Università del Sannio
Corso di Fisica 1
Lezione 7
Dinamica del punto
materiale III
Prof.ssa Stefania Petracca
Corso di Fisica 1 - Lez. 07 Dinamica del punto materiale III
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Trasformazioni galileiane ed invarianza
relativistica del II principio della dinamica I
Consideriamo un sistema di riferimento inerziale ed un secondo sistema di riferimento (non
necessariamente orientato come il primo), anch’esso inerziale, che si muove di moto
traslatorio con velocità V0 rettilinea ed uniforme rispetto al primo. Per comodità chiamiamo
fisso il primo di questi sistemi e mobile il secondo. Contrassegniamo con l’apice le grandezze
relative al sistema mobile. Consideriamo un punto P generico nello spazio e siano r ed r’ i
rispettivi vettori posizione nei due sistemi di riferimento. La relazione che esiste tra questi
vettori è
r ' = r − r0
dove r0 è il vettore posizione dell’origine del sistema mobile rispetto al sistema fisso. Inoltre
considerato che la velocità dell’origine O’ è costante (V0) possiamo riscrivere quanto segue
r ' = r − V0t
Una relazione di uguaglianza fra vettori implica l’uguaglianza fra le rispettive componenti
cartesiane rispetto ad uno stesso sistema di riferimento: in altri termini le componenti del
vettore al primo membro devono essere uguali alle componenti omologhe del vettore al
secondo membro purché sia il primo che il secondo membro siano proiettate sugli assi di uno
stesso sistema di riferimento.
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Trasformazioni galileiane ed invarianza
relativistica del II principio della dinamica II
Introducendo i versori degli assi coordinati nei due sistemi di riferimento, possiamo riscrivere
la relazione precedente come segue
x' iˆ'+ y ' ˆj '+ z ' kˆ' = ( x − Vox t )iˆ + ( y − Voy t ) ˆj + ( z − Voz t )kˆ
Dato che i versori (in generale) godono della proprietà di ortonormalità, otteniamo
x' = ( x − Vox t )(iˆ ⋅ iˆ' ) + ( y − Voy t )( ˆj ⋅ iˆ' ) + ( z − Voz t )(kˆ ⋅ iˆ' )
y ' = ( x − Vox t )(iˆ ⋅ ˆj ' ) + ( y − Voy t )( ˆj ⋅ ˆj ' ) + ( z − Voz t )(kˆ ⋅ ˆj ' )
z ' = ( x − Voxt )(iˆ ⋅ kˆ' ) + ( y − Voy t )( ˆj ⋅ kˆ' ) + ( z − Voz t )(kˆ ⋅ kˆ' )
Abbiamo espresso la relazione che intercorre tra la rappresentazione cartesiana (x’, y’, z’) del
vettore r’ nel sistema mobile, e la rappresentazione cartesiana (x, y, z) del vettore r nel
sistema fisso. E’ da notare che il prodotto scalare tra i versori degli assi dei sue sistemi non
sono altro che i coseni dell’angolo tra essi formati. Esprimendo il tutto come prodotto righe per
colonne possiamo riscrivere
⎛ x' ⎞ ⎛⎜ iˆ ⋅ iˆ'
⎜ ⎟
⎜ y ' ⎟ = ⎜ iˆ ⋅ ˆj '
⎜ z ' ⎟ ⎜⎜ iˆ ⋅ kˆ'
⎝ ⎠ ⎝
ˆj ⋅ iˆ' kˆ ⋅ iˆ' ⎞⎛ x − Vox t ⎞
⎛ x − Vox t ⎞
⎟⎜
⎟
⎜
⎟
ˆj ⋅ ˆj ' kˆ ⋅ ˆj ' ⎟⎜ y − Voy t ⎟ = R⎜ y − Voy t ⎟
⎜
⎟
ˆj ⋅ kˆ' kˆ ⋅ kˆ' ⎟⎟⎜ z − V t ⎟
z
−
V
t
oz ⎠
oz ⎠
⎝
⎠⎝
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Trasformazioni galileiane ed invarianza
relativistica del II principio della dinamica III
La matrice R è detta matrice delle rotazioni e tiene conto di quale sia l’orientamento degli
assi del riferimento mobile rispetto agli assi del sistema fisso. Notiamo subito che nel caso in
cui i due sistemi siano orientati nella stessa direzione e verso concorde la matrice si riduce
ad una diagonale. Quindi abbiamo
x' = x − Vox t
⎛ x' ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ x − Vox t ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
=
y
'
0
1
0
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ y − Voy t ⎟ ⇒ y ' = y − Voy t ⇒ r ' = r − V0t
⎟
⎜ z ' ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜
z ' = z − Voz t
−
z
V
t
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝
