8. I numeri naturali e l`infinito - Matematica Interattiva Gratis

Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 8 - Unità 1
8. I numeri naturali e l’infinito
8.1 L’insieme dei numeri naturali
Prerequisiti
•
•
•
•
Sistema di riferimento cartesiano ortogonale
Concetto di funzione
Concetto di infinito
Gli insiemi numerici fondamentali e le loro proprietà
Obiettivi
•
•
•
•
Comprendere il concetto di insieme infinito
Comprendere il concetto di equipotenza fra insiemi infiniti
Comprendere il concetto di numerabilità
Sapere applicare il principio di induzione
Contenuti
• Il concetto di insieme infinito e di numerabilità
• Il Principio di induzione
Parole Chiave
Equipotenza – Induzione - Potenza del numerabile – Potenza del continuo
Simbologia
ℵ0
Aleph con zero indica la potenza del numerabile
388
Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 8 - Unità 1
Il concetto di insieme infinito e di numerabilità
L’intero è maggiore delle sue parti
Aristotele, Metafisica
Il problema
40 studenti sono certamente più di 35 studenti, possiamo ugualmente dire che i punti di un segmento lungo 1
cm sono più di quelli di un segmento lungo mezzo centimetro? O che tutti i numeri interi sono più dei numeri pari? Cioè possiamo estendere il concetto di maggiore valido per insiemi finiti anche a quelli infiniti?
Il concetto di infinito è certamente uno dei più delicati e difficili che si trovano ad affrontare non solo le
scienze, ma anche le discipline filosofiche. La prima questione è definire cosa intendiamo con il dire che un
insieme è infinito. Rispondere che infinito è ciò che non è finito, ovviamente è una non risposta, perché dovremmo chiarire cosa è il finito. Per dare una risposta più convincente dobbiamo cercare di capire cosa distingue in modo netto un insieme finito da uno infinito. Uno dei primi ad accorgersi della più interessante
differenza fu Galileo Galilei, di cui riportiamo un passo delle sue opere.
L’Antologia
Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, 1638
Salviati – Onde se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, essere
più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima, non è così?
Simplicio – Non si può dir altrimenti.
Salviati – Interrogando io di poi, quanti siano i numeri quadrati, si può con verità rispondere,
loro esser tanti quante sono le proprie radici, avvenga che ogni quadrato ha la sua radice, ogni
radice il suo quadrato, né quadrato alcuno ha più d’una sola radice, né radice alcuna più d’un
quadrato solo.
Simplicio – Così sia.
Salviati – Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano
quante tutti i numeri, poiché non vi è numero alcuno che non sia radice di qualche quadrato; e
stante questo, converrà dire che i numeri quadrati siano quanti tutti i numeri, poiché tanti
sono quante le lor radici, e radici sono tutti i numeri: e pur da principio dicemmo, tutti i
numeri esser assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non quadrati.
Quindi Galileo osserva prima che l’insieme dei numeri naturali contiene l’insieme dei quadrati perfetti, dato
che tutti i quadrati perfetti sono numeri naturali, ma ci sono numeri naturali come il 3 o il 124, che non sono
quadrati perfetti. Cioè Qp = {1, 4, 9, 16, …, n2, …} ⊂ ℕ . Eppure lo stesso Galilei fa notare altresì che ogni
numero naturale si può associare al proprio quadrato, non ci sono numeri naturali che non hanno quadrato,
quindi vuol dire che i numeri naturali sono quanti i quadrati perfetti.
Questo è un risultato paradossale, nel senso non che sia assurdo, ma che è inatteso. Non ci aspettiamo che
qualcosa della quale siamo convinti che sia più grande di un’altra, invece sia uguale all’altra.
Prima di continuare dobbiamo stabilire se questo ragionamento è corretto. Possiamo confrontare due insiemi
con il metodo dell’accoppiamento? Certamente sì, poiché in questo modo siamo in grado di stabilire se alla
fine della procedura ci rimane qualcosa, e quindi uno dei due insiemi è maggiore dell’altro o no, e perciò sono uguali. Perlomeno nel caso di insiemi finiti esso funziona senz’altro.
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Esempio 1
In figura mostriamo che l’insieme A è maggiore dell’insieme B, poiché con il metodo dell’accoppiamento in
A rimangono elementi non accoppiati, mentre in B ciò non succede.
Questo procedimento è tipico della matematica, lo ricordiamo qui.
Definizione 1
Una legge che a ogni elemento di un insieme A associa uno e un solo elemento di un insieme B e viceversa,
si chiama corrispondenza biunivoca di A in B.
Possiamo allora stabilire un concetto di uguaglianza numerica fra insiemi.
