Teoria Geometrica della Diffrazione

Teoria Geometrica della Diffrazione
¾ Il fenomeno della diffrazione
‐ principio di Huygens‐Fresnel;
‐ teorema di Kirchhoff;
¾ Diffrazione da knife‐edge: il Raggio Diffratto
¾ Diffrazione da wedge perfettamente conduttore
‐ il cono di Keller;
‐ coefficienti GTD / UTD;
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI BOLOGNA
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Il principio di Huygens-Fresnel
¾Il fenomeno della diffrazione può essere introdotto e descritto a partire dal principio
di Huygens o delle “sorgenti
sorgenti secondarie
secondarie” : noto il fronte d
d’onda
onda F all
all’istante
istante t, è
possibile ricostruire il successivo fronte d’onda F’ all’istante t+dt supponendo che gli
elementi di superficie dS di F siano eccitati ad emettere contemporaneamente onde
sferiche
f
con la velocità v dell’onda;; l’inviluppo
pp di tali onde secondarie all’istante t+dt
costituisce il fronte d’onda F’ allo stesso istante.
S1
Q
e− jβ0r0 e − jβ0 s
dU(R) = K (χ ) ⋅ A ⋅
⋅
⋅ dΣ
r0
s
χ
ro
s
T
R
Po
e − jβ0r0 e − jβ0 s
⋅
dΣ
U(R ) = ∫ K (χ ) ⋅ A ⋅
r
s
0
Sf
Sfera
K(χ) è un fattore che ipotizza una dipendenza dall'angolo
χ di inclinazione illustrato in figura
g
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Il teorema di Kirchhoff (1/2)
n̂
Q
χ
r
d
r
ρ
¾ Detta Ψ la generica componente del generico campo, in una
regione omogenea priva di sorgenti:
Metodo della
r
∂G
∂Ψ ⎞
⎛
funzione
Green
∇ 2 Ψ − σ2 Ψ = 0 ⎯⎯ ⎯ ⎯di⎯
⎯
⎯→ Ψ (r ) = ∫ ⎜ Ψ ⋅
− G⋅
⎟dS
∂n
∂n ⎠
S⎝
nel caso in figura quindi
P
r
r
r
r'
O
S
r
Ψ (r ) = −
S∞
∂G
∂Ψ ⎞
⎛
Ψ
⋅
−
G
⋅
⎟dS
∫ ⎜⎝ ∂n
∂n ⎠
SUS∞
¾Fatte le seguenti ipotesi:
‐ d , ρ >> λ
‐ Mezzo senza perdite
M
dit
‐
lim r ⋅
r →∞
(5)
Campo in Q
644744
8
− jβ 0 d
r
jβ
e
e − jβ0 ρ
Ψ (r ) =
F (ϑ ,ϕ ) ⋅
⋅
⋅ (1 + cos χ ) dS
4π S∫
d
ρ
∂Ψ
= lim r ⋅ Ψ = 0
r →∞
∂n
‐ G(ρ) = −
1 e − σρ
4π ρ
‐ S = sup. d’onda
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
K (χ ) =
jβ
⋅ (1 + cos χ )
4π
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Il teorema di Kirchhoff (2/2)
¾ In presenza di un ostacolo l’integrale deve essere limitato alla porzione di fronte
d’onda non intercettata dall’ostacolo stesso.
r
jβ
Ψ( r ) =
4π
d
SA
ρ
P
e − jβ 0 (d + ρ )
F(ϑ, ϕ) ⋅
⋅ (1 + cos χ ) dS
d⋅ρ
SA
∫
Il campo su SA può essere approssimato con
‐ i valori che si avrebbero in assenza dell’ostacolo (approssimazione di Kirchhoff);
‐ i valori che si avrebbero con schermo infinito (approssimazione di Bethe) ¾L’espressione integrale così ricavata permette di risolvere in linea di principio
qualunque problema di diffrazione.
diffrazione Occorre di volta in volta determinare la superficie
SA sulla quale calcolare l’integrale per il calcolo del campo.
