Lezione 5: “Il metodo dei minimi quadrati

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loche01.doc Alunno Marco Loche – Classe III B – Lezione 5 – 27/10/00–30/10/2000 – Docente Prof. Vincenzo Calabrò
Istituzione Scolastica Via Tuscolana, 208
Lezione 5: “Il metodo dei minimi quadrati
applicato al 2º principio della dinamica.
Il metodo dei minimi quadrati, nasce dalla necessità di evitare soggettività e approssimazione nel
determinare l’equazione di una funzione ottenuta per via empirica. E’ quindi un metodo matematico
che, nel caso più semplice di funzione lineare, ci permette di calcolare il coefficiente angolare di
una retta e la sua ordinata all’origine.
Nel momento in cui, in un sistema di assi cartesiani bidimensionale e ortogonale, si disegna una
retta, si attribuiscono con certezza alla sua equazione due numeri “a” e “b” chiamati rispettivamente
“coefficiente angolare” della retta e “ordinata all’origine” della medesima retta.
y
y = ax + b
 coefficiente angolare
O
x
b
Fig.1
Per evitare la soggettività di questi calcoli, Legendre studiò il caso e propose un metodo che chiamò
“metodo dei minimi quadrati”. Esso permette di disegnare la migliore retta fra tutte le possibili,
chiamata “retta di regressione”. Il metodo permette di prendere gli scarti esistenti tra i valori teorici
e quelli sperimentali, rendendoli sempre più piccoli. Fra tutte le possibili rette quella che rende
minimi questi scarti è da considerare la migliore perché permette di far “regredire” il più possibile
gli scarti. Utilizzeremo il metodo in una situazione concreta, sperimentale, in un caso specifico
molto noto quale quello del moto di un carrello spinto da una forza costante F su una guidovia a
cuscino d’aria. Lo scopo è quello di ottenere come coefficiente angolare della retta il valore della
massa inerziale del carrello. Nelle considerazioni che seguono non prenderemo in esame l’aspetto
vettoriale delle grandezze finali, né la loro unità di misura.
Com’è noto, il secondo principio della dinamica si può scrivere come segue:
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F=m·a
[1]
Da un punto di vista esclusivamente matematico l’equazione [1] diventa F – m a = 0, mentre da
un punto di vista empirico ciò non è possibile a causa della presenza degli errori sperimentali. Essa
diventa pertanto:
[2]
Fi – m · ai = δi
(δi è l’i-esimo scarto che ha a che vedere con l’entità dell’errore
commesso nella misura di F ed a)
Indice i perché è una variabile
Effettuando una serie di n misure (nel nostro caso solo cinque) avremo:
Fi
(N)
ai
(m/s²)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0,13
0.26
0.35
0.51
0.58
La prima coppia di valori in tabella è da intendersi, più precisamente, come (0.05±0.01)
(0.13±0.01). Sviluppiamo adesso il metodo applicando la seguente procedura:
F1 – ma1 = δ1
0.05 – 0.13m = δ1
F2 – ma2 = δ2
0.10 – 0.26m = δ2
F3 – ma3 = δ3
0.15 – 0.35m = δ3
F4 – ma4 = δ4
0.20 – 0.51m = δ4
F5 – ma5 = δ5
0.25 – 0.58m = δ5
Elevando al quadrato entrambi i membri avremo:
( 0.05 – 0.13 m )² = δ1²
che è il quadrato di un binomio il cui sviluppo è un trinomio di 2° grado nell’incognita m.
e
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Relativamente alla prima misura avremo cioè:
( 0.0025 – 0.26 m + 0.0169 m² ) = δ1²
Eseguendo tutti i calcoli, e sommando tutti i valori ottenuti, otterremo la seguente equazione
complessiva:
( 0.1375 – 0.664m + 0.8035 m² ) = Σi δi²
(Somma di tutti e cinque i quadrati dei binomi)
Questa è una funzione f (m), dove m è l’incognita da calcolare.
Poniamo la sommatoria dei trinomi come una quantità funzione della massa del corpo (carrello di
massa m):
Σi δ²i = f (m)
[4]
La derivata prima della funzione f (m) darà:
f’ (m) = - 0.664 + 1.607 m 
[5]
Ponendo uguale a zero questa funzione
f’ (m) = 0
[6]
e sostituendo nella [6] il secondo membro della [5] avremo:
0 = -0.664 + 1.607 m
che è una semplicissima equazione di 1° grado nell’incognita m. Risolviamola.
1.607 m = 0.664
m = 0.664/1.607 = 0.413
[7]
Nella [7] l’unità di misura della massa m, nel S.I., è il kg.
Con il metodo dei minimi quadrati abbiamo così trovato il valore del coefficiente angolare m della
retta y = m x , cioè : y = 0.413 x . Ricordiamo che il coefficiente angolare è rappresentato dalla
relazione trigonometrica
m = tg α. [8]

