Equazioni differenziali ordinarie - Analisi qualitativa
Sistemi non autonomi e sistemi autonomi
Come si è già visto in precedenza, quando si lavora con un sistema
di equazioni differenziali ordinarie di ordine qualunque, è sempre possibile,
attraverso successivi abbassamenti del grado delle equazioni, ricondursi ad
un sistema le cui equazioni differenziali sono tutte del primo ordine.
Di conseguenza assumeremo sempre di partire da sistemi differenziali di
equazioni del primo ordine; la struttura più generale per un sistema del genere
è data da:
u̇ = f (u, t)
(1)
essendo:
f : A × R −→ Rn,
A ⊆ Rn
L’insieme delle variabili u(t) corrispondenti a una soluzione particolare
del sistema (1), valutato in un istante del tempo, si dice stato del sistema
nell’istante t e il sistema stesso si dice sistema dinamico differenziale.
Se la funzione f è lipschitziana rispetto a u, in un dominio D, cioè se
esiste una costante C ∈ R+ tale che:
kf (u, t) − f (u0, t)k ≤ C ku − u0k, ∀u, u0 ∈ D ⊆ A
assegante le condizioni iniziali u(t0) = u0, la soluzione del sistema è unica.
Un sistema del tipo (1) in cui la funzione f contiene la dipendenza
esplicita dal tempo si dice sistema non autonomo.
Un sistema del tipo (1) in cui la funzione f non contiene la
dipendenza esplicita dal tempo si dice sistema autonomo.
Di conseguenza un sistema autonomo si presenta in generale nella forma:
u̇ = f (u)
(2)
Osserviamo che se il sistema non è autonomo e la funzione f dipende
esplicitamente dal tempo in maniera non lineare, non è possibile traslare
l’asse dei tempi e quindi un istante iniziale generico t0 6= 0 non può essere
fatto coincidere con t = 0; se invece il sistema è autonomo il problema non
sussiste e si può sempre assumere t0 = 0.
La distinzione fra sistema autonomo e non autonomo può sembrare, a
prima vista, non rilevante, in quanto un sistema non autonomo si può sempre
ricondurre ad un sistema autonomo mediante l’introduzione di una variabile
ausiliaria, che rimpiazza il tempo. Per esempio in un sistema in cui è presente
una dipendenza esplicita dal tempo periodica si può intordurre ϑ = ω t, con
ω > 0. In tal caso il sistema non autonomo (1) si riscrive:
ϑ̇ = ω
u̇ = f u,
θ
ω
U̇ = F(U),
U≡
θ
u
,
F(U) ≡
ω
f (u, ωϑ )
Un sistema di questo tipo ha però ha, però, l’inconveniente di avere
soluzioni divergenti nel tempo, in quanto:
lim ϑ = ∞
t→∞
anche quando u(t) si mantiene limitata o addirittura tende asintoticamente
a zero. La forma autonoma, quindi, non consente in questo caso sviluppi
asintotici per tempi molto grandi e bisogna mantenere il sistema nella forma
non autonoma.
Spazio delle fasi
Lo spazio in cui sono definiti gli stati u di un sistema dinamico prende il
nome di spazio delle fasi.
Esaminiamo qualche esempio di spazio delle fasi legato a sistemi
differenziali che descrivono dei sistemi meccanici.
Esempi
i) Equazioni del moto di un punto
L’equazione fondamentale della dinamica inerziale del punto:
m ẍi = Fi(xk , ẋk , t),
i, k = 1, 2, 3
si può riscrivere riducendo le equazioni al primo ordine, nella forma:
ẋi = vi
v̇i =
1
m
Fi(xk , vk , t)
Questo sitema si riconduce alla forma compatta (1) introducendo i vettori
a sei componenti:
u≡
xi
vi
1
,
m
vi
Fi(xk , vk , t)
• Lo spazio delle fasi del punto è lo spazio delle posizioni e delle velocità.
• Si osserva, poi, che il sistema risulta autonomo qualora la forza non
dipenda esplicitamente dal tempo e non autonomo in caso contrario.
ii) Equazioni di Hamilton
Un altro esempio semplice è offerto dalle equazioni di Hamilton, le quali
sono già del primo ordine:
q̇h =
∂H
∂ph
ṗh = −
∂H
∂qh
In questo caso si ha:
u≡
qh
ph
,
∂H
∂ph
∂H
− ∂q
h
• Lo spazio delle fasi di un sistema canonico è lo spazio delle variabili
canoniche, cioè lo spazio delle posizioni e dei momenti.
• Il sistema risulta autonomo se l’hamiltoniana non dipende esplicitamente
dal tempo.