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Knife-Edge Diffraction (1/3)
¾ Onda piana incidente su un semipiano completamente assorbente disposto
perpendicolarmente alla direzione di propagazione (incidenza normale):
Einc (x, y, z )⎫
− jβ x
=
A
⋅
e
⎬
0
Hinc (x, y, z )⎭
r
E in = E 0 e − jkx
y
∞ ∞
E(x, y,0 )⎫
jβ
e − jβrR
(1 + cos χ ) ⋅
⇒
dz' dy'
⎬ = A0
4π
rR
H(x, y,0 )⎭
0 −∞
d′
dz
∫∫
¾ Supponendo x >> λ e sapendo che le sorgenti
secondarie (z’, y’) che danno un contributo
significativo al campo ricevuto in (x,y,0) sono solo
quellee pe
que
per z ≈ qua
qualche
c e λ (p
(primee zone
o ed
di Fresnel
es e (5))
rR = x + (y − y' ) + (z' ) ≈ ρR
2
E(x, y,0 )⎫
jπ
4
A
e
=
⋅
⎬
0
H(x, y,0 )⎭
2
2
dy′
χ
r
( x, y, 0 )
z
(
z')2
+
2ρR
⇓
e − jβρ R
β ∞
dy'
⋅ ∫ (1 + cos χ ) ⋅
2π 0
ρR
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x
⎛⎜ ρ = x 2 + (y − y' )2 ⎞⎟
⎝ R
⎠
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Knife-Edge Diffraction (2/3)
¾ Applicando il metodo della fase stazionaria per la risoluzione dell’integrale, e’ possibile [5] :
[5] ottenere la seguente soluzione per il campo ricevuto
l
l
l
y > 0 (Regione illuminata)
E(x, y,0 )⎫
− jπ
e − jβρ − 1 1 + cos θ
− jβ x
4
+ A0 ⋅ e
⋅
⋅
⋅
⎬ = A0 ⋅ e
H(x, y,0 )⎭
ρ
2πβ 2sinθ
y
y < 0 (Shadow Region)
E(x, y,0 )⎫
− jπ
e − jβρ − 1 1 + cos θ
4
⋅
⋅
⋅
⎬ = A0 ⋅ e
H(x, y,0 )⎭
ρ
2πβ 2sinθ
Onda Piana
Incidente
( ρ, θ )
x
Confine d’ombra
• θ > 0 se y > 0
• θ < 0 se y < 0
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C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Knife‐Edge Diffraction (3/3)
y
Onda Piana
Incidente
( ρ, θ )
x
Confine d’ombra
d ombra
E(x, y,0 )⎫
− jπ
e − jβρ
− jβ x
4
A0 ⋅ e
⋅ U(θ) + A 0 ⋅ e
⋅
⋅ D(θ)
⎬=1
4
4
2
4
4
3
H(x, y,0 )⎭
ρ
144
42444
3
Onda Piana
( solo per θ > 0)
Onda Cilindrica Diffratta
Onda Cilindrica Diffratta
¾La presenza del knife‐edge genera un’onda diffratta che nelle ipotesi fatte risulta essere
un’onda cilindrica
¾Le superfici d’onda sono perciò dei cilindri aventi per asse il bordo superiore del knife‐
edge ⇒ e’ allora possibile definire i Raggi Diffratti che si propagano dal bordo
dell’ostacolo
dell
ostacolo in direzione radiale.
radiale
¾ D(θ) =
− 1 1 + cos θ
⋅
:
Coefficiente di Diffrazione
2πβ 2sinθ
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C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Osservazioni:
¾ La possibilità di estendere l’ottica geometrica al fenomeno della diffrazione fin
qui mostrata e’ sottoposta ai seguenti vincoli e limitazioni:
1) Approccio scalare alla teoria della diffrazione (Huygens‐Fresnel);
2) Onda incidente piana;
3) Incidenza normale;
4) Ostacolo
O
l assimilato
i il
ad
d un knife‐edge
k if d trasversalmente
l
illi i
illimitato;
5) Ricevitore lontano dal “confine d’ombra del raggio diretto” (D(0)=∞)
¾ Tali ipotesi di lavoro assai raramente risultano verificate in situazioni reali di
diffrazione. E’ quindi opportuno generalizzare l’approccio fin qui seguito in modo
da estendere la descrizione a raggi della diffrazione a situazioni più realistiche
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C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
La legge della Diffrazione (1/2)
L’estensione dell’Ottica Geometrica alla categoria dei Raggi Diffratti e’ stata introdotta da
J. B. Keller nel 1961 e si articola nei seguenti 2 seguenti assunti[6] :
I. Si generano uno o più raggi diffratti ogniqualvolta un raggio dell’OG classica
(diretto o riflesso) incide su uno spigolo o un vertice;
II Per ogni cammino diffratto vale il Principio di Fermat (Estensione del principio di
II.
