Fisica Applicata
(FIS/07)
9CFU
Facoltà di Ingegneria, Architettura e delle
Scienze Motorie
18-marzo-2013
Architettura
(corso magistrale a ciclo unico quinquennale)
Prof. Lanzalone Gaetano
Cinematica del Punto Materiale
Moto rettilineo del punto materiale
• Punto materiale
– Punto geometrico dotato di massa
• Traiettoria
– Il luogo dei punti via via occupati dal punto
materiale
• Moto rettilineo
– Moto con traiettoria rettilinea
• Moto di caduta di un grave, moto alternativo dei
pistoni nei cilindri, moto di una automobile
lungo una strada diritta, etc.
Grafico orario
Definiamo gli assi del Grafico:
•
X Asse delle ascisse = variabile indipendente (il tempo).
È necessaria una scala, per es. 1cm=0,1s
•
t Asse delle ordinate = variabile dipendente (la posizione).
– Anche qui è utile una scala, per es
1 cm=0,2 m
X
t
Grafico orario
(caduta di un grave)
MISURE
x (m)
1,00
0,99
0,98
0,95
0,91
0,86
0,80
0,73
0,65
0,56
0,46
0,34
0,22
0,08
Grafico orario
1,00
0,80
x (m)
t (s)
0,00
0,03
0,07
0,10
0,13
0,17
0,20
0,23
0,27
0,30
0,33
0,37
0,40
0,43
0,60
0,40
0,20
0,00
0,00
0,20
0,40
0,60 t (s)
I punti (BLU) rappresentano le misure, la curva è l’interpolazione.
• La curva interpolante deve essere continua: il punto materiale passa per tutte le posizioni intermedie.
• La legge di corrispondenza è una funzione, ad ogni istante di tempo corrisponde una
sola posizione (il corpo non si può trovare in due luoghi diversi allo stesso istante di tempo).
Per lo stesso motivo la funzione è continua
Legge oraria
• Il grafico orario può anche essere rappresentato mediante una
espressione matematica (legge oraria)
Uso del grafico orario o della legge oraria:
t= 0.2 s
ricavare la posizione del punto all’istante
SOLUZIONE ANALITICA
Grafico orario
x in m
1,00
0,80
t in s
x (m)
1
x = 1,0 − 9,81t 2
2
SOLUZIONE GRAFICA
0,60
0,40
0,20
1
1
x = 1, 0 − 9,81× 0, 2 2 = 1.0 − 9,81× 0, 04 =
2
2
= 1, 0 − 0,196 = 0,803 (m)
0,00
0,00
0,20
0,40
0,60 t (s)
Per esempio :
Moto di un’automobile su un tratto rettilineo
Moto di una automobile su un tratto rettilineo
B
posizione
• Esiste una relazione tra la
pendenza del grafico orario
e la velocità
dell’automobile.
X
A
t
θ
t1
t2
tem po
t3
t4
Pendenza :
legata all’angolo (tang θ) formato dalla retta tangente
alla curva nel punto con l’asse delle ascisse.
Spostamento e percorso effettuato
Lo Spostamento ed il Percorso Effettuato NON SEMPRE coincidono !
