APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE

APPUNTI DI ALGEBRA
LINEARE
DI
MARIAGIOVANNA CZARNECKI
INFORMATICA - CORSO DI ALGEBRA LINEARE
UNIVERSITÀ CA’ FOSCARI VENEZIA
ANNO ACCADEMICO 2014-2015, I SEMESTRE
Mariagiovanna Czarnecki
Informatica - Corso di Algebra Lineare
Università Ca’ Foscari Venezia
Anno accademico 2014-2015, I semestre
Indice:
SEMIGRUPPI ................................................................................................................................................... 3
MONOIDI ......................................................................................................................................................... 3
INSIEMI DI FUNZIONI ................................................................................................................................... 4
RELAZIONI ...................................................................................................................................................... 4
SEMIGRUPPO DELLE FUNZIONI ................................................................................................................ 5
MONOIDE DELLE FUNZIONI SU A ............................................................................................................. 5
INSIEME DELLE PARTI ................................................................................................................................. 6
SOTTOSEMIGRUPPI ...................................................................................................................................... 6
SOTTOMONOIDI ............................................................................................................................................ 7
SOTTOMONOIDE GENERATO ..................................................................................................................... 9
PROPRIETÀ PER DIMOSTRARE L’ESISTENZA DEL SOTTOMONOIDE GENERATO ........................ 9
COSTRUZIONI A PARTIRE DA UN MONOIDE ........................................................................................ 10
OMOMORFISMO DI MONOIDI................................................................................................................... 10
ENDOMORFISMO ......................................................................................................................................... 11
ISOMORFISMO ............................................................................................................................................. 11
AUTMORFISMO............................................................................................................................................ 11
INSIEME DI TUTTI GLI ENDOMORFISMI DI M ...................................................................................... 12
INVERSO ........................................................................................................................................................ 12
GRUPPI ........................................................................................................................................................... 13
SOTTOGRUPPO DI UN GRUPPO ................................................................................................................ 13
OMOMORFISMO DEL GRUPPO ................................................................................................................. 14
PRODOTTO DIRETTO DI GRUPPO ............................................................................................................ 14
INSIEME DELLE CLASSI RESTO ............................................................................................................... 14
MONOIDE DELLE CLASSI RESTO ............................................................................................................ 15
PROPRIETA’ FONDAMENTALI ................................................................................................................. 15
ANELLO ......................................................................................................................................................... 15
ANELLO CON IDENTITA’ ........................................................................................................................... 16
ANELLO COMMUTATIVO .......................................................................................................................... 16
DOMINI DI INTEGRITA’ ............................................................................................................................. 17
CAMPI ............................................................................................................................................................ 17
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Mariagiovanna Czarnecki
Informatica - Corso di Algebra Lineare
Università Ca’ Foscari Venezia
Anno accademico 2014-2015, I semestre
ANELLO DEI POLINOMI ............................................................................................................................. 17
ANELLO DELLE MATRICI.......................................................................................................................... 18
SOMMA E MOLTIPLICAZIONE DI MATRICI .......................................................................................... 18
SOMMA ...................................................................................................................................................... 19
MOLTIPLICAZIONE ................................................................................................................................. 19
ANELLO DELLE MATRICI QUADRATE DI DIMENSIONE n SULL’ANELLO R ................................. 20
SPAZI VETTORIALI ..................................................................................................................................... 21
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO SCALARE ................................................................................................ 21
SOTTOSPAZIO VETTORIALE .................................................................................................................... 23
SOTTOSPAZIO GENERATO ........................................................................................................................ 23
COMBINAZIONE LINEARE ........................................................................................................................ 24
SPAZIO VETTORIALE DELLE MATRICI .................................................................................................. 24
INSIEME DI GENERATORI DELLO SPAZIO VETTORIALE DELLE MATRICI ................................... 25
FUNZIONE LINEARE ................................................................................................................................... 26
NUCLEO (KERNEL) ..................................................................................................................................... 27
DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE ............................................................................................ 28
BASI ................................................................................................................................................................ 30
TEOREMA DI SOSTITUZIONE DELLE BASI (36.16 Facchini) ................................................................ 31
ESTENSIONE PER LINEARITA’ ................................................................................................................. 33
MATRICE ASSOCIATA AD UNA APPLICAZIONE LINEARE ................................................................ 36
SOMMA DI SPAZI VETTORIALI ................................................................................................................ 39
FUNZIONI LINEARI IN MATRICI .............................................................................................................. 41
ISOMORFISMO ............................................................................................................................................. 41
RANGO DI UNA MATRICE ......................................................................................................................... 42
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI ............................................................................................................ 44
TEOREMA DI CRAMER (41.1 Facchini) ..................................................................................................... 46
DETERMINANTE .......................................................................................................................................... 47
ESPANSIONE PER COFATTORI ................................................................................................................. 47
ESPANSIONE PER COFATTORI RISPETTO ALLA COLONNA j ........................................................... 48
MINORE COMPLEMENTARE (di ordine i, j) .............................................................................................. 49
TRASPOSIZIONE .......................................................................................................................................... 50
PROPRIETA’ DEL DETERMINANTE ......................................................................................................... 51
ELIMINAZIONE DI GAUSS ......................................................................................................................... 51
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
REGOLA DI CRAMER .................................................................................................................................. 53
TEOREMA DI ROUCHE’- CAPELLI ........................................................................................................... 53
ALTRE APPLICAZIONE DELL’ELIMINAZIONE DI GAUSS .................................................................. 54
AUTOVALORI E AUTOVETTORI DI MATRICI ....................................................................................... 54
APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE
SEMIGRUPPI
Un semigruppo è un insieme S con un’operazione (S,∙). L’operazione è binaria su S poiché prende
coppie di elementi S x S e va a finire in S.

∙ : S x S S
S x S = {(x, y): x, y ∈ S}
Gode di proprietà associativa: (x∙y)∙z = x∙(y∙z) per ogni x, y ,z ∈ S
Esempi:


(N,∙) ∙ qui è una moltiplicazione.
(N,+)
MONOIDI
Un monoide è un semigruppo (M,∙) con un elemento 1M ∈ M neutro per l’operazione tale che per
ogni x ∈ M, 1M ∙x = x = x∙1M. (M,∙, 1M)
1M è l’elemento neutro sia a destra che a sinistra.
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
Esempi:



(N,∙,1) con ∙ moltiplicazione.
(N,+,0)
(R,+,0)
INSIEMI DI FUNZIONI
Consideriamo f: AB con A, B insiemi. BA = {f | f: AB} sarà, allora, l’insieme delle funzioni
da A a B.
Esempi:

RR = {f | f: RR}
√2 ∈ R ma √2 ∉ RR
La funzione f definita da f(x) = x2, per ogni x ∈ R, appartiene all’insieme di funzioni RR .
x ↦ x2 ∈ RR (modo compatto per definire una funzione).
Anche la funzione sin(x) appartiene a RR : x ↦ sin(x) ∈ RR .
x ↦ 1/x ∉ RR, poiché non si può prendere 0 come input. La scrittura corretta, dunque,
sarebbe:
x ↦ 1/x ∈ R0R.

Consideriamo, ora, gli insiemi B={0,1} e A={a, b} e l’insieme delle funzioni
BA={f | f: AB}.
Un elemento di BA è una funzione che prende in input una lettera (a oppure b) e restituisce 1
o 0. L’insieme considerato ha 4 elementi:
1. a ↦ 1 , b ↦ 0
2. a ↦ 0 , b ↦ 1
3. a ↦ 0 , b ↦ 0
4. a ↦ 1 , b ↦ 1
RELAZIONI
Una relazione R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di A x B: R ⊆ A x B. Si tratta di un
insieme di coppie ordinate, quindi A x B ≠ B x A.
Esempi di relazioni con A={a, b} e B={0, 1}:



R1={(a, 0)}
R2={(a, 0), (b, 0)}
R3={(a, 0), (a, 1)}
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
Una funzione (ovvero un elemento di BA) è una relazione f ⊆ A x B tale che:


∀ x ∈ A. ∃ y ∈ B | (x, y) ∈ f (TOTALITA’)
∀ x ∈ A e ∀ y, z ∈ B. ((x, y) ∈ f e (x, z) ∈ f)  y=z
(DETERMINAZIONE)
SEMIGRUPPO DELLE FUNZIONI
Il generico semigruppo delle funzioni si indica nel seguente modo: (BA, ◦), con BA insieme delle
funzioni e con operazione di composizione ◦.
Esempio:

RR con f, g elementi di RR
f ◦ g ∈ RR è la funzione tale che ∀ x ∈ R (f ◦ g)(x) = f(g(x))
Prendiamo, ora, due funzioni f: R  R (x ↦ x2) e g: R  R (x ↦ 2x) ed effettuiamo le
composizioni (f ◦ g)(x) e (g ◦ f)(x).
Otteniamo:
 (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 4x2
 (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = 2x2
Verifichiamo ora che (BA, ◦) sia un semigruppo. A tale scopo è necessario provare che per esso vale
l’associatività, ovvero che (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) per ogni f, g, h ∈ BA.
((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x)))
(f ◦ (g ◦ h))(x) = f((g ◦ h)(x)) = f(g(h(x))) quindi (BA, ◦) è un semigruppo.
In alcuni casi il semigruppo delle funzioni è un monoide.
MONOIDE DELLE FUNZIONI SU A
Il monoide delle funzioni su A è dato da (AA, ◦, idA) con la funzione identità idA: A  A come
elemento neutro.
Dimostriamo che vale l’elemento neutro id:
(f ◦ id)(x) = f(x)
(id ◦ f)(x) = id(f(x)) = f(x)
Le due espressioni sono equivalenti quindi id è l’elemento neutro per il monoide delle funzioni.
Riportiamo, di seguito, alcune considerazioni relative alla finitezza dell’insieme delle funzioni BA:
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


Se A e B sono finiti allora anche BA è finito
Se A è infinito e B è finito allora BA è infinito
Se A è finito e B è infinito allora BA è infinito
INSIEME DELLE PARTI
Se A è un insieme, indichiamo con P(A) l’insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di
A: P(A)={x: x ⊆ A}. Gli elementi sono 2n con n numero di elementi appartenenti ad A.
Esempio:
Se consideriamo l’insieme A={0, 1}, il numero degli elementi è 22=4. L’insieme delle parti di A
così ottenuto è P(A)={ Ø, {0}, {1}, A}.
Non è corretto scrivere 0 ∈ P(A) poiché in P(A) c’è l’insieme contenente 0. La scrittura esatta è,
dunque, {0} ∈ P(A).
SOTTOSEMIGRUPPI
Dati gli insiemi T ed S,
(T, ∙) è sottosemigruppo del semigruppo (S, ∙) se T ⊆ S ed è tale che T sia chiuso rispetto
all’operazione ∙ cioè che per ogni a, b ∈ T, a ∙ b ∈ T.
Esempi:



(Z0, ∙), con ∙ moltiplicazione, è sottosemigruppo di (Z, ∙)
Dato l’insieme A, (P(A), ∪, Ø) è un semigruppo poiché l’unione gode di associatività ed è
anche un monoide con Ø come elemento neutro. Dato B ⊆ A, allora (P(B), ∪) è
sottosemigruppo di (P(A), ∪).
P(B) ⊆ P(A) poiché B ⊆ A.
Dati X e Y ∈ P(B) cioè X e Y ⊆ B, X ∪ Y ⊆ B quindi X ∪ Y ∈ P(B).
(interi pari, ∙) è sottosemigruppo di (Z, ∙), poiché moltiplicando numeri pari fra loro si
ottengono altri numeri pari, il che indica la chiusura dell’insieme rispetto all’operazione di
moltiplicazione.
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SOTTOMONOIDI
Dato (T, ∙) sottosemigruppo di un monoide (M, ∙, 1M), diciamo che (T, ∙) è sottomonoide qualora
1M ∈ T.
Sia (M, ∙, 1M) monoide. Il più piccolo sottomonoide è ({1M}, ∙, 1M}).
Ora, dato (P(B), ∪, Ø) sottosemigruppo del monoide (P(A), ∪, Ø), (P(B), ∩, B) è sottomonoide di
(P(A), ∩, A)? Non sempre: lo è solo se A = B poiché l’elemento neutro deve essere lo stesso per
entrambi gli insiemi.
Dato un monoide (M, ∙, 1M), possiamo definire an (∀ n ∈ N ed a ∈ M).
a0=1  elemento neutro
an+1 = a∙an
an = a∙a∙a∙a…∙a (n volte)
Allora:
an = 1 se n=0
an = a∙an-1 se n>0
Esempio:
a, b ∈ R
(ab)n = anbn
Domanda: se (M, ∙, 1M) è un monoide, è vero che per ogni a, b ∈ M ed ogni n ∈ N vale (ab)n = anbn
?
Non sempre: solo se M è commutativo.
