 52,40m; BC = a = 42,65 m; CA = b = 65,40m .
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19
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
B

c
a


A
b
C
a2  b2  c2  2bc  cos
2bc  cos  b  c  a
2
2
2
65,40 2  52,40 2  42,65 2
b2  c2  a 2
   ar cos
 ar cos
 45 ,g1124
2bc
2  65,40  52,40
b2  a2  c2  2ac  cos
2ac  cos   a 2  c 2  b 2    ar cos
a 2  c 2  b2
42,652  52,402  65,402
 ar cos
 95,g 9006
2ac
2  42,65  52,40
c2  a2  b2  2ab  cos
2ab  cos   a 2  b 2  c 2
   ar cos
a 2  b2  c 2
42,652  65,402  52,402
 ar cos
 58,g 9871
2ab
2  42,65  65,40
1
1
S  b  c  sen   65,40  52,40  sen 45 g ,1123  1115,11m 2
2
2
Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 24,05m;
CA = b = 22,82m;
ACB =  = 41,7705gon.

B
c
a

A

b
C
c  a 2  b 2  2ab  cos   24,052  22,822  2  (24,05  22,82)  cos  41g ,7705  15,15m
a2  b2  c2  2bc cos
2bc  cos  b 2  c 2  a 2    ar cos
b2  c2  a 2
22,822  15,152  24,052
 ar cos
 84,g 0079
2bc
2  22,82  15,15
b2  a2  c2  2ac  cos
2ac  cos   a  c  b
2
2
2
   ar cos
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a 2  c 2  b2
24,052  15,152  22,822
 ar cos
 74,g 2160
2ac
2  24,05  15,15
20
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Per la calcolatrice usa 2ndF cos ((................) : (................)) =
Grad
Ricordati di impostarla in
1
1
S  b  c  sen   22,82  15,15  sen84 g ,0079  167,44m 2
2
2
Formule per il calcolo dell’area di un tiangolo qualsiasi

c

A
b
H
B
h
a

C
fig. 13
S = ½ bh
1
S  b  c  sin 
2
1
S  a  c  sin 
2
1
S  a  b  sin 
2
S
Formula di CAMMINAMENTO
per un Triangolo
1
a2
2 cot g  cot g
1
b2
S
2 cot g  cot g
Si usa quando sono noti:
Formula delle COTANGENTI
un Lato + i due Angoli
adiacenti
1
c2
S
2 cot g  cot g
Anche
L'area + 2 Angoli
S  P( P  a)( P  b )( P  c)
Formula di ERONE
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dove:
P
abc
2
21
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
CBA =  = 60,128gon;
ACB =  = 88,031gon;
S = 10,8830m2.

B
c
a

A

b
C
  200 g  (    )  51g ,8410
S
1
a2
2 cot g  cot g
a  2  S  (cot g  cot g ) = 2  1088,30(cot g 60 g128  cot g 88 g ,031) = 44,60 m
b
a
44,60
 sin  
 sin 60 g ,128  49,69 m
g
sin 
sin 51 ,8410
c
a
44,60
 sin  
 sin 88 g ,031  60,24 m
g
sin 
sin 51 ,8410
Esercizio proposto:
Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC =  ottuso (si dice ottuso un angolo maggiore
di 90°) e del quale sono noti i seguenti elementi AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S =
1815,00m²
(R. a = 139,22m;  = 137°46’05”;  = 17°32’01”;  = 24°41’54”)
CONSIDERAZIONE SUI TRIANGOLI QUALSIASI
Per risolvere un triangolo qualsiasi è necessario conoscere tre elementi dei quali almeno uno
deve essere lineare (altezza, superficie, lato ecc. ecc.).
Con i teoremi sviluppati si sono ricavate delle formule che consentono di calcolare lati o angoli.
Bisogna però prestare molta attenzione quando si fa l’arcoseno per ricavare gli angoli (perché la
calcolatrice ci da sempre un angolo del 1° quadrate e questo, a volte non è sufficiente) e precedere il
calcolo dalla risoluzione grafica del problema (fare la figura in scala partendo dai dati).
E’ consigliabile, tutte le volte che è possibile, applicare Carnot nella ricerca degli angoli.
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22
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
CERCHI NOTEVOLI DEI TRIANGOLI
Un cerchio si dice notevole quando basta il nome per individuarlo in tutte le sue caratteristiche.
Oltre al cerchio circoscritto del quale abbiamo già parlato nel teorema dei seni esistono altri due
cerchi notevoli dei quali tratteremo: il cerchio inscritto e il cerchio ex-inscritto.
IL CERCHIO INSCRITTO
E' il cerchio interno al triangolo che contemporaneamente tange ai tre lati. Il suo centro si chiama
incentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo (si ricorda che la
bisettrice è una linea interna al triangolo che partendo da un vertice divide in due parti uguali
l'angolo di quel vertice).
Per determinare il raggio:
r
2  S ABC
abc
fig. 14
IL CERCHIO EX-INSCRITTO
E' il cerchio "inscritto fuori", esso è contemporaneamente tangente ad un lato ed al
prolungamento degli altri due. Quindi come il cerchio inscritto esso è tangente ai tre lati ma sta fuori
dal triangolo.
Da quanto detto si evince che ogni triangolo ha
tre cerchi ex-inscritti uno per ogni lato.
Il centro del cerchio ex-inscritto, si chiama exincentro e si ottiene come intersezione delle
bisettrici degli angoli esterni al triangolo
adiacenti al lato di tangenza e della bisettrice
dell'angolo interno opposto al lato detto.
Per determinare i raggi:
2  S ABC
ra 
bca
rb 
2  S ABC
acb
rc 
2  S ABC
abc
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fig. 15
23
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
RISOLUZIONE DEI QUADRILATERI
Per risolvere un quadrilatero è necessario sapere che la somma degli angoli interni vale 360°.
Inoltre è necessario conoscere almeno 5 elementi dei quali almeno 2 devono essere lineari.
Per la risoluzione dei quadrilateri ci si serve dei triangoli utilizzando uno dei seguenti metodi:
si considera il quadrilatero come somma di due triangoli qualsiasi;
si considera il quadrilatero come differenza di due triangoli qualsiasi;
si considera il quadrilatero come somma di tre triangoli rettangoli e di un rettangolo.
Primo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
si conoscono due lati consecutivi e tre angoli;
si conoscono tre lati e due angoli opposti, in questo caso però si corrono i rischi visti nel teorema
dei seni per la risoluzione di un triangolo del quale sono noti due lati e un angolo non compreso;
si conoscono tre lati e i due angoli fra essi compresi;
si conoscono tutti i lati e un angolo.
B

