Fisica Applicata
(FIS/07)
9CFU
Facoltà di Ingegneria, Architettura e delle
Scienze Motorie
04-Aprile-2013
Architettura
(corso magistrale a ciclo unico quinquennale)
Prof. Lanzalone Gaetano
Leggi delle Forze
o La forza peso
o La forza di gravitazione universale
o La forza elettrostatica
o La forza elastica
o La forza di reazione vincolare
o La forza di attrito statico
o La forza di attrito dinamico
o La forza di tensione
o La resistenza passiva
Le leggi delle forze:
la forza peso
P
()
– Galilei ha osservato che tutti i corpi nelle vicinanza della superficie
terrestre cadono verso il basso con la stessa accelerazione g=9,81 m/s2
– Conosciamo quindi l’accelerazione subita da un corpo quando
agisce la sola forza peso.
– Applicando la seconda legge di Newton possiamo ricavare la forza subita
dal corpo:
P = mg
– il vettore g ha modulo 9,81 m/s2, direzione verticale e punta verso il
basso.
– Qual è il corpo che esercita la forza peso?
• La forza peso è dovuta alla presenza della Terra, è esercitata dalla
Terra ed è una delle forze che agisce a distanza, non è necessario il
contatto del corpo con la Terra.
– Nel caso di un punto materiale la forza peso si indica con una forza
che parte dal punto ed è diretta verso il basso
– Per corpi non puntiformi (il peso si applica al baricentro (centro di massa)
3
Esempio
Calcolare la forza peso che agisce su:
1. un bambino di massa 10Kg
2. un coleottero di massa 10g
3. un protone di massa 1.6 10-27Kg
P=mg
P1=10*9.8=98≈10+2N
P2=10*10-3*9.8≈10-1N
∼1028
P3=1.6*10-27*9.8=1.5*10-26N
4
La legge della gravitazione universale
•
Due masse, m1 ed m2 a distanza d, si attraggono con una forza
data da:
m1m 2
FG = G 2
d
•
•
•
•
•
G = 6.67 × 10
−11 m 3
s2 kg
La forza di gravitazione universale agisce a distanza.
Se m1 = m2 =1 kg e d=1m, la forza di attrazione è di 6.67x10-11 N (del
tutto trascurabile rispetto alla forza peso 9.81 N)
Quando consideriamo corpi sulla superficie terrestre, trascureremo
sempre la mutua attrazione tra di essi, perché molto più piccola
delle rispettive forze peso
Questa forza è importante per lo studio del moto dei pianeti
Il peso dei corpi può essere derivato da questa forza:
⎡ M T ⎤
mM T
MT
P = mg = FG = G 2 = m⎢G 2 ⎥ ⇒ g = G 2
RT
RT
⎣ RT ⎦
5
Esempio 1
Calcolare l’accelerazione di gravità noti la Massa ed il raggio terrestre.
Massa Terra :M=5.9742 *1024 kg
Diametro medio Terrestre : D=12 745.594 km
G = 6.67 ×10 −11 m 3
2
T
R =
1
4
+7 2
(1.2745594*10 )
s 2 kg
= 4.0611942 *10 +13 m2
MT
−11
2
5.9742 *10 + 24
g = G 2 = 6.67 ×10 * 4.0611942*10+13 = 9.81m / s
RT
6
Esempio 2
Calcolare la forza che agisce tra due masse di 1000Kg poste ad 1m di
distanza. Valutarne il corrispondente rapporto rispetto alla forza
peso.
⎡G = 6.67 ×10 −11 m 3
⎤
⎢⎣
s 2 kg ⎥⎦
m1m2
−11 1.*10+6
FG = G 2 = 6.67 *10 * 1.0 = 6.67 *10 −5 N
D
+3
P = mg = 9.81*10 N
FG / P ≈ 10 −8
7
Esempio 3
Calcolare la forza che agisce tra due protoni (m=1.6 10-27 Kg) posti ad
1µm di distanza. Valutarne il corrispondente rapporto rispetto alla
forza peso.
