R - ITE Tosi

I.T.E. “Enrico Tosi”
BOOK IN PROGRESS
GEOMETRIA – STATISTICA DESCRITTIVA –
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
INDICE
GEOMETRIA
CAPITOLO 1: LA GEOMETRIA DEL PIANO
1.1 Generalità
pag. 1
1.2 Angoli particolari
pag. 11
CAPITOLO 2: POLIGONI E TRIANGOLI
2.1 I poligoni
pag. 14
2.2 I triangoli
pag. 17
2.3 Classificazione dei triangoli
pag. 18
ESERCIZI RELATIVI AI CAPITOLI 1 e 2
pag. 22
CAPITOLO 3: PERPENDICOLARITA’ E PARALLELISMO
3.1 Rette perpendicolari
pag. 41
3.2 Le proiezioni ortogonali
pag. 41
3.3 Mediane, altezze e bisettrici di un triangolo
pag. 44
3.4 Le rette parallele
pag. 46
3.5 Il criterio di parallelismo e le proprietà delle rette parallele
pag. 47
3.6 Proprietà dei triangoli
pag. 49
3.7 Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono
pag. 49
3.8 I luoghi geometrici
pag. 51
ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 3
pag. 52
CAPITOLO 4: I QUADRILATERI
4.1 Generalità
pag. 75
4.2 Il trapezio
pag. 77
4.3 Il parallelogramma
pag. 79
4.4 Il rettangolo
pag. 81
4.5 Il rombo
pag. 82
4.6 Il deltoide
pag. 84
4.7 Il quadrato
pag. 85
4.8 Perimetri e aree
pag. 86
ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 4
pag. 87
STATISTICA DESCRITTIVA
CAPITOLO 5: ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA
5.1 Introduzione
pag. 107
5.2 Elementi di base
pag. 108
5.3 Rappresentazioni grafiche
pag. 112
5.4 Indici di sintesi
pag. 114
5.5 Indici di variabilità
pag. 121
ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 5
pag. 125
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
CAPITOLO 6: CALCOLO DELLE PROBABILITA’
6.0 Una storia d’amore
pag. 133
6.1 Introduzione
pag. 134
6.2 Eventi
pag. 135
6.3 Probabilità di un evento
pag. 137
6.4 Teoremi sulla probabilità
pag. 138
6.5 Esempi
pag. 139
6.6 Definizione frequentistica della probabilità
pag. 142
6.7 Definizione soggettiva della probabilità
pag. 143
6.8 Possibili risposte al problema dell’aereo
pag. 144
ESERCIZI RELATIVI AL CAPITOLO 6
pag. 145
CAPITOLO 1
LA GEOMETRIA DEL PIANO
1.1 Generalità
Nello studio della geometria euclidea (da Euclide, matematico greco del III secolo a.C.) assume un
ruolo fondamentale il disegno delle varie figure. A tale scopo, useremo sempre squadra e compasso
e costruiremo le nostre figure con la massima attenzione e precisione.
Cominciamo il nostro lavoro ponendo l’attenzione su quelli che sono gli “oggetti”, gli enti, che si
studiano in geometria.
Per descriverli utilizzeremo delle definizioni. Una definizione è una frase nella quale viene
associato un nome a un ente e vengono elencate le sue caratteristiche.
Esempio:
Un parallelogramma è un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli.
Per dare una definizione è necessario conoscere il significato di alcuni termini. Nell’esempio
precedente, per stabilire che cos’è un parallelogramma si deve sapere cosa significano le parole
“quadrilatero”, “lati”, “opposti”, “paralleli”. Se i termini usati non sono conosciuti, si devono dare
altre definizioni utilizzando altri enti che a loro volta dovranno essere definiti e così via. Per
interrompere questo procedimento «a ritroso» che non può, ovviamente, continuare all’infinito è
necessario che di alcuni concetti, detti concetti o enti primitivi, non venga data alcuna definizione.
Essi costituiranno la base sulla quale costruire, poi, l’edificio di tutte le altre definizioni.
In geometria consideriamo come enti primitivi:
-
il punto;
-
la retta;
-
il piano.
L’idea di punto ci è suggerita dal segno lasciato dalla punta della matita o dal forellino praticato
con un sottile spillo su un foglio di carta, da un granellino di sabbia, da una stella
lontanissima, etc.
Il punto è la più semplice figura geometrica e l’immagine che di essa danno i riferimenti appena
indicati è piuttosto imperfetta. In realtà il punto è un ente geometrico privo di dimensioni; esso
indica solo una posizione (Euclide, nei suoi “Elementi”, definisce il punto come ciò che non ha
parti).
Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi una lettera maiuscola
dell’alfabeto; diremo perciò: punto A; punto B; punto C; etc.
.A
.B
.C
1
Un insieme qualsiasi di punti costituisce una figura geometrica; lo spazio è l’insieme di tutti i punti
e contiene quindi tutte le figure.
Una figura che appartiene ad un piano si chiama figura piana, altrimenti si chiama figura solida.
Come modello intuitivo di retta possiamo pensare al bordo di una riga da disegno, idealmente
illimitata da entrambe le parti. La retta geometrica si deve, infatti, pensare illimitata e senza
spessore: è costituita da infiniti punti ed ha un’unica dimensione (si estende solo in lunghezza,
illimitatamente).
Per distinguere una retta dall’altra, si pone accanto a ciascuna di esse una lettera minuscola
dell’alfabeto; diremo perciò: retta r ; retta s ; retta t ; etc.
t
s
r
Come modello intuitivo di piano possiamo pensare ad un sottile foglio di carta o alla superficie
dell’acqua stagnante di un lago. Si tratta, naturalmente, di immagini molto approssimative perché il
piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare indefinitamente esteso in lunghezza e
larghezza: ha, cioè, due dimensioni.
I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco; diremo perciò: piano α ; piano β ;
piano γ ; etc.
α
β
γ
Nella geometria razionale si vogliono ricavare, mediante deduzioni1, delle proprietà da altre
proprietà. Come per gli enti primitivi, bisogna, quindi, accettare che alcune proprietà vengano
assunte come primitive, ossia non siano dedotte ma accettate come vere (postulati o assiomi). Le
proprietà (o proposizioni) che si possono desumere dagli assiomi si dicono teoremi; un teorema è
quindi una proposizione di cui bisogna controllare la verità mediante un ragionamento
(dimostrazione). Una dimostrazione è, pertanto, una sequenza di deduzioni che, partendo da
affermazioni considerate vere (ipotesi), fa giungere ad una nuova affermazione (tesi).
In seguito scriveremo spesso l’enunciato dei teoremi mediante la struttura linguistica “se ….. ,
allora ……”.
1
procedimenti logici consistenti nel derivare, da una o più premesse date, una conclusione come
conseguenza logicamente necessaria.
2
La frase che segue il “se” è l’ipotesi, ossia ciò che supponiamo vero; quella dopo “allora” è la tesi,
ossia l’affermazione da dimostrare.
Dimostrazione diretta
Una dimostrazione è diretta quando, partendo dall’ipotesi ed utilizzando eventualmente postulati
e/o proprietà dimostrate in precedenza, si perviene, attraverso una sequenza di deduzioni logiche,
alla tesi.
Dimostrazione indiretta o per assurdo
Una dimostrazione è indiretta o per assurdo quando, partendo dalla negazione della tesi ed
utilizzando eventualmente postulati e/o proprietà dimostrate in precedenza, si perviene, attraverso
una sequenza di deduzioni logiche, a qualche proprietà che è in contrasto con l’ipotesi data o con
postulati o con teoremi già dimostrati (contraddizione). Bisogna, quindi, concludere che l’aver
supposto falsa la tesi è sbagliato e che, di conseguenza, la tesi è vera (principio di non
contraddizione: una proposizione non può contemporaneamente essere vera e falsa).
Se in un teorema vengono scambiate l’ipotesi e la tesi, si ottiene la proposizione inversa che prende
il nome di teorema inverso.
Un teorema che è immediata conseguenza di un altro teorema viene chiamato corollario.
Riportiamo ora di seguito alcuni postulati che caratterizzano i punti, le rette e i piani.

Dati due qualunque punti distinti A e B, esiste una ed una sola retta che li contiene
entrambi (fig. 1).
.
.
A
B
(fig. 1)
Questo postulato ci assicura che due punti sono sempre allineati, cioè appartengono ad una stessa
retta.
La retta individuata dai due punti A e B (fig. 1) viene detta anche retta congiungente i punti A e B,
o retta passante per A e B o, ancora, retta AB.
Il precedente postulato si suole anche enunciare dicendo che per due punti distinti passa una ed una
sola retta.
Dal precedente postulato discende il seguente corollario:
Due rette distinte non possono avere più di un punto in comune.
Infatti, se avessero due punti in comune, esse coinciderebbero.
3

Per un punto passano infinite rette.
Detto P un punto del piano, l’insieme delle infinite rette passanti per P è chiamato fascio di rette
proprio o, anche, fascio di rette di centro P (fig. 2).
P
(fig. 2)

Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro (fig. 3).
(fig. 3)
I punti di una retta si possono, quindi, pensare ordinati in due versi, uno opposto all’altro, in
corrispondenza dei due versi secondo cui la retta può essere percorsa.
Fissato su r uno dei due versi di percorrenza (retta orientata) e considerati due punti A e B su r, è
possibile dire se A precede B o se A segue B nel verso assegnato.
In fig. 4 si ha che A precede B (o B segue A):
.
.
A

B
r
(fig. 4)
Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette (fig. 5).
.
.
α
.
.
.
(fig. 5)

Se una retta r ha due punti in comune con un piano α, allora appartiene ad α (fig. 6).
.
α
4
r
.
.
(fig. 6)

Tre punti distinti che non appartengono ad una medesima retta individuano uno ed un
solo piano (fig. 7).
.
.
.
α
(fig. 7)
o Due rette si dicono complanari se appartengono a uno stesso piano, sghembe se
appartengono a piani diversi.
o Due rette r ed s del piano si dicono incidenti se hanno in comune uno ed un solo punto P
che prende il nome di punto di incidenza (o di incontro, o di intersezione) delle rette r ed s
(fig. 8).
.
r
α
P
s
r  s  P
(fig. 8)
o Due rette r ed s del piano si dicono parallele se coincidono (fig. 9a) oppure se non hanno
alcun punto in comune (fig. 9b).
s
s
r
α
r s
(fig. 9a)
r
α
r s  Ø
(fig. 9b)
Per indicare che due rette r ed s sono parallele scriviamo r // s, dove il simbolo // è detto
“simbolo di parallelismo”.
[Osserviamo che abbiamo assunto come parallele anche due rette coincidenti in quanto esse
hanno in comune infiniti punti e non uno solo, così come richiesto per le rette incidenti].
Parleremo ampiamente del parallelismo in altra unità.
5
Seguono le definizioni di nuovi enti, a partire dagli enti elementari:
o Semiretta - Data una retta r e un suo punto A, si dice semiretta, di origine A, ciascuna delle
due parti in cui r rimane divisa da A, compreso lo stesso punto A (fig. 10).
semiretta
.
A
semiretta
r
(fig. 10)
o Segmento - Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi
del segmento.
Il segmento di estremi A e B si indica con AB o con BA, cioè scrivendo una di seguito all’altra le
lettere che indicano i suoi estremi (fig. 11).
.
.
r
A segmento AB B
(fig. 11)
Se i due estremi coincidono il segmento è nullo ed è costituito da un solo punto
AB
.
(non ci sono,
quindi, punti interni).
o Segmenti consecutivi - Due segmenti si dicono consecutivi se hanno solo un estremo in
comune (fig. 12).
A.
AB e BC segmenti consecutivi
.
.
B
C
(fig. 12)
o Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed
appartengono alla stessa retta (fig. 13).
.
A
6
.
B
.
C
AB e BC segmenti adiacenti
(fig. 13)
PROVA TU
In relazione alla fig. 14, stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false.
A.
C
.
.
.D
B
E
.
(fig. 14)
AB e BC sono adiacenti
V
F
AB e DE sono consecutivi
V
F
BC e CD sono consecutivi
V
F
CD e AB sono adiacenti
V
F
CD e DE sono adiacenti
V
F
o Spezzata (o poligonale) - Si dice spezzata o poligonale una figura geometrica formata da
più segmenti, a due a due consecutivi e non adiacenti.
Una spezzata può essere (fig. 15):

non intrecciata (o semplice), se i segmenti della spezzata non hanno punti interni in comune;

intrecciata, se almeno due segmenti hanno punti interni in comune;

aperta, se l’ultimo estremo non coincide con il primo;

chiusa, se l’ultimo estremo coincide con il primo.
A.
.E
C
.
.I
F.
.
.
B
L.
.H
D
spezzata non intrecciata aperta
G.
spezzata non intrecciata chiusa
Q.
Q.
.P
.P
M.
.N
O.
M.
spezzata intrecciata chiusa
.N
spezzata intrecciata aperta
O
.
(fig. 15)
(I segmenti AB, BC, ..… sono i lati della spezzata; i punti A, B, C, ..... sono i vertici della spezzata).
7
o
Semipiano - Data una retta r di un piano α, si dice semipiano ciascuna delle due parti in cui
r divide α (fig. 16).
α
r
semipiano
semipiano
o
fig. 16: la retta r è l’origine di ciascuno dei
due semipiani.
Figura convessa - Una figura F si dice convessa se, considerati due suoi qualsiasi punti, il
segmento che li unisce è completamente contenuto in F (fig. 17).
F
(fig. 17)
o
Figura concava - Una figura G si dice concava se esistono almeno due punti per i quali il
segmento che li unisce non è completamente contenuto in G (fig. 18).
G
Q
P
fig. 18: il segmento PQ non è completamente
contenuto in G.
o
Angolo - L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette
aventi l’origine in comune (fig. 19).
s
fig. 19: Le semirette r ed s sono dette “lati” dell’angolo;
O
8
r
l’origine comune O è detto “vertice” dell’angolo.
o
Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati (fig. 20).
s
(fig. 20)
r
O
o
Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati (fig. 21).
s
(fig. 21)
r
O
Quando nel seguito parleremo di angolo senza ulteriore specificazione, intenderemo sempre
angolo convesso.
Per indicare l’angolo convesso della fig. 22 useremo una delle seguenti notazioni: rs , sr, rOs, sOr,
AOB, BOA, α, e, se non ci sono ambiguità di interpretazione, O.
B. s
α
.
O
A
r
(fig. 22)
Se si vuole fare riferimento ad un angolo concavo lo si deve esprimere in maniera esplicita; così, nel
caso della fig. 21, diremo “angolo rs concavo” (taluni indicano tale angolo con la scrittura rs).
Gli aggettivi convesso e concavo sono in accordo con le definizioni date di figura convessa e di
figura concava.
o
Si dice corda di un angolo convesso un qualsiasi segmento i cui estremi appartengono ai lati
dell’angolo (fig. 23).
s
B.
O
AB corda
.
A
r
(fig. 23)
9
o
Angoli consecutivi - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in
comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune (fig. 24).
A
B
O
o
AOB e BOC angoli consecutivi
(fig. 24)
C
V
Angoli adiacenti - Due angoli si dicono adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, hanno
i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta (fig. 25).
B
AOB e BOC angoli adiacenti
O
A
o
C
(fig. 25)
Angoli opposti al vertice - Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i
prolungamenti dei lati dell’altro (fig. 26).
A
B'
AOB e A'OB' angoli opposti al vertice;
O
AOB' e A'OB angoli opposti al vertice.
B

A'
Due angoli opposti al vertice sono congruenti.
Q
N
O
M
10
(fig. 26)
P
(fig. 56)
Hp.:
MOQ opposto al vertice di PON
Th.:
MOQ  PON
PROVA TU
Vero o falso?
a) Due angoli consecutivi sono anche adiacenti
V
F
b) Due angoli adiacenti sono anche consecutivi
V
F
c) Due angoli consecutivi possono essere entrambi acuti
V
F
d) Due angoli adiacenti possono essere entrambi acuti
V
F
Bisettrice di un angolo. Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice
dell’angolo e lo divide in due angoli congruenti (fig. 45).
s
b
bisettrice
r
O

O'
In simboli:
(fig. 45)
rOb  bOs
1.5 ANGOLI PARTICOLARI:
o Angolo piatto - Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte. [Si può
pensare ottenuto facendo ruotare la semiretta OA, intorno ad O, di mezzo giro, così da
assumere la posizione OB (fig. 46)]. L’angolo piatto si suole indicare con la lettera greca π
(scoprirai il perché nel corso dei tuoi studi).
π
.
.
.
A
O
π
B
Angolo piatto
180°
(fig. 46)
o Angolo giro - Un angolo concavo i cui lati sono semirette sovrapposte si dice angolo giro.
[Si può pensare ottenuto facendo ruotare la semiretta OA, intorno ad O, di un giro completo,
descrivendo così tutto il piano (fig. 47)].
11
B
A
.
O
Angolo giro
360°
(fig. 47)
o Angolo nullo - Un angolo convesso i cui lati sono semirette sovrapposte si dice angolo
nullo. [Si può pensare ottenuto quando la semiretta OA rimane nella posizione iniziale, cioè
se ha una rotazione nulla (fig. 48)].
Angolo nullo
B
A
.
O
0°
(fig. 48)
o Angolo retto - Un angolo si dice retto se è la metà di un angolo piatto (fig. 49).
C
Angolo retto
angolo retto
B
90°
(fig. 49): OC è la bisettrice dell’angolo
piatto AOB.
angolo retto
O
A
o Angolo acuto - Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto (fig. 50).
B
AOB angolo acuto
Angolo acuto < 90°
O