b
C

a
A
c


d
D fig. 16
Le formule da utilizzare sono quelle dei triangoli qualsiasi.
Secondo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
non è possibile utilizzare il primo metodo;
si conoscono due lati opposi e tre angoli.
B

b
a

A
C
 '

d
c
'
D

E
fig. 16
Per la risoluzione:
si prolungano i due lati incogniti fino a farli intersecare nel punto E;
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24
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
’ = 180° - 
quindi dopo aver calcolato:
’ = 180° - 
e
si calcolano con le formule dei triangoli qualsiasi gli elementi dei due triangoli ABE ed CED;
ed infine per differenza fra gli elementi dei due triangoli sopra detti si calcolano gli elementi del
quadrilatero.
Terzo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
non è possibile utilizzare il primo e il secondo metodo;
si conoscono due lati opposi e tre angoli e quindi in alternativa al secondo metodo;
si conoscono tre lati e i due angoli compresi.
B
a

b

T
C
c
A

K
d
H
 D
fig. 18
Per la risoluzione:
si tracciano le perpendicolari (BK e CH) ad uno dei lati incogniti (in questo caso AD);
partendo da un vertice (in questo caso C) si traccia la perpendicolare (CT) ai segmenti tracciati
prima;
si calcolano con le formule dei triangoli rettangoli gli elementi incogniti.
RISOLUZIONE DEI POLIGONI
Per risolvere un poligono di n lati è necessario conoscere almeno 2n – 3 elementi dei quali
almeno n – 2 devono essere lineari
Per la risoluzione dei poligoni ci si serve dei triangoli considerando, in genere, il poligono come
somma di triangoli.
La somma degli angoli interni di un poligono si ottiene con la seguente formula:
  = (n – 2) 180.
Alla quale si giunge facendo il seguente ragionamento:
l'esagono della figura è stato scomposto in 6 triangoli, sapendo che la somma degli angoli interni di
un triangolo è 180° e togliendo l'angolo giro (360° = 2180°) si ottiene:
  = 6180 - 2180°
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25
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
quindi sostituendo a 6 la lettera n, che indica il numero
dei vertici di un generico poligono, e raccogliendo il 180°
si ottiene:
  = (n – 2)180.
fig. 19
FORMULA DI CAMMINAMENTO
Si applica per determinare l'area di un poligono (per cui anche di un triangolo e di un
quadrilatero), del quale sono noti tutti i lati meno uno e tutti gli angoli meno i due adiacenti al
lato incognito
D