⎡G = 6.67 ×10 −11 m 3
⎤
⎢⎣
s 2 kg ⎥⎦
m1m2
−11 1.62 *10−54
FG = G 2 = 6.67 *10 * 10-12 = 1.7 *10 −52 N
D
P = mg = 1,6 *10
rapporto
−26
N
FG / P ≈ 10
−26
8
Le leggi delle forze:
•
La forza elettrostatica o di Coulomb
Ha una espressione simile a quella di gravitazione universale, ma coinvolge
le cariche.
1 q 1q 2
FC =
2
4πε o d
ε o = 8.85 × 10
−12 F
m
• Anche la forza elettrostatica agisce a distanza ed è abbastanza intensa
• Le differenze con quella di gravitazione universale
– Esistono due tipi di cariche: positive e negative
– Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si
attraggono
• Nel primo modulo non faremo molto uso della forza elettrostatica, ma le
interazioni elettromagnetiche sono l’origine delle altre forze che ora
introdurremo: la forza elastica, le reazioni vincolari, la tensione nelle
corde, le resistenze passive etc.
9
Esempio
qQ
F = k0 2 rˆ
R
2
Nm
k0 =
= 9 ⋅109 2
4πε 0
C
1
Due cariche elettriche Q1=Q2=-4µC
sono poste a distanza L=10cm.
Determinare la forza agente sulla
carica Q2 .
−6
−6
qQ
4
*
10
*
4
*
10
F = k0 2 = 9 *109
R
10 −2
F = 144 *10 −1 = 1.4 *10 +1 N
10
Le leggi delle forze:
•
•
•
•
•
•
•
La forza elastica (Fk)
I corpi solidi tendono a conservare la loro forma
(pensate alla struttura cristallina)
Se sono sottoposti ad una sollecitazione subiscono
una deformazione.
Per conservare la loro forma, applicano, a chi ha
prodotto la deformazione, una forza che, per piccole
deformazioni, è proporzionale alla deformazione
stessa.
Essa segue la legge di Hooke ossia il suo è un
comportamento elastico.
La legge di Hooke (F proporzionale a –x) vale fino a
che F non supera un certo valore detto limite di
elasticità.
Una volta rimossa la sollecitazione ritornano allo
stato normale.
Il caso della molla:
– k (N/m)= costante elastica della molla ([mt-2])
– La forza elastica agisce per contatto.
– La forza elastica è una forza di richiamo: se
l’estremo libero della molla viene spostato da
x=0, la forza elastica tende a riportarlo in quella
posizione.
asse x
O
Forza
applicata
Forza
elastica
r
Fel
O
r
Fel
r
F
r
F
asse x
x
asse x
Fk = − kx i
x
O
Fk = − kx
11
Esempio
• Un oggetto di massa 150g è fermo, appeso ad una molla avente
costante elastica K=25N/m. Di quanto si è allungata la molla
rispetto alla sua posizione di equilibrio?
F=Kx
X=F/K=(0.150*9.81)/25=0.060m
X=6.0cm
12
Le leggi delle Forze:
•
•
•
Consideriamo un corpo fermo su di un tavolo
orizzontale.
La sua accelerazione è nulla.
– Dal II principio di Newton ricaviamo che la
forza complessiva agente sul corpo deve
essere nulla.
Il tavolo ha eliminato la forza peso?
– No! Il tavolo esercita sul blocco una forza
uguale e contraria al peso in modo tale che la
forza complessiva agente sul corpo sia nulla.
– Il corpo è in equilibrio
∑
•
•
La reazione vincolare
f i = ma = o
P + N = ma = o
r
N
r
P
⇒ N = −P
La forza richiesta per assicurare l’equilibrio è perpendicolare al tavolo.
Per questo si chiama “Componente normale della reazione vincolare”
– Normale vuol dire perpendicolare al vincolo, alla superficie del tavolo.
13
Esempio
• Un oggetto di massa 200g è fermo su un
tavolo , come in figura. Calcolare la
reazione vincolare del tavolo.