O'
A
(fig. 50)
o Angolo ottuso - Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto (fig. 51).
B
AOB angolo ottuso
Angolo ottuso > 90°
O
12
A
(fig. 51)
o Angoli complementari - Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un
angolo retto (fig. 52).
C
AOB e BOC angoli complementari
B
(AOC angolo retto)
(fig. 52)
A
O
(Ovviamente i due angoli non devono essere necessariamente consecutivi).
o Angoli supplementari - Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un
angolo piatto (fig. 53).
B
AOB e BOC angoli supplementari
AOC angolo piatto
O
C
A
(fig. 53)
(Ovviamente i due angoli non devono essere necessariamente adiacenti).
o Angoli esplementari - Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un
angolo giro (fig. 54).
B
O
A
(fig. 54)
(Ovviamente i due angoli non devono avere necessariamente gli stessi lati).
PROVA TU
Completa le seguenti affermazioni:
13
o il supplementare di un angolo di 85° è ampio …….…;
o il complementare di un angolo di 89° è ampio ........…;
o il complementare di un angolo di 2° è ampio ……..…;
o il supplementare di un angolo di 112° è ampio ...……;
o l’esplementare di un angolo di 60° è ampio …………;
o il supplementare di un angolo di 120° è ampio .......…;
o l’esplementare di un angolo di 107° è ampio …….…..
PROVA TU
In relazione alla figura 57, stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
β
γ
α
δ
(fig. 57)
a) α e γ sono supplementari
V
F
b) γ e δ sono complementari
V
F
c) α e γ sono congruenti
V
F
d) β e γ sono supplementari
V
F
e) α e γ sono opposti al vertice
V
F
f) γ e β sono congruenti
V
F
g) β e δ sono complementari
V
F
CAPITOLO 2
I TRIANGOLI
2.1 I poligoni
Si chiama poligono la figura formata da una poligonale (chiusa non intrecciata) e dalla parte finita
di piano da essa delimitata.
In un poligono chiamiamo:
14

vertici del poligono i vertici della poligonale;

lati del poligono i lati della poligonale;

contorno del poligono la poligonale stessa;

punti interni i punti del poligono non situati sul contorno;

punti esterni tutti gli altri punti del piano, esclusi quelli del contorno;

perimetro del poligono il segmento somma dei lati del poligono.
Per indicare un poligono fissiamo un primo vertice e scriviamo ordinatamente, una accanto all’altra,
le lettere dei successivi vertici procedendo in senso antiorario.
In fig. 1 è rappresentato il poligono ABCDEF.
D
E
C
F
B
(fig. 1)
A
Faremo sempre la distinzione tra poligono convesso e poligono concavo, in accordo con le
definizioni date di figura convessa e di figura concava (pag. 10, unità 1).
La fig. 2 ti dovrebbe permettere, comunque, di ricavare le definizioni di poligono convesso e di
poligono concavo (PROVA TU).
P
P
1
2
A
B
Poligono convesso
(fig. 2)
Poligono concavo
Quando nel seguito parleremo di poligono senza ulteriore specificazione, intenderemo sempre
poligono convesso.
In un poligono convesso chiamiamo:
o angolo interno o angolo del poligono ognuno degli angoli che ha vertice in un vertice del
poligono e per lati le semirette che contengono i lati uscenti da quel vertice (fig. 3a);
o angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno (fig. 3b).
Angolo
esterno
Angolo
esterno
Angoli
interni
Angolo
esterno
Angolo
esterno
(fig. 3a)
Angolo
esterno
(fig. 3b)
15
Osserva che ad ogni angolo interno si possono associare due angoli esterni, congruenti tra di loro
perché opposti al vertice (fig. 4).
Angolo esterno
Angolo interno
Angolo esterno
(fig. 4)
Inoltre (fig. 5) definiamo:

corda ogni segmento che unisce due qualsiasi punti del contorno del poligono che non
appartengono allo stesso lato;

diagonale ogni corda che unisce due vertici non consecutivi.
D
F
G
corda
E
C
.
diagonale
A
B
(fig. 5)
I poligoni hanno nomi diversi a seconda del numero di lati (o dei vertici o degli angoli) di cui sono
costituiti e che non possono essere meno di tre.
Nella seguente tabella sono riportati i nomi di alcuni poligoni:
16
Numero dei lati
Nome del poligono
3
triangolo
4
quadrilatero
5
pentagono
6
esagono
7
ettagono
8
ottagono
9
ennagono
10
decagono
11
endecagono
12
dodecagono
In generale, se i lati sono n si parlerà di poligono di n lati.
Un poligono si dice:

equilatero se ha tutti i lati congruenti tra loro;

equiangolo se ha tutti gli angoli interni congruenti tra loro;

regolare se è equiangolo ed equilatero.
PROVA TU
o Quante diagonali ha un triangolo?
□
2
□1
□ nessuna
□3
o Quante diagonali puoi tracciare dal vertice di un poligono di 5 lati?
□3
□5
□4
□2
o Dimostra che il numero delle diagonali di un poligono convesso di n lati è pari a n  n  3 .
2
o Disegna un ettagono e individua gli angoli interni, gli angoli esterni e le diagonali.
o Disegna un poligono con nove diagonali.
2.2 I triangoli
o Un triangolo è un poligono con tre lati (fig. 6).
C
B
A
(fig. 6)
Riferendoci al triangolo ABC della fig. 6, distinguiamo:
-
tre vertici: i punti A, B, C;
-
tre lati: i segmenti AB, BC, CA;
-
tre angoli: gli angoli convessi CAB, ABC, BCA.
17
I lati e gli angoli vengono detti elementi del triangolo.
L’unione dei tre lati, cioè l’insieme dei loro punti, costituisce il contorno del triangolo; il segmento
somma dei tre segmenti è il perimetro del triangolo.
Si dicono interni i punti del triangolo che non appartengono al suo contorno, esterni i punti che non
appartengono al triangolo.
In un triangolo, ogni lato si dice opposto all’angolo il cui vertice non appartiene al lato stesso e
adiacente agli altri due angoli; analogamente, ogni angolo si dice opposto al lato che non contiene
il suo vertice e adiacente agli altri due lati.
Relativamente alla fig. 6 si ha, ad esempio, che:
-
il lato AB è opposto all’angolo ACB ed è adiacente agli angoli BAC e ABC;
-
l’angolo BAC è opposto al lato BC ed è adiacente ai lati AB e AC.
PROVA TU
Riferendoti sempre alla fig. 6, completa le frasi seguenti:
a) il lato BC è opposto all’angolo ……… ed è adiacente agli angoli ……… e ……… ;
b) l’angolo ABC è opposto al lato ……... ed è adiacente ai lati …………… e ……… ;
c) il lato AC è opposto all’angolo ……… ed è adiacente agli angoli ……… e ……… ;
d) l’angolo ACB è opposto al lato ……... ed è adiacente ai lati …………… e ……… .
2.3 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Un triangolo si dice:

equilatero se ha tutti i tre lati congruenti (fig. 7a);

isoscele se ha due lati congruenti (fig. 7b);

scaleno se non ha alcuna coppia di lati congruenti (fig. 7c).
C
(fig. 7a)
A
18
B
F
D
(fig. 7b)
E
I
G
H
(fig. 7c)
Soffermiamoci un po’ sul triangolo isoscele.
Consideriamo il triangolo isoscele ABC in cui AC  BC (fig. 8):
C
o i due lati congruenti, AC e BC, vengono detti lati
obliqui;
o il terzo lato, AB, si chiama base;
o l’angolo ACB, opposto alla base, è detto angolo
al vertice;
A
B
(fig. 8)
o gli angoli BAC e ABC, adiacenti alla base, si
dicono angoli alla base.
PROVA TU
Riferendoti alla fig. 9, completa le seguenti frasi:
R
Q
(fig. 9)
P
o Il triangolo PQR è isoscele sulla base …….. ;
o L’angolo al vertice è l’angolo …….. ;
o I lati obliqui sono …………… ;
o Gli angoli adiacenti alla base sono gli angoli …………………. .
19
TEOREMA
Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.
C
Hp.: AC  BC
Th.: BAC  ABC
A
B
TEOREMA INVERSO:
Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.
C
Hp.: BAC  ABC
Th.: AC  BC
A
B
Consideriamo ora gli angoli.
1) Ogni triangolo può avere al massimo un angolo retto; gli altri due angoli sono acuti.
2) Ogni triangolo può avere al massimo un angolo ottuso; gli altri due angoli sono acuti.
3) Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
Quanto detto permette la classificazione dei triangoli rispetto agli angoli.
Un triangolo si dice:
20

acutangolo se ha tutti i tre angoli acuti (fig.11a);

rettangolo se ha un angolo retto (fig.11b);

ottusangolo se ha un angolo ottuso (fig.11c).
  90
  90
  90
γ
β
α
(fig. 11a)
γ
α
  90
  90
  90
β
(fig. 11b)
γ
α
β
(fig. 11c)
  90
  90
  90
In un triangolo rettangolo, i due lati che formano l’angolo retto vengono detti cateti, il lato opposto
all’angolo retto viene detto ipotenusa.
ipotenusa
cateto
cateto
PROVA TU
Fra le seguenti affermazioni una è falsa. Quale?
Un triangolo può avere:
a) tutti e tre gli angoli acuti;
b) più di un angolo esterno ottuso;
c) un angolo acuto e due ottusi;
d) due angoli acuti e uno retto;
e) due angoli acuti e uno ottuso;
f) un angolo ottuso.
21
La geometria del piano. I triangoli
Conoscenza e comprensione
1) Cosa si intende con l’espressione “concetti o enti primitivi”?
2) Quali sono i concetti primitivi della geometria euclidea?
3) Che cos’è un assioma o postulato?
4) Che cos’è un teorema? E un corollario?
5) Quali sono le parti di un teorema?
6) Cosa vuol dire “dimostrare” un teorema?
7) Qual è la differenza fra una dimostrazione diretta ed una indiretta?
8) Scrivi almeno tre postulati della geometria euclidea.
9) Che cos’è un fascio di rette proprio?
10) Cosa vuol dire “orientare” una retta?
11) Che cos’è una semiretta? Ed un segmento?
12) Quando due segmenti si dicono consecutivi? E quando adiacenti?
13) Riferendoti alla seguente figura:
D
.
A.
.
C
.
.E
B
F
.
quale delle seguenti proposizioni è vera?
a) BC e CD sono segmenti consecutivi, DE e EF sono segmenti adiacenti.
b) AB e BC sono segmenti consecutivi, CD e DE sono segmenti adiacenti.
c) AB e BC sono segmenti consecutivi, CD e EF sono segmenti adiacenti.
d) BC e CD sono segmenti adiacenti, AB e BC sono segmenti adiacenti.
e) AB e BC sono segmenti consecutivi, BC e CD sono segmenti adiacenti.
22
14) Che cos’è una spezzata?
15) Spiega la differenza fra una spezzata chiusa ed una spezzata aperta.
16) Quando una spezzata si dice intrecciata?
17) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) Due segmenti sono consecutivi se la loro intersezione è almeno un punto.
b) Due segmenti consecutivi sono sempre adiacenti.
c) Se l’intersezione di due segmenti è estremo sia di un segmento che dell’altro, allora i
due segmenti sono consecutivi.
d) L’intersezione di due segmenti è sempre un segmento nullo.
e) Se l’intersezione di due segmenti è l’estremo di un segmento, allora i due segmenti
sono consecutivi.
18) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) due rette si dicono complanari se appartengono a piani diversi.
V
F
b) per un punto del piano passano due sole rette.
V
F
c) per un punto del piano passano almeno tre rette.
V
F
d) per un punto del piano passano infinite rette.
V
F
e) su una retta vi sono almeno 10 punti.
V
F
f) due segmenti adiacenti non sono consecutivi.
V
F
g) due segmenti consecutivi non sono mai adiacenti.
V
F
h) se due rette r ed s sono tali che r  s = Ø, allora le due rette sono coincidenti. V
F
i) un piano è individuato da tre punti distinti e allineati.
V
F
l) un piano è individuato da due rette incidenti.
V
F
V
F
n) un piano è individuato da una retta e da un punto non appartenente ad essa.
V
F
o) due rette possono avere almeno due punti in comune.
V
F
p) per tre punti distinti del piano può passare una sola retta.
V
F
m) un piano è individuato da una retta e da un punto su di essa.
23
19) Completa le seguenti affermazioni, aiutandoti con le opportune figure:
a) se P è un punto non appartenente ad una retta r, le rette passanti per P ed incidenti r
sono …………………… ;
b) un punto O di una retta r individua su r due ……………………… ;
c) per un punto A passano ……………..… rette, il cui insieme si dice ………….… di
….…..….... di …………….. A ;
d) due punti A e B di una retta r individuano su r due ..…………..…….….. e un
………...………….. ;
e) due segmenti AB e BC si dicono …………..……..…….. se hanno in comune solo
l’estremo ….. ;
f) due segmenti AB e BC si dicono adiacenti se ……………………………….…………
e ……………………………………………………………. ;
g) su una retta vi sono …………………… punti;
h) una retta di un piano lo divide in ……………………………… .
20) Stabilisci se sono vere o false le seguente affermazioni:
a) Una semiretta è la metà di una retta.
V
F
b) Due rette possono avere più di due punti in comune.
V
F
c) Due rette che hanno almeno due punti in comune sono parallele.
V
F
d) Per tre punti passano sempre almeno due rette.
V
F
e) Due rette sono sghembe se appartengono allo stesso piano.
V
F
f) Un segmento è un insieme infinito di punti.
V
F
g) Se l’intersezione di due segmenti è un segmento non nullo, allora
V
F
h) L’unione di due semirette aventi la stessa origine è una retta.
V
F
i) Se l’intersezione di due semirette è un segmento nullo, allora le
V
F
V
F
i due segmenti appartengono alla stessa retta.
semirette appartengono alla stessa retta.
l) L’intersezione di due rette complanari è sempre diversa dall’insieme vuoto.
24
21) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) Due segmenti appartenenti a semirette opposte sono adiacenti.
b) Due segmenti che hanno un punto in comune sono adiacenti.
d) Due segmenti sono adiacenti se la loro intersezione è un segmento non nullo.
e) Se due segmenti appartengono alla stessa retta e hanno un solo punto in comune, allora
sono adiacenti.
f) Due segmenti appartenenti alla stessa semiretta sono adiacenti.
22) Siano R, S, T tre punti di una retta orientata r; se S precede R e T segue S, quale delle seguenti
affermazioni è sicuramente vera?
a) T precede R.
b) R segue T.
c) T segue R.
d) R coincide con T.
e) Nessuna delle precedenti proposizioni è vera.
23) Osserva la seguente figura:
.
.
.
.
A
C
B
D E
.
r
e completa le scritture date, inserendo al posto dei puntini, il termine “precede” o “segue”.
A ………………... C
C ………………... E
B ………………... E
E ………………... A
D ………………... A
A ………………... B
A ………………... D
B ………………... D
24) Facendo riferimento alla figura dell’esercizio precedente, stabilisci se se seguenti affermazioni
sono vere o false:
a) B è interno al segmento BE
V
F
b) D è esterno al segmento AB
V
F
c) C è interno al segmento AD
V
F
d) A è esterno al segmento AB
V
F
25
25) Con riferimento alla seguente figura, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
D
.
F.
A
.
R.
r
a) F segue D
V
F
b) A precede D
V
F
c) R precede F
V
F
d) A segue R
V
F
e) R segue D
V
F
f) A precede F
V
F
g) D segue F
V
F
26) Cosa vuol dire che una figura è convessa? E che è concava?
27) Che cos’è un angolo? Quando due angoli si dicono consecutivi? E quando si dicono adiacenti?
28) Data la seguente figura:
b
β
α
O
a
Completa le seguenti scritture, sostituendo al posto dei puntini i termini corretti:
26
▪
O ………………… degli angoli α e β;
▪
…………………………... a e b : ………… degli ………………………… ;
▪
α angolo …………………. ;
▪
β …………………………. .
29) Osserva la seguente figura e completa:
a) L’angolo  si indica con …..… oppure con B......;
A
α
D
β
γ
B
C
b) L’angolo  si indica con ……..
oppure ……, ma
……… si indica con D;
c) DCB indica l’angolo …….;
d) BDA ….. indica l’angolo ;
e) BCD …. indica l’angolo , ma indica l’angolo ……. .
30) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
a) Un angolo acuto è una figura convessa.
b) L’intersezione di due figure convesse è sempre una figura convessa.
c) L’intersezione di due figure concave è sempre una figura concava.
d) Una semiretta è una figura convessa.
e) Un angolo piatto è una figura convessa.
31) Dato un angolo, esiste sempre il suo complementare? E il suo supplementare? E il suo
esplementare? Motiva le risposte.
32) Completa:
a) Due angoli si dicono consecutivi se hanno il ……………….. e un ………… in comune.
b) Due angoli si dicono adiacenti se sono ………………… e i lati ……………………….
…… appartengono alla ………… retta.
c) Due angoli sono opposti al vertice se i ……….... di uno sono i ………………………..
dei ………. dell’altro.
d) Due angoli sono ………….…………... quando la loro somma è un angolo retto.
e) Due angoli sono supplementari quando la ……….. ….……………
è un angolo
………….. .
f) Due angoli sono …………….…………… quando la loro ………….. è un angolo giro.
27
33) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) due angoli adiacenti sono anche consecutivi.
V
F
b) due angoli consecutivi sono anche adiacenti.
V
F
c) un angolo i cui lati sono coincidenti e che contiene tutti punti del piano
V
F
d) un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati.
V
F
e) la somma di due angoli acuti è un angolo ottuso.
V
F
f) la somma di due angoli acuti può essere un angolo ottuso.
V
F
g) il doppio di un angolo acuto può essere ancora un angolo acuto.
V
F
h) il complementare di un angolo acuto è un angolo ottuso.
V
F
i) il supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso.
V
F
l) due angoli che hanno il vertice in comune sono consecutivi.
V
F
è l’angolo nullo.
34) Osserva la figura:
γ
β
δ
α

Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
a)   
b)  è complementare di 
c)  è supplementare di 
d)  > 
e)  è complementare di 
28
r
35) Osserva la figura:

β
δ
α
ω
r
γ
Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
a)  è complementare di 
b)  > 
c)   
d)  è il supplementare di  + 
e)  è il complementare di 
36) Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Il supplementare di un angolo acuto è ancora un angolo acuto.
b) Due angoli opposti al vertice sono supplementari.
c) L’esplementare di un angolo retto è l’angolo piatto.
d) Il supplementare di un angolo ottuso è sempre un angolo ottuso.
e) Due angoli opposti al vertice sono congruenti.
37) Che cos’è un poligono?
38) Che cosa si intende per diagonale di un poligono?
39) Quando un poligono si dice regolare?
40) Classifica i triangoli rispetto ai lati.
29
41) Riferendoti alla seguente figura, completa le scritture seguenti distinguendo i vari elementi:
C
A
B
a) i punti A, B, C sono i ……………….. del triangolo;
b) i segmenti …… , …… , …… sono i tre lati del triangolo;
c) gli angoli convessi …… , ….… , ….… sono gli ……………………………….…
42) Quando due figure si dicono congruenti?
43) Perché la relazione di congruenza fra figure è una relazione d’equivalenza?
44) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) Per ogni lato di un triangolo vi è un solo angolo adiacente.
V
F
b) Ogni triangolo equilatero è isoscele.
V
F
c) Se un triangolo non è isoscele, allora è scaleno.
V
F
d) Ogni triangolo ha tre vertici.
V
F
e) Un triangolo isoscele non può essere ottusangolo.
V
F
f) Un triangolo acutangolo è sempre scaleno.
V
F
g) Ogni segmento che ha per estremi due punti interni di un triangolo è
V
F
h) Un triangolo rettangolo può anche essere ottusangolo.
V
F
i) Un angolo di un triangolo e l’angolo esterno adiacente ad esso sono
V
F
l) Un triangolo isoscele può avere un solo angolo acuto.
V
F
m) Un triangolo rettangolo non può essere isoscele.
V
F
sempre interno al triangolo. (Cosa significa?)
supplementari.
30
Esercizi
La geometria del piano
1) Completa, utilizzando i simboli opportuni (  ,  ,  ,  ,  ,  , // , … ), le relazioni tra gli enti
geometrici rappresentati in ciascuna delle seguenti figure:
r
s
.
r …. s = P}
P
.A
A …. r
r
AB …… r = B}
B …. r
.
B
r
s
r ….. s
.
A
*
.
.
*
M
B
.A
;
r …… = Ø
AM ….. MB
A ….. α
α
r
r ….. β
β
31
2) Disegna, nel piano, le seguenti figure geometriche:
a) due semirette tali che la loro intersezione sia un segmento;
b) due rette r ed s incidenti in un punto P;
c) le rette che passano per due punti distinti A e B;
d) le rette che passano per un punto D;
e) una retta orientata s e su di essa tre punti O, P, Q, tali che Q precede O e Q segue P;
f) due semirette aventi la stessa origine A;
g) due segmenti consecutivi;
h) due segmenti adiacenti;
i) una spezzata non intrecciata chiusa di 6 lati;
j) una spezzata intrecciata aperta di 5 vertici;
k) quattro punti, a tre a tre non allineati, e tutte le possibili rette da essi individuate;
l) quattro punti di cui tre allineati e tutte le possibili rette da essi individuate.
3) Completa, osservando la seguente figura:
.D
.
C
E.
r
.
.
A
B
t
s
r  … = A
32
s  t
= ….
E … t
…  t = B
D …. t
ED  …. = D
ED  r = ….
BC  …. = C
r  BC = ....
D ...... s
AC  .... = C
C ..... t
4) Riconosci quali delle seguenti figure sono convesse e quali concave:
5) Osserva la figura e completa come nell’esempio:
GB 
1
PQ;
2
….  PQ;
…. 
5
PQ;
6
HR  ….DI;
DI  …. PQ;
SN  …. HR;
7
….;
6
BG  …. DI;
FM 
SN  ….GB;
AE  7 ….;
…. 
2
AE;
5
…. 
3
….
7
33
Esercizio guidato
6) In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, i lati AB e AC superano ciascuno di 6 cm la base.
Sapendo che il perimetro del triangolo è 36 cm, calcola le misure dei lati.
COMPLETA:
A
AB  AC
Hp.:
*
AB + BC + AC = 36 cm ( * )
*
Th.:
B
AB  AC  BC + 6 cm
AB = ? ; BC = ? ; AC = ?
C
[( * ) per la misura della lunghezza dei segmenti utilizziamo il segno di uguaglianza].
È opportuno il seguente ausilio grafico:
base
lato
lato
6 cm
6 cm
Si ha quindi:
3 . BC = 36 – (…. + ….) = …. – 12 = ….
BC = …. : 3 = .... cm
AB  AC = …. + 6 = .… cm
7) Una spezzata aperta di quattro lati è lunga 84 cm. Il primo lato misura 36 cm, il secondo è la
quarta parte del primo e il terzo è congruente alla differenza dei primi due. Calcola la misura del
quarto lato.
[12 cm]
8) In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, ciascuno dei lati supera di 12 cm la base. Sapendo
che il perimetro del triangolo è 72 cm, calcola la misura dei lati.
[16 cm; 28 cm; 28 cm]
34
9) Disegna le seguenti figure:
a) un angolo concavo e un angolo convesso.
b) due angoli consecutivi.
c) due angoli adiacenti.
d) due angoli opposti al vertice.
e) un angolo convesso AOB e la sua bisettrice OC.
f) due angoli complementari.
g) due angoli supplementari.
h) due angoli esplementari.
10) Rappresenta le seguenti figure:
a. due angoli consecutivi complementari.
b. due angoli consecutivi supplementari (come si chiamano?).
c. due angoli consecutivi esplementari.
d. un angolo triplo di un angolo retto.
11) Utilizzando squadra e compasso, costruisci la bisettrice dei seguenti angoli:
B
R
P
A
O
Q
F
M
L
G
E
I
D
.
H
I
35
12) Individua, tra gli angoli delle figure seguenti, l’angolo nullo, l’angolo acuto, l’angolo retto,
l’angolo ottuso, l’angolo piatto, l’angolo giro.
s
B
A
.
r
O
O
s
B
A
.
O
O
r
s
O
36
r
.
O
r
13) Completa, se possibile, la seguente tabella:
angolo
complementare
supplementare
32°
…
…
…
…
…
…
…
18°
110°
…
…
…
47°
…
…
252°
…
…
…
…
…
281°
…
82°
…
59°
…
…
esplementare
…
…
Disegna le figure corrispondenti alle seguenti descrizioni:
14) Due segmenti AB e CD si intersecano nel loro punto medio S; unisci A con C e B con D.
15) Due segmenti AB e CD si intersecano in un punto M; unisci il punto B con il punto medio N di
MD e prolunga BN di un segmento NF congruente a BN. Traccia il segmento FD e, poi, il
segmento AG, passante per il punto medio T di CM, tale che AT sia congruente a TG. Unisci C
con G.
16) Gli angoli ABC e DBE sono opposti al vertice; la semiretta s di origine B è interna a ABD,
mentre la semiretta t di origine B è interna a CBE; traccia il segmento FG con F appartenente a
s e G appartenente a t.
17) FKH è un angolo piatto, FK  KH, MKH < 90°, T appartiene al semipiano di origine FH
contenente M. TKF > 90° e TK esterno a MKH.
18) Due semirette s e m, aventi la stessa origine B, formano un angolo retto. D appartiene alla
semiretta s e F alla semiretta m, inoltre BF è il triplo di BD; traccia il segmento DF.
19) Dal vertice A di un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, ed esternamente ad esso, conduci
due semirette che formino con i lati del triangolo due angoli congruenti.
Le due semirette incontrano il prolungamento della base BC, dalla parte di B, nel punto E e dalla
parte di C nel punto F.
37
20) ……. al telefono
Marta: “Lucia, mi puoi dire quali sono i compiti di matematica per domani?”
Lucia: “Il prof ha disegnato una figura alla lavagna e ha detto di completare alcune relazioni”.
Marta: “Mandamela per e-mail”.
Lucia: “Non posso, ho problemi con internet; è da ieri sera che non riesco a connettermi”.
Marta: “Spiegala per telefono; io provo a disegnarla”.
Lucia: “Va bene; ci provo! Il prof ha disegnato due segmenti consecutivi AB e BC in modo che
BC sia il doppio di AB e che formino tra loro un angolo retto; poi dal punto medio H di BC ha
disegnato un segmento HE congruente ad AB e che forma con BC un angolo retto; infine ha
disegnato un segmento che unisce C con il punto medio S di HE e un segmento che unisce A
con E”.
Marta: “Grazie! E le relazioni da completare?”
Lucia: “Ah, dimenticavo. Devi inserire i simboli di congruenza, maggiore o minore, appartiene ,
non appartiene”.
Scrivi:
AB …. BH;
ES…. AB;
H …. CB;
HCS …. 90°;
AE  CB = …..; SHC…. 90°;
HEA …. 90°; HC …. HE; AE …. BH.
Quale figura avrà disegnato Marta? Come avrà completato le relazioni? Prova a farlo tu!
21) …… il giorno dopo
Lucia: “Marta, mi fai vedere la tua figura? Controlliamo le relazioni?”
Marta: “Subito! Guarda.
Lucia: “Ma sono diverse! Eppure pensavo di essere stata molto precisa. E poi, nella mia figura
AE e CB non si incontrano, invece nella tua figura sì. Anche per l’angolo HEA abbiamo scritto
due cose diverse: per me è retto, invece per te è un angolo acuto.”
Cosa avrebbe dovuto dire Lucia affinché Marta, disegnando la figura, completasse le relazioni
nello stesso modo?
38
I triangoli
Disegna le seguenti figure:
22) un triangolo ABC, isoscele sulla base AB.
23) un triangolo ABC, retto in C.
24) un triangolo acutangolo ABC.
25) un triangolo ABC, ottusangolo in B.
26) un triangolo equilatero ABC. Verifica, con un goniometro, che i tre angoli sono congruenti.
27) un triangolo scaleno acutangolo.
28) un triangolo scaleno ottusangolo.
Costruisci un triangolo isoscele che abbia come base il segmento indicato.
29)
.
.
A
B
30)
.
D
.
C
31)
.E
.F
39
Costruisci un triangolo equilatero che abbia come base il segmento indicato.
32)
.
B
.
A
33)
C
.
.
D
34)
E
.
.
F
40
CAPITOLO 3
PERPENDICOLARITA’ E PARALLELISMO
3.1 Rette perpendicolari
Nell’unità 1 abbiamo visto che due rette r ed s del piano si dicono incidenti se hanno in comune
uno ed un solo punto P.
In particolare, due rette incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro angoli
congruenti, cioè retti (fig. 1).
s
.
P
r
(fig. 1)
r perpendicolare ad s
Per indicare che la retta r è perpendicolare alla retta s si scrive r  s (si legge “ r perpendicolare
ad s ”).
In realtà, per stabilire che r  s è sufficiente sapere che uno dei quattro angoli è retto. PERCHE’?