d

E
c
C
e

F
b

B
a
A
fig. 20
Applichiamo la regola al poligono della figura nel quale abbiamo supposto di conoscere i lati a,
b, c, d, e e gli angoli  , , , 
S = ½ a b sin + b c sin + c d sin + d e sin - a c sin(+) - b d sin(+) – c e sin(+) + a d
sin(++) + b e sin(++) – a e sin(+++).
La formula sopra scritta si legge nel seguente modo:
la superficie è uguale ad un mezzo della somma dei prodotti dei lati consecutivi (presi a due a due)
per il seno dell'angolo fra essi compreso, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati alterni (presi a
due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, aumentata dalla somma dei
prodotti fra i lati bi-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi,
diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati tri-alterni (presi a due a due) per il seno della somma
degli angoli fra essi compresi, e così via.
Ogni tornata inizia da uno dei lati adiacenti a quello incognito e finisce quando si arriva all'altro lato
adiacente al lato incognito.
La formula si blocca quando si moltiplicano insieme i due lati adiacenti al lato incognito.
Il segno davanti ad ogni termine dipende dal numero di angoli che sono all'argomento del seno ed è
+ se tale numero è dispari, - in caso contrario.
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
PROBLEMI SULLE COORDINATE CARTESIANE E POLARI
PREMESSE
Per individuare la posizione di un punto nei piano, e per la successiva rappresentazione
grafica, è necessario dare le sue coordinate rispetto ad un sistema di riferimento.
Le coordinate planimetriche di un punto sono sempre due numeri e possono essere
essenzialmente di due tipi:
 coordinate cartesiane ;
 coordinate polari.
COORDINATE CARTESIANE
Le coordinate cartesiane (più correttamente dette coordinate cartesiane ortogonali perché
gli assi cartesiani di riferimento sono ortogonali fra loro) sono particolarmente utili nella
restituzione (disegno) di un rilievo topografico.
La posizione di ogni punto P è definita dalle due coordinate xp ed yP che ad esso si
associano.
La coordinata xP è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle Y (asse delle ordinate),
analogamente la yp è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle X (asse delle ascisse).
Spesso lo studente non riesce ad associare in modo corretto l’asse X o Y al termine ascisse
o ordinate. Si suggerisce la seguente assonanza ascisse = ascix per favorire la corretta
associazione.
Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti mod i:
 esplicito:
x P = ...........;
 implicito:
P(x P; yP);
yP = ..............
P(x P; yP)
nel modo implicito si mette sempre prima la x e poi la y.
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
COORDINATE POLARI
Le coordinate polari sono utili in fase di rilievo. Esse si riferiscono ad un sistema costituito da un
unico asse ON detto asse polare.
Le coordinate polari di un punto P sono:
 la distanza fra l’origine O del sistema (detto polo) e il punto stesso;
 e l’angolo orizzontale (misurato su di un goniometro orizzontale)  OP (detto
azimutale) di cui si deve ruotare, in senso orario, l’asse polare per farlo sovrapporre
alla congiungente l’origine con il punto in questione.
Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi:
 esplicito:
OP = ...........;
 implicito:
P(OP ; OP);
OP = ..............
P(OP; OP )
in questo caso non esiste un ordine di precedenza fra l’angolo e la distanza poiché l’angolo
e la distanza sono grandezze di tipo diverso.
L’angolo azimutale diventa azimut quando l’asse polare ON viene indirizzato verso il
nord oppure è parallelo all’asse Y di un sistema di riferimento cartesiano.
 esplicito: (OP) = ...........;
 implicito: P(OP); OP;
OP = ..............
P(OP); OP
La distanza OP non varia ne come simbolo ne
come valore numerico, mentre l’angolo cambia sia
come simbolo, che come nome, che come valore
numerico.
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28
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
PASSAGGIO DA COORDINATE POLARI A CARTESIANE
Poiché il rilievo viene molto spesso effettuato con coordinate polari (utilizzando tacheometri e
teodoliti che inizieremo a conoscere nel modulo 4), mentre il disegno viene molto spesso effettuato
con coordinate cartesiane (perché è più preciso) è necessario effettuare il passaggio dalle une alle
altre.
Allo scopo si utilizzeranno le formule (1), ricavate applicando il primo e secondo teorema sui
triangoli rettangoli (vedi modulo 1) OP’P in figura
Nella figura si è fatto coincidere l’origine
del sistema cartesiano con l’origine dei
sistema polare e l’asse delle ordinate con
l’asse polare.
xp = OP Sin(OP)
(1)
yp = OP cos(OP)
PASSAGGIO DA COORDINATE CARTESIANE A POLARI
In alcuni problemi didattici e della pratica operativa del Geometra, vengono fornite le coordinate
cartesiane di punti già rappresentati su di un disegno (vertici, ad esempio, di un appezzamento di
terreno), e sì richiede di calcolare le coordinate polari degli stessi rispetto ad un sistema polare con
origine coincidente con quella del sistema cartesiano e asse delle ordinate coincidente con l’asse
polare (allo scopo, ad esempio, dell’effettuazione di calcoli
relativi all’appezzamento in
questione).
Le formule necessarie per raggiungere lo scopo verranno ricavate. come segue, applicando il
primo, secondo e terzo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1) al triangolo rettangolo OP’P
in figura.
Per calcolare la distanza OP possiamo utilizzare
la seguente formula (2) ottenuta applicando il
teorema di Pitagora al triangolo prima detto:
OP  x 2P  y 2P
(2)
oppure una delle seguenti (3) ricavate applicando
il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli
OP = xp / sin(OP)
OP = yP / cos(OP)
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(3)
29
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Per calcolare l’azimut (OP) applichiamo il terzo teorema sui triangoli rettangoli sempre
al triangolo OP’P:
(OP) = arctg(x p / y P ) + k
(4)
Il k che compare nella (4) è un termine correttivo che consente di eliminare l’errore che