Definizione 2
Se vi è una corrispondenza biunivoca di A in B, diciamo che A e B sono equipotenti.
Quindi adesso possiamo caratterizzare gli insiemi infiniti.
Definizione 3
Diciamo che un insieme A è infinito se può mettersi in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme
proprio.
La precedente definizione è dovuta a Richard Dedekind (1831 – 1916). Poniamo una prima importante definizione.
Definizione 4
Diciamo che l’insieme dei numeri naturali e qualsiasi insieme a esso equipotente ha la potenza del
numerabile ed indichiamo tale potenza con il simbolo ℵ0 , che si legge Aleph1 con zero.
Dire che un insieme è numerabile vuol dire che lo possiamo trattare come i numeri naturali, cioè possiamo
scrivere i suoi elementi ordinati in modo che essi si possano indicare con un numero naturale, cioè {a1, a2,
a3, …, an, …}. Non è difficile dimostrare che anche i numeri interi relativi sono un insieme numerabile.
Esempio 2
Poniamo in relazione gli insiemi ℕ e ℤ , con la seguente legge: a ogni intero positivo associamo il suo
doppio (per esempio 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, …), a zero associamo 1, a ogni numero negativo associamo il
successivo del doppio del loro valore assoluto (per esempio –1 → 3, –2 → 5, –3 → 7, …). La relazione così
definita è una corrispondenza biunivoca, infatti preso un qualsiasi numero intero sappiamo associargli un
numero naturale (per esempio al numero intero –540 associamo 2 ⋅ 540 + 1 = 1081), e viceversa a ogni
numero naturale sappiamo associare un numero intero relativo (per esempio al numero 673 associamo
673 − 1
−
= −336 . Ovviamente potremmo inventare infinite leggi per mettere in corrispondenza biunivoca
2
ℕ e ℤ.
1
Aleph è la prima lettera dell’alfabeto ebraico.
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Vale anche il seguente più generale risultato.
Teorema 1
L’unione di un numero finito di insiemi numerabili è un insieme numerabile.
Dimostrazione Per semplicità consideriamo due soli insiemi numerabili, A e B. Ciò vuol dire che possiamo
scriverli nel modo seguente: A = {a1, a2, a3, …, an, …}, B = {b1, b2, b3, …, bn, …}. Allora possiamo scrivere
A ∪ B ={a1, a2, a3, …, an, …, b1, b2, b3, …, bn, …}, in cui alcuni degli elementi potrebbero anche essere
ripetuti due volte e quindi uno di essi dovrebbe eliminarsi. Ma consideriamo il caso più generale possibile,
cioè che A e B non abbiano elementi in comune e quindi non vi siano elementi da cancellare. Possiamo
mettere A ∪ B in corrispondenza biunivoca con ℕ , per esempio mettendo in corrispondenza gli elementi di
A con i numeri pari e quelli di B con i dispari. Per dimostrare il caso più generale in cui gli insiemi
numerabili sono k (A1, A2, …, Ak), possiamo ripetere un procedimento simile. Cioè associare gli elementi di
A1 con i numeri che divisi per k hanno resto 1, quelli di A2 con i numeri che divisi per k hanno resto 2, e così
via, quelli di Ak con i multipli di k.
Grazie al precedente risultato possiamo dimostrare in modo diverso che ℕ e ℤ sono equipotenti.
Corollario 1
L’insieme ℤ dei numeri interi relativi è numerabile
Dimostrazione Si ha ℤ = ℕ ∪ {0, –1, –2, –3, …} e i due insiemi sono ovviamente numerabili.
Più difficile è dimostrare il seguente fatto.
Teorema 2
L’insieme ℚ dei numeri razionali è numerabile.
Dimostrazione
0
1
1
1
Costruiamo una tabella infinita come mostrato in figura : 1 2
In essa compaiono tutti i numeri
2 1
1 3
3 1
1 2 3 4
4 3 2 1
............................
razionali non negativi, infatti nella prima riga vi è l’unica frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per
somma dei suoi termini 1, nella seconda quella di somma 2, in generale nella n–esima quelle frazioni ridotte
ai minimi termini, il cui numeratore e denominatore hanno somma n. All’interno di ciascuna riga scriviamo
le frazioni ordinate in modo che sia scritta per prima quella che ha il numeratore minore. In questo modo
nella tabella abbiamo scritto tutti i numeri razionali. Adesso costruiamo la relazione che pone in
corrispondenza biunivoca i razionali con i naturali, applicando il cosiddetto primo procedimento diagonale
di Cantor, che consiste nel toccare tutti gli elementi della tabella nel modo indicato in figura seguente.