Due rette incidenti che non sono perpendicolari si dicono oblique.
Teorema dell’esistenza e dell’unicità della perpendicolare
Per un punto P del piano passa una ed una sola retta perpendicolare ad una data retta r.
3.2 Le proiezioni ortogonali
Data una retta r, si chiama piede della perpendicolare, o proiezione ortogonale, di P su r, il punto
in cui la perpendicolare per P ad r interseca la retta data.
-
In fig. 6.1, il piede della perpendicolare condotta da P ad r è il punto P stesso;
-
in fig. 6.2, il piede della perpendicolare condotta da P ad r è il punto H.
Il segmento di perpendicolare PH (fig. 6.2) rappresenta la distanza del punto P dalla retta r (nel
caso della fig. 6.1 tale distanza è nulla).
41
PROVA TU
Riferendoti alla seguente figura:
.P
.
r
H
dimostra che il segmento PH è minore di ogni segmento obliquo condotto da P alla retta r.
OSSERVAZIONE:
Quanto sopra ti permette di dedurre che il segmento di perpendicolare PH è il segmento di minima
lunghezza che congiunge P con r.
CURIOSITA’
FIUME RUME’
“Punto dritto” verso il piede
della perpendicolare
condotta “da me” all’argine
del fiume.
Ho sete!
Ho sete!
42
PROVA TU
Indica la distanza punto – retta nelle seguenti figure:
.O
r
.
s
t
Q
.
P

Dati un segmento PQ ed una retta r, siano P' e Q' le proiezioni ortogonali rispettivamente di
P e Q su r.
Il segmento P'Q' si dice proiezione ortogonale di PQ su r.
Si hanno i casi illustrati nelle seguenti figure:
Q
Q
.
.
(fig. 7a)
.P
.
.
P'
Q'
.P
Q
(fig. 7b)
.
P  P'
r
.
Q'
r
.
(fig. 7c)
(fig. 7d)
Q
.
.
.
.
r
Q'
P'
P'
.
.
Q'
r
P
Q.
P
.
.
P'  Q'
r
(fig. 7e)
43
La relazione di perpendicolarità ci permette di dare nuove definizioni:

Si chiama asse di un segmento AB la perpendicolare ad AB passante per il suo punto medio
M (fig. 8):
asse di AB
.
.
*
A
*
M
.
B
(fig. 8)
Parleremo compiutamente dell’asse di un segmento al termine della presente unità.
3.3 Mediane, altezze e bisettrici di un triangolo

Dato un triangolo ABC si dice:
- mediana relativa al lato AB il segmento CM che unisce il vertice C con il punto
medio M del lato opposto AB (fig. 9).
C
CM: mediana relativa al lato AB
A
.
*
M
*
B
(fig. 9)
- altezza relativa al lato AB il segmento di perpendicolare CH condotto dal vertice C
alla retta AB (fig. 10).
C
CH: altezza relativa al lato AB
A
44
.
H
B
(fig. 10)
- bisettrice relativa al vertice C, o all’angolo interno di vertice C, il segmento della
bisettrice dell’angolo C compreso fra il vertice C e il punto D di intersezione con il
lato opposto AB (fig. 11).
C
CD: bisettrice relativa al vertice C
A
.
D
B
(fig. 11)
OSSERVAZIONE:
In ogni triangolo vi sono quindi:

tre mediane (ciascuna relativa ad un lato);

tre altezze (ciascuna relativa ad un lato);

tre bisettrici (ciascuna relativa ad un angolo interno).
PROVA TU
Traccia le mediane relative a ciascun lato di un triangolo ABC, nei tre diversi casi di un
triangolo acutangolo, rettangolo, ottusangolo.
Traccia le altezze relative a ciascun lato di un triangolo PQR, nei tre diversi casi di un
triangolo acutangolo, rettangolo, ottusangolo.
Traccia le bisettrici degli angoli interni di un triangolo STU, nei tre diversi casi di un
triangolo acutangolo, rettangolo, ottusangolo.
COMPLETA le seguenti affermazioni mettendo al posto dei puntini la parola “sono” o “non sono”:
 Le mediane …………….. sempre interne al triangolo;
 Le altezze ……………. sempre interne al triangolo;
 Le bisettrici ……………. sempre interne al triangolo.
A questo punto dimostriamo un’altra proprietà del triangolo isoscele, premettendo la seguente
OSSERVAZIONE:
Quando in un teorema (o in un problema) viene “dato” un triangolo isoscele, nell’ipotesi
indicheremo la congruenza dei due lati (obliqui), in figura segneremo tali lati con uno stesso
simbolo e analogamente faremo per gli angoli alla base (pagg. 32 e 33, fascicolo 1, geometria).
45
Teorema
In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice, è anche altezza e mediana relativa
alla base.
C
. .
Hp.:
Th.:
A
D
AC  BC
ACD  BCD
CD  AB
AD  DB
B
Possiamo quindi concludere che in un triangolo isoscele, la bisettrice dell’angolo al vertice,
l’altezza e la mediana relative alla base coincidono.
3.4 Le rette parallele
Abbiamo già parlato (pag. 5, fascicolo 1, geometria) delle rette parallele. Ricordiamo che:
r // s  r  s  r  s = Ø .
Non sempre, però, è possibile “vedere” rette che si incontrano o meno, dal momento che non
possiamo “seguirle”, essendo infinite.
POSTULATO DELLE PARALLELE (o V POSTULATO DI EUCLIDE)
Dati nel piano una retta r ed un punto P, esiste ed è unica la retta s, parallela ad r, passante per P
(fig. 15).
.
P
s
r
(fig. 15)
Se P  r , si ha che s  r (fig. 16):
46
.
s
P
r
(fig. 16)
3.5 Il criterio di parallelismo e le proprietà delle rette parallele
Abbiamo già detto della difficoltà di stabilire se due rette r ed s sono parallele tra loro.
Si cerca, quindi, di risolvere il problema “ricercando” una condizione generale per affermare che
due rette sono parallele.
A tale scopo consideriamo due rette distinte r ed s e una retta t, detta trasversale, che le incontra
entrambe formando otto angoli (fig. 18).
t
2
1
4
3
r
6
5
s
8
7
(fig. 18)

Le coppie di angoli ( 3 ; 5 ) e ( 4 ; 6 ) si dicono angoli alterni interni [gli angoli di ogni
coppia si trovano da parte opposta rispetto alla trasversale t e all’interno della regione di
piano delimitata dalle due rette r ed s].

Le coppie di angoli ( 1 ; 7 ) e ( 2 ; 8 ) si dicono angoli alterni esterni [gli angoli di ogni
coppia si trovano da parte opposta rispetto alla trasversale t e all’esterno della regione di
piano delimitata dalle due rette r ed s].

Le coppie di angoli ( 1 ; 5 ) , ( 2 ; 6 ) , ( 3 ; 7 ) e ( 4 ; 8 ) si dicono angoli corrispondenti
[gli angoli di ogni coppia si trovano dalla stessa parte rispetto alla trasversale t e sono uno
interno e uno esterno alla regione di piano delimitata dalle due rette r ed s].

Le coppie di angoli ( 3 ; 6 ) e ( 4 ; 5 ) si dicono angoli coniugati interni [gli angoli di ogni
coppia si trovano dalla stessa parte rispetto alla trasversale t e sono entrambi interni alla
regione di piano delimitata dalle due rette r ed s].

Le coppie di angoli ( 1 ; 8 ) e ( 2 ; 7 ) si dicono angoli coniugati esterni [gli angoli di ogni
coppia si trovano dalla stessa parte rispetto alla trasversale t e sono entrambi esterni alla
regione di piano delimitata dalle due rette r ed s].
47
Teorema
Se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti, allora le
due rette sono parallele (fig. 19).
t
α
B.
A.
s
Hp.: α  α'
Th.: r // s
α'
r
(fig. 19)
Si può generalizzare il teorema precedente dimostrando il seguente:
Criterio generale di parallelismo
Se due rette tagliate da una trasversale formano:

angoli alterni (interni o esterni) congruenti;
oppure

angoli corrispondenti congruenti;
oppure

angoli coniugati (interni o esterni) supplementari;
allora le due rette sono parallele.
Quanto detto permette di concludere che se due rette r ed s, tagliate da una trasversale t,
formano due angoli alterni (interni o esterni) congruenti, o due angoli corrispondenti
congruenti, o due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari, allora:

tutte le coppie di angoli alterni ((interni o esterni) sono congruenti;

tutte le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti;

tutte le coppie di angoli coniugati (interni o esterni) sono supplementari.
Teorema inverso
Se due rette sono parallele, allora, tagliate da una trasversale, formano con essa angoli alterni
interni congruenti (fig. 23).
r
t
A
Hp.: r // s
α
α'
s
B
48
Th.: α  α'
Teorema (inverso del teorema del criterio generale di parallelismo)
Se due rette sono parallele e distinte, allora, tagliate da una trasversale, formano con essa:

angoli alterni (interni o esterni) congruenti;

angoli corrispondenti congruenti;

angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
3.6 Proprietà dei triangoli
Teorema (secondo teorema dell’angolo esterno)
In ogni triangolo, ciascun angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni ad esso
non adiacenti.
C
A
Hp.:
CBD angolo esterno
del triangolo ABC
Th.:
CBD  BAC + ACB
B
D
Teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
La somma degli angoli interni di ogni triangolo è congruente ad un angolo piatto.
3.7 Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono di n lati?
Per rispondere a questa domanda, fai riferimento al pentagono della figura seguente:
D
E
C
A
B
e COMPLETA:
Unisci i vertici del pentagono con il punto P (un qualsiasi punto interno del pentagono):
D
E
C
P.
A
B
49
Il poligono resta diviso in ............ triangoli, cioè in tanti triangoli ………… sono i lati del poligono.
Segna gli angoli interni di tutti i triangoli. Poiché la somma degli angoli interni di ogni triangolo è
congruente a …. , la somma degli angoli interni di tutti i triangoli, in cui resta diviso il pentagono, è
congruente a …. . …. .
Quindi la somma degli angoli interni del poligono è congruente alla differenza fra la …………
degli angoli interni di tutti i triangoli e la ………… degli angoli di vertice …. che vale ……
Indicando con Si la somma degli angoli interni del pentagono, si ha:
Si = 5 . … – 2 . … e, applicando la proprietà distributiva, Si = ( … – 2)  = ….. .
In generale, per un poligono di n lati, si ha:
Si = ( … - 2)  [= n  – 2  ] .
Vale, quindi, il seguente:
Teorema
La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è congruente ad (n – 2) angoli
piatti (cioè a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno un angolo giro).
E ancora ….. osserva la seguente figura, dove la lettera “e” indica l’angolo esterno e COMPLETA:
e
D
e
E
C
e
e
A e
B
Ogni angolo esterno è ...……………….. ad un angolo interno che ha lo stesso vertice, quindi la
somma di un angolo esterno e dell’angolo interno con lo stesso vertice vale ….. .
Indicando con:
Si = somma degli angoli interni del pentagono;
Se = somma degli angoli esterni del pentagono,
si ha:
Si + Se = …. . …. ,
e poiché, per il pentagono risulta che:
Si = 3   ,
puoi concludere che:
Se = ….. .
50
Ripeti lo stesso ragionamento per:

un poligono di 4 lati;
.

un poligono di 6 lati;

un poligono di 7 lati;