commetterebbe la calcolatrice.
Infatti facendo l’arcotangente di un numero positivo la calcolatrice ci da sempre un
angolo dei primo quadrante (mentre però potrebbe essere anche del terzo) analogamente
tacendo l’arcotangente di un numero negativo la calcolatrice ci da sempre un angolo del
primo quadrante col segno meno (mentre però potrebbe essere un angolo del secondo o del
quarto quadrante).
Stabiliremo il valore da assegnare al k in base al segno di x P e di y p come riassunto nella
tabella che segue:
Segni del
Quadrante di
Valore da attribuire al k
Rapporto
Appartenenza dell’angolo
sessagesimali centesimali
x/y
1°
L’azimut è del primo
caso
+/+
quadrante
0°
0g
2°
L’azimut è del secondo
caso
+/quadrante
180°
200 g
3°
L’azimut è del terzo
caso
-/quadrante
180°
200 g
4°
L’azimut è del quarto
caso
-/+
quadrante
360°
400 g
COORDINATE TOTALI E PARZIALI
Se in un piano cartesiano vengono date le coordinate cartesiane di due punti A e B si
dice che x A , y A , x B , y B , sono le coordinate totali (che comunque noi chiameremo
semplicemente coordinate) perché si riferiscono all’unico sistema esistente OXY.
Se introduciamo un secondo sistema cartesiano di riferimento con origine in A e con
asse X’ parallelo a X e Y’ parallelo ad Y si avrà che i punti A e B in questione oltre ad
avere le coordinate totali riferite al vecchio sistema (che chiameremo sistema principale)
OXY avranno delle coordinate dette parziali riferite al sistema secondario AX’Y’.
Le coordinate parziali si indicano con
seguenti termini:
(x B ) A e (yB ) A
Il termine:
(x B ) A
si legge x di B rispetto ad A
ed analogamente il termine:
(yB ) A
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si legge y di B rispetto ad A
30
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
Le coordinate parziali sono legate alle coordinate totali dalle seguenti relazioni ricavate
ragionando sulla precedente figura:
(x B ) A = x B - x A
(5)
(y B ) A = y B - y A
CALCOLO DELLA DISTANZA E DELL’AZIMUT FRA DUE PUNTI DI NOTE
COORDINATE CARTESIANE
Ragionando sul triangolo rettangolo
ABB’ della figura a fianco ed applicando i
teoremi sui triangoli rettangoli, (come
abbiamo fatto nel passaggio da coordinate
cartesiane a polari), per la distanza si
ottiene:
AB  ( x B ) 2A  ( y B ) 2A
Che sostituendo le (5) diventa:
AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
(6)
Alla (6), per il calcolo della distanza, si possono affiancare le seguenti:
AB 
(x B ) A
sin(AB)
AB 
(y B ) A
cos(AB)
nelle quali sostituendo le (5) otteniamo:
AB 
xB  xA
sin( AB )
AB 
yB  yA
cos( AB )
(7)
Per calcolare l’azimut (AB) applicando il terzo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo
in figura, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari), otteniamo:
tg(AB) = (x B ) A / (yB ) A
da cui:
(x )
(AB)  arctg B A  k
(y B ) A
nella quale sostituendo le (5) otteniamo:
( AB)  arctg
xB  xA
k
yB  yA
(8)
il valore da attribuire al k della (8) lo si deduce, in base ai segni che ass umono il numeratore
ed il denominatore dopo aver sostituito i numeri, dalla tabella di pag. 5.
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31
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
AZIMUT E CONTROAZIMUT
Se indichiamo con (AB) l’azimut del segmento che da A va verso B, l’azimut che da B va
verso A si chiamerà (BA).
I due azimut hanno le stesse lettere ma invertite cioè l’uno è il contrario dell’altro in altri
termini possiamo dire che l’uno è il controazimut dell’altro.
Quindi se diciamo che (AB) è l’azimut (BA) è il suo controazimut. Viceversa se diciamo
che (BA) è l’azimut (AB) è il suo controazimut.
Fra azimut e controazimut la relazione, come sì
vede dalla figura, è la seguente;
(BA) = (A B) ± 180°
dove:
si metterà il segno + se (AB) è minore di 180°
si metterà il segno - se (AB) è maggiore di 180°.
RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO DEL QUALE SONO NOTE LE
COORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI
Se di un triangolo conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo
effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:
 le formule per il calcolo della distanza fra due punti di n ote coordinate
cartesiane per trovare i lati;
 il teorema di Carnot per trovare gli angoli;
 la formula di camminamento per trovare la superficie.
La procedura da seguire per la figura a
fianco é la seguente:
l) si calcolano i lati con le seguenti formule:
AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
AC  ( x C  x A ) 2  ( y C  y A ) 2
BC  ( x C  x B ) 2  ( y C  y B ) 2
2) si calcolano gli angoli con le seguenti
formule:
AB 2  AC 2  BC 2
  arccos
2  AB  AC
2
AB  BC 2  AC 2
  arccos
2  AB  BC
2
AC  BC 2  AB 2
  arccos
2  AC  BC
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32
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
3) si calcala la superficie con una delle seguenti formule:
S = ½ ACBCsin
S = ½ ABBCsin
S = ½ ABACsin
RISOLUZIONE DI UN POLIGONO DEL QUALE SONO NOTE LE
COORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI
Se di un poligono conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo
effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:
 le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinat e
cartesiane per trovare i lati;
 la differenza degli azimut per trovare gli angoli (dopo aver trovato gli azimut
con le formule per il loro calcolo):
 la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di
quattro lati, oppure somma di aree di due triangoli se il poligono è un
quadrilatero oppure le formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.
La procedura da seguire per la figura a fianco
è la seguente:
1) si calcolano i lati con le seguenti formule:
AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
BC  ( x C  x B ) 2  ( y C  y B ) 2
CD  ( x D  x C ) 2  ( y D  y C ) 2
AD  ( x D  x A ) 2  ( y D  y A ) 2
2) si calcolano gli angoli con le seguenti formule
(AB)  arctg
xB  xA
k
yB  yA
x  xA
(AD)  arctg D
k
yD  yA
(BC)  arctg
xC  xB
k
yC  yB
(BA)  (AB)  180
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
 = (AD) – (AB);

