Elettricita` e Magnetismo

Corso di Laurea in Fisica
A.A. 2016/17
Elettricita’ e Magnetismo
Prova scritta – 16/03/2017
Problema 1
Un anello di raggio a = 50 cm, fissato nel piano xy a z = 0, e’ carico positivamente con
densita’ lineare di carica costante λ = 0.001 Cm-1. Una carica puntiforme q = 0.001 C ,
con massa m = 10 g, viene lasciata libera di muoversi da ferma lungo l’asse perpendicolare
alla circonferenza, partendo da una posizione iniziale distante a dal centro dell’anello.
a
a
a) Determinare il potenziale elettrostatico nel punto in cui si trova inizialmente la carica
b) Qual e’ la velocita’ della carica quando si trova, sul suo asse, molto lontana dalla
circonferenza (z → ∞) ?
dφ =
1 dq
1
dq
1
λ ds
1
λ adθ
=
=
=
4πε 0 r
4πε 0 ( x 2 + a 2 )1 2 4πε 0 ( x 2 + a 2 )1 2 4πε 0 ( x 2 + a 2 )1 2
2π
→ φ ( x) =
0
λ adθ
1
∫ 4πε
0
(x
2
+a
2 12
)
=
λa
λa
2π
1
=
1
2
4πε 0 ( x 2 + a 2 )
2ε 0 ( x 2 + a 2 )1 2
λa
λ
1
10−3
→ φ (a) =
=
=
≈ 4107 V
1
2
−
12
2ε 0 ( a 2 + a 2 )
2 2ε 0 2.82 8.8510
Ein = U ( a ) =
E fin =
λq
2 2ε 0
1 2
mv∞
2
1
λq
E fin = Ein → mv∞2 =
2
2 2ε 0
v∞2 =
λq
2ε 0 m
→ v∞ =
λq
≈
2ε 0 m
→ v∞ ≈ 0.283104 ms −1
1
10−310−3
1 10−3
=
8.8510−12 210−2
12.5 10−7
Problema 2
Un filo cilindrico indefinito ha raggio R1 = 2 cm, e contiene una cavita’ cilindrica parallela,
indefinita ed eccentrica, di raggio R2 = 0.5 cm, il cui asse dista d = 1 cm dall’asse del filo,
come in figura:
Il filo e’ percorso da una corrente i= 10 A, con densita’ di corrente uniforme entrante nel
piano del disegno. Usando il principio di sovrapposizione per ricondurre il problema alla
somma di due problemi semplici:
a)
Determinare il campo magnetico B in un punto P, a distanza x = 10 cm sulla retta
congiungente i due centri
b)
Determinare la forza cui e’ soggetto un elettrone che si muove con velocita’
costante v = 10 ms-1 lungo l’asse della cavita’
B = B1 + B 2 sovrapposizione dei campi del filo pieno e di un filo fittizio
di volume identico alla cavita',percorsi da opportune correnti in verso opposto
i1 + i2 = I somma delle 2 correnti fittizie = corrente reale
B1 c. magnetico generato da filo pieno senza cavita'
i1 = I
π R12
π ( R12 − R22 )
=I
R12
R12 − R22
B 2 c. magnetico generato da filo equivalente a cavita', corrente opposta
i2 = − I
π R22
π ( R12 − R22 )
B1 ( P ) =
= −I
R22
R12 − R22
µ0i1 µ0 I R12
=
2π x 2π x R12 − R22
R22
B2 ( P ) =
=−
2π ( x − d )
2π ( x − d ) R12 − R22
µ0i2
µ0 I
→ B ( P ) = B1 + B2 =
 R12
 410−4 0.2510−4 
R22 
12.5610−710
−
=
−




0.09 
2π ( R12 − R22 )  x x − d  6.28 ( 410−4 − 0.2510−4 )  0.1
µ0 I
210−6
410−3 − 2.7810−4 ) = 0.5310−33.7210−3 = 1.9810−5 ≈ 20 µT
−4 (
3.7510
tangente alla circonferenza concentrica al filo 1 che passa per P
→ B ( P) =
µ0 Id
Id 2
B1 ( P ') 2π d = µ0i1 ' = µ0 2
→
B
P
'
=
(
)
1
R1 − R22
2π ( R12 − R22 )
B2 ( P ') = 0 sull'asse
→ B ( P ') = B1 ( P ') + B2 ( P ') =
µ0 Id
2π ( R12 − R22 )
tangente alla circonferenza concentrica al filo 1 che passa per P '
2 10−710 0.1 1.610−19 10 3210−26
→ F = evB =
=
=
3.7510−4
3.7510−4
2π ( R12 − R22 )
µ0 Idev
→F =
32 −22
10 ≈ 8.510−22 N , direzione radiale
3.75
Problema 3
Supponendo che il circuito in figura sia una bobina rettangolare di N = 85 spire di filo di
rame, con R = 6.2Ω, immerse in un campo di induzione magnetica B = 1.5 T ortogonale
(verso entrante nella pagina), calcolare, trascurando l’autoinduzione:
a) La corrente che circola nella bobina quando essa si muove con velocita’ v come
indicato, nell’intervallo di tempo in cui e’ parzialmente immersa nel c.magnetico
b) La forza necessaria ad estrarla a velocità costante nelle condizioni descritte in a)
dΦ
dt
Φ = NBxL, x tratto del lato della spira entro B
dΦ
dx
= NBL = NBLv
dt
dt
→ V = − NBLv
V
NBLv
85 1.5 0.13 0.18
→i = =−
=−
≈ −0.459 A
R
R
6.5
V =−
F = NiBL = 85 0.459 1.5 0.13 ≈ 7.61 N