E’ necessario, dunque, applicare la COMMUTATIVITÀ:
(ab)2 = (ab)(ab)
a2b2 = (aa)(bb)
Se M è commutativo:
a(bc) = (ab)c
(ab)2 = (ab)(ab) = associativa a(b(ab)) = a((ba)b)
a2b2 = (aa)(bb) = associativa a(a(bb)) = associativa a((ab)b)
Quindi è verificato che a((ba)b) = a((ab)b)
con ab = ba (per proprietà commutativa)
Esempio:
prendiamo il semigruppo (S, ∙,) e i sottosemigruppi (T1, ∙) e (T2, ∙) .
Definiamo ora T1T2 = {t1t2 : t1 ∈ T1, t2 ∈ T2}.
Non è necessariamente vero che T1T2 ⊆ T1 e T1 T2 ⊆ T2, mentre è vero che (T1T2, ∙) ⊆ S
(T1T2, ∙) è sottosemigruppo di S? Non sempre.
Se (S, ∙) è commutativo, allora (T1T2, ∙) è sottosemigruppo di (S, ∙).
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Due elementi arbitrari di T1T2 sono (t1t2) e (t11t12)
(t1t2)(t11t12) = (t1t11)( t2t12) ∈ T1T2.
Esempio:
consideriamo, ora, il monoide delle parole su {0, 1}:
({0, 1}*, ∙, ɛ)
 {0, 1}* è l’insieme di tutte le sequenze finite di simboli 0 e 1
Esempio: 010100 ∈ {0, 1}*
 ∙ è l’operazione di concatenazione, ovvero la giustapposizione di stringhe
Esempio: (010)∙(100) = 010100
 ɛ è la stringa vuota “ ”
Si tratta di un monoide commutativo? No, poiché la concatenazione non gode di commutatività:
abbiamo, infatti, che (100)∙(010) = 100010 e (010)(100) = 010100  100010 ≠ 010100.
T1 = ({0}*, ∙, ɛ) e T2 = ({1}*, ∙, ɛ) sono sottomonoidi per ({0, 1}*, ∙, ɛ)
T1T2 = {0*1*} = {0n1n : n, m ∈ N}.
Consideriamo ancora il monoide delle parole ({0, 1}*, ∙, ɛ) e prendiamo L = {0n1m : n, m ≥ 0}.
(L, ∙, ɛ) non è sottomonoide di ({0, 1}*, ∙, ɛ) poiché non è chiuso per l’operazione di
concatenazione: abbiamo, infatti (0011)(000111) = 0011000111 che non è di forma 0n1m e, quindi,
non appartiene a L.
Sia, ora (M, ∙, 1M) monoide.
Se (T, ∙, 1M) e (S, ∙, 1M) sono sottomonoidi di M, allora (S, ∙, 1M) ∩ (T, ∙, 1M) è sottomonoide di
(M, ∙, 1M).
(S, ∙, 1M) ∪ (T, ∙, 1M) è sottomonoide di (M, ∙, 1M)?
Non sempre: infatti, se esaminiamo il monoide M = ({0, 1}*, ∙, ɛ) e T = ({0n : n≥0}, ∙, ɛ) ed S =
({1m: m≥0}, ∙, ɛ), otteniamo:
 S ∩ T = ({ɛ}, ∙, ɛ)
 S ∪ T = {1m: m≥0} ∪ {0n : n≥0} non è sottomonoide di M = ({0, 1}*, ∙, ɛ) poiché non è
chiuso rispetto alla concatenazione (es: 10 ∉ S ∪ T).
E’ possibile, tuttavia, ottenere un sottomonoide a partire da S ∪ T: bisogna a tal fine assicurarne la
chiusura. Introdurremo, a questo punto, la nozione di sottomonoide generato da S ∪ T, il quale è
più grande di S ∪ T poiché contiene anche la concatenazione di elementi di S e T. Esso è, inoltre, il
più piccolo sottomonoide di M contente S ∪ T  [S ∪ T] = M (in questo caso abbiamo un
sottomonoide improprio).
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SOTTOMONOIDE GENERATO
Sia (M, ∙, 1M) un monoide e sia X ⊆ M.
Allora [X], ovvero il sottomonoide di M generato da X, è il più piccolo sottomonoide di M
contenente X.
Esempi:


[M] = M
[Ø] = {1n} con 1n elemento neutro del monoide M
PROPRIETÀ PER DIMOSTRARE L’ESISTENZA DEL SOTTOMONOIDE GENERATO
Chiusura per intersezione dei sottomonoidi:
siano M monoide, S e T sottomonoidi, allora S ∩ T è sottomonoide di M.
Dunque, se M è un monoide e {Si}i ∈ I (con Si famiglia di sottomonoidi) sono sottomonoidi allora
∩( i ∈ I) Si è sottomonoide.
[X] è l’intersezione di tutti i sottomonoidi di M che contengono X.
Intersezione di una famiglia: [X] = ∩{S:S sottomonoide di M e S ⊇ X}
Esempi:
1. (N,+,0)
X={3,2}
Y={0,1}
[X] = {0,3,2,5…} (infinito)
[Y] = N
2. (P(N), ∩ N)
X = { Ø, N}
[X] = X (finito)
3. (P(N), ∪, N)
X = { Ø, N}
[X] = X (finito)
LEMMA (caratterizzazione di [X]):
[X]={1M} ∪ {x1∙x2…xn : n≥1, xi ∈ X per ogni i=1…n con n ∈ N }. Se X={a} allora [a]={an| n ∈ N}
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Dimostrazione: sia N={1M} ∪ {x1∙x2…xn : n≥1, xi ∈ X per ogni i=1…n con n ∈ N. basta dimostrare
che N è un sottomonoide di M, che N contiene X e che N è contenuto in ogni sottomonoide di M
contenente X. N è un sottomonoide di M poiché è un sottoinsieme chiuso, N ⊇ X; se, poi, P è un
sottomonoide di M contenente X, allora 1M ∈ P e x1∙x2…xn ∈ P per ogni xi ∈ X e quindi N ⊆ P,
provando, così, che [X]=N.
La seconda parte della dimostrazione segue alla prima.
COSTRUZIONI A PARTIRE DA UN MONOIDE

PRODOTTO DIRETTO
Siano (S, *, 1S) e (T, ∙, 1T) monoidi. Definisco il loro prodotto diretto S x T:
(S x T, +, 1SxT) con S x T prodotto cartesiano di insiemi.
L’operazione “+” è data come segue: (s1, t1) + (s2, t2) = (s1 * s2, t1 ∙ t2) con (s1 * s2) ∈ S e
(t1 ∙ t2) ∈ T.
L’elemento neutro è (1S, 1T) = 1SxT
E’ chiuso per l’operazione “+” poiché (s, t) + (1S, 1T) = (s * 1S, t ∙ 1T).
OMOMORFISMO DI MONOIDI
Un omomorfismo è una funzione che preserva un struttura.
Data due monoidi (M, +M, 1M) e (N, +N, 1N), un omomorfismo è una funzione f: M  N tale che:
1. f(x +M y) = f(x) +N f(y) per ogni x, y ∈ M.
(x +M y) è un valore che viene trasportato in N.
2. f(1M) = 1N
Esempio:
f: (R+, ∙, 1)  (R, +, 0)
loge: (R+, ∙, 1)  (R, +, 0)
ln(xy) = lnx + lny
ln1 = 0
LEMMA:
Sia f: M  N omomorfismo di monoidi.
1. f(M) = {f(x): x ∈ M} è un sottomonoide di N con f(M) immagine di M rispetto ad f.
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2. f-1(N) = {x ∈ M | f(x) ∈ N} è un sottomonoide di M.
Dimostrazione:
1. Consideriamo (M, +M, 1M) e (N, +N, 1N).
Dimostriamo che 1N ∈ f(M). devo dimostrare che z +N y ∈ f(M).
Se z, y ∈ f(M)  per definizione esistono 2 elementi z', y' ∈ M tali che z = f(z') , y = f(y')
z +N y = f(z') +N f(y') = f(z' +N y').
ENDOMORFISMO
Omomorfismo di un monoide in se stesso : M e N coincidono, stessa operazione ed elemento
neutro.
ISOMORFISMO
E’ un omomorfismo biiettivo.
Una funzione f è biiettiva se è sia suriettiva (f: A  B, per ogni y ∈ B esiste x ∈ A: f(x) = y) che
iniettiva (f: A  B, per ogni x, y ∈ A (f(x) = f(y)  x = y) oppure per ogni x, y ∈ A (x ≠ y  f(x) ≠
f(y)).
Esempio:
ln: R+  R
AUTMORFISMO
Si tratta di un isomorfismo di un monoide in se stesso: il monoide di arrivo e di partenza è lo stesso.
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INSIEME DI TUTTI GLI ENDOMORFISMI DI M
Sia M un monoide. End(M) ⊆ MM (anche detto Hom(M))
LEMMA:
(End(M), ◦, idM) è un monoide (è sottomonoide di MM).
Devo mostrare che gli endomorfismi sono chiusi per composizione cioè che, dati f, g ∈ End(M) 
f ◦ g ∈ End(M).
Dimostrare che f ◦ g preserva la somma:
(f ◦ g)(x +M y) = f(g(x +M y)) = f(g(x) +M g(y)) = f(g(x)) +M f(g(y)) = (f ◦ g)(x) +M (f ◦ g)(y).
A questo punto è necessario dimostrare che idM è un endomorfismo.
(f ◦ g)(1M) = f(g(1M)) = f(1M) = 1M.
idM(x +M y) = idM(x) +M idM(y) (IDENTITA’ PRESERVA LA SOMMA).
Abbiamo, così, dimostrato che (End(M), ◦, idM) è monoide degli endomorfismi di M.
INVERSO
Nel caso di un monoide (M, ∙, 1), diciamo che a ∈ M è invertibile a destra se esiste c ∈ M tale che
a∙c = 1. Diciamo che a è invertibile a sinistra se esiste b ∈ M tale che b∙a = 1 (si considerano destra
e sinistra poiché non è detto che l’operazione sia commutativa; possono esserci molti inversi destri
o sinistri).
Un elemento a ∈ M è invertibile se è invertibile sia a destra che a sinistra cioè se ha inverso destro e
sinistro.
LEMMA:
Sia (M, ∙, 1) monoide e a ∈ M invertibile.
Allora inversi destro e sinistro coincidono  tutti gli inversi destri e sinistri coincidono quindi solo
un elemento può invertire a.
Dimostrazione:
Se b è inverso sinistro allora
b = b ∙ 1 = b(ac) (poiché c è l’inverso destro)
b(ac) = (ba)c (poiché è commutativo)
(ba)c = 1c = c
Quindi inversi destro e sinistro coincidono.
Se ha è inverso, dunque, ha un UNICO INVERSO.
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Nel caso di monoide in notazione moltiplicativa, l’inverso di a è a-1.
Nel caso, invece, di monoide in notazione additiva, l’inverso di a è –a.
GRUPPI
Consideriamo (M, +, 0): esso è un gruppo se è un monoide in cui ogni elemento di M è invertibile.
Siccome ogni elemento ha un inverso posso pensare che un gruppo sia un monoide dotato di una
funzione unaria che mappa a -a tale che a – a = 0.
a + (-a) = 0; (-a) + a = 0  0 è l’elemento neutro del monoide considerato.
Esempi:
(Q – {0}, ∙, 1) è un gruppo poiché x ∙ (1/x) = 1.
(N, +, 0) non è un gruppo poiché manca l’opposto.
(Z, +, 0) è un gruppo poiché x + (-x) = 0
(P(N), ∪, Ø) non è un gruppo poiché dovrebbe esistere un insieme Y tale che X ∪ Y (X, Y ∈
P(N)) = Ø.
5. (P(N), ∩, N) non è un gruppo poiché dovrebbe esistere un insieme Y tale che X ∩ Y (X, Y
∈ P(N)) = N.
6. (End(M), ◦, idM) è un monoide ma non un gruppo. Per essere invertibile per goni funzione f
deve esistere una funzione g tale che t ◦ g = g ◦ f = idM.
Una funzione è invertibile se è biiettiva.
1.
2.
3.
4.
Sia (G, ∙, 0) un gruppo e x ∈ G. l’operazione che mappa x  -x è un’ INVOLUZIONE cioè
l’inverso dell’inverso: (x-1)-1 = x.
SOTTOGRUPPO DI UN GRUPPO
Un sottogruppo di un gruppo è un sottomonoide in cui vale lo stesso elemento inverso.
Sia G gruppo.
H è sottogruppo di G (notazione: H ⊴ G) se H è un sottomonoide di G tale che a-1 ∈ H.
Esempio:
13
Mariagiovanna Czarnecki
Informatica - Corso di Algebra Lineare
Università Ca’ Foscari Venezia
Anno accademico 2014-2015, I semestre
L’insieme di tutti i multipli interi di N nZ = {nq: q ∈ Z} per ogni n ∈ N è un sottogruppo di Z
poiché:
1. Contiene lo 0.
2. E’ sottomonoide.
3. E’ chiuso per la somma.
4. E’ chiuso per l’operazione di inverso: l’inverso di nq è n(-q).
OMOMORFISMO DEL GRUPPO
Si tratta di un omomorfismo di monoidi f: G  H (G, H gruppi) in cui f(x-1) = f(x)-1.
Definizione:
f: G  H è omomorfismo di gruppi se:
1. f è omomorfismo delle strutture di monoide di G ed H
2. per ogni x ∈ G, f(x-1) = (f(x))-1 (operazione di inversione del gruppo). Ciò segue dal fatto
che f è omomorfismo di monoidi.