Sistemi a un grado di libertà: piano delle fasi
La descrizione del moto mediante lo spazio delle fasi diventa
particolarmente comoda quando
−→ il sistema meccanico ha un solo grado di libertà,
sperchè in questo caso lo spazio delle fasi si riduce a un piano, al quale
si dà il nome di piano delle fasi, ed è possibile rappresentare su un foglio di
carta o su un video gli stati del sistema e la loro evoluzione. Il vettore degli
stati del sistema ha due sole componenti: u ≡ (x, y).
i) Punto materiale
Nel caso di un punto abbiamo semplicemente:
u≡
1
x
y
,
f≡
m
y
F (x, y, t)
ii) Sistema olonomo a vincoli indipendenti dal tempo
Nel caso di un sistema olonomo a un grado di libertà, il cui moto viene
descritto mediante una sola equazione di Lagrange, per l’unico parametro
lagrangiano q = x, abbiamo:
∂T
d ∂T
−
=Q
dt ∂ ẋ
∂x
Se i vicnoli sono indipendenti dal tempo, l’energia cinetica è espressa in
questo caso da:
T =
1
a(x) ẋ2
2
(3)
Notiamo che la matrice dell’energia cinetica è ora semplicemente una
funzione scalare positiva. Derivando otteniamo:
∂T
= a(x) ẋ
∂ ẋ
=⇒
d ∂T
= a(x) ẍ + a0(x) ẋ2
dt ∂ ẋ
∂T
1
= a0(x) ẋ2
∂x 2
dove l’apice denota la derivata rispetto all’argomento x. E quindi l’equazione
di lagrange si specializza nella forma seguente:
1
a(x) ẍ + a0(x) ẋ2 = Q(x, ẋ, t)
2
(4)
Dal momento che a(x) è strettamente positivo possiamo ridurre
l’equazione in forma nromale:
1
1
g(x, ẋ, t) =
Q(x, ẋ, t) − a0(x) ẋ2
a(x)
2
ẍ = g(x, ẋ, t),
(5)
Essa si presenta allora sotto la stessa forma dell’equazione del moto di un
F
punto nella quale g prende il posto di m
.
• Gli stati del sistema sono dati dal vettore u ≡ (x, y) ≡ (q, q̇).
• Se la forza generalizzata di Lagrange Q non diepende esplicitamente dal
tempo, il sistema è autonomo.
Rappresentazione grafica
Uno stato del sistema differenziale u, valutato in un certo istante, viene
rapprersentato da un punto sul piano delle fasi (punto di fase). Assegnando
delle condizioni iniziali u0 ≡ (x0, y0) ≡ (x0, ẋ0) si individua il punto di
partenza del moto. L’integrale particolare u(t) corrispondente è unico se la
funzione f è lipschitziana, ed è caratterizzato da:
x(t) = x(t, x0, y0)
y(t) = y(t, x0, y0)
• Geometricamente sono le equazioni parametriche di una curva del piano
delle fasi alla quale si dà il nome di traiettoria di fase.
• La traiettoria di fase ha un verso di percorrenza dato dall’evoluzione
temporale del moto: se la derivata temporale di x, che è data da y, è
positiva la funzione x cresce nel tempo; se y è negativa x decresce. Di
conseguenza i rami delle traiettorie di fase che si trovano nel sempiano delle
y > 0 sono percorsi nel senso delle x cresecenti, mentre quelli che si trovano
nel semipiano delle y < 0 sono percorsi nel senso delle x decrescenti.
y
y>0
(x 0 ,y 0 )
x
O
y<0
Fig. 1 - Traiettorie di fase e loro orientamento
L’insieme delle traiettorie di fase che descrivono un sistema si dice
diagramma di fase del sistema.
Quando lo si ritenga conveniente è possibile dare anche una
rappresentazione tridimensionale del moto introducendo l’asse dei tempi: si
parla in questo caso di spazio delle fasi ampliato.
y
(x ,y )
0 0
t
O
x
Fig. 2 - Spazio delle fasi ampliato
Velocità di fase
Si introduce poi la velocità di fase come derivata temporale del vettore u
che caratterizza lo stato del sistema:
vf = u̇ ≡ (ẋ, ẏ) ≡ (ẋ, ẍ)
(6)
Questo vettore non va confuso con la velocità del moto nello spazio delle
configurazioni che costituisce solo la prima componente della velocità di fase,
mentre la seconda componente è data dall’accelerazione. La velocità di fase
è un vettore che si mantiene tangente alle traiettorie di fase durante il moto.
• In un sistema differenziale di equazioni del primo ordine, la funzione f
descrive il campo delle velocità di fase che caratterizza il sistema.
Punti fissi e punti di equilibrio
Si dicono punti fissi quei punti del sistema che hanno velocità di fase nulla.
In questi punti la velocità e l’accelerazione sono contemporaneamente nulle,
per cui il sistema si trova in quiete; di qui la denominazione di punti fissi.
• Essendo nulla la velocità i punti fissi appartengono sempre all’asse delle
ascisse, in quanto y = ẋ = 0. Tuttavia non tutti i punti dell’asse delle ascisse
sono punti fissi in quanto la condizione di appartenza a tale asse y = 0, da
sola, non dice nulla sull’accelerazione.
• I punti fissi sono le traiettorie di fase corrispondenti a quel caso
particolare di moto che è la quiete.
Se la f è lipschitziana cosı̀ vale il teorema di unicità della soluzione, e la
quiete equivale all’equilibrio: allora i punti fissi sono i punti di equilibrio del
sistema e viceversa.
