Propagazione in presenza di discontinuità: Riflessione e Rifrazione

Propagazione in presenza di
discontinuità:
Riflessione e Rifrazione
1
Va l e r i a P e t r i n i , P h . D . S t u d e n t
DEIS/ARCES - Fondazione Ugo Bordoni
[email protected]
Università degli Studi di Bologna - DEIS
Valeria Petrini - Propagazione M
Introduzione
2
 Una corretta caratterizzazione dei collegamenti radio non può
prescindere dallo studio di alcuni fenomeni che possono influenzare la
propagazione in spazio libero:
   Presenza di ostacoli che si frappongono tra le antenne provocando
una ostruzione alla libera propagazione del fronte d’onda
Atmosfera terrestre che può portare significative differenze dalla
propagazione ideale, provocando
un aumento di attenuazione
soprattutto ad alte frequenze ma anche effetti di deviazione della
direzione di propagazione
Ellissoide terrestre che è l’ostacolo più evidente sul quale poggiano le
antenne. Le presenza del suolo genera una discontinuità tra
dielettrici (atmosfera e terreno)
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Propagazione in presenza di ostacoli
3
 L’onda elettromagnetica subisce diverse interazioni con
l’ambiente di propagazione reale prima di giungere al
ricevitore; i fenomeni più importanti sono:
1. Riflessione
2. Rifrazione (Trasmissione)
3. Diffrazione
4. Diffusione (Scattering)
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Obiettivo
4
 Vogliamo studiare l’effetto di una discontinuità data da un
piano di separazione tra mezzi omogenei.
 Considereremo il caso di una superficie di separazione tra
due semispazi omogenei: qui il segnale incidente verrà sia
riflesso che trasmesso e vedremo come calcolare le parti
riflesse e trasmesse.
 A tale scopo applicheremo le condizioni di continuità sulla
superficie di separazione tra mezzi
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Ipotesi
5
 Per semplificare la trattazione di queste situazioni si ricorre al
concetto di ONDA PIANA LOCALE:
 Si ammette che ciascun raggio incidente abbia in tutti i punti un
comportamento analogo a quello di un’onda piana TEM avente in
tutto lo spazio le medesime condizioni di incidenza valide
localmente per il raggio
 Ogni raggio incidente sulla superficie di discontinuità dà luogo ad
un raggio riflesso e ad uno rifratto che dipendono dalle
caratteristiche elettromagnetiche dell’oggetto in un intorno del
punto di riflessione e dalle proprietà del campo incidente nel
punto di riflessione
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Definizione del problema
6
 Si considerino due semispazi costituiti da due mezzi normali, il
primo di caratteristiche ε 1 , μ 1 e σ 1 , il secondo con
caratteristicheε2, μ2 e σ2
 La superficie di separazione è data dal piano
x=0
onda piana
uniforme con componenti del vettore di propagazione entrambe
positive.
 Si assume che il campo incidente sia dato da un’
 Si indichino il pedice “i” le grandezze, note, relative al campo
incidente, coi pedici “r” e “t” le grandezze relative alle onde
riflesse e trasmesse
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Condizioni di continuità (1)
7
 Le equazioni di Maxwell sono definite in volumi nei quali si assume che
le proprietà del materiale siano descritte da funzioni continue ed
infinitamente derivabili
 E’ importante descrivere le condizioni a cui devono soddisfare i campi
sulle superfici di discontinuità (presenza di discontinuità di prima
specie), sulle quali non è possibile applicare le equazioni di Maxwell,
perché in tali punti non è possibile calcolare la derivata