Spostamento
S = Δx = xfinale - xiniziale
Percorso effettuato P = alla lunghezza del tratto effettivamente percorso S≡P
xiniziale
S≠P
xiniziale
xfinale
xfinale
Lo spostamento è un vettore à segue le regole vettoriali
Il segno dello spostamento
• Spostamento Δx =xfinale-xiniziale
• Nel caso di un moto rettilineo (però) non è necessario
far ricorso alla rappresentazione vettoriale (che
vedremo in seguito)
Il verso del moto viene rappresentato dal segno di Δx
– Se Δx >0 allora vuol dire che xfinale >xiniziale: il moto è
avvenuto nella direzione positiva dell’asse delle x
– Se Δx <0 allora vuol dire che xfinale <xiniziale: il moto è
avvenuto nella direzione negativa dell’asse delle x
Velocità media
• Velocità scalare media
percorso effettuato
v sm =
Δt
L1
L2
– Sempre positiva (L1+L2)
O
X1
X
X2
• Velocità vettoriale media
vm
Δx
x2 − x1
=
=
Δt
t 2 − t1
partenza
– Positiva -->x crescenti
O
X1
X
X2
partenza
– Negativa-->x decrescenti
O
X2
X1
X
Velocità media
• Velocità scalare media
( X 3 − X1 ) + ( X 3 − X 2 )
vsm =
Δt
Grafico Orario
x (m)
25
– Sempre positiva
x3
20
2
x2
15
x1 1
Δx
Δt
• Velocità vettoriale media
Δx x2 − x1
vm =
=
Δt
t 2 − t1
Positiva --> poiché X2>X1
10
5
0
0
t1 1
2
3 t2
4
t (s) 5
Alla guida di un’automobile, dopo aver percorso una strata rettilinea per 8,4 km a
70 km/h, siete rimasti senza benzina. Avete quindi proseguito a piedi, sempre nella
stessa direzione, per 2.0 km fino al prossimo distributore, dove siete arrivati dopo
30 minuti di cammino. Qual è
– lo spostamento complessivo
– Il tempo complessivo impiegato
– La velocità media ( e quella scalare ?)
spost. complessivo =
= 8.4km + 2.0km = 10.4km
tempo totale = Δt 1 + Δt 2 =
=
d1
+ Δt 2 =
v1
8.4km
=
+ 0.50h = 0.62h
km
70
h
spost. complessivo
vm =
=
tempo totale
10.4km
=
= 16.8 km h
0.62h
Descrizione del moto attraverso la velocità media
• Supponiamo di far muovere tra t1 e t2 il punto materiale con la
velocità media vettoriale appena calcolata
• Valutiamo la sua posizione all’istante t=2s.
Posizione vera al tempo t=2s 20
Posizione al tempo t=2s
predetta con la velocità media
(segmento VERDE)
Grafico Orario
x ( m)
25
x2
2
15
x1
Δx
1
Δt
tan g α =
10
Concludiamo:
La descrizione del moto
mediante la velocità media
vettoriale è insoddisfacente
Δx
Δt
5
0
0
t1 1
2
3 t2
4
Le predizioni sono corrette solo agli estremi t1 e t2 !!!
t (s) 5
Determinazione della velocità media in
intervalli di tempo sempre più piccoli
•
Riduciamo gli intervalli di tempo in cui
calcolare la velocità media
– si ottiene una descrizione del moto
decisamente migliore
•
•
•
Riducendo sempre più gli intervalli di
tempo in cui si calcola la velocità media
si otterrà una descrizione sempre
migliore!
Sarebbe opportuno ridurre a zero
l’ampiezza degli intervalli di tempo in cui
si calcola la velocità media, così la
descrizione del moto sarà perfetta!
Ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli
di tempo equivale a calcolare la velocità
del corpo ad ogni istante: la velocità
istantanea
Grafico Orario
x ( m)
25
20
x2
2
15
x1
Δx
1
Δt
10
Δt/3
5
0
0
t1 1
Δt/3
2
Δt/3
3 t2
4
t (s) 5
La velocità istantanea
•
•
•
•
Procediamo nel seguente modo:
Consideriamo l’istante t1 in cui
vogliamo calcolare la velocità
Consideriamo un intervallo di tempo Δt
maggiore di zero.
Grafico Orario
x ( m)
25
20
2
x(t1+Δt)
Δx
15
Δt
x(t1)
Calcoliamo la velocità media in Δt
1
•
La velocità media corrisponderà al
coefficiente angolare della retta
passante per i punti 1 e 2 del grafico
10
5
•
v xm
Riduciamo ora l’intervallo di tempo Δt
facendolo tendere a zero.