PRODOTTO DIRETTO DI GRUPPO
Definizione:
Siano G ed H gruppo.
G x H  gruppo avente come insieme inverso G x H = {(g, h): g ∈ G, h ∈ H} e avente operazione
(g, h) * (g', h') = (g ∙G g', h ∙H h') ed elemento neutro (1G, 1H).
INSIEME DELLE CLASSI RESTO
Z/≡n = {[a] ≡n : a ∈ Z} è insieme della classi resto ovvero l’insieme i cui elementi sono classi di
equivalenza di mod n.
La congruenza mod n è una relazione binaria sugli interi.
a ≡n b si dice “a congruo b modulo n”.
a e b differiscono per un multiplo di n  n divide (a-b).
[a] ≡n = {b ∈ Z : a ≡n b}
Esempio:
14
Mariagiovanna Czarnecki
Informatica - Corso di Algebra Lineare
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
Prendiamo in considerazione n = 3
Z/≡3 = {[a] ≡3 a ∈ Z}.
[a] ≡3 = {b ∈ Z: {[a] ≡3 b}.
Ad esempio la classe di equivalenza [2] ≡3 è costituita dai numeri b tali che 3 divide (2 – b).
Se b = 1  (2 – 1)/3 non soddisfa la definizione di congruenza quindi 1 ∉ [2] ≡3.
Se b = 2  (2 – 2)/3 = 0 quindi 2 ∈ [2] ≡3.
[2] ≡3 = {2, 5, 8, 11, 14, 17,…, -1, -4, -7,…}
[0] ≡3 = {0, 3, 6, -3, -6,…}
[1] ≡3 = {1, 4, 7, 10,…}
[4] ≡3 = [1] ≡3 = [-5] ≡3 (tutti i numeri che differiscono per un multiplo di 3).
Z/≡3 = {[a] ≡3 : a ∈ Z} = {[0] ≡3, [1]
corrisponde al modulo considerato.
≡3,
[2]
≡3}
possiamo notare che il numero degli elementi
MONOIDE DELLE CLASSI RESTO
(Z/≡n, +, [0] ≡n) monoide.
[a] ≡3 + [b] = [a + b]
[a] ≡3 + [0] = [a + 0] = [a]
[2] + [1] = [0]
[1] + [1] = [2]
[11] + [7] = [18] = [0] poiché 18 è un multiplo di 3.
PROPRIETA’ FONDAMENTALI
Se [a] = [a'] e [b] = [b'], allora [a] + [b] = [a'] + [b'].
Ciò assicura che l’operazione “+” sia ben definita.
La somma è un’operazione compatibile con ≡n ed è una congruenza per ≡n.
(Z/≡n, +, [0] ≡n) è un gruppo?
Lo è se e solo se n è primo.
ANELLO
(R, +, ∙, 0)
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Mariagiovanna Czarnecki
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
Proprietà:
1. (R, +, 0) è un gruppo commutativo abeliano
2. (R, ∙) è un semigruppo
3. Vale la distributività:
a(b + c) = ab + ac a sinistra
(b + c)a = ba + ca a destra
per ogni a, b, c ∈ R.
Esempio:
(Z, +, ∙, 0) è un anello.
ANELLO CON IDENTITA’
(R, +, ∙, 0, 1) è un anello con identità se (R, ∙, 1) è monoide e 0 ≠ 1.
ANELLO COMMUTATIVO
Un anello commutativo è un anello (R, +, ∙, 0) tale che (R, ∙) è commutativo.
(Z, +, ∙, [0], [1]) è un anello commutativo con identità.
LEMMA:
sia R un anello. Allora 0 ∙ a = a ∙ 0 = 0 per ogni a ∈ R (lo 0 commuta con il “∙”).
Dimostrazione:
0a = (0 + 0)a = 0a + 0a quindi 0 = 0a – 0a = 0a + 0a – 0a = 0a (-0a opposto additivo).
Opposto e moltiplicazione:
(-a)b
Per ogni a, b ∈R
(-a)b = a(-b) = -(ab)
Dimostrazione:
(-a)b + (ab) = 0 = (ab) + (-a)b
(-a)b + (ab) = (-a + a)b = 0b = 0
(ab) + (-a)b = (a – a)b = 0b = 0
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Mariagiovanna Czarnecki
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
DOMINI DI INTEGRITA’
Un dominio di integrità è un anello commutativo con identità tale che non vi siano divisori dello 0.
Un divisore dello 0 è u elemento a ∈ R tale che a ≠ 0 ed esiste b ∈ R\{0} tale che ab = 0.
In un dominio di integrità, se ab = 0 allora a = 0 o b = 0.
CAMPI
Un campo è un anello commutativo con identità in cui ogni elemento non nullo è invertibile e se
ac = ab e a ≠ 0 allora b = c.
Se consideriamo (R, +, ∙, 0, 1), (R\{0}, ∙, 1) deve essere un gruppo.
LEMMA:
Ogni campo è dominio di integrità
Dimostrazione:
sia R un campo. Se R non è dominio di integrità, allora esistono a, b ∈ R tali che ab = 0, a ≠ 0, b ≠
0; ma a è invertibile in R e quindi b = 1b = a-1ab = a-10 = 0 il che è assurdo.
Esempi di campi:
Z/≡n = {[a] ≡n : a ∈ Z}
(Z/≡n, +, ∙, [0], [1]) è un campo se n è primo.
[a] + [b] = [a + b]
[a] ∙ [b] = [a ∙ b]
Z/≡5 n = 5: primo, quindi abbiamo un campo
{[0], [1], [2], [3], [4]}
Ogni elemento non nullo ha inverso moltiplicativo.
Chi è, ad esempio, l’inverso moltiplicativo di [3]?  numero b ∈ Z tale che [3] ∙ [b] = [1] = [3b]
quindi b = 2.
ANELLO DEI POLINOMI
Sia R un anello. Uso gli elementi di R come coefficienti.
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Mariagiovanna Czarnecki
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
R[x] = {∑𝑛𝑖=1 𝑎i 𝑥i 𝑛 : ai ∈ R, n ≥ 0} insieme di base per la struttura ad anello.
x: indeterminata
Esempio:
Anello R[x]
3x2 + 3x + 1 ∈ R[x]
1 è l’elemento neutro per R[x]
Se R è un campo, anche R[x] lo è?
1
No, poiché (x2 + x) ∙ (…) = 1 non esiste: infatti 𝑥 2 +𝑥 ∉ R[x], dal momento che non ha la forma aixin.
ANELLO DELLE MATRICI
0
0
(
0
0
Righe
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
) colonne
0
0
Casi particolari:
1. Vettore riga (0 0 0 0)
0
0
2. Vettore colonna ( )
0
0
Le matrici sono identificate da una dimensione.
Matrici (n x m) ad elementi in R (anello).
𝑎11
.
( .
𝑎n1
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑎1m
.
. )
𝑎nm
aij ∈ R per ogni i = 1,…, n e j = 1,…, m
I coefficienti delle matrici possono essere tutto ciò che forma un anello ( ad esempio i polinomi).
SOMMA E MOLTIPLICAZIONE DI MATRICI
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SOMMA
La somma gode di proprietà commutativa.
Le matrici che vengono sommate devono avere la stessa dimensione.
Esempio:
1 7
A = (3 2)
5 0
4 0
B = (0 0 )
1 0
5 0
A + B = (3 2)
6 0
Abbreviazioni:
A = (aij)
B = (bij)
Con i = 1,…, n e j = 1,…, m
A + B = (aij + bij)
MOLTIPLICAZIONE
La moltiplicazione non gode di proprietà commutativa.
Le colonne della prima matrice devono avere lo stesso numero delle righe della seconda.
.
An x p = (.
.
.
ABn x k = (.
.
. .
. .
. .
.
.
Bp x k = (.
.
.
.)
.
.
.
.)
.
.
.)
.
A1 x p ∙ Bp x 1 = (𝑎1
.
𝑏1
. 𝑎𝑝 ) ∙ ( . ) = ∑𝑝 𝑎i 𝑏i
𝑖=1
.
𝑏𝑝
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Ad esempio (2 4
0
6
5 1) ∙ ( ) = 0 + 24 +5 + 0 = 29
1
0
𝑏𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑗
AB = (
𝑐𝑖𝑗
)∙
=(
(
AB = cij = ∑
𝑝
ℎ=1
)
)
𝑎ih 𝑏hj  prodotto i-esima riga di A per j-esima colonna di B.
ANELLO DELLE MATRICI QUADRATE DI DIMENSIONE n SULL’ANELLO R
(Mn(R), +, ∙, 0, 1)
0
0
0=(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
) Matrice nulla
0
0
1
0
1=(
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
) Matrice identica
0
1
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
SPAZI VETTORIALI
Per gli spazi vettoriali vengono messe in relazione due strutture:
1. CAMPO (K, +K, ∙K, 0K, 1K)
2. GRUPPO ABELIANO (V, +V, 0V)
Uno spazio vettoriale, quindi, è una coppia formata da un campo e da un gruppo abeliano.
Gli elementi del gruppo abeliano sono i VETTORI.
Gli elementi del campo sono i COEFFICIENTI.
C’è un’operazione detta prodotto scalare che è una funzione binaria che prende un elemento di K e
di V e ne restituisce uno di V.
KxVV
(α, v) ↦ αv con α ∈ K, v ∈ V
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO SCALARE
1. Associatività: (αβ)v = α(βv) per ogni α, β ∈ K, v ∈ V.
2. Distributività:
a. α(v + w) = αv + αw
b. (α + β)v = αv + βv
Per ogni α, β ∈ K, v, w ∈ V
3. Identità: 1v = v per ogni v ∈ V (1 identità di K).
I coefficienti vengono anche chiamati SCALARI.
Esempi:
1. Sia K un campo, allora l’insieme Kn = {(α1,…, αn): αi ∈ K, i = 1,…, n} (con n ≥ 1) è spazio
vettoriale su K.
Il gruppo abeliano è (Kn, +, (0,…, 0)) e il campo è K.
Prodotto scalare:
λ ∙ (α1,…, αn) = (λα1,…, λαn) con λ ∈ K, (α1,…, αn) ∈ K
1 ∙ (α1,…, αn) = (α1,…, αn)
(α1,…, αn) + (β1,…, βn) = (α1β1,…, αnβn)
2. K0 = {0}
0+0=0
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Mariagiovanna Czarnecki
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
a∙0=0
3. Gruppo dei polinomi a coefficienti in un campo K:
(K[x], +, 0) gruppo abeliano
Spazio vettoriale su K stesso
Prodotto scalare:
α∈K
p(x), q(x) ∈ K[x] polinomi nell’indeterminata x
(α, p(x)) ↦ q(x)
𝑛
Quindi p(x) = ∑𝑖=0 𝛽i 𝑥 𝑖
𝑛
α(p(x)) = ∑𝑖=0(𝛼𝛽i )𝑥 𝑖 = q(x)
1p(x) = p(x)
4. K è spazio vettoriale su K (esempio banale).
Ogni campo è spazio vettoriale su se stesso.
Il campo gode di associatività, distributività e identità.
LEMMA (34.6 Facchini):
Sia V uno spazio vettoriale su K.
a) α ∙ 0V = 0V per ogni α ∈ K
Come negli anelli, anche negli spazi vettoriali α0V = 0V non è un assioma e quindi va
dimostrato.
b) 0V ∙ v = 0V per ogni vettore v ∈ V.
c) (-α)v = α(-v) = -(αv) per ogni α ∈ K e ogni v ∈ V
-α opposto in K, -v opposto nella struttura del gruppo abeliano V
d) αv = 0V se e solo se α = 0K oppure v = 0V.
Dimostrazione:
a) se α ∈ K abbiamo α0V = α(0V + 0V) = α0V + α0V. Sommiamo ad ambo i membri l’opposto
dell’elemento α0V di V ed otteniamo che 0V = α0V.
b) se v ∈ V abbiamo 0Kv = (0K + 0K)v. Sommiamo ad ambo i membri l’opposto dell’elemento
0Kv di V ed otteniamo che 0V = 0Kv.
c) dobbiamo dimostrare che (-α)v è l’opposto di αv nel gruppo abeliano additivo V. bisogna
dunque mostrare che (-α)v + αv = 0V. (-α)v + αv = (-α + α)v = 0Kv = 0V. Analogamente
notiamo che α(-v) = -(αv).
d) (⟸) (supponiamo vero ciò che sta a destra e dimostriamo ciò che sta a sinistra).
22
Mariagiovanna Czarnecki
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
Supponiamo α = 0K oppure v = 0V.
1. Se α = 0K allora per (b) otteniamo αv = 0V
2. Se v = 0V allora per (a) otteniamo αv = 0V
(⟹)
Supponiamo αv = 0V
Ci sono due possibilità:
1. α = 0K allora è vero che α = 0K o v = 0V
2. α ≠ 0K allora esiste α-1 (poiché ogni k non nullo ha un inverso)
v = 1Kv sicuramente vero quindi v = 0V
infatti v = 1Kv = α-1(αv) = α-10V = 0V per proprietà (a).