N=mg
N=0.2*9.8=2.0N
X
r
N
r
P
N=2.0 N
14
Le leggi delle Forze: La
•
•
reazione vincolare
Le reazioni vincolari si manifestano ogni volta che
esiste un vincolo, ossia un impedimento, al moto di
un corpo.
– Nel caso in considerazione, il piano orizzontale
impedisce al corpo di occupare una qualsiasi
posizione al di sotto del piano stesso: il corpo non
può penetrare nel piano orizzontale.
(2)
N
VINCOLO
La reazione vincolare:
P
– Ha sicuramente una componente normale al vincolo
diretta verso la parte di spazio consentito
(componente Normale N)
• Se non ce l’ha vuol dire che non c’è contatto del
corpo con il vincolo
– può avere una componente parallela al vincolo
• se ce l’ha si chiama “Forza di attrito”
– Statico: il corpo è fermo rispetto al vincolo
– Dinamico: il corpo striscia sul vincolo.
Tale reazione vincolare non ha una
∑ f = ma = o
•
La reazione vincolare agisce per contatto
espressione che permette di determinarla:
essa va determinata caso per caso
utilizzando le leggi di Newton.
15
Esempio
• Un oggetto di massa 200g è fermo su un piano inclinato di 60°
rispetto l’orizzontale, come in figura. Calcolare la reazione
vincolare del piano.
N=P cosϑ =mg cosϑ
N=1.0 N
N=0.2*9.8*=1.0N
r
N
r
P
y
ϑ
X
ϑ
90°-ϑ
r
P
16
Le leggi delle Forze: La
forza di attrito statico
La Forza di attrito è la componente parallela al vincolo della Reazione Vincolare.
•
Si parla di attrito statico se non c’è scorrimento tra il corpo e la superficie su cui il
corpo è posizionato
•
Nel caso di un corpo posizionato su un piano orizzontale abbiamo
visto che:
–
–
la sola componente normale è sufficiente a garantire l’equilibrio del corpo.
la forza di attrito, ossia la componente parallela al vincolo è nulla.
N
P
17
Le leggi delle Forze: La
•
•
forza di attrito statico
(2)
Applichiamo al corpo una forza orizzontale.
Si osserva che:
– Per piccoli valori della forza applicata fo il corpo resta fermo.
– Se si aumenta la forza applicata, superato un certo valore il
corpo si mette in movimento.
Consideriamo per ora il caso in cui il corpo resta ancora fermo.
P + R v + fo = ma = 0
"
$$ Px + Rvx + fox = 0
⇒ # Py + Rvy + foy = 0
$
$% Pz + Rvz + foz = 0
y
Rv
fo
P
⎧ 0
⎪
⎨− mg
⎪ 0
⎩
+ Rvx
+ fo = 0
+ Rvy
+0 =0
+ Rvz
+0 =0
x
Rvx= Modulo della forza di attrito
statico (Fas);
Rvy= Modulo della reazione
normale del piano (N);
Rv
N
Fas
18
Le leggi delle Forze: La
forza di attrito statico
(3)
• Non esiste una espressione per determinare la forza di
attrito statico (intensità, direzione, verso)
– La forza di attrito statico si determina applicando le leggi di Newton.
– Nel caso precedentemente analizzato abbiamo trovato:
• intensità uguale a quella della forza orizzontale applicata
• direzione quella della forza orizzontale applicata
• verso opposto.
•
Abbiamo anche osservato che aumentando l’intensità della forza orizzontale
applicata, raggiunto un certo valore, il corpo si mette in moto.
– Il valore massimo della forza di attrito statico dipende
• dal modulo della componente normale N della reazione vincolare.
• dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (µs)
• dalla temperatura
– Il modulo della forza di attrito statico è limitato superiormente,
non può aumentare oltre un certo valore!
– Non dipende
• Dalla superficie di appoggio
Fas ≤ µ s N
19
Le leggi delle Forze: La
•
•
•
•
forza di attrito statico
(4)
Il contatto avviene in un numero finito di
asperità.
Si verificano delle deformazioni, quindi forze
elastiche.
L’area di effettivo contatto è
– proporzionale alla deformazione
complessiva
– proporzionale alla forza complessiva
esplicata (N).