0
0
•
•
Si definisce velocità istantanea
all’istante t1 il seguente limite:
v x (t 1 ) =
t1
Δx x(t1 + Δt ) − x(t1 )
=
=
Δt
Δt
1
limΔt → 0
2
3
t1+Δt
4
t (s) 5
x(t1 + Δt ) − x(t1 )
Δt
Osserviamo che quando Δt tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la
velocità media in Δt, tende a diventare quello della retta tangente al grafico all’istante t1.
Velocità istantanea ad ogni istante di tempo
Ripetendo l’operazione di limite per
altri istanti di tempo, per esempio t2
o t3, possiamo conoscere la velocità
istantanea (e quindi la derivata
rispetto al tempo della funzione x(t))
a questi istanti di tempo.
Se ripetiamo l’operazione per tutti
gli istanti di tempo dell’intervallo di
osservazione del moto possiamo
ricavare la velocità istantanea in
funzione del tempo
vx(t)
•
Questa funzione altro non è
che la derivata rispetto al
tempo della funzione x(t)
dx( t )
v x (t ) =
dt
Grafico Orario
x ( m)
25
20
Positiva
-->
x crescenti
x(t2)
15
x(t1)
x(t3)
10
Negativa
-->
x decrescenti
5
0
0
t1
1
t2
Se v=cost. à Moto Uniforme
2
3
4t3
x = x0 + vxt
t (s) 5
Velocità scalare istantanea e velocità
vettoriale istantanea
•
Anche per la velocità scalare si può
definire la velocità istantanea:
percorso effettuato
Δt→ 0
Δt
xmassimo
v s = lim
•
xfinale
Ma quando Δt tende a zero, avremo
xiniziale
percorso effettuato= Δx
•
Si ottiene quindi la seguente
relazione
vs = v
La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo, della
velocità vettoriale istantanea
Accelerazione media e istantanea
• Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con
che rapidità varia.
• Si definisce l’accelerazione media nell’intervallo di tempo tra t1 e t2 il
seguente rapporto:
axm =
Δvx vx 2 − vx1
=
Δt
t2 − t1
• Come abbiamo fatto per la velocità anche per l’accelerazione
possiamo passare all’accelerazione istantanea:
– L’accelerazione istantanea all’istante t1 è data da:
a x (t1 ) = limΔt→0
Δv
v (t + Δt) − vx (t1 )
= lim Δt→0 x 1
Δt
Δt
• Tenendo conto della definizione di derivata:
dv x (t)
a x (t1 ) =
dt t=t1
Accelerazione istantanea
Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo determinare
la funzione accelerazione.
dv x (t )
Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità. a x (t ) =
dt
Se ax è costante (MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO) nel tempo, si ricava :
vx (t ) = vo + aot
Se integriamo l’espressione della velocità:
v x (t ) =
dx( t )
dt
∫ dx = ∫ v (t )dt
x
2
1
[
]
dx
=
v
+
a
t
dt
=
v
dt
+
a
tdt
=
v
dt
+
a
tdt
=
v
t
+
a
t
o∫
o∫
o
2 0
∫ ∫ o o
∫o ∫ o
x = x0 + vo t + a0t
1
2
2
Moto uniformemente accelerato
• Altra Equazione ricavata dalle precedenti:
moto uniformemente accelerato
x(t ) = xo + v xo t + 12 a xo t 2
v x (t ) = v xo + a xo t
x(t ) = xo + v
2
2
1
⎧
x
(
t
)
=
x
+
v
t
+
a
t
⎪
o
xo
2 xo
⎨
v x ( t ) −v xo
t
=
⎪
a xo
⎩
(
(
v x ( t ) − v xo
xo
a xo
2
)+
1
2
a
)
v x ( t ) − v xo 2
xo
a xo
(
)
vx (t ) = vx 0 + 2axo [x(t ) − xo ]
Il segno dell’accelerazione
a xm =
Δvx vx 2 − vx1
=
Δt
t 2 − t1
con Δt > 0
• Riguardando la definizione dell’accelerazione media (ma le stesse
considerazioni valgono per l’accelerazione istantanea), si vede che:
– axm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x:
• v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della
velocità)
– Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta
– Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo
valore assoluto però diminuisce
– axm minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x:
• v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della
velocità)
– Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce
– Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi
il suo valore assoluto aumenta.
