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Introduzione alla Farmacocinetica
metodi non-compartimentali, funzioni multiesponenziali e parametri farmacocinetici
Renato Urso e Giorgio Giorgi
Dipartimento di Farmacologia “Giorgio Segre”
Università di Siena, Gennaio 2002
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1 – Introduzione
La farmacocinetica si propone di studiare l’assorbimento, la distribuzione, le biotrasformazioni e
l’eliminazione dei farmaci nell’uomo e nell’animale.
Assorbimento e distribuzione indicano rispettivamente il passaggio delle molecole di farmaco dal
sito di somministrazione al sangue e il passaggio delle molecole di farmaco dal sangue ai tessuti.
Per eliminazione si intende sia l’insieme delle biotrasformazioni del farmaco in vivo, sia il
passaggio delle molecole dal sangue all’esterno del corpo attraverso le urine, la bile e le feci o altre
vie. La figura che segue mostra alcune rappresentazioni grafiche di questi processi.
Assorbimento, distribuzione e eliminazione dei farmaci.
(A) Rappresentazione grafica del circolo di sangue: il sangue arterioso pompato dal cuore irrora i tessuti dai quali esce il
sangue venoso che ritorna al cuore e ai polmoni. Tutti gli organi escluso il polmone sono in parallelo perché il flusso di
sangue si ripartisce tra loro irrorandoli contemporaneamente, mentre il polmone è in serie con gli altri organi perché
tutto il sangue dopo essere passato per i tessuti passa al polmone. Le frecce che escono da alcuni organi verso l’esterno
indicano l’eliminazione del farmaco. Il fegato, per esempio, può produrre metaboliti che a loro volta entrano nel circolo.
Si noti che il cuore è indicato per la sua funzione meccanica, mentre come tessuto è anch’esso in parallelo con gli altri
organi.
(B) Rappresentazione a blocchi dei processi di assorbimento, distribuzione e eliminazione dei farmaci.
A
B
polmoni
farmaco
nel sito di
assorbimento
cuore
altri tessuti
sangue
farmaco
nel
sangue
sangue
venoso
arterioso
farmaco
nei
tessuti
reni
fegato
intestino
farmaco
escreto
metaboliti
Misurando le quantità o le concentrazioni di farmaco nel sangue, nelle urine o in altri distretti
dell’organismo a vari tempi dopo la somministrazione, si possono ottenere informazioni sui
passaggi delle molecole di farmaco nei vari tessuti e sull’eliminazione del farmaco stesso. Nella
figura seguente è riportato un esempio di come si possono presentare i risultati di un ipotetico
esperimento di farmacocinetica. Si noti che la scala delle ordinate non è omogenea, infatti farmaco
nelle urine e nel sito diassorbimento sono quantità, mentre le altre curve rappresentano
concentrazioni.
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Risultato di un ipotetico esperimento
60
farmaco nel sito
di assorbimento
50
40
metabolita nel sangue
30
farmaco nelle urine
20
farmaco nel sangue
10
0
0
1
2
3
4 ore
5
6
7
8
9
10
Di seguito vengono riassunti brevemente alcuni dei vantaggi che derivano dagli studi di
farmacocinetica.
a) Gli studi compiuti nell’animale da laboratorio danno indicazioni utili per la ricerca e lo sviluppo
di nuovi farmaci, infatti molecole meno potenti in vitro possono risultare più efficaci in vivo a causa
delle loro favorevoli caratteristiche cinetiche (maggiore assorbimento, migliore distribuzione
nell’organismo……).
b) La farmacocinetica serve come supporto agli studi di tossicologia preclinica condotti
nell’animale (tossicocinetica) perché i livelli di farmaco in circolo sono spesso più predittivi della
dose nell’estrapolare i dati di tossicità all’uomo. La tossicocinetica serve anche per:
- verificare che gli animali trattati abbiano livelli misurabili di farmaco in circolo e che questi siano
dipendenti dalla dose somministrata,
- stimare l’area sotto la curva delle concentrazioni plasmatiche e la concentrazione massima,
parametri che possono essere considerati come indicativi della esposizione al farmaco
dell’organismo,
- evidenziare differenze farmacocinetiche tra i diversi gruppi di trattamento, tra i giorni di
trattamento e altri fattori,
- valutare la variabilità tra animali e identificare i casi con livelli di farmaco anormali.
c) Le informazioni ottenute sulla cinetica e sugli effetti (farmacodinamica) del farmaco nell’uomo
forniscono un valido razionale per utilizzare al meglio il farmaco stesso in terapia (scelta della
migliore via di somministrazione e del regime posologico, individualizzazione della dose).