Fermat al fenomeno della diffrazione)
Cono di Keller
Raggio Incidente
Legge della diffrazione: il raggio diffratto e quello incidente
giacciono da parti opposte rispetto al piano ⊥ allo spigolo e
passante per il punto di diffrazione; gli angoli che tali raggi formano
con lo
l spigolo
l (angolo
(
l di
d incidenza
d
e angolo
l di
d di
d diffrazione)
d ff
) sono
dati dalla “legge di Snell per la diffrazione”:
ni ⋅ sinθi = nd ⋅ sinθd
⇒ Se i raggi si propagano nello stesso mezzo, θd=θι;
⇒ Ogni raggio incidente genera una infinità di raggi diffratti ∈
alla superficie laterale di un cono (cono di Keller)
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C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
La legge della Diffrazione (2/2)
La legge della Diffrazione (2/2)
S
P’
QD
P
¾Supponendo nd= ni = cost ⇒ il cammino diffratto e’ costituito da
due segmenti rettilinei aventi un estremo nel punto di diffrazione
QD ( SQD e PQD );
¾Supponendo spigolo rettilineo, si ruoti il piano contenente lo
spigolo e il punto P attorno allo spigolo stesso finché non contiene
il punto S. Tale rotazione non ha alterato ne’ la lunghezza del
segmento PQD ne’ l’angolo che tale segmento forma con lo spigolo
¾Dopo la rotazione,
rotazione S P
P’ e lo spigolo appartengono allo stesso piano ⇒ il minimo
cammino ottico e’ dato dalla legge della riflessione ⇒ θd=θi
OSSERVAZIONE: la
OSSERVAZIONE
l legge
l
d ll diffrazione
della
diff i
può
ò essere ricavata
i
risolvendo
i l d le
l equazioni
i i di Maxwell
M
ll nell caso di onda
d piana
i
i id
incidente
su di
[7]
uno spigolo rettilineo . Il campo ricevuto nel generico punto P risulta essere dato dalla sovrapposizione di 3 onde: l’onda diretta, l’onda
riflessa (eventualmente nulle) e un’onda diffratta che risulta essere cilindrica per incidenza normale, conica per incidenza obliqua (→ cono
di Keller)
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C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Il Campo Diffratto (1/2)
P
ŝ
O’
¾ Campo diffratto ⇒ espansione in serie di Luneberg‐Kline
Alta frequenza ⇒ solo termine per m=0
β0
n̂
r
rd r
r r e − jβ Ψ d ( r )
rd
rd
E ( r ) = A (r ) ⋅
⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯
⎯→ E (s ) = E (O') ⋅
Equazioni di
β
Maxwell
QD
β0’
ρ1d ⋅ ρd2
⋅ e − jβ s
d
d
ρ1 + s ⋅ ρ2 + s
(
)(
)
ρ1d, ρ2d = raggi
agg d
di cu
curvatura
atu a de
dell’onda
o da d
diffratta
atta so
sono
o dat
dati da
dallee
distanze delle caustiche dell’onda diffratta dall’origine O’
dell’asse delle ascisse curvilinee s’
ŝ'
S
( ) ⇒ conviene scegliere O’≡Q (ρ d=0 ⇒
‐ Una caustica coincide sempre con lo spigolo(9)
D 2
espressione più semplice). ‐ Conservazione Energia nel tubo di flusso: E
Conservazione Energia nel tubo di flusso: Ed(O
(O’)) → ∞ per O
per O’→ QD
( ρ2d → 0 )
( 0)
‐ Poiché Ed(s) non puo’ dipendere dalla scelta dell’origine del riferimento, non può che essere:
lim
O' →QD
ρ d2 →0
(
)
[
]
ri
vd
d
