T - Canoa Club San Donà

FISICA GENERALE I
Francesco Pederiva
Martedì 8.45 – 10.45
Giovedì 8.45 – 10.45 (+ 11.00 – 12.00)
Argomenti del corso
• Elementi introduttivi (imparare il linguaggio della fisica)
• Cinematica del punto materiale (come descrivere il moto di un corpo
per mezzo di oggetti matematici)
• Dinamica del punto materiale (perché gli oggetti si muovono?
Possiamo stabilire delle relazioni di causa-effetto?)
• Moti relativi (ma le leggi fisiche sono uguali dappertutto…?)
• Dinamica dei sistemi (se gli oggetti sono tanti che succede?)
• Dinamica del corpo rigido (e se gli oggetti sono uniti fra loro o estesi?)
• Termodinamica
Cosa è la fisica?
•La fisica è una scienza sperimentale : le leggi fisiche si basano
sempre sull’ osservazione (= misura) dei fenomeni naturali.
•Una buona legge fisica ci permette di fare delle previsioni su
osservazioni future.
•Possiamo elaborare le leggi conosciute per ricavarne altre e
confrontarle con l’ osservazione sperimentale.
Misure
Per descrivere una grandezza fisica abbiamo bisogno di tre
ingredienti:
1. Un’ unita’ di misura per la grandezza;
2. Un campione dell’ unita’ di misura;
3. Un procedimento per confrontare la grandezza con l’ unita’
prescelta .
Grandezze fondamentali
SISTEMA INTERNAZIONALE
Grandezza
Nome
Simbolo
Lunghezza
metro
m
Massa
kilogrammo
Kg
Tempo
secondo
s
Grandezze derivate
Tutte le altre grandezze.
Es: watt (unita’ di misura di potenza) ; simbolo: W
1 watt = 1Kg x m2/s3 [m][l2][t-3]
• Le unita’ di misura sono importanti, e vanno sempre
specificate
• Relazioni fra grandezze fisiche devono essere omogenee
[l][t-1]=[l][t-2] : ERRORE!!!
• Importanza dell’ analisi dimensionale
Notazione Scientifica
Per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli utilizziamo potenze di 10
invece di scrivere il numero per intero:
Es:
302,934,000,000 = 3.02934 x 100,000,00,000 = 3.029340 x 1011
0.000112354 = 1.12354 x 0.000000001 = 1.12354 x 10-9
Prefissi
109
106
103
102
giga
mega
kilo
etto
G
M
K
h
10-9
10-6
10-3
10-2
nano
micro
milli
centi
n
µ
m
c
Conversione di unita’
A volte e’ indispensabile convertire le unita’ di misura da un
sistema all’ altro prima di poterle utilzzare in una relazione
(ricordate le “equivalenze” delle elementari?)
Esempi:
15 min = ? s
1 min = 60 s ⇒ 15 min = 15 x 60 s = 900 s
10 Km/h = ? m/s
1 Km/h = 1000 m/3600 s = 0.278 m/s
10 Km/h = 10 x 0.278 m/s = 2.78 m/s
Fattore di
conversione
Cifre significative
L’ accuratezza di una misura e’ sempre limitata da fattori intrinseci (sensibilita’
dello strumento) o esterni (rumore, eventi incontrollabili). Il risultato di una
misura e’ sempre un numero con un “errore”:
(12.0458 ± 0.0002) m
Cifre
significative
Errore
In fisica non ha mai senso riportare un numero elevato di cifre decimali:
Nessun risultato finale puo’ avere piu’ cifre significative di quante ne
avessero I dati originari da cui e’ stato ricavato.
Lunghezze
METRO : lunghezza che la luce percorre in un intervallo di
tempo pari a 1/299792458 secondi.
Si assume qui che la velocita’ della luce sia una costante
universale (c = 299792458 m/s)
•
Distanza dell’ oggetto celeste piu’ lontano osservato 2x1026m
•
Stella piu’ vicina
4x1016m
•
Raggio della Terra
6x106m
•
Lunghezza tipica di un virus
1x10-8m
•
Raggio dell’ atomo di H
5x10-11m
Tempi
SECONDO : tempo necessario per la luce di una
determinata lunghezza’ d’onda emessa da un atomo di Cs
per compiere 9192631770 oscillazioni.
•
Eta’ dell’ universo
5x1017s
•
Durata media della vita umana
2x109s
•
Durata di un giorno
9x104s
•
Intervallo minimo fra due impulsi sensoriali distinguibili
1x10-1s
•
Vita media della particella piu’ instabile
1x10-23m
Masse
KILOGRAMMO : 6.0221366x1026 volte la massa della
dodicesima parte della massa dell’ atomo di 12C.
•
Massa stimata dell’ universo
1x1053Kg
•
Massa del sole
2x1030Kg
•
Furgone
2x103Kg
•
Granello di polvere
7x10-10Kg
•
Elettrone
9x10-31Kg
Vettori e scalari
Nello studio della meccanica si incontrano due principali
categorie di grandezze: scalari e vettori.
Cosa distingue queste quantita’?
“Domenica sono andato in bicicletta per due ore…”
L’ informazione sul tempo e’ completa?
Il tempo e’ un esempio di quantita’ scalare: e’ sufficiente un
numero e la rispettiva unita’ per caratterizzarlo completamente.
Vettori e scalari
Altri esempi di quantita’ scalari:
• massa
• energia
• lavoro
• potenza
• temperatura assoluta
Vettori e scalari
Esistono quantita’ piu’ complesse, che non possono essere
descritte in termini di un numero:
“Domenica ho fatto venti chilometri in bicicletta…”
L’ informazione sul mio spostamento e’completa?
“Domenica ho fatto venti chilometri in bicicletta lungo la
Val d’ Adige…” ⇒ ho aggiunto informazione sulla mia
direzione
“Domenica ho fatto venti chilometri in bicicletta lungo la
Val d’ Adige verso Trento” ⇒ questo dato completa l’
informazione sul mio spostamento.
Vettori e scalari
Un vettore puo’ essere rappresentato da una freccia
y
B
La punta della freccia
indica il verso
La lunghezza della freccia
indica il modulo
A
La retta su cui giace la
freccia indica la direzione
x
Vettori e scalari
Come indichiamo un vettore ?
•
Con una lettera in grassetto : a
•
Con una lettera e una freccia : a
•
Con gli estremi e una freccia : AB
ATTENZIONE! Un vettore va sempre contraddistinto da un
simbolo “speciale”. Il simbolo a riferito al vettore a indica il
modulo del vettore
Vettori e scalari
Il vettore puo’ essere individuato anche tramite le sue
componenti lungo un sistema di assi cartesiani
y
B
a = a 2x + a 2y
ax
Anche l’ angolo θ puo’ essere espresso
in funzione delle componenti:
a
θ
A
Il modulo del vettore puo’ essere espresso
in funzione delle componenti:
tan θ =
ay
x
ay
ax
Versori
Esistono dei vettori speciali, detti versori, che possono essere
utilizzati per caratterizzare tutti gli altri vettori. I versori hanno
queste caratteristiche:
z
• Hanno modulo 1;
k
• Sono diretti lungo gli assi cartesiani;
y
j
i
• Indicano il verso positivo degli assi cartesiani.
Un qualunque vettore puo’ essere espresso per mezzo delle sue
componenti e dei versori i, j e k .
a = a xi + a y j + a zk
x
Operazioni con vettori
Somma di vettori
b
a+b
a
Regola del parallelogrammo
Operazioni con vettori
Differenza di vettori
a-b
a
a
-a
Il segno – davanti a un vettore ne
mantiene direzione e modulo, e
ne inverte il verso
b
Operazioni con vettori
Somma per componenti
a = a xi + a y j + a zk
b = b x i + b y j + bz k
a + b = (a x + b x )i + (a y + b y ) j + (a z + b z )k
Le componenti della somma di due vettori sono uguali alla
somma delle rispettive componenti dei vettori addendi.
Operazioni con vettori
Prodotto di un vettore per uno scalare
ca = ca x i + ca y j + ca z k
a
2a
Per moltiplicare un vettore per
uno scalare c si moltiplica per c
ciascuna componente
Operazioni con vettori
Esercizio
Dati i vettori :
a = 4.2mi − 1.6mj
b = −1.6mi + 2.9mj
c = −3.7mj
trovare il vettore r che rappresenta la somma di a, b e c.
I tre vettori hanno componenti solo nel piano xy. Possiamo quindi calcolare le sue
componenti di r :
rx = a x + bx + cx = ( 4.2 − 1.6 + 0)m = 2.6m
ry = a y + by + c y = ( −1.6 + 2.9 − 3.7)m = −2.4m
r = 2.6mi − 2.4mj
Posizione e spostamento
Supponiamo di voler studiare il moto di un oggetto di dimensioni molto
piccole, assimilabile a un punto (parleremo di punto materiale).
Abbiamo innanzitutto bisogno di conoscerne la posizione. Questo puo’
essere fatto solo fissando un sistema di riferimento opportuno.
r = xi + yj + zk
z
P
r
O
y
x
x, y e z sono le componenti scalari
del vettore posizione del punto P
Posizione e spostamento
Durante il moto del punto materiale il vettore posizione cambia con il tempo e
punta sempre dall’ origine verso la posizione dell’ oggetto.
Consideriamo il vettore posizione a un dato tempo t1 e ad un tempo
successivo t2
∆ r = [ x ( t 2 ) − x ( t1 )] i +
z
∆r
+ [ y ( t 2 ) − y ( t1 )] j +
P
r(t1)
+ [ z ( t 2 ) − z ( t1 )] k
r(t2)
O
y
x
∆r = r(t2)-r(t1) e’ lo spostamento
del punto P nell’ intervallo di
tempo t2-t1
Velocita’ media
Definiamo velocita’ media del punto materiale P il rapporto fra lo spostamento
compiuto in un intervallo di tempo ∆t = t2-t1, e l’ intervallo di tempo stesso
Siccome il prodotto di un vettore per uno scalare e’ ancora un vettore, la
velocita’ media e’ un vettore che ha la stessa direzione e verso dello
spostamento
∆ r ∆x
∆y
∆z
v =
=
i+
j+
k
∆t ∆t
∆t
∆t
L’ unita’ di misura SI e’ il m/s
Velocita’ istantanea
Definiamo velocita’ istantanea del punto materiale P il rapporto fra lo
spostamento compiuto in un intervallo di tempo ∆t = t2-t1, e l’ intervallo di
tempo stesso quando l’ intervallo di tempo ∆t → 0
La velocita’ istantanea si scrive sotto forma di derivata del vettore posizione
rispetto al tempo:
∆r dr (t )
(
)
v t = lim
=
∆t → 0
∆t
dt
Le componenti del vettore velocita’ istantanea (che da ora in poi
chiameremo solo “ velocita’”) sono le derivate delle componenti di v
dx (t )
dy (t )
dz (t )
v (t ) =
i+
j+
k = v x (t )i + v y (t )j + v z (t )k
dt
dt
dt
Velocita’ istantanea
Come e’ diretta, e che verso ha la velocita’ istantanea di un punto materiale P?
v
y
r1
r2
∆r/ ∆t
∆r/ ∆t
1
r2
x
Se diminuiamo l’ intervallo di tempo
∆t la direzione della velocita’ media
si avvicina sempre piu’ alla tangente
alla curva nella posizione r1.
Il verso della velocita’ e’ concorde
al verso dello spostamento
infinitesimo.
Accelerazione
Un’ altra quantita’ fondamentale per lo studio del moto di un punto materiale e’
l’ accelerazione. L’ accelerazione media e’ data dalla variazione del vettore
velocita’ in un intervallo di tempo ∆t:
v (t 2 ) − v (t1 )
a =
∆t
Analogamente, l’accelerazione istantanea e’ la derivata della velocita’
rispetto al tempo (e di conseguenza la derivata seconda della posizione
rispetto al tempo)
d v (t ) d 2 r (t )
a (t ) =
=
dt
dt 2
L’ unita’ di misura SI e’ il m/s2
Legge oraria
Riassumendo, possiamo descrivere il moto di un punto materiale per mezzo del
vettore posizione in funzione del tempo: questa e’ detta LEGGE ORARIA del
moto.
ESEMPIO
x (t ) = (− 0.3t 2 + 7.2t + 2.8) m
y (t ) = (0.22t − 9.1t + 28) m
2
v x (t ) = (− 0.6t + 7.2 ) m/s
v y (t ) = (0.44t − 9.1) m/s
a x (t ) = −0.6m/s2
a y (t ) = 0.44m/s2
⇒ r(t)
⇒ v(t)
⇒ a(t)
Esercizio
Per ciascuna delle seguenti leggi orarie
⎧ x (t ) = −3t 2 + 4t − 2
⎨
2
(
)
=
− 4t
y
t
6
t
⎩
⎧ x (t ) = −3t 2 − 4t
⎨
2
(
)
=
−
+6
y
t
5
t
⎩
r (t ) = 2t 2i − ( 4t + 3) j
r (t ) = (4t 3 − 2t )i + 3j
determinare se le componenti x e y dell’ accelerazione sono costanti e se l’
accelerazione e’ costante.