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Condizioni di continuità (2)
8
 Facciamo riferimento alle equazioni di Maxwell scritte in
forma integrale:
 Le densità superficiali di carica e le correnti superficiali
sono:
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Condizioni di continuità (3)
9
 Consideriamo le componenti tangenti dei campi
 Supponendo che nel volume ΔV esista una corrente con
densità volumetrica costante e che il volume ΔV al quale
sono applicate le equazioni di Maxwell sia abbastanza
piccolo da avere i campi costanti sulle due superfici ΔS e
Δn→0, le equazioni di continuità risultano:
nˆ × ( E1 − E 2 ) = −J mS
nˆ × ( H1 − H 2 ) = J S
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€
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Riflessione e rifrazione (1)
10
 Consideriamo quindi un’onda piana uniforme incidente sul piano di
separazione tra i due mezzi
E i = E i0 ⋅ e −Si ⋅r
⇒ H i = H i0 ⋅ e −Si ⋅r =
€
€
€
€
€
€
€
Si × E i0 −Si ⋅r
⋅e
jωµ1
S = a + jk
S:
a:
k:
r:
vettore
vettore
vettore
vettore
di propagazione
attenuazione
di fase
posizione
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Riflessione e rifrazione (2)
11
 I campi riflesso e trasmesso necessari per scrivere le
condizioni di continuità sono:
€
€
E r = E r0 ⋅ e
−S r ⋅r
Er = Et0⋅ e
−S t ⋅r
⇒ H r = H r0 ⋅ e
⇒ Ht = Ht 0 ⋅ e
−S r ⋅r
−S t ⋅r
Sr × E r0 −Sr ⋅r
=
⋅e
jωµ1
St × E t 0 −St ⋅r
=
⋅e
jωµ2
 Le incognite sono i coefficienti di ampiezza dei campi ed i
vettori di propagazione. Per ottenere i loro valori si
impongono le condizioni di continuità sul piano x=0 :
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Riflessione e rifrazione (3)
12
τ
i0
H ⋅e
−S i ⋅r
τ
r0
+H ⋅e
−S r ⋅r
τ
t0
= H ⋅ e −St ⋅r
 Affinché questa condizione sia verificata, i fattori
esponenziali devono essere uguali tra loro:
€
 Si ottengono quindi dei vincoli sulle componenti dei vettori
di propagazione che devono valere sul piano di separazione
tra i mezzi
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Onda riflessa (1)
13
 Ricordando che per un’onda piana uniforme
senza perdite, l’ultima condizione impone:
(
 Da cui risulta:
€
a = 0e che il mezzo 1 è
)
Si ⋅ r = Sr ⋅ r ⇒ jk i ⋅ r = ar + jk r ⋅ r
€
⎧ ar ⋅ r = 0
⎨
⎩ k r ⋅ r = k i ⋅ r
 Si può dimostrare che, per la prima relazione solo la soluzione
ar = 0 è
compatibile con il problema
€
anche l’onda riflessa è un’onda piana uniforme
€ come l’onda
incidente
 ⇒
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Onda riflessa (2)
14
 Essendo: k r = k i = ω µ1ε1
 Dalla seconda relazione segue:
€
 E’ possibile dimostrare che l’onda piana riflessa è sempre
dello stesso tipo di quelle incidente, qualunque sia il mezzo
da cui proviene (con o senza perdite)
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Onda trasmessa(1)
15
 Per quanto riguarda l’onda trasmessa dal mezzo 1 al mezzo
2 abbiamo:
⎧ at ⋅ r = 0
⎨
⎩ k t ⋅ r = k i ⋅ r
 Essendo i mezzi in cui si propagano le due onde, differenti,
l’onda trasmessa può quindi essere indifferentemente
uniforme o €evanescente ma deve comunque rispettare la
continuità delle componenti tangenti del vettore di
propagazione:
k i sin θ i = k t sin θ t ⇒ sin θ t =
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€
ki
kt
sin θ i
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Onda trasmessa(2)
16
 Consideriamo il secondo mezzo
 Caso 1: onda trasmessa
senza perdite
piana uniforme
(at = 0)
€
 Questa relazione è valida sempre, qualunque siano le caratteristiche,
dielettriche e magnetiche, dei mezzi