E (o') ⋅ ρ2 = Nro FINITO ≡ E (QD ) ⋅ D
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rd
ri
E (s) = E (QD ) ⋅ D ⋅ A ρd, s ⋅ e − jβs
(
)
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Il Campo Diffratto (2/2)
i
⎡Eβd0 ⎤
⎡Ds 0 ⎤ ⎡Eβ '0 (QD )⎤
d
− jβ s
(
)
⋅
A
s
,
ρ
⋅
e
⎢
⎥
⎢ Ed ⎥ = − ⎢
⎥ Ei (Q )
0
D
φ
⎣
⎦ ⎣ φ' D ⎦
h
⎣ ⎦
ŝ
φ̂
β̂0
β̂'0
ŝ'
φ̂'
Principio del campo locale: Il campo associato al
raggio diffratto dipende
dalle proprietà
elettromagnetiche e geometriche dell
dell’oggetto
oggetto in
un intorno del punto di diffrazione e dalle
proprietà del campo incidente nel punto di
diff i
diffrazione
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C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Spreading Factor
(
)
A ρ ,s =
¾ Espressione generale del fattore di divergenza(9) : d
ρd
s ⋅ ρd + s
(
)
¾ ρd (distanza della caustica dell’onda diffratta da QD) dipende in generale dalla
curvatura dell
dell’onda
onda incidente, dal raggio di curvatura dello spigolo nel punto QD e dagli
angoli di incidenza e diffrazione; in generale:
1
1
n̂ ⋅ (ŝ'−ŝ )
=
−
ρd ρe ρg ⋅ sin2β'0
¾ Caso particolare: straight edge:
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‐ ρe : curvatura onda incidente
‐ ρg : curvatura edge
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
A (s, s') = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1
s
per onda incidente piana o conica
1
s ⋅ sinβ0
per onda incidente cilindrica
s'
per onda incidente sferica
s ⋅ (s + s')
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Coefficienti di Diffrazione (1/5)
Region I
¾ ISB : Incidence Shadow Boundary
(Confine d’ombra
(Confine d
ombra del Raggio Diretto)
del Raggio Diretto)
RSB : Reflection Shadow Boundary
(Confine d’ombra del Raggio Riflesso)
Source
Region II
¾ R
R I : diretto + riflesso + diffratto
I : diretto + riflesso + diffratto
R II : diretto + diffratto
R III : diffratto
Region III
Y
S(ρ’,φ
φ’)
P(ρ,φ)
WA = (2‐n) π
γ=∞
X
Ipotesi:
¾spigolo perfettamente conduttore trasversalmente
illimitato di ampiezza WA (0 ≤ n ≤ 2)
¾sorgente lineare infinita parallela allo spigolo e percorsa
da corrente costante ( J = I0 iz )
Onda incidente cilindrica (piana) e incidenza normale
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Coefficienti di Diffrazione (2/5)
Coefficienti di Diffrazione (2/5)
Limitandosi al caso di conduttore elettrico perfetto, risolvendo le equazioni di Maxwell
per il sistema considerato e tenendo in debito conto le condizioni al contorno imposte
dal conduttore ( Etang=0 , Hnorm=0 ) e’ possibile ottenere (9) la seguente espressione per
il campo totale ricevuto nel generico punto P:
Soft Polarization
Hard Polarization
((Sorgente Elettrica)
g
)
((Sorgente Magnetica)
g
g
)
ωμI0
⎧r
=
=
−
⋅ G(β, ρ, ρ' , φ, φ') îz
E
E
î
zz
⎪
4
⎨r
1 r r
H
=
−
∇ ×E
⎪
jωμ
⎩
ωεI0
⎧r
⋅ G(β, ρ, ρ' , φ, φ') îz
=
=
H
H
î
zz
⎪
4
⎨r
1 r r
E
=
∇ ×H
⎪
jωε
⎩
G(β,ρ,φ,φ’) : opportuna funzione di Green.