oz ⎠
Solo in questo ultimo caso la componente x (per esempio) del primo membro è banalmente
uguale alla componente x del secondo membro (della nostra relazione vettoriale). Nei casi
precedenti, in cui vi erano una rotazione tra i due sistemi, la componente x (per esempio) è
una combinazione delle componenti nell’altro sistema di riferimento (i coefficienti di queste
combinazioni sono i coseni degli angoli formati dai versori). Infine supponendo un moto per il
sistema mobile solo lungo l’asse x (per esempio) otteniamo il caso più semplice di moto
relativo tra sistemi di riferimento inerziali l’uno in moto rispetto all’altro:
⎛ x' ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ x − Vox t ⎞ x' = x − Voxt
⎟
⎟⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⇒ y' = y
⎜ y ' ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ y
⎟
⎜ z ' ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ z
z' = z
⎠⎝
⎝ ⎠ ⎝
⎠
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Trasformazioni galileiane ed invarianza
relativistica del II principio della dinamica IV
Derivando membro a membro la relazione r’ = r – V0 t e esprimendo, ancora una volta, le
componenti nei due sistemi di riferimento otteniamo le regole di trasformazione delle velocità:
v x ' iˆ'+ v y ' ˆj '+ v z ' kˆ' = (v x − Vox )iˆ + (v y − Voy ) ˆj + (v z − Voz )kˆ
che in maniera del tutto analoga a quanto fatto in precedenza possiamo riscrivere come
⎛ v x − Vox ⎞
⎛ vx ' ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ v y ' ⎟ = R⎜ v y − Voy ⎟ ⇒ v' = v − V0
⎜
⎟
⎜ ⎟
−
v
v
V
'
oz ⎠
⎝ z ⎠
⎝ z
Derivando rispetto al tempo ancora una volta otteniamo le regole di trasformazione delle
accelerazioni
⎛ ax ' ⎞
⎛ ax ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ a y ' ⎟ = R⎜ a y ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
a
'
⎝ z ⎠
⎝ az ⎠
⎛ ax ' ⎞ ⎛ ax ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
che nel caso, che i due sistemi siano orientati nello stesso modo otteniamo: ⎜ a y ' ⎟ = ⎜ a y ⎟ ⇒ a' = a
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ az ' ⎠ ⎝ az ⎠
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Dinamica del punto materiale III
Trasformazioni galileiane ed invarianza
relativistica del II principio della dinamica V
Possiamo, quindi, affermare che l’accelerazione del punto P è invariante per trasformazioni
di Galileo. Nel caso in cui vi sia una rotazione tra i sistemi di riferimento il vettore
accelerazione nel sistema mobile coincide con il vettore accelerazione del sistema fisso
“ruotato” attraverso la matrice di rotazione R:
a ' = Ra
Considerato che la massa inerziale è invariante per trasformazioni, la relazione appena
trovata vale anche per le forze. Quindi possiamo scrivere che tra due sistemi di riferimento
inerziali in moto tra essi (con vettore velocità costante) la forza risultante agente su un corpo
di massa m deve trasformarsi come segue
⎛ fx '⎞
⎛ fx ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ f y ' ⎟ = R⎜ f y ⎟ ⇒ f ' = Rf
⎜ ⎟
⎜ ⎟
'
f
⎝ z ⎠
⎝ fz ⎠
che si riduce a
⎛ fx '⎞ ⎛ fx ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ f y '⎟ = ⎜ f y ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ fz '⎠ ⎝ fz ⎠
Nel caso di assi coordinati
paralleli tra i due sistemi di
riferimento.
L’equazione del moto di Newton (F = m a) è covariante passando da un sistema di
riferimento inerziale ad un altro sistema di riferimento inerziale. In particolare se i due sistemi
hanno lo stesso orientamento la legge del moto resta immutata. ESSA E’ DUNQUE
INVARIANTE PER TRASFORMAZIONI DI GALILEO. Dunque il secondo principio della
dinamica soddisfa il principio di relatività.