Sistemi autonomi
Equazione delle curve integrali
Dal punto di vista dei problemi meccanici i sistemi di interesse sono quelli
che derivano da un’equazione differenziale del secondo ordine del tipo:
ẍ = f (x, ẋ)
(7)
nella cui struttura rientra l’equazione del moto di un punto o di un generico
sistema olonomo a un grado di libertà, con vincoli e forze indipendenti dal
tempo.
E quindi sistemi di equazioni del primo ordine, ad essa equivalenti, della
forma:
ẋ = y
ẏ = f (x, y)
(8)
In corrispondenza delle condizioni iniziali (x0, y0), l’integrale particolare:
x = x(t)
y = y(t)
(9)
fornisce le equazioni parametriche della traiettoria di fase, la cui
→ equazione cartesiana:
y = y(x)
si ottiene eliminando il parametro t dalle (9).
Problema: è indispensabile integrare le equazioni del moto per determinare
le traiettorie di fase di un sistema?
E’ chiaro che l’interesse dell’ananlisi qualitativa del moto nel piano delle
fasi è legato alla possibilità di avere informazioni sul moto, mediante
le traiettorie di fase anche quando non si riesce ad integrare il sistema
differenziale del moto.
• Per un sistema autonomo è sempre possibile giungere ad un’equazione
differenziale per la funzione incognita y(x), senza coinvolgere il tempo, e
quindi senza conoscere la legge di evoluzione temporale del moto. Ciò
è possibile grazie al fatto che la funzione f nel sistema (8) non contiene
esplicitamente il tempo.
Per giungere a questa equazione differenziale calcoliamo la derivata di
y(x(t))
rispetto ad t, tenendo conto che y è funzione composta di t attraverso x.
Abbiamo:
ẏ =
d
dy dx
y(x(t)) =
= y 0 ẋ
dt
dx dt
Se si escludono i punti del piano delle fasi nei quali si annulla y = ẋ
possiamo esprimere:
ẏ
y0 = ,
ẋ
y = ẋ 6= 0
Tenendo conto delle informazioni che vengono dal sistema (8) possiamo
scrivere l’equazione:
y 0 = y1 f (x, y)
(10)
che prende il nome di equazione delle curve integrali e non contiene più il
tempo.
• Le soluzioni di questa equazione, possono essere delle curve a più rami
che rappresentano traiettorie di fase distinte, in quanto i punti di un ramo non
sono raggiungibili assegnando delle condizioni iniziali, al sistema differenziale
del moto, su un altro ramo. Per questo si preferisce allora chiamare curve
integrali, anzichè traiettorie di fase, le curve rappresentative delle soluzioni
di questa equazione.
• Osserviamo che y 0, dal punto di vista geometrico, rappresenta il
coefficiente angolare della tangente alla curva integrale nel punto del piano
delle fasi di coordinate x, y. Si possono determinare, allora, le curve nei punti
delle quali la tangente alle curve integrali che passano per quei punti ha uno
stesso valore C assegnato. Queste curve, la cui equazione è:
1
y
f (x, y) = C
(11)
prendono il nome di curve isocline e sono utili per avere informazioni
sull’andamento delle curve integrali anche senza integrare la (10).
Fig. 3 - Curve isocline
Singolarità
Analizziamo ora il comportamento delle curve integrali nei punti singolari,
in cui y = ẋ = 0, cioè nei punti dell’asse delle ascisse del piano delle fasi.
Notiamo che questi punti
→ che sono singolari dal punto di vista geometrico, per le curve integrali,
→ sono punti estremamente significativi dal punto di vista del problema
meccanico.
Essi perciò devono essere analizzati e classificati.
i) punti di equilibrio: ẋ = 0, ẍ = 0
Sono i punti fissi del sistema, nei quali oltre alla velocità y = ẋ si
annulla anche l’accelerazione ẏ = ẍ, cioè si annulla la velocità di fase. Di
conseguenza risulta nulla anche la funzione f (x, 0)
• Nella (10) la derivata y 0 presenta un’indeterminazione del tipo
Geometricamente la tangente risulta indeterminata.
0
0.
ii) Punti di inversione del moto: ẋ = 0, ẍ 6= 0
Questi punti si trovano sull’asse delle ascisse del piano delle fasi, ma
non sono punti fissi, in quanto la velocità di fase non è nulla, essendo non
nulla l’accelerazione ẏ = ẍ. Perciò dal sistema (8) abbiamo l’informazione
f (x, 0) 6= 0. L’equazione delle curve integrali ci dà l’informazione
conseguente relativa al limite della derivata:
lim y 0 = lim
y→0
y→0
1
f (x, 0) = ∞
y
• Geometricamente questo significa che la tangente alla curva integrale,
nel punto singolare, è verticale.
La curva attraversa l’asse delle ascisse nel punto singolare e quindi la
velocità cambia segno, invertendo il verso del moto.
• Attraversando l’asse delle ascisse, la y = ẋ cambia segno e perciò la
x(t) passa da funzione crescente a decrescente rispetto a tempo o vivceversa.