0
↓
1
1
↓
1
1
2
→
ւ
2
1
1
3
→
ւ
3
1
1
2
3
→
→
→
4
3
2
...........................
391
4
ւ
1
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Così avremo la seguente corrispondenza biunivoca
0
1
1
2
1
3
1
2
3
4
→ 1, → 2, → 3, → 4, → 5, → 6, → 7, → 8, → 9, → 10,... .
1
1
2
1
3
1
4
3
2
1
+
+
−
Quindi ℚ è numerabile, d’altro canto ℚ = ℚ ∪ ℚ , e quindi per il Teorema 1, anche ℚ è numerabile.
A questo punto potrebbe sembrare che qualsiasi insieme infinito sia numerabile. Ciò non è affatto vero.
Premettiamo una definizione.
Definizione 5
Diciamo numero reale la scrittura formale z,a1a2a3a4… , in cui z è un numero intero e ai rappresentano cifre,
ossia numeri naturali compresi tra 0 e 9, in modo che da un indice k in poi tutte gli ai possono anche essere
uguali tra loro, purché sia ai ≠ 9.
Chiariamo il motivo per cui nella definizione precedente abbiamo escluso i numeri di periodo 9. Supponiamo che esista per esempio il numero 2, 3459999… = 2,3459 , noi sappiamo che un numero del genere si
23459 − 2345 21114 1173
può trasformare in frazione con la regola seguente: 2,3459 =
=
=
= 2,346 . Cioè
9000
9000
500
avremmo due diverse espressioni per uno stesso numero. Quello dell’equivoco è uno dei peggiori problemi
con cui hanno a che fare le scienze e deve sempre essere evitato. Quando si parla di un oggetto matematico,
tutti quelli che lo conoscono devono riferirsi allo stesso oggetto, in questo caso invece avremmo due possibilità. Ciò accade con tutti i numeri di periodo 9 ed ecco quindi il perché della loro esclusione.
Teorema 3
L’insieme ℝ dei numeri reali non è numerabile.
Dimostrazione
Stavolta usiamo il cosiddetto secondo principio diagonale di Cantor. Supponiamo per assurdo che ℝ sia
numerabile, ciò significa che si può scrivere ℝ = {r1, r2, r3, …, rn, …}. Adesso facciamo vedere invece che
esiste un numero reale a cui non è associato alcun numero naturale. Ricordando la definizione 5 un numero
reale si scrive z,a1a2a3a4…. Supponiamo che si abbia per esempio
r1 = – 2,12437…; r2 = 122,41903…; r3 = 0,12983…; r4 = – 47,02578…; …
Costruiamo adesso un numero reale che è diverso da ciascuno dei numeri reali indicati con ri,
semplicemente scrivendo un numero la cui parte intera è 0, la sua prima cifra decimale è diversa dalla prima
cifra decimale di r1, la sua seconda cifra decimale è diversa dalla seconda cifra decimale di r2, la sua terza
cifra decimale è diversa dalla terza cifra decimale di r3, e in generale la sua n–esima cifra decimale è diversa
dalla n–sima cifra decimale di rn. Ovviamente faremmo sempre in modo da evitare il periodo 9. Questo
numero che potrà essere, con i dati da noi scelti, per esempio 0,2643..., è un numero reale ma è diverso da
ogni ri. Quindi abbiamo la tesi.
Diciamo che l’insieme dei numeri reali ha la potenza del continuo.
Sorge una domanda immediata. Esistono insiemi che sono più potenti di ℕ e meno potenti di ℝ ? A questa
domanda non si può fornire risposta2, come è stato provato da Kurt Gödel nel 1940 e da Paul Cohen nel
1967, quindi possiamo enunciare le seguenti proprietà che si escludono a vicenda, ma che possono considerarsi entrambe accettabili, anche se non contemporaneamente.
Ipotesi del continuo (CH).
Non ci sono insiemi che sono più potenti di ℕ e meno potenti di ℝ .
Negazione dell’ipotesi del continuo (¬CH).
Esistono insiemi che sono più potenti di ℕ e meno potenti di ℝ .
2
Almeno in un certo sistema assiomatico che è quello che va per la maggiore
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L’ipotesi del continuo è un esempio di problema indecidibile, nel senso che sia esso che la sua negazione
possono essere considerati assiomi di distinti sistemi entrambi coerenti.