Importante è anche il fatto che la relazione tra livelli ed effetti del farmaco è in genere indipendente
dalla formulazione, quindi, per esempio, se diverse formulazioni orali producono livelli di farmaco
sovrapponibili, allora queste possono essere considerate interscambiabili (bioequivalenza, farmaci
generici).
1 - Il disegno sperimentale
Per pianificare un esperimento di farmacocinetica occorre definire: via di somministrazione, dose e
regime posologico, tessuti da campionare, tempi dei prelievi, metodo analitico, criteri di scelta e
numerosità dei soggetti. E’ importante ricordare anche che il disegno sperimentale dipende
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strettamente dalle finalità dello studio, di conseguenza occorre sempre tenere presente lo scopo che
il ricercatore si propone di raggiungere nel valutare un protocollo.
2 - Descrizione dei dati di farmacocinetica
La mole di dati acquisiti durante uno studio clinico di farmacocinetica è spesso ingente. Per
esempio, in un tipico studio di bioequivalenza nell’uomo si hanno generalmente non meno di 12
campioni di plasma per soggetto in almeno 18 soggetti trattati con due formulazioni diverse dello
stesso farmaco. Il risultato è che l’esperimento produce non meno di 12 x 18 x 2 = 432 coppie di
dati (tempo, concentrazione plasmatica). Il numero dei dati aumenta se sono stati campionati anche
altri distretti (urine, feci), oppure se si sono misurati i livelli di qualche metabolita. Diventa
necessario allora poter riassumere tutta questa mole di dati al fine di valutare e comunicare i
risultati della sperimentazione nel modo più semplice possibile.
In molti protocolli i tempi dei prelievi sono scelti in modo da essere uguali per tutti i soggetti,
quindi è buona pratica, prima di elaborare i dati, mettere sempre in grafico non solo i livelli relativi
ad ogni singolo soggetto, ma anche i valori medi e le deviazioni standard (d.s.).
Successivamente è opportuno calcolare dei parametri che descrivano le caratteristiche più
importanti di ciascuna curva e poi stimare la media e la deviazione standard di questi parametri
nella popolazione. A tale scopo si definiscono i seguenti parametri:
-
tempo di picco ( Tmax)
concentrazione di picco (Cmax)
semivita della fase di scomparsa terminale (t1/2 )
area sotto la curva (AUC).
Quando il protocollo prevede campionamenti anche nelle urine, a questi parametri occorre
aggiungere le quantità di farmaco escreto o le percentuali della dose escreta nelle urine.
(Si noti che le concentrazioni di farmaco nelle urine sono raramente di interesse in farmacocinetica
anche se questa è la grandezza che viene misurata direttamente; le quantità, invece, consentono di
fare dei bilanci di massa e per poterle calcolare dalle concentrazioni è necessario registrare anche i
volumi delle urine escrete durante l’esperimento ).
Di seguito è riportata una breve descrizione di questi parametri.
3 - Tmax e Cmax
Il tempo di picco (Tmax) e la concentrazione di picco (Cmax) si ottengo direttamente dalla serie dei
dati relativi ai singoli soggetti. Nella figura seguente è riportato un esempio.
Stima di Cmax (concentrazione di picco) e Tmax (tempo di picco) dai dati sperimentali. Nell’esempio Cmax equivale a
35 ng/ml e Tmax a 4 ore.
Cmax
40
35
ng/ml
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
Tmax
6
8
10
ore
5
Quando il farmaco è stato somministrato per via endovenosa questi due parametri sono strettamente
dipendenti dal protocollo sperimentale, infatti le concentrazioni sono sempre decrescenti dopo
somministrazione di un bolo ev, mentre il tempo di picco, in genere, corrisponde al tempo di
infusione se il farmaco viene infuso a velocità costante.
4 - Semivita: t1/2 (Funzione monoesponenziale)
Le semivita (t1/2 ) è un parametro che viene utizzato per descrivere la pendenza delle curve di
concentrazione nella loro fase di scomparsa terminale e il suo significato è legato ad una proprietà
matematica della funzione monoesponenziale, come è mostrato nella figura seguente.