Perciò la x(t) raggiunge per y = 0 il suo massimo o il suo minimo.
y
O
Fig. 4 - Punti di inversione del moto
x
Sistemi autonomi conservativi: curve di livello dell’energia
Se il sistema, oltre ad essere autonomo è anche conservativo, allora le forze
si possono esprimere mediante un potenziale U (x), e quindi, come in genere
si preferisce fare trattando i sistemi dinamici, mediante l’energia potenziale
V (x) = − U (x), funzioni in questo caso del solo parametro x. Esaminiamo
prima il caso di un punto e poi il caso di un sistema olonomo.
i) Punto materiale
Nel caso di un punto, soggetto a forza conservativa l’equazione delle curve
integrali assume la forma seguente:
y0 = −
1
V 0(x)
my
(12)
Avendo denotato con l’apice la derivata rispetto a x.
Possiamo rsicriverla nella forma:
0
0
d 1
m y 2 + V (x) = 0
dx 2
m y y = − V (x)
⇐⇒
Da cui, integrando:
1
m y 2 + V (x) = costante
2
Ma y = ẋ è la velocità del punto, e quindi l’equazione precedente esprime
l’integrale primo dell’energia meccanica.
Le curve integrali per un punto soggetto a forza conservativa
sono le curve di livello dell’energia meccanica, cioè le curve
lungo le quali l’energia mantiene valore costante
Possiamo riscrivere l’equazione delle curve di lvello indicando la costante
con il valore dell’energia:
1
m y 2 + V (x) = E
2
(13)
Lo studio dell’andamento delle curve di livello si può condurre esplicitando
rispetto ad y (metodo di Weierstrass):
v
u
u
u
t
y=±
2
[E − V (x)]
m
(14)
dalla quale l’andamento delle curve di livello può essere dedotto
dall’andamento dell’energia potenziale.
La condizione di realtà della radice quadrata:
E − V (x) ≥ 0
fornisce le informazioni relative agli intervalli permessi per le poszioni x del
punto.
• Il dominio di realtà della radice può essere non connesso, con la
conseguenza che possono esistere, in corrispondenza di un valore assegnato
dell’energia, più rami (traiettorie di fase) separati delle curve integrali, i cui
punti sono raggiungibili solo partendo da condizioni iniziali appartenenti allo
stesso ramo.
• Al variare di E si ottiene l’intera famiglia delle curve integrali del moto
del punto.
Esempio: Oscillatore armonico semplice
L’energia potenziale è:
1
1
V (x) = k 2x2 = m ω 2x2,
2
2
k2
ω =
m
2
Quindi l’integrale primo dell’energia si esprime come:
1
1
m y 2 + m ω 2 x2 = E
2
2
Possiamo scrivere in una forma meglio leggibile dal punto di vista
geometrico questo risultato:
x2
2E
m ω2
+
y2
2E
m
=1
• Le curve di livello dell’energia sono delle ellissi il cui centro è l’origine
del piano delle fasi e i cui assi di simmetria sono gli assi cartesiani del piano
delle fasi. L’origine rappresenta un punto fisso del sistema meccanico (punto
di equilibrio).
• Le curve di livello non si intersecano e sono curve chiuse includenti il
punto di equilibrio stabile del sistema.
y
x
Fig. 5 - Curve di livello ell’energia dell’oscillatore armonico semplice
ii) Sistema olonomo a vincoli indipendenti dal tempo
Affinchè il sistema delle equazioni differenziali sia autonomo, occorre che i
vincoli siano indipendenti dal tempo e quindi anche l’energia potenziale deve
essere indipendente dal tempo.
In questo caso, tenendo conto del risultato generale (5) e del fatto che:
Q(x) = U 0(x) = − V 0(x)
l’equazione delle curve integrali si scrive:
1 0
1
y =−
V (x) + a0(x) y 2
a(x) y
2
0
abbiamo:
(15)
1
d 1
a(x) y y 0 + a0(x) y 2 + V 0(x) = 0 ⇐⇒
a(x) y 2 + V (x) = 0
2
dx 2
Essendo:
d 1
1
a(x) y 2 = a(x) y y 0 + a0(x) y 2
dx 2
2
Dunque le curve integrali sono caratterizzate dall’equazione:
1
a(x) y 2 + V (x) = costante
2
che rappresenta l’integrale primo dell’energia del sistema olonomo, essendo:
T =
1
a(x) ẋ2
2
Otteniamo allora la generalizzazione al sistema olonomo del risultato
ottenuto per il punto.
Le curve integrali per un sistema olonomo a vincoli
indipendenti dal tempo, soggetto a ad un sistema
di forze conservativo, sono le curve di livello dell’energia
1
a(x) y 2 + V (x) = E
2
(16)
In forma esplicita si ha in questo caso:
v
u
u
u
t
y=±
Essendo a(x) > 0.
2
[E − V (x)]
a(x)
(17)
Ogni curva di livello è identificata dal valore dell’energia che corrisponde
al moto ad essa associato. Ne viene di conseguenza che: due curve di livello
relative a differenti valori dell’energia non hanno punti in comune.
Infatti, i punti d’intersezione di due curve di livello relative ad energie
distinte E1, E2 sono dati dalle soluzioni, se esistono, del sistema algebrico:
1
2
a(x) y 2 + V (x) = E1
1
2
a(x)
y
+ V (x) = E2
2
Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla prima otteniamo
E1 − E2 = 0 contrariamente all’ipotesi che le energie siano distinte.