I protagonisti
Julius Wilhelm Richard Dedekind nacque a Braunschweig il 6 Ottobre 1831. Frequentò il Collegium
Carolinum a Braunschweig che era un misto fra scuola superiore e Università, dove ricevette una buona base
matematica che perfezionerà in seguito iscrivendosi all’Università di Gottinga dove insegnava il grande
Gauss. Consegue il dottorato nel 1852. Nel 1854, cominciò a insegnare teoria della probabilità e geometria
all’università di Gottinga. Nel 1858 si trasferì al Politecnico di Zurigo. In questi anni cominciò i suoi
fondamentali studi sulle sezioni dei numeri razionali che porteranno a una sistematizzazione teorica dei
numeri reali, che si cercava da tempo in matematica. Nel 1862 ritornò al Collegium Carolinum, diventato
una Scuola tecnica superiore, dove finirà la sua carriera. Nel 1872 pubblicò uno dei suoi più importanti
lavori Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continuità e numeri irrazionali). Nel 1874 incontrò Cantor con cui
cominciò a lavorare, anche se indipendentemente sulla teoria degli insiemi infiniti. Nel 1888 pubblicò un
altro suo importantissimo lavoro: Was sind und was sollen die Zahlen? (Cosa sono i numeri e cosa
dovrebbero essere?) dove definisce gli insiemi infiniti come abbiamo visto. Morì a Braunschweig il 12
Febbraio 1916.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nacque il 3 Marzo 1845 a San Pietroburgo. Nel 1856 con la
famiglia si trasferì in Germania. Nel 1867 conseguì il dottorato presso l'Università di Berlino. Ben presto
cominciò a occuparsi della teoria degli insiemi infiniti e nel 1873 provò che i numeri razionali possono
essere posti in corrispondenza biunivoca con i naturali. Negli stessi anni intraprese una fitta e proficua
corrispondenza con Dedekind che si occupava di problemi simili. In una di queste lettere, nel 1877,
comunicò all’amico, usando la famosa frase: Lo vedo, ma non ci credo, di avere provato un risultato
paradossale, ossia che i punti dell’intervallo [0, 1] sono tanti quanti quelli di un insieme a n dimensioni.
Cominciò a pubblicare i suoi risultati, che però erano troppo moderni per l’epoca e trovò molti oppositori,
fra cui il potente Kronecker che fece di tutto per impedirgli una carriera accademica di rilievo. Anche per
questo motivo, unito a diversi problemi familiari, fra cui la morte di un giovane figlio, cominciò a soffrire di
stati depressivi. Così fu ricoverato diverse volte in manicomio, e proprio in un sanatorio morì, povero, il 6
Gennaio 1918 ad Halle, in Germania.
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Verifiche
Lavoriamo insieme
Possiamo mettere in corrispondenza biunivoca l’insieme dei multipli di 5, {5, 10, 15, 20, …}, con il suo
sottoinsieme dei multipli di 15, {15, 30, 45, 60, …}. Per esempio possiamo associare al generico multiplo di
5, che possiamo perciò scrivere 5n, il generico multiplo di 15, che indichiamo con 15n, secondo lo stesso
fattore n. Cioè associamo 5 a 15, 20 = 5 ⋅ 4 a 60 = 15 ⋅ 4 e così via. Quindi l'insieme dei multipli di 5,
secondo la definizione data, è un insieme infinito.
Livello 1
1.
Utilizzando la corrispondenza biunivoca fra ℕ e ℤ definita nell’esempio 2, determinare il corrispondente naturale associato all’intero 235 e il corrispondente intero associato al naturale 235. [–117; 470]
Porre in corrispondenza biunivoca ℕ e ℤ con una legge diversa da quella dell’esempio 2.
2.
3.
Porre in corrispondenza biunivoca ℤ con i naturali pari.
Stabilire quali fra le seguenti coppie di insiemi sono equipotenti (Con Mn indichiamo l’insieme dei multipli del numero naturale n)
Livello 2
1 3 5 
2 4 6 
1 3 5 
4.
M8,  , , ,...
;
M5 ,  , , ,...
; ℤ ,  , , ,...
;
M8 , ℝ \ ℚ [Sì ; Sì ; Sì ; No]
3 5 7 
3 5 7 
2 4 8 
 7 14 21 
2 4 6 
{1, 4, 9, …, n2, …}, ℝ + ; M4, ℝ − ; ℚ+ , − , , − ,... ; ℤ − ,  , , ,... [No ; No ; Sì ; Sì]
5.
 8 9 10 
1 3 5 
2 4 6 
6.
{2, 4, …, 2n, …}, ℝ ; {1, 3, …, 2n – 1, …}, ℝ + \ ℚ + ; {1, 8, …, n3, …},  , , ,... [No ; No ; Sì]
 3 9 27 
(Maturità scientifica PNI 2012/2013) Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma
7.
che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta.
[Luisa]
Livello 3
8.
Provare che l’insieme dei numeri reali negativi non può essere numerabile.
