ELEMENTI DI PROBABILITA’
Media :
migliore stima del valore vero in assenza di altre info. Aumentare il numero di misure
permette di approssimare meglio il valor medio e quindi ridurre l’influenza degli errori casuali.
migliore stima del massimo errore di precisione. La media della deviazione è data da:
Deviazione :
Deviazione media :
assoluto;stima eccessivamente pessimistica
Deviazione standard delle misure :
è la media della somma delle deviazioni in valore
dove
è la varianza e
sono gli scarti quadratici
La d. s. è una valida indicazione di quanto disperse sono le misure rispetto al valore medio:
Varianza :
, quadrato della deviazione standard
Variabile deterministica : grandezza il cui valore è prevedibile e ripetibile, descrivibile quindi mediante modelli
deterministici.
Variabile casuale : grandezza non prevedibile e non ripetibile. Una variabile casuale può essere: continua o discreta e
prevedibile solo in forma statistica attraverso una distribuzione di probabilità. Le grandezza misurate sono
considerate casuali e quindi servono modelli che forniscano dati ragionevoli.
Istogramma : diagramma che mostra come i dati sono distribuiti sul campo di misura e indica le zone più probabili.
Probabilità che si faccia una misura che appartenga ad un intervallo:
funzione densità di probabilità.
dove
è la
probabilità su tutto il dominio di misura
-
probabilità di un valore assegnato
-
Caso discreto : la probabilità è un valore numerico che esprime la stima della possibilità di occorrenza di un
determinato evento, tra quelli possibili, espressi da un numero finito:
dove m è il numero di
evenienze del tipo di interesse o esiti positivi e n è il numero totale di soluzioni possibili, cioè dei possibili esiti.
Caso continuo : la probabilità è un valore numerico che esprime la stima della possibilità di occorrenza di un valore
della funzione, compreso tra due estremi:
.
Valore atteso :
Varianza (prevista) :
Calcolo delle probabilità :
PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI
Linearizzazione :
, esatta per variazioni infinitesime. Nel caso di misure possiamo sostituire alle
variazioni le rispettive incertezze di misure (
) ottenendo l’incertezza del risultato:
è il contributo all’errore della funzione
dovuto all’errore
. L’incertezza
viene pesata
dalla sensibilità della grandezza
rispetto al parametro i-esimo
. In forma adimensionale, l’incertezza
percentuale è data da:
Radice della somma dei quadrati (RSS) : rappresenta una scelta ottimale, nel senso che tiene conto della probabilità
che i diversi errori concorrano alla misura con il loro valore massimo:
Varianza di
:
, cioè somma delle singole varianze delle singole
variabili, ciascuna pesata con la sensibilità di
per quella variabile. Disponendo di un valor medio, esprimiamo la
varianza come:
, in forma matriciale:
I termini della matrice covarianza vengono definiti come:
-
Varianza per i termini diagonali (o auto-covarianza):
, sempre positiva;
-
Covarianza per i termini extra-diagonali:
, all’aumentare del numero di
misure tendono a 0 se scostamenti positivi e negativi hanno probabilità di presentarsi.
Incertezza relativa: scriviamo
dove
è il
coefficiente di amplificazione dell’incertezza, che permette di valutare il peso relativo delle singolo incertezze senza
ancora conoscerle e quindi di capire a quali elementi prestare maggiore attenzione, ragionando a incertezze relative
equivalenti.
Incertezza percentuale :
dove
è il contributo percentuale,
coefficiente complessivo cioè tiene conto anche del valore atteso della variabile. Per migliorare la misura occorre
bilanciare la qualità delle misure riducendo l’incertezza sugli elementi più critici.
Nel caso in cui la relazione sia costituita da una produttoria di potenze:
. L’errore percentuale sulla grandezza misurata è legato alle incertezza sulle singole misure
secondo:
CLASSIFICAZIONE DELLE INCERTEZZE
Due possibilità di definizione del valore medio e della deviazione standard:
a) Disponendo di una serie di valori:
e
b) Disponendo dell’espressione della densità di probabilità:
e
Le componenti di incertezza sono classificate in relazione al metodo con il quale sono state determinate:
-
di tipo A: valutazione delle incertezze mediante analisi statistica di una serie di osservazioni/misure.
di tipo B: valutazione delle incertezze mediante strumenti diversi dall’analisi statistica del tipo A.
Incertezze di tipo A : una componente di incertezza ricavata con questo metodo è calcolata come deviazione
standard , ricavata statisticamente come radice della varianza stimata e dal numero di gradi di libertà ad essa
associati. L’incertezza standard è
. La valutazione è basata su un metodo statistico per l’elaborazione dei dati.
Valutazione di incertezze del tipo A
1) ripetere N volte la misura (N piccolo comporta una insufficiente stima dello scarto tipo)
2) calcolare la media:
3) calcolare la stima dello scarto tipo:
4) la misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipo della media:
Incertezze di tipo B : una componente di incertezza ottenuta con questo metodo è rappresentata da una quantità
radice quadrata della varianza
a sua volta determinata in base ad una ragionevole ipotesi di distribuzione di
densità di probabilità, basata su tutte le informazioni disponibili. L’incertezza standard è .
Valutazione di incertezze di tipo B
1) individuare la distribuzione di probabilità applicabile (congruente con tutte le info disponibili)
2) calcolare il valore atteso:
3) calcolare la varianza:
4) la misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipo della media
La densità di probabilità in un intervallo è costante al suo interno e nulla all’esterno. Una valutazione di tipo B è
basata sull’esame di tutte le info disponibili come i risultati di precedenti misure, esperienza/informazioni del e sul
sistema di misura. Poiché le info disponibili possono anche essere molto diverse è difficile ricavare un criterio unico.
Si può affermare che l’incertezza di tipo B sono espresse attraverso la deviazione standard della densità di
probabilità che si è supposto descrivere la variabile casuale in esame.
Incertezza estesa : per definire l’incertezza in termini di affidabilità della misura si definisce l’incertezza estesa,
ottenuta moltiplicando l’incertezza di misura per il fattore di copertura . L’incertezza estesa della variabile è
definita come:
. Il fattore di copertura viene scelto sulla base del livello di confidenza desiderato per
l’intervallo dato da , tipicamente valori tra 2 e 3 con un rispettivo livello di confidenza rispettivamente di 95% e
99%. Si usa lo schema di variabili gaussiane poiché le medie di una variabile generalmente seguono questa
distribuzione.
Incertezza combinata : se tutte le misure affette da incertezza di tipo A sono acquisite con un numero di eventi
elevato si possono combinare le incertezze e utilizzare direttamente il fattore di copertura valido per una variabile a
distribuzione gaussiana. In generale vi sono procedure per la determinazione di queste incertezze pesando i
contributi delle varie misure e le loro incertezze.
Valutazione di uno strumento di misura
Occorre cercare di scomporre il sistema di acquisizione e individuare i singoli elementi in modo da caratterizzare
individualmente le possibili fonti di incertezza. Il processo di misura può essere suddiviso in:
-
dispositivi elementari (strumento generalizzato)
fasi distinte:
o calibrazione (di ogni elemento): vengono definite le caratteristiche di qualità di ciascuno in
termini di leggi ingresso-uscita e di incertezze;
o acquisizione dei dati: fase in cui si esegue l’attività di misura e si memorizzano i dati senza
ulteriore manipolazione. Si ha quindi utilizzo di sensori, strumenti di misure e singoli accessori e
si verificano gli effetti di installazione/carico/interferenza anche delle variabili non controllate;
o trattamento dei dati: si utilizzano manipolazioni numeriche necessarie per ridurre il risultato
richiesto.
Determinazione dell’incertezza combinata:
compatibili le incertezza di tipo A e B:
. Per poter applicare la combinazione, occorre rendere
-
se il contributo è di tipo A si usa la deviazione standard della media, quindi l’incertezza della media non è
estesa:
-
;
se il contributo è di tipo B occorre determinare una deviazione standard ipotizzando la densità di
probabilità corrispondente. In assenza di indicazioni si può assumere l distribuzione uniforme:
dove
è la semi-ampiezza del rettangolo corrispondente.
Mediante il teorema del limite centrale si può dimostrare che trattare l’incertezza standard combinata come una
grandezza a distribuzione gaussiana ed estesa con il coefficiente di copertura necessario per ottenere il livello di
confidenza richiesto,
, è valido indipendentemente dalla tipologia delle incertezze combinate o dalla
distribuzione assunta per le incertezze di tipo B.
CALIBRAZIONE E REGRESSIONE
La calibrazione è l’operazione che permette di mettere in relazione l’uscita di uno strumento con l’ingresso
attraverso l’impiego di una misura nota, certa e precisa dell’ingresso stesso. La calibrazione può essere:
-
Diretta, quando le uscite dello strumento vengono confrontate con ingressi noti (standard);
Indiretta confrontando le uscite con quelle fornite da uno strumento già calibrato(quando non si conosce
con esattezza l’ingresso). (L’accuratezza dello strumento utilizzato per confronto deve essere un ordine
superiore di quella dello strumento da tarare:
)
Modalità di prova : la calibrazione prevede l’applicazione di ingressi sull’intero campo di misura dello strumento. La
conoscenza dei fenomeni fisici coinvolti permette di valutare a priori quale metodo utilizzare. Gli ingressi possono
essere applicati in maniera sequenziale o casuale:
-
-
prova sequenziale prevede la variazione progressiva dell’ingresso sull’intervallo desiderato in salita (upscale) e in discesa (down-scale): ogni applicazione dell’ingresso consiste in un incremento/decremento
del precedente. Vantaggio prova: capacità di evidenziare effetti di isteresi.
prova casuale prevede la somministrazione degli ingressi in un ordine casuale, non prestabilito: ogni
applicazione dell’ingresso è indipendente dal precedente. Vantaggio: permette di minimizzare gli effetti
indesiderati come le interferenze sugli ingressi o l’isteresi.
Regressione di dati sperimentali : è pratica comune correlare dati mediante la regressione (fitting) di funzioni
matematiche, come polinomi di basso ordine o esponenziali. Una funzione comunemente utilizzata a questo scopo è
la retta: le regressioni lineari sono infatti molto spesso appropriate per l’interpretazione di dati. Spesso si cerca di
ricondursi a questo tipo di fitting.
Nel caso polinomiale generico, la funzione di regressione assume la forma:
,
che in forma matriciale:
L’errore per ogni punto è:
L’errore quadratico totale è:
; sfruttando la forma matriciale:
La procedura di regressione ai minimi quadrati prevede di minimizzare l’errore totale trovando il punto di
stazionarietà rispetto ai parametri
. Scriveremo quindi
matriciale:
in forma più compatta.
equazioni del tipo:
, che con la notazione
La matrice risolutiva ed il vettore di termini noti hanno una struttura ben precisa (sottintesa la sommatoria):
Altro modo di calcolare:
Per i diversi ordini avremo:
-
0
, ne consegue
Il valore medio di una serie è il valore che minimizza la somma degli scarti quadratici
-
1
, il procedimento consiste in
dove
-
2
Un indicatore sintetico della qualità della regressione è il coefficiente di regressione ottenuto come:
dove
da cui:
-
se tutti i punti giacciono sulla retta;
se i punti hanno una distribuzione casuale.
Una buona correlazione presenta un coefficiente di regressione superiore a 0.98.
Regressione lineare con trasformazione: le coordinate logaritmiche consentono la semplificazione
dell’interpretazione dei dati permettendo la visualizzazione degli stessi in forma rettilinea. Esaminiamo un’equazione
esponenziale:
. Applicando il logaritmo ad entrambi i termini otteniamo:
. Poiché
è una costante abbiamo ottenuto una relazione lineare tra e
. Eseguendo quindi il logaritmo
delle misure , otteniamo un problema di regressione nella forma lineare canonica:
con
e
.
Vi sono 3 possibili schemi operativi:
1) Regressione totale, utilizzando tutti i valori disponibili;
2) Regressioni indipendenti sui singoli cicli di scarico e valutazione dei valori medi e delle deviazioni standard
dei coefficienti di regressione (fornisce un’indicazione di incertezza per i coefficienti);
3) Regressione sui valori medi per ogni punto di ingresso (è la più coerente con la formulazione).
Risultati identici se i punti di misura sono gli stessi per tutti i cicli.
Operare una regressione su punti multipli non è corretto dal punto di vista teorico. Un approccio formalmente più
corretto potrebbe essere:
-
Ricondurre le misure multiple al loro valore medio e alla rispettiva incertezza;
Effettuare una regressione sui valor medi;
Propagare l’incertezza delle misure sui coefficienti della regressione.
Incertezze sui coefficienti di regressione: nella teoria alla base della regressione si assume che le misure non siano
affette da incertezza. Avendo a che fare con misure reali bisogna fare attenzione al loro propagarsi ai coefficienti
della regressione. La presenza di questi errori comporta la propagazione di un’incertezza sui coefficienti della
regressione lineare
. Assumendo che tutte le misure siano affette da incertezza , le incertezze sui
coefficienti della regressione sono date dalle seguenti espressioni:
La curva diventa:
, per cui la stima dell’uscita fornita dalla retta di regressione può
collocarsi in qualsiasi punto all’interno di una banda la cui ampiezza è minima allo zero e massima all’estremo
superiore.