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C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Coefficienti di Diffrazione (3/5)
( / )
¾ A partire da tali espressioni per il campo totale ed applicando il metodo SDP (Steepest
Descent Method)) nella versione modificata di Pauli‐Clemmow, e’ p
possibile ottenere la
seguente espressione del solo campo diffratto [8] :
Soft polarization :
Soft polarization
− jβρ
rd
− j(βρ ' − π )
ωμI0
2
e
s
4 ⋅ D (β, ρ, φ, φ' , n ) ⋅
E =−
⋅
⋅e
iîz
4
πβρ'
ρ
Hard polarization :
Hard polarization
r d ωεI0
− j(βρ ' − π )
2
e − jβρ
h
4
H =
⋅
⋅e
⋅ D (β, ρ, φ, φ' , n) ⋅
iîz
4
πβρ'
ρ
(Ev d = η Hd × ŝ)
r
rd
− j(βρ ' − π )
ωεI0
2
e − jβρ ˆ
h
4
E =η
⋅
⋅e
⋅ D (β, ρ, φ, φ' , n) ⋅
îϕ
4
πβρ'
ρ
¾ Confrontando rtali espressioni
con la relazione
r
generale
Ed (s ) = Ei (QD ) ⋅ D ⋅ A (ρd, s ) ⋅ e − jβs
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
Ds , Dh
Coefficienti di Diffrazione
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Coefficienti di Diffrazione (4/5)
¾ Coefficienti di Kouyoumjian‐Pathak (Uniform Theory of Diffraction)
− jπ
D
s,h
4
(ρ, φ, φ' , n ) = − e
2n 2 πβ
⎧⎪⎛
⎡ π + ξ− ⎤
⎡ π − ξ− ⎤
+ −
⎜
⋅ ⎨ cot ⎢
⋅ F βρ
β g ξ + cot ⎢
⋅ F βρ
β g− ξ −
⎥
⎥
⎪⎩⎜⎝
⎣ 2n ⎦
⎣ 2n ⎦
[
[
( )]
[
( )]
⎠
( )]⎞⎟⎟⎫⎪⎬
[
⎛
⎡ π + ξ+ ⎤
⎡ π − ξ+ ⎤
+ +
− +
+ Δ ⋅ ⎜ cot ⎢
⋅
F
βρ
g
ξ
+
cot
⎥
⎢
⎥ ⋅ F βρ g ξ
⎜
⎣ 2n ⎦
⎣ 2n ⎦
⎝
Soft polarization : Δ = ‐1;
Hard polarization : Δ = +1;
( )]⎞⎟⎟ +
⎠ ⎪⎭
ξ‐ = φ − φ’
ξ+ = = φ + φ’
¾ La funzione F (funzione di transizione) garantisce la continuità dei coefficienti sui confini
d ombra
d’ombra
F[βρg± (ξ ± )] = 2 j βρg± (ξ ± ) e
( )
jβρ ⋅ g± ξ±
[
[
∞
∫
e − jτ dτ
2
( )
βρ ⋅ g± ξ±
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
]
]
⎛ g + = 1 + cos ξ m − 2nπN +
⎞
⎜
⎟
⎜ g − = 1 + cos ξ m − 2nπN −
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ N ± ∈ Z che meglio soddisfano le seguenti equazioni ⎟
⎜
⎟
+
m
⎜ 2nπN − ξ = + π
⎟
⎜ 2nπN − − ξ m = − π
⎟
⎝
⎠
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Coefficienti di Diffrazione (5/5)
Coefficienti di Diffrazione
Lontano dai confini d’ombra F≈1 ⇒ coefficienti di diffrazione di Keller ((Geometrical Theoryy
of Diffraction)
D s (ρ, φ, φ' , n ) =
D s (ρ, φ, φ' , n ) =
−e
− jπ
4
n 2 πβ
−e
− jπ
4
⎡
1
1
n ⋅ ⎢⎢
−
−
⎞ cos π − cos ⎛ ξ +
⎢ cos π − cos ⎜⎛ ξ
⎟
⎜ n
n
n
⎢⎣
⎝ n⎠
⎝
⎤
⎥
⎥
⎞⎥
⎟
⎠ ⎥⎦
⎡
1
1
n ⋅ ⎢⎢
+
−
⎞ cos π − cos ⎛ ξ +
⎢ cos π − cos ⎛⎜ ξ
⎜ n
⎟
n
n
⎝
⎝ n⎠
⎣⎢
⎤
⎥
⎥
⎞⎥
⎟
⎠ ⎥⎦
( )
⋅ sin π
( )
⋅ sin π
n 2 πβ
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
( )
( )
( )
( )
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Esempio
Hi
Ei
φ’ = 45
( ,φ)
P(10,
θ
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Incidenza Obliqua
− jπ
⎧⎛
⎡ π + ξ− ⎤
⎡ π − ξ− ⎤
−e 4
s ,h
+
−
−
− ⎞
⎜
[
(
)
]
[
(
)]⎟⎟ +
D (ρ, φ, φ' , n ) =
⋅
cot
⋅
F
β
Lg
ξ
+
cot
⋅
F
β
Lg
ξ
⎨
⎢
⎢
⎥
⎥
'
⎜
2n 2 πβ ⋅ sin (β 0 ) ⎩⎝
⎣ 2n ⎦
⎣ 2n ⎦
⎠
⎛
⎞⎫
⎡ π + ξ+ ⎤
⎡ π − ξ+ ⎤
+
+
−
+
⎟⎟ ⎬
[
(
)
]
[
(
)
]
+ Δ ⋅ ⎜⎜ cot ⎢
⋅
F
β
Lg
ξ
+
cot
⋅
F
β
Lg
ξ
⎥
⎢ 2n ⎥
2
n
⎣
⎦
⎣
⎦
⎝
⎠⎭
⎧s ⋅ sin2 (β'0 )
Onda Incidente Piana
⎪
⎪
'
⎪⎪ s ⋅ sin(β0 ) ⋅ s'⋅sin(β0 )