9.
Provare che l’insieme dei numeri irrazionali non può essere numerabile.
10. Provare che un segmento di lunghezza 1 ha “tanti punti” quanto una retta.
11. Provare che l’insieme prodotto cartesiano A × B = {( a, b ) , a ∈, b ∈ B} di insiemi numerabili è un insieme numerabile.
12. Provare che l’unione di una infinità numerabile di insiemi numerabile è numerabile.
Giochiamo alla matematica
Parecchi giochi logici sono effettuati a partire dai paradossi relativi all’infinito. Il più famoso di essi è quello
dell’hotel infinito di Hilbert. Il famoso matematico immaginò che esistesse in una qualche galassia un hotel
formato da infinite stanze, ciascuna con un ben determinato numero intero posto sulla sua porta. Un certo
giorno l’hotel risulta esaurito, tutte le sue infinite stanze sono occupate da infiniti ospiti. La sera giunge un
altro ospite. Si chiede: l’albergatore deve mandare via il cliente o riesce ugualmente ad alloggiarlo in una
stanza? Rispondere alla domanda equivale solo a provare che l’insieme ℕ e l’insieme ℕ ∪ {0} sono
equipotenti, il che è vero perché abbiamo visto che l’unione di insiemi numerabili e numerabile. Se poi
vogliamo mostrare come risolvere “praticamente” il problema, basta far spostare ciascun ospite nella camera
successiva, lasciando così vuota la prima camera che sarà perciò destinata all’ospite sopraggiunto.
Attività
1. Mostrare che è possibile sistemare nell’hotel di Hilbert esaurito altri 10 clienti.
2. Mostrare che è possibile sistemare nell’hotel di Hilbert esaurito altri infiniti clienti, di infinità numerabile.
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Il Principio di induzione
Avendo a che fare con insiemi numerabili può capitare di dovere dimostrare proprietà che riguardano i loro
infiniti elementi.
Esempio 3
Se volessimo dimostrare che tutti i quadrati dei numeri interi compresi tra 1 e 100 hanno cifra delle unità
diversa da 3, potremmo effettuare un ragionamento oppure potremmo più semplicemente calcolare tutti e
100 i quadrati e vedere che nessuno di essi finisce per 3. Questo tipo di procedura non è elegante ma è
efficace, poiché risolve la questione. Ovviamente se avessimo voluto dimostrare che la proprietà vale per i
quadrati di tutti i numeri inferiori a 1 miliardo, la verifica diventerebbe eccessivamente lunga e dovremmo
farci aiutare per esempio da un sistema automatico.
Abbiamo osservato che verificare che i quadrati dei numeri naturali minori di un miliardo non finiscono mai
per 3, è una procedura troppo lunga, però, almeno in linea teorica, è fattibile. Se volessimo dimostrare che il
quadrato di qualsiasi numero naturale non finisce per 3 la verifica non sarebbe neanche fattibile perché non
possiamo fare infinite verifiche. A volte però possiamo fare due sole verifiche che valgono per infinite.
Esempio 4
Il seguente aneddoto è riferito al piccolo Gauss, che divenne in seguito uno dei più grandi matematici di tutti
i tempi. Si dice che alle scuole elementari, il maestro per far stare buoni i bambini assegnò loro di sommare
tutti i numeri interi da 1 a 100. Dopo pochi minuti il piccolo genio porto la lavagnetta con il risultato
corretto: 5050. La leggenda vuole che il bimbo avesse scoperto che la somma era riconducibile al prodotto
100 ×101
. Noi vogliamo provare più in generale che la somma dei primi n numeri naturali si trova con la
2
n ⋅ ( n + 1)
seguente formula: 1 + 2 + 3 + ... + n =
, di cui il caso di Gauss è particolare per n = 100. Ora se
2
possiamo verificare che essa è vera per n = 100, semplicemente sommando tutti i 100 numeri e facendo
vedere che effettivamente la loro somma è 5050, non possiamo verificarla per tutti i numeri naturali. Allora
facciamo in questo modo. Intanto ci assicuriamo che la regola è valida per il primo valore per cui ha
1 ⋅ (1 + 1)
significato, cioè n = 1. E in effetti: 1 =
. Ora vogliamo fare un tipo di verifica che vale per un
2
numero generico e che mostriamo per esempio per n = 15. Supponiamo di avere già dimostrato che 1 +
15
2+3+ … +14 = 14 ⋅
. Allora per verificare che la proprietà è vera anche per n = 15, non c’è bisogno di
2
15
rifare tutte le somme. Possiamo dire che 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 = (1 + 2 + 3 + … + 14) + 15 = 14 ⋅
+
2
15. Questo ovviamente ci permette di semplificare i calcoli e adesso di mettere in evidenza, scrivendo:
16
 14 
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 = 15 ⋅  + 1 = 15 ⋅
2
 2

che è proprio la regola valida per n = 15.
