A08
138
Antonio Domenico Lanzo
Analisi di Travature Elastiche
Metodi e Applicazioni
Supporti didattici
per i corsi di Scienza delle Costruzioni
ARACNE
Copyright © MMVII
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Raffaele Garofalo, 133 A/B
00173 Roma
(06) 93781065
ISBN
978–88–548–1162–1
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: maggio 2007
ai miei figli Domenico, Lucia e Ugo
Indice
Prefazione
ix
1 Richiami di statica e di meccanica lagrangiana
1.1 Nozione di Forza . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Il Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . . . . . .
1.3 Dualità tra aspetto statico e cinematico . . . . . . .
1.4 Equilibrio di corpo rigido . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Il modello di corpo rigido . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Vincoli cinematici . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Sistemi isostatici, iperstatici e labili . . . . . . . .
1.8.1 Caratterizzazione cinematica . . . . . . . .
1.8.2 Caratterizzazione statica . . . . . . . . . .
1.8.3 Dualità statico-cinematica . . . . . . . . .
1.9 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Sistemi isostatici, iperstatici e labili (continuazione)
1.11 Calcolo delle reazioni vincolari in sistemi isostatici
1.12 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Calcolo delle reazioni vincolari mediante il PLV . .
1.14 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Statica delle travature
2.1 Travi e travature . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Carichi concentrati e ripartiti . . . . . . . . . .
2.3 Le caratteristiche di sollecitazione . . . . . . .
2.4 Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione
2.5 Equazioni indefinite di equilibrio . . . . . . . .
2.6 Costruzione diretta dei diagrammi (N,T,M) . .
2.7 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 I sistemi chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Le travature reticolari . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Applicazioni suggerite . . . . . . . . . . . . .
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3 Analisi della deformazione di sistemi di travi
3.1 Modelli di trave (teoria del Io ordine) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Descrizione statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 L’equazione dei lavori virtuali per la trave . . . . . . . . .
3.1.3 Descrizione cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Il legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Elementi a deformabilità concentrata (molle) . . . . . . . . . . .
3.3 Il problema elasto-statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Formulazioni variazionali del problema elasto-statico . . . . . . .
3.5.1 Il principio di minimo della energia potenziale totale . . .
3.5.2 Il principio di minimo della energia complementare totale
3.6 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Alcune notazioni per le strutture intelaiate . . . . . . . . . . . . .
3.8 Risoluzione cinematica di strutture isostatiche . . . . . . . . . . .
3.9 Calcolo spostamenti mediante il P.L.V. . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Osservazione sul calcolo degli integrali . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Sistemi iperstatici di travi : il metodo delle forze
4.1 Rappresentazione statica di strutture iperstatiche
4.2 Le equazioni di congruenza . . . . . . . . . . .
4.3 Il metodo delle forze . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Gli schemi statici di calcolo . . . . . .
4.3.2 Le condizioni di congruenza . . . . . .
4.3.3 I passi dell’analisi . . . . . . . . . . .
4.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Calcolo spostamenti in strutture iperstatiche . .
4.6 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Distorsioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Distorsioni termiche . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Applicazioni suggerite . . . . . . . . . . . . .
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299
5 Il metodo delle rigidezze
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Analisi locale: il problema della linea elastica . . .
5.3 I coefficienti di rigidezza . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Matrice di rigidezza per la trave . . . . . . . . . .
5.5 Livello globale di analisi . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Congruenza cinematica dei nodi . . . . . .
5.5.2 Equilibrio dei nodi . . . . . . . . . . . . .
5.6 Il metodo delle rigidezze . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Formulazione energetica del metodo delle rigidezze
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5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
Aspetti operativi ed osservazioni .
Applicazioni . . . . . . . . . . . .
Il vincolo di inestensibilità assiale
Applicazioni . . . . . . . . . . . .
La soluzione di incastro perfetto .
Applicazioni . . . . . . . . . . . .
Applicazioni suggerite . . . . . .
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A Appendice: analisi automatica di travature elastiche
A.1 Analisi matriciale delle strutture . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Strategie numeriche di soluzione . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Gestione delle condizioni di vincolo/cedimento . . . . . . .
A.4 Il codice di analisi automatica . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1 Lo schema del codice . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.2 Dati e variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.3 Organizzazione delle variabili . . . . . . . . . . . .