 = (BA) – (BC);
33
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
(CD)  arctg
xD  xC
k
yD  yC
(CB)  (BC)  180

 = (CB) – (CD);
 = 360°- ( +  + )
3) si calcola la superficie con una delle seguenti formule:
 la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di quattro
lati;
 lati somma di aree di due triangoli se il poligono è un quadrilatero;
 le seguenti formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.
1 n
1 n
x i ( y i 1  y i 1 ) ; S   y i ( x i 1  x i 1 ) (per i vertici che ruotano in senso orario)

2 i 1
2 i 1
n
1
1 n
S   x i ( y i 1  y i 1 ) ; S   y i ( x i 1  x i 1 ) (per i vertici che ruotano in senso antiorario)
2 i 1
2 i 1
S
dove per i = 1 si pone 1 - 1 = n, essendo n il vertice antecedente ad i e per i = n si pone n
+ 1 = l, essendo 1 il vertice successivo a n.
REGOLA DEL TRASPORTO DEGLI AZIMUT
Alcune volte sono note le coordinate dei vertici dl un po1igono e si richiede la sua
risoluzione (come nel due paragrafi precedenti), altre volte, invece, sono noti tutti gli
elementi di un poligono, le coordinate di un suo vertice ed un azimut e si richiede il calcolo
delle coordinate di tutti gli altri vertici (questo è particolarmente utile nella realizzazione di
un disegno nel modo più preciso possibile)
Se nella figura a fianco
supponiamo di conoscere tutti i
lati (meno eventualmente AF
tutti
gli
angoli
(meno
eventualmente  , le coordinate
di A e l’azimut (AB) e
possibile
calcolare
le
coordinate di tutti gli altri
vertici utilizzando invertite le
(7) di pagina 8.
Ad esempio per il punto B
avremo:
x B = x A + AB sin(AB)
yB = yA + AB cos(AB)
Analogamente:
x C = x B + BC sin(BC)
yC = yB + BC cos(BC)
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34
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
prima però, come si vede dalle formule bisogna calcolare l’azimut (BC). Allo scopo
possiamo applicare la regola del trasporto degli azimut che si enuncia come segue:
l’azimut di un lato è uguale all’azimut del lato precedente più o meno (±) l’angolo al
vertice formato tra i due lati, più a meno (±) l’angolo piatto (180°).
Con riferimento alla figura la regola si può scrivere nel seguente modo:
(BC) = (AB)    180°
Per stabilire i segni nel primo trasporto si ragiona sulla figura:
 si trasporta (AB) sul vertice B;
 si tiene conto che l’azimut (BC) parte dalla direzione verticale passante per B e
raggiunge la direzione BC;
 che ruotando in senso orario si effettua somma mentre ruotando in senso antiorario si
effettua sottrazione;
 ed infine che l’azimut non può essere ne negativo ne maggiore dell’angolo giro (360 °).
Nel caso della figura si avrà quindi che:
 con + (AB) si e superata la direzione BC quindi si deve tornare indietro (ruotare in
senso antiorario);
 si torna indietro quindi si sottrae 180°, ma si è tornato troppo indietro perciò bisogna
ritornare avanti (ruotare io senso orario);
 si somma quindi  .
L’azimut (BC) sarà perciò:
(BC) = (AB) +  - 180°.
Per i trasporti successivi il segno davanti all’angolo del poligono non varia (se gli angoli
sono dalla stessa parte rispetto ad un osservatore che percorre il contorno del poligono, in
caso contrario si ripete il ragionamento fatto sulla figura per il primo trasporto) mentre per il
segno davanti al 180° si avrà che:
 esso sarà positivo se la somma dei primi due termini e minore di 180°;
 viceversa sarà negativo se la somma dei primi due termini é maggiore di 180°.
Infine se sottraendo i 180° (detti sopra) l’azimut rimane maggiore di 360° ad esso
bisognerà sottrarre ancora 360°.
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35
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
ESERCIZI
1) Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti
elementi:
AB = 26,28m; BC = 29,44m; CD = 25,12m; DE = 16,95m; EF = 23,12m; ABC =  = 130°;
DCB =  = 100°; CDE =  = 130°; FED =  = 150°.
2) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, in sessadecimale i seguenti angoli:
 = 13°15’52”  = 172°09’33”;  = 93°59’01”
(R.  = 13°,2644;  = 172°,1592;  = 93°,9836)
3) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, da sessadecimale a sessagesimale i seguenti
angoli:
 = 29°,5234;  = 115°,2619.
(R.  = 29°31’24”;  = 115°15’43”)
4) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i
seguenti angoli:
 = 9°13’22”;  = 115°55’32”;  = 79°42’38”.
(R.  = 10g,2475;  = 128g,8062;  = 88g,5673)
5) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i
seguenti angoli:
 = 112°56’41”;  = 32°11’09”;  = 14°55’51”.
(R.  = 125g,4941;  = 35g,7620;  = 16g,5898)
6) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da centesimale a sessagesimale i
seguenti angoli:
 = 22,5681gon;  = 34,2290gon;  = 43,6331gon.
(R.  = 20°18’41”;  = 30°48’22”;  = 39°16’11”)
7) Dati:  = 32°,5451;  = 29,2298gon;  = 43°53’31”;  = 0,1264rad. Effettuare, con e
senza l’uso della calcolatrice scientifica, le seguenti operazioni e dare il risultato in sessagesimali:


;

 2 
 
.