un poligono di 8 lati.
Ora “generalizza” il ragionamento per un poligono di n lati, così da dimostrare che:
Se = 2   , qualunque sia il numero dei lati del poligono.
Vale, dunque, il seguente:
Teorema
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso di n lati è congruente ad un angolo
giro, qualunque sia il numero dei lati del poligono.
3.8 I luoghi geometrici
Si dice luogo geometrico, o semplicemente luogo, la figura costituita da tutti e soli i punti (del
piano) che godono di una determinata proprietà.
Quindi, una figura F è un luogo, definito da una proprietà P, se:
1. ogni punto di F gode della proprietà P;
2. ogni punto, che gode della proprietà P, appartiene ad F.
Vediamo due esempi di “luoghi”:
la bisettrice di un angolo;
l’asse di un segmento.
La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell’angolo.
L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del
segmento stesso.
51
ESERCIZI CAPITOLO 3
Perpendicolarità e parallelismo
Conoscenza e comprensione
1) Quando due rette si dicono incidenti?
2) Quando due rette si dicono perpendicolari?
3) Quando due rette si dicono oblique?
4) Cosa si intende per distanza di un punto P da una retta r ?
5) Riferendoti alla seguente figura, completa le seguenti affermazioni:
s
.P
.
r
52
H
▪
il punto H è la ………………………………………………… di … su r ;
▪
il punto H è il …………… della ………………………………… condotta da P su …;
▪
il segmento PH si dice ………………………. di P da …;
▪
il segmento PH si dice il segmento di …………………………… condotto da … ad …;
▪
la retta s è la perpendicolare alla retta ….. , passante per … ;
▪
le rette r ed s dividono il piano in ……..…. angoli ……….… ;
▪
la retta r è la perpendicolare alla retta ….. , passante per … .
6) Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
L’asse di un segmento AB è:
a) la retta che passa per un qualsiasi punto del segmento AB ed è perpendicolare al
segmento stesso;
b) la retta che passa per il punto A ed è perpendicolare al segmento AB;
c) la retta che passa per il punto B ed è perpendicolare al segmento AB;
d) la retta che passa per il punto medio del segmento AB ed è perpendicolare al segmento
stesso;
e) una retta passante per il punto medio del segmento AB;
f) un segmento con un estremo nel punto medio di AB, perpendicolare e congruente ad AB
stesso.
7) Dato un triangolo ABC, definisci:
 la mediana relativa al lato AC;
 l’altezza relativa al lato AB;
 la bisettrice relativa al vertice B;
 l’asse del segmento BC.
8) Osserva la figura e completa le proposizioni relative al triangolo ABC:
H
C
D
.
.
A
*
M
*
B
a
▪
AD è la …………………… relativa all’angolo ……. ;
▪
M è il …………………….. del lato ……. ;
▪
……. è …………………… relativo al lato AB;
▪
H è il ……………………... della ………………… condotta da A alla retta ……. ;
▪
AH è ……………………... relativa al lato ……. ;
▪
CM è la …………………... relativa al ………… .
53
9) Indica il nome degli angoli indicati in ognuna delle seguenti figure:
a)
r
s
t
b)
r
s
t
c)
r
s
t
r
d)
s
t
r
e)
s
54
t
10) Nella figura a lato, le rette r ed s sono parallele.
t
1
4
s
3
6
5
8
2
7
r
Completa:
1–7
2–8
3–5
4–6
1–8
angoli ……………….
angoli ……………….
2–7
angoli ……………….
3–6
4–5
angoli ……………….
1–5
2–6
3–7
angoli ……………….
4–8
11) Completa le seguenti affermazioni:
▪
in un triangolo, ciascun angolo ………………… è congruente alla somma degli …………...
………………… ad esso non …………………… .
▪
la somma degli angoli interni di ogni triangolo è ………………… ad un angolo ………….. .
▪
gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono ……..………………… .
▪
in un triangolo rettangolo isoscele, ciascun angolo acuto è ………………….….. di un
angolo retto.
▪
ciascun angolo di ogni triangolo equilatero è congruente alla ………. parte di un angolo
piatto.
▪
la somma degli angoli interni di un pentagono è congruente a …….. angoli piatti.
▪
la somma degli angoli interni di un ottagono è congruente a …….. angoli piatti.
▪
la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è congruente a ………….. angoli piatti.
55
▪
la somma degli angoli esterni di un esagono è congruente a ………………… piatti.
▪
la somma degli angoli esterni di un decagono è congruente a ………………… piatti.
▪
la somma degli angoli esterni di un poligono di n lati è congruente a ……… angoli piatti.
12) Uno dei seguenti enunciati è falso. Quale?
a)
Un angolo esterno di un triangolo può essere congruente ad un angolo interno ad esso
adiacente.
b)
La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente alla somma dei suoi angoli
esterni.
c)
Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascun angolo interno, ad esso non
adiacente.
d)
Un triangolo può essere contemporaneamente isoscele e rettangolo.
e)
In un triangolo, due angoli esterni sono sempre ottusi.
f)
Ogni angolo esterno di un triangolo equilatero è congruente al doppio dell’angolo interno
adiacente.
g)
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente ad un angolo giro.
13) Completa le seguenti affermazioni:
▪
un luogo geometrico è la figura costituita da ………………………….. i punti del piano che
godono di una determinata proprietà.
▪
la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti ……………………….….….. dai ………….
dell’angolo.
▪
l’asse di un segmento è il luogo dei punti …………………….….. dagli ………….………
del ………………..…… .
▪
il luogo geometrico dei punti aventi una fissata distanza h da una data retta r sono due
………… parallele ad … , ciascuna a distanza … da … .
56
Applicazioni
1) Segui e COMPLETA la costruzione di una retta s perpendicolare alla retta r data in figura.
Sia data una retta r:
r
Prendi un punto qualsiasi P sulla retta r:
.
r
P
Facendo centro con il compasso in P, con apertura a piacere, determina su r due punti A e B:
.
.
.
A
P
B
r
Si ha che: PA  …..
Punta, ora, il compasso in A e, con apertura maggiore di AP, traccia un arco.
Analogamente, dal punto ….. , con la stessa apertura, traccia un secondo arco che incontrerà il
primo in un punto Q. [Perché l’apertura del compasso deve essere maggiore di AP (o di BP)?]
.Q
.
.
.
A
P
B
r
Conduci la retta s passante per i punti P e Q:
.Q
.
A
.
.
P
B
r
Si ha che le rette r ed s sono …….…………….…… (VERIFICA le tue conclusioni,
utilizzando il goniometro).
57
2) Riproduci sul quaderno le rette della seguente figura e traccia, per ognuna, secondo l’esercizio
precedente, la perpendicolare in un loro punto a tua scelta:
r
s
COSTRUZIONE, CON RIGA E SQUADRA, DELLA PERPENDICOLARE AD UNA RETTA
DATA:
Osserva la costruzione della perpendicolare alla retta r assegnata, passante per un suo punto P, con
l’utilizzo di riga e squadra:
.
P
r
P .
r
.
P
58
r
PROVA TU
Puoi facilmente procedere con la stessa costruzione nel caso della perpendicolare alla retta data,
passante per un punto Q qualsiasi del piano.
3) Per ogni retta della figura, traccia una qualsiasi retta perpendicolare ad essa.
r
s
t
u
4) Per ogni retta della figura, traccia la retta passante per il punto indicato e perpendicolare alla
retta data.
s
.P
r
.Q
.
N
.
O
v
u
59
5) Rappresenta la distanza dalla retta r di ciascuno dei punti indicati nella seguente figura:
.A
.P
r
.
Q
.B
6) Disegna la proiezione ortogonale P'Q' del segmento PQ sulla retta r, nei casi indicati dalle figure
seguenti:
P.
.Q
.Q
r
r
P
.Q
P
.
P
.
.
Q
r
.
r
7) Traccia le proiezioni ortogonali dei punti A, B, C e dei segmenti DE e FG sulla retta r.
E.
.B
F.
D.
.
C
.
G
.A
60
r
Altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo
Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia le altezze relative a ciascun lato. Verifica che
le tre altezze, o i loro prolungamenti, si incontrano in uno stesso punto (ortocentro del triangolo).
8)
C
A
B
9)
F
D
E
10)
I
G
H
COMPLETA:
L’ortocentro è ……………… al triangolo, se il triangolo è ……………..……. ; coincide con il
vertice dell’angolo ……… , se il triangolo è rettangolo; è …………… al triangolo, se il triangolo è
………………..……. .
61
Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia le mediane relative a ciascun lato. Verifica
che le tre mediane si incontrano in uno stesso punto (baricentro del triangolo).
11)
C
A
B
12)
F
D
E
13)
I
G
H
COMPLETA:
Il baricentro è sempre …………….… al triangolo.
“Verifica” con la squadretta che il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, delle quali quella
che contiene il vertice è doppia dell’altra.
62
Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia le bisettrici relative a ciascun lato. Verifica
che le tre bisettrici si incontrano in uno stesso punto (incentro del triangolo).
14)
C
A
B
15)
F
D
E
16)
I
G
H
COMPLETA:
L’incentro è sempre …………… al triangolo.
“Verifica” con il compasso che l’incentro è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo
(“tocca”, cioè, i tre lati del triangolo).
63
Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia gli assi relativi a ciascun lato. Verifica che i
tre assi, o i loro prolungamenti, si incontrano in uno stesso punto (circocentro del triangolo).
17)
C
A
B
18)
F
D
E
19)
I
G
H
COMPLETA:
Il circocentro non è sempre …………… al triangolo.
“Verifica” con il compasso che il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
(“passa”, cioè, per i tre vertici del triangolo).
64
COSTRUZIONE, CON RIGA E SQUADRA, DELLA PARALLELA AD UNA RETTA DATA.
Osserva la costruzione di una retta s parallela alla retta r data:
r
r
s
r
Quindi:
s
s // r
r
65
20) Costruisci, con riga e squadra, una parallela a ciascuna retta data:
a)
r
b)
s
c)
t
d)
u
66
21) Per ogni retta della figura, traccia la parallela passante per il punto indicato.
a)
r
.A
b)
.B
s
c)
. C
t
d)
. D
u
67
22) In riferimento alla seguente figura, sapendo che r // s, COMPLETA le relazioni indicate.
t
1
4
6
5
8
3
r
7
4–6
5 = ….
; 3 = ….
3–5
1 = ….
; 7 = ….
1–7
2 = ….
; 8 = ….
2–8
1 = ….
; 5 = ….
1–5
2 = ….
; 6 = ….
2–6
3 = ….
; 7 = ….
3–7
4 = ….
; 8 = ….
4–8
3–6
4 + 5 = ….
4–5
1 + 8 = ….
1–8
2 + 7 = ….
2–7
s
74°
6 = 74° ; 4 = ….
3 + 6 = ….
2
angoli ……………….
angoli ……………….
angoli ……………….
angoli ……………….
angoli ……………….
23) Due rette parallele a e b sono tagliate da una trasversale t che forma con la retta a un angolo di
53°. Calcola le ampiezze di tutti gli angoli formati da a e da b con la trasversale t.
24) Due rette parallele p e q sono tagliate da una trasversale t che forma con la retta q un angolo di
27° 42'. Calcola le ampiezze di tutti gli angoli formati da p e da q con la trasversale t.
68
Angoli di un triangolo
Calcola l’ampiezza degli angoli indicati con il simbolo x.
25)
C
x = …..
x
32°
A
B
26)
C
x
x = …..
33°
75°
A
B
27)
R
40°
x = …..
x
28°
P
Q
28)
L
M
30°
x
107°
x = …..
N
69
29)
Q
36°
x = …..
x
O
P
30)
T
x
*
*
x = …..
62°
R
S
31)
Z
31°
*
*
x = …..
x
U
V
32)
C'
x
*
A'
70
x = …..
*
*
B'
33)
F'
x
125°
D'
x = …..
G'
E'
34)
L'
48°
*
*
x = …..
x
I'
H'
35)
P'
O'
134°
*
x = …..
*
x
M'
N'
36)
S'
x = …..
*
Q'
x
*
R'
T'
71
OCCHIO ALLE OLIMPIADI!
UN’OCCHIATA ALLE
OLIMPIADI …. ANZI,
NEL MIO CASO, DUE
OCCHIATE!
1) Nel triangolo ABC le semirette AN e CM sono le bisettrici di BAC e BCA e si intersecano in P.
Sapendo che APC = 140°, quanto misura l’angolo in B?
A. 90°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
E. 130°
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2000]
[D]
2) Nella figura qui a fianco, quanto misura l’angolo α?
A. 70
α
B. 75°
C. 80°
D. 90°
E. Non può essere determinato con i soli dati forniti.
10°
20°
60°
50°
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2005]
[C]
72
.
3) Nel pentagono regolare disegnato a fianco, il triangolo ABC è equilatero.
Quanto vale l’angolo convesso FCD ?
E
A. 120°
B. 144°
F
C. 150°
C
D
D. 168°
E. 170°
A
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1996]
B
[D]
4) Quanto vale l’angolo x in figura ?
γ
α
β
δ
x
A. 180° – α + γ
B. 180° – β + γ
C. α + δ
D. β + δ
E. 180° – δ – γ
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1995]
[A]
5) Si sa che nella figura seguente CAE = 60° , AEB = 20° , ACD = 25° . I punti E, D e B sono
allineati. Qual è la misura di BDC ?
E
D
A
A. 75°
B
B. 85°
C
C. 90°
D. 105°
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1996]
E. Le informazioni sono insufficienti.
[A]
73
6) In un triangolo, per ogni coppia di lati consecutivi, i due assi dei lati e la bisettrice dell’angolo
formato dai due lati si incontrano in uno stesso punto. Possiamo affermare che:
▪
non esiste un triangolo con questa proprietà;
▪
il triangolo è equilatero;
▪
il triangolo ha un angolo di 30°;
▪
il triangolo è rettangolo;
▪
il triangolo ha un angolo di 45°.
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2005]
[B]
7) Nel triangolo ABC le semirette AN e CM sono le bisettrici di BAC e BCA e si intersecano in P.
Sapendo che APC = 140°, quanto misura la misura dell’angolo in B?
A
A) 90°
B) 100°
C) 110°
M
P
D) 120°
B
E) 130°
C
N
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2000]
[B]
8) ABCD è un quadrato ed EBC è un triangolo equilatero. Quanto misura in gradi l’angolo AED?
A
B
A) 120°
E
B) 135°
C) 150°
D) 160°
E) Nessuno dei precedenti.
C
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1994]
D
[C]
9) Quanti angoli maggiori di 90° può avere un quadrilatero (non intrecciato)?
A) Ne ha sempre almeno uno
B) Ne ha al più uno
C) Ne ha al più due
D) Ne ha al più tre
E) Può averne quattro.
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1995]
74
[D]
CAPITOLO 4
I QUADRILATERI
4.1 Generalità
Ricordiamo che un quadrilatero è un poligono che ha quattro lati (pag. 25 e successive, fascicolo 1,
geometria).
Le figure che seguono sono state ottenute prendendo nel piano quattro punti A, B, C, D (indicati
volutamente sempre con lo stesso “nome”), uniti con i segmenti AB, BC, CD, DA:
C
C
D
D
A
B
fig. 1
A
fig. 2
B
C
D
A
B
fig. 3
In fig. 1 è rappresentato un quadrilatero convesso (la retta di ogni lato lascia il poligono tutto da
una stessa parte).
In fig. 2 è rappresentato un quadrilatero concavo (la retta di qualche lato – in figura la retta AD e
la retta CD – non lascia il poligono tutto da una stessa parte).
In fig. 3 è rappresentato un quadrilatero intrecciato (due lati si tagliano in un punto). [Per quanto
detto a pag. 25, fascicolo 1, geometria, non rappresenta un poligono].
Quando nel seguito parleremo di quadrilatero senza ulteriore specificazione, intenderemo sempre
quadrilatero convesso.
75
Consideriamo il quadrilatero ABCD di fig. 4:
D
C
A
B
fig. 4
e osserviamo quanto segue:
o i punti A, B, C e D sono i vertici del quadrilatero;
o i vertici A e B, B e C, C e D, D e A si dicono vertici consecutivi del quadrilatero (vertici
che sono estremi di uno stesso lato);
o i vertici A e C, B e D si dicono vertici opposti del quadrilatero (non sono estremi di uno
stesso lato);
o i segmenti AB, BC, CD e DA sono i lati del quadrilatero;
o i lati AB e BC, BC e CD, CD e DA, DA e AB si dicono lati consecutivi del quadrilatero
(ogni coppia di lati ha un vertice in comune);
o i lati AB e CD, BC e DA si dicono lati opposti del quadrilatero (ogni coppia di lati non ha
alcun vertice in comune);
o gli angoli ABC, BCD, CDA e DAB sono gli angoli interni del quadrilatero;
o gli angoli ABC e BCD, BCD e CDA, CDA e DAB sono gli angoli adiacenti del
quadrilatero (ogni coppia di angoli ha i vertici consecutivi);
o gli angoli ABC e CDA, BCD e DAB sono gli angoli opposti del quadrilatero (ogni coppia
di angoli ha i vertici opposti);
o
i segmenti AC e BD sono le diagonali del quadrilatero (uniscono vertici non consecutivi).
Ogni quadrilatero può essere scomposto (da ciascuna delle due diagonali) in due triangoli
[fig. 5]:
D
C
A
B
76
fig. 5
La somma Si degli angoli interni di un quadrilatero è allora congruente alla somma degli angoli
interni di due triangoli, cioè a 2 angoli piatti ( = 2 .180° = 360°)
La somma degli angoli esterni di un quadrilatero è congruente ad un angolo giro (= 360°)
4.2 Il Trapezio
Il trapezio è un quadrilatero che ha due soli lati opposti paralleli 1 (fig. 6):
D
C
A
B
fig. 6
I lati paralleli vengono detti basi; i lati non paralleli vengono detti lati obliqui.
Relativamente alla fig. 8, si ha che:
• AB e CD sono le basi: AB la base maggiore, CD la base minore;
• AD e BC sono i lati obliqui.
Il trapezio si può pensare ottenuto dall’intersezione di una striscia di piano e di un angolo convesso
con i lati che incontrano la striscia (fig. 7):
D
A
C
B
fig. 7
La distanza tra i due lati paralleli si dice altezza del trapezio e può essere tracciata
indifferentemente a partire da un qualsiasi punto della base minore (o della base maggiore).
E’ comunque consuetudine tracciare l’altezza da uno dei due estremi della base minore o da
entrambi (fig. 8):
D
C
CH altezza;
DK altezza.
A
1
K
H
B
fig. 8
vedi fine paragrafo
77
Si ha:
o i punti K e H sono i piedi rispettivamente delle altezze DK e CH;
o i segmenti AK e BH sono le proiezioni rispettivamente dei lati obliqui AD e BC sulla base
maggiore AB;
o le coppie (BAD, ADC) e (ABC, BCD) risultano formate da angoli tra loro supplementari,
perché coniugati interni rispetto alle parallele AB e DC tagliate rispettivamente dalle
trasversali AD e BC.
Vale, pertanto, il seguente teorema:
“in ogni trapezio gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari”.
Classificazione dei trapezi
Un trapezio si dice:
♦ isoscele se i lati obliqui sono congruenti (fig. 9);
♦ rettangolo se uno dei due lati non paralleli è perpendicolare alle due basi (fig. 10).
D
C
ABCD trapezio isoscele
*
*
A
fig. 9
B
S
R
PQRS trapezio rettangolo
(si dice che ha un solo lato obliquo)
SP altezza del trapezio
Q
P
fig. 10
OSSERVAZIONE:
Molti autori parlano anche di trapezio scaleno cioè di un trapezio i cui lati obliqui non sono
congruenti (fig. 11):
Z
V
TUVZ trapezio scaleno (un trapezio
//
T
78
che non è né isoscele né rettangolo)
U
fig. 11
PROPRIETA’ DEL TRAPEZIO ISOSCELE
In un trapezio isoscele:
 gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.
 le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti.
 gli angoli opposti sono supplementari
 le diagonali sono congruenti
 la retta r che passa per i punti medi delle basi è asse di simmetria del trapezio.
1
La precisazione che il trapezio ha due soli lati opposti paralleli e dovuta al fatto che, senza di
essa, il parallelogramma può essere visto come un trapezio e, in particolare, come un trapezio
isoscele, per cui dovrebbe godere di tutte le proprietà di tale quadrilatero ma, come vedremo in
seguito, questo non e vero [precisamente, in un generico parallelogramma, le diagonali non sono
congruenti, così come risulta, invece, nel trapezio isoscele (tale proprietà vale solo in particolari
parallelogrammi: rettangoli e quadrati)].
Sempre per “evitare” che un parallelogramma sia interpretato come un particolare trapezio, si può
dare la seguente definizione:
Si dice trapezio un quadrilatero convesso con due lati opposti paralleli e non congruenti.
4.3 Il parallelogramma
Si dice parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli (fig. 12):
D
A
C
B
fig. 12
Quindi:
AB // DC e AD // BC .
79
OSSERVAZIONE:
Il parallelogramma può essere visto come intersezione di due strisce di piano [ricordiamo che una
striscia è la parte di piano limitata da due rette parallele] (fig. 13):
t
C
D
u
A
B
r
fig. 13
s
Si definisce altezza del parallelogramma la distanza di un vertice dal lato opposto, che viene detto
base (fig. 14):
D
C
H
BH altezza relativa al lato AD;
DK altezza relativa al lato AB.
A
K
B
(fig. 14)
PROPRIETA’ DEL PARALLELOGRAMMA
In ogni parallelogramma:
1. ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti;
2. i lati opposti sono congruenti;
3. gli angoli opposti sono congruenti;
4. gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari;
5. le diagonali si tagliano scambievolmente per metà.
Parallelogrammi particolari
Esistono parallelogrammi particolari – il rettangolo, il rombo e il quadrato – che, oltre alle
caratteristiche del parallelogramma, godono di particolari proprietà.
80
4.4 Il rettangolo
Il rettangolo e un parallelogramma che ha i quattro angoli congruenti.
D
C

≅C
≅
A≅ B
D
A
B
OSSERVAZIONE:
Si poteva dare la seguente definizione:
Il rettangolo è un quadrilatero che ha i quattro angoli congruenti. Infatti, un tale quadrilatero,
avendo gli angoli opposti congruenti, risulta un parallelogramma e in più
tutti gli
angoli
risultano retti, essendo la somma degli angoli interni di ogni quadrilatero congruente a due
angoli piatti.
D
C