Onda Incidente Cilindrica
L=⎨
s + s'
⎪
⎪
2 '
⎪ s ⋅ s'⋅sin (β0 ) Onda Incidente Sferica o Conica
⎪⎩
s + s'
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Conclusioni
¾ Lo studio e ll’analisi
analisi di un sistema elettromagnetico può sempre essere condotto in
linea di principio risolvendo le equazioni di Maxwell e calcolando così i campi E e H in
ogni punto della regione di interesse;
¾ In molti casi pratici tuttavia si adotta un approccio a raggi allo studio della
propagazione, più semplice ed intuitivo; la propagazione dell’onda EM dal
trasmettitore al ricevitore viene descritta p
per mezzo di raggi
gg ottici che interagiscono
g
con l’ambiente reale di propagazione generando riflessioni, trasmissioni (Ottica
Geometrica Classica) e diffrazione (Teoria Geometrica della Diffrazione);
¾ La traiettoria di ogni raggio viene determinata per mezzo delle leggi della riflessione
(riflessione speculare), della trasmissione (legge di Snell) e della diffrazione (cono di
Keller). L’andamento del campo ‐ e quindi della potenza ‐ lungo un raggio viene
determinato per mezzo dei coefficienti di riflessione, trasmissione e diffrazione.
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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA INFORMATICA E SISTEMISTICA
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Diffrazione Multipla (1/5)
¾ Ipotesi : ‐ trattazione scalare;
‐ spigoli paralleli;
‐ sorgente puntiforme (onda sferica)
¾ Tubo di flusso infinitesimo ⇒ superfici ≈ piane
lati del “cuneo” ≈ uguali (r, ρ)
θ0
S
r0
θ< 0
A
Onda incidente sferica ⇒ onda diffratta generica
B
ρ
r
dAρ
A (ρ1, ρ2 , s ) =
dA
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ρ1 ⋅ ρ2
(ρ1 + s) ⋅ (ρ2 + s)
In particolare ρ1 = ρ essendo una delle due
caustiche coincidente col segmento AB
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Diffrazione Multipla (2/5) r0
S
β2
β1
A
A
B
β2
β2
dAρ
dA
B β1
β1 ρ
C
r
I triangoli BAS e BCA sono evidentemente uguali ⇒ ρ2 = r0+ρ
A=
ρ ⋅ (r0 + ρ)
(ρ + s) ⋅ ((r0 + ρ) + s)
E(r0 + r ) = E(ρ) ⋅ ρ ⋅
=
ρ + s =r
ρ ⋅ (r0 + ρ)
r ⋅ (r0 + r )
(r0 + ρ) ⋅ e- jβ(r - ρ ) ⎯⎯⎯→ E(r )
0
ρ →0
{
r ⋅ (r0 + r )
e
E0
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− jβr0
r0
e − jβ(r + r0 )
- jβ r
⋅D ⋅
⋅ e = E0 ⋅ D ⋅
r ⋅ (r0 + r )
r0r (r0 + r )
r0
C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Diffrazione Multipla (3/5) S
θ0
r0
A
r1
D
θ< 0
B
C
dAρ
ρ
A (ρ, ρ2 , s ) =
ρ ⋅ ρ2
(ρ + s) ⋅ (ρ2 + s)
dA
r
Triangoli DSC e DC’C
Triangoli DSC e DC
C sono uguali
sono uguali
r1
r0
S
β2
β1
α2
D
D
α2
α2
A
C’
B
C
α1
ρ2 = r0 + r1 + ρ
dAρ dA
C α
1
α1 ρ
r
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A=
ρ ⋅ (ρ + r0 + r1 )
r ⋅ (r0 + r1 + r )
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Diffrazione Multipla (4/5)
Diffrazione Multipla (4/5) E(r0 + r1 + r ) = E(ρ ) ⋅ ρ ⋅
(r0 + r1 + ρ) ⋅ e- jβ(r - ρ ) ⎯⎯⎯→ E(r + r ) ⋅ D ⋅
0
1
2
ρ →0
r ⋅ (r0 + r1 + r )
(r0 + r1 ) ⋅ e- jβr
r ⋅ (r0 + r1 + r )
Per quanto visto per la singola diffrazione:
e − jβ (r1 + r0 )
E(r0 + r1 ) = E0 ⋅ D1 ⋅
r0r1(r0 + r1 )
e − jβ(r0 + r1 + r )
