ipotesi di birch

LA CONGETTURA DI BIRCH E SWINNERTON –
DYER E I NUMERI CONGRUENTI
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show some connections between Birch –and
Swinnerton–Dyer’s conjecture and the congruent numbers
Riassunto
In questo lavoro mostreremo alcune connessioni matematiche tra i
numeri congruenti e la congettura di Birch e Swinnerton–Dyer, con
osservazioni aritmetiche e/o geometriche sui numeri congruenti, con
metodo per ottenere terne pitagoriche (alla loro base) usando
quadruple di numeri di Fibonacci, con qualche piccola novità (Note).
Di recente, è stata annunciata sul web una scoperta sul calcolo dei
numeri congruenti, in relazione anche alla congettura di Birch e
1
Swinnerton – Dyer (da qui in poi indicata col solo nome di Birch, per
maggiore semplicità)
Sul sito
www.lescienze.it/news/2009/09/22/news/tre_miliardi_di_numeri_congr
uenti-573451/ - 62k
si può leggere l’articolo “Tre miliardi di numeri congruenti”, che
viene riportato interamente in Rif. 1. Qui riportiamo solo il brano che
ci interessa per questo lavoro:
“Nel 1982 Jerrold Tunnell della Rutgers University fece significativi
progressi sfruttando la connessione tra numeri congruenti e curve
ellittiche, per le quali esiste una teoria ben definita, trovando una
semplice formula per determinare se un numero sia o meno
congruente che ha permesso di trovare molto velocemente il primo
migliaio di numeri.
Un problema è che la validità completa della sua formula dipende
dalla validità di un caso particolare di un altro problema matematico
noto come Congettura di Birch e Swinnerton - Dyer, uno dei sette
Millenium Prize Problems posti dal Clay Math Institute.
Qui ci occuperemo in dettaglio dei numeri congruenti nel loro insieme
e non uno per uno, nella speranza di trovare qualche indizio utile per
la dimostrazione anche parziale della congettura di Birch, tramite la
2
sequenza terne pitagoriche e relativi triangoli - numeri congruenti
come aree di tali triangoli – curve ellittiche (sui quali si fonda la
crittografia RSA - Ipotesi di Birch.
Una nostra idea è che i numeri congruenti si possono suddividere in
sottoinsiemi, per esempio numeri congruenti primi, di Fibonacci
(Rif.2, un nostro timido tentativo in tal senso), triangolari, ognuno
con la loro retta sul piano cartesiano, per la quale passerebbero
infiniti numeri razionali (connessi ai numeri congruenti), a conferma o
meno della verità della congettura, la quale dice che:
da Wikipedia:
“Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer riguarda un particolare tipo di curve, le
curve ellittiche nei numeri razionali. Questa congettura si basa sul fatto che le equazioni abbiano
finite o infinite soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert era simile ma trattava delle
equazioni diofantee, e si è dimostrato che non si è in grado neanche di decidere se esiste o no una
soluzione….”
Alla quale si rimanda per i particolari.
Qui ci interessano particolarmente i numeri congruenti, sempre da
Wikipedia:
Numero congruente
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica un numero congruente è un numero naturale che rappresenta l'area di un triangolo
rettangolo che ha per lati tre numeri razionali.
3
Il 5, per esempio, è un numero congruente, poiché è l'area di un triangolo rettangolo di lato
,
,
.
La sequenza dei numeri congruenti inizia con
5,6,7,13,14,15,20,21,22,23,24,28,29,30,31,34,37,38,39,41,45,46,47,52,53,54,55,56,60… (sequenza
A003273 in OEIS).
Se q è un numero congruente, allora 2 è ancora congruente
misure dei lati del triangolo per uno stesso numero).
∈
(poiché si moltiplicano tutte le
Problema dei numeri congruenti
Dato un numero p, stabilire se esso è congruente.
Questo problema non ha ancora trovato una soluzione. Il teorema di Tunnell fornisce un facile
algoritmo per stabilire se un numero è congruente, tuttavia questo teorema si rifà alla congettura di
Birch e Swinnerton-Dyer, che è ancora non dimostrata.
Il teorema di Fermat sui triangoli rettangoli, dal nome del matematico Pierre de Fermat, afferma che
nessun quadrato perfetto può essere un numero congruente….”