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Sistemi non inerziali e forze fittizie I
Supponiamo che il vettore velocità legato alla traslazione del sistema di riferimento mobile non sia
costante in modulo. Quindi supponiamo avere un’accelerazione del sistema mobile, tuttavia,
conservando la direzione del moto. Gli assi dei sistemi di riferimento sono paralleli fra loro. Quindi
le relazioni trovate fin qui subiscono delle modifiche legate alla derivata temporale del vettore
velocità (non più nulla). Quindi possiamo riassumere
⎧ x' = x − X
⎪
⎨ y' = y − Y
⎪ z' = z − Z
⎩
r' = r − R
⎧ v x ' = v x − Vx
⎪
⎨v y ' = v y − V y
⎪v ' = v −V
z
z
⎩ z
v' = v − V
⎧ a x ' = a x − Ax
⎪
⎨a y ' = a y − Ay
⎪a '= a − A
z
z
⎩ z
a' = a − A
Dove R, V ed A sono rispettivamente il vettore posizione, la velocità e l’accelerazione dell’origine
del sistema di riferimento mobile rispetto al sistema fisso. Essendo ora la velocità V non più
costante non è più valida la conclusione a cui siamo giunti in precedenza. Ora le due accelerazioni
differiscono per l’accelerazione del sistema mobile. Infatti l’accelerazione nel sistema fisso è data
da: a = a’ + A. Quindi in termini di forza abbiamo:
f = ma = ma'+ mA ⇒ f − mA = ma'
E’ evidente, quindi, che un osservatore mobile eseguendo nel suo sistema di riferimento non
inerziale una misura dinamica di forza (cioè misura m a’) , trova un risultato che non è
semplicemente uguale alla forza reale (generata dai sistemi circostanti); egli vede infatti apparire
accanto ad f un secondo termine (- m A), che egli chiama forza fittizia (o di inerzia).
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Sistemi non inerziali e forze fittizie II
La forza fittizia ha un valore pari alla massa del corpo moltiplicata per l’accelerazione,
cambiata di segno, del sistema di riferimento. Tale accelerazione A è detta accelerazione di
trascinamento ed in questo caso (di moto traslatorio) ha lo stesso valore in ogni punto dello
spazio. E’ da notare che qualora l’osservatore mobile esegua una misura statica, anziché
dinamica, delle forze, egli rileva comunque la presenza della forza di inerzia. Infatti affinché il
punto sia in equilibrio nel sistema mobile (a’ = 0), deve essere f – m A = 0; è necessario,
quindi, applicare una forza reale f che, sommata alla forza di inerzia – m A dia risultato nullo.
Pensare ad una macchina in frenata (o in accelerazione): sentite una forza che si spinge in
avanti (o indietro). Questa forza presenta la stessa direzione della decelerazione (o
accelerazione) ma verso opposto.
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Sistemi non inerziali e forze fittizie
caso generale I
Fino a qui, abbiamo trattato il caso particolare che il sistema di riferimento non inerziale si
muovesse di moto traslatorio rispetto al sistema fisso (inerziale). Vediamo ora come sia
possibile generalizzare nel caso di un sistema di riferimento non inerziale che si muova di
moto qualunque. Quindi avremo
x' iˆ'+ y ' ˆj '+ z ' kˆ' = ( x − X )iˆ + ( y − Y ) ˆj + ( z − Z )kˆ
le differenze dal caso precedentemente considerato sono sostanzialmente due: le leggi orarie
per le coordinate dell’origine del sistema mobile (X,Y,Z) sono del tutto generiche; i versori
degli assi del sistema mobile non sono costanti ma posso ruotare nello spazio. Per questo
ricordiamo che la derivata di un vettore rotante vale:
diˆ
= ω × iˆ
dt
Derivando rispetto al tempo la relazione precedente otteniamo
v x ' iˆ'+v y ' ˆj '+v z ' kˆ'+ω × ( x' iˆ'+ y ' ˆj '+ z ' kˆ' ) = (v x − Vx )iˆ + (v y − V y ) ˆj + (v z − Vz )kˆ
v ' = v − v t = v − (V + ω × O' P )
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Sistemi non inerziali e forze fittizie
caso generale II
dove
v ' = v x ' iˆ'+ v y ' ˆj '+ v z ' kˆ'
v = v x iˆ + v y ˆj + v z kˆ
v t = V + ω × O' P = Vx iˆ + V y ˆj + Vz kˆ + ω × ( x' iˆ'+ y ' ˆj '+ z ' kˆ' )
v’ è la velocità del punto P rispetto al sistema mobile (velocità relativa);
v è la velocità del punto P rispetto al sistema fisso (velocità assoluta);
vt è la velocità con cui si muove rispetto al sistema fisso il punto solidale col sistema mobile
che nell’istante considerato è occupato da P (velocità di trascinamento).
Questa interpretazione della velocità di trascinamento è evidente per ragioni geometriche (alla
velocità V dell’origine O’ è sommata la velocità ω x O’P con cui si muove l’estremo libero del
vettore rotante O’P) ed è confortata dalla considerazione che, rendendo il punto P solidale
con il sistema mobile (v’ = 0) la velocità assoluta è uguale a quella rotazionale ω x O’P + V.