Moti unidimensionali
Un caso particolare si ha quando il moto avviene lungo una retta. In questo
caso possiamo sempre scegliere un sistema di riferimento con un asse
coincidente con la direzione del moto. Tutte le quantita’ vettoriali si riducono
quindi ad una sola componente.
Il caso piu’ semplice di moto unidimensionale e’ il moto rettilineo unforme,
in cui il punto materiale ha velocita’ costante. In questo caso velocita’
istantanea e velocita’ media coincidono:
P
P
P
P
P
∆x
P
P
P
P
x
∆x
v = vxi =
i
∆t
∆x = v x ∆t
∆t = ∆x / v x
Moti unidimensionali
Diamo un’ interpretazione grafica dell’ espressione per lo spazio percorso in
funzione di ∆t:
vx
∆t
∆t
t
Lo spazio percorso ∆x e’ pari all’ area sottesa dalla curva che esprime la
velocita’ in funzione del tempo (in questo caso una retta parallela all’ asse t)
Moti unidimensionali
Un altro caso notevole di moto unidimensionale e’ il moto uniformemente
accelerato, in cui l’accelerazione e’ costante.
∆x
In questo caso accelerazione
istantanea e accelerazione media
coincidono.
x
∆v x
a = axi =
i
∆t
∆v x = a x ∆t
∆t = ∆v x / a x
Moti unidimensionali
Seguendo l’ interpretazione grafica della formula per lo spazio percorso usata
per il moto rettilineo uniforme, calcoliamo lo spazio percorso dal punto
materiale nell’ intervallo di tempo ∆t:
vx
∆vx
v0
∆t
t
1
∆x = ∆v x ∆t + v0 ∆t
2
1
2
= a x ∆t + v0 ∆t
2
Moti unidimensionali
In generale e’ possibile invertire l’ operazione di derivazione che ci permette di
trovare velocita’ e accelerazione a partire dalla legge oraria. L’ operazione
inversa della derivazione e’ l’ integrazione:
t2
v x (t 2 ) = ∫ a x (t )dt + v0
t1
t2
x(t 2 ) = ∫ v x (t )dt + v0 (t 2 − t1 ) + x0
t1
Le quantita’ v0 e x0 sono le
“condizioni iniziali” del moto, e
sono necessarie per determinare
completamente la legge oraria.
Moti unidimensionali
Un caso particolare di moto uniformemente accelerato e’ quello di un oggetto
pesante che cade in prossimita’ della superficie terrestre. In questo caso
sappiamo dagli esperimenti che l’ accelerazione (che chiameremo g) e’ sempre
rivolta verso la superficie terrestre (direzione e verso costanti), e il suo modulo
e’ pure con buona approssimazione costante (g=9.81m/s2)
1 2⎞
⎛
y (t ) = ⎜ h0 − gt ⎟ j
2
⎝
⎠
v (t ) = − gtj
y
g
Posizione e velocita’ di un oggetto
in caduta libera da altezza h0.
Quale e’ la relazione fra velocita’
finale e altezza?
v
= 2 gh
suolo
0
Moti bidimensionali
Abbiamo visto in precedenza che per descrivere il moto di un corpo nello
spazio possiamo usare il vettore posizione le cui componenti sono:
r (t ) = x (t )i + y (t ) j + z (t )k
Se possiamo trovare un sistema di coordinate tal per cui solo due delle
componenti variano rispetto al tempo, il moto si svolge su un piano e
possiamo parlare quindi di moto bidimensionale. In questo caso la legge
oraria potra’ essere scritta nella forma:
r (t ) = x (t )i + y (t ) j
Moto del proiettile
Uno degli esempi piu’ noti di moto in due dimensioni e’ quello del moto del
proiettile (dove per proiettile intendiamo un qualunque oggetto lanciato con una
certa velocita’ iniziale e che subisca poi l’effetto della gravita’).
Assunzioni:
• il proiettile puo’ essere approssimato con un punto materiale
• la resistenza dell’ aria non ha nessun effetto sul moto.
Moto del proiettile
La velocita’ iniziale ha due componenti (possiamo sempre trovare un sistema di
riferimento tale per cui il moto si svolge in un piano)
v0 = v i + v j
x
0
y
0
In generale e’ noto l’ angolo θ0 formato dal vettore v rispetto al verso positivo
dell’ asse x. Da questo e dal modulo della velocita’ iniziale si possono
ricavare le componenti del vettore:
v = v0 cos θ0
x
0
y
vy
vo
θo
vx
x
v = v0 sin θ0
y
0
Moto del proiettile
Dobbiamo ora procedere con un’ulteriore assunzione (che e’ giustificata in base
all’ esperienza e ai risultati sperimentali):
Nel moto del proiettile le componenti orizzontale (lungo l’asse x)
e verticale (lungo l’asse y) sono indipendenti fra loro.
Attenzione che questa condizione non e’ generale, ma si applica al caso che
stiamo studiando!
Moto del proiettile
Moto orizzontale
Lungo la componente orizzontale del moto non vi e’ alcuna accelerazione. Il moto
e’ pertanto rettilineo uniforme con velocita’ vx
Se x0 e’ la componente orizzontale della posizione iniziale (a t=0), la coordinata
x del punto materiale al tempo t sara’ data da:
x(t ) = x0 + v t
x
0
x(t ) = x0 + v0 cos θ0t
Moto del proiettile
Moto verticale
Lungo la componente verticale il moto e’ uniformemente accelerato con
accelerazione pari a g.
Seguendo lo schema della lezione precedente, ci calcoliamo la velocita’
in direzione y:
v y (t ) = v0y − gt ⇒ v y (t ) = v0 sin θ0 − gt
Infine, se y0 e’ la componente verticale della posizione iniziale (a t=0), la
coordinata y del punto materiale al tempo t sara’ data da:
1 2
y (t ) = y0 + (v0 sin θ0 )t − gt
2
Moto del proiettile
Traiettoria
La traiettoria di un punto materiale e’ data dall’ insieme delle posizioni
successive occupate dal punto. Essa viene scritta come una curva y(x),
ovvero come una relazione fra le coordinate del punto materiale ad ogni
istante.
Per ricavare la traiettoria nel caso del proiettile, possiamo prima invertire
la legge oraria per la componente x
x (t ) − x0 x (t ) − x0
=
t=
x
v0
v0 cos θ0
e inserirla nell’ espressione della legge oraria per la componente y
( x − x0 ) 1 ⎡ ( x − x0 ) ⎤
y ( x ) = y0 + (v0 sin θ0 )
− g⎢
v0 cos θ0 2 ⎣ v0 cos θ0 ⎥⎦
2
Moto del proiettile
Traiettoria
La traiettoria del nostro proiettile e’ quindi una parabola, la cui equazione
e’ la seguente:
g
2
y ( x ) = y0 + tan θ0 ( x − x0 ) −
(
x
−
x
)
0
2( v0 cos θ0 ) 2
y
vx
vy
vx
vx
vy
vx
vy
vy
vx
x
Moto del proiettile
Punto di massima altezza
Calcoliamo ora le coordinate del punto di altezza massima raggiunto dal proiettile. Per fare
cio’ notiamo che esso coincide con il punto in cui la componente lungo y della velocita’ e’
nulla:
v (t ) = v0 sin θ0 − gt = 0 ⇒ tmax =
v0 sin θ0
g
e inserendo tmax nella legge oraria otteniamo le coordinate cercate:
v0 cos θ0 v0 sin θ0 v02 sin 2θ0
xmax = x0 + v0 cos θ0t max = x0 +
=
g
2g
1 2
ymax = y0 + v0 sin θ0t max − gt max
=
2
2
v sin θ0 1 ⎡ v0 sin θ0 ⎤
= y0 +
− g⎢
⎥ =
2 ⎣ g ⎦
g
v02 sin 2 θ0
= y0 +
2g
2
0
2
Moto del proiettile
Gittata
Calcoliamo infine la gittata del proiettile, ovvero la distanza alla quale il proiettile ripassa
per la quota di lancio. Per fare questo usiamo l’ equazione della traiettoria, e imponiamo
che la quota y(x) sia pari a y0
y ( x ) = y0 + tan θ0 ( x − x0 ) −
g
2
(
x
x
)
−
= y0
0
2
2( v0 cos θ0 )
Ovvero:
tan θ0 ( x − x0 ) −
g
( x − x0 ) 2 = 0
2
2( v0 cos θ0 )
Moto del proiettile
Gittata
L’ equazione precedente ha due soluzioni:
x − x0 = 0 ⇒ x = x0
2( v0 cos θ0 ) 2
=
x − x0 = tan θ0
g
2
2
2v cos θ0 sin θ0 v0 sin 2θ0
= 0
=
g
g
y
x
Moto relativo
Supponiamo di trovarci su un carrello che si muove con velocita’ v=vxi e
di lanciare una pallina verticalmente verso l’ alto con velocita’ vp=vyj.
La traiettoria che noi osserviamo per la pallina e’ rettilinea:
SISTEMA DEL CARRELLO
y’
O’
g
vp
vx
x’
Moto relativo
La velocita’ osservata nel sistema del laboratorio e’ la somma vettoriale
della velocita’ osservata nel sistema di riferimento mobile e la velocita’
del sistema di riferimento mobile
SISTEMA DEL LABORATORIO
y
g
vp
O
vx
x
Moto relativo
Esiste un modo di dimostrare questa proprieta’. Consideriamo due sistemi
di riferimento xOy e x’O’y’. Come esprimiamo la posizione di un punto
P in uno dei sistemi di riferimento data la posizione nell’ altro?
r (t ) = r' (t ) + rOO' (t )
P
y’
r' (t ) = r (t ) − rOO' (t )
y
r’(t)
r(t)
Questo e’ un esempio di
trasformazione di coordinate
fra due sistemi di riferimento.
O’
x’
roo’(t)
O
x
Moto relativo
Possiamo derivare le leggi che mi danno le trasformazioni delle coordinate
per ricavare delle relazioni tra le velocita’:
dr (t ) dr' (t ) drOO' (t )
=
+
⇒ v(t ) = v' (t ) + V (t )
dt
dt
dt
In particolare se il moto relativo dei due sistemi di riferimento e’ rettilineo
uniforme avremo:
rOO' (t ) = rOO' (0) + Vt
e quindi
v(t ) = v' (t ) + V
Moti circolari
Consideriamo ora un altro caso di moto in due dimensioni, ovvero quello di un
punto materiale vincolato a muoversi su una traiettoria circolare di raggio R.
r(t ) = R(cosθ (t )i + sin θ (t ) j)
y
r(t)
R
y(t)/R
θ(t)
θr(t)
(t)
θ(t)
O
0
1
2
x(t)/R
3
4
1.5
1
x
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
Anche in questo casoil moto puo’ essere visto
come la somma di due moti oscillatori
Moti circolari
Poiche’ il modulo del vettore posizione rimane costante ed eguale ad R, per
descrivere il nostro moto e’ sufficiente usare come variabile l’ angolo formato dal
vettore posizione con uno dei due assi (per es. l’asse x). Considereremo come
verso positivo dell’ angolo il verso antiorario.
Come calcoliamo la velocita’ del punto? Deriviamo la legge oraria
dx (t )
dy (t )
v (t ) =
i+
j=
dt
dt
dθ (t )
⎤
⎡ dθ (t )
= R ⎢−
sin θ (t )i +
cos θ (t ) j⎥
dt
⎦
⎣ dt
Moti circolari
La quantita’ dθ(t)/dt e’ detta velocita’ angolare.
angolare E’ definita analogamente alla
velocita’ come:
ω(t ) ≡
dθ (t )
θ (t + ∆t ) − θ (t )
= lim
∆t →0
dt
∆t
Quali sono le unita’ di misura della velocita’
angolare?
y
∆θ
O
x
Se per misurare gli angoli usiamo il radiante
(rapporto fra la lunghezza dell’ arco di
circonferenza sotteso dall’ angolo e il raggio
della circonferenza stessa), l’unita’ di
misura diventa radianti/secondo (rad/sec)
Moti circolari
La velocita’ angolare puo’ anche essre descritta da un vettore la cui direzione e’
perpendicolare al moto,
moto il modulo e’ uguale a ω, e il verso e’ quello piedi-testa di
un osservatore che vede il moto avvenire in senso antiorario.
antiorario
Per il verso esistono criteri equivalenti (ad es. quello la vite destrorsa)
z
y
ω(t)
r(t)
O
x
Moti circolari
Quale e’ la relazione fra la velocita’ angolare e la velocita’ del punto materiale?
Consideriamo per ora il modulo della velocita’:
v (t ) =
[
]
R 2 ω 2 ( t ) sin 2 θ(t) + cos 2 θ(t) = Rω( t )
Che possiamo anche scrivere come:
ω(t ) = v (t ) / R
In un moto circolare il modulo della velocita’ angolare e’ dato
dal rapporto fra il modulo della velocita’ e il raggio della
circonferenza su cui si svolge il moto.