A.4.4 Il listato del codice frame.pas (linguaggio Pascal)
A.4.5 Esempi di file di input e output . . . . . . . . . . . .
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443
B Appendice: alcuni concetti di calcolo delle variazioni
B.1 Variazione di una funzione . . . . . . . . . . . .
B.2 Funzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Variazione di un funzionale . . . . . . . . . . . .
B.4 Condizione di estremo di un funzionale . . . . .
B.5 Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni
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Questionario
451
Bibliografia essenziale
453
vii
viii
Prefazione
Con l’attuazione della riforma didattica dell’Università, i corsi tradizionali di
Scienza delle Costruzioni nell’ambito delle Facoltà di Ingegneria e Architettura
hanno subito una profonda trasformazione e differenziazione in funzione delle
varie sedi e dei vari orientamenti di laurea. Esigenze di trasparenza e comunicazione hanno portato a organizzare i contenuti della materia in moduli didattici,
variamente combinati nelle proposte didattiche dei differenti atenei. L’obbiettivo
di questo libro è di fornire un valido supporto didattico ad uno dei più tradizionali moduli di Scienza delle Costruzioni, legato ai temi dell’analisi elastica delle
strutture intelaiate. Questa specificità tematica rende il testo compatibile con le
differenti organizzazione didattiche dei corsi di Scienza delle Costruzioni, e quindi idoneo per un più vasta diffusione presso diverse sedi e per i differenti corsi di
laurea di Ingegneria ed Architettura.
Il testo è rivolto a studenti già in possesso delle conoscenze di base della
Scienza delle Costruzioni e che, in particolare, abbiano familiarità con la formulazione del problema elasto-statico e con le tematiche legate al principio dei lavori
virtuali e ai principi variazionali di minimo della energia potenziale totale e di minimo della energia complementare totale. Il testo vuole costituire una chiara ed
esauriente esposizione delle principali metodologie di analisi delle strutture elastica intelaiate (telai e travature reticolari), in una visione unificata e facendo uso
di in un approccio moderno e sintetico basato sulle formulazioni variazionali dei
principi energetici di minimo citati. Nel testo tuttavia sono privilegiate le esigenze didattiche degli studenti. Il libro quindi, pur essendo autocontenuto nei temi
trattati, preceduti e inquadrati da una larga introduzione teorica, è ricco di applicazioni ed esempi che accompagnano e aiutano lo studente nell’apprendimento
della materia, stimolandolo, con osservazioni e commenti ampiamente diffusi, ad
un approfondimento degli argomenti affrontati. Tale ricchezza di applicazioni rappresenta la peculiarità del presente testo, differenziandolo dai tanti testi e trattati,
pur lodevoli, presenti in letteratura.
Il testo è organizzato nelle seguenti parti. Dopo una rapida presentazione dei
fondamenti della meccanica dei corpi rigidi (capitolo 1), il lavoro focalizza l’attenzione nell’analisi statica di sistemi isostatici di travi (capitolo 2). Nel caso dei
sistemi elastici, la risoluzione cinematica di tali strutture è sviluppata determinando i valori di spostamento nei punti più significativi mediante l’utilizzazione del
Principio dei Lavori Virtuali (capitolo 3).
Nei capitoli successivi sono presentati e sviluppati gli argomenti principali
di questo lavoro, cioè il metodo delle forze (capitolo 4) e il metodo delle rigidezze (capitolo 5) per l’analisi dei sistemi elastici iperstatici di travi. L’uso delle
eleganti e sintetiche formulazioni integrali e variazionali consente di ricondurre a
poche metodologie generali di analisi quei tanti metodi particolari che popolano i
tradizionali testi di esercitazioni di Scienza delle Costruzioni.
Nel presentare il metodo delle rigidezze è fatto uso di una scrittura in termini
matriciali volta a sottolineare la facilità di implementazione in codici di calcolo
automatico. In un’epoca regolata dalla sempre più diffusa disponibilità di risorse
di calcolo elettronico, un testo che propone e sviluppa le principali metodologie di
analisi delle travature elastiche non può fare a meno di richiamare, seppur brevemente e senza pretesa di essere esauriente e completo, i termini di una strategia di
analisi computazionale di tipo automatico delle travature: ciò è fatto in appendice
al presente testo. Qui lo studente curioso e attento a tali tematiche troverà pure riportato il listato completo del programma frame.pas per l’analisi di telai
piani.