Grafico delle concentrazioni plasmatiche di farmaco interpolate da una funzione monoesponenziale. La funzione
monoesponenziale ha la proprietà di dimezzare sempre il suo valore dopo un intervallo fisso di tempo. La semivita in
questo esempio è 2 ore e nel grafico si vede che la monoesponenziale che interpola i punti sperimentali (linea continua)
dimezza il suo valore ogni 2 ore.
conc
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
tempo (ore)
Si osservi che la curva dimezza sempre il suo valore indipendentemente dal tempo da cui si parte, in
altre parole lo stesso risultato si potrebbe ottenere partendo dal valore della curva al tempo 1 ora.
Se si mettono in grafico i logaritmi delle concentrazioni riportate nella stessa figura, oppure se si
usa la scala semilogaritmica, si ottiene una retta (vedi figura sotto).
I grafici in scala semilogaritmica sono molto utilizzati per rappresentare i dati di farmacocinetica
essenzialmente per due motivi. Primo, perché consentono di ampliare la scala delle concentrazioni
in modo da poter osservare chiaramente l’andamento dei dati in tutto l’intervallo nel quale sono
compresi, anche quando questo spazia su diversi ordini di grandezza. Secondo perché aiutano nella
scelta del modello più adatto a descrivere i dati sperimentali.
6
Funzione monoesponenziale in scala semilogatimica.
Grafico dei logaritmi delle concentrazioni plasmatiche di farmaco (A) e delle concentrazioni di farmaco in scala
semilogaritmica (B) in funzione del tempo. Nei grafici è riportata la funzione monoesponenziale che interpola i dati. Si
vede che la funzione monoesponenziale assume un andamento lineare e che i due grafici sono sovrapponibili. La scala
semilogaritmica è utile perchè riporta sull’asse direttamente i valori delle concentrazioni evitando la conversione dai
logaritmi.
log(conc)
A
5.00
4.50
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
0
2
4
6
8
10
6
8
10
tempo
B
conc
100
10
1
0
2
4
tempo
Tracciando con un righello la retta che interpola meglio i punti sperimentali è possibile ottenere
direttamente la stima della semivita (basta rilevare sul grafico a quale tempo la retta dimezza il suo
valore iniziale). Per avere una stima più rigorosa di questo parametro si può ricorrere alla tecnica
della regressione lineare.
5 - Semivita: t1/2 (Funzioni multiesponenziali)
Non sempre la cinetica dei farmaci segue un andamento come illustrato nella figura precedente
(cinetica monoesponenziale), tuttavia è stato osservato che dopo un certo tempo dalla
somministrazione, le concentrazioni dei farmaci nel plasma e nei tessuti tendono quasi sempre in
prima approssimazione a decrescere con un andamento lineare in scala semilogaritmica. Questo
significa dire che la fase di scomparsa terminale tende quasi sempre ad avere un andamento
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monoesponenziale per cui ha senso definire la semivita per caratterizzare la pendenza della curva in
questa fase. Nella figura che segue sono riportati due esempi di curve multiesponenziali.
Esempi di curve biesponenziali.
A: concentrazioni plasmatiche di farmaco dopo somministrazione endovenosa, B: concentrazioni plasmatiche di
farmaco dopo somministrazione orale (le linee continue rappresentano delle funzioni biesponenziali). In entrambi i casi
si vede che dopo un certo tempo le concentrazioni di farmaco assumono un andamento lineare in scala semilogaritmica
e, quindi, sono approssimate da una funzione monoesponenziale.
A
1000
100
ng/ml
valori osservati
valori calcolati
10
1
0
6
12
18
24
h
B
ng/ml
100
10
valori osservati
valori calcolati
1
0
6
12
18
24
h
La stima della semivita in questi casi è in parte soggettiva, infatti è lo sperimentatore a decidere
quali sono i punti terminali che hanno un andamento lineare in scala semilog e sui quali tracciare la
retta interpolatrice. La scelta di includere o togliere un punto può influenzare molto il calcolo
quando si hanno pochi dati o quando l’errore sperimentale è elevato. Riportando la stima del
parametro, quindi, è buona pratica segnalare anche su quali punti sperimentali è stato effettuato il
8
calcolo. Per quanto riguarda il disegno sperimentale, è opportuno prevedere campioni in numero
sufficiente nella fase terminale della curva e che siano distribuiti su un intervallo di tempo che
comprenda più semivite. Per esempio, se la semivita di un farmaco è superiore alle 24 ore, è
improbabile che avendo punti fino a 12-24 ore si possa stimare questo parametro con sufficiente
accuratezza.