Incertezza della Calibrazione: è opportuno utilizzare un campo simmetrico per la
regressione mediante un riferimento d’appoggio centrato sul campo di misure.
L’incertezza è minore nella zona centrale del campo di misura
Incertezze su misure x: l’errore dovuto ad una incertezza in x può essere trasformato in un
errore dovuto ad una incertezza equivalente in y semplicemente moltiplicandolo per il coefficiente di pendenza della
regressione lineare:
: incertezza y equivalente.
Incertezze su misure x e y: possiamo combinare le incertezza dei due casi separati ottenendo un’incertezza
equivalente per le misure in y:
Calibrazione e taratura
La taratura è l’insieme delle operazioni che stabiliscono, sotto condizioni specificare, la relazione tra i valori indicati
da uno strumento di misurazione, o da un sistema di misurazione, o i valori rappresentati da un campione materiale
e i corrispondenti valori noti di un misurando. È il procedimento che determina come i segnali di uscita degli
strumenti sono legati alle misure dei misurando e i valori nominali dei campioni materiali alle misure delle grandezze
da essi riprodotte. Lo scopo della taratura è quello di qualificare il sistema di misura, legando la grandezza di ingresso
con quella di uscita.
-
I dati vengono trascritti/registrati in tabelle
I dati registrati vengono elaborati mediante una regressione (lineare) in modo da ottenere la curva di
calibrazione in forma analitica:
La relazione viene risolta rispetto all’ingresso di misura. Il legame così definito è
chiamato curva di taratura dello strumento (utilizzata durante la misura):
.
La curva di taratura permette di ricavare la misura da assegnare al misurando per
ogni valore di lettura fornito da un dispositivo di misurazione. Tale curva è una
relazione biunivoca tra ogni valore fornito dallo strumento e il corrispondente
valore da assegnare al misurando.
Oltre alla curva di taratura può essere utile il diagramma di taratura per determinati valori delle grandezze di
influenza (ricavato a partire dalla curva di taratura con l’aggiunta della banda di incertezza). Permette di ricavare da
ogni valore di lettura fornito da un dispositivo, per misurazione e/o regolazione, la misura da assegnare al
misurando. Esso definisce una fascia di possibili valori del misurando corrispondenti ad un’uscita dello strumento. È
costituito da un intervallo la cui semiampiezza è l’incertezza strumentale, che rappresenta l’incertezza associata al
valore dato dalla curva di taratura per garantire la compatibilità della misura corrispondente alla lettura effettuata.
Passi del procedimento:
1) Acquisire le coppie di valori ingresso/uscita sull’intero campo di misura;
2) Mettere i punti in grafico;
3)
4)
5)
6)
Calcolare e mettere in grafico le deviazioni;
Calcolare e tracciare la retta di regressione;
Calcolare e mettere in grafico le deviazioni alla retta di regressione;
Calcolare e tracciare l’intervallo di confidenza.
Inserire i punti in un grafico permette di evidenziare comportamenti
anomali come punti discutibili o differenze di comportamento tra i vari cicli
di carico.
Linerità
Errore di linearità: valore massimo delle deviazioni delle misure dalla retta di regressione:
oppure
, dove è esteso alle sole curve di carico.
Isteresi : proprietà di un materiale di fornire valori di lettura diversi in corrispondenza di un medesimo misurando,
quando questo viene letto per valori crescenti e per valori decrescenti. Il valore dell’isteresi è la differenza dei valori
di lettura ottenuti in corrispondenza dello stesso misurando quando questo viene fatto variare per valori crescenti e
decrescenti.
Errore di isteresi: valore massimo delle differenze tra il valore di carico e scarico in corrispondenza di un punto di
misura (per cicli di carico e scarico regolari):
oppure
Ripetibilità: calcolo dell’intervallo di dispersione
per ciascun punto di carico a parità di modalità di presentazione
dell’ingresso. L’indicatore della ripetibilità dello strumento è
modalità di carico.
,
è il fondo scala, il cui risultato dipende dalla
Utilizzo degli strumenti : le regole di comportamento prevedono anche un controllo sulle condizioni ambientali
durante l’esecuzione della misura, corretto riscaldamento della strumentazione prima della misura, un’accurata
installazione per evitare sollecitazioni non volute, la corretta manutenzione e il corretto immagazzinamento quando
non utilizzato.
Azzeramento: insieme di operazioni compiute su un dispositivo di misura per imporre di fornire un valore di lettura
nullo, in corrispondenza ad uno stato di riferimento specifico del misurando.
Messa a punto (in un punto): insieme di operazioni compiute su un dispositivo di misura per ottenere determinati
valori di lettura in corrispondenza di particolari valori noti del misurando. Necessaria per mantenere il livello di
qualità generale.
Calibrazione periodica : le procedure di qualità richiedono una calibrazione periodica e di documenti che attestino il
livello di qualità stesso. Il documento di calibrazione deve contenere i riferimenti meteorologici, i dati rilevati e i
coefficienti della calibrazione con le relative incertezze. Periodicamente sono necessarie anche verifiche sulle
caratteristiche principali (ripetibilità, isteresi, ecc.).
SISTEMI DI ACQUISIZIONE DATI
Segnale analogico : può essere rappresentato mediante una funzione del tempo che gode delle seguenti
caratteristiche:
-
La funzione deve essere continua nel tempo )definita per ogni valore del dominio anche per istanti
temporali infinitamente vicini);
La funzione deve essere continua in valore (diminuendo l’intervallo temporale che seoara due valori la
loro differenza diminuisce regolarmente e con continuità)
Segnale digitale : è costituito da una funzione “tempo discreta” e “quantizzata”. Tale funzione risulta:
-
definita solamente in un insieme numerabile di istanti “equispaziati”;
dotata di un codominio costituito da un insieme discreto di valori:
.
Pregi dei segnali digitali:
-
-
-
Resistenza al rumore: maggiore robustezza ai disturbi rispetto ai segnali analogici. Questi ultimi, infatti,
sono costituiti da funzioni continue sensibili al rumore che determina una variazione del valore del
segnale, qualunque sia l’ampiezza e la potenza del rumore. I segnali digitali presentano un numero finito
di valori separati da una fascia “proibita”: se il rumore non ha ampiezza e potenza tali da determinare un
superamento della fascia proibita che separa due valori contigui non si riscontra alcuna alterazione del
valore.
Elaborazione: i segnali digitali possono essere elaborati più facilmente di quelli analogici poiché sono
intrinsecamente compatibili con i sistemi di calcolo. Per elaborare matematicamente i segnali analogici
si deve ricorrere a circuiti appositamente realizzati mediante i quali è possibile realizzare solo operazioni
relativamente semplici. I segnali numerici possono invece essere elaborati mediante microprocessori che
possono eseguire operazioni necessarie senza richiedere appesantimenti dell’hardware circuitale. Si
operano approssimazioni della codifica e dell’aritmetica in forma finita.
Registrazione: e registrati in maniera più fedele e stabile rispetto a quelli analogici.
La conversione A/D richiede tre fasi successive:
-
Campionamento – discretizzazione del tempo del segnale
Quantizzazione – discretizzazione dell’ampiezza
Codifica – uso di “parole” binarie per esprimere il valore del segnale.
Campionamento: campionare un segnale analogico significa prelevare da questo una successione temporale di valori
costituita dalla sequenza dei valori istantanei assunti dal segnale in corrispondenza di particolari valori di tempo detti
“istanti di campionamento” e il suo reciproco viene detto “frequenza di campionamento” . Un modello
matematico del campionamento può essere definito come prodotto del segnale con una serie di funzioni di
campionamento :
. Il risultato è una serie di valori corrispondenti
all’ampiezza del segnale nell’istante del campionamento
Teorema del campionamento : per campionare al meglio il segnale occorre fissare una frequenza di campionamento
in modo da ridurre gli errori che inevitabilmente si compiono. Il campionamento infatti provoca una perdita di
informazioni del segnale analogico sul valore assunto in tutti gli istanti di tempo diversi da quelli di campionamento.
Il teorema detta le condizioni perché non si abbia una perdita di info: se un segnale è campionato con una frequenza
almeno doppia rispetto al suo massimo contenuto in frequenza il campionamento non introduce errori:
.
Campionando a frequenza
la banda di frequenza ammissibile è
. Si identifica quindi la frequenza di Nyquist
come .
Aliasing : se il criterio non fosse rispettato, si incorrerebbe nel fenomeno di aliasing, dove il contributo energetico
delle frequenze per le quali il teorema di campionamento non è rispettato appaiono a frequenza inferiore e si
confondono con quelle presenti in quella parte dello spettro. In questo caso si parla di sottocampionamento.
L’aliasing si manifesta anche nel dominio delle frequenze: il picco della sinusoide appare ad una frequenza inferiore a
quella reale. Risultano delle frequenze che non esistono realmente nella banda delle frequenze ammissibili, ma sono
le immagini (alias) delle stesse componenti al di fuori della banda stessa. In assenza di un termine di confronto, non
si è in grado di dire se quello che si visualizza sia reale o apparente, per questo bisogna cercare di evitare l’aliasing.
Ogni componente armonica per cui non valga il teorema del campionamento è soggetta ad aliasing. L’effetto è però
diverso per segnali a frequenza diversa e su uno stesso segnale varia con la frequenza di campionamento. Se non si
conosce completamente e a priori lo spettro del segnale non si può prevedere l’alterazione della frequenza e in ogni
caso non è possibile rimuovere l’effetto di aliasing.
Consideriamo una generica sinusoide. Si può esprimere la frequenza in multipli della frequenza di Nyquist:
dove
verificato) e
due fattori
è un numero intero (nullo se il teorema del campionamento è
è un numero frazionario. La sinusoide campionata diventa:
. Siccome e sono numeri interi
. Si distinguono due casi:
per ogni valore intero dei
-
Se
è un numero pari,
per ogni valore assunto da
dove la frequenza apparente
-
rappresenta una retta di
frequenza con la pendenza corretta ma traslata di
Se è un numero dispari,
dipendente dal valore di
dove la frequenza apparente
ridotta e cambiata di segno.
rappresenta una retta con pendenza
Teoremi di convoluzione
Si può vedere il campionamento come il prodotto nel tempo della funzione originale
per una sequenza di
impulsi di campionamento
. Bisogna quindi ragionare sui fattori che concorrono nel mantenere o modificare la
frequenza della funzione prodotta. In questo modo si può giustificare razionalmente il fattore che dimezza la banda
osservabile rispetto a quella di campionamento. La trasformata di Fourier di un segnale e la sua anti trasformata
sono date da:
. Si può ricorrere al teorema di convoluzione per dimostrare quanto detto
sopra e capire se e quando lo spettro di una funzione campionata corrisponde a quello della funzione continua
originaria, almeno per la zona di interesse.
Teorema della convoluzione : la trasformata di un segnale campionato è data dalla convoluzione della trasformata
del segnale continuo e di quella della funzione di campionamento. Possiamo dunque affermare che:
Teorema della convoluzione in frequenza : il prodotto di due funzioni nel tempo ha come trasformata la
convoluzione delle rispettive trasformate:
dove
. La convoluzione
prevede l’integrale del prodotto delle due funzioni una volta che una di esse sia stata ritardata in frequenza della
quantità e ribaltata rispetto all’asse delle frequenze. Il risultato è indipendente dalla scelta della funzione sulla
quale far agire le due operazioni menzionate.
Teorema della convoluzione nel tempo : il prodotto di due funzioni in frequenza ha come anti trasformata la
convoluzione delle rispettive storie temporali:
dove
Sintesi : la risposta
di un sistema lineare caratterizzato dalla funzione di trasferimento
, a sua volta
trasformata della risposta impulsiva
, ad una forzante
, è data dall’antitrasformata del prodotto
, o in alternativa dalla convoluzione della risposta impulsiva e delle storia
temporale del carico:
.
Metodi per evitare l’aliasing : il fenomeno dell’aliasing non è rimuovibile e pertanto deve essere evitato a priori,
infatti i filtri che si possono utilizzare possono elaborare il segnale ma non influire sull’aliasing. Vi sono 2 modi per
evitare il fenomeno:
-
Alzare la frequenza di campionamento fino a rispettare il teorema del campionamento (sempre che il
segnale sia a banda limitata)
Inserire un filtro passa-basso a monte del convertitore A/D in modo da creare artificialmente una banda
limitata
Sovracampionamento : serve solo se il trasduttore utilizzato ha banda passante limitata. Alcuni trasduttori
presentano caratteristiche dinamiche analoghe a quelle di un filtro passa-basso (strumenti con smorzamenti che
arrivano vicino a quello critico). Se il campionamento avviene ad una frequenza più alta di quella propria del
trasduttore il segnale sarà automaticamente limitato in frequenza dalla banda passante del trasduttore stesso.