(R.  = 44°37’28”;  = 55°53’19”)
8) Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, il
coseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli:  = 40°;  = 140°;  = 250°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per
la risoluzione con calcolatrice scientifica.
9) Sapendo che: sin = 1/3, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare cos, e tg,
cotg.
(R. cos   
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2 2
2
; tg  
; cot g  2  2 )
3
4
36
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
10) Sapendo che:
cotg = ½ e che   al terzo quadrante, senza utilizzare la calcolatrice
scientifica, determinare sin, cos, e tg.
(R. sin   
11)
Sapendo che:
tg e cotg.
2 5
5
; cos   
; tg  2 )
5
5
sin  tg  = 3 e che   al primo quadrante, determinare
sin, cos,
(R. sin = 0,95307; cos = 0,30278; tg = 3,14773 e cotg = 0,31769)
12) Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,44499; 0,58832;
1,87940.
13) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
b = 37,35m; CBA =  = 42,845gon. Risolvere il triangolo.
(R.  = 57g,155; c = 46,85m; a = 59,92m; S = 874,92m2)
14) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 25,61m; b = 37,88m.
Risolvere il triangolo.
(R. a = 45,72m;  = 34°03’43”;  = 55°56’17”; S = 485,05m2)
15) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
a = 118,22m; CBA =  = 32,5143gon. Risolvere il triangolo.
(R. b = 57,79m; c = 103,13m;  = 67,4857gon; S = 2979,94m2)
16) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
ABC =  = 65,2018gon, S = 564,58m2. Risolvere il triangolo.
(R. a = 50,43m; b = 43,08m; c = 26,21m;  = 34,7982gon;)
17) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 58,35m, S = 515,00 m2. Risolvere il triangolo.
(R. b = 55,30m; c = 18,63m;  = 79,3156gon;  = 20,6844gon;)
18) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 5482,39m 2;  = 57°32’41”.
Risolvere il triangolo.
(R. a = 155,61m; b = 83,50m; c= 131,30m;  = 32°27’19”)
19) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
AD = altezza relativa
2
all’ipotenusa = 84,63 m; S = 7645,56 m . Risolvere il triangolo.
(R. a = 180,68m; b = 148,44m; c = 103,02m;  = 55°14’21”;  = 34°45’39”)
20) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
a = 38,23 m;  = 63,1205gon;  = 71,1666gon. Risolvere il triangolo.
(R.  = 65,7129gon; b = 41,08m; c = 39,22m S = 674,08m2)
21) Del triangolo ABC sono noti:  = 69,43gon;  = 52,58gon ed il raggio del cerchio ad esso
circoscritto R = 43,14m. Risolvere il triangolo.
(R.  = 77,99gon; a = 76,52m; b = 63,43m; c = 81,17m S = 2283,23m2)
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Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
22) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
b = 383,82m;  = 55°37’24”;  = 63°19’42”. Risolvere il triangolo.
(R.
 = 61°02’54”; a = 362,03m; c = 391,96m;
S = 62084,35m2)
23) Del triangolo ABC sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 201,24m e gli angoli
 = 65,0500gon;  = 56,8889gon. Risolvere il triangolo.
(R.  = 78,0611gon; a = 343,34m; b = 378,82m; c = 313,67m; S = 50681,94m2)
24) Risolvere il triangolo acutangolo, ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
b = 79,22m; c = 108,84 m;  = 84,6855gon.
(R.
a = 95,86m;  = 65,3332gon;  = 49,9813gon; S = 3687,68m2)
25) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
AB = c = 55,45 m; BC = a = 39,65 m; CA = b = 63,43 m .
(R.  = 42,4748gon;  = 90,9431gon;  = 66,5821gon; S = 1088,19m2)
26) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 28,15m; CA = b = 42,82m; ACB =  = 44,7705gon.
(R. c = 28,06m  = 44,9587gon;  = 110,2708gon; S = 389,76m2)
27) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
CBA =  = 60°,128; ACB =  = 88°,031;
S = 108,83m2.
(R.  = 31°,841; a = 11,51m; b = 18,92m; c = 21,82m)
28) Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC =  ottuso e del quale sono noti i seguenti
elementi:
AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S = 1815,00m²
(R. a = 139,22m;  = 137°46’05”;  = 17°32’01”;  = 24°41’54”)
29) Del triangolo ABC sono noti: AB = c = 65,45 m; BC = a = 49,65 m; CA = b = 55,43 m .
Risolvere il triangolo, fare la figura in scala 1:800, quindi trovare i raggi dei cerchi inscritto ed exinscritti e rappresentare tali cerchi in figura.
(R.  = ...........gon;  = ..............gon;  = ..............gon; S = .............m2;
r = ..........m; Ra = ...........m; Rb = ...........m; Rc = ...........m)
30) Del triangolo ABC sono noti: a = 123,12m; b = 109,45m;  = 57°13’52”. Risolvere il
triangolo. Quindi tracciati gli ex-incentri relativi ad ogni lato collegarli tra loro e risolvere il
triangolo che ne viene fuori.
(R. c = 112,03m;  = 67°32’00”;  = 55°14’08”; S = 5665,50m2;
OaOb = 233,92m; OaOc = 181,95m; ObOc = 221,52m; A = 56°14’00”;
B = 62°22’56”; C = 61°23’04”; S1 = 17690,96m2)
31) Dal vertice A del triangolo ABC si sono collimati i vertici B e C, utilizzando un
distanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:
punto di punti
letture al cerchio
distanze
stazione collimati orizzontale
topografiche
B
23°14’21”
439,88m
A
C
320°21’11”
1829,59m
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38
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
risolvere il triangolo.
(R. a = ...........m; b = ...........m; c = ...........m;  = ...............;  = ................;  = .................)
32) Dal punto S di stazione si sono collimati i vertici A, B e C di un triangolo, utilizzando un
distanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:
punto di punti
letture ai lerchio
distanze
stazione collimati orizzontale
topografiche
A
23,6214gon
2991,15m
B
170,1648gon
3014,77m
S
C
295,4965gon
4399,13m
risolvere il triangolo.
(R. a = ...........m; b = ...........m; c = ...........m;  = ...............;  = ................;  = .................)
33) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 42,16m; BC = 39,76m; CD = 53,28m;
 = 127°42’13”;  = 84°35’22”. Risolvere il quadrilatero.
(R.: AD = .............m;  = ..............;  = .............; S = .............m2)
34) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 165,82m; AD = 202,44m; CD = 112,45m;
 = 91,556gon;  = 135,658gon. Risolvere il quadrilatero.
(R.: BC = 152,47m;  = 86,269gon;  = 86,517gon; S = 23658,17m2)
35) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 82,365m; CD = 160,449m;  = 112,35gon;