=C
=D
=π
A= B
2
A
B
Un quadrilatero può, ovviamente, avere un angolo retto senza essere un rettangolo
C
D
A
B
Un parallelogramma che ha, invece, un angolo retto, ha retti tutti gli altri angoli, cioe e un
rettangolo. PERCHE' ?
Da qui ancora un’altra possibile definizione:
Il rettangolo è un parallelogramma che ha un angolo retto.
81
Nel rettangolo ABCD
D
C
A
B
qualunque lato può essere considerato come base ed il lato ad esso perpendicolare come altezza.
La base e l’altezza si dicono dimensioni del rettangolo.
Il rettangolo, essendo
un particolare parallelogramma, gode di tutte le proprietà dei
parallelogrammi.
Vediamo ora una proprietà “propria” del rettangolo.
In un rettangolo le diagonali sono congruenti.
Quindi se un parallelogramma ha le diagonali congruenti, allora è un rettangolo.
OSSERVAZIONE:
Il rettangolo ha due assi di simmetria rappresentati dalle rette che passano per i punti medi dei
lati opposti:
D
C
s
*
A
*
M
B
r
4.5 Il rombo
Il rombo (o losanga) è un parallelogramma con i quattro lati congruenti.
D
*
*
C
A
*
*
B
82
OSSERVAZIONE:
Si poteva dare la seguente definizione:
Il rombo è un quadrilatero con i quattro lati congruenti.
Infatti, (COMPLETA) un tale quadrilatero, avendo i lati opposti ………
L’osservazione ci permette di affermare che ogni rombo è un parallelogramma e, quindi, gode di
tutte le sue proprietà.
Quindi se
in un parallelogramma due lati
consecutivi sono congruenti, allora
il
parallelogramma è un rombo”.
Vediamo ora altre proprietà “proprie” del rombo.
In un rombo:
1. le diagonali sono perpendicolari;
2. le diagonali sono bisettrici degli angoli interni
OSSERVAZIONE:
+ Il rombo ha due assi di simmetria rappresentati dalle rette delle diagonali
D
*
s A
//
O
//
C
*
B
r
83
4.6 Il deltoide
Con il termine deltoide si indica un quadrilatero che ha coppie di lati consecutivi congruenti
C
/
//
B
D
/
//
A
Per la sua forma, il deltoide è uno dei primi quadrilateri conosciuti dai bambini (costruzione degli
aquiloni).
Anche nel deltoide le diagonali sono perpendicolari.
84
4.7 Il quadrato
Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti:
D .
*
. C
*
A
*
.
*
.
B
Il quadrato è pertanto un particolare parallelogramma con tutti i lati congruenti (è quindi e un
rombo) e con tutti gli angoli congruenti (dunque retti e quindi è un rettangolo).
Il quadrato gode, pertanto, di tutte le proprietà del parallelogramma, del rombo e del rettangolo.
In un quadrato:
1. le diagonali sono perpendicolari;
2. le diagonali sono bisettrici degli angoli;
3. le diagonali sono congruenti.
… e viceversa
Un parallelogramma è un quadrato se:
1. le diagonali sono congruenti e perpendicolari;
oppure
2. le diagonali sono congruenti e bisettrici degli angoli interni.
D
C
A
B
PROVA TU a rappresentare con un diagramma di Venn la relazione tra i parallelogrammi studiati.
85
OSSERVAZIONE:
+ ( COMPLETA) Il quadrato, in quanto rettangolo e rombo, ha quattro assi di simmetria: le rette
………………………………………………………………………………………………………
D
C
u
r A
B
s
t
4.8 Aree e perimetri
Ora compila la seguente tabella relativa alle formule che ti consentono di calcolare area e
perimetro delle principali figure geometriche
FIGURA
Triangolo
Parallelogramma
Trapezio
Rettangolo
Rombo
Deltoide
Quadrato
86
PERIMETRO
AREA
ESERCIZI UNITA’ 4
I quadrilateri
Conoscenza e comprensione
1) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) Siano A, B, C, D quattro punti del piano a due a due non allineati;
V
F
V
F
c) Alcuni quadrilateri non sono poligoni.
V
F
d) In un quadrilatero convesso, due angoli adiacenti hanno un lato in comune.
V
F
e) In un quadrilatero convesso, due vertici opposti possono essere estremi di
V
F
f) Una diagonale divide un quadrilatero convesso in due triangoli congruenti.
V
F
g) In un quadrilatero convesso la somma di due lati qualsiasi è sempre
V
F
V
F
V
F
il quadrilatero ABCD è sicuramente convesso.
b) Se ABCD è un quadrilatero convesso la somma degli angoli interni
è congruente alla somma degli angoli esterni.
uno stesso lato.
maggiore della somma degli altri due.
h) Non esiste un quadrilatero nel quale tre lati, tra loro congruenti, sono
la terza parte del quarto lato.
i) Un quadrilatero può avere tre angoli retti.
2) Quanti e quali sono i criteri di congruenza dei poligoni?
3) Definisci il trapezio.
4) Una sola delle seguenti proposizioni è vera; quale?
a) Un trapezio ha almeno due lati paralleli.
b) In un trapezio gli angoli opposti possono essere congruenti.
c) In un trapezio gli angoli opposti possono essere supplementari.
d) Un trapezio può avere tre angoli retti.
e) In un trapezio due lati opposti possono essere congruenti.
87
5) Osserva la seguente figura:
D
C
30°
*
*
.
A
K
.
B
Qual è l’ampiezza di DAB ? E
quella di ADK ?
6) Le seguenti proposizioni sono vere o false?
a) Se un trapezio ha un asse di simmetria, allora è isoscele.
V
F
b) In un trapezio le proiezioni dei lati obliqui sulla base minore
V
F
c) In un trapezio isoscele gli angoli opposti sono supplementari.
V
F
d) Se gli angoli adiacenti alla base minore sono congruenti, il
V
F
e) L’altezza di un trapezio è sempre interna al trapezio stesso.
V
F
f) In un trapezio rettangolo, le diagonali sono congruenti.
V
F
g) In un trapezio gli angoli adiacenti ad un lato obliquo sono
V
F
h) In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti.
V
F
i) Se un trapezio ha soltanto una coppia di angoli consecutivi
V
F
sono sempre congruenti.
trapezio è isoscele.
supplementari.
congruenti, allora è rettangolo.
7) Definisci il parallelogramma.
8) Enuncia le proprietà del parallelogramma.
9) Che cosa si intende per altezza di un parallelogramma?
88
10) Una sola delle seguenti proposizioni è falsa; quale?
a) Un quadrilatero con i lati a due a due congruenti, è un parallelogramma.
b) Le diagonali di un parallelogramma possono essere congruenti.
c) In un parallelogramma due angoli consecutivi sono supplementari.
d) Il parallelogramma ha un centro di simmetria.
e) In un parallelogramma le diagonali possono essere perpendicolari.
f) In un parallelogramma i lati possono essere congruenti.
11) Il quadrilatero ABCD della seguente figura è un parallelogramma:
D
F.
C
86°
52°
A
B
.E
Qual è l’ampiezza di BCF ?
E l’ampiezza di BDC ?
E quella di DBE ?
12) Il quadrilatero PSRQ della seguente figura è un parallelogramma:
Q
R
35°
. 60°
T
38°
P
S
Qual è l’ampiezza di PRS ?
E quella di PQR ?
13) Definisci il rettangolo.
89
14) Il quadrilatero ABCD è un rettangolo:
D
C
65°
.
Q
A
B
Qual è l’ampiezza di DQA ? E quella di DQC ?
Il segmento AQ misura 2,8 cm; qual è la misura di DB?
15) Definisci il rombo.
16) Definisci il quadrato.
17) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) Se in un quadrilatero le diagonali sono congruenti, esso è un rettangolo.
V
rettangolo ha soltanto due assi simmetria.
V
quadrilatero con le diagonali perpendicolari è sicuramente un rombo.
V
F b) Un
F c) Un
F d) Un
quadrilatero con quattro assi di simmetria è un quadrato.
V
F e) Un
quadrilatero con quattro lati congruenti è un quadrato.
V
F f)
quadrilatero con tre angoli congruenti è un rettangolo.
V
F
g) Un parallelogramma con due assi di simmetria è un rettangolo.
V
F
h) Se le diagonali di un parallelogramma sono bisettrici degli angoli
V
F
i) Un parallelogramma ha, al massimo, quattro assi di simmetria.
V
F
j) Se un rettangolo ha tre lati congruenti, allora è un quadrato.
V
F
k) Se una diagonale divide un quadrilatero in due triangoli rettangoli,
V
F
interni, il parallelogramma è un rombo.
il quadrilatero è un rettangolo.
90
Un
Costruzione e classificazione di quadrilateri:
18) Dato il trapezio ABCD (fig. 1), traccia dal vertice C la parallela al lato obliquo AD. In quali
figure risulta suddiviso il trapezio?
D
C
A
B
fig. 1
19) Disegna un trapezio isoscele di base maggiore AB lunga 13,5 cm, di base minore CD lunga
5,5 cm ed altezza 4 cm. Traccia dai vertici C e D le altezze CH e DK; in quali figure resta
suddiviso il trapezio?
20) Costruisci il parallelogramma ABCD di cui sono dati tre vertici A, B, C (fig. 2):
A
.
.C B
.
fig. 2
21) Dato il parallelogramma ABCD:
D
A
C
B
conduci:
• l’altezza DH relativa al lato AB;
• l’altezza DK relativa al lato BC;
• l’altezza CS relativa al lato AB;
• l’altezza CT relativa al lato AD.
91
22)
Disegna un rettangolo ABCD con la base AB congruente al doppio dell’altezza BC.
Prolunga la base AB, dalla parte di B, di un segmento BE ≅ BC. Unisci i punti C ed E e
classifica il quadrilatero AECD.
23) Disegna un rombo in cui la diagonale minore è congruente alla terza parte della diagonale
maggiore. Conduci, poi, da uno stesso vertice del rombo, le altezze relative a due lati
consecutivi.
24) Disegna un rombo ABCD in cui un angolo misura 60°. Di quali “figure” puoi pensare sia
formato il rombo?
(suggerimento: manda le diagonali ……… )
25) Disegna un segmento AB lungo 7 cm e costruisci il quadrato di lato AB. Prendi, poi, i
punti medi dei lati del quadrato e “verifica” che il quadrilatero ottenuto congiungendo tali
punti è un quadrato.
Riproduci sul quaderno le figure degli esercizi seguenti e “costruisci” le loro simmetriche rispetto
al lato indicato. Classifica, poi, le figure ottenute.
26)
C
*
Simmetrica rispetto a BC.
A
*
B
27)
B
//
Simmetrica rispetto ad AB.
C
La figura ottenuta è ……………………
*
A
92
La figura ottenuta è ……………………
28)
D
C
Simmetrica rispetto a BC.
La figura ottenuta è ……………………
A
B
29)
D
C
*
Simmetrica rispetto ad AD.
*
*
La figura ottenuta è ……………………
*
A
B
30)
C
Simmetrica rispetto a BC
*
La figura ottenuta è ……………………
A
*
B
31)
A
B
Simmetrica rispetto ad AC
La figura ottenuta è ……………………….
C
D
93
Negli esercizi che seguono, tenendo conto dei dati riportati (lati e/o angoli congruenti “segnati”
con uno stesso simbolo), specifica in base a quale/i teorema/i (o proprietà/definizione) è vera
l’affermazione enunciata:
32)
D
C
“Il quadrilatero ABCD è un trapezio
rettangolo”.
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
33)
D
C
32°
“Il quadrilatero ABCD è un trapezio
*
*
isoscele”.
32°
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
34)
D
C
/
*
A
*
/
“Il
quadrilatero
ABCD
è
un
parallelogramma”.
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
94
35)
S
R
.
“Il
quadrilatero
PQRS
è
un
parallelogramma”.
.
P
Q
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
36)
D
C
72°
“Il
quadrilatero
ABCD
è
un
parallelogramma”.
108°
72°
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
37)
C
“Il quadrilatero ABCD non è (o,
D
B
almeno, non è detto) che sia un
parallelogramma”.
[Non farti “ingannare” dalla figura!]
A
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
95
38)
S
R
.
“Il
quadrilatero
PQRS
è
un
parallelogramma”.
.
P
Q
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
39)
H
G
//
“Il
quadrilatero
EFGH
è
un
rettangolo”.
//
E
F
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
40)
D
“Il
quadrilatero
ABCD
è
un
rombo”.
C
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
96
41)
D
*
“Il
*
quadrilatero
ABCD
è
un
rombo”.
C
A
*
*
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
42)
D
C
“Il
*
*
A
quadrilatero
ABCD
è
un
quadrato”.
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
43)
D
C
“Il
quadrilatero
ABCD
è
un
quadrato”.
A
B
PERCHE’? …………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
97
Angoli di un quadrilatero
Calcola le ampiezze degli angoli incogniti:
44)
68°
x =…
76°
x
85°
45)
x
120°
x =…
y =…
70°
y
118°
46)
61°
82°
y
x =…
y =…
88°
98
x
47)
D
C
104°
133°
AB // DC
x
x =…
y =…
y
A
B
48)
60°
y
x =…
y =…
x
49)
c
z
108°
x = …
d
b
y
x
a // c
y =…
b // d
z =…
a
50)
/
47°
z
//
x = …
y
48°
/
x
//
y =…
z = …
99
51)
t
75°
x = ……
y
*
s⊥ t
*
y = ……
x
*
*
s
52)
*
x = ……
*
x
x
*
*
126°
53)
28°
*
x
*
y
x = ……
y = ……
*
*
54)
*
36°
*
x
*
100
*
x = ……
55) In un trapezio gli angoli adiacenti alla base maggiore misurano 52° e 67°. Qual è la
misura degli altri due angoli?
56) In un trapezio gli angoli adiacenti alla base minore misurano 131° e 108°. Qual è la
misura degli altri due angoli?
57) In un trapezio rettangolo un angolo misura 45°. Qual è la misura degli altri angoli?
58) In un trapezio rettangolo un angolo misura 128° 43'. Qual è la misura degli altri angoli?
59) In un trapezio rettangolo gli angoli adiacenti al lato obliquo sono uno il doppio
dell’altro.
Qual è la misura degli angoli del trapezio?
60) In un trapezio isoscele un angolo misura 58°. Qual è la misura degli altri angoli?
61) In un trapezio isoscele un angolo misura 98° 58'. Qual è la misura degli altri angoli?
62) In un trapezio isoscele la differenza di due angoli è 40°. Determina le ampiezze degli
angoli del trapezio.
63) In un parallelogramma un angolo misura 52°. Qual è la misura degli altri angoli?
64) In un parallelogramma un angolo misura 42°. Qual è la misura degli altri angoli?
65) In un parallelogramma un angolo esterno misura 82° 12'. Qual è la misura degli
angoli del parallelogramma?
66) In un parallelogramma un angolo esterno è triplo dell’angolo interno ad esso
adiacente. Qual è la misura degli altri angoli?
67) In un rombo un angolo misura 66°. Qual è la misura degli altri angoli?
Di seguito sono riportate le ampiezze di quattro angoli. Indica, per ciascun esercizio, se tali
ampiezze possono essere le misure degli angoli di un quadrilatero e, in caso affermativo,
prova a disegnarlo.
68) 72° ; 72° ; 72° ; 72°
69) 95° ; 140° ; 41° ; 37°
101
70) 70° ; 90° ; 110° ; 90°
71) 60° ; 60° ; 120° ; 120°
72) 52° ; 96° ; 120° ; 92°
73) 110° ; 59° ;
79° ; 82°
74) 90° ; 90° ; 90° ; 90°
Problemi numerici
Determina, sulla base dei dati indicati, gli elementi incogniti nei seguenti problemi:
75)
20 cm
*
D
AD ≅ DC
C
5
AD
2
AB ≅
*
BC ≅ 2 AD
A
B
2p = ?
76)
D 10 cm C
AD ≅ 2 DC
BH ≅ AD
BC ≅ 4 DC
)
A
H
2p = ?
B
77)
D
C
AD ≅ 2 AK
CD ≅
*
*
2p = ?
A 12 cm K
102
H
B
1
(AD + AK)
2
78)
12 cm C
D
3
AK ≅ 2 DC
*
*
2p = 108 cm
AD = ?
A
K
H
B
79)
D
C
//
2
AD ≅ 3 AB
2p = ?
//
24 cm
A
B
80)
D
*
*
BC ≅
C
E
5
AB
6
2pABCDE = ?
*
12 cm
A
B
81)
D
*
*
*
A
*
2pABC = 42 cm
C
2pABCD = ?
*
B
103
PER
QUEST’ANNO
E’ FINITA?!
A CHI
LO DICE!
OLIMPIADI
C’E’
QUALCHE
PROBLEMA!
1.
CHE
FATICA!
Quanti angoli maggiori di 90° può avere un quadrilatero (non intrecciato)?
(A) ne ha almeno uno
(B) ne ha al più uno
(C)
ne ha al più due
(D) ne ha al più tre
(E) può averne quattro
(Giochi di Archimede, 1996)
[D]
2.
In un quadrilatero convesso ABCD, i lati AB, BC, CD sono uguali. Inoltre AC = BD = AD,
quanto misura l’angolo in D?
(Gara Provinciale Giochi di Archimede 1997)
[72°]
3.
Un esagono equiangolo ha quattro lati consecutivi lunghi nell’ordine 5, 3, 6 e 7. determinare
le lunghezze degli altri due lati.
(Gara Provinciale Giochi di Archimede 2001)
[8 ; 1]
104
4.
Quali delle seguenti affermazioni è corretta?
(A) Se un quadrilatero ha tutti i lati uguali, allora ha anche tutti gli angoli uguali.
(B) Se un quadrilatero ha tutti gli angoli uguali, allora ha anche tutti i lati uguali.
(C) Se un quadrilatero ha due angoli uguali, allora ha anche due lati uguali.
(D) Esiste un triangolo con tutti gli angoli uguali, ma in cui i lati non sono tutti uguali.
(E) Esiste un pentagono con tutti gli angoli uguali, ma in cui i lati non sono tutti uguali.
(Giochi di Archimede 1999)
[E]
5.
Conoscendo i quattro angoli A, B, C, D, quanto vale la somma degli angoli E ed F?
B
(A) A + B + C + D
(B)
1
(A + B + C + D)
2
A
E
(C) 360° – A – B – C – D
F
(D) 360° + A – B – C – D
(E) Non è determinata
D
C
(Gara Junior, 1993)
[A]
105
6.
Nella figura l’angolo DCE vale 70° e ABCD e DEFG sono quadrati uguali. L’angolo
convesso ADG vale:
A
(A)
110°
(B)
120°
(C)
130°
(D)
140°
(E) 160°
G
D
B
F
70°
C
E
(Giochi di Archimede, 1994)
[D
106
CAPITOLO 5
ELEMENTI DI STATTISTICA DESCRITTIVA
5.1 INTRODUZIONE
Questo percorso, senza la pretesa di essere esaustivo, vuole avviare, con un linguaggio semplice e
ricco di esempi, l’approccio ad una serie di problemi assai vicini alla vita reale che facciano
comprendere agli studenti l’importanza e l’uso quotidiano della matematica.
??
Che cosa è la statistica?
La statistica deve il suo nome al fatto che è nata come metodo di raccolta, studio e analisi dei dati
relativi alla popolazione, utilizzati per il governo degli stati.
L’uso della statistica è trasversale ed esteso a tutti i campi (scientifico, socio-economico, politico
etc.) nei quali sia necessario descrivere o analizzare un fenomeno su una popolazione (o universo)
costituito da elementi (o unità) oggetto dell’osservazione.
Gli strumenti matematici utilizzati per descrivere e sintetizzare un certo fenomeno costituiscono la
statistica descrittiva.
Fasi di un’ indagine statistica
1. Progettazione
La definizione degli obiettivi di una indagine statistica e la conoscenza del
fenomeno oggetto di studio sono elementi fondamentali per la progettazione dell’indagine stessa e
degli strumenti di rilevazione dei dati (questionari, misurazione diretta, etc.).
2. Rilevazione dei dati
I dati sono definiti primari quando sono il risultato di una rilevazione
diretta, mentre sono definiti secondari nei casi in cui sono raccolti da pubblicazioni, annuari,
internet o altre fonti.
La rilevazione può essere effettuata attraverso:
con strumenti di misura per
interviste,
questionari o
l’osservazione di fenomeni
scientifici
107
3. Elaborazione – I dati originari (o grezzi) vengono classificati e sintetizzati per procedere poi alla
fase successiva:
4. Presentazione, che avviene attraverso tabelle e grafici, medie e indici.
5. Interpretazione degli esiti – Lo scopo per cui si avvia un’ indagine statistica è sempre quello di
comprendere le dinamiche di un fenomeno, generalmente per poter effettuare previsioni sulla sua
evoluzione e sviluppo. Ma l’interpretazione dei dati forniti da una rilevazione richiede, oltre alla
conoscenza del processo di raccolta ed elaborazione, anche una conoscenza del fenomeno oggetto
di studio.
Le fasi che approfondiremo, come prettamente tecniche (matematico-statistiche), sono le fasi
3 (elaborazione) e 4 (presentazione dei dati.)
ATTENZIONE
Prima di proseguire, dovrai abituarti ad usare alcuni simboli del linguaggio matematico.
SIMBOLI
per ogni valore dell’indice i
in forma più compatta si scrive
i
n
la somma di n addendi x1  x2  ......  xn1  xn
in forma più compatta si scrive
x
i 1
i
n
il prodotto di n fattori x1  x2  x3  ......  xn1  xn
in forma più compatta si scrive
x
i
i 1
2. ELEMENTI DI BASE
Presso l’Istituto “C. Colombo” si è deciso di effettuare tre indagini tra alcuni alunni della scuola.
Il dirigente scolastico ha scelto di effettuare tali indagini nella classe 1G.
Agli alunni di questa classe viene chiesto quale sia
1. il mezzo di trasporto abitualmente utilizzato per recarsi da casa a scuola
2. il numero di libri presenti al momento in cartella
3. la somma delle monete a disposizione per acquistare bibite o merendine
108
Prima di procedere impariamo alcuni termini che si usano in statistica:
 popolazione (o universo)
è il gruppo di persone o di oggetti su cui si indaga.
Si parla di censimento se l’indagine viene condotta sull’intera popolazione, si parla di
raccolta campionaria se l’indagine viene condotta soltanto su una parte della popolazione,
parte che viene detta campione.
 unità statistiche
Indicheremo con N
 carattere
sono i singoli elementi di una popolazione o di un campione.
il numero totale delle unità statistiche su cui si indaga.
è la caratteristica degli elementi della popolazione oggetto dell’indagine.
Tale caratteristica viene analizzata attraverso le varie modalità con cui si manifesta.
Un carattere si dice quantitativo se si presenta con modalità descritte da numeri, in caso
contrario si dice qualitativo.
Il dirigente dell’istituto ha dunque scelto come campione della scuola la classe 1G.
Le unità statistiche sono i singoli alunni di tale classe e ad essi il dirigente chiede di fornire le
varie modalità con cui si manifestano i caratteri oggetto delle tre indagini.
indagine 1.
carattere: mezzo di trasporto abitualmente utilizzato per recarsi da casa a scuola
modalità xi
x1  a piedi
x2  bicicletta
x3  motorino o scooter
x4  automobile
x5  autobus o pullman
x6  treno
indagine 2.
carattere: numero di libri presenti al momento in cartella
modalità xi
x1  0
x2  1
x3  2
x4  3
x5  4
Nella indagine 1 il carattere è ………………..……,mentre nell’indagine 2 è…………………..…
109
indagine 3.
carattere: somma delle monete a disposizione per acquistare bibite o merendine
In questo caso risulta complesso fornire le varie modalità con cui tale carattere può manifestarsi,
perché è molto probabile che gli alunni posseggano monetine con somme molto diverse tra loro; si
può superare l’ostacolo rappresentando le modalità del carattere quantitativo utilizzando le classi.