SOTTOSPAZIO VETTORIALE
Sia V uno spazio vettoriale su K.
U ⊆ V è sottospazio vettoriale di V (su campo K) se U è sottogruppo di V e U è chiuso per il
prodotto scalare per ogni α ∈ K e ogni μ ∈ U, αμ ∈ U.
Esempi:
1. K[x] ≤ n insieme dei polinomi a coefficienti di K ed indeterminata x di grado al più n.
𝑛
K[x] ≤ n = {∑𝑖=0 ai 𝑥 𝑖 : ai ∈ K per ogni i = 1,…, n}
K[x] ≤ n è sottospazio vettoriale di K(x) sul campo K.
2. R[x]≤2 contiene x2, 1 + x2, 0, 2x, √2x
Non contiene x3.
3. (R2, +, 0) è uno spazio vettoriale su R costituito da coppie di reali con somma componente
per componente ovvero somma tale che (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
Ha prodotto scalare α(x, y) = (αx, αy)
(Z2, +, 0) è sottogruppo di (R2, +, 0) ma non è sottospazio vettoriale.
SOTTOSPAZIO GENERATO
PROPOSIZIONE (34.12 Facchini):
Sia V un sottospazio vettoriale su K e sia X ⊆ V.
<X> è il più piccolo sottospazio vettoriale di V su K contenente X.
Sia V uno spazio vettoriale su K.
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
Sia X = {v1,…, vm} ⊆ V
<X> = {∑𝑚
𝑖=1 αi 𝑣𝑖 : αi ∈ K, i = 1,…, m}
<X> è insieme delle combinazioni lineari (sommatorie di vettori). Contiene il vettore nullo.
<Ø> = {0V} per convenzione il sottospazio vettoriale generato dall’insieme vuoto è così definito
(sottospazio nullo).
Se V è uno spazio vettoriale su K e X ⊆ V tale che <X> = V diciamo che X è un insieme di
generatori di V. V è generato dai vettori dell’insieme X.
Esempio:
(R3, +, 0) sul campo R
X = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}  <X> genera tutto R3  <X> = R3 = {αe1 + βe2 + γe3: α, β, γ ∈
R} (combinazioni lineari).
Un qualsiasi vettore v ∈ R3 è N = (α, β, γ) con α, β, γ ∈ R quindi v = αe1 + βe2 + γe3
X' = {e1, e2, e3, (4, 7, 9)}
<X'> = R3? Sì, perché <X'> = { αe1 + βe2 + γe3 + δ(4, 7, 9): α, β, γ, δ ∈ R} ⊇ <X>
Lo spazio generato da X' è uguale a quello generato da X  < X'> = <X>
<X'> = { αe1 + βe2 + γe3 + 0(4, 7, 9): α, β, γ, δ ∈ R} = <X'> = { αe1 + βe2 + γe3 + δ(4, 7, 9): α, β, γ,
δ ∈ R} U { αe1 + βe2 + γe3 + δ(4, 7, 9): α, β, γ, δ ∈ R, δ ≠ 0}.
Se V è spazio vettoriale su K e X ⊆ V tale che <X> = V, allora Y ⊆ V tale che Y ⊇ X si ha
<Y> = V.
COMBINAZIONE LINEARE
DEFINIZIONE (34.13 Facchini):
consideriamo m ≥ 1 vettori v1, v2,…, vm appartenenti ad uno spazio vettoriale V su K. Chiamiamo
combinazione lineare (a coefficienti in K) dei vettori v1, v2,…, vm ogni espressione del tipo α1v1 +
α2v2 +…+ αmvm con α1, α2,…, αm ∈ K.
SPAZIO VETTORIALE DELLE MATRICI
Prendiamo in considerazione un campo K.
(Mm x n (K), +, 0)
m x n elementi presi nel campo K.
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
Prodotto scalare:
𝑎11
𝑎1𝑛
α(
𝛼𝑎11
𝛼𝑎1𝑛
)= (
𝑎𝑚1
𝑎𝑚𝑛
)
𝛼𝑎𝑚1
𝛼𝑎𝑚𝑛
INSIEME DI GENERATORI DELLO SPAZIO VETTORIALE DELLE MATRICI
Combinazione lineare di matrici: somma di matrici moltiplicate per scalari
Sia Eij = (i ∈ {1,…, m}, j ∈ {1,…, n})
Nella matrice in questione 1 è l’elemento in posizione (i, j)
0
0
1
(0
M2 x 2(R)
1 0
E11 = (
)
0 0
E21 = (
0
1
0
)
0
E12 = (
0
0
1
)
0
E22 = (
0
0
0
)
1
0)
X = {Eij: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} è tale che <X> = Mm x n (K)
M2 x 2(R) spazio generato dall’insieme <{E11, E12, E21, E22}>
M2 x 2(R) = <{E11, E12, E21, E22}>
Perché:
𝛼 𝛽
𝛼 𝛽
1 0
0 1
0
sia (
) ∈ M2 x 2(R) allora (
)= 𝛼 (
)+β(
)+ 𝛾 (
𝛾 𝛿
𝛾 𝛿
0 0
0 0
1
0
0 0
)+δ(
)
0
0 1
Esempi:
1. (K[x] ≤ n, +, 0) spazio vettoriale su K
Sia X = {0, x, x', x2,…, xn} insieme di generatori di K[x] ≤ n
𝑛
<X> = K[x] ≤ n perché un polinomio p ∈ K[x] ≤ n è per definizione p = ∑𝑖=0 𝑎i x i
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
2. (K[x], +, 0) spazio vettoriale su K
Esiste un insieme finito di generatori?
No, poiché se fissiamo X ⊆ K[x] finito, allora tra i polinomi che stanno in X c’è un grado
massimo.
Esempio di spazio vettoriale:
KX con X insieme qualsiasi non vuoto.
KX = {f: f funzione da X in K}
KX è un gruppo abeliano  (KX, +, 0) con:
 + (di K): operazione data da (f + g)(x) = f(x) + g(x) (per ogni f, g ∈ KX e ogni x ∈X)
 0(x) = 0 (con lo 0 di K): funzione costante a valore 0
X
(K , +, 0) spazio vettoriale su K con prodotto scalare.
(αf)(x) = α ∙ f(x) (per ogni α ∈ K e ogni f ∈ KX e ogni x ∈ X).
FUNZIONE LINEARE
Applicazione lineare / omomorfismo di spazi vettoriali
DEFINIZIONE (35.1 Facchini):
Siano U, V spazi vettoriali sul campo K.
Proprietà:
1. f: U  V è funzione lineare se f(x + y) = f(x) + f(y) per ogni x, y ∈ U.
2. f (αx) = αf(x) per ogni x ∈ U e ogni α ∈ K.
Se f: U  V è una funzione lineare biiettiva, la chiamiamo isomorfismo lineare.
f(0V) = 0V
f(-u) = -f(u) per ogni u ∈ U (il primo “-“ è l’opposto additivo di u in U, mentre il secondo di f(u) in
V).
Esempio:
(R3, +, 0), (R2, +, 0)
f(x, y, z) = (2x, 3y + z)
Verifichiamo se f è funzione lineare.
u = (x1, x2, x3)
v = (y1, y2, y3)
f(u + v) = f(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) = (2x1 + 2y1, 3x2 + 3y2 + x3 + y3)
f(u) + f(v) = (2x1, 3x2 + x3) + (2y1, 3y2 + y3) = (2x1 + 2y1, 3x2 + 3y2 + x3 + y3) quindi la prima
proprietà è soddisfatta.
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αf(u) = α(2x1, 3x2 + x3) = (2αx1, 3αx2 + αx3)
f(αu) = f(αx1, αx2, αx3) = (2αx1, 3αx2 + αx3) quindi anche la seconda proprietà è soddisfatta.
La funzione, dunque, è lineare.
LEMMA (35.7 Facchini):
f: U  V funzione lineare tra spazi vettoriali su K.
a) Se X è sottospazio di U allora f(X) (immagine dell’insieme X) è sottospazio di V.
b) Se Y è sottospazio di V allora f-1(Y) è sottospazio di U.
Dimostrazione:
a) Sappiamo che f(X) è un sottogruppo di V e f-1(Y) un sottogruppo di U. Siano f(u), f(u') due
elementi qualsiasi di f(X) (cioè u, u' ∈ X). Allora dobbiamo calcolare f(u) + f(u') = f(u + u').
il risultato è un’immagine di un vettore di X quindi sta in f(X). Se α ∈ K allora αf(u) = f(αu)
∈ f(X).
b) Per provare che f-1(Y) è un sottospazio di U basta osservare che se α ∈ K e v ∈ f-1(Y), allora
f(v) ∈ Y, da cui f(αv) = αf(v) ∈ Y e quindi αv ∈ f-1(Y).
NUCLEO (KERNEL)
DEFINIZIONE (35.8 Facchini):
Sia f: U  V una funzione lineare.
kerf = {u ∈ U: f(u) = 0V}. Si tratta dell’insieme dei vettori la cui immagine è il vettore nullo 0 nello
spazio di arrivo,
kerf ⊆ U è sottospazio di U.
Siano u, u' ∈ kerf.
f(u + u') = f(u) + f(u') = 0V + 0V = 0V quindi è un elemento di kerf.
f(αu) deve stare in V.
f(αu) = αf(u) = α0V = 0V.
Quindi kerf è sottospazio vettoriale.
Kn è spazio vettoriale su K.
(_, _, _) gli elementi di Kn sono ennuple.
fA : Kn  Km. vogliamo mostrare che da una matrice A ∈ Mmxn(K) posso definire fA creata usando
la matrice A.
fA(v) = Av (con moltiplicazione fra matrici).
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
𝛼1
.
v ∈ Kn quindi v = ( . )
𝛼𝑛
𝑎11
.
. 𝑎1𝑛
𝛽1
𝛼1
.
.
.
.
.
( . )=
.
.
𝛼𝑛
𝑎
𝑎
𝛽
𝑚𝑛 )
( 𝑚1
( 𝑚)
fA(v + v) = fA(v) + fA(v)
fA(αv) = α fA(v) = A(λv) = λ(Av)
fA(u + v) = A(u + v) = Au + Av
Moltiplicazione matriciale.
DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE
DEFINIZIONE (36.1 Facchini):
Insieme di vettori linearmente indipendenti:
Sia V uno spazio vettoriale su K e siano v1,…,vm vettori ∈ V.
Si dicono linearmente indipendenti se e solo se per ogni combinazione lineare che coinvolge
v1,…,vm (α1v1 + α2v2 +…+ αmvm = 0V) dando il vettore nullo, abbiamo che α1 = α2 =…= αm = 0K.
Si dicono linearmente dipendenti se non sono linearmente indipendenti.
v1,…,vm si dicono linearmente dipendenti se e solo se esiste una sequenza α1 … αm di scalari non
tutti nulli tali che ∑𝑚
𝑖=1 αi 𝑣𝑖 = 0V.
Esempio:
se prendiamo in considerazione i vettori v, v, u essi saranno sicuramente linearmente dipendenti
poiché stiamo prendendo dei doppioni.
α1 = 1, α2 = -1, α3 = 0  α1v + α2v + α3u = 0V
Affinché siano linearmente indipendenti non bisogna prendere doppioni.
Anche se c’è il vettore nullo abbiamo dipendenza:
v1, v2, 0V, v3
α1 = α2 = α4 = 0, α3 = 1  α1v1 + α2v2 + α30V + α4v3 = 0V
Esempio di vettori linearmente indipendenti:
e1, e2, e3 ∈ R3
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ei = (0,…, 1,…, 0) 1 è la componente i – esima.
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
e1, e2, e3 sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione:
sia ∑3𝑖=1 αi 𝑒𝑖 = 0 vettore nullo.
Allora:
1. α11 + α20 + α30 = 0  α1 = 0
2. α10 + α21 + α30 = 0  α2 = 0
3. α10 + α20 + α31 = 0  α3 = 0
PROPOSIZIONE (36.4 Facchini):
i vettori v1…vm ∈ V sono linearmente dipendenti se e solo se uno è combinazione lineare degli altri
(esiste j ∈ 1,…, m ed esistono α1,…, αj-1,…, αj+1,…, αm tali che vj = ∑𝑚
𝑘=1 αk 𝑣𝑘 con k ≠ j.
Dimostrazione:
(⟹)
Supponiamo che v1…vm siano linearmente dipendenti cioè che esistano coefficienti non tutti nulli
α1…αm ed esista j tale che αj ≠ 0 tale che ∑𝑚
𝑘=1 αk 𝑣𝑘 = 0 (siamo in un gruppo abeliano quindi vale
la commutatività).
𝑚
Quindi αjvj = ∑𝑘=1(−αk )𝑣k con k ≠ j.
𝑚
(αj-1)( αjvj) = (αj-1)(∑𝑘=1(−αk )𝑣k)
𝑚
vj = ∑𝑘=1(−αk αj-1)vk
Allora vj è combinazione lineare di α1,…, αj-1,…, αj+1,…, αm
(⟸)
Supponiamo vj = ∑𝑚
𝑘=1 αk 𝑣𝑘 con k ≠ j siccome siamo in un gruppo abeliano possiamo usare
l’opposto additivo.