Seguono ora alcune nostre tabelle e osservazioni sulla quantità, i tipi
ecc. relativi ai numeri congruenti.
Cominciamo con i numeri di Fibonacci
Numeri congruenti, con i numeri di Fibonacci segnati in rosso
(lista o sequenza A003273 in OEIS) presa da Wikipedia).
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45,
46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84,
85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116,
117, 118, 119, 120, 124, 125, 126
Solo cinque dei numeri congruenti fino a 126 sono anche numeri di
Fibonacci; mancano il 2, il 3 anche l’ 89, e in seguito anche 144
4
(quadrato e quindi non congruente); una percentuale di 5/1,26 =
3.96%.
Fino ad N ci sono circa N/2 numeri congruenti (Vedi lista OEIS
A003273 e relativo grafico)) , ma anche circa N/2 numeri non
congruenti, raggruppati in gruppi consecutivi di al massimo cinque
numeri e al minimo di tre numeri, con qualche raro numero single,
cioè isolato come vedremo in seguito, ma anche i numeri non
congruenti hanno la stessa caratteristica, almeno fino a 126 (il più
grande numero congruente della lista OEIS)Vediamo con i numeri Triangolari, segnati in blu grassetto:
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45,
46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84,
85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116,
117, 118, 119, 120, 124, 125, 126
Abbiamo otto numeri triangolari tra i primi 126 numeri congruenti;
mancano l’1 e il 3 iniziali, il 36 , il 66, il 91, il 105 ; Una percentuale di
8/1,26 = 6,34%
Qui sotto i numeri triangolari per chi volesse controllare
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300,
325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990,
1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830,
1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926,
3003, 3081, 3160, 3240 ecc.
5
Partizioni di numeri, segnati in verde grassetto:
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45,
46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84,
85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116,
117, 118, 119, 120, 124, 125, 126
Otto numeri di partizioni, tranne i primi quattro iniziali ( 1,1,2,3) e
qualche altro (11, 42); Una percentuale di 8/1,26 =6,34%
Qui sotto i numeri di partizione
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490,
627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349,
10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338, 44583, 53174, 63261,
75175, 89134, 105558,
Numeri primi , segnati in lilla grassetto
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45,
46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84,
85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116,
117, 118, 119, 120, 124, 125, 126
Ben 16 numeri congruenti sono anche numeri primi, dato questo
che potrebbe eventualmente utile in seguito; una percentuale quindi
di 16/1,26 = 12,69%
6
Nota 1
TABELLA 1
Sulle terne pitagoriche basate su quattro numeri di Fibonacci
consecutivi ( b, c e d sono i numeri delle terne pitagoriche connesse ai
relativi numeri congruenti). Le nostre novità e osservazioni sono sulla
quinta colonna e descritte meglio dopo la tabella
Quaterne
a
Prodotto due
estremi
b
1 2 3 5
2 3 5 8
1*5= 5
2*8=16
Somma dei
Doppio del
prodotto centrali quadrati dei due
c
centrali (numeri
di Fibonacci
alternati)
d
2(2*3) = 12
4+9 = 13
2*(3*5)= 30
9+25 = 34
3 5 8 13
3*13 = 39
2(5*8)=80
25*64 = 89
5 8 13 21
8 13 21 34
…
5*21= 105
8*34 = 272
…
2(8*13) = 208
2(13*21)= 546
…
64+169 = 233
169+441= 610
…
Osservazioni
2b compreso o
prossimo a tra c
e (di solito la
differenza c-2b
è +2)
2*6=12 =12
2*16 = 32 >30
e <34
2*39 = 78< 80
< 89
210 >208 e < 233
544 <546 <610
…
Notiamo che i numeri d sono numeri di Fibonacci alternati (ne manca
uno tra uno di essi e il successivo.