L’eccesso di campionamento può essere rimosso mediante una decimazione della storia temporale…
Filtraggio : prevede l’utilizzo di filtri passa-basso, chiamati filtri anti-aliasing che attenuano tutte le armoniche del
segnale superiori ad una frequenza caratteristica, detta frequenza di taglio. Questa deve essere definita con
attenzione in funzione delle caratteristiche del filtro, del segnale da acquisire, dell’intervallo di frequenze di interesse
e le caratteristiche del sistema di acquisizione, compresi i condizionatori. Si assume come frequenza di Nyquist
quella per cui il contributo armonico sia ridotto ad un livello assegnato confrontabile con il rumore che caratterizza il
sistema di misura. Due tipologie di problemi:
-
Regolato il filtro, determinare la frequenza di campionamento per evitare aliasing;
Trovare la frequenza, multipla di quella di taglio, a partire dalla quale si può ritenere di aver cancellato i
contributi armonici.
Un filtro ideale ha pendenza costante dopo la frequenza di taglio, ma ciò è irreale. Il segnale in uscita non potrà
avere ampiezza inferiore al rumore dello strumento e diventerà circa costante. Non ha senso campionare con
frequenze troppo elevate perché il contributo armonico del segnale filtrato sarebbe sostituito da rumore. In più,
possono essere presenti rumori non causati da filtro ma da elementi precedenti, maggiormente visibili se il filtro è di
ottima qualità. Scelta la frequenza di taglio, nota la retta di attenuazione e l’attenuazione richiesta, sarà opportuno
scegliere come frequenza di Nyquist l’intersezione del segmento attenuante con la retta orizzontale ad attenuazione
pari a
del rapporto
per cui:
. Il contributo armonico residuo darà origine ad aliasing
ma la sua ampiezza sarà trascurabile e dell’ordine del rumore. La frequenza di campionamento sarà ovviamente:
.
Finestra di osservazione : se si osserva un fenomeno per passi di campionamento, la finestra di osservazione è
ed equivale ad applicare al segnale una finestra uniforme avente valore unitario nel periodo di osservazione e nullo
all’esterno. Il numero di campionamenti della storia è pari ad . Il contenuto in frequenza è dato dalla forma digitale
della trasformata di Fourier che è anch’essa definita da valori complessi. La trasformata di un segnale reale è
simmetrica per la parte reale e antisimmetrica per quella immaginaria ed è definita per un campo di frequenze
–
definita in base alla frequenza di Nyquist. Tra lo e
si hanno punti spaziati in frequenza di:
. L’inverso del tempo di osservazione fornisce la distanza tra i picchi della trasformata
digitale, quindi la risoluzione in frequenza:
. Esiste un legame tra
la frequenza di acquisizione e il passo in frequenza della trasformata:
trasformata si semplifica:
con
e
l’espressione della
.
Aumentando la frequenza di campionamento si allarga la band di frequenze osservabili. Aumentando il tempo di
osservazione (a parità di frequenze di campionamento) aumenta la risoluzione in frequenza.
Anche in questo caso si può ricorrere al teorema della convoluzione moltiplicando il segnale campionato con la
funzione che descrive la finestra di osservazione. La base della campana è inversamente proporzionale alla lunghezza
della finestra di osservazione. Aumentare la dimensione della finestra temporale comporta la riduzione della base e
l’incremento dell’altezza del lobo principale.
Supponendo di avere una funzione sinusoidale correttamente campionata e osservata, la trasformata si ottiene
associando quella del segnale campionato con quella della funzione di finestratura. L’effetto risultante è la
riproduzione su ciascun picco della trasformata della funzione finestra.
L’energia associata ad una frequenza viene distribuita su un intervallo di frequenze tanto più ampio quanto più breve
del è la finestra di osservazione: questo è il fenomeno del Leakage, che non si presenta solo per le sinusoidi con
periodicità sottomultiplo intero del periodo di osservazione.
Leakage : rimedio costituito dall’uso di finestre temporali sul segnale misurato, in modo da ridurre il fenomeno ma
non eliminarlo del tutto. Le finestre comunemente utilizzate hanno equazioni nella forma:
. Il problema non è trascurabile poiché tutte le armoniche subiscono questo effetto distribuendo
l’energia su una banda di frequenza più ampia. Si commettono quindi errori sia nell’identificazione delle frequenze
dei picchi che nel loro smorzamento. L’effetto è noto anche con il nome di Smearing. Per i transitori il problema è
meno sentito a patto di utilizzare una finestra di osservazione abbastanza lunga da contenere tutto il fenomeno. In
questo caso bisogna però utilizzare delle finestre di tipo esponenziale.
Discretizzazione della frequenza : l’utilizzo di uno spettro equivale ad effettuare un campionamento del dominio
delle frequenza. Supponendo di avere una storia temporale (discreta e a banda limitata), ottenuta campionando un
segnale non periodico, il corrispondente spettro, a differenza di quello originale, sarà infinto e periodico (discreto in
frequenza). Per analizzare gli effetti della digitalizzazione in frequenza occorre applicare il teorema di convoluzione
nel tempo, avendo infatti il prodotto nel dominio delle frequenze. Nel tempo la convoluzione replica la funzione in
corrispondenza di tutti i picchi a distanza pari al tempo di osservazione: la funzione è quindi periodicizzata. La
periodicizzazione nel tempo è quindi un fenomeno duale rispetto alla replica delle immagini in frequenza a seguito
del campionamento. In questo caso però non c’è pericolo di un fenomeno come l’aliasing in quanto le descrizioni dei
due domini e dei due processi di discretizzazione sono coerenti, tuttavia resta il problema della continuità della
funzione.
Quantizzazione
Con una proporzione tra un campo di valori in ingresso e uscita è possibile effettuare la quantizzazione e
intrinsecamente richiedere dei limiti per i valori in ingresso e uscita. Da una parte si avranno il valore minimo e
massimo della tensione in ingresso, dall’altra il numero binario minimo e massimo il uscita. Sono disponibili due
alternative:
-
Campo unipolare
o Ingresso: estremo inferiore nullo ed estremo
superiore
o
-
Uscita:
Campo bipolare
o Ingresso: estremo inferiore –
superiore
ed estremo
(simmetrico)
o
Uscita:
Il campo di misura viene suddiviso in un numero finito di intervalli contigui. Si possono avere due alternative
principali:
-
Suddivisione in intervalli di ampiezza costante: quantizzazione uniforme
Suddivisione in intervalli di ampiezza diverse: quantizzazione NON uniforme
La quantizzazione consiste nell’attribuzione del segnale ad un livello tra quelli disponibili, quindi tutti i valori
compresi tra i due estremi dell’intervallo verrà assegnato un singolo numero binario. Questo comporta un limite di
risoluzione. Il numero di intervalli in cui suddividere il campo di misura è arbitrario, ma per consuetudine, operndo
con sistemi binari, si adotta un valore di potenza di 2 in ragione del numero di bits utilizzati per la codifica del
segnale.
Incertezza di quantizzazione : tutti i valori che rientrano nell’intervallo
vengono associati ad uno stesso
valore digitale e la misura così ottenuta è affetta dall’errore di quantizzazione e ha come valore massimo metà del
quanto:
. La distribuzione di probabilità è uniforme. L’incertezza può essere ridotta riducendo il
campo di misura o aumentando il numero degli intervalli in cui questo viene suddiviso. Essendo costante, assume un
peso relativo più o meno importante a seconda del valore della misura: tanto più piccola rispetto al fondo scala
tanto maggiore è il valore dell’incertezza relativa di quantizzazione. Per cercare di contenere l’incertezza di
quantizzazione a livelli accettabili si possono utilizzare quantizzazioni non uniformi:
-
Quantizzazione uniforme: l’errore relativo dell’incertezza non è uniforme sul campo di misura;
-
Quantizzazione non uniforme: l’errore relativo dell’incertezza è uniforme sul campo di misura.
Risoluzione : l’incertezza di quantizzazione corrisponde alla risoluzione, cioè la minima variazione della grandezza in
ingresso apprezzabile da quantizzatore. Corrisponde al valore del bit meno significativo e viene detta “least
significant bit” (LSB). La risoluzione tende a crescere all’aumentare del numero di bits a parità di campo di misura…
Un altro problema tipico è costituito dalla presenza nel segnale di un valore costante che obbliga ad adeguare il
fondo scala al valore massimo. La componente costante può essere rimossa con un opportuno circuito di
condizionamento analogico: un filtro passa-alto che rimuova solo la componente costante (modalità AC) o un
circuito di offset per aggiungere/togliere una tensione costante pari al valore medio del segnale. Si preferisce la
prima soluzione. Togliendo la parte costante si fa in modo che la risoluzione operi solamente sulla parte dinamica del
segnale. Naturalmente un alto numero di bits risolve a monte il problema.
Conversione di unità fisiche : alla codifica deve sempre essere applicata la relazione di conversione, basata sul fondo
scala, per associare alle ordinate il valore fisico della misura di tensione corrispondente:
. Si determina la misura in unità fisiche mediante l’utilizzo del coefficiente di
taratura:
. Ci sono diversi motivi per cui il funzionamento di un convertitore AD si
discosta da quello nominale, come le imperfezioni nella realizzazione del convertitore DA che produce il segnale di
confronto. Se la risoluzione del convertitore è elevata e la quantità della componentistica buona, la differenza tra la
funzione a gradini e quella nominale è piccola. L’ampiezza della fascia di non linearità definisce il massimo
scostamento della caratteristica reale da una retta. In presenza di forte non linearità differenziale un gradino può
essere totalmente assorbito da quelli adiacenti, in questo modo il codice relativo al gradino scomparso non sarà
presente all’uscita.
Tempo di quantizzazione : i circuiti AD richiedono un tempo finito per completare la loro funzione e quindi la
conversione ha inizio al tempo
e finisce dopo
secondi. Durante questo tempo è indispensabile che il segnale
da convertire presenti delle fluttuazioni minime, altrimenti potrebbe rendere imprecisa o addirittura impossibile la
conversione stessa. Per eliminare questo problema si utilizza un dispositivo che congela il segnale per il tempo
necessario al completamento della quantizzazione: il mantenitore o sample/hold. Il circuito mantiene in uscita il
valore del segnale nell’istante nominale di campionamento utilizzando un condensatore come dispositivo di
memorizzazione. Il sistema di acquisizione viene programmato in modo che il circuito S/H si attivi subito prima del
convertitore “memorizzando” la tensione. Questa verrà poi inviata al convertitore mediante la scarica del
condensatore. Dopo la chiusura del circuito occorre attendere la completa ricarica prima di poter riattivare il
mantenimento. A questa circuiteria sono legati dei problemi dovuti alla progressiva perdita di carica del
condensatore che porta ad una caduta di tensione in uscita.
Codifica : consiste nell’associare ad ogni intervallo in sui è stato suddiviso il campo di misura un codice binario che lo
identifichi univocamente. Il numero di bits determina il numero massimo di intervalli in cui è possibile suddividere il
campo, pertanto influisce sulla risoluzione e quindi sull’entità dell’incertezza di quantizzazione.
Convertitori
Convertitore A/D o ADC : è l’elemento fondamentale di qualsiasi sistema di acquisizione dati: con una cadenza
temporale fissata esegue l’operazione di Conversione (quantizzazione+codifica). Le caratteristiche principali sono:
-
Risoluzione (numero di bits, errore di quantizzazione)
Velocità (tempo di conversione dal dato analogico al digitale)
Fondo-scala (dinamica di ingresso, unipolare/bipolare)
Il convertitore può essere visto come un sistema costituito da 4 elementi principali:
-
un convertitore DA con ingresso a bits che rende in uscita un segnale analogico il cui valore è
proporzionale al prodotto tra il valore numerico posto al suo ingresso e il quanto;
una unità logica di controllo che può variare il valore numerico secondo una particolare strategia;
un generatore di tensione campione;
un comparatore.
CONVERTITORE A/D INTEGRATORE: La strategia di ricerca più semplice è quella di un contatore. All’inizio della
conversione l’Unità Logica di controllo (ULC) dispone gli N bits della parola al valore nullo e avvia un ciclo di
passi durante il quale incrementa il contatore in ingresso al convertitore DA. Ad ogni passo la ULC esegue le seguenti
operazioni:
-
Incrementa di 1 il contatore (integra);
Genera l’uscita analogica corrispondente;
Se la differenza tra la tensione prodotta e quella da misurare è al disotto della soglia del comparatore
(data dall’errore di discretizzazione) il ciclo si conclude e la parola binaria viene memorizzata.
