ESEMPIO: matrice G ed R per doppio bipolo a T

Doppi bipoli
Esercizi a cura dell’Ing. Antonello Columbanu
tutore del corso di ELETROTECNICA per Meccanici e Chimici e Biomedici
A. A. 2006/ 2007
Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
(5/12/2006)
ESEMPIO 1) : Biporta a T definito con matrice G
Matrice G
I 1  G11U 1  G12U 2

I 2  G21U 1  G22U 2
In forma matriciale:
I1
I2

G11
G21
G12 U1

G22 U 2
Si avrà:
I1
G11 
U1
I2
G21 
U1
U 2 0
U 20
I1
G12 
U2
U1 0
I2
G22 
U2
U 10
E’ necessario costruire due circuiti:
 1° circuito
U1=U1; U2= 0 (secondario in cto-cto)
 2° circuito
U2=U2; U1= 0 (primario in cto-cto)
Il 1° circuito sarà il seguente:
L’autoconduttanza G11 sarà pari a:
I1
G11 
U1
U 2 0
1

R11'
Dove:
Rb  Rc
Ra Rb  R a Rc  Rb Rc
R11'  Ra 

Rb  Rc
Rb  Rc
Quindi:
Rb  Rc
G11 
Ra Rb  Ra Rc  Rb Rc
U 2 0
La conduttanza mutua G21 sarà pari a:
I2
G21 
U1
U 2 0
Dove la corrente I2 si ricava facendo il partitore di corrente
con Rc e Rb:
Rc
I2  
I1
Rc  Rb
U 2 0
Il rapporto I2/U1 si determina dal seguente sistema:
Rb  Rc
 I1

U
 1 Ra Rb  Ra Rc  Rb Rc

 I   Rc  Rb  I
1
2

R
c

Rc  Rb I 2
Rb  Rc



Rc
U1 Ra Rb  Ra Rc  Rb Rc
Quindi la conduttanza mutua G21 sarà pari a:
I2
G21 
U1
U 2 0
Rc

Ra Rb  Ra Rc  Rb Rc
Il 2° circuito sarà il seguente:
L’autoconduttanza G22 sarà pari a:
G22 
I2
U2

U1 0
1
R22'
Dove:
R22'
Ra  Rc
Ra Rb  R c Rb  Ra Rc
 Rb 

Ra  Rc
Ra  Rc
Quindi:
G22 
Ra  Rc
Ra Rb  Rc Rb  Ra Rc
U1  0
La conduttanza mutua G12 sarà pari a:
I1
G12 
U2
U1 0
Dove la corrente I1 si ricava facendo il partitore di corrente
con Rc e Ra:
Rc
I1  
I2
Ra  Rc
U1  0
Il rapporto I1/U2 si determina dal seguente sistema:
Ra  Rc
 I2
U  R R  R R  R R
 2
a b
c b
a c

 I   Ra  Rc  I
1
 2
Rc
Ra  Rc I1
Ra  Rc



Rc
U 2 Ra Rb  Rc Rb  Ra Rc
Quindi La conduttanza mutua G12 sarà pari a:
I1
G12 
U2
U1 0
Rc

Ra Rb  Rc Rb  Ra Rc
Verifica
Quadripolo su base R
U1
U2

Ra  Rc
Rc
Rc
Rc  Rb

I1
I2
  ( Ra  Rc )  ( Rc  Rb )  Rc2  Ra Rc  Ra Rb  Rc2  Rc Rb  Rc2 
 Ra Rc  Rb Ra  Rc Rb
Quadripolo su base G
Rc  Rb
I1


I2
Rc


Rc
U1


Ra  Rc U 2


  Ra Rc  Rb Ra  Rc Rb
ESEMPIO 2) : Biporta a  definito con matrice R
Dove:
1
Ra 
Ga
1
Rc 
Gc
U1  R11I1  R12 I 2

U 2  R21U1  R22 I 2
In forma matriciale:
U1
U2

R11
R12
R21
R22 I 2

I1
1
Rb 
Gb
Si avrà:
U1
R11 
I1
U2
R21 
I1
I 2 0
U1
R12 
I2
I1 0
I 20
U2
R22 
I2
I 10
E’ necessario costruire due circuiti:
 1° circuito
I1=I1; I2= 0 (secondario aperto)
 2° circuito
I2=I2; I1= 0 (primario aperto)
Il 1° circuito sarà il seguente:
L’autoresistenza R11 sarà pari a:
U1
R11' 
I1
I 2 0
Ra  ( Rb  Rc ) Ra Rc  R a Rb


Ra  Rc  Rb Ra  Rc  Rb
La resistenza mutua R21 sarà pari a:
U2
R21 
I1
I 2 0
Dove la tensione U2 si ricava facendo il partitore di tensione
con Rc e Rb:
Rb
U2 
U1
Rc  Rb
I 2 0
Il rapporto U2/I1 si determina dal seguente sistema:
U1 Ra Rc  Ra Rb
I  R R R
Rc  Rb U 2 Ra ( Rc  Rb )
 1
a
c
b




Rb
I1 Ra  Rb  Rc
U  Rc  Rb  U
1
2

R
b

Quindi La resistenza mutua R21 sarà pari a:
U
R21  2
I1
U 2 0
Ra Rb

Ra  Rb  Rc
Il 2° circuito sarà il seguente:
L’autoresistenza R22 sarà pari a:
U2
R22' 
I2
I1 0
Rb  ( Rc  Ra )

Ra  Rb  Rc
La resistenza mutua R12 sarà pari a:
U1
R12 
I2
I1 0
Dove la tensione U1 si ricava facendo il partitore di corrente
con Ra e Rc:
U1 
Ra
U2
Rc  Ra
I1  0
Il rapporto U1/I2 si determina dal seguente sistema:
U 2 Rb  ( Rc  Ra )
I  R R R
Ra  Rc U1 Rb  ( Rc  Ra )
 2
a
b
c

 

Ra
I2
Ra  Rb  Rc
U  Ra  Rc  U
2
1

R
a

Quindi la resistenza mutua R12 sarà pari a:
U1
R12 
I2
I1 0
Ra Rb

Ra  Rb  Rc
Verifica
Quadripolo su base G
I1
I2

Ga  Gc
 Gc
 Gc
Gc  Gb U 2

U1
  (Ga  Gc )  (Gc  Gb )  Gc2  Ga Gc  Ga Gb  Gc2  GcGb  Gc2 
 Ga Gc  Ga Gb  GcGb
Quadripolo su base R
Gc  Gb
U1


U 2 Gc

Gc
I1


Ga  Gc I 2

1
1

Gc  Gb
Rc Rb
R11 


1
1
1
1
1
GaGc  GaGb  GcGb
   
Ra Rc Ra Rb Rc Rb
Rb  Rc
R ( R  Rc )
Rc Rb

 a b
Rb  Rc  Ra Rb  Rc  Ra
Rb Rc Ra
1
Gc
Rc
Ra Rb
R12 


 R21
R

R

R

Ra  Rc  Rb
b
c
a
Rb Rc Ra
Ra  Rc
1
1

Ra Rc
Ra Rc
R22 

Rb  Rc  Ra
Ra  Rb  Rc
Rb Rc Ra
Ra Rb Rc
Rb ( Ra  Rc )
R22 
Ra  Rb  Rc