Notiamo anche che d - c = quadrato del primo termine di a; infatti:
d
c
d-c = primo termine
di a al quadrato
13
34
89
233
12
30
80
208
1=1^2
4 = 2^2
9=3^2
25= 5^2
7
610
…
546
…
64=8^2
…
d è un numero di Fibonacci spostato ordinatamente di alcuni posti
dopo il 4° termine della quaterna iniziale, infatti abbiamo:
4°
termine
della
quaterna
iniziale
5
8
13
21
…
Numeri di
Fibonacci
successivi
8
13
21
34
…
13
21
34
55
…
34
55
89
…
89
144
…
610
…
Verifica della terne pitagoriche b, c, d così ottenute
Primo numero
e suo quadrato
b
Secondo
numero e suo
quadrato
c
Terzo numero
e suo quadrato
d=b+c
5^2 = 25
16^2=256
39^2 = 1521
105^2=11025
12^2=144
30^2=900
80^2= 6400
208^2 =
43264
…
13^2 = 169
34^2 =1156
89^2 = 7921
233^2=54289
…
…
I numero congruenti relativi alle successive serie di cateti e ipotenuse sono
quindi i seguenti.
8
Cateto a (base)
Cateto b (altezza)
5
16
39
105
12
30
80
208
272
546
Area del triangolo
(numero
congruente)
(5*12)/2 = 30
(16*30)/2 = 240
(39*80)/2 =1 560
(105*208)/2 =
10 920
(272*546)/2 =
74 256
Numero
congruenteo
si
si
si
si
si
Tutte queste novità potrebbero essere utili allo studio dei numeri
congruenti, e , in prospettiva, anche allo studio della congettura di
Birch e Swinnerton – Dyer .
Poiché i numeri di Fibonacci sono infiniti, anche le loro quadruple
successive sono infinite, con le quali si possono calcolare infiniti
numeri congruenti utilizzando i numeri di Fibonacci; e tali numeri
congruenti, come tutti quelli di altro tipo, possono essere connessi in
qualche modo all’ipotesi di Birch.
Numeri congruenti e triangolo di Tartaglia ( i numeri congruenti sono
segnati in rosso)
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
10
11
55
21
36
45
35
126
21
126
1
7
28
84
210
462
1
6
56
252
462
1
5
15
70
210
330
10
35
84
1
4
20
56
120
165
10
15
28
1
3
6
5
7
8
3
4
6
1
2
36
120
330
1
8
1
9
45
165
1
10
55
1
11
1
…………………………………………………………………………
.Come
vediamo, e c’era da aspettarselo, tra i numeri congruenti nel
Triangolo di Tartaglia ci sono molti numeri triangolari (nella terza
diagonale), anche se non tutti; inizialmente infatti mancano il 3, il 10
ed il 36, che pur essendo triangolari, tuttavia non sono congruenti.
Vediamo ora la distribuzione dei numeri congruenti (in rosso, a
gruppi di tre, quattro o cinque numeri consecutivi, con qualche raro
numero congruente “single” (34, 41, 65…) almeno fino a 126.
5, 6, 7,
13, 14, 15,
20, 21, 22, 23, 24,
28, 29, 30, 31, 34,
37, 38, 39, 41,
45, 46, 47,
52, 53, 54, 55, 56,
60, 61, 62, 63, 65,
69, 70, 71
77, 78, 79, 80,
84, 85, 86, 87, 88,
92, 93, 94, 95, 96,
10
101, 102, 103,
109, 110, 111, 112,
116, 117, 118, 119,120,
124,125, 126
Numeri congruenti
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45,
46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84,
85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116,
117, 118, 119, 120, 124, 125, 126
Come possiamo vedere, i numeri congruenti sono spesso a gruppi di
alcuni numeri consecutivi (tre, quattro o cinque), con solo qualche
single ogni tanto; ma anche i numeri non congruenti hanno la stessa
struttura: gruppi consecutivi di tre, quattro o cinque numeri (in nero).
Quindi, almeno fino a 126 (massimo numero congruente della lista)
non ci sono gruppi consecutivi di massimo cinque numeri congruenti e
non congruenti, nè minori di tre. Quindi dato un numero n qualsiasi,
entro n + 6 ci sarà sicuramente un numero congruente. Anche questa
nostra osservazione potrebbe essere utile per successivi studi sui
numeri congruenti, con o senza possibili conseguenze per la
congettura di Birch.
Ecco i numeri non congruenti consecutivi, distribuiti in modo simile
11
ai numeri congruenti
1, 2, 3, 4
8, 9, 10, 11, 12
16, 17, 18, 19
25, 26, 27
32, 33, 34, 35, 36
40, 41, 42, 43, 44
48, 49, 50, 51
57, 58, 59
64 (single); essendo un quadrato, non può essere congruente
66, 67, 68
72, 73, 74, 75, 76
81, 82, 83
89, 90, 91
97, 98, 99, 100
104, 105, 106, 107, 108
113, 114, 115
121, 122 , 123.