classe a; b 
è un insieme dei numeri compresi tra due valori detti a e b .
Generalmente si considera il numero a compreso nella classe ed il numero b escluso,
infatti il valore di b sarà il primo estremo appartenente alla classe successiva.
Possiamo pensare a classi dove
oppure a classi più ampie dove
a1  0


ai 1  ai  0,5
 a1  0

ai 1  ai  1
 b1  0,5

bi 1  bi  0,5
 b1  1

bi 1  bi  1
classe ai ; bi 
nei due casi si ottiene
classe ai ; bi 
a1; b1   0; 0,5
a2 ; b2   0,5;1
a3 ; b3   1;1,5
a4 ; b4   1,5; 2
a5 ; b5   2; 2,5
a6 ; b6   2,5; 3
PROVA TU
a1; b1   0;1
a2 ; b2   1; 2
a3 ; b3   2; 3
A quale classe appartiene 1,40 nel primo caso?
………………………………..
E nel secondo? ………………………………….
A quale classe appartiene 3 nel primo caso?
………………………………..
E nel secondo? ………………………………….
Prima di procedere ecco altre due definizioni:

frequenza assoluta

frequenza relativa
Fi
fi 
Fi
N
è il numero di volte con cui si presenta una modalità del
carattere
è il rapporto tra la frequenza assoluta ed il numero totale
delle unità statistiche
Si può scegliere di esprimere la frequenza relativa con una frazione propria oppure con un
numero decimale compreso tra 0 ed 1 oppure in numero percentuale compreso tra 0 e 100.
110
Ora possiamo riprendere in esame le tre indagini e cominciare a raccogliere le risposte dagli alunni.
indagine 1. mezzo di trasporto abitualmente utilizzato per recarsi da casa a scuola
modalità
Frequenza assoluta frequenza relativa
x1  a piedi
F1  5
f1  0,25
F2  0
x2  bicicletta
f2  0
x3  motorino o scooter
F3  0
f3  0
x4  automobile
x5  autobus o pullman
F4  2
F5  8
f 4  0,1
f 5  0,4
x6  treno
F6  5
f 6  0,25
Si sono ottenuti i valori della terza colonna calcolando i rapporti tra i valori delle frequenze assolute
ed il numero totale N degli alunni della classe.
Ma quanti sono gli alunni della 1G?
Avrai certamente notato che
………….
N   Fi
f
e che
i
i
1
i
indagine 2. : numero di libri presenti al momento in cartella
modalità
0
frequenza
assoluta
2
frequenza
relativa
0,1
1
2
3
1
……
0,05
3
4
13
1
……
0,05
PROVA TU
Completa la tabella con i valori mancanti delle
frequenze relative
indagine 3. somma delle monete a disposizione per acquistare bibite o merendine
Gli alunni dichiarano di avere a disposizione le seguenti somme in euro:
1,20 0,52 0 1 1,30 0 0 1,05 0,70 2,75 2,20 0,80 0,40 1,15 2,20
2,50 1 0,90 1,40 0.
classe frequenza frequenza relativa
Se decido di esprimere le modalità
in classi di ampiezza “mezzo euro”
ottengo la tabella qui a fianco:
classe frequenza frequenza relativa
9
0,45
0;1
7
0,35
1; 2
4
0,2
2; 3
1
0,05
3; 4
1
0,05
4; 5
0; 0,5
0,5;1
1;1,5
1,5; 2
2; 2,5
2,5; 3
5
0,25
4
0,2
7
0,35
0
0
2
0,1
2
0,1
Qui invece si sono utilizzate classi di ampiezza pari
ad “un euro”.
111
6.3 RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
Vediamo ora alcune possibili rappresentazioni grafiche dei dati statistici e loro frequenze:
ortogramma

su di un asse orizzontale si segnano le modalità assegnando a ciascuna un segmento di ugual
lunghezza

su di un asse verticale si segnano i valori delle frequenze (assolute o relative)

si costruiscono poi dei rettangoli; ciascuno di questi ha per base il segmento riportante la
modalità e per altezza la relativa frequenza
istogramma

su di un asse orizzontale si segnano i valori degli estremi delle classi con cui si sono
espresse le modalità
di 
Fi
bi  ai

su di un asse verticale si segnano i valori delle densità di frequenza

si costruiscono poi dei rettangoli; ciascuno di questi ha per base il segmento-classe e per
altezza la densità di frequenza, in questo modo l’area di ogni rettangolo rappresenta la
frequenza della modalità
areogramma (o diagramma a torta)
si suddivide un cerchio in settori circolari in modo che in ogni settore circolare l’angolo al centro
abbia ampiezza proporzionale alla frequenza della modalità che tale settore circolare rappresenta
i  
360  Fi
N
oppure
 i   360  f i
diagramma cartesiano

su di un asse orizzontale si segnano i valori numerici delle modalità

su di un asse verticale si segnano i valori delle frequenze (assolute o relative)

si segnano nel piano cartesiano i punti di coordinate xi ; Fi  ; l’insieme dei punti ottenuti è
detto nuvola di punti

congiungendo i punti si ottiene una poligonale che mostra la forma della distribuzione
delle frequenze
112
frequenze
indagine 1.
ortogranmma
areogramma
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
mezzi di trasporto
treno; 5; 25%
piedi; 5; 25%
bici; 0; 0%
moto; 0; 0%
auto; 2; 10%
bus; 8; 40%
piedi
bici
moto
auto
bus
treno
mezzi di trasporto
indagine 2.
diagramma cartesiano
14
frequenze
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
numero libri
indagine 3.
istogramma
densità di frequenza
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0-0,50
0,50-1
1-1,50
1,50-2
2-2,50
2,50-3
classi
113
6.4 INDICI DI SINTESI
Si dice indice di sintesi (o di posizione) un valore che rappresenta sinteticamente un insieme di dati.
Vedremo alcune situazioni problematiche che richiedono l’uso di questi indici di posizione e di essi
daremo le definizioni.
problema 1
La pubblicità
Una rete televisiva ha raccolto i dati di ascolto nei giorni invernali nella fascia oraria 20-21.
Ecco tali dati rappresentati con una tabella di frequenze:
x
F
lunedì
1200000
martedì
1800000
mercoledì 2000000
giovedì
1600000
venerdì
1200000
sabato
800000
domenica
900000
In quale giorno una agenzia di pubblicità potrebbe consigliare ad un proprio cliente di inserire uno
spot pubblicitario?
La risposta è ………………………….... perché è il giorno che presenta il numero più alto di
spettatori.
MODA
si definisce moda il dato che si presenta con frequenza maggiore
Mo  xh

dove
i Fh  Fi
Se si lavora con classi allora la classe modale sarà quella che presenta
Fi
maggiore
bi  ai
(dove ai e bi rappresentano gli estremi delle classi)
.
Nel problema 1 Mo  x3  mercoledì perché
114
F3  2000000 è la frequenza maggiore.
problema 2
Il premio
In una gara di matematica 21 studenti di una classe hanno riportato i seguenti punteggi:
40 41 55 90 85 73 42 60 77 88 55 60 77 55 80 20 90 70 45 73 81
Il professore decide di assegnare un premio a tutti gli studenti con punteggio superiore a quello
conseguito dalla metà meno “brillante” della classe. Quale punteggio occorre superare per ottenere il
premio?
Per rispondere occorre innanzitutto disporre i punteggi in ordine crescente:
x1=20
x2=40
x3=41
x4=42
x5=45
x6=55
x7=55
x8=55
x9=60
x10=60
x11=70
x12=73 x13=73 x14=77 x15=77 x16=80 x17=81
x18=85 x19=88
x20=90 x21=90
ed individuare poi quello che occupa la posizione centrale.
Il valore che occupa la posizione centrale è …………………………………….
Perché …………………………………………………………………………………………………
Otterranno dunque il premio tutti gli studenti con punteggio superiore a ……….
MEDIANA
dopo aver ordinato i dati in modo crescente,
si definisce mediana il dato che occupa la posizione centrale.
Sia
x1 , x2 ,............, xn
la sequenza ordinata dei dati
se n è dispari
la mediana
Me
è il dato di indice
se n è pari
la mediana
Me
è data dalla semisomma dei
dati di indici
n
2
ed
n 1
2
n
1
2
Nel problema 2, dopo aver disposto i dati in ordine crescente, si ha Me  x 211  x11  70 .
2
115
problema 3
La pagella
Giuliano consegna ai genitori la pagella di fine anno.
MATERIA
VOTO
Lingua e letteratura italiana
7
Storia
8
Geografia
7
Lingua Inglese
8
Matematica
9
Scienze
8
Diritto
7
Economia aziendale
7
Informatica
8
Educazione fisica
9
L’istituto a cui è iscritto offre a tutti gli studenti che presentano una pagella con media superiore
all’8, l’esonero dal pagamento del contributo di iscrizione all’anno successivo.
I genitori di Giuliano hanno diritto a tale esonero?
Dopo aver calcolato la somma di tutti i dieci voti e averla divisa per 10 si ottiene ……………………
e dunque i genitori di Giuliano……………………………………………………………..
MEDIA ARITMETICA
Si definisce media aritmetica il dato M che, sostituito a ogni dato, ne conserva la somma:
M
 x  F 
i
i
i
N
Nel problema 5 la media aritmetica dei dati è data da M 
116
7  4  8  4  9  2 78

 7,8
10
10
problema 4
L’assunzione
Per essere assunti presso la ditta “ZVUT” occorre presentare alcuni dati ed ottenere il punteggio più
alto fra tutti gli aspiranti candidati. Si presentano i signori Antonio Alippi e Bruno Bianchi con i
seguenti titoli:
Antonio Bruno
28
44
80
76
94
86
0
3
Età
voto diploma
voto laurea
numero figli
Per ottenere il punteggio totale il signor Colombo, responsabile delle assunzioni, calcola la media dei
dati dopo aver assegnato a ciascuno di essi dei pesi che ne indichino e ne differenzino in qualche
modo l’importanza.
Ad esempio può scegliere di attribuire i seguenti pesi:
p1=0,5
per l’età degli aspiranti,
p2 =1,5
per il voto di diploma,
p3 = 2
per il voto di laurea,
p4 = 6
per il numero di figli.
Come puoi osservare il Signor Colombo dà molta importanza al numero di figli.
Questi pi vengono utilizzati quasi come frequenze con le quali pesare la presenza in modo più o
meno influente di ciascun dato. Chi verrà assunto?
Tenendo conto di tali pesi il punteggio del signor Antonio vale:
28  0,5  80 1,5  94  2  0
 …
0,5  1,5  2  6
44  0,5  76 1,5  86  2  3  6
 ………
0,5  1,5  2  6
dunque verrà assunto …………………………………………..
mentre il punteggio del signor Bruno Bianchi vale:
MEDIA PONDERATA
Dopo aver fornito i pesi p i relativi ai dati x i , si definisce media ponderata il dato P così calcolato
P
 x  p 
i
i
i
p
i
i
Se tutti i pesi valgono 1 allora il valore della media ponderata coincide con il valore della media
aritmetica.
PAntonio  32,2
Nel problema 6 le medie ponderate dei due aspiranti sono
a  bi
Se si lavora con classi ai ; bi  si può scegliere xi  i
e pi  f i
2
PBruno  32,6
117
problema 5
Il viaggio
Un gruppo di amici parte da Bari per un viaggio in auto. La tappa Bari-Venezia di 720 km viene
percorsa a una velocità media di 95 km/h; la tappa Venezia-Firenze di 620 km a 65 km/h; la tappa
Firenze-Roma di 360 km a 105 km/h; la tappa Roma-Bari di 520 km a 115 km/h.
Qual è la velocità media dell’intero percorso?
Per rispondere occorre mettere a rapporto l’intero spazio percorso ed il tempo impiegato.
L’intero spazio percorso è s
tot
= 720 km +……..+……..+……..= 2220 km
Ricorda che puoi ottenere il tempo impiegato ad ogni tappa con la formula t = s / v; quindi
720
620
...
.....
t1 
h
t2 
h
t3 
h
t4 
h
95
65
105
.....
e il tempo totale sarà la somma
Quindi
v media 
s tot
t tot
t
tot
 t1  t 2  t 3  t 4
vmedia 
720  620  360  520km
 720 620 360 520 




h
65 105 115 
 95
 88,6km / h
Riscrivendo la formula in quest’altro modo
vmedia 
2220
km / h  88,6km / h
1
1
1
1
720  620 
360 
520
95
65
105
115
possiamo pensare che ogni reciproco di velocità sia un dato che compare tante
volte quanti sono i chilometri del tratto percorso con tale velocità, otteniamo così
x
95
65
la seguente tabella:
105
Dunque, inserendo i simboli introdotti, la formula diventa:
vmedia 
2220
km / h 
1
1
1
1
720  620 
360 
520
95
65
105
115
N
 88,6km / h
1
i x  Fi
i
115
1
x
1
95
1
65
1
105
1
115
F
720
620
360
520
MEDIA ARMONICA
Si definisce media armonica il dato A che, sostituito a ogni dato, ne conserva la somma dei reciproci
A
118
N
1

i  x  Fi 
 i

problema 6
Il tasso
Una somma di denaro viene impiegata per tre anni in una banca che applica il primo anno il tasso del
3,5%, il secondo anno del 3,2% ed il terzo anno del 2,05%.
Qual è il tasso medio applicato nei tre anni?
Detto C il capitale iniziale, i montanti calcolati con i tre diversi tassi sono i seguenti:

M 1  C  0,035C  1,035  C = 1  t1   C

M 2  M 1  0,032M 1  1,032  M 1 = 1  t 2   M 1

M 3  M 2  0,0205M 2  1,0205  M 2 = 1  t 3   M 2
e dalle tre formule si ricava
M 3  1,0205  1,032  1,035  C  1,09001646  C  1  t 3 1  t 2 1  t1   C
Per calcolare il tasso medio, poniamo i tre tassi uguali tra loro: t1  t 2  t 3  t
Il tasso richiesto risolve l’equazione 1  t   1,09001646
3
1  t  3 1,09001646  1,02915
dunque il tasso medio applicato nei tre anni vale …………………..
MEDIA GEOMETRICA
Si definisce media geometrica il dato G che, sostituito a ogni dato, ne conserva il prodotto
Gn
 x  F 
i
i
i
Nel problema 4, a partire dai dati x1  1  0,035 x2  1  0,032 x3  1  0,0205 ,
si ha
G  3 1  0,035(1  0,032)(1  0,0205)  1,02915
perciò t  G  1  0,02915  2,915%
119
problema 7
Il Nilo
Sesostris, contadino egiziano, possiede otto diversi appezzamenti quadrati di terreno, i cui lati
misurano
x1=20u
x2=15u
x3=14u
x4=18u
x5=12u
x6=16u
x7=12u
x8=9u.
Dopo ogni piena del Nilo è costretto a riperimetrare i suoi possedimenti. Quest’anno desidera fare in
modo che i suoi appezzamenti siano otto quadrati con il lato di ugual misura.
Quanto dovrà misurare all’incirca il lato di questi appezzamenti?
Sesostris deve innanzitutto calcolare quanto terreno possiede.
Dovrà sommare le aree di ogni appezzamento (area del quadrato = l 2 )
Atotale = (20u)2 + (15u)2 + (14u)2 + (18u)2 + (12u)2 + (16u)2 + (13u)2 + (10u)2 =
= (400+225+196+324+144+256+169+100) u2 = 1814 u2
Tale terreno va diviso in otto parti uguali di area ……………………..e di lato circa …….…….
MEDIA QUADRATICA
Si definisce media quadratica il dato Q che, sostituito a ogni dato, ne conserva la somma dei
quadrati
 x 
n
Q
i 1
2
i
 Fi

n
Nel problema 6 la media quadratica dei dati è data da
Q
20 2  15 2  14 2  18 2  12 2  16 2  132  10 2
1814
u
u  226,75u  15u
8
8
Anche per gli altri tipi di media è possibile calcolare la media ponderata.
120
6.5 INDICI DI VARIABILITA’
Si dice indice di variabilità un valore che informa sul modo in cui i valori di una distribuzione sono
più o meno dispersi.
Anche qui partiremo da una situazione problematica che richieda l’uso di questi indici di variabilità e
di essi daremo le definizioni.
problema 8
La classe più atletica
Due classi si contendono il titolo di “classe atletica”.
L’insegnante ha raccolto i voti di Educazione Fisica del primo quadrimestre e deve decidere a chi
dare la vittoria.
classe A: 6 8 7 6 6 8 6 8 8 8 7 9 6 7 6 6 8 7 6 7
classe B: 9 8 8 9 3 3 4 8 9 4 5 8 7 7 9 10 8 10 5 6
Sistemiamo i dati in due tabelle di frequenza, la prima per la classe A la seconda per la classe B:
x
6
7
8
9
y
3
4
5
6
7
8
9
10
F
8
5
6
1
F
2
2
2
1
2
5
4
2
Cominciamo col calcolare la media aritmetica per le due classi:
MA 
140
7
20
MB 
140
7
20
Questo indice di sintesi non aiuta l’insegnante!!
Subito colpisce il diverso intervallo in cui rientrano i voti delle due classi: 6  xi  9
CAMPO di VARIAZIONE
data
x1 , x2 ,............, xn
3  yi  10
sequenza ordinata di dati, si
definisce campo di variazione la differenza tra il dato maggiore ed il dato minore
x n  x1
Per la classe A si rileva un campo di variazione che vale 9-6=3 .
Per la classe B il campo di variazione vale 10-3=7.
Ci chiediamo ora come i voti delle due classi siano distribuiti nel rispettivo campo di variazione.
121
Il docente prepara due tabelle dove inserisce le differenze tra ogni voto e la relativa media.
Tali differenze sono chiamate scarti.
yi  M F
xi  M
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
F
8
5
6
1
-1
0
+1
+2
2
2
2
1
2
5
4
2
Notiamo che gli scarti risultano alcuni negativi, altri nulli o positivi. Sommandoli tra di loro
potrebbero compensarsi e quindi “sparire”, cioè risultare non visibili: per evitare questo, conviene
calcolare la media degli scarti prendendoli, o in valore assoluto, o al quadrato; vediamo cosa si trova:
SCARTO SEMPLICE MEDIO
è un valore che fornisce una misura di quanto i dati si discostano dalla media
 x
 M  Fi 
i
s
i
N
Le medie aritmetiche dei valori assoluti degli scarti delle due classi valgono:
sA 
16
 0,8
20
sB 
38
 1,9
20
Questi valori ci dicono che mediamente i voti della classe A si discostano di 0,8 dalla media, mentre
quelli della classe B si discostano di 1,9.
SCARTO QUADRATICO MEDIO
è un indice più sensibile del precedente perché
evidenzia maggiormente le variazioni nella distribuzione dei dati intorno alla media. Viene anche
detto deviazione standard mentre il suo quadrato  2 è detto varianza
 
 x
i
 M   Fi
2

i
N
Per le due classi le medie quadratiche degli scarti valgono:
A 
 12  8   12  6   22
20