• Possiamo concludere:
– Se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo
della velocità aumenta.
– se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce.
Grafico orario del moto uniformemente accelerato
x(t) = x o + vxo t + 12 a xo t 2
v x (t) = v xo + a xo t
•
•
•
•
Il grafico orario del moto
uniformemente accelerato è
un arco di parabola.
xo è la posizione all’istante
t=0s (l’intercetta con l’asse
delle ordinate).
vxo è la velocità iniziale,
ossia la pendenza del
grafico all’istante iniziale.
L’andamento della velocità
in funzione del tempo è
lineare.
Grafico Orario
x ( m)
25
20
tanθ = v xo
15
xo
10
θ
5
0
0
1
2
3
4
t (s) 5
Moto uniforme ed uniformemente accelerato
• Il moto uniformemente accelerato, contiene , come
caso particolare il moto uniforme, quando cioè
l’accelerazione axo è uguale a zero.
moto uniformemente accelerato
x(t) = x o + vxo t + 12 a xo t 2
v x (t) = v xo + a xo t
Moto
uniformemente
accelerato
moto uniforme
x(t) = x o + vxo t
v x (t) = v xo
Moto
uniforme
R. 2,9m 3s
Moto di caduta dei gravi
Galilei ha determinato che
– in vicinanza della superficie terrestre,
– in assenza di aria
tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione
g
– g non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc)
– g, all’interno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende
dalla posizione del corpo.
– g, è quindi anche indipendente dal tempo (costante).
Se il volume non è limitato
• g dipende dalla quota
• g dipende dalla latitudine, è più grande ai poli, ed è più piccola
all’equatore
• Alle nostre latitudini g vale circa g=9.81
m/s2
Moto di caduta dei gravi
• Il moto di caduta dei gravi si studia considerando un
sistema di riferimento con l’asse y orientato verso l’alto.
• La componente lungo l’asse y dell’accelerazione di
gravità è negativa (ay= -g = -9.81m/s2).
• Le leggi del moto di caduta dei gravi sono:
moto di caduta dei gravi
y(t) = y o + vyo t − 12 gt 2
v y (t) = v yo − gt
g=9.81 m/s2
• Le costanti yo e vyo vanno determinate sulla base
delle condizioni iniziali
R. 0.78 , 6.67
Conclusioni
• Conoscendo la legge oraria:
x(t)
• Possiamo calcolare la velocità:
• E quindi l’accelerazione:
vx(t)
ax(t)
la posizione in funzione del tempo
la velocità in funzione del tempo
l’accelerazione in funzione del tempo
Equazioni cinematiche
x = x0 + vxt
Moto rettilineo Uniforme
x = x0 + vo t + 12 a0t 2
Moto Uniformemente
accelerato
vx (t ) = vo + aot
2
2
vx (t ) = v0 + 2a0 Δx
x = x0 + 12 (vx + v0 )t
Domande sui concetti
Domande sui concetti
Eserci
zi
Es.1 ) Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni
diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0)
(1) x=3t
(2) x=-4t2-2
(3) x=2/t2
(4) x=-2
a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante?
b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x?
Es.2 ) Avete viaggiato sull’ autostrada Catania Enna per metà tempo a 55 km/h e per il
tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il
resto della distanza a 90 km/h.
a) Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno?
b) Qual è la velocità vettoriale media complessiva?
c) Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie
Es.3 )La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dall’espressione
x=3t-4t2+t3, ove x è in metri e t in secondi.
a) qual è la posizione per t=1,2,3 e 4 s?
b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4s?
c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s?
d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?
Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro
situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0)
(1) x=3t
(2) x=-4t2-2
(3) x=2/t2
(4) x=-2
a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante?
b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x?
a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4)
b) la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dell’asse x nei casi
(2) e (3). Infatti:
dx
vx =
dt
(1)
(2)
(3)
(4)
dx d(3t)
vx =
=
= 3ms
>0
dt
dt
dx d(−4t 2 − 2)
vx =
=
= −8t m s
<0
dt
dt
2 2)
d(
dx
2(−2t ) −4
t
vx =
=
=
= 3 <0
4
dt
dt
t
t
dx d(−2)
vx =
=
=0
=0
dt
dt
La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data
dall’espressione x=3t-4t2+t3, ove x è in metri e t in secondi.
a) qual è la posizione per t=1,2,3 e 4 s?
b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0
e t=4s?
c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s?
d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?
a) per risponere alla domanda basta sostiuire alla variabile t nell’espressione della legge oraria
gli istanti di tempo richiesti: x(t) = 3t − 4t 2 + t 3
x(1s) = 3x1 − 4x12 + 13 = 3 − 4 + 1 = 0m
x(2s) = 3x2 − 4x2 2 + 23 = 6 − 16 + 8 = −2m
x(3s) = 3x3 − 4x32 + 33 = 9 − 36 + 27 = 0m
2
3
x(4s) = 3x4 − 4x4 + 4 = 12 − 64 + 64 = 12m
b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo
tra t=0 e t=4s?
x(t) = 3t − 4t 2 + t 3
2
3
x(0) = 3x0 − 4x0 + 0 = 0m
x(4) = 3x4 − 4x42 + 43 = 12 − 64 + 64 = 12m
Δx = x(4) − x(0) = 12m − 0m =12m
c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e
t=4s?
Δx x(4s) − x(2s) 12m − (−2m )
m
v xm =
=
=
=7
Δt
Δt
2s
s
d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?
dx
v x (3s) =
=
dt t=3s
(
= 3 − 8t + 3t
2
)
t=3s
(
d 3t − 4t 2 + t 3
)
(
dt
t=3s
) ()
⎛ d(3t ) d −4t 2 d t 3 ⎞
= ⎜
+
+
⎟
dt
dt
dt
⎝
⎠
= 3 − 8x3 + 3x3 = 3 − 24 + 27 = 6 m s
2
=
t=3s
Esercizi
1
2
Nel momento in cui il semaforo volge al verde , un’auto parte con
accelerazione costante a=2.2 m/s2. Nello stesso istante un autocarro che
sopravviene alla velocità costante di 9.5 m/s sorpassa l’auto.
a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto sorpasserà il camion?
b) Quale sarà la velocità dell’auto in quel momento?
Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da una altezza di 4.00 m
dal pavimento. Rimbalza fino ad un altezza di 2.00 m. Se è stata in contatto
con il suolo per 12.0 ms, qual è stata la sua accelerazione media durante il
contatto.
Nel momento in cui il semaforo volge al verde , un’auto parte con accelerazione
costante a=2.2 m/s2. Nello stesso istante un autocarro che sopravviene alla
velocità costante di 9.5 m/s sorpassa l’auto.
a) A quale distanza oltre al semaforo l’auto sorpasserà il camion?
b) Quale sarà la velocità dell’auto in quel momento?
Iniziamo a contare il tempo a partire dal momento in cui il semaforo diventa verde (t=0s).
Introduciamo un asse di riferimento lungo la strada rettilinea. Fissiamo l’origine nel punto
in cui è ferma l’automobile in attesa del verde.
Orientiamo l’asse nel verso del moto del camion e dell’automobile.
Con queste scelte le condizioni iniziali sono:
Auto
xAo=0 m
vAx0=0 m/s
aAx0=2.2 m/s2
O
A
C
Camion
xCo=0 m
vCx0=9.5 m/s
aCx0=0 m/s2
Le rispettive leggi orarie diventano:
x A (t) = 12 a A xot 2
x C (t) = v Cxo t
v Ax (t) = a Axo t
v Cx (t) = v Cxo
x
Ci sarà il sorpasso dell’auto quando le posizioni dell’auto e del camion
saranno nuovamente uguali.