Anche i numeri non congruenti, quindi, si susseguono generalmente
in gruppi di tre, quattro, al massimo cinque, numeri consecutivi, con
qualche raro single (64, quadrato).
Vediamoli meglio in una tabella di 10 numeri consecutivi per
osservare meglio l’andamento dei gruppi di numeri consecutivi (in
rosso i numeri congruenti, in nero i numeri non congruenti, in blu i
quadrati, non congruenti):
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
4
14
24
34
44
5
15
25
35
45
6
16
26
36
46
12
7
17
27
37
47
8
18
28
38
48
9
19
29
39
49
10
20
30
40
50
51
61
71
81
91
101
111
121
52
62
72
82
92
102
112
122
53
63
73
83
93
103
113
123
54
64
74
84
94
104
114
124
55
65
75
85
95
105
115
125
56
66
76
86
96
106
116
126
57
67
77
87
97
107
117
58
68
78
88
98
108
118
59
69
79
89
99
109
119
60
70
80
90
100
110
120
Notiamo che non sono congruenti i quadrati (cosa già nota), ma
nemmeno le metà dei quadrati pari, per es. 2, 8, 18, 32, 50 (nostra
osservazione, forse perché hanno qualche somiglianza con n e 2n se n è
primo di una determinata forma, vedi in seguito).
Ma anche che ci sono, in verticale, gruppi di due numeri congruenti o
non congruenti che terminano per la stessa cifra, e un po’ più
raramente gruppi di tre (per es. 45, 55 e 65 per i numeri congruenti e
48, 58 e 68 per i numeri non congruenti).
I numeri congruenti più numerosi che terminano con la stessa cifra
sono quelli che terminano con 5 (ben otto contro una media di sei e
sette per le altre cifre). I gruppi di cinque numeri congruenti
consecutivi sono sottolineati, e ce ne sono ben cinque, contro due di
numeri non congruenti. Tutte queste osservazioni potrebbero essere
utili ai fini dello studio delle curve ellittiche connesse alla crittografia
ECC e infine anche allo studio della stessa congettura di Birch.
Non conosciamo liste più numerose di numeri congruenti, per poter
confermare questo andamento oltre il numero 126, ma pensiamo di si,
13
essendo il rapporto tra numeri naturali N e numeri congruenti C, di
circa N/C ≈ 2, infatti fino a 126 ce ne sono 73, e 126/73 = 1,72 ≈ 2;
mentre di numeri non congruenti ce ne sono 53 , e 126/53 = 2,37 ≈ 2
Ci sarà pure un motivo per questa strana distribuzione, in attesa di
essere dimostrata in seguito.
Vediamo infine la fattorizzazione dei numeri congruenti e dei numeri
non congruenti per poterne dedurre qualche eventuale regolarità
degna di rilievo.
Numeri
congruenti
5
6
7
13
14
15
20
21
22
23
Fattori
24
28
29
30
31
…
2*2*2*3
2*2*7
29 primo
2*3*5
31 primo
5 primo
2*3
7 primo
13 primo
2*7
3*5
2*2*5
3*7
2*11
23 primo
Numeri non
congruenti
1
2
3
4
8
9
10
11
12
16
17
18
19
26
27
…
Fattori
1
2 primo
3 primo
2*2 quadrato
2*2*2
3*3 quadrato
2*5
11 primo
2*2*3
2*2*2*2
quadrato
17 primo
2*3*3
19 primo
2*13
3*3*3
…
Notiamo che 5 è presente come fattore più frequente nei numeri
congruenti (quattro volte) che nei numeri non congruenti (una sola
14
volta) fino a 31, mentre fino a 126 contiamo 15 presenze come fattore
tra i numeri congruenti e solo 10 presenze tra i numeri non congruenti,
forse anche come conseguenza che i numeri congruenti che terminano
per 5 sono più numerosi dei numeri congruenti che terminano per
cifre diverse da 5.
Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che le nostre osservazioni, tabelle ecc.
potrebbero essere utili per ulteriori ricerche sui numeri congruenti,
sia di per se stessi, sia in relazione ad una possibile dimostrazione della
congettura di Birch. Un piccolo passo avanti, insomma, verso tale
possibilità.