Nello spirito che anima il presente lavoro, un breve questionario didattico di
verifica e valutazione finale dei temi trattati è riportato infine in coda al testo.
Voglio scusarmi con i lettori per le eventuali imprecisioni ed errori presenti
in questa edizione del lavoro, ringraziando in anticipo tutti coloro che vorranno
segnalarmeli. Desidero ringraziare infine il prof. Raffaele Casciaro, cui sono
debitore per gli stimoli culturali e i suggerimenti forniti nella stesura di questo
lavoro.
Antonio D. Lanzo
Potenza, marzo 2007
x
1
Richiami di statica
e di meccanica lagrangiana
1.1 Nozione di Forza
“La nozione fisica di forza, come quella di moto, corpo, etc., ha un carattere
vago e suggestivo; conviene considerare questa nozione come primitiva e non
tentarne quindi una definizione. Quando della forza si costruisce un modello
matematico, occorre per converso definire con estrema precisione gli enti
matematici descrittori di questa grandezza” (1 )
Dal punto di vista matematico la forza è un vettore applicato (f , P ) costituita da
• il vettore f , che riassume la specificazione di modulo, direzione e verso della
forza;
• il punto P che precisa il punto di applicazione della forza e quindi, insieme con
f , la sua retta di azione
Si definisce momento di una forza (f , P ) rispetto a un punto Q (detto polo) e
si indica con
→
mQ =QP ×f
il vettore che deriva dal prodotto vettoria→
le, nell’ordine, del segmento orientato QP
e del vettore f . Il vettore mQ è pertanto perpendicolare al piano individuato dai
→
due vettori QP e f . Esso non è un vettore
applicato.
Un sistema di forze è un insieme di forze
{(fi , Pi ), i = 1, . . . , n}
1
Rif.: P. Podio Guidugli, Appunti di Scienza delle Costruzioni, A.A. 1976-77, Facoltà di
Ingegneria, Università di Ancona, Ancona
2
Capitolo 1
Si definisce risultante di un sistema di forze il vettore
r=
n
X
fi
i=1
Si definisce momento risultante rispetto al polo Q di un sistema di forze il vettore
mQ =
n
X
→
QPi ×fi
i=1
Il risultante e il momento risultante non sono vettori applicati.
,→
*
È facile ricavare la legge di variazione del momento di un sistema di forze al variare
del polo. Consideriamo infatti due punti Q e R e valutiamo rispetto ad essi il momento
del sistema delle forze fi applicate ai punti Pi :
mQ =
n
X
→
QPi ×fi , mR =
i=1
n
X
→
RPi ×fi
i=1
→
→
Sostituendo la relazione tra i vettori QPi e RPi
→
→
→
RPi =RQ + QPi
si ottiene:
mR
¶
n µ
n
n
X
X
X
→
→
→
→
=
RQ + QPi × fi =
RQ ×fi +
QPi ×fi =
i=1
→
=RQ ×
i=1
n
X
i=1
In sintesi:
fi +
n
X
→
i=1
→
QPi ×fi =RQ ×r + mQ
i=1
→
mR = mQ + RQ ×r
←-
(1.1)
*
Due sistemi di forze si dicono equivalenti quando hanno lo stesso risultante
e lo stesso momento risultante rispetto a un punto Q (e quindi si dimostra, sulla
base della (1.1), rispetto a tutti i punti).
Quei particolari sistemi di forze che hanno risultante r = 0 e momento risultante mQ = c 6= 0 sono noti con il nome di coppie. Nel caso di una coppia, si
dimostra che il vettore momento è indipendente dal polo scelto per la sua rappre-
Richiami di statica e di meccanica lagrangiana
3
sentazione.
Una coppia c può rappresentarsi in infiniti
modi come un sistema equivalente di due
forze uguali e contrarie f e −f giacenti in
un piano perpendicolare a c con rette di
azione distanti d, purchè valga
|c| = |f | d
c non è un vettore applicato.