y = 3x² + 2x + 3 ;
y´ = 6x²ˉ¹ + 2¹ˉ¹ + 0. La derivata è l’operazione matematica attraverso la quale si abbassa di
una unità il grado dell’equazione.
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F
(N)
α
O
a (m/s2)
 = arc tg m
 = arc tg · 0.413 = 22.4°
Se il coefficiente angolare è uguale a 1, y sarà uguale ad x . In tal caso la “retta di regressione” è la
bisettrice del 1° e 3° quadrante e l’angolo = 45°.
In un modello ideale nel quale le forze di attrito tra rotaia e carrello sono praticamente nulle, l’unica
forza che agirà sul punto materiale sarà per l’appunto la forza esterna F . Otterremo così i seguenti
risultati:
m = coefficiente angolare della retta;
b= ordinata all’origine = 0;
б = deviazione standard ( errore che si pensa di commettere con la probabilità del 67%).
r = coefficiente di correlazione ( numero al cui valore possiamo attribuire un certo grado di
adeguatezza e di correlatività al valore ottenuto), i suoi valori possono andare da -1 a 1.
Troveremo dei risultati molto prossimi al valore 1 se è perfetto. Infatti, più il nostro valore si
avvicina ad 1, più l’esperimento ha avuto buon esito perché vuol dire che la previsione del
modello matematico è stata azzeccata, più invece i risultati si allontanano dal numero 1, più
l’esperimento non può considerarsi soddisfacente, in quanto otterremo dei risultati inadeguati a
causa probabilmente di una inadeguata formulazione dell’ipotesi di correlazione. Se invece la
correlazione è di tipo inverso, avremo –x .
C’è da dire che nel nostro caso la correlazione F=ma è una correlazione teorica che rappresenta
un modello ideale. E’ così anche nella realtà? Le cose nel mondo reale evidentemente sono
diverse. Infatti, la guidovia per quanto diminuisca l’attrito certamente non potrà completamente
annullarlo. Dunque, nella realtà il fenomeno è più complicato a causa dell’attrito. Ma cos’è
l’attrito?
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FORZE DI ATTRITO:
Quando si parla di attrito si parla di una forza meccanica, quindi di una grandezza vettoriale Fa
(avente direzione e verso). Nasce come conseguenza del fatto che due superfici strisciano l’una
contro l’altra.
Il verso della forza di attrito è contrario allo contrario allo spostamento e, dunque, alla velocità v
del corpo. La forza di attrito è quindi contraria al verso del moto dell’oggetto.
m
Fa
V
L’attrito può essere di due tipi:

RADENTE : quando due corpi strisciano l’uno sull’altro.

VOLVENTE : due corpi rotolano l’uno sull’altro.
Ora, se p è la forza peso ( p = m · g ), la forza di attrito Fa ha modulo uguale a p · μ , cioè:
Fa = μ · p = μ · m · g
m
Fa
V
P=m·g
Dove P è il peso, cioè la forza gravitazionale prodotta dalla Terra su di un corpo di massa
gravitazionale m.
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Fa = μ · p = 0.4 · 700 = 280 N
Il coefficiente d’attrito, di solito inferiore ad 1, evidenzia la natura della superfici, ma a volte può
risultare più grande. E’ da precisare che l’attrito non dipende dall’estensione delle due superfici, ma
solo dalla loro natura oltre che dal peso del corpo.
Ecco come esempio due coppie di materiali ed i loro rispettivi attriti:
PNEUMATICO – ASFALTO: attrito 0.8 (alto)
ACCIAIO – GHIACCIO: attrito 0.1 (molto basso)
La forza di attrito del pneumatico con l’asfalto è alta, proprio perché le macchine hanno bisogno di
una forte tenuta di strada, altrimenti sbanderebbero uscendo fuori strada. Basti pensare che la forza
di attrito tra un pneumatico ed una strada ghiacciata è molto bassa. Occorre infatti mettere la catene
per evitare che la macchina sbandi.
Il contrario accade invece tra il ghiaccio e l’acciaio. Infatti, l’attrito si rivela bassissimo, proprio per
questo l’acciaio è il materiale con il quale viene confezionato il dischetto usato dai giocatori di
hockey sul ghiaccio. Il basso attrito permette al dischetto di scivolare sul ghiaccio con grande
facilità.
La forza di attrito dipende da soli due elementi:

forza peso P = m g

natura delle superfici dei materiali
Il metodo dei minimi quadrati è anche un ottimo procedimento per calcolare la forza di attrito Fa.
Infatti, in presenza di attrito, il nostro modello teorico cambia, perché tiene conto del nuovo
parametro che interviene nel moto, cioè la forza d’attrito Fa.
Il nuovo modello diventa: Σ Fi = m · a, dove Σ Fi è la risultante di tutte le forze che agiscono sul
carrello di massa m. Dunque:
F – Fa = m · a
Nel caso di attrito radente, pertanto, al precedente modello teorico:
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(Fi - mai ) = δi
(modello teorico senza attrito)
si sostituisce l’altro più complesso ma più adeguato alla realtà del fenomeno indagato:
Fi – (mai – Fa) = δi
(modello reale con attrito)
CALCOLO DELL’INCERTEZZA ASSOLUTA (intesa come deviazione standard б)
Δm =̃ бm
(deviazione standard riferita alla grandezza m)
бm = √ бm²
(dove бm² si chiama “varianza” )
Σ (Fi – ma)²
Nб
бm² =
dove: б =
N( Σ a²)-( Σ ai )²
N–1
E’ la somma degli scarti al quadrato diviso il numero delle misure sottratto di una unità
N( Σ a²)= sommatoria dei quadrati dell’accelerazione (a1²+ a2²+ a3²…).
( Σ ai )² = somma dei valori dell’accelerazione elevata al quadrato.
COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE:
Ecco infine la formula del coefficiente di correlazione calcolato con il metodo dei minimi quadrati:
Σ ( ai - a ) ( Fi – F )
r=
Σ ( ai - a )² · Σ ( Fi – F )²
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