CONVERTITORE A/D AD APPROSSIMAZIONI: Più efficiente è il convertitore a successive approssimazioni che opera
mediante una ricerca binaria del valore attuata a passi sempre più fini. All’inizio della conversione l’Unità Logica di
Controllo (ULC) dispone gli N bits della parole al valore nullo e avvia un ciclo di N passi che scandisce i bits a partire
da quello più significativo (MSB). Ad ogni passo la ULC esegue le seguenti operazioni:
-
Pone ad 1 il bit corrispondente al ciclo;
Verifica se la tensione prodotta da un DAC a fronte della parola binaria;
Se la tensione di riferimento risulta superiore lascia il bit al valore 1, altrimenti lo mette a 0;
Alla fine del ciclo la parola binaria è completa
CONVERTITORE A/D ISTANTANEO: Il convertitore flash opera come circuito quantizzatore/codificatore. Il dispositivo
può essere costituito da un partitore resistivo che genera le tensioni corrispondenti agli estremi degli intervalli in cui
è stato suddiviso il campo di misura, da una schiera di comparatori analogici e da una rete che ha il compito di
eseguire la codifica del valore di uscita. Funzionamento: la sequenza di resistenze realizza una caduta di tensione
progressiva. Queste tensioni vengono confrontate dalla schiera di comparti tori con la tensione da misurare,
ottenendo un valore “alto” o “basso”. I due compartitori con uscita discorde sono a cavallo della misura: la misura
infatti ricade nell’intervallo delle tensioni di codifica corrispondenti alla loro posizione nella schiera. La rete
combinatoria ha il compito di codificare tale informazione nel formato binario prescelto. Questi convertitori sono in
grado di fornire le prestazioni più elevate, ad un costo ovviamente più elevato; data la complessità dello schema non
può avere una risoluzione troppo alta (tipicamente 4-8 bits)
CONVERTITORE D/A
Consente di generare un segnale continuo nel tempo, ma sempre discreto per ampiezza, a partire da un numero
binario. Può essere costituito da un sommatore che combina tanti segnali quanti sono i bits del convertitore,
ciascuno pesato con il rapporto tra una opportuna resistenza di canale e una resistenza di controreazione (se il bit è
nullo il circuito è aperto). Per avere un comportamento lineare servono resistenze correttamente scalate.
CONVERTITORE D/A A SCALA DI RESISTENZE: è composto da resistenze tutte uguali (anziché di peso relativo ).
Questa architettura rende possibile una maggiore precisione del convertitore e quindi anche del convertitore AD nel
quale venga inserito.
Sistema di acquisizione dati : utilizzano la componentistica descritta per consentire l’acquisizione multicanale. I
componenti principali sono:
-
convertitore AD;
circuito di amplificazione;
multiplexer (commutatori di canale);
circuito di memoria SH. Anche filtri anti aliasing etc.
Questi elementi possono essere organizzati in architetture diverse per ottenere possibilità operative e prestazioni
differenti. Due soli elementi restano in posizioni prestabilite: il trasduttore (primo) e il convertitore AD (ultimo). Il
filtro anti-aliasing (AA) deve operare su un segnale di analogia con l’ingresso quindi prima di elementi che ne
modifichino la storia temporale. L’hardware AD è fisicamente disgiunto dal computer che svolge i compiti di
programmazione, memorizzazione, visualizzazione e manipolazione.
Sono possibili collegamenti a Bus interno (schede acquisizione dati) o a collegamento esterno (con protocolli di
comunicazione).
Vantaggi del primo:
-
costo e dimensioni contenuti in quanto il dispositivo di acquisizione non necessita né un proprio
contenitore né una propria alimentazione (fornita direttamente dal PC);
maggiore velocità di trasferimento dati dall’acquisizione al PC.
Vantaggi del secondo:
-
completa indipendenza dei sottosistemi;
possibilità di misure remote.
Multiplexer (MUX) : permette di mettere in continuità elettrica uno degli interessi di un sistema multicanale con
l’unica linea in ingresso al convertitore analogico/digitale. Collega ciclicamente un ingresso con l’uscita seguendo una
temporizzazione programmata che consente l’acquisizione multicanale. Il circuito SH e quello amplificatore possono
essere posizionati indifferentemente prima o dopo il MUX, mentre il filtro AA (uno per canale) deve essere
posizionato prima. Vi è la possibilità di adeguare il condizionamento al singolo canale senza perdere tempo se
l’amplificatore viene posto a monte del MUX (anziché a monte del convertitore).
Acquisizione multicanale : con la struttura precedentemente descritta si ha un ritardo tra l’acquisizione di un canale
e quello successivo pari alla somma dei tempi di conversione e di commutazione del Multiplexer. Il collegamento
sequenziale dei canali in ingresso con un unico convertitore comporta un ritardo progressivo nell’acquisizione. Per
effettuare misure contemporanee su tutti i canali ci sono due tecniche:
-
scheda SH e AD per ogni canale;
scheda a soli SH multipli prima del MUX ad attivazione contemporanea.
Metodi di ingresso : le schede spesso presentano due modalità di utilizzo: differenziale e a riferimento unico. Se la
scheda è di quest’ultimo tipo allora tutti i segnali che gli vengono collegati devono condividere la stessa linea di
terra. Può risultare più conveniente misurare la differenza tra le due linee, alta e bassa, del segnale di ingresso,
usando così la modalità differenziale. LA presenza di un rumore fluttuante o di un offset stazionario, comune alle due
linee, viene cancellata dal segnale prima della lettura da parte dell’AD. Tuttavia questa modalità riduce (dimezza) il
numero di ingressi disponibili.
Software : ogni componente della scheda di acquisizione deve essere istruito su come e quando fare le operazioni
richieste. I comandi vengono comunicati alla scheda mediante la scrittura di codici particolari in apposite posizioni
della memoria, dette registri.
ANALISI IN FREQUENZA
L’analisi in frequenza è utile perché:
-
semplifica i problemi;
si ha una distribuzione delle energie lungo lo spettro;
si possono individuare segnali di piccola ampiezza, specialmente a frequenze elevate. Ciò significa che si
ha la necessità di utilizzare schemi opportuni per recuperare sensibilità alle frequenze elevate.
Trasformata di Fourier : permette di scomporre un segnale nelle sue due componenti armoniche. L’integrale di
Fourier definisce la trasformazione più generale tra tempo e frequenza:
Il contenuto di informazioni passa inalterato attraverso questa trasformazione e quindi può essere invertita:
. Le funzioni coinvolte sono continue, complesse e infinite nel tempo e
nella frequenza anche se tipicamente si rappresentano in
.
Condizioni di esistenza:
-
, sufficiente ma non necessaria
e
con
decrescente per crescente.
Se almeno una di queste condizioni è soddisfatta è possibile trasformare
in
e viceversa.
La trasformata di Fourier è un potente mezzo per l’analisi dei segnali permettendo di risolvere un problema
analiticamente più semplice di quello originale. L’integrale è la generalizzazione del concetto di serie dal discreto al
continuo, la serie può pertanto essere vista come un caso particolare dell’integrale. Di seguito ci si limiterà a trattare
funzioni temporali reali. Il contenuto in frequenza, cioè la serie o l’integrale di Fourier, è una funzione complessa
della frequenza, discreta la prima, continua la seconda.
Rappresentazione : vi sono vati tipi di rappresentazione:
-
Re/Im vs frequenza;
Im vs Re (diagramma di Nyquist);
Ampiezza/fase vs frequenza
dove l’ampiezza è
e la fase
. Normalmente in
quest’ultimo caso si rappresenta il semipiano a frequenze positive. Se si vuole mantenere l’integrale sotteso dalla
curva (energia) occorre raddoppiare il valore dell’ampiezza.
Derivazione : Si può dimostrare che c’è una relazione tra la trasformata di una variabile e la sua derivata:
. Questa proprietà può essere applicata ai sistemi dinamici di tipo
che in frequenza
assumono questa forma
. Ne risulta un’equazione facilmente risolvibile per ogni frequenza
di definizione del carico esterno, non occorre integrare le equazioni di equilibrio dinamico ma risolvere una serie di
sistemi lineari a coefficienti complessi. Il generale un sistema dinamico lineare si scrive con una relazione ingressouscita, introducendo la funzione di trasferimento del sistema
. Si ricorda che la trasformata di Fourier coincide
con l’intersezione della trasformata di Laplace con il piano immaginario, o parte reale si s nulla:
.
La funzione di trasferimento non è altro che la risposta ad un ingresso unitario in frequenza, quindi è la trasformata
della risposta temporale ad una forzante impulsiva.
Distribuzione di energia
: la rappresentazione in scala logaritmica in frequenza rispetto a quella
temporale permette di evidenziare le armoniche superiori e il loro rapporto con la frequenza fondamentale,
altrimenti scarsamente apprezzabili.
Serie di Fourier : si può usare su una funzione continua e periodica nel dominio del tempo la cui trasformata diviene
infinita e discreta nel dominio della frequenza con passo
:
Trasformata discreta : si applica ad una funzione periodica e discreta nel dominio del tempo la cui trasformata nel
dominio della frequenza (
) e periodica (di periodo
):
oppure
Trasformate notevoli :
La trasformata di una funzione scatola (finestra di osservazione) nulla all’esterno dell’intervallo –
all’interno e agli estremi ha la seguente forma:
di valore
che risulta essere una funzione
smorzata, continua, infinita ad ampiezza decrescente. I punti di zero sono equispaziati, il primo è ad una frequenza
pari all’inverso della dimensione temporale della scatola.
Considerazioni nel campo complesso : la trasformata può essere vista sotto forma di vettori controrotanti complessi:
. Il termine esponenziale che compare
all’interno dell’integrale nella trasformata corrisponde ad una rotazione. Essendo negativo, per pulsazione positiva,
equivale ad una rotazione all’indietro di un angolo pari a quello spazzato da un segnale di periodicità/frequenza .
Se nel segnale
c’è una componente di periodicità la rotazione uguaglia l’angolo percorso dall’origine del
tempo, il segnale viene quindi riportato ad una fase coerente con quella iniziale e l’integrale porta all’ampiezza. Per
componenti con periodicità diversa la rotazione porta ad una fase non coerente con quella iniziale e l’integrale è
nullo.
Algoritmo digitale : normalmente si esamina il semi spettro a frequenze positive. Per la rappresentazione occorre:
-
Generare la base di frequenze discrete;
Scalare le ampiezze della trasformata in modo da renderla indipendente dal numero di acquisizioni
Recuperare l’energia dello spettro moltiplicando per 2 i coefficienti delle frequenze non nulle.
L’algoritmo è indipendente da tutti i parametri di acquisizione quali il passo temporale, il numero di punti o la
risoluzione in frequenza. In realtà la trasformata si applica a due domini generici. La funzione continua
corrispondente alla trasformata digitale è la densità spettrale che si ottiene dividendo i dati con il passo di
discretizzazione della frequenza.
Slow Pourier Transform (SFT) :
. Il calcolo della trasformata discrete
equivale al prodotto di una matrice di rotazione per il vettore dei dati:
. L’ampiezza di ogni rotazione è definita dal prodotto degli indici di tempo e frequenza
. La matrice dei termini risulta essere simmetrica. Le rotazioni sono a modulo 360°, cioè si
ripetono, quindi le rotazioni che compaiono nella matrice si ripetono anch’esse. Se ne notano un numero diverso
pari al numero dei dati in ingresso. Questa considerazione è alla base degli algoritmi veloci di trasformazione.
TRASDUTTORI
I trasduttori sono una parte essenziale di un sistema di misura. Per la realizzazione di un trasduttore è necessario
sfruttare un principio fisico di trasformazione di energia, cioè una conversione di forma energetica da quella
originale ad una più conveniente da elaborare. Le forme disponibili di energia sono: acustica, chimica, elettrica,
magnetica, meccanica, nucleare, ottica, termica. I principi più comunemente utilizzati nell’ambito delle misure
meccaniche sono:
-
Variazione di resistenza;
Induttanza;
Capacità;
Piezoelettricità.
Misure di resistenza : per un filo di materiale conduttore si definiscono:
-
resistività specifica;
lunghezza specifica;
sezione.
La resistenza elettrica è esprimibile come:
. Avendo a disposizione un generatore di corrente calibrato ed un
misuratore di tensione si è in grado di misurare la resistenza del filo. Attraverso una misura differenziale di resistenza
si possono quindi rilevare variazioni di resistività del materiale, lunghezza e sezione del filo prodotte da un fenomeno
qualsiasi.
Variazione di resistività : la resistività varia con diversi parametri, risulta quindi difficile isolare l’effetto di interesse.
Eventuali variazioni dovute a questo effetto dovranno essere tenute in conto.
Variazioni di sezione : la variazione di sezione avviene sotto carico, ma la strizione della sezione è un effetto
secondario, quindi non è il metodo migliore per ottenere un’elevata sensibilità. Quando presente se ne può tenere
conto.
Variazione di dimensione : la variazione di lunghezza può essere dovuta a una modifica della geometria per
spostamento relativo (potenziometro) o a una deformazione (estensimetro).
Variazione di resistenza per partizione : la variazione della geometria determina lo spostamento di un contatto
mobile su una piastra resistiva. La resistenza ai capi di uscita dipende in maniera lineare dalla posizione della slitta.
Questo principio viene sfruttato per realizzare i potenziometri, tuttavia nelle realizzazioni pratiche non è detto che il
legame resistenza/posizione sia perfettamente lineare:
. Risulta più pratico ai fini della misura di tensione
utilizzare il potenziometro come partitore di tensione:
. Lo zero (posizione con uscita nulla) è ad un estremo.
Per il potenziamento lineare la tensione in uscita varia linearmente con la posizione, la linearità è garantita in termini
differenziali:
. Vi sono però dei problemi di carico in uscita.
Variazione di resistenza : differenziando l’espressione della resistenza e rapportando il risultato al valore nominale
si ha:
. Il termine
del carico. Se la deformazione longitudinale è
conduttore a sezione circolare di diametro nominale
è dato dalla strizione conseguente l’applicazione
. Se per semplicità si assume un
dopo la trasformazione il diametro sarà:
.