2
1
x A (t) = xC (t) ⇒
2
a Axo t = vCxot
Calcoliamo l’istante di tempo quando questa situazione si verifica:
1
2
1
2
2
a Axo t 2 = vCxo t ⇒
a A xo t − vC xo t = 0
⇒
2
1
a
t
2 Axo
− vCxo t = 0
t ( a A xo t − vC xo ) = 0
1
2
⇒
2vC xo
t1 = 0 t2 =
a A xo
t1 corrisponde all’istante in cui il camion sorpassa l’auto ferma, anche in quel
caso infatti le posizioni dei due veicoli coincidevano.
L’istante del sorpasso sarà t2:
2 × 9.5 m s
t2 =
= 8.64s
m
2.2 s 2
La posizione in cui avviene il sorpasso, la possiamo calcolare con una delle due
leggi orarie:
x A (t) = 12 a A xot 2x C (t)
xC (t) = 12 2.2 m s2 8.64 2 s2 = 82.1m
x C (t) = v C xot
x C (t) = 9.5 m s 8.64s = 82.1m
La velocità dell’auto in
quell’istante sarà:
v Ax (t) = a Axo t = 2.2 m s2 × 8.64s = 19.01m s
v Ax (t ) = 19.01 m s
Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da una altezza di 4.00 m
dal pavimento. Rimbalza fino ad un altezza di 2.00 m. Se è stata in contatto
con il suolo per 12.0 ms, qual è stata la sua accelerazione media durante il
contatto.
• La palla da tennis arriva al suolo con una velocità diretta verso il basso
• Poiché rimbalza verso l’alto, riparte dal suolo con una velocità diretta
verso l’alto.
• C’è stata quindi una variazione di velocità. C’è stata una accelerazione!
• Fissiamo l’asse y di riferimento diretto l’alto, coincidente con la verticale
passante per il punto di impatto, con l’origine nel punto di impatto.
a my =
v yf − v yi
Δt
Occorre calcolare la velocità finale e
quella iniziale sull’intervallo di tempo in
cui la palla è a contatto con il suolo.
La velocità iniziale è quella con cui arriva
al suolo dopo la caduta di 4 m
La velocità finale è quella con cui riparte
dal suolo.
•
Il moto di caduta è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di
gravità) . Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far partire il
cronometro nel momento del lancio, le condizioni iniziali valgono:
– yo= 4.00m
– voy=0m/s
– aoy=-g=-9.81m/s2
•
La legge oraria vale:
y(t) = y o − 12 gt 2
v y (t) = −gt
•
L’istante in cui la palla raggiunge il suolo si ottiene imponendo che y(tf)=0
(va preso l’istante positivo, il suolo viene raggiunto dopo che la palla è
partita)
y(t f ) = y o −
1 2
2 gt f
2yo
= 0 ⇒ tf = ±
=±
g
2 × 4m
= .903s
m
9.81 s 2
m
m
La velocità in quell’istante sarà: v y (t) = −gt f = −9.81 s2 × .903s = −8.85 s
Il valore che abbiamo trovato è il valore della velocità iniziale da
utilizzare nella formula dell’accelerazione media.
Per calcolare la velocità finale da usare nella formula dell’accelerazione media
dobbiamo studiare il moto di risalita.
Anche il moto di risalita è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di
gravità)
Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far ripartire il cronometro nel
momento in cui la palla lascia il suolo, le condizioni iniziali valgono:
– yo= 0.00m
– voy=? da determinare
– aoy=-g=-9.81m/s2
y(t) = v oyt − 12 gt 2
La legge oraria vale:
v y (t) = voy − gt
•
t=−
Ricavando il tempo dalla seconda eq. e sostituendo nella prima:
2
v
−
v
v
−
v
⎛
⎛
y
oy ⎞
y
oy ⎞
y = v oyt + − 12 gt 2 = voy ⎜ −
+ − 12 g⎜ −
=
⎝
⎝
g ⎠
g ⎠
y=−
•
voy vy
Da cui:
g
+
v 2oy
g
− 12 g
v 2y
g
2
− 12 g
v2oy
g
v 2y − v2oy = −2gy
2
+g
v oyv y
g
2
=
1
2
v2oy
g
2
v
1 y
−2
g
v y − voy
g
Esercizi per casa
1) Un atleta esegue uno scatto di x=50m in t=8s, quindi si ferma e torna, passeggiando lentamente, alla linea di partenza in 40 s. Se viene presa come positiva la direzione dello
scatto:
a) Qual è la velocità media dello scatto ?
b) Qual è la velocità media della passeggiata di ritorno ?
c) Qual è la velocità media del percorso completo di andata e ritorno ?