L’area di effettivo contatto è la stessa nei due
casi (N è lo stesso nei due casi).
Superficie con molti punti poco deformati
20
Superficie con pochi punti molto deformati
Esempio
Un autocarro inclina lentamente il suo pianale ribaltabile per depositare una cassa di 95,0 kg. Per
piccoli angoli di inclinazione la cassa rimane ferma, ma quando l'angolo supera i 23,2° la cassa
inizia a scivolare.
Qual è il coefficiente di attrito statico tra il pianale dell'autocarro e la cassa?
Disponiamo il nostro sistema di riferimento
parallelamente al piano inclinato e scegliamo il verso
positivo dell'asse x lungo la pendenza, in basso.
Sulla cassa agiscono tre forze: il peso W, la forza
normale N e la forza di attrito statico fs .
Quando la cassa è sul punto di scivolare, ma non ha ancora iniziato a
muoversi, la sua accelerazione è zero in entrambe le direzioni x e y.
Inoltre, «sul punto di scivolare» significa che l'intensità della forza di
attrito statico è al suo massimo valore, fs = fs,max = µsN.
Poniamo
ΣFy= 0 per trovare N,
µs=0.429
21
ΣFx= 0 .per trovare µs
Le leggi delle Forze: La
•
•
forza di attrito Dinamico
Esiste se le superfici a contatto sono scabre e vi è scorrimento tra esse.
Nel caso dell’attrito dinamico è possibile determinare tutto: modulo, direzione e verso.
– È diretta in verso apposto al moto (stessa direzione della velocità, ma verso opposto; si
dice che “si oppone al moto”)
– Il modulo della forza è dato da:
Fad = µd N
•
•
La forza di attrito dinamico
– dipende
• dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (µd)
• dalla componente normale (N)
• dalla temperatura
– non dipende
• da quanto sia grande la superficie di appoggio
• dalla velocità di scorrimento delle superfici a contatto
La forza di attrito dinamico è più piccola del valore massimo della forza di attrito statico (µd< µs)
Giustificazione: nel caso dell’attrito statico si formano delle vere e proprie saldature nei punti di effettivo
contatto, che non hanno il tempo di formarsi nel caso dinamico.
ATTENZIONE: per le superfici lisce i coefficienti di attrito statico e dinamico si considerano nulli! La reazione vincolare ha solo la componente normale
22
Qualche coefficiente di attrito
Legno su legno
µs ≥
0.25-0.5
µd
0.2
Vetro su vetro
0.9-1.0
0.4
0.6
0.6
0.09
0.05
1.0
0.8
0.04
0.04
0.04
0.04
Superfici
Acciaio su acciaio, superfici
pulite
Acciaio su acciaio, superfici
lubrificate
Gomma su cemento armato
asciutto
Sci di legno cerato su neve
secca
Teflon su teflon
Questi numeri sono indicativi, i coefficienti di attrito dipendono molto
anche dallo stato delle superfici, dalla temperatura, dall’umidità, etc.
23
Le leggi delle Forze:
•
La Tensione nelle funi (corde).
La corda è un dispositivo per trasmettere (applicare) una forza a distanza ad un corpo.
– Le corde possono trasmettere forze aventi la stessa direzione della corda
– Inoltre possono solo tirare
Definiamo Corda ideale: m=0, e lunghezza costante.
Consideriamo un corpo di massa m attaccato ad una corda.
a) Tiriamo la corda con la forza F2.
b) Chiamiamo F1 la forza che il corpo di massa m esercita sulla corda
•
c) Per la terza legge di Newton, la forza che la corda esercita sul corpo sarà
a)
b)
c)
F2
m
Fc= - F1.
Applichiamo la forza F2 alla corda; essa si trasmette fino alla massa.
La seconda legge di Newton alla corda:
F1 + F2 = ma
F1
F2
m
In condizioni statiche, ossia se la massa non è accelerata:
a=0
m
Fc=-F1
⇒
F1 = −F2 ⇒
Fc = F2
In condizioni dinamiche si arriva allo stesso risultato se la massa della
corda è nulla (spesso nei problemi si usa “trascurabile”…)
m = 0 ⇒ F1 = −F2 ⇒ Fc = F2
24
Le leggi delle Forze: La
•
Tensione nelle funi.