Moti circolari
La velocita’ del punto materiale deve essere sempre tangente alla traiettoria (per
questo si parla anche di velocita’ tangenziale). Dal punto di vista vettoriale esiste
pertanto una relazione speciale fra i tre vettori posizione, velocita’, e velocita’
angolare.
Dobbiamo introdurre una nuova operazione
fra vettori: il prodotto vettoriale. La
velocita’del punto materiale e’ il risultato di
questa operazione:
z
ω(t)
v(t)
y
v(t ) = ω(t ) × r (t )
r(t)
O
x
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale e’ un’ operazione fra vettori che ha come risultato un altro
vettore. L’ operazione si indica con un simbolo × oppure ∧ fra i due vettori.
Il modulo del prodotto vettoriale di due
vettori a e b e’ dato da
| a × b |= ab sin(θ )
a×b
b
O
θ
a
che e’ il valore dell’ area del parallelogramma di
lati a e b
Prodotto vettoriale
Pollice
La direzione del prodotto vettoriale e’ perpendicolare al piano che contiene I due
vettori a e b
O
Il verso del prodotto vettoriale e’ il verso pieditesta di un osservatore che veda il primo vettore
ruotare sul secondo in senso antiorario.
antiorario
a×b
io
Med
b
θ
Indic
e
a
ATTENZIONE:
Anche qui ci sono regole equivalenti (come la
regola della mano destra illustrata qui a fianco)
a × b = −b × a
Moti circolari
Nel moto circolare velocita’ angolare e vettore posizione sono sempre ortogonali
tra loro, quindi avremo che:
v (t ) =| ω(t ) × r (t ) |= ω(t )r (t ) sin 90ο = ω(t ) R
che e’ esattamente il risultato visto in precedenza. Le regole del prodotto
vettoriale ci permettono di trovare automaticamente direzione e verso corretti
per la velocita’.
Moti circolari
Ci chiediamo ora quale sia l’ accelerazione sentita dal punto in un moto circolare.
Vogliamo quindi derivare la velocita’. Possiamo fare questo usando la relazione
vettoriale, e ricordandoci che il prodotto vettoriale si comporta dal punto di vista
delle derivate come un prodotto normale fra scalari.
dv (t ) d
dω(t )
dr (t )
a( t ) =
= (ω(t ) × r (t ) ) =
× r (t ) + ω(t ) ×
dt
dt
dt
dt
Dobbiamo anche ricordarci del fatto che il vettore posizione dipende dal tempo
solo tramite l’ angolo
r(t ) = R(cosθ (t )i + sin θ (t ) j)
Moti circolari
Chiameremo accelerazione angolare la derivata seconda dell’ angolo θ(t) rispetto
al tempo, e la indicheremo con un vettore α(t), anche esso perpendicolare al piano
su cui si svolge il moto, e il cui verso e’ positivo se la velocita’ angolare cresce,
negativo se la velocita’ angolare decresce. Potremo percio’ riscrivere la nostra
formula per l’ accelerazione come:
a ( t ) = α ( t ) × r ( t ) + ω( t ) × v ( t )
Ricordandoci anche della relazione vettoriale fra la velocita’ angolare, la posizione
e la velocita’ otterremo l’ espressione equivalente:
a(t ) = α(t ) × r (t ) + ω(t ) × [ω(t ) × r (t )]
Moti circolari
Vediamo quindi che l’ accelerazione e’ composta da due termini differenti:
Il primo e’ detto accelerazione tangenziale,
tangenziale ed ha la stessa direzione della velocita’
tangenziale
aT ( t ) = α ( t ) × r ( t )
z
ω(t)
aT(t) y
r(t)
O
x
Moti circolari
Il secondo termine e’ il prodotto vettoriale della velocita’ angolare e della
velocita’ tangenziale. Deve essere quindi perpendicolare a entrambi: l’ unica
direzione possibile e’ quella radiale;
radiale dalla regola del prodotto vettoriale il verso e’
dalla circonferenza verso il centro. Questa componente si chiama accelerazione
centripeta.
centripeta
a c (t ) = ω(t ) × v (t ) = ω(t ) × [ω(t ) × r (t )]
z
y
ω(t)
r(t)
ac(t)
O
x
x
Moti circolari
Quanto vale il modulo dell’ accelerazione centripeta? Ricordiamo che velocita’
angolare e velocita’ tangenziale sono perpendicolari fra loro. Il modulo del
prodotto vettoriale vale quindi:
ac (t ) = ω(t )v (t ) sin 90ο = ω(t )v (t )
oppure, equivalentemente:
ac (t ) = ω(t )v (t ) = ω(t )[ω(t ) R ] = ω2(t ) R
x
Moto circolare uniforme
Nel moto circolare uniforme la velocita’ angolare e’ costante. Abbiamo quindi
che la velocita’ tangenziale ha modulo costante dato da:
v = ωR
Per quanto riguarda l’accelerazione, il termine tangenziale scompare, mentre
rimane il termine centripeta il cui modulo e’ dato da:
ac = ω2 R
Perche’ l’ accelerazione non e’ nulla anche se il moto e’ uniforme?
x
Moto circolare uniforme
La velocita’ e’ un vettore:
vettore qualunque cambiamento in modulo, accelerazione o
verso origina un’ accelerazione!
v(t+∆t)- v(t)
y
v(t+∆t)
v(t)
x
x
Dinamica del punto
La dinamica del punto materiale si occupa di studiare gli effetti che
l’ applicazione di una forza produce sul moto di un oggetto le cui
dimensioni siano trascurabili.
Da sempre e’ stato evidente che la variazione di stato di quiete o
di moto di un corpo dipende dalle interazioni che esso ha con altri
oggetti o con l’ ambiente esterno.
Nel linguaggio comune ci si riferisce quasi sempre a queste
interazioni come a forze che agiscono sul corpo.
Dinamica del punto
A cavallo fra i secoli XVII e XVIII, Isaac Newton compi’ un’
importante passo nella comprensione dei fenomeni fisici,
stabilendo una relazione che lega l’ accelerazione subita da un
oggetto alle forze che agiscono su di esso.
Questa relazione e’ alla base di tutta la cosidetta “meccanica
newtoniana”, che oggi sappiamo essere un caso limite di teorie
piu’ generali (la meccanica relativistica e la meccanica
quantisitica), ma che e’ utile per descrivere gran parte dei
fenomeni meccanici che avvengono in condizioni “standard”
(ovvero quando non siano implicate velocita’ prossime a quella
della luce e oggetti di massa comparabile o inferiore a quella degli
atomi).
Principi della dinamica
La dinamica newtoniana si fonda su tre principi, che sono
giustificati dall’ esperienza e dal fatto che le loro conseguenze
descrivono propriamente un gran numero di fenomeni. I tre principi
sono i seguenti:
• Principio di inerzia (cosa succede se non ci sono forze agenti su
un corpo)
• Legge di Newton (cosa succede quando su un corpo agisce una
forza)
• Principio di azione e reazione (cosa succede se un corpo esercita
una forza su un altro corpo)
Primo principio della
dinamica
“Un corpo non soggetto a forze mantiene il suo stato di quiete o di
moto rettilineo uniforme”
Questo principio ci dice che lo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme sono
da un certo punto di vista equivalenti. Possiamo anche interpretare questo
principio in termini di sistemi di riferimento:
SE SU UN CORPO NON AGISCONO FORZE IN UN DATO SISTEMA DI
RIFERIMENTO,
L’ACCELERAZIONE
OSSERVATA
DA
UN
QUALUNQUE SISTEMA DI RIFERIMENTO IN QUIETE O IN MOTO
RETTILINEO UNIFORME RISPETTO AL PRIMO E’ SEMPRE NULLA.
NULLA
Sistemi di riferimento
inerziali
Sistemi di riferimento in quiete o che si muovono di moto rettilineo uniforme
rispetto a un sistema in quiete sono detti sistemi di riferimento inerziali .
Esiste solo una classe di trasformazioni di coordinate che trasforma un sistema
inerziale in un altro sistema inerziale, le cosidette trasformazioni galileiane:
v
z’
z
r(t)
r’(t)
y’
x’
O’
y
O
x
r ( t ) = r ' ( t ) + vt
Forze
L’ effetto di una forza e’ quello di imprimere un’ accelerazione ad un oggetto.
Dall’ esperienza possiamo dedurre che le forze possano avere diversa intensita’
(se spingiamo un oggetto piu’ o meno “forte” otteniamo un’ accelerazione
maggiore o minore…). Inoltre l’ accelerazione che noi otteniamo tende ad avere
la stessa direzione della forza (se spingiamo un mobile in avanti, questo in
generale non si sposta di lato…). Lo stesso vale per il verso nel quale
applichiamo la forza.
L’esperienza ci suggerisce che la forza e’ una quantita’ di tipo
vettoriale.
vettoriale
Forze
Un’ altra manifestazione del carattere vettoriale delle forze puo’ essere vista nel
modo in cui le forze si combinano fra loro:
F2
a
F2
a
F1
F1
La somma vettoriale di tutte le forze agenti su un corpo la chiameremo
risultante delle forze e la indicheremo con
∑F
i
i
Massa
L’ esperienza ci dice che se vogliamo imprimere la stessa accelerazione a
oggetti diversi,
diversi l’ intensita’ della forza dovra essere diversa (per trainare un
treno occorre un locomotore, per trainare una slitta basta una persona…).
Normalmente noi associamo all’ intensita’ della forza necessaria per muovere
un certo oggetto la definizione di ”massa”
massa (tanto piu’ l’ oggetto e’ “massiccio”,
piu’ forza mi occorre per spostarlo).
La massa e’ una caratteristica intrinseca del corpo che mette in
relazione la forza applicata con l’ accelerazione che ne risulta
L’ unita’ di misura MKS della massa, come abbiamo gia’ visto, e’ il
kilogrammo (Kg)
Secondo principio della
dinamica
Newton raccolse tutte queste osservazioni in un’ unica legge che lega fra loro la
risultante di tutte e solo le forze esterne (di qualsivoglia natura) agenti su un
corpo, con l’ accelerazione ad esso impressa.
∑F
i
= ma
i
Questa relazione vettoriale puo’ essere anche separata per componenti
∑F
i
x
i
= ma
x
∑F
i
y
i
= ma
y
∑F
i
z
i
= ma
z
Secondo principio della
dinamica
Il secondo principio della dinamica ci suggerisce anche quale siano dimensioni e
unita’ di misura delle forze:
Unita’ di misura
Dimensioni
−2
[ F ] = [m ][l ][t ]
Kg × m
Newton ( N ); 1N = 1
s2
Una forza ha l’ intensita’ di 1N se imprime a un oggetto di massa 1Kg un’
accelerazione di 1m/s2.
Secondo principio della
dinamica
La legge di Newton lega fra loro l’ accelerazione (che e’ definita a partire
dalla legge oraria) e la risultante delle forze, che in generale e’ una funzione
della posizione del corpo, e anche del tempo. Il secondo principio della
dinamica e’ quindi scrivibile come:
d 2r ( t )
∑iFi [r(t ), t ] = m dt 2
Questa e’ un’ equazione differenziale che ha come soluzione la funzione r(t),
(la legge oraria) e che viene detta equazione del moto del punto materiale.
Se sono note le forze agenti su un punto materiale, posso
descriverne completamente il moto (= trovare la legge
oraria) risolvendo le equazioni del moto.
Forze
In natura sono presenti diversi tipi di forze. Tutte possono essere ricondotte a
quattro classi di forze fondamentali:
• Forza gravitazionale (si esercita fra corpi che hanno massa)
• Forze elettromagnetiche (si esercitano tra corpi carichi)
• Forze nucleari deboli (presenti nei nuclei, responsabili del
decadimento β)
• Forze nucleari forti (tengono legati neutroni e protoni nei nuclei)
Forze
Da un punto di vista piu’ pratico, possiamo compilare un
“catalogo” di forze che normalmente agiscono nei sistemi di cui
abbiamo esperienza diretta, e che e’ determinato
sperimentalmente.
Forza gravitazionale
Agisce fra due corpi di massa m1 e m2 lungo la direzione che li
congiunge, e con un verso tale da fare avvicinare i due corpi fra
loro (attrazione):
r2
1
m1
m2
F12
F21
m1m2
F21 = −G 2 rˆ21 = −F12
r21
r21
rˆ21 =
versore di r21
r21
3
m
G : 6.71 × 10-11
Kg ⋅ s2
Forza peso
Nelle vicinanze della superficie terrestre, la forza gravitazionale assume una
forma molto semplice. Infatti la distanza r12 e’ data dal raggio della terra (R⊕=
6.37x106m) piu’ la quota dell’ oggetto rispetto alla superficie terrestre. Come si
puo’ vedere anche quote dell’ ordine di 103 metri sono trascurabili rispetto a R⊕.