6 - Area sotto la curva: AUC
L’area sotto la curva (AUC) è un parametro che viene utilizzato in diversi modi a seconda del
contesto nel quale i dati sperimentali vengono discussi. In generale questo parametro caratterizza
l’esposizione al farmaco di particolari tessuti o di tutto l’organismo se riferito al sangue. Sotto certe
ipotesi poi, l’AUC riferita al plasma o al sangue è un parametro che dipende in modo proporzionale
dalla quantità di farmaco che entra in circolo e dalla capacità che ha il sistema di eliminare il
farmaco (clearance), quindi, a seconda dei casi, può dare indicazioni sulla quantità assorbita o sui
processi fisiologici che caratterizzano l’eliminazione del farmaco. Applicando la regola dei trapezi
si può ottenere una stima sufficientemente accurata della AUC partendo dalle osservazioni
sperimentali. Questo metodo è illustrato nella seguente figura.
L’area del trapezio A è: ( Cn-1 + Cn ) x ( tn - tn-1 ) / 2. La parte di area estrapolata ad infinito ( B ) si calcola dalla semivita
(vedi testo): Clast / ( 0.693 / t1/2 ). Le dimensioni sono sempre date da tempo x concentrazione e nell’esempio riportato si
avrà: AUC = ng x h x ml-1 .
ng/ml
40
35
Cn
Cn-1
30
Clast
25
20
A
15
B
10
5
0
0
tn-1
tn
4
ore
8
12
Dopo singola somministrazione di farmaco è buona pratica calcolare l’AUC dal tempo 0
(somministrazione) ad infinito, mentre dopo dosi ripetute, entro l’intervallo di dose. Nel primo caso
l’estrapolazione dall’ultima concentrazione misurabile ad infinito viene fatta assumendo che la fase
di scomparsa terminale sia monoesponenziale e per il calcolo si utilizza la stima della semivita del
farmaco. Nel secondo caso non sono necessarie estrapolazioni purchè il protocollo preveda
campionamenti sia all’inizio dell’intervallo di dose (subito prima della somministrazione) che alla
fine.
7 – Interpolazione dei dati e modelli
Il calcolo dei parametri detti non-compartimentali costituisce il primo passo nell’analisi dei dati di
farmacocinetica. Una descrizione più accurata dell’esperimento si può ottenere interpolando le
concentrazioni di farmaco con delle funzioni matematiche. Queste funzioni possono avere due
scopi: primo rappresentare tutti i dati in forma concisa, secondo verificare se le ipotesi incorporate
9
nelle funzioni stesse siano confermate dalle osservazioni sperimentali. Nel primo caso si può parlare
di simulazione dei dati, nel secondo di modello (A. Rescigno, La farmacocinetica: evoluzione di un
concentto, Atti del Convegno di Farmacocinetica, Siena, 1990)
Le funzioni generalmente utilizzate in farmacocinetica sono le funzioni multiesponenziali e i
modelli di riferimento sono i modelli compartimentali le cui soluzioni sono date proprio da funzioni
multiesponenziali. Di seguito si prenderanno in considerazione alcune proprietà delle funzioni
multiesponenziali e si mostrerà come queste funzioni permettano non solo di interpolare i dati
sperimentali, ma anche di stimare diversi parametri farmacocinetici.
8 - Funzione monoesponenziale
Una funzione del tipo:
c (t ) = C0 ⋅ e − λ ⋅ t
-8.1-
dove c(t) è la concentrazione di farmaco al tempo t e Co e λ sono i parametri da stimare, è una
funzione monoesponenziale del tempo t. Questa funzione è stata usata per interpolare le
concentrazioni di vari farmaci dopo somministrazione endovenosa, cioè stimando soggetto per
soggetto i parametri Co e λ in modo da adattare la curva alle concentrazioni misurate.
Co rappresenta la concentrazione al tempo 0, mentre λ è il parametro che caratterizza la semivita
della monoesponenziale, infatti la semivita vale:
t1/2 = 0.693 / λ.
-8.2-
Integrando la 8.1 tra 0 e infinito, si ottiene:
AUC =
Co
λ
-8.3-
e quindi anche l’AUC può essere facilmente calcolata dai parametri Co e λ.
Partendo da una serie di concentrazioni sperimentali relative ad un soggetto, i parametri Co e λ
possono essere utilizzati per rappresentare la cinetica del farmaco in quel soggetto. Il vantaggio è
evidente: in due numeri si può riassumere gran parte delle informazioni contenute in tutta la serie di
dati raccolti che in genere sono più di 10-12 coppie di numeri. Se la cinetica è stata studiata in più
soggetti, i valori medi di Co e λ nella popolazione, unitamente alle loro deviazioni standard,
riassumono in modo estremamente sintetico l’informazione contenuta in una mole ancora più
considerevole di dati.