0 = v j = ∑𝑚
𝑘=1 αk 𝑣𝑘 con k ≠ j combinazione di vettori che danno il vettore nullo  v1…vm sono
linearmente dipendenti.
PROPOSIZIONE (36.8 Facchini):
{v0,…, vm} insieme di vettori (quindi non ci sono doppioni), se:
1. <{v0,…, vm}> = V insieme che genera V
2. v0 è combinazione lineare di v1,…, vm
allora <{v1,…, vm}> = V l’insieme senza v0 genera lo stesso spazio.
Dimostrazione:
assumiamo che le ipotesi siano vere.
Dobbiamo mostrare che qualsiasi vettore in V è combinazione lineare di v1,…, vm.
Sia u ∈ V.
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u = ∑𝑚
𝑘=0 αk 𝑣𝑘 poichè {v0,…, vm} generano V.
𝑚
𝑚
u = (∑𝑚
𝑘=1 αk 𝑣𝑘 ) + α0(∑𝑘=1 βk 𝑣𝑘 ) = ∑𝑘=1(αk + 𝛼0 𝛽𝑘 )vk
BASI
DEFINIZIONE (36.9 Facchini):
Sia V uno spazio vettoriale su K.
Sia B ⊆ V un insieme finito di vettori.
B è base di V se V è generato da B (V = <B>) e B è linearmente indipendente.
Sia X ⊆ V: più grande è X più cose può generare ma diminuisce la possibilità che sia linearmente
indipendente.
PROPRIETA’ DI UNA BASE:
Una base è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Per ogni B' ⊃ B, B' non è
linearmente indipendente.
LEMMA (36.14 Facchini):
Se X è un insieme che genera V allora X contiene una base di V.
PROPOSIZIONE (36.15 Facchini):
Sia B ⊆ V (finito) allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
a) B è base di V
b) B è un insieme linearmente indipendente massimale di vettori
c) B è un insieme minimale di generatori
Dimostrazione:
1. (a) ⟹ (b)
Supponiamo vera (a).
Sia B una base di V.
Per definizione B è linearmente indipendente. Bisogna dimostrare, ora, che è massimale 
B' ⊃ B deve essere non linearmente indipendente.
Sia B' ⊃ B e sia v ∈ B' – B.
Allora, poiché <B> = V, abbiamo che v = ∑𝑚
𝑖=1 𝛼𝑖 𝑢𝑖 con B = {u1,…, um}.
Quindi B' è linearmente dipendente.
2. (b) ⟹ (a)
Supponiamo che B sia un insieme linearmente indipendente massimale.
Bisogna dimostrare che B genera tutto V.
B è linearmente indipendente per ipotesi.
Dimostriamo che B genera V  <B> = V
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Sia v ∈ V un vettore qualsiasi dello spazio V e sia B = {u1,…, um}.
Dobbiamo considerare due casi:
a. v ∈ B.
Se v ∈ B, esiste i ∈ {1,…, m} tale che ui = v.
Scelgo α1 = 1, αj = 0 per ogni j ∈ {1,…, m}-{1}.
∑𝑚
𝑖=1 𝛼𝑖 𝑢𝑖 = v combinazione lineare dei vettori di B che ci dà v.
b. v ∉ B.
Allora B' = {v} U B è l’insieme che estende propriamente B quindi non è
linearmente indipendente a causa di v cioè v è combinazione lineare dei vettori di B
ovvero v ∈ <B>  v è un vettore qualsiasi dello spazio V quindi <B> = V (lo spazio
generato da B è tutto V).
3. (a) ⟹ (c)
Supponiamo che B sia base per V (quindi per definizione B è insieme minimale di
generatori). Dobbiamo dimostrare che è minimale.
Sia B' ⊂ B. Vogliamo mostrare che <B'> ≠ V (l’insieme generato da B' non è V), quindi
<B'> ⊂ V (esiste v che non è combinazione lineare di B').
Sia v ∈ B - B'.
Siccome B genera V, v è combinazione lineare dei vettori di B.
Dobbiamo dimostrare che v ∉ <B'>.
Se per assurdo v ∈ B' (quindi v sarebbe combinazione lineare dei vettori di B') allora anche
v ∈ <B – {v}> cioè B non sarebbe linearmente indipendente e non potrebbe essere una base,
il che sarebbe in contraddizione con l’ipotesi. ASSURDO.
4. (c) ⟹ (a)
Sia B insieme minimale di generatori di V.
Dimostriamo che è una base.
Per ipotesi <B> = V.
Ci manca da dimostrare che B è linearmente indipendente.
Per il lemma 36.14, B contiene una base. B è un insieme minimale di generatori quindi non
possiamo togliere nulla allora B è proprio quella base.
TEOREMA DI SOSTITUZIONE DELLE BASI (36.16 Facchini)
Sia V uno spazio vettoriale su K.
Sia B = {v1,…, vn} una base di V.
Siano w1,…, wm vettori linearmente indipendenti in V.
Allora m ≤ n (non si possono prendere più vettori di v1,…, vn per avere una base) e l’insieme B' =
{w1,…, wm, vm+1,…, vn} è una base di V.
Esempio:
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siano w1 = (0, 3, 2) e w2 = (7, 1, 0)
w1 e w2 sono linearmente indipendenti tra loro.
Possiamo applicare il teorema di sostituzione delle basi. Togliamo i vettori linearmente indipendenti
sostituendoli con altri vettori linearmente indipendenti e ottenendo, così, una nuova base. Possiamo
sostituire w1 e w2 al posto di due vettori in {e1, e2, e3} e ottenere una nuova base. Se m = n allora
abbiamo una base: se in R3 prendo 3 vettori linearmente indipendenti automaticamente ho una base.
COROLLARIO (36.17 Facchini):
Tutte le basi di uno spazio hanno la stessa cardinalità.
DIMENSIONE DI V:
dim(V) = cardinalità di una base qualsiasi di V (se c’è) altrimenti dim(V) = ∞ (se non c’è nessuna
base di V allora ha dimensione infinita).
Esempio (36.1 Facchini):
Q[x] ≤ 2 spazio vettoriale i cui elementi sono polinomi a coefficiente razionale con grado al più 2.
A = {2, 1+x, 1-x2, -2x-x2, x2} (q1, q2, q3, q4, q5).
Dimostriamo che <A> = Q[x] ≤ 2.
Sia p ∈ Q[x] ≤ 2 : bisogna mostrare che p è combinazione lineare di A cioè che esistono α1, α2, α3, α4,
α5 tali che p = ∑5𝑖=1 αi 𝑞𝑖
p = a + bx + cx2
dimostrare che a + bx + cx2 = ∑5𝑖=1 αi 𝑞𝑖 = 2α1 + α2 + α3 + (α2 - 2α4)x + (- α3 - α4 + α5)x2.
a = 2α1 + α2 + α3
b = α2 - 2α4
c = - α3 - α4 + α5
Per ogni a, b, c ∈ Q devono esistere α1, α2, α3, α4, α5 ∈ Q tali che il sistema sia soddisfatto.
α2 = -b + 2α4
α1 = ½(a - α2 - α3)
α4 = -c - α3 + α5
la cardinalità della base è 3 poiché Q[x] ≤ 2 ha base {1, x, x2}, quindi da A possiamo ottenere una
base eliminando due vettori.
Tutti i vettori corrispondenti ai coefficienti superflui possono essere eliminati.
COROLLARIO (36.19 Facchini):
sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita.
Siano w1…wm vettori di V linearmente indipendenti.
Esiste una base di V contenente w1…wm.
Dimostrazione:
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sia dim(V) = n e sia {v1…vn} una base di V. per il teorema di sostituzione si può ottenere un’altra
base B di V sostituendo m vettori vi con gli m vettori w1…wm. quindi B è una base di V che
contiene w1…wm.
PROPOSIZIONE (36.20 Facchini):
se V è spazio vettoriale di dimensione finita e U ⊆ V allora dim(U) ≤ dim(V).
Dimostrazione:
per assurdo supponiamo che esista uno spazio vettoriale V di dimensione finita n con un sottospazio
vettoriale U di dimensione infinita. Allora nessun sottoinsieme finito di U è una base di U: per la
proposizione 36.15 ogni sottoinsieme B di U costituito da vettori linearmente indipendenti non è
massimale, ovvero, per ogni sottoinsieme B di U costituito da vettori linearmente indipendenti
esiste un sottoinsieme B' di U a sua volta costituito da vettori linearmente indipendenti e contenete
B propriamente. Costruiamo la successione u1,u1…un+1 di vettori linearmente indipendenti di U.
Avendo U dimensione infinita, sarà U ≠ {0} e quindi esiste u1 ∈ U e u1 ∉ 0. In questo caso la
successione è banalmente costituita da vettori linearmente indipendenti. Supponiamo, adesso, di
avere i vettori linearmente indipendenti u1,u1…ui di U. Dal momento che U non ha insiemi di
vettori linearmente indipendenti massimali, l’insieme B = {u1,u1…ui} è propriamente contenuto in
B', insieme di vettori linearmente indipendenti di U, e, quindi, esiste ui+1 ∈ B' ⊆ U tale che
u1,u1…ui, ui+1 siano linearmente indipendenti. Dopo n passi troveremo n + 1 vettori u1,u1…un+1 di U
linearmente indipendenti. Ma l’esistenza di n + 1 vettori linearmente indipendenti contraddice il
teorema di sostituzione. Ciò dimostra che ogni sottospazio U di uno spazio vettoriale V di
dimensione finita ha dimensione finita. Inoltre dim(U) ≤ dim(V) per il teorema 36.16.
ESTENSIONE PER LINEARITA’
TEOREMA (38.1 Facchini):
siano V e W degli spazi vettoriali su un campo K.
Sia B = { v1, …, vn} una base di V e sia w1…wn una ennupla di vettori di W.
Esiste un’unica applicazione lineare f: V  W: f(vi) = wi (per i = 1, …, n).
Dimostrazione:
1. Esistenza: definiamo f come segue: dobbiamo definire f(v) per v ∈ V arbitrario.
Sia v ∈ V: siccome B è base, v = ∑𝑛𝑖=1 αi 𝑣𝑖
f(v) = ∑𝑛𝑖=1 αi 𝑤𝑖 .
2. Linearità: dobbiamo dimostrare f(βv) = βf(v).
f(βv) = f(∑𝑛𝑖=1 βαi 𝑣 ) (applicando proprietà distributiva) = ∑𝑛𝑖=1 βαi 𝑤𝑖 .
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βf(v) = β(∑𝑛𝑖=1 αi 𝑤𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 βαi 𝑤𝑖 .
3. Somma: siano v = ∑𝑛𝑖=1 αi 𝑣𝑖 e u = ∑𝑛𝑖=1 βi 𝑣𝑖
a) f(v + u) = f(u) + f(v)
𝑛
𝑛
b) f(u + v) = f( ∑𝑖=1(βi + αi )𝑣𝑖 ) = ( ∑𝑖=1(βi + αi )𝑤𝑖 )
𝑛
𝑛
𝑛
c) f(u) + f(v) = ∑𝑖=1(βi 𝑤𝑖 ) + ∑𝑖=1(αi 𝑤𝑖 ) = ( ∑𝑖=1(βi + αi )𝑤𝑖 )
4. Dimostriamo l’uguaglianza f(vi) = wi:
f(vi) = f(∑𝑛𝑖=1 αi 𝑣𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 αi 𝑤𝑖 = wk poiché la sommatoria contiene un solo elemento e
quindi è il medesimo.
5. Unicità (vale a dire f è l’unica funzione lineare U  W):
sia g: V  W lineare tale che g(vi) = wi (i = 1,…, n).
Sia v un vettore di V  f(v) = ∑𝑛𝑖=1 αi 𝑤𝑖 , v = ∑𝑛𝑖=1 αi 𝑣𝑖
𝑛
𝑛
g(v) = ∑𝑖=1 g(αi 𝑣𝑖 ) = ∑𝑖=1 αi 𝑔(𝑣𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=1 αi 𝑤𝑖 .
LEMMA (38.3 Facchini):
Siano V e W spazi vettoriali su K.
Sia B = { v1, …, vn} una base di V e sia f: V  W lineare.
Allora f è isomorfismo se e solo se f(B) = { f(v1),…, f(vn)} è una base di W.
Dimostrazione:
(⟹)
Supponiamo che f sia isomorfismo. Dimostriamo che è una base.
𝑛
a) Siano α1,…, αn tali che ∑𝑖=1 αi 𝑓(𝑣𝑖 ) = 0W.
𝑛
Per linearità f(∑𝑖=1 αi 𝑣𝑖 ) = 0w.
Isomorfismo  biiettiva  iniettiva  ∑𝑛𝑖=1 αi 𝑣𝑖 = 0V  α1 = α2 = … = 0K
b) Base (i vettori generano tutto lo spazio):
sia w ∈ W  esiste v ∈ V tale che f(v) = w (suriettività derivata dall’isomorfismo).