R a)6.25m/s , b)-1,25m/s, c) 0m/s
2) Un treno avente una velocità iniziale di 0,50m/s, accelera di 2m/s2 per 2 secondi, prosegue con accelerazione uguale a zero per altri 3 secondi e quindi accelera di -1.5m/s2 per 1
secondo.
a) Qual è la velocità finale del treno ? b) Qual è l’accelerazione media del treno ?
R a) 3 m/s, b) 0.42m/s2
3) All’aeroporto di Fontanarossa i Jet partono da fermi ad un capo della pista e accelerano, per raggiungere la velocità finale di decollo prima di arrivare all’altro capo della
pista.
a) L’aeroplano A ha una accelerazione a e una velocità di decollo v d . Qual è la minima lunghezza X A della pista necessaria per il decollo di quest’aereo ?
b) L’aeroplano B ha una accelerazione a, ma richiede una velocità di decollo pari a 2v d . Qual è la minima lunghezza XB della pista necessaria per il decollo di questo secondo
aereo ? Confrontarla con XA.
c) Determinare la minima lunghezza della pista per l’aeroplano A se a=11 m/s2 e vd=90m/s.
v2
2v 2
R. a) X A = d , b) X B = d , c) X A = 368m
2a
a
4) Un mafioso viaggia in auto alla velocità di 65km/h e passa davanti ad un’auto della polizia. Nell’istante in cui l’automobilista passa, la polizia inizia la sua rincorsa.
L’automobilista mantiene una velocità costante e la polizia accelera con accelerazione costante di 4.5m/s 2 .
a) Quanto tempo occorre alla polizia per raggiungere l’auto?
b) Quanto spazio hanno percorso le due auto in questo tempo ?
c) Qual è la velocità dell’auto della polizia quando raggiunge l’auto del mafioso ?
R a) 8s, b) 144m, c) 36m/s
5) Una mongolfiera sta salendo in cielo con velocità costante pari a 6.5m/s. Quando il cesto della mongolfiera si trova a 20m dal suolo, un sacchetto di sabbia legato al cesto viene
liberato.
a) Per quanto tempo il sacchetto di sabbia resta in aria prima di toccare terra ? b) Qual è la massima altezza raggiunta dal sacchetto di sabbia durante la sua caduta al suolo ?
R a) t=2.8s, b) 22m
6) Un punto materiale si muove seguendo una legge oraria la cui rappresentazione cartesiana è :
x=2t, y=2t+1 e z=4. Calcolare la velocità media relativa all’intervallo di tempo compreso tra t 1=0s e t2=5s. Di che tipo di moto si tratta?
R vx=2m/s, vy=2m/s, vz=0m/s, moto rettilineo uniforme
7) Tre vettori complanari sono espressi in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale da:
⎧ a = 4iˆ − ˆj
⎪
⎨b = −3iˆ + 2 ˆj
⎪ c = −3 ˆj
⎩
Determinare il vettore somma, e calcolarne il modulo e la direzione.
R s = iˆ − 2 ˆj , s = 5 , ϑ = 297 °
8) Una persona che cammina con una velocità rettilinea di modulo 1.3m/s lascia cadere una palla da un’altezza di 1.25m rispetto al suolo. Determinare dopo 0.5s :
a) la posizione della palla;
b) la velocità vettoriale;
c) la velocità scalare e la direzione del moto della palla.
R (0.65m,0.02m), v = 1.30(m / s )iˆ − 4.91(m / s ) ˆj , 5.08m/s et ϑ = −75.2°