Possiamo quindi, con buona approssimazione, pensare che la forza
gravitazionale sia costante, e che sia data da:
r2
1
m1
R⊕
F12
F21
F21 = −G
m⊕
mrˆ21 =
2
R⊕
m3 5.98 × 1024 Kg
= −(6.71 × 10
mrˆ21 = gm
)
2
2
6
Kg ⋅ s (6.37 × 10 m )
11
dove g = −9.81
m
rˆ = e' perpendicolare al suolo
2 21
s
Forza elettrica
Agisce fra due corpi carichi di carica q1 e q2 lungo la direzione
che li congiunge. Il verso e’ determinato dal segno delle due
cariche: oggetti che portano una carica dello stesso segno si
respingono, oggetti ccon carica opposta si attraggono.
r2
1
q1
q2
F12
F21
1 q1q2
F21 =
rˆ21 = − F12
2
4πε0 r21
Forza elastica
E’ la forza che viene esercitata ad esempio da una molla su un oggetto di massa
m.
Fx = −k ( x − x0 )i
x
x0
k : costante elastica [N/m]
x0 : lunghezza a riposo
Fx
Il verso della forza e’ dato
automaticamente dal verso dello
spostamento (se tiriamo la molla,
questa tende ad accorciarsi, e
viceversa)
Reazioni vincolari
Supponiamo di avere un oggetto appoggiato su un piano. L’oggetto non
subisce nessuna accelerazione in direzione perpendicolare al piano.
Tuttavia su di esso agisce la forza peso. Inoltre, anche se noi premiamo
sull’ oggetto dall’ alto verso il basso, entro certi limiti, l’ oggetto non si
muove.
muove
Il II principio mi dice che deve
esistere una forza N tale che
N
Fext
?
mg
N + Fext + mg = 0
Questa forza, detta reazione vincolare,
vincolare
e’ sempre ortogonale al vincolo, e ha
modulo tale da annullare le
componenti delle altre forze ortogonali
al vincolo
Attrito cinematico
radente
Quando cerchiamo di far strisciare un oggetto su una superficie scabra,
incontriamo una resistenza al moto. Questo e’ un caso particolare di forza
di attrito (attrito cinematico radente). L’attrito cinematico radente ha
sempre direzione uguale a quella della velocita’ dell’ oggetto, verso
contrario, e modulo proporzionale alla reazione vincolare normale al piano
su cui si muove l’ oggetto:
Fa = − µd Nvˆ
N
Fa
v
g
Il coefficiente µd e’ detto coefficiente
di attrito dinamico,
dinamico e varia secondo le
caratteristiche delle superfici che
entrano in contatto fra di loro .
Come si risolve un problema
di dinamica: piano inclinato
Vediamo ora alcune applicazioni delle leggi di Newton. Inizieremo da un caso
molto comune: lo studio del moto di un corpo su un piano inclinato. Cercheremo
di individuare alcuni punti fondamentali che possono essere applicati in generale
ad altri problemi di dinamica.
Una cassa di mele di massa m=30Kg viene fatta scivolare lungo
un pianale inclinato di 30º rispetto al suolo. Quanto tempo
impiega la cassa per raggiungere la base del pianale se questo e’
lungo 3m? Con quale velocita’ la cassa raggiunge il suolo, se la
sua velocita’ iniziale e’ nulla?
Comprendere il problema
Il primo passo fondamentale consiste nel leggere attentamente il testo, e cercare
di comprendere quale possa essere la “strategia” per la risoluzione.
Una cassa di mele di massa m=30Kg viene fatta scivolare lungo
un pianale inclinato di 30º rispetto al suolo. Quanto tempo
impiega la cassa per raggiungere la base del pianale se questo e’
lungo 3m? Con quale velocita’ la cassa raggiunge il suolo, se la
velocita’ iniziale e’ nulla ?
In rosso sono marcati i dati del problema (che possono essere tutti
necessari oppure no…), in giallo le quantita’ da determinare.
Individuare le forze
Cerchiamo innanzitutto di capire quali sono le forze agenti sul corpo ricorrendo
per esempio al catalogo descritto nella lezione precedente:
• Forza peso
• Il corpo si muove su un piano, che esercitera’ una reazione
vincolare
Il testo non cita esplicitamente queste forze: sta a noi capire quali
siano le condizioni fisiche del problema, e individuarle
correttamente.
Diagramma delle forze
A questo punto e’ importante disegnare su un grafico la situazione descritta nel
testo e tracciare tutte le forze con direzione e verso corretti (se questo e’
possibile). Iniziamo dalla forza peso:
l=3
m
mg
Diagramma delle forze
Il piano inclinato si comporta come un vincolo per il moto della cassa. Esso
esercitera’ quindi una forza di reazione ortogonale al piano stesso. Il modulo
della reazione vincolare N sara’ tale da compensare la componente della forza
peso ortogonale al piano.
N
l=3
m
mg
Sistema di riferimento
Dobbiamo ora scegliere un sistema di riferimento per mezzo del quale descrivere
il moto della cassa. Intanto notiamo che il moto si svolge tutto in un piano. E’
quindi sufficiente usare una coppia di assi cartesiani xy. Ci sono due scelte
“ovvie” per l’ orientazione degli assi. La prima e’ quella di prendere l’ asse delle
x parallelo al terreno.
y
N
l=3
m
mg
x
Sistema di riferimento
La seconda scelta possibile per gli assi cartesiani e’ di prendere l’ asse x parallelo
al piano inclinato, e l’ asse y ortogonale ad esso.
y
N
l=3
m
mg
x
Sistema di riferimento
Quale delle due scelte e’ la migliore? Notiamo innanzitutto che in entrambi I casi
una delle due forze andra’ scomposta lungo gli assi.
Se pero’ consideriamo il fatto che il piano inclinato agisce da vincolo, possiamo
immediatamente concludere che l’ accelerazione in direzione ortogonale ad esso
sara’ nulla.
Nel sistema di riferimento con gli assi parallelo e perpendicolare al piano
inclinato l’ equazione del moto risultera’ pertanto semplificata. Ci conviene
quindi procedere con la seconda scelta
Equazione del moto
Dobbiamo ora scrivere l’ equazione del moto per la cassa. Nel sistema di
riferimento scelto. Ricordiamoci che questa e’ un’ equazione vettoriale. Il modo
piu’ semplice di procedere e’ quello di scrivere ciascuna componente
separatamente.
⎧ mg sin θ = ma x
∑iFi = ma ⇒ ⎨− mg cos θ + N = ma y
⎩
y
N
l=3
m
Attenzione ai segni delle
componenti delle forze!
mg
x
Equazione del moto
Come gia’ detto in precedenza, l’ accelerazione lungo l’ asse y deve essere nulla
per la presenza del vincolo. Le equazioni del moto pertanto si semplificano in
questo modo:
y
N
⎧ mg sin θ = ma x
∑iFi = ma ⇒ ⎨− mg cos θ + N = 0
⎩
l=3
m
mg
x
Legge oraria
La soluzione dell’ equazione del moto in questo caso e’ molto semplice.
Possiamo innanzitutto notare che ci sono due incognite (il modulo N della
reazione vincolare e l’ accelerazione lungo x, ax.), e due equazioni: abbiamo
quindi dati sufficienti per trovare la soluzione. Si puo’ inoltre notare come in
questo caso le equazioni siano indipendenti l’ una dall’ altra.
La prima equazione ci da’ l’
accelerazione:
y
mg sin θ = ma x
a x = g sin θ
N
l=3
m
La seconda, il modulo della reazione
vincolare:
mg
x
N = mg cos θ
Soluzione
L’ accelerazione ax e’ costante. Il moto lungo il piano inclinato e’ quindi
uniformemente accelerato. Abbiamo gia’ analizzato questo moto in cinematica, e
quindi conosciamo gia’ la legge oraria corrispondente:
1
x (t ) = x0 + v0 (t − t0 ) + a x (t − t0 )2
2
Se scegliamo l’ origine del nostro sistema di assi nel punto di partenza della
cassa, e fissiamo l’ origine dei tempi in t0=0 l’ espressione diventa:
1 2
x (t ) = v0t + a x t
2
Soluzione
Dobbiamo ora considerare la condizione iniziale sulla velocita’: il testo ci dice
che la velocita’ iniziale v0 e’ nulla.
1 2
x (t ) = a x t
2
Ci interessa sapere quanto tempo impiega la cassa a percorrere la lunghezza l
del pianale. La soluzione del nostro problema e’ quindi:
l=
1 2
2l
axt ⇒ t =
=
2
ax
2l
g sin θ
Sostituendo i dati numerici:
t = 2l / g sin θ = 2 ⋅ 3m 9.81 m
s
2
⋅ 0.5 = 1.11s
Soluzione
La velocita’ con la quale la cassa raggiunge il fondo del piano inclinato e’ un
vettore parallelo all’ asse x e con verso positivo. Il modulo puo’ essere calcolato
dalla relazione:
v x (t ) = v0 + a x (t − t0 )
Possiamo ripetere le stesse considerazioni fatte in precedenza per le condizioni
iniziali. Sostituendo l’ espressione per il tempo impiegato per percorrere il
pianale, otteniamo:
v (t ) = a x
2l
2l
= g sin θ
= 2 gl sin θ
g sin θ
g sin θ
Sostituendo i dati numerici:
v = 2 g sin θl = 2 ⋅ 9.81 m s 2 ⋅ 0.5 ⋅ 3m = 5.42 m s
Alcune domande…
•La massa della cassa era un dato necessario per il problema?
•Supponiamo che la cassa invece di scendere lungo il pianale cada liberamente in
direzione verticale dalla stessa altezza. Il tempo impiegato per arrivare al suolo
cambia? La velocita’ con la quale la cassa arriva al suolo cambia?
•Provate a ripetere la soluzione del problema utilizzando il sistema di riferimento
con gli assi parallelo e perpendicolare al suolo. L’ accelerazione trovata e’ la
stessa? Come sono legati i due risultati?
•Se il pianale si trovasse su un carrello che procede con velocita’ costante V
parallela al suolo, come cambia la soluzione?
Funi, carrucole
Funi e carrucole sono dispositivi che permettono di trasmettere l’ azione di una
forza applicata in un dato punto ad un punto diverso. In generale questi dispositivi
hanno caratteristiche e limiti fisici ben definiti. Tuttavia, in molti casi, possiamo
descrivere con buona approssimazione il loro funzionamento facendo alcune
ipotesi.
T
T
F
Funi:
• Parleremo spesso di funi di massa trascurabile e inestensibili. Quest’ ultima
caratteristica implica chese applico una forza a un estremo di una fune tesa,
questa risponde con una forza (tensione) che si trasmette lungo la fune in modo
tale che ogni punto della corda abbia accelerazione nulla relativamente a tutti gli
altri. ⇒ l’ accelerazione degli estremi della corda e’ la stessa.
Funi, carrucole
Carrucole:
• L’ effetto di una carrucola ideale e’ quello di fare cambiare direzione a una forza
che viene trasmessa, per esempio, per mezzo di una fune. L’ approssimazione che
faremo e’ che la carrucola sia priva di massa, e che le sue dimensioni siano
trascurabili (per non includere gli effetti dovuti alla rotazione)
T
T
T
T
F
mg
Piano inclinato e due masse
Su di un piano inclinato di 20° rispetto al suolo e privo di attrito, si trova un
blocco di massa m1=3Kg. Ad esso e’ connesso per mezzo di una fune
inestensibile e di una carrucola di massa trascurabile un altro blocco di massa
m2=2Kg che pende dall’ estremo superiore del piano inclinato. Determinare l’
accelerazione dei due blocchi e la tensione della fune.
m2
m1
Piano inclinato e due masse
In questo caso nel problema abbiamo due masse. La strategia da utilizzare e’
quella di scrivere l’ equazione del moto per ciascuno dei due blocchi, e cercare
poi di combinarle per ottenere le informazioni cercate.
Massa m1
T
N
m1g
Massa m2
x
y
T
m2g
x
• Forza peso
• Forza peso
•Reazione vincolare
•Tensione della fune
•Tensione della fune
Piano inclinato e due masse
Scriviamo ora le equazioni del moto per la massa m1 e per la massa m2.
⎧ m1 g sin θ − T = m1a
∑iFi = m1a ⇒ ⎨− m g cos θ + N = 0
⎩ 1
∑iFi = m2a ⇒ −m2 g + T = m2a
Note:
1.
l’ accelerazione per una delle due masse deve avere verso concorde a
quello della tensione, per l’ altra discorde. Non dobbiamo pero’ fare
alcuna assunzione a priori! Il verso ci verra’ dato dalla soluzione del
problema. Il modulo deve essere lo stesso (la fune e’ inestensibile)
2.
Abbiamo usato due sistemi di riferimento diversi per le due masse.
Questo e’ legittimo purche’ le equazioni ottenute siano consistenti.
Piano inclinato e due masse
Le incognite in questo caso sono tre:
1.
L’ accelerazione;
2.
La reazione vincolare;
3.
La tensione della fune.
Per rispondere al quesito posto dal problema utilizziamo la componente
lungo x dell’ equazione del moto della massa m1 e l’ equazione del moto
per la massa m2 in sistema fra di loro.