Un sistema di forze e coppie
{(fi , Pi ), i = 1, . . . , n; cj , j = 1, . . . , m}
si dice piano se le forze e le coppie appartengono ad un piano, cioè se le forze sono
rappresentate da vettori appartenenti a tale piano e le coppie sono rappresentati
da vettori normale al piano (e quindi equivalenti a sistemi di due forze uguali e
contrarie appartenenti al piano). Per un sistema di forze e coppie sono definiti i
seguenti risultanti e momenti risultanti
r=
n
X
i=1
fi , mQ =
n
X
→
QPi ×fi +
i=1
m
X
cj
j=1
1.2 Formulazione lagrangiana dell’equilibrio:
il Principio dei Lavori Virtuali
L’equazione di equilibrio statico di un punto materiale è espressa dall’annullarsi
del risultante f delle forze esterne applicate al punto
f =0
(1.2)
Per le proprietà algebriche del prodotto scalare tra vettori, questa è del tutto
equivalente ad assumere l’annullarsi del prodotto scalare
δut f = 0 , ∀δu
(1.3)
per ogni generico vettore δu dello spazio. Il vettore δu è detto moltiplicatore
lagrangiano, mentre la (1.3) rappresenta la formulazione lagrangiana della condizione di equilibrio (1.2).
Per un sistema di n punti materiali le condizioni di equilibrio devono valere
per ognuno dei punti del sistema, cioè
fi = 0 , (i = 1, . . . , n)
(1.4)
avendo indicato con fi il risultante delle forze esterne applicate all’i-esimo punto. Facendo uso dell’operazione di prodotto scalare tra vettori, le equazioni (1.4)
Capitolo 1
4
possono essere espresse in una forma alternativa, del tutto equivalente, ricorrendo
alla tecnica dei moltiplicatori lagrangiani:
n
X
δuti fi = 0 , ∀δui , (i = 1, . . . , n)
(1.5)
i=1
In forma compatta, possiamo ancora scrivere:
f =0
(1.6)
δut f = 0 , ∀δu
(1.7)
dove adesso f è il vettore di 3 × n componenti che raccoglie i singoli vettori fi ,
mentre il vettore δu di dimensione 3 × n assembla gli n vettori δui
f1
δu1
f2
δu2
f =
(1.8)
... , δu = ...
fn
δun
,→
*
L’equivalenza tra le (1.4),(1.6) e le (1.5)(1.7) è facilmente dimostrabile. Dovendo
infatti valere l’equazione (1.6) per qualsiasi insieme di valori dei moltiplicatori δu, essa
varrà per i tre insiemi particolari
δuk = [1, 0, 0]t , δui = 0 ∀i 6= k
δuk = [0, 1, 0]t , δui = 0 ∀i 6= k
δuk = [0, 0, 1]t , δui = 0 ∀i 6= k
La scrittura della (1.5) per ognuno di tali insiemi, produce le tre equazioni di equilibrio
del generico punto materiale k.
←-
*
I vettori δui , introdotti come generici moltiplicatori lagrangiani, possono essere interpretati come spostamenti infinitesimi possibili (o virtuali) dei punti del
sistema (2 ). La (1.5-1.7) assume quindi il significato dell’annullarsi di un lavoro
incrementale. Si parla di equazione dei lavori virtuali se si considera di ricavare
la (1.5-1.7) a partire dalla (1.4-1.6). Si parla di Principio dei lavori virtuali se
si considera di partire direttamente dalla (1.5-1.7) e di ottenere la (1.4-1.6) come
conseguenza.
2
Il vettore δui che assembla nella (1.8) gli spostamenti infinitesimi dei punti del sistema risulta
del tipo
u̇ δt
cioè associato, per un incremento infinitesimo δt del parametro temporale, ad un atto di moto u̇ (le
velocità istantanee) del sistema. Nel seguito pertanto faremo uso anche del termine atto di moto per
riferirci agli spostamenti infinitesimi del sistema.
Richiami di statica e di meccanica lagrangiana
5
1.3 Dualità tra aspetto statico e cinematico
L’equazione dei lavori virtuali crea una stretta corrispondenza tra la rappresentazione statica (il sistema delle forze) e la rappresentazione cinematica di un sistema
materiale (gli spostamenti infinitesimi dei suoi punti). Questa è evidente dalla somiglianza formale con cui sono definiti in (1.8) il vettore delle forze f e il vettore
degli spostamenti δu.
Nella (1.5-1.7) ci si può riferire, invece che alla singole componenti di spostamento di ciascun punto materiale, a modi lagrangiani, cioè generiche combinazioni indipendenti delle componenti di spostamento.
