Risonanza elettrica
annuncio pubblicitario
Funzione di rete Cambio di punto di vista ω variabile Vs 1 X C = X C (ω ) = − ωC X L = X L (ω ) = ωL Vu Il circuito simbolico è resistivo e lineare, con un solo generatore indipendente Vu = HVs Proporzionalità tra causa ed effetto H è una quantità complessa, funzione di ω HC ( jω ) x(t ) Dominio t y (t ) Funzione di rete X ( jω ) Dominio f Y ( jω ) Y ( jω ) H ( jω ) = X ( jω ) •La funzione di rete descrive il comportamento del circuito al variare della frequenza di ingresso •E’ definita nel dominio della frequenza •E’ il rapporto fra il fasore corrispondente alla sinusoide di uscita e il fasore corrispondente alla sinusoide di ingresso •Impedenza di trasferimento •Rapporto di trasferimento in corrente •Rapporto di trasferimento in tensione •Ammettenza di trasferimento •Impedenza d’ingresso •Ammettenza di ingresso [Ω] [S] [Ω] [S] 0gni funzione di rete può essere scritta come rapporto di polinomi nella variabile jω bm ( jω ) + bm −1 ( jω ) + ... + b1 ( jω ) + b0 H ( jω ) = m m −1 am ( jω ) + am −1 ( jω ) + ... + a1 ( jω ) + a0 m m −1 ak , bk ∈ ℜ H è una funzione razionale reale della variabile jω Risposta in frequenza Funzione di rete H = H ( jω ) = Y ( jω ) H ( jω ) = X ( jω ) . Y ( jω ) Risposta in ampiezza X ( jω ) fase(H ( jω )) = fase(Y ( jω )) − fase( X ( jω )) Risposta in fase L’insieme delle espressioni che danno il guadagno e lo sfasamento in funzione della frequenza si chiama Risposta in frequenza H max H (ωc ) = ≅ 0.7 H max 2 ωc pulsazione di taglio Vs Vu Vu = H Vs Vu = Vu e jφu ; Vs = Vs e jφs ; H = H ( jω )e jφ (ω ) Vu e jφu jφ s = Vs e H ( jω )e jφ ( ω ) → Vu = Vs H ( jω ); φu = φs + φ (ω ) vs (t ) = Vs cos (ωt + φs ) → vu (t ) = Vu cos (ωt + φu ) = Vs H ( jω )cos (ωt + φs + φu ) L’effetto del circuito sul segnale di ingresso: •una variazione dell’ampiezza di H(jω) •una variazione di fase di φ(ω) Si possono tracciare i grafici della risposta in frequenza utilizzando scale logaritmiche : DIAGRAMMI DI BODE Guadagno in scala logaritmica = 20 log10 H (dB) Diagramma di Bode per HH = (1 + jω /ω 0)− 1. La linea tratteggiata è la curva esatta dell’ampiezza. La linea continua è l’approssimazione asintotica. La risonanza Fenomeno che accomuna molte scienze fisiche Picco pronunciato nella risposta in ampiezza per un dato valore della frequenza Coppia di poli complessi coniugati che provocano oscillazioni dell’energia immagazzinata da una forma all’altra (L,C). Circuito RLC V Funzione di rete = = Z (ω ) = R(ω ) + jX (ω ) I > 0 Al variare di ω, può essere X (ω )= 0 < 0 Per ω = ω0 (ω0 pulsazione di risonanza) l’impedenza e’ puramente resistiva: Z(ω0)=R, X(ω0)=0 I R Vg Circuito risonante serie jωL 1/jωC I 1 1 1 H (ω ) = Y = = = = 1 Vg Z R + jωL − 1 R + j ωL − jω C ωC 1 ωL − 1 ωC Z = R 2 + (ωL − ) 2 ∠ tan −1 R ωC 1 1 ⇒Z =R ωL = , → ω0 = ωC LC 1 ω0 = rad/s Pulsazione di risonanza LC | Z | X (ω ) = 0 ⇒ ωC − ωL ω0 per ω = ω0 = ω per ω = 0 per ω → ∞ -1/ ωC π ϕ 2 ϖ −π 2 1 = 0 ⇒ ω0 = ωL 1 LC 1 LC Z =R ϕ =0 π Z =∞ ϕ =− 2 π Z → ωL ϕ = 2 Alla risonanza l’impedenza è reale e vale R. I = Vg R Il modulo di Z è minimo il modulo della corrente è massimo La serie LC ha impedenza nulla, quindi equivale ad un corto circuito. ω0 L VC + VL = 0 VL = −VC = jω0 LI = j Vg = jQVg R ω0 L 1 1 = Q= ω0 L = Fattore di qualità ω0C ω0CR R VL = VC = Q Vg Quando Q assume valori elevati, vL(t) e vC(t) assumono ampiezze maggiori di quella del generatore problemi di sovratensioni. 