Dunque le due curve non si intersecano in alcun punto.
Andamento di V(x) e curve di livello dell’energia
Studiamo ora il comportamento delle curve di livello dell’energia in
dipendenza del comportamento dell’energia potenziale V (x) del sistema
conservativo.
i) V (x) monotona crescente (decrescente)
→ analisi degli zeri della funzione E − V (x)
Se V (x) è una funzione crescente % è possibile determinare, per
ogni valore assegnato dell’energia meccanica E, una sola soluzione xE
dell’equazione:
V (x) = E
=⇒
xE = V −1(E)
grazie alla biunivocità della funzione che può essere invertita in tutto il
dominio di monotonia.
• La soluzione ha molteplicità M = 1 in quanto V 0(xE ) 6= 0 grazie alla
monotonia della V (x).
• L’accelerazione del moto non è nulla e il punto xE rappresenta un
punto di inversione del moto → La condizione di realtà
della radice quadrata nella (17) è soddisfatta a condizione che:
x ≤ xE
condizione che identifica l’intervallo delle x permesso durante il moto.
(18)
→ tangente
Nel punto di inversione la tangente alla curva di livello è verticale.
Assegnando valori diversi all’energia si ottengono altrettante curve di
livello con altrettanti punti di inversione.
Qualora la V (x) fosse decrescente nella (18) si scambia il segno di ≤ con
quello di ≥ e il grafico diviene simmetrico rispetto ad un esse verticale.
V
E
x*
x
y
O
x
Fig. 6 - Curve di livello ell’energia corrispondenti a V (x) crescente
V
E
x*
x
y
O
x
Fig. 7 - Curve di livello ell’energia corrispondenti a V (x) decrescente
ii) V (x) dotata di un massimo relativo stretto
Quando V (x) è massima in un punto x∗ si ha un punto di equilibrio (punto
fisso) instabile (potenziale minimo).
Indicando con V ∗ = V (x∗) il valore massimo dell’energia potenziale,
distinguiamo tre casi.
a) E < V ∗
→ la condizione di realtà
della radice in (17) è soddisfatta in due intervalli disgiunti:
(1)
x ≤ xE ,
In quanto la disequazione:
(2)
x ≥ xE
E − V (x) ≥ 0
ammette due sole soluzioni del tipo esaminato nel caso dell’energia potenziale
monotona, perchè l’energia potenziale è monotona crescente per x < x∗ e
monotona decrescente per x > x∗ equindi la retta di equazione V = E
ha due intersezioni distinte con la curva dell’energia potenziale. I due punti
(1) (2)
xE , xE sono due punti di inversione del moto e il moto non è permesso
nell’intervallo compreso tra essi.
V
E
x*
x
y
x
O
Fig. 8 - Curve di livello ell’energia in corrispondenza a un massimo di V (x) - Caso E < V ∗
b) E > V ∗
In questo caso la
→ condizione di realtà
della radice in (17) è sempre soddisfatta e tutto l’asse delle x può essere
percorso dal moto, in quanto si ha:
V (x) ≤ V ∗
=⇒
E − V (x) ≥ E − V ∗ > 0
La curva di livello relativa all’energia E possiede due rami, corrispondenti
al segno positivo e negativo nella (17), che non possono connettersi tra loro,
perchè non hanno intersezioni con l’asse delle ascisse in quanto non può mai
verificarsi la condizione di intersezione E − V (x) = 0.
Mentre si ha un’intersezione, con la retta di equazione x = x∗ che per
comodità possiamo identificare come asse y, per ogni ramo, corrispondente
alle ordinate:
v
u
u
u
t
y± = ±
2
(E − V ∗)
∗
a(x )
→ La tangente
nei punti di intersezione ha coefficiente angolare, dato dall’equazione delle
curve integrali, che, vale:
0
y±
a0(x∗) y±
=−
2 a(x∗)
in quanto, in un punto di massimo dell’energia potenziale V 0(x∗) = 0.
Nel caso in cui a(x) = costante, come avviene per esempio per un punto,
la y assume minimo modulo nel punto di intersezione, in quanto, altrove
0
E − V (x) > E − V (x∗) e la y±
si annulla; quindi la tangente risulta
orizzontale.
V
E
x*
x
y
x
O
Fig. 9 - Curve di livello ell’energia in corrispondenza a un massimo di V (x) - Caso E > V ∗
c) E = V ∗ – curve separatrici
Siamo nel caso limite tra i due precedenti. In questo caso, come nel
precedente
→ la condizione di realtà
della radice in (17) è sempre soddisfatta e tutto l’asse delle x può essere
percorso dal moto, in quanto si ha:
V (x) ≤ V ∗
=⇒
E − V (x) = V ∗ − V (x) ≥ 0
La radice x∗ dell’equazione:
V (x) = E
ha molteplicità M = 2, come si verfica tenendo conto che la funzione da
annullare è:
f (x) = V (x) − E
=⇒
f 0(x∗) = V 0(x∗) = 0
La retta di equazione y = E e la curva dell’energia potenziale hanno un
contatto del primo ordine in x∗, e sono quindi tangenti.