𝑛
Ma v = ∑𝑛𝑖=1 αi 𝑣𝑖 allora f(v) = ∑𝑖=1 αi 𝑓(𝑣𝑖 ) = w
(⟸)
Supponiamo f(B) base di W.
a) Suriettività:
𝑛
𝑛
per ogni w ∈ W esiste una combinazione lineare ∑𝑖=1 αi 𝑓(𝑣𝑖 ) = w quindi f(∑𝑖=1 αi 𝑣𝑖 ) = w
è suriettiva.
b) Iniettività:
supponiamo f(v) = f(u) (u, v ∈ V).
f(v) + (-f(u)) = f(u) + (-f(u))
f(v) + f(-u) = 0W
f(v – u) = 0W
Sappiamo che f(0V) = 0W, quindi dimostriamo che v = u (v – u = 0V).
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Background:
ker f = {v ∈ V: f(v) = 0W}
f è iniettiva se e solo se ker f = {0V}.
Se ker f ≠ {0V} non sarebbe iniettiva (due vettori).
Contropositiva: ker f = {0V}  iniettiva.
Da ciò deriva f(v – u) = 0W  v – u = 0V  v = u (abbiamo usato l’implicazione che ker f = {0V}.
Dobbiamo, tuttavia, dimostrarlo.
Sia v ∈ V, f(v) = 0W  v = 0V.
Dimostrazione:
𝑛
esiste una combinazione lineare ∑𝑖=1 αi 𝑓(𝑣𝑖 ) = 0W  α1 = α2 = … = αn = 0K
𝑛
𝑛
∑𝑖=1 αi 𝑓(𝑣𝑖 ) = 0W = f(∑𝑖=1 αi 𝑣𝑖 )
Quindi v = 0V + 0V + 0V + … 0V.
L’iniettività è dimostrata perciò abbiamo un isomorfismo.
TEOREMA (38.4 Facchini):
sia W uno soazio vettoriale su K e sia dim(W) = n, allora W ≅ Kn.
Dimostrazione:
sia dim(W) = n
dim(Kn) = n perché Kn ha base { e1, e2,…, en} (formata da vettori canonici).
W ha base { w1, w2,…, wn}.
Allora:
 e1  w1
 e2  w2
 en  wn
Esiste un’unica funzione lineare f: Kn  W tale che f(ei) = wi per ogni i = 1,..., n. La funzione f è
isomorfismo (per il lemma 38.3).
PROPOSIZIONE (38.5 Facchini):
sia f: V  W una funzione lineare, V e W sono spazi vettoriali su un campo K (sappiamo che f(V)
è sottospazio di W e ker f è sottospazio di V).
Sia V di dimensione finita allora f(V) ha dimensione finita e dim(V) = dim(ker f) + dim(f(V)).
f(V) = {f(v): v ∈ V}.
Se f è iniettiva allora ker f = {0V} e quindi dim(ker f) = 0
(<Ø> = {0V} e la dimensione del sottospazio nullo è 0).
Quindi, dim(V) = dim(f(V)) e quindi V ≅ f(V), ossia V è isomorfo a f(V), poiché tutti gli spazi
sullo stesso campo, se hanno la stessa dimensione, sono isomorfi.
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
Perciò, f è ismorfismo.
COROLLARIO (38.7 Facchini):
sia f: V  V un endomorfismo lineare.
Sia V di dimensione finita.
Allora f è suriettiva se e solo se f è iniettiva (ipotesi di iniettività implica suriettività).
Dimostrazione:
(⟸)
Iniettivià implica suriettività: segue dalla formula dim(V) = dim(ker f) + dim(f(V)).
f(V) ⊆ V  f(V) = V (tutti i vettori di V sono immagine di un qualche vettore di V).
Sapendo che dim(ker f) = 0, dim(f(V)) = dim(V).
f(V) ha una base {a1,…, an} e V ha una base {b1,…, bn}.
Per il teorema di sostituzione si possono sostituire i vettori delle due basi ottenendo la stessa base
 f(V) = V, quindi è lo stesso spazio.
(⟹)
Supponiamo f suriettiva.
f(V) = V quindi dim(V) = dim(f(V)).
Perciò dim(ker f) = 0  ker f = {0V}  f è iniettiva.
Dimostrato ciò, giungiamo alla conclusione che gli spazi vettoriali sono fortemente caratterizzati
dalle loro basi.
MATRICE ASSOCIATA AD UNA APPLICAZIONE LINEARE
Sia f: V  W un’applicazione lineare, dim(W) = m e dim(V) = n.
fA: Km  Kn , solo che al posto di Km e Kn abbiamo due spazi arbitrati V e W su campo K.
fA(v) = Av
dim(W) = m  W ha base { w1,…, wm}.
dim(V) = n  V ha base { v1,…, vn}.
f(vj) è vettore di W per ogni j = 1,…, n e quindi f(vj) è combinazione lineare di w1,…, wn.
per ogni j ∈ {1,…, n} esistono m coefficienti a1j, a2j,…, amj tali che f(vj) = ∑
𝑎11 . 𝑎1𝑗 .
𝑎21 . 𝑎2𝑗 .
Af = ( .
.
.
.
𝑎𝑚1 . 𝑎𝑚𝑗 .
Nella colonna j-esima i
della base di W.
𝑚
𝑖=1
αij 𝑤𝑖 .
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
. ) matrice che dipende dalla funzione e la descrive completamente.
𝑎𝑚𝑛
coefficienti (elementi di K) esprimono f(vj) come combinazione lineare
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Anno accademico 2014-2015, I semestre
Af è la matrice associata ad f rispetto alle basi considerate, ovvero { w1,…, wn} e { v1,…, vn}.
Af ∈ Mnxn (K).
Come si calcola f(v) per un qualsiasi v ∈ V?
Sappiamo che v = ∑
∑
𝑛
𝑗=1
αj 𝑓(𝑣𝑗 ) = ∑
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1
αj 𝑣𝑗 quindi f(v) = ∑
αj (∑
𝑚
𝑖=1
𝑛
𝑗=1
𝑛
αj 𝑓(𝑣𝑗 ) (per la linearità di f).
aij 𝑤𝑗 ) = ∑
𝑗=1
∑
𝑚
𝑖=1
𝑚
αj 𝑎𝑖𝑗 𝑤𝑖 = ∑
(∑
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
αj 𝑎𝑖𝑗 )𝑤𝑖 (per
commutatività e distributività).
𝛼1
𝛽1
.
.
Se Cv = ( . ) allora AfCv = ( )
.
𝛼𝑛
𝛽𝑚
𝛽𝑚 coefficienti dati dalla moltiplicazione AfCv con cui si esprime f(v) come combinazione lineare
di w1,…, wn.
Come calcolo f(v)?  f(v) = ∑𝑚
𝑖=1 βi 𝑤𝑖
Parto da f e da due basi { v1,…, vn} e { w1,…, wm}.
Per calcolare f(v):
𝛼1
𝑛
.
1. Trovare il vettore colonna ( . ) tale che v = ∑ αj 𝑣𝑗 .
𝑗=1
𝛼𝑛
2. Trovare f(vj) per j = 1,…, n.
3. Riempire la matrice Af.
𝛼1
𝛽1
.
.
4. Calcolare il vettore colonna ( ) dato dalla moltiplicazione Af ( . ).
.
𝛼𝑛
𝛽𝑚
𝑚
5. Calcolare f(v) = ∑𝑖=1 βi 𝑤𝑖 .
Esempio (39.7 pagina 345 Facchini):
f: R3  R3
e1 = (1, 0, 0)
f(e1) = e1
f(e2) = e1 + e2
f(e3) = e1 - 2e2
Capire la legge della funzione f.
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Vogliamo scrivere la matrice Af rispetto alle basi canoniche.
f(1, 0, 0) = (1, 0, 0) = 1 ∙ e1 + 0 ∙ e2 + 0 ∙ e3
f(0, 1, 0) = (1, 1, 0) = 1 ∙ e1 + 1 ∙ e2 + 0 ∙ e3
f(0, 0, 1) = 1 ∙ e1 + (-2) ∙ e2 + 0 ∙ e3
1 1
Af = (0 1
0 0
1
−2)
0
Trovare f(v) per v qualsiasi.
Consideriamo, ad esempio, v = (-2, 7, 9)
𝛼1
−2
(𝛼2 ) = ( 7 )
𝛼3
9
𝛽1
1 1 1
−2
14
(𝛽2 ) = (0 1 −2) ( 7 ) = (−11)
𝛽3
0 0 0
9
0
f(x, y, z) = ∑3𝑖=1 βi 𝑤𝑖 = ∑3𝑖=1 βi 𝑒𝑖
𝛽1
𝑥
x+y+z
(𝛽2 ) = Af (𝑦) = ( 𝑦 − 2𝑧 ) = (x + y +z) ∙ e1 + (y – 2z) ∙ e2 = (x + y + z, y – 2z, 0).
𝑧
𝛽3
0
Abbiamo, così, ottenuto la legge generale di f.
LEMMA:
sia W uno spazio vettoriale su K e sia {w1,…, wm} una sua base. Allora per ogni u ∈ W esiste
𝛽1
.
un’unica m-upla ( ) tale che u = ∑𝑚
𝑖=1 βi 𝑤𝑖 .
.
𝛽𝑚
Dimostrazione:
𝛽1
.
sia u ∈ W. Sicuramente esiste una m-upla ( ) tale che ∑𝑚
𝑖=1 βi 𝑤𝑖 = u poiché {w1,…, wm} è una
.
𝛽𝑚
base.
38
Mariagiovanna Czarnecki
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Università Ca’ Foscari Venezia
Anno accademico 2014-2015, I semestre
𝛼1
.
𝑚
𝑚
Supponiamo che ( . ) sia tale che ∑𝑚
𝑖=1 αi 𝑤𝑖 = u. Allora ∑𝑖=1 αi 𝑤𝑖 = ∑𝑖=1 βi 𝑤𝑖 .
𝛼𝑚
𝑚
Siccome W è gruppo abeliano, si può fare (∑𝑚
𝑖=1 αi 𝑤𝑖 ) – (∑𝑖=1 βi 𝑤𝑖 ) = 0W.
𝑚
Si può raccogliere a fattor comune (per proprietà associativa) ∑𝑖=1(αi − βi )𝑤𝑖 = 0W.
Poiché {w1,…, wm} è una base, per indipendenza lineare di {w1,…, wm}, abbiamo che αi − βi = 0K
per ogni i = 1,…, m, cioè αi = βi per ogni i = 1,…, m.
DEFINIZIONE:
dato W spazio vettoriale su K con base {w1,…, wm} possiamo definire due funzioni:
1. χ: W  Km
𝛼1
𝛼1
.
.
v ↦ ( . ) , dove ( . ) è l’unica m-upla tale che v = ∑𝑚
𝑖=1 αi 𝑤𝑖 .
𝛼𝑚
𝛼𝑚
m
2. σ: K  W
𝛼1
.
( . ) ↦ ∑𝑚
𝑖=1 αi 𝑤𝑖 .
𝛼𝑚
Sono funzioni lineari, biiettiva e una è l’inversa dell’altra.
TEOREMA:
le funzioni χ e σ sono biiettive, lineari e l’una inversa dell’altra. Allora W ≅ Km (isomorfo).
SOMMA DI SPAZI VETTORIALI
Sia V uno spazio vettoriale su K.
Siano U, W ⊆ V sottospazi.
Allora U ∩ W è sottospazio di V.
U ⊕ W = {u + w: u ∈ U, w ∈ W} è sottospazio di V.
Con ⊕ si indica la somma diretta interna (interna poiché abbiamo spazi vettoriali che sono già
sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale più grande).
TEOREMA (37.1 Facchini):
FORMULA DI GRASSMAN
Sia V uno spazio vettoriale su K.
Siano U, W sottospazi di dimensione finita di V.
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Allora U ∩ W e U ⊕ W hanno dimensione finita e vale che dim(U) + dim(W) = dim(U ⊕ W) +
dim(U ∩ W).
LEMMA (37.2 Facchini):
(spiega quando V può essere visto come somma di due sottospazi)
Sia V uno spazio vettoriale su K e siano U, W sottospazi di V.
Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
a) U + W = V e U ∩ W = {0V}
b) Ogni vettore v ∈ V si scrive come somma di vettori di U e W in maniera unica:
∀ v ∈ V ∃! u ∈ U, ∃! w ∈ W: v = u + w
Dimostrazione:
1. (a) ⟹ (b)
Sia v ∈ V. Siccome V = U + W, esistono u ∈ U, w ∈ W tali che u + w = v (ora bisogna
dimostrare che sono unici).
Supponiamo che esistano u' ∈ U e w' ∈ W tale che u' + w' = v. Allora u + w = u' + w' (ora
bisogna sfruttare il fatto di essere in un gruppo abeliano).
Quindi u - u' = w – w'  i vettori coincidono quindi sono sia vettori di U che di W.
Siccome U ∩ W = {0V}, u - u' = 0 e w – w' = 0 cioè u = u' e w = w' (unicità).
2. (b) ⟹ (a)
Supponiamo che ∀ v ∈ V ∃! u ∈ U, ∃! w ∈ W: v = u + w ①
Ciò implica che V ⊆ U + W (V sottoinsieme di U + W).
Ma U + W ⊆ V quindi U + W = V.
Sia x ∈ U ∩ W.
Applichiamo la proprietà ① al vettore nullo.