Piano inclinato e due masse
⎧m1 g sin θ − T = m1a
⎨
⎩− m2 g + T = m2a
⎧m1 g sin θ − T = m1a
⎨
⎩T = m2a + m2 g
⎧m1 g sin θ − m2a − m2 g = m1a
⎨
⎩T = m2 ( a + g )
⎧− ( m1 + m2 )a = m2 g − m1 g sin θ
⎨
⎩T = m2 ( a + g )
m1 sin θ − m2
⎧
a
g
=
⎪
m1 + m2
⎨
⎪T = m ( a + g )
⎩
2
Nota:
• Il segno di a dipende dal valore delle masse ma anche dall’ angolo
Piano inclinato e due mass
Sostituendo I valori numerici:
m1 sin θ − m2
⎧
⎪a = g
m1 + m2
⎨
⎪T = m ( a + g )
⎩
2
m 3Kg ⋅ 0.342 − 2 Kg
⎧
⎪a = 9.81 s 2
(3 + 2) Kg
⎪
⎨
⎪T = 2 Kg ⋅ ⎛⎜ a + 9.81 m ⎞⎟
2
⎪⎩
s
⎝
⎠
⎧⎪a = −1.91 m 2
s
⎨
⎪⎩T = 15.8 N
Nota:
• la componente dell’ accelerazione
e’ negativa. Questo significa che la
massa m1 e’ trascinata verso l’ alto
dalla massa m2.
a
m2
m1
Piano inclinato e due masse
Alcune domande:
• La massa m1 e’ maggiore della massa m2. Tuttavia e’ la massa m2 a
trascinare la massa m1. Da cosa dipende questo?
• C’e’ un valore dell’ inclinazione del piano tale per cui questa
situazione si inverte?
• Cosa succede se le masse m1 e m2 sono uguali?
• Quale valore deve avere il rapporto m2/m1 perche’ l’ accelerazione sia
nulla? Discutere il risultato in funzione dell’ angolo di inclinazione del
piano.
Attriti
Quando cerchiamo di muovere un oggetto che si trovi a contatto
con una superficie ci accorgiamo che l’ effetto della forza non e’
immediato: se l’ oggetto e’ pesante dobbiamo prima “smuoverlo”
dalla sua posizione originale. Quando poi l’ oggetto si mette in
movimento, l’ esperienza ci insegna che:
• La forza che dobbiamo applicare per mantenere in moto l’oggetto
e’ minore di quella necessaria per smuoverlo;
• Se smettiamo di applicare una forza, l’ oggetto si ferma.
Attriti
Le osservazioni fatte sarebbero in contraddizione con il secondo
principio, a meno che non attribuiamo questi effetti a delle forze
che si generano nel contatto fra l’oggetto da muovere e la
superficie su cui questo e’ appoggiato o il mezzo in cui esso si
muove.
Queste forze che si oppongono al moto di un oggetto si chiamano
ATTRITI.
Ci sono varie forme di attrito, che vengono per lo piu’ individuate
e classificate in base alle diverse situazioni dinamiche in cui si
trova l’ oggetto.
Attrito statico
E’ una forza che si oppone al moto di un oggetto che si trovi in stato di quiete a
contatto con una superficie.
N
F
Fa
mg
In base all’ osservazione fatta in
precedenza, se noi cerchiamo di
smuovere un corpo a contatto con
una superficie dal suo stato di quiete,
dobbiamo applicare una forza di un’
intensita’ “sufficiente”.
Dal momento che l’ accelerazione e’ nulla, il secondo principio della
dinamica ci dice che fino al momento in cui il corpo si smuove, agisce una
forza che bilancia esattamente la forza applicata:
applicata questa e’ la forza di attrito
statico.
Attrito statico
Si puo’ dare una descrizione piu’ quantitativa dell’ attrito statico? Notiamo
innanzitutto che il suo modulo puo’ variare fra zero e un valore massimo
corrispondente al l’ intensita’ della forza necessaria per mettere in moto
l’oggetto.
N
F
Fa
mg
Per quanto riguarda direzione e
verso, questi dovranno essere tali
da compensare la componente
parallela al piano della risultante
delle forze agenti sull’ oggetto.
Dagli esperimenti si puo’ ricavare che il valore massimo che puo’ essere
assunto dalla forza di attrito statico e’ proporzionale alla reazione vincolare
normale al piano su cui si muove il corpo.
Attrito statico
Possiamo dare quindi un’ espressione per il valore limite del modulo della forza
di attrito statico:
Fa = µs N
Il coefficiente adimensionale µs e’ detto coefficiente di attrito statico.
Attrito dinamico
Anche durante il moto di un oggetto abbiamo presenza di forze di attrito. Una di
queste forze la abbiamo gia’ incontrata nel catalogo che abbiamo introdotto, ed
e’ la forza di attrito cinematico radente. La legge che ne determina il modulo e’
molto simile a quella dell’ attrito statico:
Fa = µd N
Il suo modulo tuttavia, al contrario di quanto accade per l’ attrito statico e’ in
buona approssimazione costante.
Attrito viscoso
Esistono situazioni in cui l’ espressione per la forza di attrito non e’ cosi’ semplice come
nel caso dell’ attrito statico o cinematico radente. Consideriamo ad esempio il caso di un
oggetto che cada in aria. Sappiamo tutti che l’ aria oppone una certa resistenza alla
caduta, che pero’ dipende dalle caratteristiche dell’ oggetto. Ad esempio, un piuma cade
molto piu’ lentamente di un pallino di piombo. Lo stesso accade per oggetti che si
muovano un un fluido. Qesto tipo di attrito e’ detto attrito viscoso, e ha una caratteristica
molto importante: il suo modulo,direzione e verso dipendono dalla velocita’ con cui si
muove l’ oggetto:
Fv = − γv
Il coefficiente γ dipende da molti fattori, tra i quali la viscosita’ del fluido in
cui l’ oggetto si muove, e le sue caratteristiche geometriche
Caduta nell’ aria
Vogliamo ora studiare il moto di un oggetto che cada in aria, e quindi in presenza di
attrito viscoso. Dobbiamo innanzitutto scrivere le equazioni del moto, che possono
essereridotte a una singola componente (il moto avviene lungo una retta).
ma = − mg − γv
Fv
mg
y
che possiamo riscrivere come:
m
dv (t )
= −mg − γv (t )
dt
Notare il segno - della forza di attrito: non vogliamo fare assunzioni sul verso
di v, che verra’ determinato dal segno della soluzione che troveremo.
Caduta nell’ aria
La soluzione che cerchiamo e’ la funzione seguente:
− t⎞
mg ⎛
⎜⎜1 − e m ⎟⎟
v (t ) = −
γ ⎝
⎠
γ
Infatti se deriviamo rispetto al tempo otteniamo:
γ
− t
dv (t )
= ge m
dt
E sostituendo v(t) e dv(t)/d(t) nell’ equazione del moto possiamo verificare
che l’eguaglianza e’ soddisfatta.
Caduta nell’ aria
Facciamo un grafico delle soluzioni trovate:
a(t)
g
v(t)
mg/γ
t
t
L’ accelerazione tende ad annullarsi quando il tempo diventa >> γ/m.
La velocita’ nel contempo tende al valore costante –mg/ γ. Questo valore e’
detto velocita’ limite.
Gli attriti sono uguali a
tutte le altre forze?
Abbiamo visto che gli attriti dove presenti vanno considerati forze da includere nell’
equazione del moto come tutte le altre. Tuttavia c’e’ una differenza sostanziale tra gli
attriti e le altre forze che va sottolineata:
Gli attriti sono forze che si esercitano solo in presenza di moto
Se appoggio un blocco su una superficie piana che abbia un certo coefficiente di
attrito, e non spingo il blocco parallelamente alla superficie, NON ho presenza
di forza di attrito (mentre, ad esempio, agiscono la forza peso e la reazione
vincolare del piano).
Gli attriti non sono in grado di generare moto, ma solo di
opporvisi (sono forze “parassite”).
Due blocchi con attrito
Vogliamo ora studiare un caso interessante che ci aiutera’ a capire l’
importanza di un corretto trattamento delle forze di attrito, (oltre che del
secondo principio della dinamica…)
Un blocco di massa m1=5Kg e’ appoggiato su una superficie liscia. Su di
esso si trova un altro blocco di massa m2=2Kg. Fra i due blocchi si esercita
una forza di attrito statico di coefficiente µs=0.4. Calcolare l’ intensita’
massimo della forza F parallela al piano che puo’ essere applicata al primo
blocco affinche il secondo blocco prosegua solidale con esso.
F
m2
m1
Due blocchi con attrito
In questo caso dobbiamo stare attenti ad applicare correttamente il secondo
principio della dinamica, facendo attenzione alle condizioni espresse nel
testo.
E’ chiaro che se i due blocchi sono solidali fra loro,
loro essi si comportano come
un sistema unico di massa m1 + m2 sul quale agisce la forza F. Il piano inoltre
reagira’ alla somma delle forze peso agenti su m1 e m2. Per quanto riguarda le
forze “esterne” a m1 e m2, le due masse si comportano come se fossero un
oggetto unico!
N
F
m2
m1
(m1+ m2)g
Due blocchi con attrito
Le corrispondenti equazioni del moto, scritte per componenti, sono le
seguenti:
N
F
y
m2
m1
x
(m1+ m2)g
⎧ F = ( m1 + m2 )a x
⎨
⎩− ( m1 + m2 ) g + N = 0
Attenzione: ax e’ l’accelerazione di entrambi i blocchi!
Due blocchi con attrito
Intuiamo pero’ che il blocco m2 si muove solo perche’ c’e’ una forza interna
che agisce fra i due blocchi: l’ attrito!
Dobbiamo pertanto studiare il moto di m2 per vedere quali siano le condizioni
per le quali la sua accelerazione sia ax
N12
y
Fa
x
m2g
ax
⎧ Fa = µs N = m2a x
⎨
⎩ − m2 g + N = 0
NB: abbiamo usato il valore limite per la
forza di attrito statico.
L’ attrito e’ l’ unica forza che puo’ generare il moto… siamo in
contraddizione?
Due blocchi con attrito
La contraddizione e’ solo apparente: in realta’ l’ attrito statico si oppone al
moto relativo del blocco m2 rispetto al blocco m1!
Possiamo ora usare le due equazioni scritte finora per trovare la soluzione
del problema. Cominciamo con il determinare il valore massimo di ax tale
per cui l’ attrito statico impedisce il moto relativo fra i due blocchi:
⎧ Fa = µs N12 = m2a x
⎨
⎩ − m2 g + N12 = 0
⇒ a x = gµs
⎧m2 gµs = m2a x
⎨
⎩ N12 = m2 g
Due blocchi con attrito
Il valore dell’ accelerazione trovato puo’ essere inserito nella prima
equazione del moto per trovare il valore massimo del modulo della forza, F:
⎧ F = ( m2 + m1 )a x
⎨
a x = gµs
⎩
⇒ F = ( m2 + m1 ) gµs
Il valore numerico e’ dato da:
F = (5Kg + 2 Kg ) ⋅ 9.81 m s 2 ⋅ 0.4 = 27.45N
Domanda: se non ci fosse la forza di attrito fra i due blocchi, come sarebbe il moto di
m1? E quello di m2?
Oscillatore armonico
Consideriamo ora l’ applicazione della legge di Newton nel caso in cui siano
presenti forze elastiche o di richiamo, ovvero forze che sono proporzionali e
opposte allo spostamento del punto materiale da una certa posizione di
equilibrio:
F = − k [r (t ) − r0 ]
Forze di questo tipo appaiono molto comunemente nello studio
dei fenomeni fisici ad ogni scala.
Oscillatore armonico
Un caso elementare in cui entrano in gioco forze elastiche e’ quello di una massa
m appoggiata ad un piano liscio (= senza attriti) legata ad un vincolo tramite una
molla.
l0
N
mg
Le quantita’ fisiche rilevanti per la descrizione della molla sono due:
• Lunghezza a riposo: e’ la lunghezza assunta dalla molla quando la risultante
delle forze agenti su di essa parallela alla direzione di deformazione e’ nulla.
• Costante elastica: e’ la costante di proporzionalita’ fra la deformazione della
molla (allungamento o compressione) e la forza di richiamo da essa esercitata.
Oscillatore armonico
l0
Come determiniamo la costante elastica di una
molla? Misuriamo ad esempio l’ allungamento in
condizioni di equilibrio che otteniamo appendendo
delle masse m, 2m, 3m,… alla molla in posizione
verticale.
∆x
x
m
Oscillatore armonico
Ciascuno dei valori di ∆x=(x-l0) misurati, corrisponde a
una posizione in cui la forza peso viene bilanciata
esattamente dalla forza elastica. L’ esperimento ci dice
che l’ allungamento della molla e’ proporzionale secondo
una certa costante a mg, che dovra’ anche essere eguale al
modulo della forza elastica:
Fel = mg
∆x
∆x = cost ⋅ mg
⇒ Fel = k∆x con k = 1 / cost
Fel
e considerando i versi di ∆x e Fel
Fel = −k∆x
x
mg
La costante elastica k ha le dimensioni di una forza
divisa per una lunghezza. La sua unita’ di misura
MKS e’ N/m
Oscillatore armonico
Torniamo ora al nostro oscillatore sul piano orizzontale. Supponiamo di spostare
la massa m in modo da cambiare la lunghezza dellla molla.