18
 0,9487  B 
20
 42  2   32  2  ......
20

98
 2,2136
20
Possiamo confermare che la variabilità dei voti nella classe B è decisamente molto più alta rispetto
alla variabilità dei voti nella classe A
L’insegnante decide allora di dare la vittoria alla classe ………….. dove………………………..…..
122
LE 30 SBARRE DI FERRO
Ti forniamo le misure espresse in metri di 30 sbarre di ferro:
0,8
0,5
1,2
0,7
0,8
1
1,4
1
0,6
0,7
1,2
1,2
1
0,6
0,7
0,8
1,2
1
0,7
1
0,8
1,2
1,2
1
0,8
1
1
1
0,7
0,8
Prepariamo la tabella delle frequenze e scegliamo di rappresentare graficamente mediante il
diagramma cartesiano ottenendo così la forma della distribuzione delle frequenze (vedi paragrafo 3)
10
9
F
8
0,5
1
7
0,6
2
0,7
5
0,8
6
1
9
1
1,2
6
0
1,4
1
frequenze
x
6
5
4
3
2
0
0,5
1
1,5
lunghezze delle sbarre
Calcoliamo ora la media aritmetica, gli scarti da essa e lo scarto quadratico medio:
M 
0,5  1,2  3,5  4,8  9  7,2  1,4
27,6

 0,92
30
30
0,5  0,92  0,42
0,6  0,92  0,32
0,7  0,92  0,22
0,8  0,92  0,12
1  0,92  0,08
1,2  0,92  0,28
1,4  0,92  0,48
 
0,42 2  0,32 2  2  0,22 2  5  0,12 2  6  0,08 2  9  0,28 2  6  0,48 2

30
0,1764  0,2048  0,242  0,0864  0,0576  0,4704  0,2304


30

1,468

30
0,04893  0,22
123
Possiamo ora osservare che
 nell’intervallo M   ; M     0,7;1,14 risultano compresi 15 dei valori iniziali:
0,8
0,8
1
0,8
1
1
1
1
0,8
1
1
0,8
1
1
0,8
Tali valori rappresentano il 50% dei dati.
 nell’intervallo M  2 ; M  2   0,48;1,36 risultano compresi 29 dei valori
iniziali: 0,8 0,5
1,2
0,7
0,8
1
1,2
0,8
1
1
0,6
0,7
1,2
1,2
1
0,6
1,2
1
0,7
0,7
0,8
1,2
1
0,7
1
0,8
1
1
0,8
Tali valori rappresentano il 96, 6 % dei dati
 nell’intervallo M  3 ; M  3   0,26;1,58 risultano compresi tutti i valori
iniziali, il 100% dei dati.
Il caso rientra tra quei fenomeni che si avvicinano alla cosiddetta
distribuzione gaussiana.
In tali distribuzioni il grafico che si ottiene col diagramma cartesiano ha una caratteristica forma a
campana e nel caso si possa disporre di dati sempre più numerosi, tale grafico tende sempre più ad
assomigliare alla curva normale o curva di Gauss.
esempio di curva di GAUSS (distribuzione normale)
In tale grafico sull’asse orizzontale sono riportati gli scarti dalla media xi  M  e su quello verticale
le frequenze relative.
Le frequenze più alte si trovano attorno al valore della media (scarto nullo) e la rappresentazione
grafica ha proprio il tipico aspetto di una campana.
Tale campana risulta alta e stretta se il valore di  è relativamente piccolo, mentre se  ha un
valore più alto la campana appare più schiacciata orizzontalmente.
Si può dimostrare che, nel caso si abbia a che fare con una distribuzione gaussiana, accade che
 nell’intervallo M   ; M    si concentrano il 68,27% dei valori;
 nell’intervallo M  2 ; M  2  si concentrano il 95,45% dei valori;
 nell’intervallo M  3 ; M  3  si concentrano il 99,73% dei valori.
124
ESERCIZI CAPITOLO 5
Aspetta che ora lo so,
in statistica la popolazione è
il gruppo di persone o di
oggetti su cui si indaga
Conoscenza e comprensione
1) Quali sono le fasi di un’indagine statistica?
2) In che diversi modi può avvenire la raccolta dei dati?
3) Che cosa si intende per popolazione?
4) Quando si parla di censimento? Te ne ricordi uno importante nella storia?
5) In quale caso un carattere si dice quantitativo? Fai un esempio.
6) Definisci frequenza assoluta, relativa, percentuale.
7) Che cos’è un ortogramma?
8) Che cos’è un istogramma?
9) Che cos’è un areogramma?
10) Definisci almeno 2 indici di posizione centrale.
11) Completa:
Si definisce media aritmetica il dato
M
che, sostituito a ogni dato, ne conserva ……………………………
Si definisce media quadratica il dato
Q
che, sostituito a ogni dato, ne conserva ……………………………
Si definisce mediana il dato
Me
che, dopo aver ordinato i dati in modo……………………………..,
occupa la posizione …………………
12) Che cos’è lo scarto semplice medio? A che cosa serve?
13) Che cos’è lo scarto quadratico medio? A che cosa serve?
125
VENTI
FAMIGLIE
In questa tabella sono rappresentati i dati relativi alla situazione di 20 famiglie per quanto riguarda il numero
di componenti, il reddito, il titolo di studio del capofamiglia e la zona di residenza in Italia.
FAMIGLIA
NUMERO dei
COMPONENTI
REDDITO
in migliaia di euro
TITOLO DI STUDIO
del capofamiglia
ZONA di
RESIDENZA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
1
3
1
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
5
4
3
2
8
2
28
35
50
45
40
30
55
80
60
85
90
52
62
75
60
45
42
28
70
38
Elementare
Medie inferiori
Medie inferiori
Medie Superiori
Laurea
Medie inferiori
Medie inferiori
Medie Superiori
Laurea
Laurea
Laurea
Medie Superiori
Medie Superiori
Medie Superiori
Elementari
Medie inferiori
Medie inferiori
Elementari
Medie Superiori
Laurea
nord
centro
nord
nord
sud
sud
centro
centro
sud
nord
nord
centro
sud
sud
nord
nord
centro
nord
sud
sud
Se siamo interessati a indagare sul numero di componenti per famiglia, possiamo organizzare una
tabella chiedendoci quante siano (che frequenza assoluta abbiano) le famiglie con un componente,
quante quelle con due, con tre ecc. Completala tu
COMPONENTI
FREQUENZA ASS
1
4
4 su 20
cioè 4/20=0.2
20%
2
3
5
4
5 su 20 cioè 5/20=0.25
4 su 20 cioè 4/20=0.2
……
20%
4
2
2 su 20
cioè …...……
10%
5
…..
…….……cioè 2/20=0.1
…….
6
1
………………………
5%
7
1
………………………
……..
8
…..
………………………
………
PROVA TU
126
FREQUENZA REL
FREQUENZA %
Costruisci le tabelle delle frequenze , riguardanti il titolo di studio del
capofamiglia, il reddito e la zona di residenza.
Esercizi
1.
Si effettua un’indagine sul tipo di merenda preferita durante l’intervallo da
dell’Istituto Bertacchi, ottenendo le seguenti risposte:
taralli
brioches
focaccia
taralli
cioccolato
taralli
gelato
focaccia
brioches
brioches
yogurt
gelato
brioches
taralli
yogurt
gelato
gelato
cioccolato
gelato
yogurt
taralli
taralli
cioccolato
cioccolato
taralli
focaccia
brioches
taralli
taralli
cioccolato
cioccolato
taralli
taralli
taralli
taralli
taralli
gelato
focaccia
yogurt
cioccolato
taralli
gelato
50 insegnanti
yogurt
cioccolato
taralli
taralli
yogurt taralli
taralli
taralli
Compila la tabella delle frequenze, trovando anche frequenza relativa e percentuale.
2. In questa tabella sono rappresentati i dati relativi alla scelta di facoltà universitarie degli studenti
di una classe quinta di un istituto superiore.
facoltà universitarie
economia
giurisprudenza
informatica
ingegneria
lettere
lingue straniere
scienze
nessuna/non dichiarato
numero percentuale
studenti studenti
7
4
8
5
2
4
2
2
 20,588%
 11,765%
………….
 14,706%
………….
………….
………….
………….
Il carattere oggetto di studio è
..................................................................
e le modalità sono le denominazioni delle
facoltà.
La seconda colonna rappresenta le frequenze
assolute (numero studenti) collegate a ciascuna
facoltà.
La terza colonna (da completare) rappresenta le
frequenze.......................................
La rappresentazione grafica sottostante si chiama...........................................(o diagramma a torta )
della scelta delle facoltà universitarie da parte degli studenti di quinta classe.
127
3. Ricava le informazioni necessarie per completare la tabella, osservando il grafico.
Serie temporale delle iscrizioni alla prima classe di un istituto superiore
Anni
num.
studenti
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
152
.....
196
.....
.....
204
.....
.....
.....
165
Diagramma……....................della serie temporale delle iscrizioni alla prima classe
4.
Le 16 classi prime dell’istituto Bertacchi hanno i seguenti numeri di studenti:
25
27
30
27
27
29
28
28
29
30
28
30
28
30
30
30
Completa la tabella sottostante e rappresenta i dati mediante ortogramma .
alunni per classe
frequenza assoluta
frequenza relativa
25
27
28
29
30
5. Nel reparto pediatrico di una clinica viene effettuata un'indagine statistica relativa al tempo
impiegato dai bambini sotto i cinque anni per consumare il pasto di mezzogiorno.
Si trova che:
5 bambini impiegano meno di dieci minuti,
53 bambini impiegano un tempo che va dai dieci minuti fino a meno di venti minuti,
26 bambini impiegano un tempo che va dai venti minuti fino a meno di mezz'ora,
8 bambini impiegano un tempo che va da mezz'ora fino a meno quaranta minuti.
Mostra i dati raccolti con la tabella delle frequenze e con la rappresentazione grafica che ritieni più
opportuna.
128
6. Calcolare la media armonica dei numeri 8, 4, 5, 10 e 2.
7. Un ciclista percorre due tappe di 70 Km ciascuna, la prima ad una velocità media di 35 Km/h, la
seconda ad una velocità media di 20 Km/h.
Determinare la velocità media complessiva nelle due tappe.
8.
Determina la moda, la mediana e la media geometrica dei seguenti dati:
3
1
9.
4
2
3
4
4
1
4
1
1
3
4
3
1
2
3
4
5
3
La tabella riporta i pesi di 20 ragazzi (in Kg).
classi frequenze
46-50
2
50-54
3
54-58
5
58-62
4
62-66
4
66-70
2
Calcolare la media aritmetica
valore centrale
dei pesi dei ragazzi prendendo per ogni classe il
10. In un’azienda gli stipendi annui sono così distribuiti:
2 direttori
4 capi ufficio
12 impiegati
40 operai
percepiscono ciascuno un reddito di
percepiscono ciascuno un reddito di
percepiscono ciascuno un reddito di
percepiscono ciascuno un reddito di
50
38
20
16
migliaia di euro
migliaia di euro
migliaia di euro
migliaia di euro
Calcolare la media aritmetica, la mediana e la moda degli stipendi.
11.
In una classe i risultati di un compito a sorpresa di storia sono stati i seguenti:
2
5
4
5
4
5
4
7
4
8
4
8
4
9
4
9
4
9
5
10
5
10
5
10
Calcola la media aritmetica, la moda e la mediana.
129
12.
Un venditore di scarpe, che ha appena aperto un negozio in un piccolo comune svolge
un’indagine sul numero di piede degli abitanti adulti, raccogliendo i seguenti dati:
8 persone
il numero 35
7 persone
il numero 41
6 persone
il numero 36
4 persone
il numero 42
9 persone
il numero 37
2 persone
il numero 43
11 persone
il numero 38
1 persona
il numero 44
9 persone
il numero 39
1 persona
il numero 45
10 persone
il numero 40
1 persona
il numero 46
a) Costruisci la tabella organizzata in classi di frequenza di ampiezza 3 numeri di piede e calcola
frequenza assoluta e relativa.
b) Rappresenta poi i dati mediante istogramma
c) Calcola la moda, la mediana e la media aritmetica.
d) Il venditore di scarpe utilizzerà uno dei 3 indici calcolati al punto c) quando andrà dal grossista.
Quale e perchè?
13. Un contadino possiede quattro campi di forma quadrata di lato 40 m, 55 m, 60 m e 90 m.
Gli si propone lo scambio con quattro campi quadrati uguali, dei quali si chiede di determinare il lato
affinché lo scambio sia equo.
14. Nella facoltà di Matematica di Milano-Bicocca, uno studente sostiene cinque esami del primo
anno, con i relativi crediti.
Calcolare la media degli esami già sostenuti.
Che voto minimo deve prendere in geometria per avere una media del 29,5?
ESAME
VOTO CREDITO
Algebra lineare
29
8
Analisi 1
30
12
Informatica
28
8
Fisica 1
30
12
Algebra
29
8
Geometria
……
8
15. Determina la moda, la mediana e la media aritmetica dei seguenti dati:
43
41
50
42
40
48
38
41
39
50
40
43
44
48
40
45
Calcola lo scarto semplice medio relativo alla media aritmetica.
130
44
43
41
42
50
50
43
44
45
43
16. Si effettua un sondaggio sul costo di un litro di latte fresco intero, in 24 punti vendita (negozi,
supermercati, distributori automatici…) della provincia di Lecco, ottenendo i seguenti risultati
espressi in euro:
1,15
1,15
1,65
1,45
1
1,29
0,78
1
1,65
1,65
1,55
1
1,65
1,55
1,65
1,15
1
1,15
1,45
1,65
1,15
1,45
1
1,65
a)
Qual è il prezzo medio di un litro di latte fresco intero?
b)
Qual è il prezzo più frequente?
c)
Qual è il campo di variazione del prezzo del latte?
d)
Calcola lo scarto quadratico medio.
17. Per pianificare i trasporti in un centro cittadino si effettuano delle rilevazioni, in corrispondenza
di un punto nevralgico, in due diverse fasce orarie.
Vengono rilevati il numero dei veicoli ed il relativo numero di occupanti.
I dati sono quelli della seguente tabella:
ora di punta
altro orario
numero degli numero dei numero degli numero
occupanti
veicoli
occupanti dei veicoli
1
250
1
77
2
135
2
75
3
42
3
28
4
47
5
34
Rappresenta graficamente le distribuzioni statistiche ed individua moda, media, campo di variazione
e scarto quadratico medio della situazione nelle due fasce orarie.
131
18. Alcuni studenti hanno deciso di effettuare delle rilevazioni del traffico nei pressi di una rotonda
della loro città. Si sono divisi il compito in due gruppi che hanno operato in diverse fasce orarie
prendendo nota del numero degli occupanti dei veicoli che sono transitati da tale rotonda. Ecco i dati
da loro raccolti:
gruppo A
dalle 14 alle 14.30
numero occupanti
1 1 3 2 2 1 1 4 3 2 5 2 2 1 1 3 1 2 2 3
4 4 5 1 1 2 2 2 1 1 3 2 2 2 1 5 1 3 2 2
gruppo B
dalle 16 alle 16.30
numero occupanti
2 1 3 2 2 1 1 4 3 1 4 1 1 3 4
Sia per il gruppo A che per il gruppo B
a.
costruisci le distribuzioni di frequenza
b.
rappresenta graficamente nel modo che ritieni più opportuno
c.
calcola moda, mediana e media aritmetica
d.
calcola gli indici di variabilità rispetto alle medie del punto c)
Infine completa la seguente tabella osservando analogie e differenze
gruppo A gruppo B
Moda
Mediana
Media aritmetica
Campo di variazione
Scarto semplice medio
Scarto quadratico medio
19. Un gruppo di bambini raccoglie figurine, si ritrovano nel cortile della loro scuola e contano
quante ne posseggono: 10 24 12 24 30 8 42 16 24 14 16
a. costruisci la distribuzione di frequenza
b. rappresenta graficamente nel modo che ritieni più opportuno
c. calcola moda, mediana, media aritmetica,
d. calcola gli indici di variabilità rispetto alla media aritmetica
e. Quale percentuale dei dati rientra nell’intervallo (M- σ ; M+ σ)?
20. In laboratorio di fisica gli alunni della 4 A misurano la lunghezza di una molla a riposo,
trovando le seguenti misure espresse in cm:
14,03 14,02 14,01 14,09 14,02 14,01 14,03 14,04 14,01 14
14,02 14,03
14,04 14,04 14,03 14,03 14,02 14,03 14,01 14,02 14,01 14,04 14,09 14,03
a) Calcola il campo di variazione e lo scarto quadratico medio.
b) Si può esprimere la misura della molla con M ± σ,
cioè ….…. ± ………
c) Controlla quante e quali misure rientrano nell’intervallo (M- σ ; M+ σ).
d) Quale percentuale dei dati rientra nell’intervallo (M- σ ; M+ σ)?
132
CAPITOLO 6
IL CALCOLO DELLE PROBABILITA’
6.0
UNA STORIA
D'AMORE
Luca abita a Lecco, Bianca a Brindisi.
Lui è innamorato perso.
Anche lei ama lui, ma, ultimamente, in modo più altalenante.
Per incontrarsi, un fine settimana va lui a Brindisi, l'altro va lei a Lecco (dovrebbe andare perché,
in realtà, ogni volta sorge qualche difficoltà….).
Questo fine settimana ad esempio, Bianca ha telefonato a Luca, dicendo che farà scegliere alla sorte
...
Lancerà una moneta e, se viene testa partirà, altrimenti non partirà.
Se partirà, lancerà un dado,
e, a seconda del numero che uscirà, prenderà il primo aereo,
il secondo, ecc. dei 6 aerei che collegano Brindisi a Orio.
Lui da Lecco si è recato di buonora all’aeroporto di Orio e ha visto arrivare (invano!) i primi 5
aerei da Brindisi.
Lo lasciamo lì che attende, un po’ deluso e ansioso il sesto e ultimo aereo .. .
Ma ci chiediamo: qual è la probabilità che lei arrivi con il sesto aereo?
Sai rispondere? Confrontati con i tuoi compagni.
Siete arrivati tutti alla stessa risposta? Annota qui sotto le vostre conclusioni:
Dopo aver affrontato questo capitolo, avrai gli strumenti per gestire in modo corretto il problema.
133
6.1 INTRODUZIONE
Questo argomento ci tocca da vicino e forse usiamo già inconsapevolmente il calcolo della
probabilità nella vita di ogni giorno.
Se è probabile che oggi piova, prendo l’ombrello.
Se è probabile trovare un importante reperto, continuo con gli scavi, altrimenti no.
Il calcolo delle probabilità trova applicazioni in archeologia, medicina, economia, fisica, chimica,
scienze sociali.
Storicamente si fa risalire la nascita del calcolo delle probabilità alla risoluzione al problema noto in
letteratura come “problema della divisione della posta in gioco” o “problema delle parti”.
La prima versione del problema delle parti che ci è nota è presente in un manoscritto di anonimo del
1400 circa.
La versione più nota è quella di Luca Pacioli, ma la prima soluzione completa a noi giunta del
problema delle parti è contenuta nella lettera di Pascal a Fermat del 29/07/1654.
L’interesse di Pascal per la materia era stato suscitato da Antoine Gombaud, cavaliere di Méré,
professionista parigino del gioco d’azzardo: Gombaud stava giocando a ‘punti’ (gioco in cui si
vincevano punti, lanciando dadi e il giocatore che guadagnava un certo numero di punti, prendeva i
soldi).
Un impegno urgente costrinse lui e il suo compagno a interrompere la partita. Si presentò così il
problema di dividere il premio in denaro. La soluzione più semplice sarebbe stata di dare la posta in
gioco al giocatore in vantaggio.
Gombaud chiese a Pascal di trovare un modo più equo di dividere la somma, calcolando la
probabilità di vittoria di ciascun giocatore se il gioco fosse continuato.
Pascal iniziò una corrispondenza con Fermat per cercare regole matematiche più precise rispetto a
quelle del tempo che erano basate solo sull’intuizione e sull’esperienza nel gioco d’azzardo.
Negli anni a seguire si svilupparono in modo organico le conoscenze in questo campo.
In queste pagine troverai le conoscenze di base di questa scienza relativamente moderna.
134
6.2 EVENTI
La signora Gertrude è una pendolare che ogni giorno utilizza il treno per recarsi al lavoro. Spesso le
accade di trovarsi nello stesso scompartimento con quattro ragazze che parlano per tutto il tempo. Le
quattro ragazze sono Anna, Carla, Sara e Maria, vicine di casa che frequentano scuole superiori
diverse e che durante il tragitto in treno si raccontano molte cose. La signora Gertrude, con gli occhi
chiusi, ascolta ed ogni volta si chiede se ciò che sente sia o non sia vero. Ad esempio ieri Anna
diceva che presto andrà a Londra, Carla continuava a ripetere “uffa sono sul treno”, Sara diceva di
essere un fantasma e Maria raccontava di volersi comprare una sciarpa.
In probabilità un qualunque avvenimento che può risultare vero o falso viene detto
evento.
Generalmente si indica un evento utilizzando la lettera maiuscola E.
E1 : Anna andrà a Londra
E2 : Carla è sul treno
E3 : Sara è un fantasma
E4 : Maria si comprerà una sciarpa
Ieri la signora Gertrude è scesa dal treno pensando “E2 è vero, E3 è falso, ma per quanto io mi sforzi
non posso esprimere il valore di verità di E1 e di E4
evento
certo
evento che si verifica, avvenimento certo
impossibile
evento che non può verificarsi, avvenimento che non può accadere
aleatorio
evento casuale, evento incerto per il quale non si può dire se si
verificherà o meno
Completa la tabella
Evento
nel lancio di un dado si ottiene un numero minore di 7
certo
aleatorio
impossibile
X
nel lancio di un dado si ottiene 4
nel lancio di un dado si ottiene un numero pari
nel lancio di un dado si ottiene 8
il treno è in orario
alla tombola viene estratto il numero 88
alla tombola viene estratto il numero 100
da un mazzo di 52 carte da gioco estraggo il Re di cuori
da un mazzo di 52 carte da gioco estraggo una carta di picche
135
Prima di procedere impariamo altri termini che si usano in probabilità:
not E = E
evento negazione o evento contrario
è vero se E è falso
è falso se E è vero
E
E
E1  E2
evento congiunzione o evento intersezione o prodotto logico
E1 and E2
E1  E2
è vero se entrambi gli eventi E1 ed E2 sono veri
evento disgiunzione o evento unione o somma logica
E1 or E2
è vero se almeno uno dei due eventi E1 ed E2 è vero
eventi compatibili
eventi che possono verificarsi contemporaneamente
eventi incompatibili
eventi che non possono verificarsi contemporaneamente perché il
verificarsi di uno di essi esclude il contemporaneo verificarsi dell’altro
eventi indipendenti
il verificarsi di uno degli eventi non dipende dal verificarsi dell’altro
eventi dipendenti
il verificarsi di uno degli eventi influenza il verificarsi dell’altro
Abbiamo a disposizione un dado ed un mazzo di 52 carte da gioco, consideriamo i seguenti eventi:
E1 :
E2 :
E3:
E4:
dal mazzo di carte estraggo una carta di fiori
dal mazzo di carte estraggo un Re
dal mazzo di carte estraggo una carta di seme rosso
lancio il dado ed ottengo 2
E1  E2
sono eventi compatibili:
infatti l’estrazione del Re di fiori verifica contemporaneamente entrambi gli eventi
E1  E3
sono eventi incompatibili,
poiché nessuna delle carte del mazzo è sia di fiori che di seme rosso
E1  E4
sono eventi indipendenti,
il lancio del dado e l’estrazione della carta dal mazzo non si influenzano
Decido di estrarre una carta dal mazzo e senza reinserirla procedo poi ad una seconda estrazione:
E1  E2
136
sono eventi dipendenti,
perché il verificarsi di uno degli eventi influenza il verificarsi dell’altro infatti se alla
prima estrazione ottengo una carta di fiori alla seconda estrazione il mazzo contiene
una carta in meno
6.3 PROBABILITA’ DI UN EVENTO
Vogliamo poter in qualche modo misurare la possibilità che un evento si verifichi.
Consideriamo un esperimento aleatorio dove sia n il numero dei suoi esiti tutti ugualmente possibili.
n numero dei possibili esiti
esperimento aleatorio
lancio di un dado
n= 6
lancio di due dadi
n = 36
estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte da gioco
n = 52
estrazione di un numero della tombola
n = 90
Sia E un evento e sia f il numero dei casi che verificano tale evento, che sono detti casi favorevoli
f numero dei casi favorevoli
evento E
col lancio di un dado ottengo il numero 2
f=1
col lancio di un dado ottengo un numero pari
f=3
col lancio di un dado ottengo il numero 10
f=0
col lancio di due dadi ottengo due numeri che sommati danno 8
f=5
col lancio di due dadi ottengo due numeri che sommati sono < 100
f = 36
con l’estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte esce un Re
f=4
con l’estrazione di un numero dalla tombola esce un numero pari
f = 45
La Definizione classica della probabilità afferma che la probabilità dell’evento E è il rapporto tra i
casi favorevoli al verificarsi dell’evento e i casi possibili:
p E  
f
n
evento E
col lancio di un dado ottengo il numero 2
col lancio di un dado ottengo un numero pari
col lancio di un dado ottengo il numero 10
col lancio di due dadi ottengo due numeri che sommati danno 8
col lancio di due dadi ottengo due numeri che sommati sono < 100
con l’estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte esce un Re
con l’estrazione di un numero dalla tombola ottengo un numero pari
p(E)
1
6
3 1