 = 129,66gon;  = 98,44gon. Risolvere il quadrilatero.
(R.: BC = 78,815m; AD = 141,615m;  = 59,55gon; S = 12043,37m2)
36) Del quadrilatero ABCD sono noti: BC = 56,15m; AD = 50,34m; CD = 49,05m;
 = 57°,315;  = 74°,919. Risolvere il quadrilatero.
(R.: AB = 89,39m;  = 91°,104;  = 136°,662; S = ..............m2)
37) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 79,44m; BC = 107,67m; AD = 66,90m;
CD = 34,02m; BD = 110,81m. Risolvere il quadrilatero.
(R.:  = 98°......;  = 54°.......;  = 86°.........;  = 121°........; S = ..............m2)
38) Del quadrilatero ABCD sono noti: AB = 102,32m; BC = 124,44m; CD = 53,23m;
 = 133,2734gon;  = 107,4321gon. Calcolare la lunghezza del lato AD e la distanza fra il vertice
A e il punto E ottenuto dall’intersezione delle due diagonali.
(R.: AD = 61,90m; AE = 39,40m)
39) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 39,82m; BC = 42,16m;
CD = 33,33m;  = 123°45’;  117°34’;  = 93°12’;  = 95°44’. Risolvere il poligono.
(R.: DE = ..........m; AE = ............m;  = .............; S = ..............m2)
40) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 28,92m; BC = 42,53m;
CD = 29,66m; DE = 36,32m;  122°14’;  = 117°35’;  = 103°46’. Calcolare l’area.
(R.: S = ..............m2)
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39
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
41)
Del appezzamento triangolare ABC sono note le coordinate cartesiane dei vertici:
A(19,42m, 13,18m);
B(55,26m, 63,98m); C(80,84m, -18,89m).
Risolvere il triangolo.
(R.: AB = 62,17m; AC = 69,29m; BC = 86,73m;
 = 82°22’07”;  = 52°21’28”;  = 45°16’25”; S = 2134,80m 2 .)
42)
Dell’appezzamento quadrilatero ABCD sono note le coordinate cartesiane dei vertici:
A(12,35m, -6,42m); B(-15,40m, 16,71m); C(39,41m, 27,82m); D(43,16m, 7,02m).
Effettuare la figura in scala opportuna e risolvere il quadrilatero.
(R.: AB = 36,13m; BC = 55,92m; CD = 21,14m; AD = 33,61m;
 = 116°37’13”;  = 51°16’13”;  = 88°45’41”;  = 103°20’53”; S = 1133,74m 2 .)
43)
Di un triangolo ABC sono note le coordinate cartesiane dei suoi vertici:
x A = 12,03m; yA = 9,10m; x B = 65,45m; yB = 89,32m; x C = 142,58m; yC = 63,94m.
Risolvere il triangolo, determinare i1 raggio del cerchio inscritto e le coordinate
dell’incentro. Fare il disegno in scala opportuna.
(R.: AB = 96,38m; BC = 81,20m; AC = 141,60m;  = 33°33’19”;  = 105°26’37”;
 = 41°00’04”; S = 3771,74m 2 ; r = 23,63m; x O = 75,14m; yO = 61,24m.)
44)
Della poligonale aperta ABCD sono noti i seguenti elementi:
x A = 13,03m; yA = 20,99m; (AB) = 136°11’
AB = 33,12m; BC = 79,39m; CD = 37,45m; CBA =  = 278°49’; DCB =  = 74°15’.
Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale e le aree dei triangoli AEB e
CDE (essendo E il punto d’incontro fra il lato BC e la congiungente AD). Fare la figura in
scala opportuna.
(R.: x B = 35,96m; yB = -2,91m; x C = 84,14m; yC = 60,19m;
x D = 106,62m; yD = 30,24m; S AEB = …….m 2 ; S CDE = …….m 2 .)
45) Della poligonale aperta ABCDE sono noti i seguenti elementi:
AB = 31,12m;
BC = 8,39m; CD = 23,44m; DE = 12,12m;
ABC =  = 121°10’; BCD =  = 254°15’; EDC =  = 115°18’.
Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale rispetto ad un sistema di assi
cartesiani con origine in A e semiasse positivo delle ascisse coincidente con il lato AB.
(R.: x A = yA = 0,00m; x B = 31,12m; yB = 0,00m; x C = 35,46m; yC = 7,18m;
x D = 58,06m; yD = 0,95m; x E = 60,14m; yE = -10,99m.)
46)
Il triangolo ABC é stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso
determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):
Punto di
Punti
Letture al cerchio
Distanza
stazione collimati orizzontale (azimutali)
topografica
B
31°22’15”
49,042m
A
C
343°44’12”
--C
241°42’05”
--B
A
196°00’35”
49,044m
Riferendo il triangolo ad un sistema di assi cartesiani con origine in A e semiasse
positivo delle ordinate diretto lungo AB, si determino le coordinate dei vertici e l’area
del triangolo.
(R.: x A = yA = 0,000m; x B = 0,000m; yB = 49,043m;
x C = -25,974m; yC = 23,689m; S = 636,920m 2 .)
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40
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
47)
Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso
determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):
Punto di
Punti
Letture al cerchio
Distanza
stazione collimati orizzontale (azimutali)
topografica
D
35°22’45”
124,674m
A
B
335°44’12”
122,383m
C
356°12’05”
179,684m
Riferendo il poligono ad un sistema di assi cartesiani con origine in A e semiasse
positivo delle ascisse diretto lungo AC.
Determinare le coordinate dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero.
(R.: A(0,000m, 0,000m); B(114,659m; 42,789m); C(179,684m; 0,000m);
D(96,646m; -78,760m); DC = 114,449m; BC = 77,841m;  = 59°37’50”;
 = 126°11’21”;  = 76°49’53”;  = 97°20’13”; S = 10920,205m 2 .)
48)
Di un triangolo ABC , i cui vert i ci ruot ano i n s ens o ant i orari o, sono note le
coordinate dei punti A e C e i corrispondenti angoli interni:
xA = 12,00m; y A = 36,00 m; xC = 48,00m; yC =156,00 m
 = 92g,0164
 = 65g,9095
Determinare: le coordinate del vertice B; le coordinate del baricentro G e del centro O del cerchio
inscritto al triangolo: l'area del triangolo AGO.
(R .: x B = 185,12m; yB = 6,99m; x O = 67,64m; yO = 70,63m;
xG = 81,70m; yG = 66,33m; SAGO = 363,04 m2.)
49) Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un teodolite centesimale destrorso
determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):
Punto di
Punti
Letture al cerchio
Distanza
stazione collimati orizzontale (azimutali)
topografica
A
331,345gon
31,99m
B
C
46,125gon
35,15m
B
73,347gon
--C
D
171,893gon
46,58m
Sono inoltre noti:
x A = 23,04m; yA = 18,33m; (AB) = 135,389gon
Determinare le coordinale dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero.
(R.: B(50,21m; 1,35m); C(75,13m; 26,24m); D(39,56m; 56,03m); AD = 41,16m;
 = 109,097gon;  = 114,780gon;  = 77,577gon;  = 77,577gon; S = …….m 2 .)
50)
Di un triangolo ABC, i cui vert i ci ruot ano i n s ens o ant i orari o, sono note 1e
coordinate dei punti A e B e i lati AC e BC :
x A = 52,00m; yA = 206,00m; xB = 65,00m; yB = 77,00m
AC = 98,50m; BC =112,30m
Determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dei centri Oa, Ob ed Oc dei cerchi ex-inscritti al
triangolo e l'area del triangolo OaObOc.
(R.: xC = ..........m; yC = ...........m; xOa = 151,09m; yOb = -123,75m;