,→
*
Esempio
Supponiamo di avere due punti nel piano; la loro cinematica è rappresentata dalle componenti di spostamento (u1 , u2 , u3 , u4 ) dei due punti nel sistema di riferimento.
Siano tali componenti ordinate
nel vettore
u1
u
u= 2
(1.9)
u3
u4
A volte tale tipo di rappresentazione cinematica del sistema può risultare scomoda,
mentre si presenta più utile una rappresentazione diversa che ci permetta di caratterizzare
direttamente sia traslazioni verticali q1 , traslazioni orizzontali q2 e rotazioni q3 d’insieme, che avvicinamenti o allontanamenti relativi q4 dei due punti del sistema (vedi
figura 1.1). Questi sono detti modi lagrangiani del sistema e, nella definizione (1.9), sono
descritti dai seguenti vettori:
0
1
0
−1
1
0
−1
0
q1 = q1 , q2 = q2 , q3 = q3
, q 4 = q4
0
1
0
1
1
0
1
0
La cinematica complessiva del sistema risulterà una combinazione lineare di tali modi. Ciò definisce una nuova rappresentazione cinematica del sistema in funzione dei
parametri lagrangiani (q1 , q2 , q3 , q4 ):
u1
0
1
0
−1
0 1 0 −1
q1
u2
1
0
−1
0 1 0 −1 0 q2
u = q1 0 + q2 1 + q3 0 + q4 1 = 0 1 0
1 q3
3
u4
1
0
1
0
1 0 1
0
q4
La equivalenza tra le due rappresentazioni cinematiche del sistema determina il seguente
legame lineare tra i vettori u e q che raggruppano i relativi parametri
u1
0 1
0 −1
q1
0 q2
u 1 0 −1
u= 2 =
= Dq
u3
0 1
0
1 q3
u4
1 0
1
0
q4
6
Capitolo 1
Si osservi in questa che le colonne della matrice raggruppano in modo ordinato i vettori
colonna {v1 , v2 , v3 , v4 } rappresentativi della forma dei 4 modi lagrangiani considerati
{q1 , q2 , q3 , q4 }.
Figura 1.1 Modi lagrangiani
Figura 1.2 Componenti statiche duali
←-
*
In generale, un cambiamento di rappresentazione cinematica secondo generici modi lagrangiani può essere posto nella forma
q1
3n
X
q2
= Dq
u=
qi vi = [v1 , v2 , . . . , v3n ]
(1.10)
...
i=1
q3n
dove {v1 , v2 , . . . , v3n } (la forma dei modi) sono vettori indipendenti di dimensione 3n raggruppati come colonne nella matrice D mentre {q1 , q2 , . . . , q3n } sono
coefficienti generici raggruppati nel vettore q.
Le quantità {q1 , q2 , . . . , q3n } possono essere assunte quali nuove coordinare
indipendenti (dette coordinate lagrangiane) atte ad individuare, tramite la (1.10),
la configurazione del sistema di punti. Le componenti di spostamento u possono
essere considerate anche esse come componenti lagrangiane del sistema di punti
(corrispondono in particolare al caso in cui D sia la matrice identità).
Ad un cambiamento di rappresentazione cinematica del sistema materiale
corrisponde un cambiamento di rappresentazione del sistema delle forze. La
Richiami di statica e di meccanica lagrangiana
7
(1.5-1.7) può essere infatti trasformata nella
δqt Dt f = 0 , ∀δq
(1.11)
δqj Qj = 0 , ∀δqj , j = 1, . . . , 3n
(1.12)
o anche nella
dove Qj indica la j-esima componente del vettore Q = Dt f ; essa rappresenta la
componente lagrangiana delle forze agenti associata (dall’uguaglianza dei lavori
virtuali) alla componenti di spostamento qj . Per ogni rappresentazione cinematica
esiste una corrispondente rappresentazione statica e viceversa. È questa la dualità
statico-cinematica definita dal principio dei lavori virtuali: descrivendo un aspetto (statico o cinematico) del fenomeno, l’altro aspetto risulta immediatamente
determinato.
