Massimo Comun Divisore
Definizione:
Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro massimo comun divisore il
maggiore fra i divisori comuni. Per indicarlo si scrive M.C.D. (a, b).
Esempio:
Se vogliamo calcolare il M.C.D. fra 48 e 26 dobbiamo procedere in questo
modo:
Trovare i divisori di 48 e 26.
I divisori di 48 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24.
I divisori di 26 sono: 1, 2, 13.
Consideriamo adesso l’insieme d’intersezione tra i loro divisori: {1, 2}.
Quindi il maggiore fra i divisori di 48 e 26 è 2 ovvero è l’M.C.D..
In generale: per determinare l’M.C.D. tra due o più numeri, si trovano i divisori
dei due numeri e fra quelli comuni si considera il più grande che sarà il
massimo comun divisore. Se nell’insieme d’intersezione vi è solo 1, si dice che
i numeri interessati sono primi fra loro.
Algoritmo di Euclide
Questo semplice algoritmo semplifica la ricerca del M.C.D. fra due numeri.
Esempio: vogliamo trovare l’M.C.D. fra 903 e 726. Si procede così
903
726
177
18
15
726 (1)
177 (4)
18 (9)
15 (1)
3 (5)
177
18
15
3
0
L’M.C.D. fra 903 e 726 è 3. Nella prima e nella seconda colonna troviamo i due
numeri da cui vogliamo trovare l’M.C.D.. Nella parentesi troviamo quante volte
ci sta il 726 nel 903 (nella prima riga). Nella terza colonna troviamo il resto di
questa divisione. Nella seconda riga dividiamo il divisore di prima per il resto
di prima e così via fino ad arrivare a resto 0. L’M.C.D. è l’ultimo resto che
troviamo.
L’M.C.D. in informatica
Ecco un programma in linguaggio C++ che permette di calcolare il M.C.D. fra
dei numeri:
#include <iostream.h>
int
mcd(int alfa, int beta)
{
int resto;
while (beta != 0) {
resto = alfa % beta;
alfa = beta;
beta = resto;
}
return alfa;
}
main()
{
int a;
int b;
int i;
int n;
cout << "Quante coppie di numeri vuoi esaminare?\n";
cin >> n;
for (i = 1; i <= n; i++) {
cout << "coppia numero " << i << "?\n";
cin >> a >> b;
cout <<"il M.C.D. fra "<< a <<" e "<< b <<" e` " << mcd(a, b) << '\n';
}
}
Minimo comune multiplo
Definizione:
Dati due numeri a e b, l’intersezione fra gli insiemi dei loro multipli è un
insieme infinito che contiene un multiplo particolare che è divisore di tutti gli
altri multipli comuni; esso si chiama minimo comune multiplo e per indicarlo si
scrive m.c.m. (a, b).
Esempio:
Se vogliamo calcolare il m.c.m. fra 24, 15 e 18 dobbiamo procedere in questo
modo:
Scomporre in fattori primi i numeri interessati.
24 = 23 x 3
15 = 5 x 3
18 = 32 x 2
Prendiamo adesso tutti i fattori con il massimo esponente, comuni e non
comuni, presi una sola volta; ovvero:
{23, 32, 5} allora: m.c.m. (24, 15, 18) = 23 x 32 x 5 = 360
In generale: per determinare l’m.c.m. fra due o più numeri si scompongono in
fattori primi e si calcola il prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni, presi
una sola volta, con il massimo esponente.
Congruenza
Se due numeri interi M e N danno lo stesso resto r quando vengono divisi per
uno stesso intero k, essi si dicono CONGRUI di MODULO k.
Esempio
23 e 16 sono congrui di modulo 7
L'orologio
I numeri che contando in senso orario vengono a trovarsi nella stessa posizione
sul quadrante dell'orologio sono CONGRUI di MODULO 12.
Infatti, sulla stessa posizione della cifra 1 troviamo:
1 – 13 – 25 – 37 ecc.
Sulla posizione del "2" troviamo:
2 – 14 – 26 – 38 ecc.
Sulla posizione dello 0 troviamo:
0 – 12 – 24 - 36 ecc.
E' facile rendersi conto che i primi numeri, evidenziati in rosso, costituiscono il
RESTO della DIVISIONE per 12 dei numeri che si trovano nella stessa
posizione sul quadrante dell'orologio.
Pertanto, i numeri nella stessa posizione sono tutti congrui di modulo 12 con
resto dato dal primo numero della serie (da 0 a 11). Questa proprietà può essere
utilizzata per determinare "al volo" in che posizione verrà a trovarsi sul
quadrante dell'orologio un numero intero comunque grande. Ad esempio il
numero 92 occupa la stessa posizione occupata dalla cifra 8, infatti:
92 = (7 x 12) + 8
Frazioni continue
Consideriamo l'equazione:
x2 - 3x - 1 = 0.