E(r0 + r1 + r ) = E0 ⋅ D1 ⋅ D2 ⋅
r0r1r (r0 + r1 + r )
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C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Diffrazione Multipla (5/5) ¾ E’ possibile generalizzare al caso di n edges paralleli consecutivi:
Scelta ll’origine
origine delle s sull
sull’ultimo
ultimo edge (ρ1 = ρ = 0) :
rn‐1
r1
A=
r0
(r0 + r1 + r2 + ... + rn −1 )
r ⋅ (r0 + r1 + r2 + ... + rn −1 + r )
r
R
1
2
E(R ) = E0
D1D2 ...Dn ⋅ e − jβ(r0 + r1 + r2 +...+ rn−1 + r )
r0r1r2 ...rn −1r ⋅ (r0 + r1 + r2 + ... + rn −1 + r )
n
¾ Limiti del modello:
‐ spigoli reciprocamente orientati in maniera arbitraria;
‐ scelta dei valori Li per i ≥ 2;
‐ multipla diffrazione nella regione di transizione: Slope Diffraction[[9]]:
⎡
⎤
1 1 ∂Ei
s
,
h
i
s
,
h
E = ⎢E (QD ) ⋅ D +
d ⎥ ⋅ A ⋅ e − jβ s ;
jβ s' ∂φ' Q
⎢
⎥
⎣
⎦
D
d
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s,h
d
∂Ds,h
: coeff. di Slope Diffraction
=
∂φ'
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Diffusione
¾Le pareti degli edifici non sono mai piane infinitamente estese, ne’ gli spigoli sono
trasversalmente illimitati ⇒ il numero di raggi generati da una parete reale per riflessione
e diffrazione (da spigolo e da vertice) e’ talmente elevato che una descrizione dettagliata
di ogni contributo non e’ praticamente gestibile;
¾Le pareti
¾L
ti degli
d li edifici
difi i non sono maii omogenee e lisce
li
⇒ la
l disomogeneità
di
ità dei
d i materiali
t i li e
la rugosità superficiale determinano una ridistribuzione della potenza incidente anche in
direzioni diverse da quella speculare;
Tutti tali contributi generano complessivamente il campo diffuso dalla parete p
p
¾ Come valutare il campo diffuso?
((es. RCS[10] + Physical
y
Optics
p [11], RCS + Coeff. Rugosità
g
equivalente,
q
, ...))
E’ possibile definire un Raggio Diffuso?
(non vale per la diffusione il principio del campo locale…)
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C. Piersanti , F. Fuschini – Diffrazione
Conclusioni
¾In ambiente reale non sempre ee’ trascurabile il contributo di raggi che raggiungono il
ricevitore dopo aver subito multiple diffrazioni (es. raggio Over Roof Top). La valutazione
di tali contributi non e’ immediata, poiché l’onda che si propaga dopo la prima
diffrazione non ee’ sempre riconducibile ad una delle tipologie canoniche (piana, sferica,
cilindrica). Inoltre, qualora il cammino diffratto si propaghi all’interno della regione di
transizione occorre considerare anche il termine aggiuntivo di Slope Diffraction;
¾Le pareti degli edifici non sono mai piane omogenee ed infinitamente estese, ne’ gli
spigoli sono trasversalmente illimitati. La potenza complessivamente incidente su di una
parete reale viene pertanto diffusa praticamente in tutte le direzioni (diagramma di
scattering).
L proprietà
Le
i tà intrinseche
i ti
h del
d l meccanismo
i
di diffusione
diff i
(
(non
e’’ un fenomeno
f
l l ) non
locale)
permettono una facile estensione dei modelli a raggi al fenomeno dello scattering.
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