La curva di livello corrispondente ha equazione:
v
u
u
u
t
y=±
2
[V ∗ − V (x)]
a(x)
(19)
• I due rami corrispondenti ai due segni, hanno in comune solo un punto
di fase, di coordinate (x∗, 0). Si noti che questo è un punto fisso, essendo un
punto di equilibrio, e quando viene assegnato come condizione iniziale esso
coincide con la traiettoria di fase (quiete).
I due rami della curva di livello cosı̀ caratterizzata prendono il nome di
curve separatrici.
→ Le tangenti
alla curva di livello nel punto fisso sono indeterminate, come si vede
esaminando la (15), a causa del fatto che i due rami delle separatrici,
incontrandosi nel punto fisso, danno luogo a due tangenti nello stesso punto.
L’indeterminazione 00 si elimina con il metodo di De L’Hospital,
considerando il rapporto delle derivate del numeratore e del denominatore
delle (15):
V 0(x) + 21 a0(x) y 2
0
y± = lim ∗
−
=
x→x
a(x) y
V 00(x) + 12 a00(x) y 2 + a0(x) y y 0
V 00(x∗)
−
= lim ∗
=−
0
x→x
a0(x) y + a(x) y 0
a(x∗) y±
da cui si ricava:
0
y±
v
u
u
u
u
t
V 00(x∗)
=± −
a(x∗)
(20)
Come si vede esistono due tangenti alle separatrici nel punto di fase (x∗, 0).
V
E
x
x*
y
x
O
Fig. 10 - Curve di livello ell’energia in corrispondenza a un massimo di V (x) - Caso E = V ∗
Conglobando i risultati relativi a tutti gli intervalli dell’energia meccanica
otteniamo il diagramma di fase nell’intorno di un punto di massimo
dell’energia potenziale (punto di equilibrio instabile).
y
x
O
Fig. 11 - Curve di livello ell’energia in punto di sella
• I punti di equilibrio instabile rappresentano dei punti di sella per l’energia
meccanica del sistema.
Infatti, considerata la funzione:
E(x, y) =
1
a(x) y 2 + V (x)
2
in corrispondenza di un massimo dell’energia potenziale in x∗, e imponendo
y = 0 abbiamo:
1
∂E
(x, y) = a0(x) y 2 + V 0(x),
∂x
2
E questo comporta:
∂E
(x, y) = a(x) y
∂y
∂E ∗
(x , 0) = 0,
∂x
∂E ∗
(x , 0) = 0
∂y
Esaminando le derivate seconde:
∂ 2E
1 00
2
00
(x,
y)
=
a
(x)
y
+
V
(x),
∂x2
2
∂ 2E
(x, y) = a0(x) y
∂x∂y
∂ 2E
(x, y) = a(x)
∂y 2
Da cui:
∂ 2E ∗
00 ∗
(x
,
0)
=
V
(x ) < 0,
∂x2
∂ 2E ∗
(x , 0) = 0
∂x∂y
∂ 2E ∗
(x , 0) = a(x∗) > 0
2
∂y
essendo in un punto di massimo per l’energia potenziale, ed essendo sempre
positiva la a(x). Allora la matrice hessiana di E non è definita di segno e
siamo in un punto di sella:
00
∗
V (x )
0
0
a(x∗)
Fig. 12 - Punto di sella della funzione E(x, y)
iii) V (x) dotata di un minimo relativo stretto
Quando V (x) è minima in un punto x∗ si ha un punto di equilibrio (punto
fisso) stabile (potenziale massimo). Indicando con V ∗ = V (x∗) il valore
minimo dell’energia potenziale, distinguiamo anche qui tre casi.
a) E < V ∗
In questo caso
→ la condizione di realtà
della radice non è mai soddisfatta, in quanto:
V (x) ≥ V ∗ =⇒ − V (x) ≤ − V ∗ =⇒ E − V (x) ≤ E − V ∗ < 0
E quindi la disequazione:
E − V (x) ≥ 0
non ammette soluzioni e non vi sono intersezioni tra la retta di equazione
y = E e la curva dell’energia potenziale.
In questo intervallo di energia il moto non è permesso.
b) E > V ∗
In questo caso
→ la condizione di realtà
(1)
(2)
della radice ammette sempre due radici distinte xE , xE , corrispondenti
alle due intersezioni della retta di equazione y = E con la curva dell’energia
potenziale; e dal momento che V (x) è monotona crescente per x > x∗ e
monotona decrescente per x < x∗ il moto può avvenire solo nell’intervallo:
(1)
(2)
xE ≤ x ≤ xE
La curva di livello relativa all’energia E possiede anche due intersezioni
con la retta x = x∗ che per comodità possiamo identificare come asse y,
corrispondenti alle ordinate:
v
u
u
u
t
y± = ±
2
(E − V ∗)
∗
a(x )
e quindi i due rami si raccordano in un’unica curva chiusa.
V
x
x*
E
y
x
O
Fig. 13 - Curve di livello ell’energia in corrispondenza a un minimo di V (x) - Caso E > V ∗
→ La tangente
nei punti di intersezione ha coefficiente angolare, dato dall’equazione delle
curve integrali, che vale:
0
y±
a0(x∗) y±
=−
2 a(x∗)
in quanto, in un punto di minimo dell’energia potenziale V 0(x∗) = 0.