0 = u + w per opportuni u ∈ U e w ∈ W.
Posso scegliere u = 0 e w = 0 oppure 0 = x – x per ciascun x ∈ V.
Quindi ciò vale anche per x ∈ U: 0 + 0 = 0 = x – x .
Allora, per unicità, x = 0, cioè U ∩ W = {0V}.
Esercizio (39.6 Facchini):
si dimostri che B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, -1)} è base di R3.
v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, -1)
1. Dimostrare che i vettori di B sono linearmente indipendenti.
2. Dimostrare che i vettori di B generano tutto lo spazio.
0
Siano α, β, γ tali che αv1 + βv2 + γv3 = 0 (0 di R3 quindi (0) )
0
(α, 0, 0) + (β, β, 0) + (γ, γ, -γ) = 0
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α+β+γ
α+β+γ
α=0
( β+γ )
β+γ  β=0
𝛾=0
−𝛾
−𝛾
Mostriamo che <{v1, v2, v3}> = R3
Sia u ∈ R3. Devo trovare 3 coefficienti reali α, β, γ tali che u = αv1 + βv2 + γv3.
α+β+γ
𝑥
𝑦
Per ogni x, y, z ∈ R esistono α, β, γ tali che ( ) = ( β + γ )
𝑧
−𝛾
Dimostrare che esiste sempre una soluzione nelle incognite α, β, γ.
α= x−y−z+z =x−y
x= α+β+γ
x=α+β−z
α=x−β+z
β= y+z
y= β+γ  γ = y−β  β= y+z 
𝛾 = −𝑧
𝑧 = −𝛾
𝛾 = −𝑧
𝛾 = −𝑧
FUNZIONI LINEARI IN MATRICI
ISOMORFISMO
V, W spazi vettoriali con dim(V) = n, dim(W) = m.
Le matrici Mmxn (K) (dim = mxn) sono uno spazio vettoriale su K.
HomK (V, W) è uno spazio vettoriale su K i cui elementi sono le funzioni lineare da V  W.
La struttura di HomK (V, W) è:
 (f+g)(v) = f(v) + g(v)
 (αf)(v) = αf(v)
per ogni v ∈ V.
0
.
Base di Mmxn (K)  Eij = (
.
0
. . .
. 1 .
. . .
. . .
0
.
)
.
0
Mmxn (K) oltre ad essere spazio vettoriale è anche anello (con moltiplicazione).
Una matrice A ∈ Mn (K) è invertibile se esiste una matrice B ∈ Mn (K) tale che A ∙ B = I (matrice
identica).
1 0 0 0
0 1 0 0
I=(
)
0 0 1 0
0 0 0 1
C’è una fortissima connessione fra HomK (Kn, Kn) ≅ Mn (K) come spazio vettoriale e come anello.
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PROPOSIZIONE (39.8 Facchini):
Sia μ: HomK (V, W)  Mmxn (K).
f ↦ Af
Siano V, W spazi vettoriali di dimensione finita : dim(W) = m, dim (V) = n.
Allora μ è isomorfismo lineare di spazi vettoriali.
Prendiamo HomK (Kn, Kn) fra tutti gli spazi di dimensione n.
v ∈ Kn.
Se A, B ∈ Mn (K) e possiamo effettuare la moltiplicazione A ∙ B, allora A e B hanno le funzioni
associate fA ed fB. A ∙ B ha come funzione associata fA ◦ fB.
fA ◦ fB = fAB.
La matrice identica viene mandata nella funzione identità.
AB = I
Da matrice invertibile a funzione invertibile: esiste la funzione inversa.
fA ◦ fB = fAB = fI = idKn
Una matrice è invertibile se e solo se la funzione ad essa associata è invertibile.
Invertibile  iniettiva  suriettiva  biiettiva  invertibile sia a destra che a sinistra.
Quindi, se una matrice è invertibile, lo è sia a sinistra che a destra.
f  Af
f è la funzione f ↦ Af
COROLLARIO (39.7 Facchini):
sia A ∈ Mn (K)
allora AB = I se e solo se BA = I (se una matrice ha inverso destro allora ha anche inverso sinistro).
B si dice matrice inversa di A. dal momento che un inverso, se esiste, è uncico, possiamo indicare B
con A-1.
A ∙ A-1 = I = A-1∙ A
RANGO DI UNA MATRICE
A ∈ Mn (K)
Il rango è il numero massimo di colonne (o righe) linearmente indipendenti.
Una matrice è una giustapposizione di colonne:
A = A1| A2| … |An Ai ∈ Km
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Km è spazio vettoriale quindi ha la nozione di indipendenza lineare.
Il rango di una matrice può essere maggiore di n?
Il rango deve essere ≤ m poiché m è i massimo numero di vettori linearmente indipendenti in Km
(Km ha base di dim = n).
rg (A) ≤ m e rg (A) ≤ n quindi rg (A) ≤ min(m,n)
2 4 8 16
2 4 8 16
A = 2 4 8 16 con m = 5 e n = 4
2 4 8 16
(2 4 8 16)
rg (A) = 1 poiché ogni vettore è combinazione lineare dell’altro.
Matrici e funzioni sono strettamente connesse fra loro.
F: V  W
dim (V) = n, dim (W) = m
Il rango di f è dim (f(V)) ovvero è la dimensione dell’immagine di f.
rg (f) = dim (f(V))
PROPOSIZIONE (39.11 Facchini):
rg (f) = rg (Af)
rg (f) = rg (Af) ≤ m
Cosa succede quando rg (f) = m?
dim (f(V)) = m = dim (f(W)) quindi f(V) = W  cioè f è suriettiva poiché la funzione coincide con
la dimensione dello spazio di arrivo.
Se m ≠ n f non è isomorfismo.
PROPOSIZIONE (39.12 Facchini):
sia A ∈ Mn (K).
Allora A è invertibile se e solo se rg (A) = n.
Dimostrazione:
sia A ∈ Mn (K) invertibile.
(⟹)
A definisce una funzione lineare fA(X) = AX.
rg (fA) = rg (A) perché applichiamo la proposizione 39.11 sapendo che la matrice associata a f A
rispetto alle basi canoniche di Kn è A.
[AfA = A] matrice associata alla matrice associata alla funzione associata ad A.
B ↦ fB
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Af  f
(⟸)
Siccome A è invertibile, esiste A-1 inversa.
Allora fA è suriettiva perché per ogni Y ∈ Kn (ogni vettore colonna è immagine secondo fA),
Y = IY = (A ∙ A-1)Y = A ∙ (A-1Y) = fA(A-1Y)
f è endomorfismo dello spazio Kn in se stesso ed fA è biiettiva.
Siccome fA è un endomorfismo di Kn ed è suriettiva allora è biiettiva.
Questo implica che fA sia invertibile.
rg (A) = rg (fA) ma la dim(fA(Kn)) = dim(Kn) = n,
quindi rg (A) = rg (fA) = n.
Supponiamo rg (A) = n (bisogna dimostrare ora che A è invertibile).
rg (fA) = n = dim(fA(Kn)) cioè fA(Kn) = Kn poiché fA(Kn) è sottospazio di Kn con dimensione n.
fA, dunque, è suriettiva e quindi biiettiva. Quindi fA è invertibile e perciò lo è anche A.
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
Quello sopra rappresentato è un sistema lineare ad n incognite x 1,…, xn e richiede che le condizioni
siano verificate simultaneamente.
f(x1,…, xn)
f: Rn  R
La matrice incompleta del sistema è la seguente:
𝑎11
𝑎1𝑛
.
(
) (contiene solo i coefficienti)
.
𝑎𝑚1
𝑎𝑚𝑛
𝑏1
.
B = ( ) vettore dei termini noti.
.
𝑏𝑚
A ∈ Mnxn (K), B ∈ Kn
(A|B) ∈ Mnx(n+1) (K)
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(A|B) è la giustapposizione di A e B e rappresenta la matrice completa del sistema.
Ha n + 1 colonne.
𝑐1
.
Una soluzione del sistema è il vettore colonna C = . ∈ Kn tale che sostituendo ci per xi
.
(𝑐𝑛 )
(con i = 1,…, n), tutte le equazioni risultano vere.
∑
∑
AX =
(
∑
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1
𝑛
α1j 𝑥𝑗
α2j 𝑥𝑗
.
.
𝑗=1
αmj 𝑥𝑗
)
𝑥1
.
X= .
vettore delle incognite.
.
(𝑥𝑛 )
AX è data dalla moltiplicazione riga di A per colonna di X.
AX = B con AX ∈ Km e B ∈ Km
Una soluzione, dunque, è un C ∈ Kn tale che AC = B.
AX ∈ (K[x1,.., xn])m
Sia AX = B un sistema di equazioni lineari ((m coefficienti in K) x (n incognite)).
Associamo una funzione lineare fA: Kn  Km.
fA (C) = AC
Una soluzione del sistema è un vettore C tale che fA (C) = B, cioè un elemento di fA-1 (B).
Dato un sistema AX = B possiamo avere le seguenti situazioni:
1. IMPOSSIBILE: non ha soluzioni, cioè fA-1 (B) = Ø.
2. POSSIBILE: ha soluzioni
a) Il sistema ha esattamente una soluzione.
b) Il sistema ha più soluzioni.
Le soluzioni sono elementi di fA-1 (B) ⊆ Kn.
Per esempio, (Z≡5)n è un campo finito.
fA: Kn  Km
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ker fA = {v ∈ Kn : fA(v) = 0} = {v ∈ Kn : Av = 0}.
Se v ∈ ker fA e C è soluzione del sistema, allora fA(v) = 0, fA(C) = B.
v + C poiché fA(v + C) = fA(v) + fA(C) = 0 + B = 0.
Se il ker non è il vettore nullo, allora si può creare più di una soluzione.
Condizione necessaria affinché il sistema abbia un'unica soluzione è che ker fA = {0} ⊆ Kn cioè fA è
iniettiva.
dim Kn = n è il numero delle incognite.
fA: Kn  Km, m è il numero delle equazioni.
Se n>m, fA non può essere iniettiva.
TEOREMA DI CRAMER (41.1 Facchini)
𝑥1
𝑏1
.
.
Sia AX = B con X = . , B= . , A = (aij) ∈ Mn (K).
.
.
(𝑥𝑛 )
(𝑏𝑛 )
Allora il sistema ha un’unica soluzione se e solo se la matrice incompleta A ha rango n se e solo se
A è invertibile [se e solo se fA è isomorfismo Kn  Kn, cioè un automorfismo di Kn].
In tal caso la soluzione è A-1B.
Dimostrazione:
(⟹)
Supponiamo ci sia una soluzione.
Allora ker fA = {0} quindi fA: Kn  Kn è iniettiva e quindi biiettiva.
dim (fA(Kn)) = n (per suriettività) = dim(Kn) (perché {e1,…,en} è base) = rg (fA) (per definizione).
Ma rg (fA) = rg (A) quindi rg (A) = n.
Sempre sotto l’ipotesi che ci sia una soluzione mostriamo che essa è A-1B.
Sia C una soluzione, cioè AC = B.
A, però, è invertibile, quindi A(A-1B) = (AA-1)B = IB = B.
Questo ci dice che A-1B è soluzione quindi A-1B = C.
(⟸)
Supponiamo rg (A) = n.
Dimostriamo che c’è un’unica soluzione.
Allora è invertibile. Esiste A-1 e A(A-1B) cioè A-1B è la soluzione.
Sia C una soluzione qualsiasi.
Dimostriamo che C = A-1B.
Siccome C è soluzione, AC = B.
Moltiplichiamo per A-1  A-1(AC) = A-1B.
A-1(AC) = (A-1A)C = IC = C, cioè A-1B è l’unica soluzione.
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DETERMINANTE
Il determinante è un elemento del campo da cui sono presi i coefficienti.
A ∈ Mn (K)
Determinante: det (A) ∈ K.
A è invertibile se e solo se det (A) ≠ 0.
𝑎11
Data la matrice A = (
𝑎1𝑛
)
𝑎𝑛1
𝑎𝑛𝑛
Definiamo Aij sottomatrice [i, j ∈{1,…, n}] come la matrice che si ottiene da A cancellando la riga i
e la colonna j.
Esempio:
1 1 3
1 3
A = (0 1 4) A22 = (
)
3 7
3 2 7
ESPANSIONE PER COFATTORI
det (A) ∈ K definito in maniera ricorsiva (espansione per cofattori):
METODO PER COLONNE: (esiste anche quello per righe)  definizione ricorsiva con n>1 dove n
è la dimensione di A:
det (A) = ∑
𝑛
(−1)𝑖+𝑗 𝛼ij det(𝐴𝑖𝑗 )  j varia sulle colonne mentre i è fissato.
𝑗=1
i è un numero a piacere di riga della matrice.