Da queste espressioni si ricava il termine che viene espresso in termini finiti anziché differenziali:
, trascurando gli infinitesimi del secondo ordine. La variazione di resistenza percentuale può quindi essere
scritta come:
. La strizione aumenta la sensibilità del filo alla deformazione imposta. Si può
definire il fattore di sensibilità del sensore di deformazione come rapporto tra le variazioni di resistenza percentuale
e la deformazione:
, pertanto si può esprimere la variazione di resistenza percentuale
come
. Il fattore di sensibilità è una caratteristica del materiale e per quelli più comunemente utilizzati per il
rilievo di deformazioni varia da 2 a 4 (semiconduttori hanno valori maggiori). In assenza di una variazione della
resistività (quindi a temperatura costante)
. Risulta però problematico misurare la deformazione
attraverso una misura differenziale di resistenza.
Misure di capacità : i trasduttori capacitivi rilevano la capacità di un condensatore a seguito del movimento relativo
delle armature, quindi possono essere impiegati sia per la trasduzione dello spostamento che della grandezza che lo
determina, oltre che per identificare il dielettrico frapposto:
dove è la capacità, è la costante
dielettrica dell’aria, è la costante dielettrica del materiale frapposto tra le due armature, è l’area delle armature,
è la distanza tra le due armature. Le principali caratteristiche di questi sistemi di misura:
-
il sistema risponde al movimento medio degli elettrodi;
non è necessario avere contatto tra sensore e sistema, le forze esercitate sono rigorosamente
trascurabili;
libertà nella scelta del dielettrico in relazione alle applicazioni specifiche;
la variazione percentuale della capacità può essere facilmente resa grande;
nel caso di sensori di spostamento, bassa sensibilità trasversale e fondo scala limitati (effetti di bordo sul
flusso);
il livello di rumore è molto basso e il rapporto segnale/rumore è ottimo (alta risoluzione);
banda passante elevata;
la tecnologia è a basso costo, stabile e non richiede complessi circuiti di condizionamento.
Nelle applicazioni di acquisizione di profili la dimensione del sensore determina la risoluzione spaziale (più sottile
meglio è).
Induzione magnetica : il flusso magnetico prodotto da un magnete permanente, montato su un equipaggio mobile,
accoppia il campo elettrico prodotto da un circuito primario, opportunamente alimentato, con due avvolgimenti
secondari. In questi vengono indotte delle tensioni secondarie dipendenti dalla posizione del magnete permanente.
Piezoelettricità : i piezoelettrici sono materiali, naturali o sintetici, che presentano un’asimmetria nella struttura
elettrica, possono esibire un comportamento piezoelettrico diretto e inverso. L’effetto piezoelettrico diretto si ha
quando la deformazione determina la produzione di cariche e se questa è prodotta da forze esterne, la produzione di
materiale ne determina la contrazione. L’effetto piezoelettrico inverso invece si ha quando una tensione applicata al
materiale ne determina la contrazione. Se il piezoelettrico è vincolato ad una struttura vi esercita delle forze
distribuite lungo i bordi, permettendo di esercitare un’azione di controllo sulla struttura; se no bilanciate
introducono un momento che permette di controllare la flessione. Il legame costitutivo esteso nelle ipotesi di
linearità è:
dove
sono i tensori si sforzo e deformazione in forma vettoriale,
il vettore di campo e spostamento elettrico,
la matrice costitutiva elastica valutata a campo elettrico
costante,
la matrice di caratterizzazione piezoelettrica (permettività elettrica),
la matrice delle costanti
dielettriche valutata a deformazione costante. Gli apici indicano rispettivamente che le matrici sono state valutate
con campo elettrico costante (elettrodi cortocircuitati) e a deformazione costante (struttura vincolata). Il legame
costitutivo generalizzato prevede l’uso di termini elettrici oltre a quelli meccanici vi sono diverse forme del legame.
Per la misura di forze e deformazioni di solito si utilizza
. Un materiale piezoelettrico molto
diffuso è lo PZT che ha modulo elastico di circa
e densità di
. Un piezoelettrico come il PVDF ha un
modulo elastico molto ridotto, circa
e una densità di
. Il coefficiente piezoelettrico di attenuazione è
inferiore ai materiali piezoelettrici ma quello di sensibilità è superiore. Sono estremamente sottili e sono disponibili
solamente i modi longitudinali e trasversali. I piezoelettrici presentano un’uscita di carica elevata in rapporto alle
deformazioni che rimangono molto piccole. Trovano largo impiego per applicazioni dinamiche con intervallo di
misura molto esteso, tipicamente dell’ordine di
. Si trovano invece poco adatti per misure statiche in quanto
la carica generata dall’applicazione del disturbo decade nel tempo con una costante di scarica che dipende dal
piezoelettrico stesso o dal circuito di misura. A differenza del precedente tipo di misurazione elettrica, i piezoelettrici
necessitano di adeguati circuiti di condizionamento e dispositivi analogici di conversione carica-tensione per poter
essere di utilità pratica. Questi circuiti servono a convertire un segnale di tensione, amplificarlo e ad effettuare un
filtraggio analogico. Sono possibili due soluzioni diverse: l’utilizzo di dispositivi esterni o a integrazione microelettrica
(ICP). Il primo modo presenta le seguenti caratteristiche:
-
segnale in uscita ad alta impedenza, per evitare problemi di carico si rende necessario un circuito che
produca un’uscita a bassa impedenza;
vi è la necessità di dispositivi esterni da mantenere;
i sensori possono essere sottoposti ad alte temperature (
);
requisiti di alta qualità su tutti i dispositivi inoltre, per ridurre la sensibilità alle interferenze radio ed
elettromagnetiche sono richiesti cavi a basso rumore;
è possibile modificare le caratteristiche dello strumento (sensitività e campo di frequenza) agendo
sull’elettronica di condizionamento;
modalità di impiego sempre meno diffusa nella normale sperimentazione di laboratorio perché i
dispositivi sono costosi sia per acquisto che per gestione.
Oggi sono molto diffusi trasduttori piezoelettrici con integrati microcircuiti che permettono si semplificare il
condizionamento necessario. La microelettronica integrata ha circuiti piccoli, meno costosi e con prestazioni migliori
e offrono una semplicità di impiego maggiore. Sono infatti disponibili sistemi di acquisizione in grado di leggere
direttamente i sensori ICP, in alternativa viene richiesto solamente un generatore di corrente esterno.
Ponte di Wheatstone per misure differenziali
Risulta frequente il caso di una misura che porta ad un valore piccolo come differenza tra due valori elevati, il che
comporta un problema di precisione e una doppia misura. Il ponte di Wheatstone risolve il problema realizzando una
misura differenziale: la variazione della tensione in uscita è proporzionale alla variazione della grandezza che ha
sbilanciato il ponte stesso. Questi è costituito da 4 lati i cui vertici opposti (A-C) vengono alimentati da un generatore
ì, la misura differenziale avviene tra gli altri due vertici (B-D). Di seguito si analizzerà il ponte prendendo in esame il
caso di sole resistenze, ma può essere utilizzato anche per misure differenziali di capacità. La corrente del tratto B-D
è nulla e quindi implica che la corrente che passa per D e B passi da A e C per il loro lato senza essere modificata
(
). Siano
la corrente che passa per D è pari a
essendo queste in serie. è la tensione che alimenta A e D. Analogamente la corrente per B sarà
. La tensione misurata
a cavallo di B e D sarà:
. La condizione di bilanciamento è
scegliere le resistenze in modo che
, bisogna quindi
.
Configurazione a quarto di ponte : nel caso vi sia solo una resistenza variabile
si ha tale configurazione per cui
. Se il ponte è bilanciato e si utilizzano resistenze uguali allora
che
risulta essere una relazione non lineare tra
e . Questo legame può essere linea rizzato nell’ipotesi che la
variazione
sia notevolmente inferiore al valore della resistenza nominale:
. Il ponte risulta
particolarmente utile quando si intende misurare una piccola variazione percentuale. La relazione è praticamente
lineare fino a 4000-5000 microdeformazioni.
Configurazione a ponte intero : nel caso più generale
. Nell’ipotesi di ponte
bilanciato, resistenze uguali, e variazioni piccole si può semplificare ottenendo
.
Risulta ovvio che le relazioni del quarto di ponte sia una generalizzazione di quest’ultima. I contributi di lati opposti si
sommano se uguali (raddoppiano) o si annullano se opposti. I contibuti di due lati adiacenti si sommano se opposti o
si annullano se uguali.
Misure strutturali
I trasduttori tipici per queste misure sono:
-
potenziometri, LVDT, encoder;
estensimetri elettrici;
celle di carico;
accelerometri.
Le misure di spostamento eseguite a contatto, ovvero la misura del movimento relativo di due parti del sensore,
necessitano degli strumenti al primo posto nel precedente elenco, mentre per quelle esterne si utilizzano trasduttori
capacitivi che possono misurare il movimento relativo tra sensore e oggetto di misura.
Potenziometro : di ordine zero, visti come traduttori isolati, si comportano come precedentemente descritto e
mediante la misura della tensione , a fronte di quella di alimentazione , riescono a fornire una misura di
spostamento:
. Alcune varianti permettono di adattare le caratteristiche del trasduttore. L’uso di un filo a
spirale permette di aumentare la resistenza riducendo i problemi di potenza, la risoluzione risulta finita (numero di
spire). Se invece si utilizza uno strato resistivo in teoria si potrebbe ottenere una risoluzione infinita. Esistono
potenziometri angolari che s aggiungono a quelli lineari comunemente utilizzati per gli spostamenti. Questi
permettono di eseguire misure lineari per grandi e grandissimi spostamenti: potenziometro a filo. In questo caso il
filo serve a disaccoppiare sensore e oggetto di misura nella direzione perpendicolare al filo, ma presenta difficoltà di
allineamento.
Trasformatore differenziale lineare : comunemente abbreviato con LVDT oDC-LVDT, il trasformatore differenziale
lineare è uno strumento elettromagnetico. L’avvolgimento primario è alimentato in corrente alternata fornita da un
oscillatore. Il flusso magnetico prodotto si accoppia attraverso l’equipaggio mobile, sul quale è fissato, con gli
avvolgimenti secondari: la mutua induttanza tra le bobine esterne dipende dalla posizione di quelle interne. La
differenza delle tensioni indotte, collegate in serie e in opposizione, è proporzionale allo scostamento
dell’equipaggio mobile dalla posizione centrale. Il LVDT ha i seguenti vantaggi: robustezza meccanica e ambientale;
basso attrito, quindi alta sensibilità e risoluzione; vita a fatica virtualmente infinita, con adeguata manutenzione;
sensibilità incrociata praticamente nulla; misura assoluta: ripetibilità dello zero. Valori tipici:
Portata:
Sensibilità:
Linearità:
Una variante è RVDT che si basa sugli stessi principi ma con una geometria più complessa. Ha un campo di linearità
abbastanza limitato che può essere aumentato riducendo la portata. Valori tipici:
Portata:
Sensibilità:
Linearità:
Trasduttori capacitivi : la capacità può essere fatta variare con la distanza degli elettrodi o variando le due aree
affacciate. Il dielettrico frapposto può anche non far parte dello strumento. Hanno i seguenti vantaggi: elevata
sensibilità e stabilità, poco sensibili alle variazioni di temperatura, target non conduttore; mentre gli svantaggi:
sensibile alle variazioni di capacità del cavo, sensibili alle variazioni delle caratteristiche del dielettrico, elevata
impedenza. Valori tipici:
Portata:
Sensibilità:
Risoluzione:
Linearità:
Encoder : il segnale di uscita è costituito da una successione di N impulsi per
(N=numero di incisioni).
Risulta essere un trasduttore sui generis in quanto l’uscita non è in analogia con l’ingresso e non trasformata
alcunché: genera eventi (impulsi). Lo strumento di misura è il contatore di impulsi. Il numero massimo di impulsi
dipende dal diametro del disco: 1-9000. Si ha il problema della saturazione del contatore (roll-over). La risoluzione
angolare è data dal numero di incisioni sul giro (N impulsi sul giro). Il conteggio degli impulsi fornisce la rotazione
. Possono essere utilizzati per misurare la velocità angolare di un albero misurando anche :
È preferibile mettere a monte del contatore un circuito di interfaccia per i canali dell’encoder che: trasformi gli
impulsi ad onda quadra in impulsi one-shot; eventualmente moltiplichi il conteggio per 2 o 4; determini il verso di
rotazione.
-
-
Monodirezionale : presenta due piste A e Z. Sulla prima vengono incisi N impulsi per giro, mentre sulla
seconda ne viene impresso uno solo per giro. Non è in grado di fornire indicazioni sul verso di rotazione
dell’albero.
Bidirezionale : presenta tre uscite A,B e Z. La differenza con il modello monodirezionale è che tra l’uscita
A e l’uscita B, ugualmente incise da N impulsi per giro, c’è del ritardo. Se A è in anticipo su B la rotazione
è oraria, altrimenti è antioraria. Lo sfasamento serve pertanto a determinare il verso di rotazione.
