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Modulo 1 - Insiemi numerici e operazioni
Unità di apprendimento 1 : I numeri naturali
1. L'insieme N e le sue proprietà
Introduzione
I primi numeri inventati dall'uomo sono stati quelli naturali. Parliamo di numeri
naturali quando citiamo la classica successione 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,....
L'insieme dei numeri naturali si indica con la lettera N, quindi si ha:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Il numero 1 è detto successivo di 0, il numero 2 successivo di 1, il 3 successivo
di 2 e così via.
♯Proprietà
1. L'insieme dei numeri naturali è infinito.
2. Ogni numero naturale ha uno e un solo successivo, zero non è successivo
di alcun numero naturale.
3. Tra due numeri m ed n non successivi (ad esempio tra 3 e 8) si trova
sempre un numero finito di numeri naturali, per questo motivo l'insieme
dei numeri naturali si dice discreto.
L'ordinamento in N
Se volessimo rappresentare i numeri naturali, lo potremmo fare avvalendoci di
una semiretta orientata la cui origine è il numero zero:
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Modulo 1 - Insiemi numerici e operazioni
Osservando la semiretta in figura, possiamo osservare le seguenti caratteristiche:
1. come già accennato prima, tra le lettere B e C, ad esempio, non vi sono
altri punti: proprio per questo motivo si dice che N è un insieme discreto;
2. la lettera O, e dunque il numero 0, è l'origine della semiretta;
3. la lettera u è pari ad una unità;
4. tra i numeri naturali si possono costruire relazioni e stabilire un
ordinamento utilizzando le parole chiave maggiore (>) o minore (<).
Esempi:
3 è maggiore di 2 :
5 è minore di 7:
3>2
5<7
5. si possono costruire ordinamenti in senso crescente (dal più piccolo al più
grande) o decrescente (dal più grande al più piccolo).
Esempio:
Dato l'insieme di numeri naturali N = { 2, 4, 8, 6, 1}, esso si può ordinare:
- in senso crescente diventando NC = { 1, 2, 4, 6, 8 }
- in senso decrescente diventando ND = { 8, 6, 4, 2, 1}
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2. Le operazioni elementari
Addizione e moltiplicazione
L'addizione e la moltiplicazione sono operazioni elementari naturalmente già note.
Vediamo di ripassarne innanzitutto la terminologia:
6 + 4 = 10
1°addendo
somma
2°addendo
6 × 4 = 24
1° fattore
prodotto
2° fattore
Inoltre, per le operazioni di addizione e moltiplicazione, nonché per le operazioni
elementari, valgono delle proprietà fondamentali che si distinguono
principalmente in: commutativa, associativa e distributiva.
♯Proprietà: Addizione
PROPRIETA'
Associativa
La somma dei tre numeri non
cambia se si associano
diversamente gli addendi.
a + (b + c) = (a + b) + c
Commutativa
Se si cambia l'ordine degli
addendi, la somma non
cambia.
a+b=b+a
ESEMPI
6 + (2 + 3) = (6 + 2) + 3
6+5=8+3
11 = 11
6+5=5+6
11 = 11
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♯Proprietà: Moltiplicazione
PROPRIETA'
Associativa
Il prodotto dei tre numeri non
cambia se si associano
diversamente i fattori.
a × (b × c) = (a × b) × c
ESEMPI
2 × (2 × 3) = (2 × 2) × 3
2× 6 =4×3
12 = 12
Commutativa
Se si cambia l'ordine dei
fattori, il prodotto non cambia.
a×b=b×a
6×5=5×6
30 = 30
Distributiva
Quando si deve moltiplicare un
numero per una somma, si può
moltiplicare quel numero per
ciascun addendo e poi si
sommano i prodotti ottenuti.
a × (b+c) = a × b + a × c
6 × (2 + 3) = 6 × 2+ 6 × 3
6 × 5 = 12 + 18
30 = 30
♯daCompletare
L' ELEMENTO NEUTRO dell'ADDIZIONE
Ammettiamo di avere un'addizione e mettiamo che il primo addendo di tale
addizione sia il numero 5. L'elemento neutro è un numero che, se aggiunto a
5, fa sì che la somma finale sia sempre 5, cioè
5 + elemento neutro = 5
 Quale è l'elemento neutro dell'addizione? L'elemento neutro dell'addizione
sarà perciò il numero 0.