Caso base della definizione di determinante se la dimensione di A è 1x1: a11
Esempio:
1 1 0
A = (0 1 1 )
0 0 2
Scegliamo i = 2:
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det (A) = ∑
1
A21 = (
0
3
(−1)2+𝑗 𝛼2j det(𝐴2𝑗 )
𝑗=1
0
)
2
1
0
A22 = (
0
)
2
1
3
A22 = (
3
)
7
Scegliamo ora i = 1:
det (A21) = det (A21) = ∑
2
(−1)1+𝑗 𝛼1j det(𝐴21 )1𝑗 = (-1)2 ∙ 1 ∙ 2 + (-1)3 ∙ 0 ∙ 0 = 2
𝑗=1
det (A22) = 2
det (A23) = 0
det (A) = (-1)2 ∙ 0 ∙ 2 + (-1)2+2 ∙ 1 ∙ 2 + (-1)5 ∙ 1 ∙ 0 = 2
Conviene scegliere l’indice di riga con più 0 possibili per avere meno addendi.
REGOLA DI SARRUS:
(Si applica alle matrici 3x3)
𝑎11
det (𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎31
𝑎32 ) =
𝑎33
= 𝑎11 𝑎22 𝑎32 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31
Caso particolare:
𝑎11
det (𝑎
21
𝑎12
𝑎22 ) = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12
ESPANSIONE PER COFATTORI RISPETTO ALLA COLONNA j
det (A) = ∑
𝑛
(−1)𝑖+𝑗 𝛼ij det(𝐴𝑖𝑗 )
𝑖=1
Sia A ∈ Mn (K)
𝑎11
𝑎1𝑛
A=(
𝑎𝑛1
) = 𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑛𝑛
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det (A) ≠ 0
a) se e solo se A è invertibile
b) se e solo se rg (A) = n
c) se e solo se AX = B ha un’unica soluzione.
In particolare det (A) ≠ 0 se e solo se rg (A) = n se e solo se tutte le colonne di A sono linearmente
indipendenti.
1 2
det (2 4
3 6
0
1) = 0 poiché le colonne 1 e 2 sono linearmente dipendenti.
8
det (A) = 0
a) se e solo se rg (A) < n
b) se e solo se esiste una combinazione lineare delle colonne che dà il vettore nullo 0 usando
non tutti coefficienti nulli.
Ogni colonna di A è un elemento dello spazio vettoriale Kn.
0
.
n
Il vettore nullo dello spazio K è . con n zeri.
.
(0)
MINORE COMPLEMENTARE (di ordine i, j)
Data A ∈ Mn (K),
Mij = det Aij
Il complemento di ordine i,j, dunque, è:
Cij = (-1)i+j Mij.
Con questo è possibile calcolare l’inversa di A.
Definiamo A* come la matrice trasposta della matrice dei complementi algebrici di A.
Chiamiamo C la matrice dei complementi algebrici di A:
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𝑐11
𝑐1𝑛
C=(
)
𝑐𝑛1
𝑐𝑛𝑛
A* = CT (C trasposta).
TRASPOSIZIONE
La trasposizione si può applicare a qualsiasi matrice.
Data la matrice B Mmxn (K),
la sua trasposta è BT Mn (K), tale che l’elemento di posizione i, j in BT è l’elemento di posizione j, i
in B.
Esempio:
1 0
B = (2 4
7 5
1
0
B =(
0
1
T
0 1
9 3)
2 4
2
4
9
3
7
5
)
2
4
Se vogliamo calcolare A-1, allora:
1. calcoliamo det (A)
1
2. se det (A) ≠ 0 allora la matrice è invertibile e A-1 = det (𝐴) ∙ A*.
Esempio:
1 −1 5
A = (0 2
0)
0 0 −1
Calcolare A-1.
Calcoliamo, innanzitutto, det (A) = ∑
𝑛
(−1)𝑖+𝑗 𝛼ij det(𝐴𝑖𝑗 ) = ∑
𝑗=1
50
𝑛
𝑗=1
𝛼ij 𝐶𝑖𝑗 = (-1) ∙ C33.
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Complemento algebrico di C33:
C33 = (-1)6 ∙ det (A33) = 2
det (A) = -2
Matrice C dei complementi algebrici:
−2
0 0
C = ( −1 −1 0)
−10 0 2
Ora è necessario trasporre:
−2 −1 −10
A* = CT = ( 0 −1
0 )
0
0
2
1
1
-1
A = det (𝐴) ∙ A* = (0
0
1
2
1
5
0)
0 −1
2
PROPRIETA’ DEL DETERMINANTE
1. Scambiando due colonne il determinante cambia segno.
2. Se due colonne sono linearmente dipendenti allora det = 0.
3. Se A = (A1…An), con A1 prima colonna, con B = αAi (i ∈ {1,…, n}),
allora il determinante det (A1…B…An) = αdet (A).
4. Se C = (X1…Xi…Xn) con Xi = Y + Z, A = (X1…Y…Xn), B = (X1…Z…Xn),
allora det (C) = det (A) + det (B).
5. Se una matrice A è triangolare superiore allora det (A) = ∏𝑛𝑖=1 𝑎ii
(una matrice è triangolare superiore se sotto la diagonale principale presenta soli elementi
nulli).
ELIMINAZIONE DI GAUSS
Sia A = B un sistema di equazioni lineari:
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αRi = αai1x1 +…+ αainxn = αbi
βRk = βak1x1 +…+ βaknxn = βbk
αRi + βRk = (αai1 + βak1)x1 +…+ (αain + βakn)xn = αbi + βbk
R1…Rk devono essere le righe della matrice completa del sistema.
1 0 2
A = (0 1 1 )
1 3 4
7
B = (1 )
𝑧
1
A|B = (0
1
0 2
1 1
3 4
1 1
M1 = (0 1
1 3
𝟕 (𝑅1 )
𝟏 (𝑅2 ))
𝟐 (𝑅3 )
3 𝟖 ( 𝑅1 + 𝑅2 )
1 𝟏
(𝑅2 ))
(𝑅3 )
4 𝟐
La matrice M1 rappresenta un sistema equivalente a AX = B.
A|B  M1 operazione elementare su righe (R1 : = 𝑅1 + 𝑅2 )
Con il metodo di Gauss si cerca di arrivare ad una matrice triangolare superiore.
MOSSE DI GAUSS:
1. Rj = αRj + βRi
2. Scambiare Rj con Ri
In generale si può sperare di arrivare ad una matrice a scalini: il primo elemento diverso da zero è
detto pivot e nella relativa colonna deve essere seguito da zeri.
Esempio di matrice a scalini:
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3 0 4 7
0 −1 0 0
(
)
0 0 0 5
0 0 0 0
Ha determinante 0 poiché è una matrice triangolare superiore quindi non è invertibile.
ALGORITMO DI GAUSS:
1. Si guarda la prima riga: se il primo elemento è nullo si cerca la prima riga che non abbia un
elemento nullo.
2. Per ogni riga Ai con primo elemento non nullo, eccetto la prima (i > 1), si moltiplica la
prima riga per un coefficiente scelto in modo che la somma tra prima riga e A i abbia il
primo elemento nullo. Sostituire Ai con la somma ricavata.
3. Nella seconda fase riapplichiamo lo stesso algoritmo, però dal basso verso l’alto.
REGOLA DI CRAMER
TEOREMA (43.5 Facchini):
sia AX = B un sistema di equazioni lineari a coefficienti in K con A ∈ Mn (K).
Allora il sistema ha un’unica soluzione se e solo se det (A) ≠ 0 e in tal caso la soluzione è da trovare
così: xi =
det (𝐴′𝑖 )
det (𝐴)
, dove Ai' è la matrice n x n ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna con la
colonna dei termini noti del sistema.
TEOREMA DI ROUCHE’- CAPELLI
TEOREMA (41.2 Facchini):
sia AX = B un sistema di m equazioni ad n incognite a coefficienti in K con A ∈ Mmxn (K).
Allora AX = B ha almeno una soluzione se e solo se la matrice incompleta A e la matrice completa
A|B hanno lo stesso rango. In tal caso, se C0 è soluzione del sistema, W è il sottospazio di Kn i cui
elementi sono soluzioni del sistema omogeneo AX = 0 (un sistema è omogeneo quando la colonna
dei termini noti è il vettore nullo).
AX = 0 [0 ∈ Km] associato al sistema originale e sia r il rango di A.
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Perché W dovrebbe essere sottospazio di Kn?
 Deve contenere il vettore nullo (0 ∈ W) perché A0 = 0
 Chiuso per la moltiplicazione scalare: se S ∈ W allora αS ∈ W
AS = 0  A(αS) = 0
A  fA fA(X) = AX
(matrice A vista come funzione lineare)
Cioè fA(αX) = αfA(X)
A(αS) = α(AS)  α0 = 0
A(αX) = αAX  αB
 Chiuso per la somma:
prendiamo i vettori s1, s2 ∈ W  s1 + s2 ∈ W  A(s1 + s2) = 0
A(s1 + s2) = As1 + As2 = 0 + 0 = 0
Allora le soluzioni di AX = B sono tutte e sole quelle di forma C0 + H con H ∈ W e W ha
dimensione n – r.
Con Cramer non si può dire se un sistema è compatibile o meno. Il teorema di Rouchè – Capelli è
più preciso in questo aspetto.
Se AX = 0 ha una sola soluzione, quella soluzione è il vettore colonna nullo.
ALTRE APPLICAZIONE DELL’ELIMINAZIONE DI GAUSS
Possiamo applicare Gauss per il calcolo del rango di una matrice.
Dopo aver effettuato l’eliminazione di Gauss, l’ultima riga con un 1 nell’ultima colonna è quella
che conta per trovare il rango. Il rango è il numero di queste righe.
Possiamo utilizzare Gauss anche per ricercare le basi.
AUTOVALORI E AUTOVETTORI DI MATRICI
DEFINIZIONE (44.1 Facchini):
sia K un campo e V un sottospazio vettoriale (V è un K-spazio vettoriale) e sia f: V  V.
Un sottospazio W di V si dice f-invariante se f(W) ⊆ W.
Esempio:
f: R2  R2
(x, y)  (2x, 2y)
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f(0) = f(0, 0) = (0, 0)
f(u + v) dove u = (x, y), v = (x', y')
f(x + x', y + y') = (2(x + x'), 2(y + y')) = f(u) + f(v) = (2x, 2y) + (2x', 2y') = (2x + 2x', 2y + 2y')
f(αv) = (2αx, 2αy) = αf(v) = α(2x, 2y) = (2αx, 2αy)  v = (x, y)
Quindi è una funzione lineare.
W = {(x, y) ∈ R2: x + y = 0}
f(W) = {f(v): v ∈ W} = {(2x, 2y): (x, y) ∈ W} ⊆ W quindi f-invariante.
Sia W un sottospazio di V (spazi sul campo R).
Sia f: V  V definita da f(v) = 2v.
W è sicuramente f-invariante? Sì, perché 2v è prodotto per uno scalare e, se W ⊆ V, anche 2v deve
starci.
DEFINIZIONE(44.3 Facchini):
sia V un K-sottospazio vettoriale e sia f: V  V un endomorfismo.
Siano v ≠ 0, v ∈ V e λ ∈ K.
Se f(v) = λv, allora diciamo che λ è un autovalore di f e v è un autovettore di f.
Nel caso f: R2  R2, tutti i vettori di R2 sono autovettori relativi ad f ed hanno l’autovalore.
Lo spazio generato dagli autovettori di f è sempre f-invariante.
Passiamo alle matrici:
f(v) = Av per un’opportuna matrice A che è quella associata ad f.
Sia V un K-spazio vettoriale.
Sia A una matrice quadrata (poiché associata ad un endomorfismo) ad elementi di K.
Siano v ∈ V – {0} e λ ∈ K.
Se Av = λv allora diciamo che v è autovettore relativo ad A e λ un autovalore relativo ad A
(associato all’autovettore v).
Fissiamo un autovettore. Quanti autovalori possono essere ad esso associati?
Av = λv
Sia α un autovalore di v relativo ad A.
Av = αv, quindi λv = αv
λv – αv = 0 (0 ∈ V)
v(λ – α) = 0 (proprietà distributiva di V)
λ – α = 0 (0 ∈ K)
λ = α poiché siamo in un gruppo abeliano.
Fissato un autovettore c’è solo un autovalore ad esso associato.
Fissato un autovalore possono esserci molti autovettori ad esso associati.
Come si trovano autovalori e autovettori di una matrice data?
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Consideriamo Av = λv come un’equazione a 2 incognite (λ e v). In quanto appartenenti ad un
gruppo abeliano, possiamo portare tutto a sinistra e raccogliere v.
Av – λ = 0
(A – λI)v = 0 (matrice identica moltiplicata per λ).
Supponiamo di conoscere λ e cerchiamo di risolvere rispetto a v.
Affinchè ci sia almeno un autovettore dobbiamo avere che det (A – λI) = 0.
L’unica incognita è λ. Bisogna risolvere rispetto a λ.
det (A – λI) è un polinomio nell’incognita λ (polinomio caratteristico).
Quindi devo risolvere pA(λ) = 0 (trovare le radici del polinomio  appartengono al campo K).
PROPOSIZIONE (44.8 Facchini):
sia pA(λ) il polinomio caratteristico della matrice Anxn, allora:
a) Il polinomio ha grado n
Supponiamo di aver trovato le radici λ1,…, λn di pA(λ).
Per ogni autovalore λi risolviamo il sistema (A – λI)v = 0.
Troviamo il valore di v.
Per ogni autovalore abbiamo uno spazio vettoriale di autovalori.
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