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Sistemi non inerziali e forze fittizie
caso generale III
Derivando una seconda volta rispetto al tempo otteniamo:
(
)
+ ω × (v ' iˆ'+v ' ˆj '+v ' kˆ')+ ω × [ω × ( x' iˆ'+ y ' ˆj '+ z ' kˆ' )] = (a
a x ' iˆ'+ a y ' ˆj '+ a z ' kˆ'+ω × v x ' iˆ'+v y ' ˆj '+v z ' kˆ' + α × ( x' iˆ'+ y ' ˆj '+ z ' kˆ' ) +
x
y
z
x
− Ax )iˆ + (a y − Ay ) ˆj + (a z − Az )kˆ
a' = a − a t − a c = a − [A + α × O' P + ω × (ω × O' P )] − 2ω × v '
Dove le varie accelerazioni introdotte sono
a' = a x ' iˆ'+ a y ' ˆj '+ a z ' kˆ'
a = a x iˆ + a y ˆj + a z kˆ
a t = A + α × O' P + ω × (ω × O' P )
a c = 2ω × v '
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Sistemi non inerziali e forze fittizie
caso generale IV
a’ è l’accelerazione del punto P rispetto al sistema di riferimento mobile (accelerazione
relativa);
a è l’accelerazione del punto P rispetto al sistema fisso (accelerazione assoluta);
at è l’accelerazione con cui si muove rispetto al sistema fisso il punto solidale col sistema
mobile che nell’istante considerato è occupato da P (accelerazione di trascinamento);
ac è l’accelerazione di Coriolis. E’ da notare che questo contributo è nullo quando il corpo è
fermo rispetto al sistema mobile (v’ = 0). con cui si muove rispetto al sistema fisso il punto
solidale col sistema mobile che nell’istante considerato è occupato da P (accelerazione di
trascinamento).
A proposito dell’accelerazione di trascinamento, notiamo che essa p composta da tre termini:
l’accelerazione A del sistema mobile; l’accelerazione tangenziale di modulo |α x O’P| = α d del
moto circolare compiuto dall’estremo libero del vettore O’P; l’accelerazione radiale di modulo
|ω x ω x O’P| = ω2 d del moto circolare compiuto dall’estremo libero del vettore O’P.
Inserendo tutto nella legge della dinamica otteniamo:
f − ma t − ma c = ma'
Rispetto al caso del moto traslatorio, non solo l’accelerazione di trascinamento at (diversa
dall’accelerazione A dell’origine O’ del sistema mobile) è diversa da punto a punto del sistema
mobile, ma accanto alla forza apparente di trascinamento – m at appare anche la forza di
Coriolis – m ac = - 2 m ω x v’.
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Quantità di moto – impulso
Dalla seconda legge delle dinamica abbiamo
dv d (mv) dp
f = ma = m
=
≡
dt
dt
dt
Dove p è detto essere la quantità di moto (o impulso) di un corpo di massa m e velocità v.
Ovviamente abbiamo potuto esprimere la legge di Newton in questo modo purché la massa
m sia costante durante il moto. Integrando l’equazione del moto tra due istanti di tempo
otteniamo:
t2
t2
dp
dt =p 2 − p1 = m(v 2 − v1 )
dt
t1
∫ fdt = ∫
t1
Cioè il teorema dell’impulso (o teorema della quantità di moto). Esso si esprime a parole
dicendo che l’impulso della forza agente su un punto materiale fra gli istanti t1 e t2 è pari alla
variazione che la quantità di moto del punto subisce nello stesso intervallo di tempo.
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Momento angolare
e momento della forza I
Consideriamo un punto materiale P che si muova in un sistema di riferimento inerziale. Sia p
= m v la sua quantità di moto e scegliamo per nostra comodità un punto Ω di riferimento. Si
definisce momento angolare o momento della quantità di moto del punto P rispetto al polo Ω
il vettore
L = ΩP × p
Come l’equazione del moto è l’equazione dinamica per la quantità di moto, vogliamo
ricavare l’equivalente equazione dinamica per questa nuova grandezza fisica L. Dopo alcuni
passaggi algebrici si giunge al seguente equazione:
dL
+ vΩ × p
m=
dt
m = ΩP × f
Dove m è il momento della forza f agente sul punto materiale calcolata rispetto al polo Ω, e
vΩ è la velocità del polo rispetto al sistema di riferimento inerziale prescelto. Qualora il polo
venisse scelto fermo otteniamo un’equazione dinamica per L molto simile a quella per p:
dL
m=
dt
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Momento angolare
e momento della forza II
In ogni sistema di riferimento inerziale, se si sceglie un punto fisso come polo, il momento
della forza risultante agente su un punto materiale è pari alla derivata rispetto al tempo del
momento angolare del punto materiale stesso. Questa conclusione va sotto il nome di
teorema del momento angolare o teorema del momento della quantità di moto.
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