Fel
N
La deformazione della molla
origina una forza di richiamo
sulla massa m.
l0
x
mg
In questo caso non c’e’ nessuna forza che possa equilibrare la forza elastica: il
sistema si mettera’ in moto.
Oscillatore armonico
Le equazioni del moto per il sistema saranno:
Fel
N
l0
x
mg
⎧ ma x = − k ( x − l0 )
⎨
⎩ma y = − mg + N = 0
Oscillatore armonico
Consideriamo solo la componente dell’ equazione lungo x (stiamo assumendo
che la molla si possa deformare solo in direzione longitudinale!). Questa mi da’
un’ equazione differenziale di questo tipo:
d 2 x (t )
m
= −k [ x (t ) − l0 ]
2
dt
Possiamo per il momento supporre di prendere l’ origine del nostro asse x in
corrispondenza della lunghezza a riposo della molla. Questo permette di
semplificare l’ equazione:
d 2 x (t )
k
= − x (t )
2
dt
m
Oscillatore armonico
La soluzione e’ data da una funzione che derivata due volte, da’ la stessa
funzione cambiata di segno, e a meno di una costante moltiplicativa. Ci sono due
funzioni che hanno questa proprieta’: Asin(ωt+φ) e Acos(ωt+φ). Ad esempio:
Asin(ωt+φ)
t
dA sin(ωt + φ)
= Aω cos(ωt + φ)
dt
d 2 A sin(ωt + φ)
2
=
−
Aω
sin(ωt + φ)
2
dt
In realta’, con un’ opprtuna scelta della costante φ e’ possibile trasformare una
funzione nell’ altra (pensateci…). Il moto e’ quindi un moto oscillatorio. Se
sostituiamo questa funzione di prova nelle nostre equazioni del moto troviamo
che:
d 2 A sin(ωt + φ)
k
2
=
−
+
=
−
Aa
ωt
φ
sin(
)
A sin(ωt + φ)
2
dt
m
Oscillatore armonico
Questo implica che la relazione e’ soddisfatta solo se:
ω2 =
k
k
⇒ω=
m
m
La costante ω e’ detta pulsazione dell’ oscillatore, e dipende solo da
caratteristiche intrinseche al sistema (la costante elastica e la massa).
La pulsazione si misura in radianti/secondo, ed ha la dimensione di un tempo inverso.
Che significato ha ω? Sappiamo che sin(x) e cos(x) sono funzioni periodiche, di periodo
2π. Questo significa che il nostro oscillatore ripassera’ per la stessa posizione ogni
qualvolta si abbia:
ωt + φ = ω(t + T ) + φ + 2π
Oscillatore armonico
T rappresenta quindi l’ intervallo di tempo che trascorre fra due istanti in cui il
corpo occupa la stessa posizione. Questo e’ detto periodo dell’ oscillazione, ed e’
legato alla pulsazione dalla seguente relazione:
T=
2π
m
= 2π
ω
k
L’ inverso del periodo e’ la frequenza
ν dell’ oscillazione, ovvero il numero
di oscillazioni che il sistema compie
per unita’ di tempo.
Asin(ωt+φ)
T
t
L’ unita’ di misura MKS della frequenza e’ l’ Hertz (s-1).
ν=
1
1
=
T 2π
k
ω
=
m 2π
Oscillatore armonico
Cosa possiamo dire delle altre due costanti che compaiono nella legge oraria?
A e’ detta ampiezza dell’ oscillazione, e
rappresenta il modulo dello spostamento
massimo dalla posizione di equilibrio
Asin(ωt+φ)
Asin(φ)
A
t
φ e’ detta fase dell’ oscillazione, ed e’
legata allo spostamento iniziale rispetto
alla posizione di equilibrio, che e’ dato
da Asin(φ).
Oscillatore armonico
Per determinare ampiezza e fase (due incognite) e’ necessario conoscere almeno due punti
del moto (la posizione in due tempi diversi, la velocita’ in due tempi diversi, posizione e
velocita’ a un certo istante…). La situazione piu’ comune e’ quella in cui si conoscono
posizione e velocita’ al tempo t=0. Parleremo in questo caso di condizioni iniziali.
Supponiamo di sapere che a t=0 la componente della velocita’ e’ v0 e la componente dello
spostamento e’ x0. (Attenzione: stiamo parlando di componenti, non di moduli!).
Ampiezza e fase saranno allora date da:
⎧ A sin(φ) = x0
⎨
⎩ Aω cos(φ) = v0
x0ω
⎧
⎪⎪ tan(φ) = v
0
⎨
v0
⎪A =
⎪⎩
ω cos(φ)
Oscillatore forzato
Riconsideriamo ora il caso dell’ oscillatore verticale, in cui, oltre alla forza elastica,
agisce la forza peso. Abbiamo visto che la condizione di equilibrio e’ data da:
mg
k∆x = mg ⇒ ∆x =
k
∆x
x
Fel
mg
Cosa succede se spostiamo la massa da questa posizione di
equlibrio? Naturalmente la forza peso e la forza elastica non si
equivalgono piu’ e il sistema inizia ad oscillare, come nel caso
visto in precedenza. Tuttavia possiamo intuire che ci sono
alcune differenze: che ruolo ha la forza peso nel moto?
Oscillatore forzato
Scriviamo ora l’ equazione del moto per il nostro sistema. Anche in questo caso possiamo
trovare un sistema di riferimento in cui il problema risulta essere unidimensionale.
ma = mg − k ( x − l0 )
l0
Fel
Scriviamo la corrispondente equazione differenziale:
d 2 x (t )
m
= mg − k [ x (t ) − l0 ]
2
dt
che possiamo riscrivere come:
x
mg
kl0
d 2 x (t ) k
+ x (t ) = g +
2
m
dt
m
Oscillatore forzato
Questa e’ un’ equazione differenziale non omogenea, ovvero c’e’ un termine che non
contiene ne’ la funzione ne’ le sue derivate. La soluzione di un’ equazione di questo tipo
puo’ essere trovata con la procedura seguente. Innanzitutto cerchiamo la soluzione dell’
equazione omogenea associata , ovvero dell’ equazione che ottengo tralasciando il
termine costante:
d 2 x (t ) k
+ x (t ) = 0
2
dt
m
Questa e’ esattamente l’ equazione vista in precedenza. Sappiamo gia’ che la soluzione e’
una funzione oscillante con pulsazione data da ω2=k/m:
x (t ) = A sin(ωt + φ)
ω=
k
m
Oscillatore forzato
Dobbiamo ora trovare quella che si chiama una soluzione particolare dell’equazione
completa. Questa soluzione non deve necessariamente avere una forma generale (come le
soluzioni dell’ equazione omogenea), e puo’ essere cercata fra le funzioni piu’ semplici
che possano soddisfare l’equazione. In questo caso una possibile scelta e’ quella di una
funzione costante. Infatti la sua derivata seconda si annulla, e rimaniamo con una
semplice equazione algebrica.
~
x (t ) = C
Sostituendo questa espressione nell’ equazione differenziale otteniamo
d 2~
x (t ) k ~
kl0
+ x (t ) = g +
2
dt
m
m
k
kl0
mg
C=g+
⇒C =
+ l0
k
m
m
Oscillatore forzato
L’espressione trovata per la legge oraria ci dice che:
xeq =
mg
+ l0
k
che coincide con la posizione di
equilibrio calcolata in precedenza;
• la pulsazione delle oscillazioni non
cambia rispetto a quella dell’
oscillatore libero.
Asin(ωt+φ) +xeq
• le oscillazioni avvengono intorno a
un valore costante
xeq
t
Oscillatore forzato
La soluzione completa della nostra equazione e’ la somma della soluzione dell’
equazione omogenea e della soluzione particolare dell’ equazione completa:
x (t ) =
⇑
mg
+ l0
k
⇑
soluzione dell'
equazione omogenea
soluzione
particolare
A sin(ωt + φ)
+
Notate che il valore della pulsazione ω e’ determinato dalla soluzione della
parte omogenea, ed e’ pertanto invariato rispetto a quello dell’ oscillatore
libero.
Oscillatore forzato
Cerchiamo ora di risolvere il seguente problema:
Un blocco di massa m=500g e’ appoggiato su un cuneo liscio inclinato di 30°
rispetto al suolo. Il blocco e’ agganciato ad una molla di costante elastica
k=50N/m e lunghezza a riposo l0=10cm, a sua volta agganciata all’ estremita’
superiore del cuneo, ed inizialmente e’ tenuto fermo da un dispositivo a una
distanza d=2l0 dal punto di aggancio della molla al cuneo. Al tempo t=0 il
blocco viene rilasciato dal dispositivo.
1) Scrivere le equazioni del moto del sistema per t>0.
2) Trovare la posizione di equilibrio della massa m.
3) Calcolare la legge oraria del moto.
4) Trovare il periodo di oscillazione del sistema.
Oscillatore forzato
Rappresentiamo innanzitutto il sistema su un grafico:
Per t > 0 le forze che agiscono
sul blocco saranno le seguenti:
2l0
•Forza peso
m
θ=30º
•Reazione vincolare
•Forza elastica
Oscillatore forzato
Il diagramma di corpo libero per la massa m sara’ quindi il seguente:
Indicando con x la posizione della massa
rispetto al vertice superiore del cuneo, Le
equazioni del moto saranno le seguenti:
y
Fel
N
mg
x
⎧ma x = mg sin θ − k [ x (t ) − l0 ]
⎨
N − mg cos θ = 0
⎩
La posizione di equilibrio sara’ data dalla condizione ax=0, ovvero:
mg sin θ − k [ xeq − l0 ] = 0
9.81 m s 2 ⋅ 0.5Kg ⋅ 0.5
mg sin θ
xeq = l0 +
= 0.1m +
= 0.15m
k
50 N / m
Oscillatore forzato
Dobbiamo ora calcolare la legge oraria. Innanzitutto notiamo come il moto
avvenga solo lungo l’asse x, e come le due componenti siano disaccoppiate. La
componente lungo x e’ l’ equazione del moto di un oscillatore forzato.
Cerchiamo subito la soluzione particolare dell’ equazione completa, assumendo
che essa sia una costante.
~
x (t )= C
ma/ x + kC = mg sin θ + kl0
mg sin θ
C = l0 +
k
Anche in questo caso la soluzione particolare coincide con la posizione di
equilibrio del sistema.
Oscillatore forzato
Scriviamo ora per intero la legge oraria, aggiungendo la soluzione dell’
equazione omogenea associata:
mg sin θ
~
x (t ) = A sin(ωt + φ) + x (t )= A sin(ωt + φ) + l0 +
k
Dobbiamo determinare i valori numerici delle costanti A, ϕ e ω. La pulsazione e’ data
dalla consueta espressione:
ω=
50 N / m
k
rad
=
= 10
0.5Kg
m
s
Il periodo sara’ dato da:
T=
2π
m
0.5Kg
= 2π
= 2π
= 0.63s
ω
k
50 N / m
Oscillatore forzato
Ampiezza e fase vanno calcolate dalle condizioni iniziali. Al tempo t=0 la
posizione della massa e’ x(0)=2l0, mentre la velocita’ e’ nulla. Queste condizioni
iniziali ci danno le equazioni:
mg sin θ
⎧
(
0
)
sin(
)
=
+
+
= 2l0
x
A
φ
l
0
⎪
k
⎪
⎨
⎪ dx (t ) = Aω cos(φ) = 0
⎪⎩ dt t =0
La seconda equazione ci dice che la fase deve essere:
π
φ=±
2
Oscillatore forzato
Sostituendo nella prima equazionie otteniamo:
mg sin θ
± A = l0 −
= 0.05m
k
Dal momento che:
l0 >
mg sin θ
k
per avere un’ ampiezza positiva dobbiamo scegliere ϕ=π/2. La legge oraria
completa sara’ quindi:
π⎞
⎡
⎤
⎛
x (t ) = ⎢0.05 sin⎜10t + ⎟ + 0.15⎥ m
2⎠
⎝
⎣
⎦
Pendolo
Consideriamo un sistema formato da una massa m appesa ad un filo inestensibile
di lunghezza L.
Le forze che agiscono sulla massa sono in questo caso la
forza peso e la tensione del filo, come illustrato in figura.
L
θ(t)
T
mg
Il moto della massa e’ vincolato dal filo su un arco di
circonferenza.
Analogamente a quanto gia’ visto in cinematica nella
descrizione del moto circolare, possiamo utilizzare come
variabile per descrivere il moto l’angolo formato dal filo
con la direzione verticale.