La stima di Co e λ può essere effettuata utilizzando la tecnica della regressione lineare in scala
semilogaritmica o procedure iterative a calcolatore (vedi esempi).
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9 - Funzione biesponenziale
Non sempre l’intero profilo cinetico di un farmaco può essere ben descritto da una funzione
monoesponenziale, ma spesso una buona interpolazione dei dati sperimentali si può ottenere
ricorrendo a funzioni che sono somme di esponenziali. Una funzione del tipo:
c (t ) = A1 ⋅ e − λ 1⋅ t + A2 ⋅ e −λ 2⋅ t
-9.1-
è chiamata biesponenziale. In molti testi o articoli di farmacocinetica si preferisce riscrivere la
precedente equazione come:
c (t ) = A ⋅ e −α ⋅t + B ⋅ e − β ⋅t
-9.2-
con la convenzione che α > β. Analogamente alla funzione monoesponenziale, c(t) e t sono
rispettivamente la variabile dipendente e la variabile indipendente, mentre A, B, α e β (o A1 , A2 , λ1 ,
λ2 ) sono i parametri da stimare.
Quando α è molto maggiore di β, il termine esponenziale in α nella 9.2 diventa sempre più
trascurabile al crescere del tempo e c(t) è sempre meglio approssimata dalla curva
monoesponenziale c (t ) = B ⋅ e − β ⋅ t .
Allora si può affermare che, con buona approssimazione, anche una curva biesponenziale di questo
tipo per tempi abbastanza lunghi dimezza sempre il suo valore ad intervalli fissi di tempo e che
quindi ha una semivita determinata dal minore degli esponenti ( β ).
La 9.2 può essere usata per interpolare le concentrazioni plasmatiche di farmaco sia dopo
somministrazione endovenosa (curva sempre decrescente) che dopo somministrazione orale. Si può
notare infatti che al tempo 0 il valore della funzione vale A+B e quando A = -B il valore di Co
(concentrazione al tempo 0) è pari a 0.
Allora, quando il parametro A, che è il coefficiente dell’esponenziale più rapido, è negativo, la
curva risulta inizialmente crescente per poi raggiungere un valore di picco e tendere infine a 0
seguendo il termine esponenziale più lento β. Quando invece sia A che B sono positivi si ha una
curva sempre decrescente. In entrambi i casi, se α è molto maggiore di β, per tempi abbastanza
lunghi la 9.2 è ben approssimata da una monoesponenziale e la semivita può essere calcolata dal
parametro β usando la 8.2 .
L’area sotto la curva si ottiene integrando la 9.2 tra 0 ed infinito e si ottiene:
AUC =
A B
+
α β
oppure, se A= -B:
1 1
AUC = B ⋅ −
β α
Come per la monoesponenziale, i parametri A, α, B e β possono essere stimati dai dati sperimentali
utilizzando procedure iterative a calcolatore oppure con il metodo detto dei residui (o “peeling” )
che utilizza la tecnica della regressione lineare in scala semilogaritmica (vedi esempi).
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10 - Funzioni multiesponenziali
Raramente la cinetica plasmatica di un farmaco somministrato per via endovenosa necessita di un
numero di termini esponenziali maggiore di due per essere descritta.
Diverso è il caso di una somministrazione extravascolare, infatti se il profilo plasmatico dopo
somministrazione per via endovenosa segue un cinetica biesponenziale, allora è probabile che dopo
somministrazione extravascolare occorrano almeno tre termini esponenziali per descrivere bene la
cinetica plasmatica.
In sintesi si può generalizzare quanto detto sopra dicendo che la cinetica dei farmaci può essere ben
descritta da funzioni multiesponenziali, cioè da funzioni che si costruiscono sommando n termini
esponenziali:
c (t ) = ∑ Ai ⋅ e −λ i ⋅t
i
I valori di Co e AUC possono sempre essere calcolati dai parametri della curva come:
Co = ∑ Ai
i
e
AUC = ∑
i
Ai
λi
dove Co vale 0 se la somministrazione è extravascolare.
Per quanto riguarda la semivita, anche a queste funzioni si applica quanto detto per la
biesponenziale: per tempi abbastanza lunghi il termine esponenziale più lento tende ad essere
predominante e quindi la semivita della fase terminale può essere calcolata con la 8.2 utilizzando il
minore dei λi .