Encoder assoluto : questo è uno strumento digitale costituito da un disco codificato con n piste che vengono lette
simultaneamente da foto-rilevatori indipendenti fornenti un’uscita in codice. Per ogni settore angolare si ha un
codice differente a seguito del mascheramento selettivo delle piste. Il numero di settori angolari è
. LA
codifica binaria è semplice ma può dare falsa lettura quando un rilevatore è a cavallo della transizione, la codifica
Gray consiste in un riordino delle posizioni. Il vantaggio è che l’errore di lettura di un bit non comporta una
discontinuità dell’uscita, ma vi è necessità di decodificare la misura. A parità di tecnologia la collocazione delle tacche
più corte sulla corona esterna consente una risoluzione maggiore. La capacità del cavo limita la frequenza limite del
segnale di ingresso poiché all’uscita le onde quadre vengono arrotondate.
Misure di velocità : si utilizzano Pick-up magnetici o ottici abbinati a frequenzimetri. Risulta un analogo dell’encoder
in quanto le tacche sono riportate sull’oggetto in movimento. Solo in casi particolari si raggiunge una discreta
risoluzione.
Misure di accelerazione: si utilizzano accelerometri piezoelettrici, piezoresistivi e servo accelerometri.
-
-
accelerometri piezoelettrici
dove q è la carica,
è la costante piezoelettrica,
la forza,
la sensibilità in tensione, la pressione e lo spessore. Posso lavorare a compressione, a
compressione isolata, a compressione inversa e a taglio. A causa della modalità di installazione vi è una
riduzione della banda.
accelerometri piezoresistivi: utilizzano estensimetri per determinare lo spostamento di una trave a
sbalzo (connessa con una massa calibrata) immersa in un fluido smorzante.
servo accelerometri: vengono utilizzati per misurazioni di movimento a carattere generale e in presenza
di vibrazioni a bassa frequenza. Si dimostrano particolarmente utili nei sistemi di controllo
dell’accelerazione, dal momento che il valore di accelerazione di interesse può essere imposto al sistema
introducendo una corrente proporzionale generata da una sorgente esterna. Le armature sono fisse e
vi è una lamina vibrante, intrappolata tra le due, che determina la variazione di capacità.
Misure di deformazione: per misurare le deformazioni si utilizzano estensimetri elettrici ed estensimetri a
semiconduttore. La relazione fondamentale dell’estensimetria è:
ed è valida indipendentemente dalla
forma della sezione del conduttore. Il fattore di taratura è approssimato a causa della sensibilità trasversale, i cui
valori tipici sono:
per estensimetri a conduttore (
);
per estensimetri a semiconduttore.
La sensibilità è massimizzata nella direzione di misura e minimizzata nella direzione ortogonale. I criteri di selezione
riguardano quindi:
-
Allungamento massimo:
Numero di cicli di deformazione:
Temperatura di lavoro:
Precisione richiesta: Moderata
Gli effetti della temperatura sulla sensibilità sono:
-
La griglia dell’estensimetro varia la sua lunghezza:
La base del pezzo varia la sua lunghezza:
-
Cambia la resistenza
;
;
I primi due termini producono una deformazione apparente
. Questi effetti sono
compensabili con delle correzioni nelle misure come ad esempio la doppia misura o la sottrazione. L’im piego degli
estensimetri nei sistemi di misura di deformazione viene spesso associato ad un ponte di Wheatstone:
. La variazione percentuale di resistenza è in relazione diretta con la deformazione subita
dal conduttore e mediante un fattore, lo strain gage factor, con la deformazione subita dall’estensimetro:
nel caso comune di estensimetri uguali.
Deformazione assiale, 1 estensimetro : si utilizza un solo estensimetro a quarto di ponte. L’uscita del ponte è:
. La sensibilità del ponte è:
. Cosa misura l’estensimetro:
, quindi tiene conto sia di un’eventuale flessionale che degli effetti termici.
Deformazione assiale, 2 estensimetri : si usano due estensimetri uguali su facce opposte, quindi con configurazione a
mezzo ponte, e collegati su rami opposti. L’uscita del ponte è:
. Cosa misura
l’estensimetro:
. La differenza
con la precedente configurazione è che i termini flessionali sono di segno opposto e quindi si annullano. La misura
così ottenuta compensa gli effetti flessionali ma risente ancora di quelli termici. La sensibilità del ponte è quindi
raddoppiata.
Deformazione assiale, 4 estensimetri : gli estensimetri sono 4, tutti uguali, due per ciascuna faccia: due opposti
allineati con la direzione di carico, gli altri con quella trasversale. L’uscita del ponte è:
dove
. Se i coefficienti di dilatazione termica
e
sono uguali le
rispettive deformazioni vengono compensate. L’estensimetro misura
sensibilità del ponte è
.
. La
Deformazione flessionale : per misurare la deformazione flessionale in una posizione assegnata di una struttura si
possono utilizzare due estensimetri in configurazione a mezzo ponte. Il problema di questo tipo di misure è ottenere
solamente la componente flessionale della deformazione eliminando i contributi assiali e termici. Per far fronte a
questa richiesta si sfruttano due rami adiacenti del ponte di Wheatstone, in quanto essi si sottraggono lasciando
solamente la componente flessionale. L’uscita del ponte è
. L’estensimetro misura
Essendo le deformazioni da flessioni opposte. In questo modo la misura compensa la deformazione assiale e quella
termica. La sensibilità del ponte è indipendente dalla scelta della posizione degli estensimetri quindi risulta uguale al
caso precedente per configurazione a mezzo ponte.
Misure di forza: vengono utilizzate celle di carico estensimetriche o piezoelettriche.
Misure di pressione: vi è la possibilità di utilizzare tubi a U, ma non sono idonei all’utilizzo di sistemi di acquisizione.
Si preferisce quindi utilizzare il manometro di Bourdon o un trasduttore piezoelettrico o tubi di Pitot (offrono misure
differenziali di pressione e velocità attraverso il teorema di Bernoulli) o capsule aneroidi.
CARATTERISTICHE DEGLI STRUMENTI
Lo strumento può essere rappresentato come un sistema a più ingrassi (di misura, di interferenza, di modifica) ed
una singola uscita (la misura). La completa caratterizzazione di uno strumento prevede l’individuazione sperimentale
della sua funzione di trasferimento. Numerosi sono i parametri da cui dipende la caratterizzazione dello strumento,
ma la frequenza è quello che svolge un ruolo chiave. Le caratteristiche si possono dividere in statiche e dinamiche, le
prime fanno riferimento ad un ingresso senza il tempo come variabile, mentre in quelle dinamiche entra in gioco
solamente quest’ultimo. Esistono delle applicazioni in cui le misure sono costanti e quindi si può operare una
caratterizzazione di qualità dello strumento. In caso di comportamento statico è possibile identificare una relazione
ingresso uscita del tipo
valido per qualsiasi e con costante nell’intervallo di lavoro. Questa relazione
è la stessa di uno strumento ideale anche dal punto di vista dinamico: legame ingresso-uscita lineare che non risente
di nessun altro ingresso o disturbo. Lo strumento ideale è però un modello, tuttavia alcuni strumenti possono essere
descritti in questo modo in maniera abbastanza accurata. Le caratteristiche statiche sono significative anche nelle
problematiche di carattere dinamico e quindi devono essere tenute in conto nella variazione della qualità di un
sistema di misura dinamico. Se è possibile ritenere che le caratteristiche statiche si mantengano inalterate per un
livello di frequenze, lo strumento avrà una banda passante e potrà essere utilizzato per acquisire segnali dinamici.
EQUILIBRIO DINAMICO
Per valutare le caratteristiche dinamiche è necessario un modello. Servono quindi delle equazioni in presenza di
forze dipendenti dal tempo:
, a determinare il movimento di un equipaggio mobile di un
galvanometro, causato dal carico esterno concorrono la reazione elastica, le forze d’inerzia e quelle viscose. Più
piccoli sono questi ultimi due termini rispetto a quello statico più la misura è ideale in quanto segue l’andamento del
carico esterno. Lo smorzamento dovrebbe essere ridotto per evitare isteresi e scarsa sensibilità. Si può quindi
scegliere di ridurre il momento di inerzia dell’equipaggio riducendone la lunghezza, in questo modo si riduce la
soluzione.
Lo studio della dinamica di un sistema può essere affrontato mediante la trasformata di Fourier che permette di
trasformare in maniera reversibile le informazioni dal tempo alla frequenza. Ad esempio partendo da
si ottiene
dove
è l’operatore di derivazione nel dominio della
frequenza. La trasformata di Fourier equivale alla sezione col piano complesso della trasformata di Laplace, secondo
la quale si avrebbe
dove
.
Risposta di un sistema dinamico
Per lo strumento si può utilizzare un modello dinamico a un grado di libertà soggetto ad una forzante armonica di
periodo assegnato al quale corrisponde un pulsazione
. L’equazione del moto è:
, equazione che ha come soluzione:
dove sono stati introdotti:
-
La pulsazione propria del sistema dinamico:
-
Lo smorzamento critico
-
L’angolo di fase
misurata in radianti al secondo;
;
Esaminando la struttura della risposta si osserva che è armonica con la stesso pulsazione della forzante e che la sua
ampiezza varia in funzione del rapporto tra la frequenza propria e quella di eccitazione oltre che dal valore dello
smorzamento. Considerando solamente i termini non dipendenti dal tempo si ottiene l’ampiezza del moto in
funzione della frequenza:
. Se si diagrammano l’ampiezza, normalizzata rispetto alla
deflessione statica, e la fase della risposta si ottengo i diagrammi di risposta e fase. La risposta di sistemi poco
smorzati è sovrapponibile lontano dalla risonanza. Il massimo della risposta ha valori finiti ed è collocato su valori di
frequenza leggermente inferiori a quella di risonanza (più il sistema è smorzato più si abbassa la frequenza di
risonanza). Per i sistemi con smorzamento superiore a quello critico la risposta non è oscillante è l’amplificazione
dinamica alla frequenza di risonanza non è più presenta. Per frequenze superiori a quella di risonanza l’ampiezza
della risposta decade rapidamente: lo strumento filtra l’ingresso. Dal diagramma di fase del sistema non smorzato si
può notare come il ritardo della risposta si mantenga nullo sino alla risonanza dove si ha una variazione di
per
poi rimanere costante a frequenze superiori. La presenza di smorzamento modifica l’andamento su tutto il campo di
frequenze, anche per valori di smorzamento relativamente bassi la risposta viene ritardata in maniera significativa. Il
passaggio di
della fase a cavallo della risonanza viene però mantenuto e utilizzato per identificarla.
Distorsione: la scelta di una fluttuazione sinusoidale del segnale da misurare non è casuale: la risposta del sistema
dinamico è data dalla combinazione della risposta per infiniti ingressi sinusoidali (sommatoria per il caso discreto,
integrale per quello continuo). Ogni porzione dello spettro dell’ingresso viene filtrata dalle proprietà dinamiche che
caratterizzano il trasduttore in corrispondenza di quelle frequenze, quindi il segnale che verrà misurato sarà
caratterizzato da uno spettro più o meno distorto.
Distorsione in ampiezza : se il fenomeno analizzato è lineare si possono elaborate indipendentemente i contributi di
ognuna delle sue componenti e sommarli al termine dell’analisi. Per fare questo si considerano i diagrammi di
risposte in frequenza e da essi si ricavano i valori del rapporto di ampiezze e della fase per tutte le frequenze che
costituiscono il segnale. Questi valori hanno il compito di modificare l’ingresso. Un trasduttore elabora un segnale
armonico rispetto alla frequenza di risonanza propria. Poiché il segnale è dato dalla somma delle risposte
indipendenti se ne otterrà una con una frequenza di risonanza propria. Poiché il segnale è dato dalla somma delle
risposte indipendenti se ne otterrà una con una forma diversa dall’ingresso, questo effetto prende il nome di
distorsione. L’errore causato dalla vicinanza della frequenza di una delle armoniche con la frequenza di risonanza.
Nell’impiego di uno strumento la distorsione in ampiezza deve essere evitata: l’ingresso viene amplificato in maniera
selettiva in funzione della sua frequenza.
Distorsione di fase : dal punto di vista della fase lo strumento ideale dovrebbe avere smorzamento nullo, e così
l’errore sarebbe nullo fino alla risonanza. Gli effetti dissipativi sono però sempre presenti, quindi un errore di fase è
sempre presente. Per smorzamenti ridotto il campo con errore di pochi gradi è più ampio di quello che fornisce un
guadagno unitario. Nel caso di ritardo lineare si ha uno sfasamento proporzionale alla frequenza e l’effetto che si
ottiene è un semplice ridefinire l’origine dei tempi. Il rapporto temporale delle componenti rimane inalterato. Un
errore di fase lineare ritarda proporzionalmente tutti i contenuti armonici mantenendo inalterata la forma del
segnale.