La procedura mostrata nel precedente esempio può essere applicata a un generico numero naturale n, ottenendo così il seguente risultato generale.
Principio di induzione
Se A = {a1, a2, a3, …, an, …} è un insieme numerabile e P è una proprietà, se
1. a1 verifica P
2. comunque scegliamo un elemento an in A, il sapere che P è verificata da an implica che P è verificata
anche da an+1
allora P è verificata da tutti gli elementi di A.
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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 8 - Unità 1
Esempio 5
Dimostriamo la formula di Gauss usando il principio di induzione. Abbiamo già verificato che essa è vera
per n = 1, quindi dobbiamo fare vedere che se è vera per un n generico lo è anche per il successivo (n + 1).
n ⋅ ( n + 1)
( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) .
Cioè vogliamo dimostrare che 1 + 2 + 3 + ... + n =
⇒ 1 + 2 + 3 + ... + n + ( n + 1) =
2
2
Per fare ciò dobbiamo cercare di scrivere quello che vogliamo provare in modo da sfruttare quello che già
sappiamo. Allora scriviamo: 1 + 2 + … + n + (n + 1) = [1 + 2 + … + n] + (n + 1), infatti in questo modo
all’interno delle parentesi quadrate abbiamo una somma che è quella dell’ipotesi, e quindi per la quale
n ⋅ ( n + 1)
sappiamo il risultato, che perciò andiamo a sostituirlo a essa, ottenendo:
+ ( n + 1) . Adesso
2
n 
 n + 2  ( n + 1) ⋅ ( n + 2 )
mettiamo in evidenza a fattor comune: ( n + 1) ⋅  + 1 = ( n + 1) ⋅ 
e abbiamo ottenuto
=
2
2 
 2 
proprio ciò che volevamo provare. Quindi la formula è dimostrata.
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Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 8 - Unità 1
Verifiche
Lavoriamo insieme
3⋅ 4 ⋅5
4⋅5⋅6
;1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 = 40 =
. Ciò ci conduce a
3
3
n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( n + 2 )
pensare che sia vera la seguente formula generale: 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + n ⋅ ( n + 1) =
. Vogliamo
3
1⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 2 ) 1⋅ 2 ⋅ 3
=
provarla per induzione. Verifichiamola per n = 1. 1⋅ 2 =
= 1⋅ 2 . Adesso mostriamo
3
3
n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( n + 2 )
che se è vero che 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + n ⋅ ( n + 1) =
è anche vero che
3
( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) ⋅ ( n + 3)
1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) =
3
Abbiamo:
1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + n ⋅ ( n + 1)  + ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) .
Sostituiamo
Osserviamo che si ha: 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 = 20 =
n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( n + 2 )
+ ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) . Mettiamo in
3
n 
 n+3
evidenza a fattor comune: ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) ⋅  + 1 = ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) ⋅ 
 , cioè la tesi.
3 
 3 
all’espressione fra parentesi quadrate l’ipotesi induttiva:
Provare la validità delle seguenti proprietà, usando il metodo di dimostrazione per induzione
Livello 2
n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( 2n + 1)
12 + 22 + 32 + ... + n 2 =
1.
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
6
n ⋅ ( 4n 2 − 1)
2
5
5
7
7
4
2
2
2
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) =
1 + 2 + … + n + 1 + 2 + … + n = 2 ⋅ (1 + 2 + … + n)
2.
3
2

1

n
⋅
n
+
(
)
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + ... + n = 
3.
1 + 2 + 22 + 23 + ...+ 2n = 2n + 1 – 1

2


4.
1
1
1
n
+
+ ... +
=
1⋅ 2 2 ⋅ 3
n ⋅ ( n + 1) n + 1
5.
n ⋅ ( n + 1)
12
22
n2
+
+ ... +
=
1⋅ 3 3 ⋅ 5
( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1) 2 ⋅ ( 2n + 1)
1
1
1
n
+
+ ... +
=
1⋅ 3 3 ⋅ 5
( 2n − 1) ⋅ ( 2n + 1) 2n + 1
1
1
1
n
+
+ ... +
=
1⋅ 4 4 ⋅ 7
( 3n − 2 ) ⋅ ( 3n + 1) 3n + 1
1
1
1
n
+
+ ... +
=
13 + 33 + 53 + … + (2n – 1) 3 = n2 ⋅ (2n2 – 1)
1⋅ 5 5 ⋅ 9
( 4n − 3) ⋅ ( 4n + 1) 4n + 1
Livello 3
n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) ⋅ ( n + 3)
1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + ... + n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) =
7.