,→
*
Nel caso di due punti nel piano, consideriamo il sistema di forze applicate {(f A , A),
(f B , B)}. Le componenti delle due forze lungo gli assi di riferimento (f1 , f2 , f3 , f4 ) definisce la rappresentazione statica duale della rappresentazione cinematica fornita dai parametri (u1 , u2 , u3 , u4 ). Alla rappresentazione cinematica data dai parametri (q1 , q2 , q3 , q4 )
è invece associata la seguente rappresentazione statica
Q1
Q2
Q =
3
Q4
0
1
0
1
1
0
1
0
0
−1
0
1
t
−1
f1
Q
1
0 f2
Q2
⇔
1 f3
Q3
0
f4
Q4
= f2 + f4
= f1 + f3
= f4 − f2
= f3 − f1
dove (Q1 , Q2 ) sono le due componenti (verticale e orizzontale) del risultante del sistema
delle forze, Q3 una coppia antioraria e Q4 una forza di repulsione tra i due punti (vedi
figura 1.2).
←-
*
La formulazione lagrangiana (1.11-1.12) fornisce naturalmente le equazioni
di equilibrio nelle componenti lagrangiane delle forze agenti.
Q = 0 ⇔ Qj = 0 , (j = 1, . . . , 3n)
(1.13)
È importante osservare che se per la presenza di vincoli, la cinematica del
sistema secondo alcuni modi è impedita, il problema può essere semplificato allo
studio dell’equilibrio sui soli modi lagrangiani significativi. Supponiamo infatti
che sia vincolata la cinematica secondo il k-esimo modo, risulterà nulla la k-esima
coordinata lagrangiana δqk = 0. Pertanto la equazione lagrangiana di equilibrio è
equivalente alla (1.13) solo per j 6= k, mentre l’equilibrio risulterà sempre verificato per qualsiasi valore della k-esima componente lagrangiana del sistema delle
forze (essendo sempre compensato dalla relativa reazione del vincolo). In pratica,
in presenza di vincoli cinematici nei modi del sistema, solo alcune delle equazioni
di equilibrio (1.13) sono prese in considerazione.
8
Capitolo 1
Ciò sottolinea che la corrispondenza, in senso lagrangiano o nel senso dei
lavori virtuali, tra le componenti di spostamento qj e le componenti di forza Qj è
strettissima. Tener conto o non tener conto di una componente qj (o Qj ) implica
che si debba, rispettivamente, tener conto o non tener conto della componente ad
essa associata Qj (o qj )
1.4 Equilibrio di corpo rigido
Un esempio particolarmente interessante delle considerazioni precedenti è il caso
in cui alcuni dei modi lagrangiani rappresentano atti di moto rigido del sistema.
Ricordiamo che in un atto di moto rigido di un sistema di punti, gli spostamenti
ui dei punti sono rappresentati secondo la
→
ui = uo + ϕ× OPi
(1.14)
ed è pertanto descritto dalle tre componenti scalari (uo1 , uo2 , uo3 ) del vettore della
traslazione istantanea uo = uo1 e1 + uo2 e2 + uo3 e3 di un punto O detto polo della rappresentazione, e dalle tre componenti scalari (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) del vettore della
rotazione istantanea ϕ = ϕ1 e1 + ϕ2 e2 + ϕ3 e3 attorno al punto O.
A partire da tale rappresentazione e facendo uso dell’equazione dei lavori virtuali (1.5-1.7), è facile ricavare le espressioni delle componenti lagrangiane del sistema di forze corrispondenti ai parametri lagrangiani q ≡ [uo1 , uo2 , uo3 , ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ]t
rappresentativi di atti di moto rigido. Si ha infatti, ricordando la proprietà commutativa del prodotto misto:
t
δu f =
n
X
δuti fi
i=1
n
X
→
=
(δuo + δϕ× OPi )t fi
i=1
n
n
n
n
X
X
X
X
→
→
t
t
t
t
OPi ×fi )
= δuo (
fi ) +
(δϕ× OPi ) fi = δuo (
fi ) + δϕ (
i=1
i=1
= δuto r + δϕt mo =
·
δuo
δϕ
¸t ·
¸
i=1
i=1
r
= δqt Q
mo
Si riconosce quindi che le componenti lagrangiane del sistema delle forze associate ad atti di moto rigidi (1.14) sono date dalle componenti del relativo risultante
e momento risultante (rispetto al punto O)
·
r
Q=
mo
¸
; r=
n
X
i=1
fi , mo =
n
X
→
OPi ×fi
i=1
dove il risultante r è il duale del (nel senso che compie lavoro sul) vettore della
traslazione istantanea δuo , mentre il momento risultante mo è il duale del vettore
della rotazione istantanea δϕ.