RISPOSTA DINAMICA DI UNO STRUMENTO
Quello trattato è un caso particolare ma consente alcune considerazioni di carattere generale:
-
La misura deve avvenire su un segnale che si mantenga in proporzione costante con il segnale di
ingresso;
Occorre evitare che nel tempo di frequenze di interesse intervengano effetti di distorsione;
Lo strumento deve quindi avere per l’intervallo di frequenze di interesse del segnale di ingresso, un
comportamento uguale a quello asintotico della zona di frequenza che non risente degli effetti dinamici;
Lo strumento ha un comportamento statico in un determinato campo di frequenze se vi si riescono ad
evitare fenomeno di distorsione;
La banda passante dello strumento isolato può non essere significativa in relazione ad una specifica
applicazione.
MODELLI DIMANICI
Potenziometro : la funzione di trasferimento di un potenziometro è:
, appare evidente che non
compare alcun termine differenziato del tempo e quindi il guadagno di è costante in frequenza. Si assume che la
dinamica interna dello strumento sia a frequenze elevate rispetto al contenuto in frequenza dell’ingresso.
Termometro : siano la temperatura ambiente, la temperatura interna, il coefficiente di scambio termico, la
massa del materiale del bulbo, il calore specifico del materiale del bulbo, il tempo. L’equazione di equilibrio dei
flussi è:
, cui corrisponde un’equazione dinamica del primo ordine:
che può essere riscritta introducendo la costante di tempo
guadagno a regime è
.
. La sensibilità statica, ovvero il
Accelerometro : considerando un accelerometro a massa sismica si può utilizzare un modello ad un grado di libertà
con massa, molla e smorzatore. L’accelerazione è il segnale in ingresso e viene fornito mediante lo spostamento
imposto alla base del misurando che agisce con una forza pari a
sulla massa flettendo la barretta sulla quale
è fissata. U trasduttore di posizione rileva lo spostamento dell’estremità. L’equazione di equilibrio dinamico è
pertanto:
, dove è il movimento relativo della massa sismica e il movimento
della base
. L’equazione in forma generale diventa (
)
. In questo caso il modello risulta essere del secondo ordine ad un grado
di libertà (massa, molla e smorzatore) che trascura la dinamica dell’oggetto. L’ingresso è
mentre l’uscita è
. La funzione di trasferimento del sistema è:
. Le caratteristiche di funzionamento sono:
-
Sensibilità statica
-
Pulsazione propria
-
Coefficiente di smorzamento
;
Sensore di spostamento a massa sismica : in questo caso l’uscita deve essere messa in relazione con l’ingresso di
spostamento applicato al contenitore dell’accelerometro. Il movimento, variabile nel tempo, impone
un’accelerazione alla base che agendo sulla massa provoca una deflessione della barretta, il trasduttore di posizione
rileva gli spostamenti. L’equazione di equilibrio è ovviamente la stessa dell’accelerometro, ma l’ingresso questa volta
è lo spostamento:
. La funzione di trasferimento sarà:
.I
parametri caratteristici sono:
-
Sensibilità statica (ovvero il guadagno a regime con s elevato)
-
Pulsazione propria
-
Coefficiente di smorzamento
;
;
La funzione di trasferimento è profondamente diversa da quella dell’accelerometro, infatti il guadagno a regime si ha
per frequenze di lavoro superiori a quella propria del sistema. Per frequenze elevate la massa sismica rimane ferma e
il movimento relativo coincide con quello di base. L’uscita è opposta all’ingresso.
Generalizzazioni : il generico legame ingresso uscita di uno strumento è:
, con funzione di trasferimento
. L’ordine dello strumento è dato dal
massimo ordine di derivazione dell’uscita . Nella pratica i modelli necessari per un’adeguata descrizione del
comportamento dinamico dello strumento sono di ordine zero, primo o secondo, in cui i coefficienti siano costanti.
La soluzione, per quanto approssimata, si avvicina molto al comportamento reale dello strumento. Questo significa
che quasi tutti gli strumenti sono descrivibili con modelli di ordine basso con forzanti algebriche lineari. L’importanza
di questo tipo di analisi è legata alla possibilità di definire sistematicamente i parametri che caratterizzano ciascun
modello in modo da poter valutare le caratteristiche di uno strumento in relazione all’utilizzo che ne può fare.
Strumenti di ordine zero
-
Equazione caratteristica:
che normalizzata diventa
Sensibilità statica (guadagno a regime):
(legame ingresso-uscita);
Rappresenta lo strumento ideale dal punto di vista della risposta dinamica. Dal momento che il legame ingressouscita è algebrico non ha importanza la variazione nel tempo dell’ingresso poiché l’uscita seguirà perfettamente
l’ingresso senza distorsioni o ritardi di fase. Il potenziometro e l’estensimetro sono due validi esempi di strumenti di
ordine zero.
Strumenti di primo ordine
-
Equazione caratteristica:
uscita);
Sensibilità statica (guadagno a regime):
-
Costante di tempo
-
Funzione di trasferimento
, riscrivibile come
(legame ingresso-
Un esempio di strumento del primo ordine è il termometro.
Risposta a gradino: per la risposta ad un gradino minore è la costante di tempo maggiore la prontezza dello
strumento. Dopo un tempo pari a circa
la risposta raggiunge il
. Si può determinare sperimentalmente la costante di tempo:
della risposta statica:
. Passando ai logaritmi si può
ricavare . Si può quindi procedere con una regressione lineare la cui pendenza è l’inverso della costante di tempo.
Risulta molto più semplice che stimare la costante di tempo in base alla variazione dell’ampiezza della risposta.
Risposta alla rampa: per la risposta alla rampa l’ingresso sarà
, sostituendo si ha:
, la cui soluzione, dopo aver applicato la condizione iniziale
somma dell’integrale generale e di quello particolare:
scritto come
a regime.
per
è data dalla
. L’errore di misura può essere
, somma rispettivamente di un errore in transitorio e di uno
Strumento di secondo ordine
Essendo di secondo grado si può subito identificare la presenza di termini elastici, viscosi e inerziali. Il polinomio in
dipende dall’applicazione, ma nella stragrande maggioranza dei casi è di ordine zero. La forma generale
dell’equazione di equilibrio è:
. I parametri caratteristici sono:
-
sensibilità statica (guadagno a regime)
-
pulsazione propria
-
coefficiente di smorzamento
Funzione di trasferimento:
Risposta al gradino
Condizioni iniziali:
L’integrale generale può assumere tre forme distinte a seconda delle radici dell’equazione caratteristica:
-
reali e distinte (sistema sovra smorzato);
reali ripetute (sistema criticamente smorzato);
complesse (sistema sotto smorzato)
Osservazioni:
-
-
-
e compaiono sempre come prodotto e quindi conviene disegnare le curve delle funzioni di
trasferimento in funzione di questo prodotto: diventano universali per qualsiasi .
è un’indicazione diretta della velocità di risposta dello strumento. Per un determinato smorzamento
raddoppiando
si dimezza il tempo di risposta dato che il prodotto
raggiunge lo stesso valore in
metà del tempo.
Un aumento dello smorzamento riduce le oscillazioni ma rallenta la risposta (la prima intersezione con il
valore a regime viene ritardata).
Un’indicazione della bontà della risposta è data dal cosiddetto settling time. Il valore ottimale dello
smorzamento dipende però dalla banda di settling time a scelta.
Molti strumenti in commercio hanno smorzamenti nel range
e questo è anche l’intervallo che
offre la migliore risposta in frequenza in termini di rapporto tra banda passante utile (a guadagno
unitario) e frequenza propria.
Con smorzamento inferiore, per avere la stessa banda utile, occorre avere una frequenza propria
maggiore.
Risposa alla rampa
L’errore a regime è dato da:
Il ritardo a regime:
, può essere ridotto diminuendo lo smorzamento (a scapito di oscillazioni di ampiezza
maggiore) o aumentando la frequenza naturale.
Risposta in frequenza
-
-
Aumentando la frequenza propria aumenta il range in frequenza per il quale la risposta è piatta (banda in
frequenza), di conseguenza una frequenza propria elevata è indispensabile per misurare ingressi ad alta
frequenza.
Il valore ottimale di smorzamento è indicato sia dalla risposta in ampiezza che da quella in fase. La zona
più estesa di ampiezza costante si ottiene per valori di smorzamento
.
Un angolo di fase nullo è impossibile da ottenere, ma la cosa importante è che il segnale in uscita
riproduca la forma di quello in ingresso. Questo è ottenibile con un andamento di fase lineare che genera
ritardo ma non distorsione. Il più ampio range di frequenza in cui la fase varia linearmente è dato per
valori di smorzamento compresi nel range sopracitato.
Validità dei modelli dinamici
I modelli dinamici fin qui utilizzati hanno un limite di validità poiché si assume tutta la dinamica sia descritta dal
grado di libertà utilizzato e questo è vero solamente se le frequenze caratteristiche ad esso associate sono ben
separate da quelle del trasduttore. Non ha senso utilizzare uno strumento a ingresso algebrico vicino o oltre la
risonanza. Il discorso è diverso per uno strumento come il trasduttore di spostamento sismico poiché viene utilizzato
al di sopra della frequenza di progetto con una banda nominalmente infinita (
sarà dato dalle caratteristiche del contenitore.
per
), il limite di impiego
Caratteristiche di qualità
La definizione delle caratteristiche di qualità è utile in relazione all’individuazione della fenomenologia fisica che la
determina e all’inquadramento delle procedure operative atte a qualificarla.
Accuratezza
Questa è la caratteristica che definisce la capacità dello strumento di dare mediamente misure prossime a quelle
definite dal campione di misura di riferimento della grandezza in esame. La normativa ISO 10012/1 dice che
l’accuratezza corrisponde al grado di concordanza fra risultato della misurazione e valore convenzionalmente vero
del misurando. Può essere valutabile mediante lo scostamento prevedibile di una lettura dal valore reale. Il valore
effettivo di una grandezza non dovrebbe scostarsi più del valore di accuratezza dalla media delle misure fornite dallo
strumento (vi è associato un significato probabilistico). A tutti gli effetti indica l’errore di misura. L’accuratezza è una
caratteristica necessaria quando si utilizza uno strumento per determinare una misura, cioè un valore che sia
confrontabile con altri dello stesso misurando ottenuti per altra via. Essa dipende sia dalle caratteristiche dello
strumento che dall’operazione di calibrazione a cui è sottoposto. Una buona parte dell’errore di misura di un sistema
può essere eliminata mediante un’adeguata calibrazione, tuttavia è sempre presente una certa dose di errore
residuo. La qualità della misura non dipende però solamente dall’accuratezza dello strumento ma anche da come
viene impiegato. L’accuratezza si calcola come deviazione statistica dal valore vero:
e si usa
come
. Normalmente si esprime in percentuale del fondo scala
e si usa
come
. Tanto più piccolo è il numero associato all’accuratezza quanto più elevata sarà la
qualità dello strumento. Poiché l’incertezza è costante su tutto il campo di misura l’errore relativo aumenta per i
valori minimi.
La classe di precisione: è definita dai limiti dell’errore espresso come percentuale di un valore convenzionale che
coincide quasi sempre con il fondo scala (cioè con la portata). Gli strumenti sono pertanto suddivisi in classi di
precisione; secondo le normative CEI sono suddivise in otto classi identificate da un particolare indice. Questi
rappresentano i limiti di errore percentuale che uno strumento non deve superare, al fondo scala nelle condizioni di
riferimento indicate dal costruttore o dalle norme, per poter appartenere a quella classe. Utilizzando lo strumento
entro i limiti indicati dalle norme, ma al di fuori della condizione di riferimento, l’errore di identificazione dello
strumento NON deve superare il doppio dell’errore indicato dalla classe.
Risoluzione: è la qualità che caratterizza la capacità di uno strumento di risolvere due valori del misurando molto
vicini tra loro ed è data dalla minima differenza rilevabile dallo strumento. La risoluzione può essere applicata sia
all’ingresso (trasduttore) o sull’uscita (strumento). In mancanza di altre indicazioni si può assumere che l’errore di
risoluzione sia pari alla metà della risoluzione della scala di lettura.
Ripetibilità: consiste nel grado di concordanza tra i risultati di misure successive dello stesso misurando effettuate
nelle medesime condizioni di misura ed eseguite in un breve intervallo temporale. Risulta quindi essere un indice
della capacità di eseguire misure caratterizzate dallo stesso livello di accuratezza in un breve lasso di tempo. La
ripetizione di una misura anche se effettuata con una grandezza costante, non produce valori uguali ma una serie di
numeri affetti da dispersione. Il valore medio sarà presumibilmente la migliore approssimazione del valore della
grandezza da misurare. Uno strumento è ripetibile se lo scarto tra le diverse misure è piccolo. Viene rappresentata
dalla dispersione dei risultati ottenuti in condizioni estremamente controllate, in pratica alla sola replica della
presentazione del misurando in un tempo breve senza alcuna modifica della condizione di misura. Permette di
stimare il valore minimo di incertezza che può essere raggiunto con un determinato strumento in una determinata
condizione di misura. La procedura:
1)
2)
3)
4)
5)
Esecuzione della misura;
Ottenimento di un risultato (misura+incertezza);
Controllo delle condizioni al contorno (devono rimanere inalterate);
Nuova esecuzione della misura dopo un breve intervallo di tempo;
Verifica della compatibilità delle due misure.