• Nel caso in cui a(x) = costante, come avviene per esempio per un
punto, la y assume massimo modulo nel punto di intersezione, in quanto,
0
altrove E − V (x) < E − V (x∗) e la y±
si annulla; quindi la tangente risulta
orizzontale.
♦ Una curva integrale chiusa comporta che il moto sia periodico,
perchè ripassa per gli stessi punti di fase, cioè nelle stesse posizioni e con
la stessa velocità dopo uno stesso tempo, che si dice periodo del moto.
Data la simmetria delle velocità rispetto ai punti della traiettoria, il periodo
si può calcolare come:
T =2
Z x(2)
E
(1)
xE
Z x(2)
dx
= 2 (1)E s
xE
y(x)
dx
2
a(x)
[E − V (x)]
c) E = V ∗
→ la condizione di realtà
della radice, unitamente alla condizone di minimo relativo, comporta:
E − V (x) = V ∗ − V (x) ≥ 0
V ∗ − V (x) ≤ 0
E quindi esiste l’unica radice x∗ dell’equazione:
V (x) = E
che ha molteplicità M = 2, in quanto la retta di equazione y = E e la
curva dell’energia potenziale hanno un contatto del primo ordine in x∗, e
sono tangenti.
L’unico punto di fase permesso per il moto è il punto fisso (x∗, 0) che
rappresenta l’unica traiettoria di fase possibile (quiete).
Conglobando i risultati relativi a tutti gli intervalli dell’energia meccanica
otteniamo il diagramma di fase nell’intorno di un punto di massimo
dell’energia potenziale (punto di equilibrio stabile).
• Un punto di equilibrio stabile prende il nome di centro.
y
x
O
Fig. 14 - Centro stabile
• I punti di equilibrio stabile rappresentano dei punti di minimo per
l’energia meccanica del sistema.
I calcoli sono identici al caso del punto di sella, con la differenza che
ora V 00(x∗) > 0 trattandosi di un punto di minimo dell’energia potenziale.
Ne viene di conseguenza che la matrice hessiana dell’energia meccanica è
definita positiva:
00
∗
V (x )
0
0
a(x∗)
e quindi siamo in un punto di minimo dell’energia.
Fig. 15 - Punti di minimo della funzione E(x, y)
iv) V (x) dotata di un flesso ascendente (discendente) con
tangente orizzontale
Quando V (x) presenta un flesso ascendente, con tangente orizzontale, in
un punto x∗ si ha un punto di equilibrio (punto fisso) che si comporta come
fosse stabile rispetto a spostamenti positivi e instabile rispetto a spostamenti
negaitvi, in un intorno del punto; e quindi, complessivamente risulta essere
instabile.
Indicando con V ∗ = V (x∗) il valore dell’energia potenziale nel punto di
flesso, distinguiamo, come al solito, tre casi.
a) E < V ∗
Questo caso si presenta identico al caso in cui V (x) è monotona crescente
e valgono tutte le considerazioni svolte al punto i).
Esiste un punto di inversione del moto xE < x∗
e il moto si può realizzare solo nella regione x ≤ xE .
Non esistono intersezioni della curva di livello con la retta di equazione
x = x∗ .
V
x*
x
E
y
x
O
Fig. 16 - Curve di livello ell’energia in corrispondenza a un flesso ascendente di V (x) - Caso E < V ∗
b) E > V ∗
Anche in questo caso il comportamento è simile a quello che si ha con
V (x) monotona, e quindi esiste un solo punto di inversione xE > x∗ in
corrispondenza di ogni valore dell’energia meccanica.
• La funzione V (x) non è strettamente crescente dappertutto, in quanto
nel punto di flesso la sua derivata si annulla.
Esistono due punti di intersezione della curva di livello con la retta x = x∗,
che possiamo scegliere coincidente con l’asse y, le cui ordinate valgono:
v
u
u
u
t
y± = ±
2
[E − V ∗]
∗
a(x )
La derivata di y nei punti di intersezione vale:
0
y±
a0(x∗) y±
=−
2 a(x∗)
• Quando a(x) = costante, come nel caso di un punto materiale, la
tangente nei punti di intersezione è orizzontale,
in quanto y 0 = 0 e i rami della curva di livello
— che sono rispettivamente decresente nel semipiano y > 0 e crescente
nel semipano y < 0, come nel caso di V (x) strettamente crescente —
presentano, di conseguenza, dei flessi nei punti di intersezione con l’asse
y.
V
E
x*
x
y
x
O
Fig. 17 - Curve di livello ell’energia in corrispondenza a un flesso ascendente di V (x) - Caso E > V ∗
c) E = V ∗
Data la condizione di non decrescenza della funzione V (x), dalla
→ condizione di realtà
della radice:
E − V (x) = V ∗ − V (x) ≥ 0
=⇒
x∗ ≥ x
segue che il moto può avvenire solo nella regione x ≤ x∗.
La radice dell’equazione:
V (x) = E
è allora x∗ e ha molteplicità M = 3, dal momento che la funzione da
annullare è:
f (x) = V (x)−E
=⇒
f 0(x∗) = V 0(x∗) = 0, f 00(x∗) = V 00(x∗) = 0
La retta di equazione y = E e la curva dell’energia potenziale hanno un
contatto del secondo ordine in x∗, e sono quindi tangenti.