15
NUMERI CONGRUENTI
Proviamo a scrivere i 2 cateti del triangolo rettangolo a e b come
frazioni
a=
x
;
y
u
w
b=
Abbiamo che l’area A del triangolo rettangolo è data da:
A=
ab
xu
=
2
2 yw
Vogliamo che l’area sia un numero intero k, perciò
xu
= k;
2 yw
xu
= 2k
yw
Il prodotto di ab deve fornire un numero pari.
Inoltre dal teorema di Pitagora si ha:
2
2
2
a +b =c ; c=
x 2 w2 + y 2u 2
yw
affinchè c sia un numero razionale è necessario che il valore sotto radice sia un quadrato
2
perfetto q
x 2 w 2 + y 2u 2 = q
2
Allora abbiamo che la somma x 2 w2 + y 2u 2 deve essere uguale a q2 e che il
prodotto xu deve essere uguale a 2k, numero pari
yw
Ma allora dall’equazione di 2° grado possiamo scrivere:
16
2
s = x 2 w 2 + y 2 u 2 = x1 + x2 = q
p = x1 x2 = 4k2y4w4
x2 – sx + p = 0
x2 – q2x + 4k2y4w4 = 0
x=
q 2 ± q 4 − 16k 2
2
x1 = x2w2
x2 = y2u2
Le soluzioni dipendono ovviamente dal ∆=
quadrato perfetto.
17
q 4 − 16k 2
che deve essere un
APPLICAZIONE DEL RADICALE ABC
Se proviamo ad applicare il radicale abc abbiamo:
a2 + b2 = c2
 x
 
 y
rad
(  x 
 y
c<
xu
yw
2
u
 
v
2
2
+
u
 
v
2
= c2
c2 ) = rad ( xu c) < c2 oppure > c2
= ab
yw
oppure
c>
xu
yw
= ab
troviamo un limite per c affinchè esista la somma.
Vediamo il valore del radicale per alcuni esempi di terne Pitagoriche con
area intera e lati razionali (vedi TAB 1 e 2):
Nella TAB. 1 è calcolato anche il raggio del cerchio inscritto al triangolo
rettangolo che è dato dalla seguente formula:
r=
Area
ab
=
semiperimetro
a + b + a 2 + b2
Il raggio del cerchio circoscritto è invece semplicemente:
R=
abc
4Area
= 2abc =
4ab
18
c
=
2
a 2 + b2
2
TAB. 1
a
b
1 1/2
6 2/3
3
4
2 11/12
4 4/5
2
10 23/30
134/323
2 2/3
10 1/2
4
7 1/2
3
13 1/3
c
Area
a+b
r inscritto
6,833333
5,000000
5,616667
5,000000
6,000000
7,000000
8,166667
7,000000
7,716667
0,666667
1,000000
1,050000
11,034159
13,000000
13,181527
1,073684
10,833333
8,500000
13,666667
14,000000
15,000000
20,000000
13,166667
11,500000
16,333333
1,166667
1,500000
1,333333
TAB 2
rad (abc)
c^2
ab
rad (ab)
c
205/3 = 68,33
30
2359/30 = 78,633
46,694444
25,000000
31,546944
10
12
14
10
6
14
6,833333
5,000000
5,616667
1389973/4845 = 286,8…
910/3 = 303,33
255
1640/3 = 410/3 = 136,66
121,752663
117,361111
72,250000
186,777778
26
28
30
40
26
14
30
10
11,034159
10,833333
8,500000
13,666667
Nell’ultimo caso con la terna (3,
40 41
, )
3
3
si ha che il rad (abc) < c2 ,
rappresenta un’eccezione, mentre in tutti gli altri casi il rad (abc) > c2.
Il limite imposto dal radicale per c in questo esempio vale:
c > 10
Inoltre sappiamo anche, dal teorema di Pitagora; che c < a + b
c<
49
=
3
16,3333
e difatti
c=
41
3
= 13,6666
19
METODO PER TROVARE I NUMERI CONGRUENTI
APPLICANDO LA FORMULA DI EUCLIDE
“GENERALIZZATA”
Sappiamo che per trovare una terna Pitagorica di interi si può applicare
la seguente formula di Euclide.