6 2
0
0
6
5
36
36
1
36
4
1

52 13
45 1

90 2
137
LA SCELTA
Giovanni ha preparato un gioco per Tiziana. Ha preso tre scatole uguali, in una di queste ha inserito
un premio. Tiziana ha la possibilità di aggiudicarsi il premio scegliendo la scatola che lo contiene.
Sceglie la scatola numero 3. A questo punto Giovanni apre la scatola numero 2 e mostra a Tiziana
che è vuota. Ora le chiede “vuoi aprire la scatola numero 3 che hai scelto oppure vuoi fare un
cambio?” Cosa è più conveniente fare?
1
di vincere il premio.
3
Se invece Tiziana decide di cambiare scatola, vince se la scatola numero 3 è vuota e questo ha una
2
probabilità pari a
.
3
Dunque cambiare scatola è una strategia che presenta una probabilità maggiore di vincita.
Se Tiziana decide di non cambiare scatola ha una probabilità pari a
6.4 TEOREMI SULLA PROBABILITA’
Prima di introdurre alcuni teoremi utili per il calcolo delle probabilità osserviamo che

l’evento certo ha probabilità

l’evento impossibile ha probabilità

E
n
1
n
0
0
n
0  pE   1
Siano E1 ed E2 due eventi, con la scrittura
pE2 / E1  si intende esprimere la probabilità che
si attribuisce al verificarsi dell’evento E2 nel caso in cui si sia a conoscenza del fatto che l’evento E1
si è già verificato.
Se i due eventi sono indipendenti, il verificarsi o meno di E1 non modifica la probabilità di E2

e dunque si ha
pE2   pE2 / E1   p E2 / E1
mentre se i due eventi sono dipendenti
pE2   pE2 / E1 
Teorema della probabilità contraria
E
Teorema della probabilità composta
E1 , E2

 
p E  1  p E 
pE1  E2   pE1   pE2 / E1 
Teorema della probabilità totale E1 , E2 pE1  E2   pE1   pE2   pE1  E2 
138
6.5 ESEMPI
Un’urna contiene 100 biglie.
50 sono rosse
,
20 sono blu
,
8 sono gialle
e le altre sono verdi
.
Estraiamo dall’urna una biglia
a) Con quale probabilità la biglia è blu?
B : estrazione della biglia blu
casi favorevoli
f = 20
p B  
applicando la definizione classica della probabilità si ottiene
b) Con quale probabilità la biglia non è blu?
applicando il Teorema della probabilità contraria si ottiene
20
1

100 5
 
p B 1
1 4

5 5
Estraiamo dall’urna una biglia e dopo averla reinserita, ne estraiamo una seconda.
c) Con quale probabilità la prima è rossa e la seconda è gialla?
R : estrazione della biglia rossa
casi favorevoli
f = 50
G : estrazione della biglia gialla
casi favorevoli
f=8
dobbiamo valutare la probabilità dell’evento congiunzione
R  G
R , G sono eventi indipendenti
applicando il Teorema della probabilità composta si ottiene
pR  G   pR   pG  
50
8
1


100 100 25
d) Con quale probabilità una è rossa e una è gialla?
dobbiamo valutare la probabilità dell’evento disgiunzione ( R  G )  ( G  R )
( R  G ) , ( G  R ) sono eventi
incompatibili,
applicando il Teorema della probabilità totale si ottiene
pR  G   G  R   pR  G   pG  R   0
ora applicando due volte il Teorema della probabilità composta per eventi indipendenti
si ottiene
pR  G   pG  R  pR   pG   pG   pR  

50
8
8
50
1
1
2






100 100 100 100 25 25 25
139
Estraiamo una biglia dall’urna e senza reinserirla ne estraiamo poi una seconda.
e) Con quale probabilità la prima è rossa e la seconda è gialla?
dobbiamo valutare la probabilità dell’evento congiunzione
R G
R , G sono eventi dipendenti perché dopo la prima estrazione cambia il valore n dei casi
possibili, applicando il Teorema della probabilità composta si ottiene
50 8
4
pR  G   pR   pG / R  


100 99 99
f) Con quale probabilità una è rossa e una è gialla?
dobbiamo valutare la probabilità dell’evento disgiunzione ( R  G )  ( G  R )
( R  G ) , ( G  R ) sono eventi incompatibili,
applicando il Teorema della probabilità totale si ottiene
pR  G   G  R   pR  G   pG  R   0
ora applicando due volte il Teorema della probabilità composta per eventi dipendenti si ha
pR  G   pG  R   pR   pG / R   pG   pR / G  

50 8
8 50
4
4
8






100 99 100 99 99 99 99
Estraiamo una biglia dall’urna e subito dopo ne estraiamo una seconda e poi una terza.
g) Con quale probabilità la prima è rossa e le altre gialle?
dobbiamo valutare la probabilità dell’evento congiunzione
R  G  G
R , G , G sono eventi dipendenti perché dopo ogni estrazione cambia il valore n dei
casi possibili, applicando il Teorema della probabilità composta si ottiene
50 8 7
2



pR  G  G   pR   pG / R   pG / R  G   
100 99 98 693
h) Con quale probabilità una è rossa e le altre gialle?
dobbiamo valutare la probabilità dell’evento disgiunzione
pR  G  G   pG  R  G   pG  G  R 
( R  G  G ), ( G  R  G ), ( G  G  R ) sono eventi incompatibili,
applicando il Teorema della probabilità totale si ottiene
pR  G  G   pG  R  G   pG  G  R   0 
ora applicando tre volte il Teorema della probabilità composta per eventi dipendenti si ha
pR  G  G   pG  R  G   pG  G  R  
 pR   pG / R   pG / R  G   pG   pR / G   pG / G  R  
 pG   pG / G   pR / G  G  

140
50 8 7
8 50
7
8
7 50
2









100 99 98 100 99 98 100 99 98 231
Estraiamo una carta da un mazzo di 52 carte da gioco
i) Con quale probabilità la carta estratta è una carta nera o una figura ?
N : estrazione della carta nera
casi favorevoli
fN = 26
F : estrazione di una figura
casi favorevoli
fF = 12
dobbiamo valutare la probabilità dell’evento disgiunzione
N VF
N , F sono eventi compatibili, infatti nel mazzo sono presenti fN∩F = 6 figure nere,
applicando il Teorema della probabilità totale si ottiene
pN  F   pN   pF   pN  F 
ora applicando il Teorema della probabilità composta per eventi dipendenti si ha
pN   pF   pN  F   pN   pF   pN   pN / F  

fN
f
f
f
26 12 26 6
32
8
 F  N  N F 





n
n
n
fN
52 52 52 26 52 13
l) Con quale probabilità la carta estratta è un Re o una carta di cuori?
R : estrazione di un Re
casi favorevoli
fR = 4
C : estrazione di una carta di cuori
casi favorevoli
fC = 13
dobbiamo valutare la probabilità dell’evento disgiunzione
RC
R , C sono eventi compatibili, infatti nel mazzo è presente fR∩C = 1 Re di cuori,
applicando il Teorema della probabilità totale si ottiene
pR  C   pR   pC   pR  C 
ora applicando il Teorema della probabilità composta per eventi dipendenti si ha
pR   pC   pR  C   pR   pC   pR   pR / C  

f
f
fR
f
4
13
4 1 16
4
 C  R  RC 


 

n
n
n
fN
52 52 52 4 52 13
141
6.6 DEFINIZIONE FREQUENTISTICA DELLA PROBABILITA’
Sembra ci sia una nuova lampadina che duri molto di più di quelle attualmente sul mercato.
Per poter decidere di metterla in produzione occorre stimare la probabilità dell’evento
E : la nuova lampadina dura di più delle vecchie.
In vari laboratori, contrassegnati dalla A alla L, si eseguono prove per verificare la durata
della nuova lampadina e ogni laboratorio prepara una tabella che riporta le frequenze assolute delle
due modalità:
x1=lampadina accesa,
x2=lampadina spenta
dopo un certo tempo di riferimento t
Laboratorio A esamina 50 lampadine
al tempo t
Frequenza
lampadina accesa
14
lampadina spenta
36
Laboratorio B esamina 80 lampadine
al tempo t
lampadina accesa
lampadina spenta
Frequenza
22
58
Laboratorio L esamina 800 lampadine
……………………………………..
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………….
al tempo t
lampadina accesa
lampadina spenta
Frequenza
236
564
Per poter confrontare i dati ottenuti dai 10 laboratori coinvolti, prepariamo una tabella dove
inseriamo i valori delle frequenze relative della modalità lampadina accesa
laboratori
numero di lampadine
esaminate
numero di lampadine che restano
accese dopo il tempo stabilito
frequenza relativa dei
successi
A
B
C
D
E
F
G
H
I
L
50
80
100
120
150
160
200
300
500
800
14
22
31
36
44
45
61
90
155
236
0,28
0,275
0,31
0,3
0,29(3)
0,28125
0,305
0,3
0,31
0,295
Conviene mettere in produzione tale lampadina?
Ci si aspetta che la probabilità dell’evento E sia molto legata ai valori trovati nella colonna delle
frequenze relative del carattere x1=lampadina accesa, possiamo dunque dire che pE   0,3 .
Definizione frequentistica della probabilità
Se è possibile avere a disposizione una serie di prove ripetute un gran numero di volte e tutte nelle
stesse condizioni, si può assumere come stima attendibile della probabilità di un evento il valore
p E   f R
142
della frequenza relativa del suo verificarsi in quelle prove.
6.7 DEFINIZIONE SOGGETTIVA DELLA PROBABILITA’
Alberto e Bruno assistono alle gare di corsa organizzate dalla scuola a fine anno. Alberto è convinto
che il suo amico Carlo vincerà la gara dei 100 metri ed è pronto a scommettere con Bruno.
Bruno accetta la scommessa. Alberto propone quanto segue:
 se Carlo vincerà la gara, Bruno dovrà offrire ad Alberto 10 gelati nel corso dell’estate,
 se Carlo non vincerà, sarà Alberto che dovrà offrire a Bruno 8 gelati.
Alberto crede molto nella possibilità di vincita da parte di Carlo ed infatti è disposto a pagare 8 per
ottenere 10.
Parte la gara e a vincere è proprio Carlo, Alberto esulta per la vittoria dell’amico e per aver vinto la
scommessa con Bruno.
Bruno ha intenzione di rifarsi e così propone ad Alberto di fare una nuova scommessa.
Bruno spera che Dario possa vincere la gara di corsa ad ostacoli e propone quanto segue:
 se Dario vincerà la gara, Alberto dovrà offrire a Bruno 8 gelati nel corso dell’estate,
 se Dario non vincerà, sarà Bruno che dovrà offrire ad Alberto 2 gelati.
Bruno spera tanto nella vittoria di Dario, ma non ne è pienamente convinto infatti è disposto a pagare
solo 2 per ottenere 8.
Non abbiamo saputo chi abbia poi vinto la gara di corsa ad ostacoli.
Possiamo però riflettere sulle due scommesse.
 La scommessa di Alberto è stata formulata in seguito alle sue grandi aspettative di vittoria,
infatti essere disposto a pagare 8 per ottenere 10 è come assegnare all’evento “Carlo vince”
8
 0,8  80% .
una probabilità pari a
10
 La scommessa di Bruno è stata formulata con la sola speranza di poter recuperare qualcosa
rispetto alla perdita inerente alla scommessa precedente.
In questa scommessa sono chiaramente meno evidenti le aspettative di vittoria , infatti essere
disposto a pagare 2 per ottenere 8 è come assegnare all’evento “Dario vince” una probabilità
2
 0,25  25%
pari a
8
Definizione soggettiva della probabilità
in base alle proprie opinioni e alle informazioni di cui si dispone,
si dichiarano il valore S che si riceve nel caso in cui l’evento si verifichi
il valore P che si è disposti a pagare nel caso contrario
la misura del grado di fiducia che si attribuisce al verificarsi dell’ evento è
p E  
P
S
143
6.8 POSSIBILI RISPOSTE AL PROBLEMA DELL’AEREO
Soluzione 1
C’è chi, in modo molto sbrigativo, risponde:
“Non mi faccio confondere. La faccenda è chiara:
50% è la probabilità che sia uscita croce
50% è la probabilità che sia uscita testa.
Se è uscita testa, visto che Lei non è partita con i primi 5 aerei, sicuramente sarà sul sesto.
Quindi a questo punto la probabilità che Lei sia sul sesto aereo è ½.”
Soluzione 2
C’è chi, in modo molto convinto, subito replica:
“ E i dadi non li conti? Gli eventi possibili sono Testa-1, Testa-2, Testa-3, Testa-4, Testa-5, Testa-6,
Croce. Quindi la probabilità che lei arrivi vale 1/7.”
Soluzione 3
C’è chi, invece, ritenendosi rigoroso e preciso..
“Faccio un discorso analitico e preciso. La probabilità che Lei sia sul sesto aereo è 1/6 (perché poteva
partire con uno dei 6 aerei) del 50% (perché poteva partire o non partire ). Ma 1/6 del 50% è come
dire 1/6 di ½ e quindi 1/12. Quindi a questo punto la probabilità che Lei sia sul sesto aereo è 1/12,
circa l’8%.”
Soluzione 4
C’è chi, prima di rispondere ha preparato una tabella:
1
2
3
4
testa
testa, 1 testa, 2 testa, 3 testa, 4
croce
croce
5
testa, 5
6
testa, 6
“Anche se con croce, lei non lancia il dado, l’evento croce deve comunque risultare equiprobabile
all’evento testa.
I casi possibili allora, sono esattamente 12: TI, T2, T3, T4, T5, T6, C1, C2, C3, C4, C5, C6.
testa
croce
1
testa, 1
croce, 1
2
testa, 2
croce, 2
3
testa, 3
croce, 3
4
testa, 4
croce, 4
5
testa, 5
croce, 5
6
testa, 6
croce, 6
Ma questo vale solo fino alla sera precedente.
Se ci mettiamo nei panni di quel poveretto che aspetta, gli eventi possibili sono ora
T6, C1, C2, C3, C4, C5, C6
e quindi l'esito T6, che corrisponde all'arrivo con il sesto aereo, ha probabilità 1/7,
e cioè circa il 14%
Ma allora ognuno può dire la sua?
Tu che hai studiato però, sai benissimo che l’unico ragionamento corretto è quello della soluzione
n°….
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ESERCIZI CAPITOLO 6
Conoscenza e comprensione
1. Cosa si intende per evento certo, evento impossibile ed evento aleatorio?
2. Due eventi sono indipendenti se……………………………………………………………
3. Due eventi sono compatibili se……………………………………………………………..
4. Fornisci le definizioni classica della probabilità
Esercizi
5. Enuncia e dimostra il teorema della probabilità contraria
Quattro esercizi con un mazzo di 52 carte da gioco
6. Calcola la probabilità che venga estratta la carta 8 di cuori
7. Calcola la probabilità che venga estratta una carta di fiori
8. Calcola la probabilità che vengano estratte due carte di picche
9. Calcola la probabilità che vengano estratte una figura ed un 10
Sei esercizi con una scatola contenente dieci palline
contrassegnate ciascuna con un numero da 1 a 10
10. Calcola la probabilità che venga estratta la pallina numero 7
11. Calcola la probabilità che venga estratta una pallina con numero pari
12. Calcola la probabilità che venga estratta la pallina numero 7 e dopo averla reinserita
venga estratta la pallina numero 10
13. Calcola la probabilità che vengano estratte prima la pallina numero 7 e poi la pallina
numero 10
14.
la probabilità che vengano estratte due palline ed una sia la numero 7
15. Calcola la probabilità che vengano estratte due palline i cui numeri sommati diano 10
Tre esercizi con dadi a 6 facce
16.
Calcola la probabilità che, lanciando 2 dadi, si ottenga un punteggio maggiore di 9
17.
Calcola la probabilità che, lanciando 2 dadi, si ottenga un divisore di 12 su almeno uno
dei due dadi
18. Calcola la probabilità che, lanciando 3 dadi, si ottenga un punteggio uguale a 10
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