 Per materiali dielettrici in cui
risulta:
µi = µ0 e ε i = ε 0ε ri = ε 0 n i con (i=1,2)
n1 sin θ i = n 2 sin θ t
€
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€
Legge di Snell
€
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Onda trasmessa(3)
17
 Caso 2: onda trasmessa
piana evanescente
 Il passaggio dalla situazione in cui l’onda trasmessa è piana uniforme a
quella in cui è piana evanescente si ha per quel particolare valore
dell’angolo di incidenza, detto angolo critico (indicato con ϑc) per cui
vale:
 Oltre l’angolo critico l’onda trasmessa è quindi evanescente:
n2
ϑ c = arcsin
n1
 Per poter parlare di angolo critico deve essere n1>n2
€
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Onda trasmessa(4)
18
1
cosθ t = ± 1 − sin θ t = ± j sin θ t −1 = − j
n12 sin 2 θ i − n 22 ⇒
n2
2
2
⇒ kxt = k 0 n 2 cosθ t = − jk0 n12 sin 2 θ i − n 22
x del vettore di propagazione,
si ha propagazione nella direzione di z ma attenuazione nella direzione
€
x nonostante il mezzo sia senza perdite e quindi l’onda è evanescente
 Dall’espressione della componente lungo
x crescente, essa rimane
sostanzialmente confinata nel semispazio inferiore. Si parla quindi di
riflessione totale del campo
 Poiché la potenza attiva si attenua per
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Formule di Fresnel (1)
19
 Si sono trovate le relazioni tra i vettori di propagazione delle onde
incidente, riflessa e trasmessa ma non le relazioni tra le ampiezze dei
campi
 Per fare ciò si sfrutta la linearità delle equazioni di Maxwell e si
scompone il problema in due parti indipendenti più semplici da
analizzare
 Ruotando il sistema di riferimento in modo tale che non ci siano
variazioni lungo y, il piano x-z è assunto come piano di incidenza
 Le equazioni di continuità sono divise in due gruppi indipendenti, quelle
per cui l’unica componente di campo elettrico è parallela a y (TE) e
quelle per cui tale relazione è valida per il campo magnetico (TM)
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Formule di Fresnel (2)
20
 Campo TE:
⎧ E = E e − j k i ⋅r yˆ
i0y
⎪
⎨
1 ˆ
1
H
=
k
×
E
=
−
E i0y e − j k i ⋅r ξˆ
⎪
i
η1
η1
⎩
€
 Campo TM:
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⎧⎪ H = H e − j k i ⋅r yˆ
i0y
⎨
⎪⎩ E = η1H × kˆi = η1H i0y e − j k i ⋅r ξˆ
€
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Formule di Fresnel (3)
21
 La direzione di propagazione è la stessa per i campi TE e
TM, cioè quella del vettore di propagazione ki ; quello che
cambia sono le caratteristiche della propagazione nella
direzione ortogonale alla superficie di separazione
€
 E’ possibile ora calcolare i coefficienti di riflessione e
trasmissione nei due casi
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Caso TE (1)
22
 Imponendo le condizioni di continuità si ha:
 I coefficienti di riflessione e di trasmissione sono:
€
E ry
ρTE
η2 cosθ i − η1 cos θ t n1 cos θ i − n 2 cosθ t
=
=
=
E iy η2 cosθ i + η1 cos θ t n1 cos θ i + n 2 cosθ t
τ TE
E ty
2η2 cos θ i
2n1 cos θ i
=
=
=
E iy η2 cosθ i + η1 cos θ t n1 cos θ i + n 2 cosθ t
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Caso TE (2)
23
 Applicando la legge di Snell:
⎛ n1
⎞ 2 n1 ⎛ n 2 ⎞ 2
n1
2
sin θ t = sin θ i ⇒ cosθ t = 1 − ⎜ sin θ i ⎟ =
⎜ ⎟ − sin θ i
n2
n 2 ⎝ n1 ⎠
⎝ n 2
⎠
€
⇒ ρTE =
⎛ n 2 ⎞ 2
cosθ i − ⎜ ⎟ − sin 2 θ i
⎝ n1 ⎠
⎛ n 2 ⎞ 2
cosθ i + ⎜ ⎟ − sin 2 θ i
⎝ n1⎠
 Introducendo l’angolo di elevazione :
€
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Caso TE (3)
24
 Il coefficiente di riflessione per il caso TE risulta:
ρTE =
⎛ n 2 ⎞ 2
senθ − ⎜ ⎟ − cos 2 θ
⎝ n1 ⎠
⎛ n 2 ⎞ 2
senθ + ⎜ ⎟ − cos 2 θ
⎝ n1 ⎠
 Il coefficiente di trasmissione per il caso TE risulta:
€
€
τTE =
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2sin θ
⎛ n 2 ⎞ 2
sin θ + ⎜ ⎟ − cos2 θ
⎝ n1 ⎠
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Caso TE (4)
25
riflessione totale per cui:
1
cosθ t = − j
n12 sin 2 θ i − n 22
n2
 Riprendendo il concetto di
 Nel caso di mezzi dielettrici si può scrivere:
€
ρTE
⎛ B ⎞
2
2
2
j 2arctg ⎜ ⎟
n1 cosϑ i − n 2 cosϑ t n1 cos ϑ i + j n1 sin ϑ i − n 2
A + jB
⎝ A ⎠
=
=
=
=
e
n1 cosϑ i + n 2 cosϑ t n1 cos ϑ i − j n12 sin 2 ϑ i − n 22 A − jB
⎧ ρTE = 1
⎪
⇒ ⎨
n12 sin 2 ϑ i − n 22
⎪arg( ρTE ) = 2arctg
n1 cosϑ i
⎩
€
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€
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Caso TM (1)
26
 Imponendo nuovamente le condizioni di continuità:
⎧ H iyη1 cosθ i − H ryη1 cosθ r = H tyη2 cosθ t
⎧ E iz + E rz = E tz
⎨
⇒ ⎨
⎩ H iy + H ry = H ty ⎩ H iy + H ry = H ty
 Da cui si ricavano:
€
ρTM
τ TM
€
H ry
η1 cosθ i − η2 cos θ t n 2 cos θ i − n1 cosθ t
=
=
=
H iy η1 cosθ i + η2 cos θ t n 2 cos θ i + n1 cosθ t
H ty
2η1 cos θ i
2n 2 cos θ i
=
=
=
H iy η1 cosθ i + η2 cos θ t n 2 cos θ i + n1 cosθ t
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Caso TM (2)
27
 Nel caso di onda incidente di tipo TM, si può verificare il fenomeno
della rifrazione totale:
ρTM = 0
 Ricordando la legge di Snell:
€
n1 sin θ i = n 2 sin θ t
n 2 cosθ t sin θ i cos(π /2 − θ i )
⇒
=
=
=
n1 cosθ i sin θ t cos(π /2 − θ t )
€
 Uguagliando gli argomenti dei coseni si ottiene l’angolo di Brewster:
€
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Considerazioni
28
 Ponendo
ρTE =
n = n2/n1 i coeffiecienti per i casi TE e TM risultano:
cosθ i − n 2 − sin 2 θ i
2
2
cosθ i + n − sin θ i
ρTM =
n 2 cos θ i − n 2 − sin 2 θ i
n 2 cos θ i + n 2 − sin 2 θ i
€
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Riepilogo
29
 Imponendo le condizioni di continuità all’interfaccia tra i
due mezzi, si ha:
1. Legge di Snell della riflessione: onda riflessa dello stesso tipo
di quella incidente e
2. Legge di Snell della rifrazione:
  3. Onda rifratta uniforme:
Onda rifratta evanescente:
Leggi di Fresnel:
 Onda TE: E r = ρTE E i
 Onda TM: H r = ρTM H i
€
€ di Bologna - DEIS
Università degli Studi
E t = τ TE E i
H t = τ TM H i
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Riflessione e rifrazione: caso ideale
30
piana uniforme
⇒ immediata rappresentazione a raggi della propagazione
 Raggio riflesso
 L’espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dal punto
di riflessione è:
 Onda diretta, rifletta e rifratta
⎡ ρTE

 TE
 TM
E r ( s) = E r ( s) + E r ( s) = ⎢
⎣ 0
 €

0 ⎤ ⎡ E iTE ( PR ) ⎤ − jβs
⎥⋅ e
⎥⋅ ⎢  TM
ρTM ⎦ ⎢⎣ E i ( PR ) ⎥⎦
Raggio trasmesso
 Analogamente per il raggio trasmesso risulta:
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Riflessione e rifrazione: caso reale
31
 I risultati ottenuti nel caso del piano ideale restano validi in situazioni
realistiche più generali purchè le superfici d’onda e di interfaccia siano
localmente piane
⇒ Le grandezze in gioco nel sistema (ed in particolare i raggi di
curvatura) >>λ
 L’espressione per il calcolo del campo riflesso a distanza s dal punto di
riflessione diviene pertanto:
⎡ρTE
TE
TM
E r (s) = E r (s) + E r (s) = ⎢
⎣ 0
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€
0 ⎤ ⎡ E iTE (PR ) ⎤
⎥⋅
⎥⋅ ⎢ TM
ρTM ⎦ ⎣ E i (PR ) ⎦
r1r ⋅ r2r
− jβs
⋅
e
(r1r + s)(r2r + s)
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