4
6.
Lavoriamo insieme
Vogliamo provare per induzione che n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) è divisibile per 6, ∀ n ∈ ℕ.
Per n = 1, si ha 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6. Adesso proviamo che se è vero che n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) è divisibile per 6 è anche
vero che (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3) è divisibile per 6. Dobbiamo però formalizzare che significa che un
numero è divisibile per 6. Che possa scriversi come prodotto di 6 per un termine generico, cioè
n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) = 6 ⋅ h.
Ora si ha: (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3) (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ n + (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ 3. Adesso applichiamo l’ipotesi
induttiva al primo addendo: 6 ⋅ h + (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ 3 = 3 ⋅ [2h + (n+1) ⋅ (n + 2)].
397
Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 8 - Unità 1
Il prodotto di due numeri interi consecutivi è pari, quindi possiamo scrivere 3 ⋅ (2h + 2 ⋅ k ) = 6 ⋅ (h + k), che
è quello che voleva dimostrarsi.
Provare la validità delle seguenti proprietà valide per ogni n naturale, usando il metodo di dimostrazione
per induzione. Può essere utile ricordare che la somma di numeri divisibili per h è divisibile per h
Livello 3
8.
17n – 12n è divisibile per 5
5n + 2 ⋅ 3n – 1 + 1 è divisibile per 8
7n + 52n+1 è divisibile per 6
2n
2n
n+1
n+2
9.
13 + 6 è divisibile per 7
3 +4
è divisibile per 5
11
+ 122n + 1 è divisibile per 133
sin ( 2n ⋅θ )
1− cos ( 2n⋅θ )
10. cos (θ ) + cos ( 3θ ) + ... + cos ( 2n −1) ⋅θ  =
sin(θ ) + sin( 3θ ) +... + sin ( 2n −1) ⋅θ  =
2 ⋅ sin (θ )
2⋅ sin(θ )
11. Le figure seguenti costituiscono una successione di poligoni, che prosegue sempre seguendo la stessa
legge. Determinare quanti quadrati formano il poligono al passo n e dimostrarla poi per induzione.
[2n2 – 2n + 1]
Lavoriamo insieme
Vogliamo provare che n3 + 5n è divisibile per 6, senza il principio di induzione. Fattorizziamo: n ⋅ (n2 + 11).
Se n è pari, l’altro fattore è dispari e viceversa, quindi l’espressione è pari. Se n è multiplo di 3 abbiamo
finito, se non lo è, vuol dire che diviso per 3 ha resto 1 o 2, cioè n = 3h + 1 ∨ n = 3h – 1, quindi n2 + 11 =
(3h + 1)2 + 11 = 9h2 + 6h + 1 + 11 = 9h2 + 6h + 12 = 3 ⋅ (3h2 + 2h + 4), che è divisibile per 3. Analogo
risultato nell’altra possibilità. Concludiamo perciò che in ogni caso n3 + 5n è divisibile per 6.
Provare la validità delle seguenti proprietà, valide per ogni n naturale, usando un metodo di dimostrazione diretto
Livello 3
12. n2 ⋅ (n2 – 1) è divisibile per 12
n5 – n è divisibile per 30
n4 + 2n3 + 3n2 + 2n è divisibile per 8
3
n
n
3
13. n + 11n è divisibile per 6
7 – 5 è divisibile per 2
n + (n + 1)3 + (n + 2)3 è divisibile per 9
La sfida
Qui riportiamo alcuni quesiti particolarmente impegnativi
Si osservi che 1 = 13, 3 + 5 = 23, 7 + 9 + 11 = 33, congetturare una legge generale e provarla per indu1.
 n −1 2
3
zione.
 ∑ ( n − n + 2k + 1) = n 
 k =1

2.
Provare che 3n5 + 5n3 – 8n è divisibile per 120, ∀ n ∈ ℕ.
3.
4.
5.
Provare che an – bn è divisibile per (a – b), ∀ n ∈ ℕ, a e b numeri reali positivi.
Provare la disuguaglianza di Bernoulli: (1 + x)n ≥ 1 + n ⋅ x, ∀n ∈ ℕ , x ≥ –1.
Consideriamo il seguente schema infinito di numeri interi non negativi, che hanno i numeri 0, 1, 2, 3, .
. . lungo gli estremi, mentre i numeri interni sono ottenuti sommando i due numeri adiacenti della riga
precedente. Mostriamo le righe fino alla sesta.