1 2 w = LI L’energia immagazzinata nel circuito è costante 0 2 Infatti il parallelo LC è isolato dal resto del circuito. Circuito risonante parallelo Ig R L C V 1 1 1 C C = = = H (ω ) = Z = 1 1 1 1 Ig Y + +IC jωC + j ωC − R jωL R ωL g 2 1 1 1 −1 + ωC − Y= ∠ tan R ωC − 2 R ωL ωL 1 ω0 = LC | YC | B(ω ) = 0 ⇒ ωC − ωC per ω = ω0 = ω0 ω per ω → ∞ 1/ ωL π ϕ 2 ϖ −π 2 per ω = 0 1 = 0 ⇒ ω0 = ωL 1 LC Y = 1/ R ϕ = 0 π ϕ =− 2 π C Y → ωC ϕ = 2 YC = ∞ 1 LC Alla risonanza l’ammettenza è reale e vale 1/R. V = I g R Il modulo di Y è minimo il modulo della tensione è massimo Il parallelo LC ha ammettenza nulla, quindi equivale ad un circuito aperto. − jI g R V R IC + I L = 0 I L = −IC = = =−j I g = − jQI g ω0 L ω0 L jω 0 L R Q= = ω0CR ω0 L Fattore di qualità I L = IC = Q I g Se Q assume valori elevati iL(t) e iC(t) assumono ampiezze maggiori di quella del generatore problemi di sovracorrenti Fattore di qualità (o di merito) Circuito RLC serie ω0 L 1 1 L Q= = = ω0 RC R C R L' impedenza puo' essere scritta : ω ω0 1 ω0 L ω ω 0 C − = R 1 + jQ − ) = R 1 + j Z = R + j (ωL − ωC R ω0 ω ω0 ω 1 I C = Y= = C Z Vg G ω ω0 1 + jQ − ω0 ω Ricalca l’andamento della corrente Al variare del fattore di merito varia l’andamento della Y e quindi della corrente. ω1 e ω2 sono le pulsazioni di taglio, in corrispondenza delle quali: ω ω0 Y ( jω2 ) Y ( jω1 ) 1 = = ⇒ Q − = ±1 G G 2 ω0 ω prendendo, delle 4 soluzioni, quelle positive : ω1,2 1 1 = ω0 1 + ± 2 4 Q 2 Q ω1ω2 = ω02 → ω0 = ω1ω2 Le pulsazioni di taglio non sono simmetrich e rispetto a ω0 . ω0 → si possono considerare simmetrich e 2Q ω0 = B Ampiezza di Banda ω1 − ω2 = Q Fissato ω0 , tanto piu' elevato e' Q tanto piu' stretta e' B. H (jω) dB = 20 log10 H (jω) ω1, 2 ≅ ω0 ± 1 → 3dB 2 Ymax= G I I Q>5 max max ω ω ω Banda passante ω1 Frequenza di taglio inferiore ω2 Frequenza di taglio superiore I (Y) Frequenza, rad/s Per Q elevati, la Resistenza è attraversata da una corrente apprezzabile solo per pulsazioni molto vicine a quella di risonanza Esercizio: Dato un circuito RLC serie, in cui e’ R=100 Ω, L=0.5 H, C=40µF, si calcolino la frequenza di risonanza e le frequenze di taglio ω1 e ω2 ω0 1 = 223.6 rad/s ≈ 224 rad/s f 0 = = 35.6 Hz ω0 = 2π LC ω0 L Q= = 1.12 R 1 1 ω 2 = ω0 1 + 2 + = 345rad / s 4Q 2Q 1 1 ω1 = ω0 1 + 2 − = 145rad / s 4Q 2Q ω0 B = ω2 − ω1 = 200rad / s = = 200rad / s Q ω2 ⋅ ω1 = 224 = ω0 CIRCUITO RISONANTE Esercizio Determinare la frequenza di risonanza del circuito di figura R 1 ωL + jωC = 2 + j ωC − 2 Y= 2 2 2 2 R +ω L R +ω L R + jωL In condizioni di risonanza la parte immaginaria di Y e' nulla . R 2C ω0 L 1 = ω0 C ⇒ ω0 = 1− 2 2 2 L R + ω0 L LC