Come per le funzioni precedenti, infine, i parametri Ai e λi possono essere stimati dai dati
sperimentali utilizzando o il metodo dei residui, che però risulta molto laborioso quando i termini
esponenziali sono molti, o procedure iterative a calcolatore.
11 – Introduzione alla clearance e al volume di distribuzione
Abbiamo visto nei paragrafi precedenti come sia possibile con o senza l’aiuto delle funzioni
multiesponenziali calcolare dei parametri che permettano di descrivere sinteticamente i risultati di
un esperimento di farmacocinetica. Si è detto anche che il profilo cinetico di un farmaco dipende da
diversi processi biologici che avvengono nell’organismo e che modulano l’assorbimento,
l’eliminazione e la distribuzione dei farmaci. Sarebbe molto conveniente allora poter correlare in
qualche modo le concentrazioni osservate e quindi i parametri cinetici con questi processi. I modelli
matematici possono aiutare allo scopo ed è per questo che sono stati estensivamente utilizzati in
farmacocinetica.
In questo paragrafo cercheremo di introdurremo i due parametri cinetici forse più importanti, il
volume di distribuzione e la clearance, evitando di ricorrere per quanto possibile ai modelli
matematici. L’importanza di questi parametri nasce dal fatto che nelle sperimentazioni cliniche le
variabili che si hanno più frequentemente a disposizione sono solo le dosi di farmaco somministrato
e le concentrazioni di farmaco nel plasma o nel sangue del paziente in studio. Da queste due
grandezze sarebbe utile al clinico poter calcolare anche la quantità di farmaco eliminato o presente
nel corpo non solo all’inizio, ma anche a tutti i tempi dopo la somministrazione. I due parametri che
servirebbero allo scopo potrebbero essere definiti nel modo seguente:
12
CL = (Quantità di farmaco eliminato per unità di tempo) / (Concentrazione plasmatica)
V = (Quantità di farmaco presente nel corpo ad ogni tempo) / (Concentrazione plasmatica)
- 11.1 - 11.2 -
Sotto certe ipotesi e approssimazioni, e quindi in relazione a particolari modelli farmacocinetici, si
può mostrare che questi due parametri non dipendono dal tempo e che possono essere stimati dalle
seguenti formule:
D
AUC
- 11.3 -
D
λ ⋅ AUC
- 11.4 -
CL =
V=
dove D è l’effettiva dose di farmaco che entra nel circolo sistemico (se la somministrazione è per
via endovenosa D è la dose somministrata).
E’ invalso l’uso di considerare V come un parametro che misura la distribuzione del farmaco in
tutto il corpo, mentre CL come misura dell’efficienza con cui il farmaco viene eliminato
definitivamente.
Per giustificare questo, notiamo che la 11.4, calcolata per una funzione monoesponenziale, equivale
a:
V =
D
D
=
λ ⋅ AUC C0
- 11.5 -
Se pensiamo che al tempo 0 la quantità di farmaco in tutto il corpo è proprio la dose, allora diventa
evidente che Vd rappresenta il volume ideale dove la dose di farmaco si dovrebbe diluire in modo
istantaneo a concentrazione uniforme affinchè si abbia al tempo 0 una concentrazione pari a Co. Se
V è costante, allora la 11.5 equivale alla 11.2 e conviene riscrivere la monoesponenziale nel modo
seguente:
c (t ) = C0 ⋅ e− λ ⋅ t =
D − λ ⋅t
⋅e
V
V, come λ, è uno di quei parametri detti invarianti, cioè che non dipendono dalla dose o dal tempo
e che quindi sono caratteristici del farmaco in studio e del soggetto.
Si osservi che ora la curva monoesponenziale ha un significato ben più esteso rispetto a prima. Se
prima la curva serviva solo per interpolare dei dati sperimentali, ora la monoesponenziale contiene
informazioni precise sulla cinetica del farmaco, per esempio dice che le concentrazioni sono
proporzionali alla dose e che dose non influenza la semivita. In altre parole stiamo costruendo un
modello, e il volume di distribuzione, che è un parametro del modello, permette di prevedere la
concentrazione iniziale di farmaco nel plasma quando si somministra una certa dose D in bolo
endovenoso.