xOb = 227,99m; yOb = 157;39 m; xOc = ...............m; yOc = .................5m; S = 28279,98m2)
51)
In un triangolo ABC sono state misurate le lunghezze dei tre lati:
AB = 57,50m; BC = 74,40m; AC =114,85m
Fissando un, sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in A e con asse delle ascisse
orientato sulla direttrice AB, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dell'ortocentro H
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41
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
del triangolo (ortocentro = punto di intersezione delle altezze di un triangolo), le coordinate del punto
K su BC, intersezione della congiungente tra il punto H e il punto medio M del lato AC e il lato BC,
l'area del triangolo MKC.
(R.: xC = 95,35m; yC = -64,07m; xH = 149,25m; yH = -88,12m;
xK = ............m: yK = ............m; SMKC = ................m2)
52) In un triangolo ABC, i cui vert i ci ruot ano i n s ens o ant i orari o, sono state misurate le
lunghezze dei tre lati:
AB =152,60m; BC=132,70m; AC =167,56m
Fissando un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in A e con asse delle ascisse
orientato sulla direttrice AB, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate del punto K
intersezione tra la bisettrice dell'angolo in A e della mediana relativa al lato AC; le coordinate del punto O centro del cerchio inscritto a1 triangolo ABK; 1’area del triangolo ABK.
(R.: xC = ..........m; yC = ...........m; xK = 89,79m; yK = 40,63m;
xO = 88,17m; yO =19,02 m; SABK = 3100,17m2)
53)
In un quadrilatero ABCD sono note le coordinate dei suoi vertici:
xA = 0,00m; yA = 0,00m; xB = 162,50m; yB = 0,00m
xC = 130,40m; yC = 128,80m; xD = 32,60m; yD = 97,80m
Determinare le coordinate del punto K intersezione delle diagonali, le coordinate del punto H
intersezione tra gli assi dei lati AD e CD, l'area del quadrilatero.
(R.: xK = 70,29m; yK = 69,42m; xH =112,03m; yH = 16,99m; S = 14742,12m2)
54)
In un quadrilatero ABCD sono note le coordinate dei suoi vertici:
xA = 0,00m; yA = 0,00m; xB =162,50m; YB = 0,00m
xC = 130,40m; yC = 128,80m;
xD = 32,60m; yD = 97,80m
Determinare le coordinate del centro O del cerchio inscritto al triangolo ABC, le coordinate del
baricentro G del triangolo che ha come vertici il precedente centro O e i punti medi dei lati AD e CD,
l'area di quest'ultimo triangolo.
(R.: xO = 82,64m; yO = 27,84m; xG = 44,85m; yG = 84,16m; S = 6202,51m2)
55) In un
quadrilatero ABCD, i cui vert i ci ruot ano i n s ens o ant i orari o, sono note le
coordinate dei punti A e C:
xA = 0,00m; yA = 0,00m; xC = 148,00m; yC = 126,00m
Sono poi stati misurati i seguenti elementi:
 = 97g,0709;  = 85g,0171; CD = 137,82m; AD = 135,81m
Determinare: le coordinate dei vertici B e D, le coordinate del punto K intersezione della diagonale AC
con la congiungente i punti medi del lati AD e BC; le coordinate del punto H intersezione della
diagonale BD con la congiungente i punti medi dei lati AD e B C.
(R.: xB = .............m; yB = .............m; xD = .............m; yD = .............m;
xK = 75,58m; yK = 64,35m; xH = 94,61m; yH = 63,44 m)
56)
Di un triangolo ABC, i cui vert i ci ruot ano i n s ens o ant i orari o, sono noti:
 = 62g,5200; xA = 0,00m; yA = 0,00m; xC = 106,50m; yC = 70,80m
Non potendo misurare la lunghezza del lato AB si è sviluppata la spezzata AMNB misurando i seguenti
elementi:
BAM = 22g,4500; AMN = 208g,7700; MNB = 117g,5153;
AM = 42,00m; MN = 48,50m;
NB = 51,80m
Determinare: le coordinate del vertice B e le coordinate del baricentro G del triangolo.
(R.: xB =108,98m; yB = - 45,48m; xG = 71,83m; yG = 8,44m; AB = 118,09m)
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42
Topografia: Argomenti Minimi Per l’Idoneità Alla Classe Quarta
57) L'asse di un canale è composto da una sequenza di segmenti di estremi ABCDEF. Si sono
misurati i seguenti elementi:
AB = 85,36m; BC = 110,18m; CD = 101,38m; DE = 92,70m; EF = 74,50m;
ABC =  = 108°,0370; BCD =  = 249°,7407; CDE =  = 132°,0370;
DEF =  = 233°,4444
Determinare la distanza tra gli estremi A ed F del canale.
(R.: AF = 383,71m)
58) Si sono collegati gli estremi A ed E di un tratto di strada rettilinea con una spezzata ABCDE, e
sono state effettuate le seguenti misure:
AB = 273,25m; BC = 524,08m; CD = 388,43m; DE = 356,91m;
ABC =  =135g,3210; BCD =  = 144g,0154; CDE =  = 141,2098
Determinare la lunghezza del tratto di strada e gli angoli che essa forma con i lati AB ed ED della
spezzata.
(R.: AE = 930,88m; EAB = 94g,0430; AED = 85g,4104)
59) Tra i punti A ed E sono presentì ostacoli che impediscono la misura diretta della distanza tra i
punti stessi. Questi sono poi stati collegati con una spezzata ABCDE e sono state effettuate le
seguenti misure:
AB = 165,00m; BC = 72,50m; CD = 90,46m; DE = 122,34m;
ABC =  = 54g,0503; BCD =  = 123g,6391; CDE =  =142g,1165
Determinare: la distanza tra A ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento AE
con Ia bisettrice dell'angolo BCD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine
in A e asse delle ordinate diretto lungo AB.
(R.: AE = ............m; x K = ...........m; yK = ............m)
60) Tra i punti A ed E sono presenti ostacoli che impediscono la misura diretta della
distanza. Questi sono poi stati collegati con una spezzata ABCDE e sono state effettuate le
seguenti misure:
AB = 65,00m; BC = 92,50m; CD = 110,40m; DE=105,80m
ABC =  = 154g,0503; BCD =  = 163g,6391; CDE =  =142g,1100
Determinare: la distanza tra A ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento AE
con la bisettrice dell'angolo BCD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine
in A e asse delle ascisse diretto lungo AB.
(R.: AE = 272,59m; x K = 47,07m; yK = 116,31m)
61) Tra í punti A e D è stata sviluppata la spezzata ABCD e sono state effettuate le seguenti
misure:
AB = 75,00m; BC = 112,60m; CD = 83,50m;
ABC =  = 144g,7419; BCD =  = 151g,5315
Determinare: la distanza tra A e D; le coordinate del punto K intersezione tra il
prolungamento de: Iato DC, dalla parte di C. e la perpendicolare, tracciata da A, alla
congiungente AD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in A e asse delle
ascisse diretto lungo AB, le coordinate del baricentro G del triangolo ADK.
(R.: AD = 221,52m; x K = 160,86m; yK = -135,78m; x G = 101,22 m; yG = 11,18m)
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