Data una coppia di numeri interi positivi m e n con m > n i lati del triangolo rettangolo sono i
seguenti
e abbiamo una terna Pitagorica con valori interi.
Proviamo a generalizzare e scegliamo invece m ed n non più come
interi ma come numeri qualsiasi anche come radici quadrate, purchè
però sempre con m > n
Per trovare un numero congruente, allora avremo
Area =
ab
2
= mn (m2 - n2)
Scelti 2 numeri qualsiasi m e n, se l’area del triangolo è un intero esso è un
numero congruente e troviamo la terna che va bene.
Ad esempio se scegliamo:
m=
abbiamo la terna ( 3 ,
2
5
;
6
n=
4
6
20 41
, )
3
6
Questo è un metodo alternativo per trovare i numeri congruenti.
Si tratta quindi di risolvere l’equazione omogenea in due incognite “m”
e “n” e k numero intero positivo.
20
mn (m2 - n2) = k
siccome m e n sono ≠ 0
(m2 - n2) =
dove
k
mn
k
mn
deve essere un numero razionale, intero o frazionario.
Per risolverla possiamo tenere fisso ad esempio n e considerare n = 1
m3 - m = k
m (m2 - 1) = k
con k = 6 le soluzioni sono:
m = 2; m = -1 ± j
2
Scelto quindi m = 2, otteniamo la terna (3, 4, 5).
Si osservi bene che scelto n tutte le soluzioni date da un certo k, valido,
sono multiple della terna generatrice (3, 4, 5) ovvero sono (3t, 4t, 5t)
Per esempio scegliendo un altro valore di k valido k = 24, sempre con n
= 1, si ha:
m = 3; m = - 3 ± j
2
23
2
e la terna che ne deriva è (6, 8, 10)
Ma risulta molto difficile risolvere quest’equazione omogenea.
21
Proviamo allora ad applicare un piccolo stratagemma e poniamo che
l’intero dell’area del triangolo invece di valere k valga kmn.
Avremo quindi:
Area = A = kmn
mn (m2 - n2) = kmn
(m2 - n2) = k
che risulta molto più facile da risolvere e dove k COINCIDE con il
cateto a (k = a).
m2 = n2 + k
m=
n2 + k
Non possiamo però scegliere m ed n a caso perché si tratta sempre di
risolvere il ∆= n 2 + k ma non siamo più obbligati ad avere un quadrato
perfetto: m e n possono essere delle radici quadrate!
Ad esempio:
A = kmn = 15
(m2 - n2) = k = a =
15
2
b =2mn = 4
n=
2
m
troviamo perciò:
m4 -
15
m
2
-4=0
m=2
n=
1
2
=
22
2
2
2
Possiamo però concludere:
Per avere terne razionali con area intera è necessario scegliere i
2 numeri m e n in due modi possibili:
1) m e n tutti e due interi
2) m e n sotto forma di qualche radice quadrata m = h
l a con h e l numeri razionali
23
a
en=
Riferimenti
Rif.1) “Tre miliardi di numeri congruenti”
22 settembre 2009
Tre miliardi di numeri congruenti
ll successo è stato possibile grazie a una innovativa tecnica di moltiplicazione di numeri enormi e al
supercomputer SAGE dell'Università di Washington a Seattle
…
Un gruppo di matematici di Nordamerica, Europa, Australia e Sudamerica ha fornito 3.148.379.694
nuovi numeri congruenti inferiori a mille miliardi. Il successo è stato possibile grazie a una
innovativa tecnica di moltiplicazione di numeri enormi, così grandi da essere difficilmente gestibili
anche con potenti computer di notevole memoria come il SAGE utilizzato da Mark Watkins
dell'Università di Sydney, in Australia, David Harvey del Courant Institute della New York
University e Robert Bradshaw dell'Università di Washington a Seattle.
Secondo Brian Conrey, direttore dell'American Institute of Mathematics: "I vecchi problemi come
questo possono sembrare oscuri, ma generano molto interesse e ricerche di grande utilità perché
costringono i matematici a sviluppare nuvi metodi per affrontarli”.
Il problema dei numeri congruenti, proposto per la prima volta più di mille anni fa, riguarda l'area di
triangoli rettangoli: si tratta di determinare quali numeri interi possano essere l'area di un triangolo
rettangolo i cui lati siano numeri interi o frazioni, il numero che esprime l'area è allora un numero
congruente. Per esempio, il triangolo rettangolo con lati 3-4-5 ha area pari a 6, che per questo è un
numero congruente.