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♯daCompletare
L'ELEMENTO NEUTRO della MOLTIPLICAZIONE
Ammettiamo di avere una moltiplicazione e mettiamo che il primo fattore di tale
moltiplicazione sia il numero 5. L'elemento neutro è un numero che, se
moltiplicato a 5, fa sì che il prodotto finale sia sempre 5, cioè
5 × elemento neutro = 5
 Quale è l'elemento neutro della moltiplicazione? L'elemento neutro della
moltiplicazione sarà perciò il numero 1.
Sottrazione e divisione
Anche per la sottrazione e la divisione ricordiamo brevemente la terminologia:
10 - 2 = 8
minuendo
differenza
sottraendo
10 : 2 = 5
divisore
quoziente
dividendo
In N la sottrazione e la divisione non sono sempre definite.
In particolare non trovano soluzione:
- nella sottrazione i problemi (a-b) in cui a è inferiore a b;
- nella divisione i problemi (a:b) in cui a non è multiplo di b.
In questi casi occorre costruire un nuovo insieme numerico, quello dei numeri
razionali di cui si parlerà più avanti.
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Inoltre, per le operazioni di sottrazione e divisione valgono le proprietà
invariantiva e distributiva.
♯Proprietà: Sottrazione
PROPRIETA'
Invariantiva
Se al minuendo o al sottraendo si
sottrae/aggiunge uno stesso
numero il risultato non cambia
a - b = (a - d) - (b - d)
a - b = (a + d) - (b + d)
a>b>d
Distributiva
Quando si deve moltiplicare un
numero per una differenza, si può
moltiplicare quel numero per
minuendo e sottraendo e poi
trovare la differenza dai prodotti
ottenuti.
a × (b - c) = a×b - a×c
ESEMPI
18 - 13 = (18-7) - (13-7)
5 = 11 - 6
5=5
2×(7 - 4) = 2×7 - 2×4
2× 3 = 14 - 8
6=6
♯Proprietà: Divisione
PROPRIETA'
Invariantiva
Se si moltiplica/divide per uno
stesso numero, diverso da 0, sia il
dividendo sia il divisore, il
quoziente non cambia
a : b = (a : d) : (b : d)
a : b = (a×d) : (b×d)
b≠0, d≠0
Distributiva rispetto
all'addizione
Quando si deve dividere una
somma per un numero, si può
dividere ciascun addendo per quel
numero e poi sommare i quozienti
ottenuti.
(a + b) : c = (a : c) + (b : c)
ESEMPI
24 : 6 = (24:2) : (6:2)
4 = 12 : 3
4=4
(15 + 20) : 5 = (15 : 5) + (20 : 5)
35 : 5 = 3 + 4
7=7
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Da notare, che la proprietà distributiva della divisione è vera anche per la
sottrazione. Infatti:
(a - b) : c = (a : c) - (b : c)
con c≠0, a e b divisibili per c e a ≥ b
Es. : (20 - 4) : 2 = 20 : 2 - 4 : 2
LA DIVISIONE E LO ZERO
Lo zero è un numero un po' particolare. E' utile ripassare quanto segue:
 se il dividendo è 0 e il divisore un numero diverso da zero il quoziente è
sempre zero
es.
0 : n = 0 (n≠0)
 se il divisore è 0 e il dividendo è diverso da zero la divisione è impossibile
es.
n : 0 = impossibile (n≠0)
 se il dividendo è 0 e anche il divisore è 0 la divisione è indeterminata
es.
0 : 0 = ? indeterminata
Multipli, divisori di un numero e numeri primi
Per ogni numero diverso da 0 possiamo trovare infiniti multipli: basta
moltiplicare il numero per 0, 1, 2, 3, 4...
Es.
I multipli di 8 sono:
0, 8, 16, 24, 32, 40...
Un numero naturale, diverso da 0, è divisore di un altro se la divisione tra i due è
esatta cioè da come risultato 0.
Es.
6 è divisore di 18, perché 18 : 6 =3
Mentre i multipli di un numero sono infiniti, i suoi divisori sono un numero
finito.
Inoltre, un numero è primo se ammette come unici divisori sé stesso e 1.
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3. L'ELEVAMENTO A POTENZA
Siano a ed n due numeri naturali, si dice potenza ennesima di a e si scrive an il
numero naturale
an = a×a×a...×a
con a moltiplicato n volte!