Si può mostrare che, con buona approssimazione, la 11.4 non perde significato anche se la curva di
concentrazione è descritta da una funzione multiesponenziale (al posto di λ occorre mettere il
minore dei λi ), però in questi casi la 11.5 non è più valida. Per questo motivo in farmacocinetica si
opera una distinzione tra le due formule:
13
Vc =
D
C0
e
Varea =
D
λl ⋅ AUC
(λl = minore dei λ)
La prima si usa per definire e calcolare quello che viene comunemente chiamato volume del
compartimento centrale o volume iniziale di distribuzione (in simboli Vc), la seconda per calcolare
un nuovo termine di volume chiamato volume di area o, per una curva biesponenziale, volume di
beta (Varea o Vβ ). Questi due parametri coincidono per una curva monoesponenziale, mentre per
curve multiesponenziali Varea è sempre maggiore di Vc e viene considerato come misura della
distribuzione del farmaco nei tessuti rispetto al plasma: più è alto, più farmaco è presente nei tessuti
e viceversa.
La costruzione del modello prosegue con l’introduzione della clearance. Infatti possiamo riscrivere
la 11.1 in termini matematici:
- da(t) / dt = CL . c(t)
- 11.6 -
dove a(t) è la quantità di farmaco in tutto il corpo, c(t) è la concentrazione plasmatica e da(t) / dt è la
derivata di a(t) rispetto al tempo t. La relazione tra la 11.6 e la 11.1 si trova osservando che il
termine da(t) / dt indica la variazione di farmaco in tutto il corpo e quindi è pari alla velocità di
eliminazione del farmaco cambiata di segno.
Integrando la 11.6 tra 0 e infinito con l’ipotesi che CL sia costante si ha:
Quantità di farmaco eliminata ( = Dose che è entrata in circolo ) = CL x AUC
che è equivalente alla 11.3.
Anche CL è un parametro invariante e come tale caratterizza il farmaco e il soggetto.
La clearance viene comunemente usata come indice dell’efficienza con cui il farmaco viene
eliminato dal corpo: più CL è elevata maggiore è l’efficienza di eliminazione e viceversa.
In farmacocinetica sono stati proposti modelli che collegano il volume di distribuzione al legame
reversibile dei farmaci alle proteine plasmatiche e la clearance ai flussi di sangue e alla capacità
intrinseca di alcuni organi di eliminare le molecole di farmaco (rene, fegato). Molte osservazioni
sperimentali supportano la validità di questi modelli.
Si noti, ancora, che dalle 11.3 e 11.4 risulta che:
Varea . λl = CL
E quindi, ricordando che λl è legato alla semivita, si ha:
t1 / 2
V
= area
0.693 CL
Questa equazione esprime una proprietà interessante dei nostri modelli di riferimento, e cioè che la
semivita, contrariamente a quanto potrebbe apparire intuitivamente, non è una buona misura della
efficienza dei processi di eliminazione perchè dipende non solo da CL, ma anche dal volume di
distribuzione. In altre parole, variazioni di semivita si possono avere per effetto di variazioni nella
distribuzione del farmaco e non solo per cambiamenti di CL.
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12 – Biodisponibilità
L’utilità dei modelli e, in particolare, di aver introdotto la clearance, può essere immediatamente
apprezzata dal fatto che CL permette di calcolare sempre la quota della dose di farmaco che entra
nel circolo sistemico. Unitamente alla velocità di assorbimento, questa grandezza è comunemente
chiamata biodisponibilità.
Per esempio, quando un farmaco viene somministrato oralmente, non è detto che tutta la dose entri
nel circolo sistemico perché parte delle molecole di farmaco possono transitare per tutto lo stomaco
e l’intestino senza essere assorbite, oppure perché durante il transito vengono direttamente
trasformate e quindi passano nel sangue già sotto forma di metaboliti o, ancora, perché parte della
dose viene persa per effetto di primo passaggio attraverso il fegato.
Data la complessità dell’assorbimento, è evidente che risulta difficile poter immaginare un
esperimento che ci permetta di misurare direttamente la quota della dose che arriva intatta nel
circolo sistemico, tuttavia i modelli e in particolare la definizione di clearance ci consente di
calcolare la biodisponibilità di un farmaco molto semplicemente. A questo scopo basta
somministrare il farmaco allo stesso soggetto in due occasioni: una volta per via endovenosa (per
poter stimare CL) e una volta per via orale e misurare i livelli di farmaco nel plasma. Importante è
che le somministrazioni siano distanziate da un intervallo di tempo sufficiente affinchè tutta la dose
precedente sia completamente eliminata dal corpo altrimenti si avrebbero delle sovrapposizioni nei
livelli in circolo. Avendo i profili plasmatici è possibile calcolare l’area sotto la curva (AUCos e
AUCev per la somministrazione orale e endovenosa rispettivamente) e, sapendo dalla definizione di
CL che CL x AUC è sempre uguale alla quantità di farmaco che entra nel circolo sistemico, si può
calcolare la biodisponibilità (F) come:
F=
CL ⋅ AUCos AUCos
=
CL ⋅ AUCev
AUCev
-12.1-
Si osservi che non è necessario che nei due esperimenti venga somministrata la stessa dose di
farmaco, infatti se le dosi sono diverse, essendo l’AUC proporzionale alla dose quando CL è
costante, basta dividere le due AUC nella 12.1 per la dose prima di calcolare il rapporto 12.1.