• Il punto (x∗, 0) è una cuspide ed è un punto di equilibrio instabile.
La curva di livello corrispondente ha equazione:
v
u
u
u
t
y=±
2
[V ∗ − V (x)]
a(x)
(21)
Come si vede facilmente i due rami corrispondenti ai due segni, hanno in
comune solo il punto di fase di coordinate (x∗, 0).
• Si noti che questo è un punto fisso, essendo un punto di equilibrio,
e quando viene assegnato come condizione iniziale esso coincide con la
traiettoria di fase (quiete).
→ La tangente
alla curva di livello nella cuspide è indeterminata, come si vede esaminando
la (15)
e l’indeterminazione
curve separatrici.
0
0
si elimina con le stesso metodo utilizzatato per le
I calcoli sono gli stessi, ma ora V 00(x∗) = 0 e quindi le due tangenti sono
coincidenti tra loro e con l’asse delle ascisse:
0
y±
v
u
u
u
u
t
V 00(x∗)
=± −
=0
a(x∗)
• Nella cuspide la tangente è doppia e orizzontale •
Conglobando i risultati relativi a tutti gli intervalli dell’energia meccanica
otteniamo il diagramma di fase nell’intorno di un punto di flesso dell’energia
potenziale (punto di equilibrio instabile).
y
O
x
Fig. 18 - Cuspide instabile corrispondente ad un flesso ascendente di V (x)
Qualora si consideri un flesso discendente il diagramma diviene simmetrico
rispetto all’asse delle y.
y
x
O
Fig. 19 - Cuspide instabile corrispondente ad un flesso discendente di V (x)
v) V (x) dotata di massimi e minimi alternati
Basandosi sui risultati prececenti è possibile
−→ trattare casi più complicati in cui massimi e minimi e flessi di V (x)
si combinano fra loro.
Bisogna, in ogni caso, considerare separatamente gli intervalli dell’energia
meccanica totale determinati dai valori che l’energia potenziale assume in
corrispondenza dei massimi, dei minimi e dei flessi.
I grafici illustrano i casi di un massimo compreso fra due minimi e di un
minimo compreso fra due massimi.
• Si noti che quando sono presenti più punti di sella si hanno
tante curve separatrici distinte quanti sono i massimi di V (x) distinti.
y
x
Fig. 20 - Diagramma di fase con due centri stabili e un punto di sella instabile alternati
y
x
Fig. 21 - Diagramma di fase con due punti di sella instabili e un centro stabile alternati
Diagramma di fase del pendolo semplice
Il pendolo semplice è caratterizzato dall’energia potenziale:
V (ϑ) = − m g `cos ϑ
E l’integrale primo dell’energia è dato da:
1
m `2 ϑ̇2 − m g `cos ϑ = E
2
Le variabili che caratterizzano lo stato del pendolo sono allora x = ϑ, y =
ϑ̇. Di conseguenza l’equazione delle curve di livello dell’energia si ottengono
trascrivendo l’integrale primo dell’energia in termini di queste variabili:
1
m `2 y 2 − m g `cos x = E
2
Esplicitando y si ha:
v
u
u
u
t
y=±
2
(E + m g ` cos x)
m `2
essendo a(x) = m `2.
→ I punti fissi
sono dati dall’annullarsi della derivata prima dell’energia potenziale e sono
alternativamente punti di massimo (punti di sella instabili) e punti di minimo
(centri stabili). Infatti abbiamo:
V 0(x) = m g` sen x,
V 00(x) = m g` cos x
V 0(x) si annulla per x = k π, k = 0, ±1, ±2 · · ·.
V 00(k π) = (−1)k m g`
Seguono i seguenti risultati:
x = 2 k π,
x = (2 k + 1) π,
V2k∗ = − m g `
minimi (centri stabili)
∗
V2k+1
= mg`
massimi (selle instabili)
• I valori dei massimi di V (x) sono tutti uguali, per cui le due curve
separatrici sono comuni a tutti punti di sella.
→ L’equazione delle curve separatrici
si otteniene imponendo all’energia meccanica totale il valore del massimo
dell’energia potenziale m g `. Abbiamo perciò:
v
u
u
u
t
u
x
2g
ug
(1 + cos x) = ± 2t cos
y=±
`
2
`
v
y
x
Fig. 22 - Diagramma di fase del pendolo semplice
Si osserva come, nell’introno di un centro stabile, per esempio l’origine
del piano delle fasi, le curve di livello si approssimano a delle ellissi, cioè
alle curve di livello di un oscillatore armonico semplice. Infatti, nel caso di
piccole oscilazioni nell’intorno della posizione di equilibrio stabile, le equazioni
del moto del pendolo si approssimano come è noto, alle equazioni di un
oscillatore armonico semplice di frequenza:e
ω=
v
u
u
t
g
`
e le relative curve di livello, in questa approssimazione, hanno equazione:
x2 y 2
+
= 1,
a2 b 2
a2 =
2 (E + m g `)
,
mg`
***
b2 =
2 (E + m g `)
m `2