(2)
F + T = ma
Nelle corde ideali la forza si trasmette
identica lungo tutta la corda.
-F
Tensione della corda
– Se si taglia la corda in un punto
qualsiasi la parte a destra del
taglio eserciterà su quella a
sinistra una forza di modulo pari
alla tensione e viceversa.
– La tensione può essere messa in
evidenza inserendo una molla nel
taglio e osservando il suo
allungamento
– A volte si usano delle carrucole
ideali (piccolo raggio e piccola
massa, senza attriti) per cambiare
la direzione della tensione.
• Le carrucole ideali (m=0) non
cambiano l’intensità della
tensione.
F
T
m = 0 ⇒ T = −F
25
Esempio: Corda Pesante (m≠0)
Si avrà :T1<T2<T3
Mfune=2N
Infatti: T1=P
T2=P+gMfune/2
P=105N
T3=P+gMfune
26
Esempio
T=mg
T=mg/2
E’ come se …
27
Problema 1
Per appendere un vaso di fiori di 6,20 kg un giardiniere utilizza due cavi, uno
attaccato orizzontalmente a una parete, l'altro attaccato al soffitto, formando
un angolo θ= 40,00 con l'orizzontale. Trova la tensione in ciascun cavo.
Descrizione
Scegliamo il solito sistema di coordinate.
Notiamo che T1 è nel verso positivo delle x,
W è nel verso negativo delle y, e T2, ha una
componente x negativa e una componente
y positiva.
Scomponiamo ciascuna forza agente sul
vaso nelle componenti x e y
T1=72.5N
T2=94.6N
28
Problema 2
Paul cade accidentalmente nel crepaccio di un ghiacciaio. Fortunatamente è assicurato a
Steve, munito di piccozza, mediante una lunga corda. Prima che riesca a piantare la piccozza
per arrestare la caduta, Steve scivola sul ghiaccio senza attrito, con Paul attaccato alla corda.
Si assuma che non ci sia attrito tra la corda e il ghiacciaio. Determinare l'accelerazione dei due
uomini e la tensione della corda, indicando la massa di Paul e Steve rispettivamente con mp, e
ms.
-
29
Problema 3
Un blocco di massa m1=1.5Kg scivola su un piano privo di attrito. Esso è
collegato ad un filo che passa su una puleggia e tiene sospesa una massa
m2=0.750Kg. Trovare l’accelerazione delle due masse e la tensione del filo.
30
Problema 4
Due blocchi di massa m1, e m2, sono posti a contatto tra loro su un piano liscio
ed orizzontale, come riportato in Figura (a). Una forza costante orizzontale F
viene applicata ad m1, come indicato. Determinare l'accelerazione del sistema
ed il modulo della forza di contatto tra i corpi. Invertendo il sistema varia la forza
di contatto P ?
F
a=
m1 + m2
m2
P=
F
m1 + m2
Analizzando questo risultato si osserva che la forza di
contatto P è minore della forza applicata F. Questo è in
accordo con il fatto che la forza richiesta per accelerare
solamente m2 deve essere minare di quella necessaria
per produrre la stessa accelerazione del sistema dei due
31
blocchi.
Assumendo che le masse possano scorrere senza attrito sul tavolo, che le corde siano prive di massa,
determinare:
- la tensione della corda e dire se è maggiore, minore o uguale al peso della massa pendente;
- l’accelerazione dei blocchi.
Assumendo che le masse possano scorrere senza attrito sul tavolo, che le corde siano prive di
massa, determinare:
l’accelerazione delle masse;
le tensioni delle due corde in forma letteraria e successivamente numerica.
Esercizi 1
10) Una scatola di massa m1=10Kg è ferma sul pavimento liscio e orizzontale vicino ad una scatola di
massa m2=5Kg. Se spingi sulla scatola 1 con una forza orizzontale di intensità F=20N:
a) Qual è l’accelerazione delle scatole ?
b) Qual è la forza di contatto tra le due scatole ?