Pendolo
Il diagramma delle forze agenti sulla massa e’ quindi il seguente:
T
eθ
er
mg
θ(t)
Ci conviene usare un sistema di riferimento con un asse nella direzione
istantanea del filo (radiale) e l’ altro ad esso perpendicolare (tangente quindi alla
traiettoria del pendolo). In questo sistema di riferimento scomponiamo la forza
peso, e scriviamo l’ equazione del moto. Notare che il verso degli assi e’ stato
preso consistentemente con la nostra definizione di angolo positivo.
Pendolo
Le equazioni del moto sono quindi le seguenti:
2
⎧
⎛ dθ ( t ) ⎞
⎟ L = −T + mg cos θ ( t )
⎪⎪ma r = − m ⎜
dt ⎠
⎝
⎨
2
d
θ (t )
⎪
maθ = m
L = − mg sin θ (t )
2
⎪⎩
dt
Notare la presenza nella prima equazione dell’ espressione per l’accelerazione
centripeta che abbiamo incontrato descrivendo il moto circolare. La seconda
equazione ci da’ invece un’ espressione per l’ accelerazione tangenziale. Le due
equazioni non sono piu’ disaccoppiate: per ricavare il valore della tensione del
filo dobbiamo conoscere la velocita’. La seconda equazione tuttavia non dipende
da T, e quindi possiamo risolvera in maniera indipendente.
Pendolo
L’equazione del moto per la parte tangenziale e’ quindi:
d 2θ ( t )
g
=
−
sin θ ( t )
2
dt
L
In questa forma questa equazione e’ risolvibile solo numericamente.
Supponiamo tuttavia che l’ angolo θ(t) sia molto piccolo. In questo caso, se la
suo valore e’ espresso in radianti, e’ possibile fare la seguente approssimazione
(approssimazione per piccoli angoli):
sin θ ( t ) ≈ θ ( t )
In questa approssimazione l’ equazione del moto tangenziale diventa:
d 2θ ( t )
g
= − θ (t )
2
dt
L
Pendolo
Questa equazione e’ identica a quella de;ll’ oscillatore armonico, conl’ unica
differenza che la variabile questa volta e’ l’ angolo θ(t). Conosciamo gia’ la
soluzione di questa equazione, che scriveremo come:
θ ( t ) = θ0 sin( ωt + φ)
dove la pulsazione e’ data dalla famosa relazione:
ω=
g
L
Il moto del pendolo e’ quindi oscillatorio, con periodo costante e indipendente
dall’ ampiezza delle oscillazioni a patto che queste non siano troppo ampie
(questa osservazione risale a Galileo).
Satellite su un’ orbita
circolare
Consideriamo un satellite in orbita con velocita’ costante intorno alla Terra.
Quale deve essere la sua velocita’ affinche’ esso sia vincolato su una traiettoria
circolare a una quota h dalla superficie?
La forza che la Terra esercita sul satellite e’ data dalla legge di gravitazione
universale:
v
h
F
F = −G
M ⊕m
rˆ
2
( R⊕ + h )
Satellite su un’ orbita
circolare
Essendo la forza che agisce sul satellite solo radiale, possiamo limitarci allo
studio dell’ equazione del moto lungo tale direzione. Attenzione, che essendo il
moto circolare, il satellite possiede un’ accelerazione centripeta anche se il
modulo della sua velocita’ e’ costante!
v2
M ⊕m
−m
= − mω 2 ( R⊕ + h ) = −G
R⊕ + h
( R⊕ + h ) 2
Questa equazione ci da’ direttamente il valore della velocita’ (che esprimeremo
per mezzo della velocita’ angolare) cercato:
ω= G
M⊕
( R⊕ + h ) 3
Satellite su un’ orbita
circolare
Se vogliamo scrivere quest ultimo risultato in termini del periodo di rotazione
otterremo che:
4π 2
M⊕
=
G
T2
( R⊕ + h ) 3
Che possiamo riesprimere come:
4π 2
T2
=
M ⊕G ( R⊕ + h ) 3
ovvero, il rapporto fra il quadrato del periodo di un’ orbita e il cubo del raggio
e’ costante. Questa relazione e’ detta terza legge di Keplero.
Sistemi di riferimento non
inerziali
Fino ad ora abbiamo considerato solamente casi in cui il sistema di riferimento
nel quale descriviamo un certo fenomeno e’ inerziale. Questo perche’ abbiamo
visto che le equazioni di Newton sono invarianti per trasformazioni Galileiane.
A volte pero’ potrebbe risultare conveniente utilizzare sistemi di riferimento non
inerziali. Il caso tipico e’ quello dello studio di un fenomeno che avviene su un
qualche sistema che si muove di moto accelerato (ad. es. qualunque fenomeno
osservato sulla superficie terrestre, o un fenomeno osservato in o da un veicolo
in accelerazione…)
In questi casi non e’ possibile utilizzare le equazioni di Newton nella solita
forma. Tuttavia e’ possibile estenderne la validita’ se siamo disposti a introdurre
oltre alle forze reali agenti sul corpo delle forze fittizie che tengano in qualche
modo conto delle accelerazioni del sistema di riferimento.
Sistemi di riferimento non
inerziali
Supponiamo di conoscere la legge oraria di un punto materiale P in un sistema
inerziale Oxyz.
P
z
d 2 R (t )
a=
dt 2
R(t)
O’
O
y
x
L’ accelerazione del punto materiale P
e’ data da:
Sistemi di riferimento non
inerziali
Vogliamo ora osservare il moto dello stesso puinto materiale da un sistema di
riferimento O’x’y’z’ che si muova di moto accelerato con accelerazione aOO’(t)
diretta lungo l’ asse y.
aOO’
L’accelerazione del punto osservata nel
sistema di riferimento mobile sara’:
P
z’
d 2 R ' (t ) d 2 [R (t ) − R OO ' (t )]
a' ( t ) =
=
= a − aOO '
dt 2
dt 2
z
R(t)
O’
x’
O
y
x
ROO’(t)
y’
Se moltiplichiamo ambo I membri di questa
eguaglianza per la massa del punto materiale P
otterremo:
ma' (t ) = ma(t ) − maOO ' (t )
Sistemi di riferimento non
inerziali
Per la legge di Newton (che vale nel sistema inerziale Oxyz) avremo
ma' (t ) = ma(t ) − maOO ' (t ) = ∑ F − maOO ' (t )
A questo punto potremmo riesprimere questa eguaglianza nella stessa forma del
II principio della dinamica, se assumiamo che oltre alle forze reali agenti sul
sistema vi siano delle forze fittizie tali per cui:
∑ F ' = − ma
OO '
(t )
e quindi:
ma' ( t ) = ∑ F + ∑ F '
Esempio: forza di trascinamento
Supponiamo di avere un sistema di riferimento che si muova di moto
uniformemente accelerato rispetto ad un sistema inerziale con accelerazione a’.
Per quanto detto in precedenza, l’ accelerazione di un punto materiale nel sistema
non inerziale sara’ data dalla risultante delle forze reali con in aggiunta l’ effetto
di una forza fittizia che sara’ definita da:
F ' = − ma '
Questa forza e’ detta forza di trascinamento, o forza di inerzia. Ne abbiamo tutti
esperienza diretta: quando siamo in un veicolo in accelerazione, sentiamo di
essere spinti “all’ indietro”, mentre se il veicolo frena siamo sospinti “in avanti”.
Ovviamente in nessuno dei due casi su di noi agisce una forza reale. Quello che
osserviamo e’ l’ effetto di una forza fittizia in un sistema non inerziale.
Esempi
Per capire meglio, facciamo un altro esempio: supponiamo di avere una cassa di
massa m appoggiata sul pianale liscio di un carrello inizialmente fermo. Ad un
certo istante t0 il carrello inizia ad accelerare con accelerazione a0.
Sistema del laboratorio
y
a0
• Cassa: non agiscono forze esterne, rimane
ferma nella posizione iniziale;
• Carrello: si muove di moto rettilineo
uniformemente accelerato.
x
Sistema solidale con il carrello
y
-ma0
x
• Cassa: sente l’effetto di una forza fittizia
F’=-ma0 e si muove di moto uniformemente
accelerato in verso opposto a quello del
carrello nel sistema del laboratorio.
• Carrello: fermo.
Esempi
Supponiamo ora di volerci pesare con una bilancia all’ interno di un ascensore che si
muova con accelerazione a0. La classica bilancia pesa-persone misura in realta’ la forza
peso che esercitiamo su di essa. Se la nostra massa e’ m=75Kg, che valore indichera’ la
bilancia?
Ascensore in salita
75
a0
Nel sistema dell’ ascensore la forza totale
esercitata sulla bilancia sara’ F=mg-ma0 , il
cui modulo e’ F=m(g+a): il peso segnato dalla
bilancia e’ maggiore.
Ascensore in discesa
Cosa succede se a0=g?
75
a0
Nel sistema dell’ ascensore la forza totale
esercitata sulla bilancia sara’ sempre F=mgma0 , ma ora il modulo e’ F=m(g-a): il peso
segnato dalla bilancia e’ minore.
Problema
Un punto materiale di massa m=2Kg si trova su di un cuneo lisicio inclinato di θ=30°
rispetto al terreno, e che si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione a0
parallela al suolo. Trovare il modulo di a0 tale per cui il punto materiale rimane fermo nel
sistema di riferimento del cuneo, e la reazione vincolare esercitata dal cuneo su m.
y
m
a0
θ
x
In questo caso e’ conveniente usare un sistema di
riferimento che sia solidale al cuneo (ce lo
suggerisce direttamente il problema). Dobbiamo
pero’ fare attenzione a tenere conto dell’ effetto
della forza fittizia di trascinamento.
Equazioni del moto:
N
F’=-ma0
mg
⎧⎪ma x = mg sin θ − ma0 cos θ
⎨
⎪⎩ma y = − mg cos θ − ma0 sin θ + N
Problema
Dal momento che stiamo cercando una soluzione di equilibrio, dobbiamo imporre che l’
accelerazione del punto materiale sia nulla. Avremo pertanto:
⎧⎪mg sin θ − ma0 cos θ = 0
⎨
⎪⎩− mg cos θ − ma0 sin θ + N = 0
La soluzione e’:
⎧
3
m
a
g
tan
θ
9
.
81
=
=
⋅
= 5.66 m 2
2
⎪ 0
s 3
s
⎪
⎨
⎪ N = mg cos θ + ma sin θ = 2 Kg ⋅ ⎡9.81 m ⋅ 3 + 5.66 m ⋅ 1 ⎤ = 22.65N
2
2
⎢
⎥
0
⎪
s
s
2
2
⎣
⎦
⎩
Se volessimo risolvere il problema nel sistema inerziale, quale forza andrebbe a
equilibrare la forza peso in direzione parallela al piano inclinato?
Sistemi in rotazione
Consideriamo ora il moto di un punto osservato da un sistema di riferimento O’x’y’z’ che
si muova di moto circolare uniforme con velocita’ angolare Ω rispetto ad un sistema
inerziale. Supponiamo che le origini dei due sistemi coincidano, e che il moto di P si
svolga su un piano . In questo caso possiamo assumere che i due assi z e z’ coincidano.
I versori del sistema in rotazione sono descritti
nel sistema inerziale dalla seguente fromula:
z’≡ z
ˆi ' = cos Ωtˆi + sin Ωtˆj
ˆj' = − sin Ωtˆi + cos Ωtˆj
y’
O’≡ O
θ(t)=Ωt
x
R’(t)
y
La posizione del punto P nel sistema rotante
sara’ quindo data da:
R ' (t ) = x ' (t )ˆi '+ y ' (t ) j' =
x’
= x ' (t )[cos Ωtˆi + sin Ωtˆj] + y ' (t )[ − sin Ωtˆi + cos Ωtˆj]
Sistemi in rotazione
Calcoliamo ora velocita’ e accelerazione nel sistema inerziale. La velocita’ la otteniamo
derivando per il tempo R(t) (attenzione che nel sistema inerziale i versori i’ e j’
dipendono dal tempo e vanno derivati):
d [ x ' (t )ˆi '+ y ' (t )ˆj' ]
v (t ) =
=
dt
= v x ' (t )[cos Ωti + sin Ωtˆj] + v y ' (t )[ − sin Ωtˆi + cos Ωtˆj] +
+ x ' (t )Ω[ − sin Ωtˆi + cos Ωtˆj] − y ' (t )Ω[cos Ωtˆi + sin Ωtˆj]
= v x ' (t )ˆi '+ v y ' (t )ˆj'− y ' (t )Ωˆi '+ x ' (t )Ωˆj' = v ' (t ) + Ω ∧ R ' (t )
Notare che la velocita’ e’ data da due componenti: la prima esprime la velocita’
del punto materiale nel sistema in rotazione; la seconda esprime la velocita’
tangenziale istantanea del sistema nel punto P.