Il rapporto tra le AUC relativo a due somministrazioni orali è la grandezza che occorre stimare con
sufficiente accuratezza negli studi di bioequivalenza per poter confrontare formulazioni diverse
dello stesso farmaco. Se il rapporto è 1, allora il fatto che CL sia costante permette di dire che la
quota di farmaco assorbito non cambia e, quindi, che le due formulazioni sono equivalenti da questo
punto di vista.
13 – Conclusioni
Abbiamo visto che la farmacocinetica, misurando i livelli dei farmaci in circolo o nei tessuti, si
propone di studiare l’assorbimento, la distribuzione e l’eliminazione dei farmaci stessi. Componenti
essenziali della farmacocinetica sono i modelli matematici perché solo attraverso i modelli è
possibile definire dei parametri che siano in grado di mettere in relazione le concentrazioni misurate
con questi fattori, e questi fattori con i processi biologici dai quali sono influenzati. I parametri, a
loro volta, possono essere stimati dalle concentrazioni misurate e quindi possono essere utilizzati sia
per descrivere che per interpretare la cinetica dei farmaci.
L’area sotto la curva, per esempio, può essere calcolata per avere un’idea della esposizione al
farmaco di tutto l’organismo, ma può essere calcolata anche perché l’area permette di stimare la
clearance, parametro che, secondo i nostri modelli, descrive l’eliminazione del farmaco. A sua volta
la clearance dipende dalla funzionalità degli organi preposti all’eliminazione, per esempio il rene o
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il fegato, quindi possibili inefficienze nel funzionamento di questi organi possono avere
conseguenze sulla clearance e quindi sull’area sotto la curva e sui livelli.
E’ evidente allora la posizione centrale che i modelli occupano in farmacocinetica, e di conseguenza
appare chiaro anche il perché lo studio di questa materia sia essenzialmente lo studio dei modelli e
delle loro applicazioni.
Nella fase di costruzione di un modello farmacocinetico le funzioni multiesponenziali, i modelli
lineari e compartimentali e i modelli con bilancio di massa o modelli di clearance costituiscono
diversi passaggi attraverso i quali da una semplice descrizione delle concentrazioni di farmaco nel
tempo si passa ad una loro ni terpretazione fondata sulle conoscenze che si hanno del sistema fisico
in esame. Non sempre tale procedura arriva a buon fine, infatti, riprendendo le parole di G. Segre,
"…è naturalmente condizione importante il poter disporre di criteri per formulare modelli adeguati
e per valutarne la bontà. Anche a questo riguardo i calcolatori possono svolgere un ruolo rilevante,
pur dovendo tenere presente che la formulazione di un modello dipende da una serie di conoscenze
relative al problema in esame, da una scelta di approssimazioni e di semplificazioni che devono
essere provate e giustificate, ma che sono anche di ordine estetico, e alla possibilità di procedere a
una identificazione del significato biologico dei parametri e delle variabili introdotte. .............. i
compartimenti devono essere per lo più intesi come entità operative, utili a descrivere e ad
analizzare il sistema in esame. Similmente le costanti di trasferimento non rappresentano per lo più
un singolo processo fisiologico, ma piuttosto un insieme di processi che si comportano in modo da
non essere distinguibili. I calcolatori sono utili nel valutare l'unicità e la consistenza di un modello:
l'unicità é giudicata dalle stime degli errori di cui sono affetti i parametri calcolati, essendo non
unico un parametro affetto da grande incertezza; la consistenza é giudicata dalla bontà del fitting
dei dati sperimentali rispetto a quelli generati dal modello. A seconda dei risultati di queste fasi
della formulazione del modello, quest'ultimo può essere cambiato e migliorato; si ha così
un'interazione complessa tra sperimentatore e calcolatore" .