R a=1.33m/s2, f=6.67N
11) Aldo e Bino sollevano insieme un masso di 1.3Kg : Aldo esercita una forza FA di intensità 7N mentre
Bino esercita una forza FB di intensità 11N con una inclinazione rispetto la verticale di 28°.
Determinare l’inclinazione rispetto la verticale della forza applicata da Aldo, se si vuole che la dire
direzione del masso sia verso l’alto ?
R 48°
12) Un blocco di ghiaccio di massa 6Kg è spinto su un tavolo da due forze F1=13N e F2=11N, con θ1=60°
e θ2=30°, come mostrato in figura. Determinare:
a) l’accelerazione del blocco di ghiaccio;
b) la reazione vincolare esercitata dal tavolo sul ghiaccio. R a=-0.5m/s2
13) Un ragazzo spinge su un piano orizzontale un blocco di massa M=50g con velocità iniziale v= 1.15m/
s in direzione di un suo amico. Se il blocco si ferma dopo aver percorso 84cm, qual è il coefficiente di
attrito dinamico tra blocco e piano ?
R 0.08
Esercizi 2
14) Un autocarro inclina il suo pianale ribaltabile per depositare un blocco di 95Kg. Per piccoli angoli di
inclinazione il blocco rimane fermo, ma quando l’angolo supera i 32.2° il blocco inizia a scivolare.
Qual è il coefficiente di attrito statico tra il pianale dell’autocarro e il blocco.
R µ=0.429
15) Un blocco di massa M=6.20Kg è appeso tramite due cavi , uno attaccato orizzontalmente ad una parte e
l’altro attaccato al soffitto, formando un angolo di 40° con l’orizzontale.
Determinare la tensione di ciascun cavo.
R T1=72.5N et T2=94.6N
16) Un piccione di massa 1.84Kg si poggia al centro di una fune per stendere i panni e provoca una
inclinazione della fune di 3.50° rispetto l’orizzontale. Determinare la tensione del filo.
R T=148N
17) Un blocco di massa M1=3Kg scivola su un piano privo di attrito. Esso è collegato ad un filo che passa su
una puleggia e tiene sospesa una massa M2=1Kg alla sua estremità.
Determinare l’accelerazione delle due masse e la tensione del filo.
R a=2.45m/s2 T=7.35N
18) Un’automobile di massa 1200Kg fa una curva di raggio r=45m. Se il coefficiente di attrito statico tra gli
pneumatici e la strada è 0.82, determinare il valore massimo per il modulo della velocità, affinché
l’automobile possa curvare senza slittare ?
R 19m/s
La legge delle Forze: Le
Resistenze Passive
•
Con questo nome si indica la forza che un fluido esercita su di un corpo che si
muove al suo interno (un'automobile che si muove nell'aria, un sasso che cade
nell’acqua, una goccia di pioggia che cade nell’aria).
•
•
La resistenza passiva è sempre opposta al moto.
Se la velocità del corpo è piccola allora la forza è proporzionale all’opposto della
velocità:
D = −bv
Per una sfera di raggio r, b=6πrη η è la viscosità del mezzo:
Ns/m2 (poise)
Glicerina
1.5
Olio lubrificante 20°
0.03
Acqua 20°
1.0x10-3
Aria 20° 1.8x10-5
Se la velocità del corpo è elevata allora l’intensità della resistenza passiva diventa proporzionale al quadrato della velocità:
1
D = C ρ Av 2
2
! C = coefficiente aereodinamico 0.4 ÷1
(
)
##
dove " ρ = densità del fluido
#
#$ A=area efficace
36
La legge delle Forze: Le
•
•
•
Resistenze Passive
(2)
Consideriamo un moto di caduta che avviene in presenza di una resistenza passiva.
Inizialmente la velocità è nulla, la resistenza passiva è nulla, l’accelerazione è
quella di gravità, caso (a).
Man mano che aumenta la velocità, la resistenza passiva (D) aumenterà,
l’accelerazione sarà minore di g, ma la velocità continuerà ad aumentare, caso (b).