Il più piccolo numero congruente è 5, che è l'area del triangolo rettangolo di lati 3/2, 20/3, e 41/6. i
successivi numeri congruenti sono 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 e 21. Molti numeri congruenti erano noti
prima di questo nuovo calcolo ma per sapere se un numero lo è effettivamente, occorre effettuare
un'analisi singola e specifica.
Il problema dei numeri congruenti fu posto per la prima volta dal matematico persiano al-Karaji
(953 ca. -1029 ca.), basandosi su una traduzione araba del lavoro del matematico greco Diofanto
24
(210 ca. - 290 ca.) che formulò un problema analogo. Nel 1225, Fibonacci mostrò che 5 e 7 sono
numeri congruenti, sostenendo, senza dimostrarlo, che 1 non lo è. Tale dimostrazione fu fornita nel
1659 da Fermat, e solo nel 1915 furono individuati i numeri conguenti minori di 100; nel 1952 Kurt
Heegner introdusse nuove tecniche matematiche per dimostrare che tutti i numeri primi della
sequenza 5, 13, 21, 29, ..., sono congruenti ma ancora nel 1980 esistevano numeri inferiori a 1000
non ancora risolti.
Nel 1982 Jerrold Tunnell della Rutgers University fece significativi progressi sfruttando la
connessione tra numeri congruenti e curve ellittiche, per le quali esiste una teoria ben definita,
trovando una semplice formula per determinare se un numero sia o meno congruente che ha
permesso di trovare molto velocemente il primo migliaio di numeri.
Un problema è che la validità completa della sua formula dipende dalla validità di un caso
particolare di un altro problema matematico noto come Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, uno
dei sette Millenium Prize Problems posti dal Clay Math Institute.
"Per raggiungere quest'ultimo risultato", ha commentato Bill Hart "la parte difficile è stata
sviluppare una libreria di veloci codici per computer per fare questo tipo di calcoli: una volta
ottenuta, non ci è voluto molto per scrivere il programma specifico per il calcolo particolare. E' da
sottolineare infine che il software è libero e può essere utilizzato da chiunque abbia a disposizione
un supercomputer e abbia voglia di battere il nostro record." (fc)
2) “Congettura sulle curve ellittiche con punti razionali connessi ai
numeri di Fibonacci.(Possibili conseguenze per la congettura di
Swinnerton – Dyer e la crittografia ECC)” - Gruppo “B. Riemann”*
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
3) sul sito www.mat.unimi.it/users/mbertoli/cesenatico.pdf l’articolo
“Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni Moderne” di
Massimo Bartolini; che dedica un capitolo ai numeri congruenti e alle
relazioni con la Congettura di Birch, anche in merito ai numeri primi
(alcuni sono congruenti ed altri invece no: ne riportiamo quest’ultima
parte, seguita da un nostro commento in relazione alle forme 6k +1 dei
numeri primi
“Teorema di Monski (1990):
Sia n un primo.
Se n e della forma 3+8k , allora n non e un numero congruente
e 2n e un numero congruente
…
Se n e della forma 5+8k, allora n `e un numero congruente e 2n
non e un numero congruente.”
…
25
Nostro commento:
i numeri primi di forma 3 + 8k equivalgono ai numeri primi di forma
6k’ +1, per esempio 19= 3+8*2 = 3+16 = 19 =6*3 +1, e quindi n non è
numero congruente, infatti manca nella lista dei numeri congruenti
Ma 2*19 = 38 è congruente
Anche 3 + 8*5 = 43 = 6*7 +1 è di forma 6k +1 e non numero
congruente, ma 43*2 = 86 numero congruente.
Per le forme 5+8k, abbiamo per esempio 29= 5+8*3 = 6*5-1 , con 29 =
numero congruente e 29*2 = 58 non numero congruente.
Idem per altre forme di numeri primi indicati nell’articolo,
facilmente verificabili. Quindi anche i numeri primi n e i loro doppi 2n
possono o no essere numeri congruenti, in base alle loro forme 6k+1
alle quali sono riconducibili le diverse altre forme (3 +8k. 5 +8k ecc.)
26