Riproducibilità: indica la capacità di ripetere una misura con una data accuratezza nel lungo periodo. Risulta essere
un indice della differenza che si riscontra tra misure successive effettuate sulla stessa grandezza in tempi diversi,
quindi con condizioni di misura diverse. La riproducibilità è molto simile alla ripetibilità, ma deve essere intesa come
la capacità dello strumento di fornire la stessa misura quand’anche impiegato in condizioni diverse. La procedura di
definizione è del tutto simile a quella precedente, eccetto il punto 3. La riproducibilità permette di stimare
l’incertezza tipica prodotta in una certa operazione di misura da cause accidentali frequenti. Una buona
riproducibilità consente allo strumento di essere utilizzato come riferimento.
Precisione: è una caratteristica qualitativa globale di tipo generico data dall’insieme delle caratteristiche di
risoluzione, ripetibilità e riproducibilità. L’errore di precisione è dato da
e
compendia tutti gli elementi trattabili in termini statistici: la dispersione dei dati attorno al valore medio deve essere
limitata superiormente per definire il valore massimo di perturbazione della misura da parte egli effetti ambientali.
L’errore di precisione identifica la ripetibilità dello strumento mentre lo scostamento del valore medio da quello vero
dà la misura dell’errore sistematico (o di bias). L’errore di precisione è dunque dato dalla mancanza di ripetibilità ella
misura della stessa quantità, occorre quindi fare riferimento ad una serie di misure per poterlo inquadrare.
Sensibilità: (o guadagno) è definita come la pendenza della curva di calibrazione dell’ingresso desiderato. A parità di
variazione della grandezza in ingresso lo strumento più sensibile fornisce un’indicazione maggiore. Nei trasduttori
lineari è costante e viene determinata durante la calibrazione, rientra tra i parametri statici. La sensibilità ha una
certa influenza sull’errore ed è opportuno non esprimere questa caratteristica in termini di valore della misura e
valore della grandezza ma in termini di uscita del trasduttore e valore della grandezza. Può essere rilevante anche
l’effetto che gli ingressi indesiderati possono avere sulla sensibilità:
-
Deriva dello zero (zero drift) cioè la presenza di una lettura non nulla in mancanza di ingresso;
Deriva ella sensibilità (sensivity drift o scale-factor drift) ovvero una variazione della sensibilità
dipendente dall’ingresso indesiderato.
Linearità: uno strumento/sensore è lineare se la variazione dell’uscita è proporzionale alla variazione dell’ingresso
(nel range di misura). Ovviamente si possono avere strumenti con legge di calibrazione non lineare senza perdere
accuratezza. In generale la linearità è una caratteristica positiva. Viene definita in termini di percentuale della
portata o della misura e in genere è compresa nell’accuratezza specificata. La linearità di uno strumento o di un
trasduttore è data dalla misura del massimo scostamento di qualsiasi punto di calibrazione dalla retta di calibrazione
e può essere espresso in termini percentuali rispetto alla lettura attuale o al fondo scala. Uno schema diffuso per la
descrizione della linearità di uno strumento fa riferimento a due definizioni:
-
La percentuale del fondo scala viene adottata per definire il campo di linearità in prossimità dello zero
dove l’errore percentuale sulla lettura potrebbe essere alto;
L’errore percentuale viene adottato per la rimanente porzione del campo di lavoro.
Isteresi: è il fenomeno per il quale una parte dell’energia assorbita dal trasduttore viene dispersa anziché essere
completamente trasformata e resa disponibile per la misura. La dissipazione può avvenire in uno qualsiasi dei
passaggi interni. Non esistono sistemi privi di isteresi poiché violerebbero il secondo principio della Termodinamica
secondo il quale sistemi reali non sono mai perfettamente reversibili. L’esistenza di fenomeni isteretici è messa in
evidenza dalla presenza di percorsi di carico e scarico non sovrapposti in diagrammi ottenuti facendo variare la
grandezza da misurare tra gli estremi di variabilità. Dal grafico si può notare come ad un valore di ingresso
corrispondano più valori in uscita la cui evenienza dipende dal livello dell’ingresso e che questi sia crescente o
decrescente. Questi fenomeni possono quindi solo essere contenuti mediante un’attenta progettazione e con
un’opportuna scelta dei materiali. Gli strumenti, soprattutto a carattere meccanico o elettromeccanico, presentano
una forma di sensibilità ridotta alle piccole variazioni dell’ingresso conseguente alla presenza di attriti di primo
distacco. Esiste quindi una soglia di sensibilità (Threshold) che rappresenta la minima variazione dell’ingresso
avvertibile dallo strumento. Gli effetti isteretici dipendono dall’entità delle forze in gioco e dalla zona di misura (lo
zero, un punto qualsiasi o all’inversione dell’ingresso).
Sensibilità alle interferenze
Una calibrazione statica è complessa lunga e costosa:
-
Tutti gli ingressi, eccetto uno, devono essere tenuti costanti. Levariazioni sono fatte con una serie di
valori costanti nell’intervallo di interesse;
-
La relazione ingresso-uscita definisce una calibrazione statica valida nelle condizioni di tutti gli altri
interessi costanti;
La procedura dovrebbe essere ripetuta facendo variare tutti gli ingressi su tutto il campo della rispettiva
ammissibilità;
Alla fine della procedura si dispone di una famiglia di curve di calibrazione dello strumento.
Si effettua quindi una valutazione quantitativa preliminare degli ingressi secondari per verificare se ci sono effetti al
di sotto della soglia di qualità dello strumento. Disponendo di mappe di calibrazione è possibile correggere le misure
conoscendo gli effetti secondari: devono quindi essere misurabili. Sono necessari degli strumenti per rilevare l’entità
dei diversi ingressi desiderati, di interferenza e di modifica di qualità adeguata per ciascuna misura. Per la
calibrazione dell’ingresso desiderato di uno strumento è necessario un campione o uno strumento di riferimenti che
presenti un’accuratezza di dieci volte superiore. In un buon trasduttore/strumento gli ingressi secondari
determinano una variazione della misura molto limitata: normalmente non è quindi necessario disporre di una
grande precisione in quanto l’errore che si commette va visto in rapporto alla misura totale. Rimane implicito che sia
necessaria una calibrazione periodica e accurata degli strumenti.
Campo di misura: il campo di misura ha ovviamente un limite inferiore e uno superiore che prendono il nome di
fondo scala. Il range è sia in ingresso che in uscita per i motivi precedentemente analizzati. I valori estremi della scala
di lettura possono essere visti con la doppia funzione di limiti fisici o di misura. I limiti fisici rappresentano il campo di
utilizzo entro il quale lo strumento non si danneggia mentre l’intervallo di calibrazione definisce il campo di utilizzo
entro il quale sono possibili misure accurate. La curva di calibrazione di uno strumento ne indica il campo di corretto
impiego. Utilizzare un trasduttore per misure oltre questo campo è sicuro ma richiede l’estrapolazione arbitraria
della curva di taratura. All’esterno della zona di calibrazione uno strumento potrebbe avere un comportamento non
lineare. L’esistenza di curve di calibrazione opportunamente verificate fornisce informazioni solo sul campo di
funzionamento. In assenza di ulteriori dati conviene assumere i limiti della curva con coincidenti con i limiti fisici.
Campo di misure per rilievo di forze: la portata è il massimo valore della grandezza in ingresso per cui lo
spostamento funziona correttamente (secondo le specifiche dichiarate dal costruttore). Superando del 50% questo
valore lo strumento non si danneggia ma le caratteristiche dello strumento possono non rientrare secondo le
specifiche e può danneggiarsi (senza esito catastrofico).
Effetti di installazione
L’installazione di un sistema di misura può determinare interferenze:
-
Con il sistema di misura, modificando le caratteristiche metrologiche della strumentazione;
Con il fenomeno fisico, modificandolo
Reciproche.
L’intrusività di un sistema può presentarsi con varia casistica e la discussione sui modelli dei trasduttori non è
sufficiente a risolvere completamente il problema: è richiesto un esame razionale del sistema. Alcuni strumenti,
come accelerometri e laser, richiedono un corretto allineamento durante l’installazione. La situazione si complica
proporzionalmente al numero di allineazioni, infatti per un accelerometro triassiale vi è pure una sensibilità
incrociata tra i diversi assi e un errore di allineamento amplifica questi errori. Nel caso di vincolo incerto (ad esempio
con cera) lo strumento si può muovere a causa di vibrazioni o urti.
Problemi di installazione di sensori lineari
Alcuni sono da sonde semplicemente appoggiate per avere effetto di reazione ridotto (in cui la forza di contatto
corrisponde al solo peso dello strumento) e possono soffrire di saltellamento se le vibrazioni del corpo sono maggiori
dell’accelerazione gravitazionale. Ovviamente l’effetto di contatto è garantito solo se il peso ha componente nella
direzione di misura. Altri sono costituiti da sonde con molla di precarica in cui l’effetto direzione è ovviamente dato
da quest’ultima. In questo caso il saltellamento dipende anche dalla massa della sonda, dalla rigidezza e dal presarico
della molla. Altre sonde sono direttamente collegate all’elemento in movimento, eliminando il problema del
saltellamento. Tuttavia si riscontrano problemi in relazione alla presenza di spostamento in direzione trasversale o di
allineamento nel caso di una lunga corsa. In quest’ultimo caso sono utili potenziometri a filo per dicassoppiare dal
punto di vista elastico le direzioni di misura. L’uso di cavi lunghi può inficiare la banda passante e modificare la forma
del segnale. Vi possono essere effetti di carico dovuti al collegamento dello strumento di misura (assorbimento di
corrente e cavi).
Intrusività
Accelerometro: l’aggiunta di un accelerometro modifica in maniera significativa il fenomeno dinamico se la sua
massa diventa importante in relazione a quella dell’oggetto del quale si vogliono rilevare le accelerazioni. Questo
vale sia in termini globali che locali, in relazione alla massa ridotta al punto di applicazione dell’accelerometro, per
evitare la nascita di modi di vibrare locali a frequenze relativamente basse.
Celle di carico: l’impiego di una cella di carico per un esperimento richiede di tenere da conto alcuni requisiti
metrologici: la portata, la sensibilità e la compatibilità delle uscite con il sistema di misura. Bisogna comunque
ragionare su eventuali effetti che questo provoca a seguito del suo inserimento nel sistema. Se la misura è dinamica
occorre che la frequenza propria del sistema di misura sia alta rispetto a quella massima del fenomeno. Un aspetto
secondario è la frequenza propria della cella di carico che, in teoria, dovrebbe essere abbastanza alta. Importa di più
come la presenza dello strumento modifichi la situazione: altera la massa totale del sistema e modifica le
rigidezze/cedevolezze (effetto più rilevante). Affinché non vi sia intrusività, i comportamenti statico e dinamico del
sistema sotto misura, in assenza e in presenza della cella, debbono essere praticamente coincidenti. Sulle schede
tecniche viene normalmente riportata la cedevolezza della cella in forma diretta o indiretta. Quest’informazione
deve essere utilizzata per valutare la variazione delle frequenze caratteristiche del fenomeno o dello spostamento
dal punti di applicazione del carico. Ad esempio, per le prove di caduta dei carrelli si utilizzano celle per la misura del
carico al suolo e altre per la misura delle forze trasmesse alla struttura. La rigidezza di una cella è proporzionale alla
portata, se si rende necessario un aumento di rigidezza probabilmente bisognerà adoperare una cella con portata
molto superiore a quanto richiesto. Il trasduttore verrebbe così utilizzato solo per una piccola frazione della sua
portata, trattandosi di oggetti con ottime caratteristiche di linearità questo non rappresenta un problema a patto di
disporre di una calibrazione limitata al campo di applicazione previsto e un’elettronica a basso rumore. La qualità
della regressione dipende dal numero di punti e se si limita il campo d’azione la regressione totale non può essere
considerata attendibile. Se la linearità è buona allora un’ulteriore calibrazione sulla portata richiesta può aiutare. Può
rendersi necessaria un’ulteriore amplificazione del segnale.
Criteri generali per la scelta di uno strumento
-
Compatibilità dello strumento con la prova;
Livello di intrusività dello strumento con il sistema in esame;
Compatibilità con i requisiti di accuratezza (anche sensibilità trasversale);
Compatibilità delle uscite con il sistema di misura/visualizzazione dati;
Necessità di alimentazione/condizionamento;
Compatibilità ambientale
Costo.
Può risultare utile organizzare le informazioni in una tabella che permetta di individuare facilmente gli elementi che
soddisfino al meglio tutti i requisiti.
Strumentazione con estensimetri: l’analisi sull’utilizzo degli estensimetri parte ovviamente dall’analisi dell’oggetto
per poi arrivare ai seguenti criteri:
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Sensibilità alla grandezza di riferimento del punto di installazione (analisi della distribuzione di sforzo) e
definizione del legame carico-deformazione;
Possibilità di evitare effetti locali e uniformità dello stato di sforzo (non sempre necessario);
Definizione della struttura del ponte di misura (permette di effettuare somme e differenze);
Comprensione degli effetti indesiderati (termici, sensibilità incrociate, etc).