Ricavando la x dal termine di secondo grado si ha:
Sostituiamo alla x, al secondo membro il valore appena ricavato:
Proseguendo nelle sostituzioni arriviamo ad un’espressione del tipo:
Un’espressione di questo tipo si chiama frazione continua. Poiché la x
continua ad apparire al secondo membro non c'è nessun motivo apparente per
cui il valore della frazione si debba avvicinare a quello della soluzione
dell'equazione. Se però diamo un'occhiata più attenta alla frazione continua,
possiamo osservare che contiene una successione di frazioni:
ottenuta fermandoci ai vari stadi dello sviluppo. Se scriviamo come numeri
decimali i valori di tali frazioni (che in seguito chiameremo convergenti della
frazione), si scopre che danno approssimazioni sempre migliori della radice
positiva dell'equazione considerata:
In generale, una frazione continua è un’espressione del tipo
dove gli ai sono numeri interi positivi e sono detti quozienti della frazione. Un
modo graficamente più conveniente di scrivere una frazione continua è:
[a1, a2, ..., an, ...]
D'ora in poi, per motivi di praticità utilizzeremo quest'ultima notazione.
Gli sviluppi di numeri razionali
Un numero razionale si può sempre scrivere come p/q con p, q interi primi tra
loro. Faremo vedere che ogni numero razionale si può scrivere come frazione
continua finita (cioè con un numero finito di quozienti).
Esempio: 67/29 = [2, 3, 4, 2].
Come si arriva al risultato? Dividendo 67 per 29 si ottiene 2 con
resto 9. Quindi:
Se ora dividiamo 29 per 9 si ottiene 3 con resto 2. Quindi,
sostituendo:
Proseguendo finché non si ottiene resto zero si arriva al risultato
I criteri di divisibilità
Sappiamo tutti che un numero è pari se l'ultima cifra è pari, che è divisibile per
5 se l'ultima cifra è 0 o 5. Tutti conosciamo la ``prova del nove'', e magari anche
quella dell'undici. Ma esistono ``prove'' per tutti i numeri, e quali sono?
Sia
un numero intero. Dato un numero intero , esiste in effetti un criterio
per dire, a partire dalle cifre della rappresentazione decimale di , non solo se
è divisibile per o no, ma più in generale per dire quale è il resto della
divisione di per . Quanto poi questi criteri siano pratici è un altro discorso.
Cominciamo a notare che basta dare i criteri solo per i numeri della forma ,
ove è un primo. In effetti, per ricavare ad esempio il criterio di divisibilità per
(lo so che è ovvio, ma è solo per dare un esempio facile), basta notare che è
divisibile per
se e solo se lo è sia per 2 che per 5. Dunque l'ultima
cifra di deve essere 0 o 5, e deve essere pari: l'ultima cifra deve dunque essere
0. In generale, se
, con
primi distinti, si ha che
è divisibile
per se e solo se è divisibile per ognuno dei
.
Se
,o
, il criterio è facile, e coinvolge solo un numero finito di cifre
della rappresentazione decimale di . Sia
ove
. Se per esempio
, allora si ha
Dunque
. In altre parole, per vedere se
guardare le ultime cifre di .
è divisibile per , basta
Sia dunque
, con un primo diverso da 2 e 5. Si ha dunque che il
massimo comun divisore fra 10 e è 1. Allora esiste un più piccolo intero
positivo
Il caso
tale che
e
. Vediamo qualche esempio.
Qui si ha semplicemente
forma decimale:
Avremo
, dunque
. Scriviamo
in
per ogni , e dunque
Ecco quindi la prova del nove: per vedere se un numero è divisibile per nove,
basta guardare se lo è la somma delle cifre. La prova del 3 è eguale.
Il caso
Qui si ha, ma dato che, allora. Dunque
, ed abbiamo, modulo 11,
Quindi stavolta bisogna guardare la somma delle cifre, ma a segni alterni.
Il caso
In generale è sempre la somma delle cifre che bisogna guardare, ma con
coefficienti che si ripetono periodicamente ogni . Il caso
dovrebbe essere
sufficientemente significativo. Abbiamo modulo che
,
,
,
,
, e infine
Dunque
, e da qui in poi le potenze di 10 modulo 7 si ripetono
ciclicamente. Dunque modulo 7 abbiamo
.
I coefficienti vanno ripetuti per ogni gruppo di 6 cifre. Ad esempio, sia
. Allora vedo subito che
divisibile per 7.
, dunque
è