Richiami di statica e di meccanica lagrangiana
9
Essendo l’equilibrio espresso dal principio dei lavori virtuali
δut f = 0 , ∀δu
risulterà per la precedente uguaglianza anche
δqt Q = 0 , ∀δq
equivalente alle
r = 0 , mo = 0
(1.15)
Pertanto le equazioni di equilibrio associate ad atti di moto rigido (1.14) sono definite solo dall’annullarsi dei vettori (r, mo ) del risultante e del momento risultante
del sistema delle forze agenti, cioè dalle condizioni di equivalenza a zero di tale
sistema delle forze. Le equazioni (1.15) sono dette di equilibrio di corpo rigido o
anche equazioni cardinali della statica.
1.5 Il modello di corpo rigido
Si chiamano rigidi i moti di un sistema materiale durante i quali si mantengono inalterate le mutue distanze di tutti i punti che lo costituiscono. Un sistema
materiale suscettibile solo di moti rigidi è detto corpo rigido. (3 )
In particolare un corpo rigido è suscettibile solo di atti di moto rigidi, cioè gli
spostamenti istantanei up di un suo generico punto P sono sempre riconducibili
alla composizione di un atto di moto traslatorio, descritto dallo spostamento uo
→
di un generico punto O del sistema, e di un atto di moto rotatorio ϕ× OP del
sistema attorno a O
→
up = uo + ϕ× OP
= uo1 e1 + uo2 e2 + uo3 e3
+(ϕ1 e1 + ϕ2 e2 + ϕ3 e3 ) × (∆x1 e1 + ∆x2 e2 + ∆x3 e3 )
L’atto di moto rigido è rappresentato pertanto dai sei parametri scalari (uo1 , uo2 , uo3 ,
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ).
Diciamo piano un sistema per il quale gli spostamenti dei suoi punti appartengano ad un particolare piano. Con riferimento al piano x1 x2 , per un corpo rigido piano i suoi atti di moto sono descritti da un vettore della traslazione
uo = uo1 e1 + uo2 e2 appartenente al piano del problema, e da un vettore rotazione
3
Senza scapito di generalità, il corpo a cui nel seguito faremo riferimento nelle nostre esemplificazioni avrà la forma geometrica di trave, cioè riconducibile alla forma della sua linea d’asse. Nel
successivo capitolo ritorneremo in modo più puntuale nella definizione di questi concetti.
10
Capitolo 1
ϕ = ϕe3 normale al piano (cioè tale che lo spostamento associato all’atto di moto
→
rotatorio ϕ× OP avvenga nel piano). Risulta infatti:
→
up = uo + ϕ× OP = uo1 e1 + uo2 e2 + (ϕe3 ) × (∆x1 e1 + ∆x2 e2 )
= {uo1 − ϕ∆x2 } e1 + {uo2 + ϕ∆x1 } e2
L’atto di moto di un corpo rigido piano è descritto pertanto dai tre parametri scalari
(uo1 , uo2 , ϕ). È interessante osservare (vedi fig.1.3) che una rotazione rigida infinitesima piana attorno al punto O produce nei punti P del sistema uno spostamento
appartenente al piano e normale alla retta congiungente OP . Il modulo di tale
spostamento dipende linearmente dall’entità ϕ della rotazione ed è proporzionale
alla distanza ∆s dei due punti essendo:
→
|ϕ× OP | = |(ϕe3 ) × (∆x1 e1 + ∆x2 e2 )|
p
= | {−ϕ∆x2 } e1 + {ϕ∆x1 } e2 | = ϕ (∆x1 )2 + (∆x2 )2 = ϕ ∆s
Figura 1.3 Moti rigidi piani infinitesimi
Diciamo gradi di libertà di un sistema materiale il numero di parametri lagrangiani che ne determinano la cinematica. Per un corpo rigido nello spazio
tridimensionale i gradi di libertà sono pari a sei (nel piano, i gradi di libertà sono
pari a tre).
o
u1
q1
q2 uo2
q uo
(1.16)
q= 3 = 3
q4 ϕ1
q5 ϕ2
ϕ3
q6
La cinematica di un sistema composto da ν corpi rigidi liberi nello spazio è
definita dalla cinematica di ogni corpo del sistema. I gradi di libertà sono quindi