Velocità
•
La velocità continuerà ad aumentare
fin tanto che la resistenza passiva
diventa uguale al peso, caso (c).
– Da questo punto in poi il moto
sarà uniforme
– La velocità del moto uniforme
viene chiamata velocità limite.
– per distanza di regime si
intende la distanza che il corpo
deve percorrere per raggiungere
il 95% della velocità limite.
37
Resistenza passiva-alcuni esempi di velocità limite e di
distanza di regime
38
Un punto materiale di massa m=1 kg può muoversi lungo una guida orizzontale rettilinea
priva di attrito. Il corpo è attaccato ad una molla di costante elastica k=400 N/m, il
secondo estremo della molla è connesso ad una parete verticale, come mostrato in
figura.
Inizialmente il corpo viene spostato in maniera da allungare la molla di un tratto di 10 cm
e lasciato da questa posizione con velocità nulla. Determinare la legge oraria, mostrare
che il moto è periodico e determinarne il periodo.
Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale.
• Conviene prendere l’asse y verticale e l’asse x
orizzontale coincidente con l’asse della molla
• Scegliamo l’origine nella posizione in cui si trova il
punto materiale quando la molla non è deformata
• Questo semplifica l’espressione della forza
elastica
r
Fel
Felx = −kx
Determiniamo le forze agenti • La forza peso (P)
• La forza elastica (Fel)
• La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato
• solo la Componente Normale (N)
asse y
r
Fel
O x
r
N
r
N
asse x
r
P39
Scriviamo la seconda legge di Newton
∑ Fi = ma
asse y
r
Fel
P + N + Fel = ma
O x
r
N
r
N
asse x
r
P
Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati.
x:
y:
z:
"
$$ Felx = max
# N − mg = may
$
$% 0 = maz
ma sappiamo che Felx = −kx
Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano orizzontale ,
per cui :
y(t) = 0 et vy = 0 ⇒ ay = 0
N = mg
40
asse y
r
Fel
O x
r
N
r
N
asse x
r
P
k
L’accelerazione lungo l’asse x vale:
Felx = max = −kx ⇒ ax = − x
m
L’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione:
d2x
2
il moto è un moto armonico.
=
−
ω
Px
2
dt
"
k
$ x = A cos(ω pt + ϕ )
ωp =
#
m
$
%vx = −Aω p sen(ω pt + ϕ )
A e ϕ vanno determinate sulla base
delle condizioni iniziali.
41
asse y
r
Fel
Le condizioni iniziali:
O x
⎧ xo = A cos(ϕo )
⎨
⎩0 = − Aω p sen(ϕo )
⇒
r
N
r
N
asse x
r
P
⎧ ϕo1 = 0
⎨
⎩ϕo 2 = π
La soluzione ϕ01 =0 è l’unica che da un’ampiezza positiva, pari a:
A = 0.1 m
(xo = A cos(ϕo1 ) ⇒ 0.1 = A *1)
Pulsazione angolare
SOLUZIONE .Legge oraria
−1
x = 0.1m cos(20s t)
42
Studio del PENDOLO SEMPLICE attraverso un problema
Un corpo di massa m=1kg è appeso mediante una fune ideale di lunghezza L=3 m al
soffitto del Laboratorio. Determinare il periodo del pendolo nell’ipotesi che esso
venga abbandonato da fermo quando l’angolo formato dalla fune con la verticale è di
5°. Si supponga che l’ampiezza delle oscillazioni possa essere considerata piccola.
Determinare inoltre il valore della tensione nella fune quando passa per la posizione
verticale.
Poniamoci nel sistema di riferimento del
Laboratorio (inerziale) per poter applicare le
leggi di Newton.
Determiniamo le forze agenti sulla
massa • La forza peso
• La Tensione della fune
la seconda legge di Newton vale:
P + T = ma
La posizione del
pendolo può
essere individuata
specificando θ
(un sol grado di
libertà)
θ
T
P
Il diagramma del corpo libero
v
Preliminarmente ricordiamo che in un moto circolare antiorario:
θ
v = ωr
dv d(ωr ) dω
at =
=
=
r = αr
dt
dt
dt
43
N.B. Limitiamoci a considerare la parte di moto antiorario del pendolo.
Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione
vettoriale. Utilizziamo le direzioni ut ed un mostrate in figura,
ed uz perpendicolare ai primi due.
un
ut
uz
T − mg cosθ = man
−mgsen θ = mat
ut
un
θ
Forza di richiamo,
opposta a θ
un
ut
T
0 = maz
P
Poiché az=0 è la velocità iniziale è nulla, possiamo concludere che
il moto del pendolo avviene nel piano della figura.
Riscrivendo l’accelerazione tangenziale in termini di accelerazione angolare si ottiene:
at = α L
dove
α
è
l'accelerazione
angolare
g
d 2θ
− mgsenθ = mat ⇒ − gsenθ = Lα ⇒ − senθ = 2
L
dt
d 2θ
α= 2
dt
d 2θ
g
=
−
θ
2
dt
L
se θ <<1rad (piccolo) è senθ ≈
θ
L’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione:
il moto è armonico!
44
d 2θ
g
θ
2 = −
dt
L
Equazione differenziale del moto armonico con
pulsazione angolare ωp data da: g
ωp =
L
La legge oraria è del tipo:
(
θ(t) = A cos ω p t + ϕ
)
θ
un
ut
dθ
ω(t) =
= − Aω p sen ω p t + ϕ
dt
(
T
)
P
In cui le costanti A e ϕ vanno determinati sulla base delle condizioni inizali.
NOTA: Non confondete mai la velocità angolare con cui si muove il pendolo con la
pulsazione angolare!!!
Pur avendo le stesse unità di misura sono completamente diverse:
•
•
La pulsazione angolare è una costante
La velocità angolare (così come v) varia sinusoidalmente. Il pendolo si ferma, ω=0,
agli estremi dell’oscillazione ed è massima per θ=0.
45
Determiniamo le costanti A e ϕ. Ricordiamo le condizioni iniziali:
θ(t = 0s) = 5°
ω(t = 0s) = 0
è
5° = A cos(ϕ)
0 = −Aω p sen(ϕ)
sen(ϕ ) = 0
ϕ=0
ϕ=π
La scelta ϕ=0, da una soluzione positiva dell’ampiezza.
La legge oraria diventa dunque: θ
un
ut
T
θ(t) =
⎛ g ⎞
⎛ 9.81 ⎞
5°* π
cos⎜
t = 0.087cos⎜
t = 0.087cos(1.81 × t )(rad )
180°
⎝ L ⎠
⎝ 3 ⎠
P
⎛ rad ⎞
ω(t) = −.157sen(1.81 × t )
⎝ s ⎠
Abbiamo già verificato che la legge oraria del moto armonico è periodica con
periodo T:
2π 2 × 3.14
T (periodo) =
=
= 3.47s
ωp
1.81
T (periodo) = 3.47s
46
Per il calcolo della Tensione riprendiamo l’equazione secondo un:
Dove an è uguale a:
T − mgcosθ = ma n
v2
an =
= ω2L
L
Per θ = 0 la velocità angolare è massima: pari alla sua ampiezza. Pertanto
g 2
T = mg cosθ + mω L = mg + mω A L = mg + m A L = mg (1 + A2 )
L
perθ = 0
2
2
p
2
π
dθ
θ = 0 = A cos(ω p t + ϕ ) → ω p t + ϕ =
→ ω (t ) =
= − Aω p sen(ω p t + ϕ ) = − Aω p
2
dt
Confrontiamo questa tensione con quella che si ottiene
quando il pendolo è fermo in condizioni di equilibrio:
P+T= 0 ⇒ T=− P
In condizioni di equilibrio T=mg ed è verticale: il filo si
dispone lungo la verticale (filo a piombo).
Per θ=0 la tensione nel caso dinamico è più grande che in
quello statico perché essa oltre ad equilibrare il peso deve
fornire la forza centripeta necessaria per far percorrere al
pendolo una traiettoria circolare!!
θ
un
Tut
P
47