Per quanto concerne la terminologia:
c = an
esponente
potenza
base
♯Proprietà delle potenze
PROPRIETA'
Prodotto con base uguale
quoziente non cambia
am × an = a m+n
Quoziente con base uguale
quoziente non cambia
am : an = a m-n
(m≥n)
Potenza di potenza
Stessa base con prodotto degli
esponenti
(am)n = am×n
Potenza di un prodotto
Uguale al prodotto delle potenze
dei singoli fattori
(a × b)n = an × bn
Potenza di 10
n zeri dopo il numero 1
10n = 10 ... 0
n zeri
Potenza di una divisione esatta
Uguale al rapporto delle potenze
del dividendo e del divisore
(a : b)n = an : bn
ESEMPI
23×24=23+4=27
24:23=23-1=21
(23)4 =23×4=212
(2 × 5)2 = 22 × 52
105 = 100000
5 zeri
(10 : 2)4 = 104 : 24
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4. IL CALCOLO DI ESPRESSIONI ARITMETICHE
Una scrittura del tipo 2×3 + (8-2):3 si dice espressione aritmetica, calcolare il
suo valore significa svolgere nel giusto ordine tutte le operazioni indicate.
Tale ordine è, per convenzione, il seguente:
1. Se NON ci sono parentesi:
2+32×4-12:22
- calcolo elevamenti a potenza
2+9×4-12:4
- calcolo moltiplicazioni e divisioni
nell'ordine in cui si trovano
2+36-3
- calcolo addizioni e sottrazioni
nell'ordine in cui si trovano
35
2. Se ci sono parentesi
2+{32+[6-(2+24:8)+23]}
- calcolo delle divisioni nelle parentesi
più interne
2+{32+[6-(2+3)+23]}
- calcolo dell'addizione nelle parentesi
più interne
2+{32+[6-5+23]}
- calcolo delle operazioni nelle parentesi
quadre
2+{32+9}
- calcolo delle operazioni nelle parentesi
graffe
2+18 = 20
5. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI, MCD E mcm
NUMERO PRIMO: Un numero naturale si dice primo se è divisibile soltanto per 1
e per se stesso.
NUMERO COMPOSTO: Un numero naturale si dice composto se è divisibile,
oltre che per 1 e per se stesso, anche per altri numeri
naturali.
CRITERI DI DIVISIBILITA' e SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
Un numero naturale è divisibile per:
 2 se la cifra delle unità è pari;
 3 se la somma delle cifre è un numero divisibile per tre;
 5 se la cifra delle unità è 5 o 0;
 7 se la differenza tra il numero dato, privato della cifra delle unità, e il
numero doppio della cifra delle unità, è divisibile per 7;
 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre
di posto dispari, da come risultato 0 o un multiplo di 11.
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es.
14.850
7.425
2.475
825
275
55
11
1
2
3
3
3
5
5
11
Divisibile per 2 perché la cifra delle unità è zero.
Divisibile per 3 perché 1+4+8+5=18. 18 è divisibile per 3.
Divisibile per 5 perché la cifra finale è 0.
Non divisibile per 7 perché: 1485-0=1485
148-10=138
16-13=3
Divisibile per 11 perché 1+8+0-(4+5)=9-9=0
Scomponendo 14.850 in fattori primi si trova:
14.850 = 2 × 33 × 52 × 11
MASSIMO COMUNE DIVISORE
Dati due numeri e i loro divisori è possibile che qualche divisore del primo
numero sia divisore anche del secondo.
es.
divisori di 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
divisori di 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
D60
D36
5
10
15
20
30
60
1
2 3
4 12
6
9
18
36
Il più grande di questi divisori comuni è 12.
Si può dire allora che il massimo comune divisore (MCD) tra 60 e 36 è 12
perché è il maggiore dei divisori comuni.
Occorre sempre costruire gli insieme dei divisori? no!
E' possibile trovare il massimo comune divisore di due numeri naturali
scomponendo i due numeri in fattori primi e moltiplicando tra loro i fattori
comuni presi una sola volta con il minore degli esponenti.
es.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
60 = 22 × 3 × 5
36
18
9
3
1
2
2
3
3
36= 22 × 32
Nel nostro esempio il prodotto dei fattori comuni presi una sola volta con il più
piccolo degli esponenti è: 22 × 3 = 12
Quindi M.C.D. (60, 36)= 12
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Se i numeri di cui si deve trovare il MCD sono più di due si procede allo stesso
modo scomponendo in fattori primi ciascun numero e moltiplicando tra loro i
fattori comuni presi una sola volta con l'esponente minore.