0
1
2
3
4
5
4
7
11
1
2
2
4
8
15
3
7
15
4
11
5
Con f(n) denotiamo la somma dei numeri della riga n. Qual è il resto della divisione di f(100) per 100?
(Suggerimento: Provare per induzione che f(n) = 2n – 2)
[74]
6.
Provare che n! > 2n – 1, ∀ n ∈ ℕ \ {1, 2}. Si ha: n! = 1 · 2 · 3 · … · n.
398
Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 8 - Unità 1
n
7.
∏ cos (2k ⋅ θ) =
sin (2n+1 ⋅ θ )
, ∀n ∈ ℕ .
2n+1 ⋅ sin (θ )
In figura abbiamo tracciato i primi 3 numeri pentagonali (5, 12, 22), determinare la legge che permette
di passare da un numero pentagonale al successivo, quindi trovare la legge che permette di determinaProvare che
k =1
8.
9.
 3n 2 + 5n + 1
re l’n–esimo numero pentagonale, dimostrandola per induzione.


2


In figura abbiamo tracciato i primi 3 numeri esagonali (6, 15, 28), determinare la legge che permette di
passare da un numero esagonale al successivo, quindi trovare la legge che permette di determinare l’n–
[2n2 + 3n + 1]
esimo numero esagonale, dimostrandola per induzione.
Data la successione di Fibonacci : {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …} in cui ogni numero, a parte i primi due, è somma dei due che lo precedono. Sulla base degli esempi proposti enunciare e dimostrare una congettura
10. 1 + 1 = 3 – 1; 1 + 1 + 2 = 5 – 1; 1 + 1 + 2 + 3 = 8 – 1; 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 13 – 1.
[F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n – 2) – 1]
11. 1 + 3 = 5 – 1; 1 + 3 + 8 = 13 – 1; 1 + 3 + 8 + 21 = 34 – 1
[F(2) + F(4) + … + F(2n) = F(2n + 1) – 1]
12. 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 5 = 8; 1 + 2 + 5 + 13 = 21.
[F(1) + F(3) + … + F(2n – 1) = F(2n)]
13. 12 + 12 = 1⋅2; 12 + 12 + 22 = 2⋅3; 12 + 12 + 22 + 32 = 3⋅5; 12 + 12 + 22 + 32 + 52 = 5⋅8
[F2(1) + F2(2) + … + F2(n) = F(n) ⋅ F(n + 1)]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
[F2(k) + F2(k + 1) = F(2k + 1)]
14. 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 5; 2 + 3 = 13; 3 + 5 = 34; 5 + 8 = 89
15. 22 – 12 = 1⋅3; 32 – 22 = 1⋅5; 52 – 32 = 2⋅8; 82 – 52 = 3⋅13; 132 – 82 = 5⋅21 [F2(k+1)–F2(k) = F(k–1)⋅F(k+2)]
16. 1 ⋅ 2 = 12 + 1; 1 ⋅ 3 = 22 – 1; 2 ⋅ 5 = 32 + 1; 3 ⋅ 8 = 52 – 1; 5 ⋅ 13 = 82 + 1
[F(2k – 1) ⋅ F(2k + 1) = F2(2k) – 1; F(2k) ⋅ F(2k + 2) = F2(2k + 1) + 1]
Temi assegnati agli esami di stato
I seguenti sono adattamenti dei temi assegnati in alcuni esami di stato degli anni scorsi, abbiamo variato
solo la richiesta del problema, ma non i dati né lo spirito dei problemi
I temi completi dei Licei Scientifici per gli ultimi anni sono scaricabili, con soluzione, dal sito
http://matdidattica.altervista.org/esamidistato.htm
1.
(Liceo scientifico 2002/03) Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1: 1, 2, 3, ...., n – 1, n ,
moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti risulta
2
n ⋅ ( n 2 − 1)
n ⋅ ( n 2 − 1) ⋅ ( 3n + 2 )
n 2 ⋅ ( n + 1)
n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( n + 2 ) ⋅ ( 3n + 1)
uguale a: A)
; B)
; C)
; D)
. Una
4
3
24
24
sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.
[D]
2.
(Liceo scientifico PNI 2013/14) Le lettere ℕ, ℤ, ℚ, ℝ denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri
naturali, interi, razionali e reali mentre il simbolo ℵ0 (aleph-zero) indica la cardinalità di ℕ . Gli in-
siemi ℤ, ℚ, ℝ hanno anch’essi cardinalità ℵ0? Si motivi la risposta.
Per svolgere un Test finale di 10 quesiti, collegati al sito
http://mathinterattiva.altervista.org/volume_4_8.htm
399
[ ℤ, ℚ sì; ℝ no]