MINIMO COMUNE MULTIPLO
Dati due numeri e i loro multipli è possibile che vi siano multipli comuni.
es.
multipli di 4: 4, 8, 12, 32, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ...
multipli di 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, ...
M4
4
8
32
20
16
28
40
44
52...
M6
6
18
12
24
36
48...
42
54
60
66
72
78
84
30
Il più piccolo dei multipli comuni è 12.
Si può dire allora che il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra 4 e 6 è 12 perché
è il più piccolo dei multipli comuni.
Occorre sempre costruire gli insieme dei multipli? no!
E' possibile trovare il minimo comune multiplo di due numeri naturali
scomponendo i due numeri in fattori primi e moltiplicando tra loro i fattori primi
presi una sola volta con il maggiore degli esponenti.
es.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
60 = 22 × 3 × 5
36
18
9
3
1
2
2
3
3
36= 22 × 32
Nel nostro esempio il prodotto dei fattori primi presi una sola volta con il più alto
degli esponenti è: 22 × 32 × 5 = 180
Quindi m.c.m. (60, 36)= 180
Se i numeri di cui si deve trovare il m.c.m. sono più di due si procede allo stesso
modo scomponendo in fattori primi ciascun numero e moltiplicando tra loro i
fattori primi presi una sola volta con l'esponente maggiore.
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6. I SISTEMI DI NUMERAZIONE
I computer ed i circuiti digitali "parlano" tra loro tramite un particolare linguaggio
definito da opportuni sistemi numerici, tra i quali si possono citare:




Sistema
Sistema
Sistema
Sistema
Decimale
Binario
Ottale
Esadecimale
Tutti questi sistemi sono a notazione posizionale; ognuno di essi si differenzia
principalmente per la base della potenza B che utilizza e andrà a comporre il
numero in questione utilizzando questa formula generale:
AnAn-1An-2 ... A2A1A0 = AnBn + An-1Bn-1 + An-2Bn-2+ ... + A2B2 + A1B1 + A0B0
ove con AnAn-1An-2 ... A2A1A0 si indicano i singoli simboli che compongono il
numero.
In termini più semplici significa che ad ogni simbolo sarà associato un peso
decrescente partendo dalla sinistra del numero. In ogni modo con gli esempi che
seguiranno, il tutto sarà molto più chiaro.
Sistema decimale
Questo è largamente il sistema più usato e conosciuto, che utilizza 10 come base
delle potenze B e dove i simboli A possono assumere dieci valori diversi: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9.
Facendo riferimento alla formula generale, il numero decimale 1024, ad esempio,
sarà così rappresentato:
Potenze di 10
Peso
Valore simbolo
Numero decimale
103
102
101
100
1000
100
10
1
1
0
2
4
1.103 + 0.102 + 2.101 + 4.100 = 1000 + 20 + 4 = 1024
La prima cifra a destra viene inoltre detta cifra meno significativa mentre la prima
cifra a sinistra viene detta cifra più significativa.
Sistema binario
E' il sistema più utilizzato in informatica, che utilizza 2 come base delle potenze B
e dove i simboli A possono assumere solo due valori: 0 e 1, denominati bit.
La rappresentazione del numero binario 1010, per esempio, equivarrà dunque a:
Potenze di 2
Peso
Valore simbolo
Numero decimale
23
8
1
.
1 23 +
22
21
20
4
2
1
0
1
0
.
2
.
1
0 2 + 1 2 + 0.20 = 8 + 2 = 10
Con la tabella, inoltre si è trovata la corrispondenza decimale, ossia:
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Modulo 1 - Insiemi numerici e operazioni
(1010)2 = (10)10
Anche in questo caso, facendo riferimento al numero binario, il simbolo più a
destra rappresenta il bit meno significativo (LSB = least significant bit) mentre
quello più a sinistra il più significativo (MSB = most significant bit).
♯daRicordare: Potenze del 2 e primi numeri binari
Nei sistemi numerici, e in particolare in quello binario, saranno ricorrenti le
conversioni col decimale, per cui è fondamentale avere ben chiare le prime potenze del
2:
20 = 1
21 = 2
23 = 8
4
5
6
2 = 16
2 = 32
2 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
nonché la conversione in binario dei primi dieci numeri decimali:
Numero decimale
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Numero binario
MSB
LSB
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
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