Sistemi in rotazione
Passiamo ora all’ accelerazione, derivando l’espressione precedente:
a( t ) =
d {[v x ' (t )ˆi '+ v y ' (t )ˆj' ] + Ω[ − y ' (t )ˆi '+ x ' (t )ˆj' ]}
dt
=
= a x ' (t )[cos Ωtˆi + sin Ωtˆj] + a y ' (t )[ − sin Ωtˆi + cos Ωtˆj] +
+ v x ' (t )Ω[ − sin Ωtˆi + cos Ωtˆj] − v y ' (t )Ω[cos Ωtˆi + sin Ωtˆj] +
Ω{− v y ' (t )[cos Ωti + sin Ωtˆj] + v x ' (t )[ − sin Ωtˆi + cos Ωtˆj] −
− y ' (t )Ω[ − sin Ωtˆi + cos Ωtˆj] − x ' (t )Ω[cos Ωtˆi + sin Ωtˆj]}
= a x ' (t )ˆi '+ a y ' (t )ˆj'−2v y ' (t )Ωˆi '+2v x ' (t )Ωˆj'−Ω 2 [ x ' (t )ˆi '+ y ' (t )ˆj' ] =
= a' ( t ) − 2Ω ∧ v ' ( t ) − Ω 2 R ' ( t )
Sistemi in rotazione
Moltiplicando per la massa e isolando il termine che contiene l’accelerazione nel sistema
Ox’y’z, otteniamo una formulazione per il secondo principiodella dinamica nel sistema in
rotazione:
ma ' ( t ) = ∑ F + 2 mΩ ∧ v ' ( t ) + mΩ 2 R ' ( t )
In questo caso possiamo distinguere due termini di forza fittizi:
• 2mΩ∧v’(t): forza di Coriolis
• mΩ2R’(t): forza centrifuga
La forza di Coriolis si manifesta solo se il punto materiale ha velocita’ non nulla
nel sistema rotante.
La forza centrifuga si manifesta in ogni caso nel sistema in rotazione.
Esempio
Consideriamo una massa m legata a una fune tesa di lunghezza L, che ruota con velocita’
angolare ω costante. Vogliamo calcolare la tensione della fune.
Consideriamo un sistema di riferimento che ruoti insieme alla massa con la stessa
velocita’ angolare.
Fc=m ω2L
L
y’
T
x’
O
In questo sistema di riferimento la massa e’ ferma.
Su di essa agiscono la forza centrifuga e la tensione
della fune, che si equilibrano. Entrambe queste forze
agiscono in direzione radiale. Possiamo quindi
scrivere l’ equazione del moto solo lungo questa
componente:
mar (t ) = mΩ 2 L − T = 0
che ci permette di ricavare la tensione cercata:
T = mΩ 2 L
Quantita’ di moto
Fino a questo momento abbiamo definito la seconda legge della dinamica assumendo che
l’ effetto di una forza sia quello di variare quantita’ quali accelerazioni, velocita’,
spostamenti, tutte quantita’ che in generale dipendono dal tempo. Abbiamo inoltre cercato
in alcuni casi di ricavare leggi orarie esplicite risolvendo le equazioni del moto. E’ chiaro
che in generale questo non e’ possibile. Abbiamo visto come le forze agenti su un corpo
derivino dall’ interazione di questo con altri corpi (se un sistema e’ isolato su di esso non
agiscono forze esterne). In alcuni casi possiamo dedurre alcune proprieta’ del moto senza
conoscere il dettaglio delle interazioni in gioco. Questo avviene in particolare se le forze di
interazione hanno effetto per un tempo molto piccolo rispetto a quello in cui osserviamo il
sistema. Per fare questo dobbiamo dare un’ interpretazione leggermente diversa alla
seconda legge della dinamica, passando attraverso il concetto di quantita’ di moto.
Si definisce quantita’ di moto di un punto materiale il prodotto della sua massa per la sua
velocita’:
p = mv
Quantita’ di moto
Consideriamo ora la seconda legge della dinamica. Possiamo convincerci immediatamente
che essa puo’ essere riespressa pensando che l’ effetto di una forza sia quello di imprimere
una variazione della quantita’ di moto del punto. Infatti:
F = ma = m
dv d ( mv ) dp
=
=
dt
dt
dt
In questo caso abbiamo assunto che la massa del punto sia costante. Ora ci rendiamo
conto che se noi postuliamo la seconda legge della dinamica come:
F=
dp
dt
stiamo includendo la descrizione di fenomeni che la formulazione precedente non poteva
descrivere. Analizziamo brevemente alcune conseguenze di questa ridefinizione.
Quantita’ di moto
1)
Se su un punto materiale non agiscono forze, la sua quantita’ di moto rimane
invariata.
2)
Una variazione di massa del sistema determina una forza agente su di esso . Infatti, in
generale, avremo che:
dp d ( mv ) dm
dv
F=
=
=
v+m
dt
dt
dt
dt
Questo e’ il principio su cui si basano, ad esempio, i motori a reazione.
3) Consideriamo due oggetti che interagiscano fra di loro, ma che siano isolati
(ovvero,su di essi non agiscono altre forze se non la reciproca interazione). L’
interazione fa si’ che entrambi gli oggetti varino la loro quantita’ di moto. E’
sperimentalmente dimostrato che mentre i due termini variano singolarmente, si ha
che:
p1 + p 2 = costante
Principio di azione e reazione
Se deriviamo l’ ultima espressione rispetto al tempo, otteniamo:
d ( p1 + p 2 ) dp1 dp 2
=
+
=0
dt
dt
dt
Ovvero, richiamando la seconda legge della dinamica:
dp1 dp 2
+
= F21 + F12 = 0 ⇒ F21 = −F12
dt
dt
Questa relazione altro non e’ che un caso particoalre del noto principo di “azione e
reazione”:
A ogni forza agente su un corpo ne corrisponde sempre un’
altra uguale e opposta esercitata dal corpo stesso.
Conservazione della quantita’
di moto.
Le considerazioni fatte in precedenza possono essere estese a un insieme di punti
qualsivoglia che interagiscano fra di loro (con delle forze interne), e vengono riassunte nel
principio della conservazione della quantita’ di moto:
La quantita’ di moto totale di un sistema di punti interagenti
si conserva se la risultante delle forze esterne e’ nulla.
p1 + p 2 + p3 + Λ + p N = costante
Va sottolineato che la risultane di tutte le forze che non siano forze di mutua
interazione fra i punti materiali in considerazione (forze esterne), deve essere
nulla.
Esempio
Una persona la cui massa e’ m, si trova su di un carrello di massa M che scorre su un
piano liscio con velocita’ costante v0. Ad un certo istante la persona si mette a camminare
sul carrello con velocita’ relativa al carrello di modulo costante v1 e in verso opposto a
quella del carrello. A quale velocita’ si muovera’ il carrello?
v1
v0
V
Il sistema persona + carrello costituisce un sistema isolato (sul carrello agisce la forza peso,
che pero’ e compensata dalla reazione vincolare del piano su cui esso scorre). Carrello e
persona interagiscono con forze di attrito, delle quali non conosciamo nessun dettaglio.
Esempio
Per risolvere il problema possiamo ricorrere alla conservazione della quantita’ di moto
sappiamo infatti che:
iniziale
finale
finale
piniziale
+
p
=
p
+
p
persona
carrello
persona
carrello
Inizialmente sia il carrello che la persona hanno la stessa velocita’ v0. Nello stato finale, la
persona avra’ una velocita’ assoluta pari a:
v = V + v1
Scegliamo come sistema di riferimento un asse orizzontale orientato come v0. La relazione
precedente proiettata su questo asse diventa:
v = V − v1
Proiettando la relazione che esprime la conservazione della quantita’ di moto avremo
quindi:
( M + m)v0 = m(V − v1 ) + MV
Esempio
Dalla relazione precedente possiamo ricavare la velocita’ del carrello:
( M + m)v0 = m(V − v1 ) + MV
( M + m)v0 + mv1 = ( M + m)V
V = v0 +
m
v1
M +m
La velocita’ del carrello risultera’ aumentata, per compensare la variazione di quantita’
di moto dovuta al moto della persona.
Nota: non abbiamo usato alcuna informazione sulle forze di interazione fra la persona e il carrello.
1)
Cosa succede se la velocita’ della persona e’ concorde a quella del carrello?
2)
Cosa succede se la massa del carrello e’ molto piu’ grande di quella della persona?
3)
Che cosa succede se la massa del carrello e’ molto piu’ piccola di quella della persona?
Impulso
In molti casi di interesse, le interazioni fra due punti materiali avvengono su scale di tempo
molto brevi. Pensiamo ad esempio all’ urto fra due palle da biliardo, o fra una palla da biliardo
e la parete. Nella scala dei tempi della nostra osservazione. l’ urto e’ sostanzialmente un
evento istantaneo. Se andiamo a osservare il fenomeno su intervalli molto brevi, potremmo
vedere che il modulo della forza in funzione del tempo ha un andamento di questo tipo,
immaginando che l’ urto avvenga a tempo t=0:
Definiamo impulso della forza la quantita’:
I = ∫ F(t )dt
F(t)
Fm
∆t
Questa e’ una quantita’ vettoriale. Se l’ interazione
avviene in un intervallo di tempo ∆t, possiamo definire
un valore medio della forza Fm tale che:
t
I = Fm ∆t
Teorema dell’ impulso
Qual’ e’ l’ effetto di un impulso sul moto di un punto materiale? Partendo dalla
definizione di impulso, possiamo notare che:
t fin
t fin
t fin
dv ( t )
I = ∫ F(t )dt = ∫ m
dt = ∫ mdv(t )
dt
tin
tin
tin
I = mv(t fin ) − mv(tin ) = ∆p
Quindi ad un impulso corrisponde una variazione della quantita’ di moto del
sistema, e viceversa. Questo risultato e’ noto con il nome di teorema dell’
impulso.
Momento di una forza
Supponiamo di avere un oggetto che si muove di moto circolare su una circonferenza di
raggio R intorno ad un punto O. Sappiamo che la sua accelerazione puo’ essere divisa in
due termini, centripeta e tangenziale. La seconda legge della dinamica assume percio’
questa forma:
2
F
=
a
=
a
+
a
=
−
( t ) R + mR ×
m
m
m
mω
∑
c
t
dω(t )
dt
Possiamo notare come la variazione di velocita’ angolare sia legata solo alle componenti
della risultante delle forze ortogonali al raggio. Infatti se moltiplichiamo vettorialmente
ambo i membri della nostra relazione per R, otteniamo:
dω(t ) ⎤
⎡
R × ∑ F = − mω (t )R × R + mR × ⎢R ×
dt ⎥⎦
⎣
2
Il secondo termine e’ nullo , in quanto prodotto vettoriale di vettori paralleli.
Momento di una forza
Tenendo conto della relazione che lega velocita’ tangenziale e velocita’ angolare:
v(t ) = R × ω(t )
τ=R×ΣF
F
la relazione precedente puo’ essere scritta come:
dp
⎡ dv ( t ) ⎤
∑ τ ≡ R × ∑ F =mR × ⎢⎣ dt ⎥⎦ = R × dt
R
O
Si vede come in questo caso la variazione di quantita’ di moto in direzione tangenziale
possa essere legata alla quantita’ τ=R×F, che e’ detta momento della forza F rispetto al
polo O intorno a cui avviene la rotazione.
Il momento di una forza e’ un vettore perpendicolare al piano su cui avviene il moto
circolare. Il suo modulo e’ massimo, se forza e raggio sono perpendicolari. Forze che siano
orientate radialmente rispetto al polo O hanno rispetto ad esso momento nullo.
Momento angolare
Definiamo momento angolare di un punto materiale m rispetto a un polo O la quantita’:
L = R×p
Il momento angolare e’ un vettore diretto perpendicolarmente
al piano in cui si svolge il moto. Il suo verso positivo e’ quello
da cui si osserva una rotazione antioraria. Il suo modulo e’ dato
da:
L = Rmv sin θ = R mω sin θ
2
p
θ
L=R×p
R
O
dove θ e’ l’angolo formato dal vettore quantita’ di moto p rispetto al vettore R (entrambi i
vettori variano in generale sia in modulo che in direzione e verso) congiungente il punto
materiale al polo O. Nel caso di un moto circolare con velocita’ angolare ω avremo che il
modulo del momento angolare eà dato da:
L = R 2mω
In questo caso il modulo del raggio R e’ costante, e la velocita’ v del punto e’ sempre
ortogonale ad esso. Il modulo del prodotto vettoriale diventa quindi il prodotto dei moduli.
Momento angolare
La variazione del momento angolare e’ legata alla risultante dei momenti delle forze agenti
sul punto materiale. Infatti si ha che:
dL d (R × mv ) dR
dv
=
× mv + R × m
=
=
dt
dt
dt
dt
= v × mv + R × ma = R × ∑ F = ∑ τ
Notiamo come in questo caso il contributo che viene dalla derivata del vettore posizione si
annulla.
Da questa relazione si puo’ dedurre che se su un punto materiale agiscono forze di momento
nullo rispetto ad un polo O, il momento angolare del punto rispetto al polo O si conserva.
Notare come in questo caso, essendo L sempre ortogonale alla velocita’ e al raggio vettore, il
moto si svolge tutto nel piano definito da R e da v a un certo istante!
Momento angolare
Il momento angolare gioca per il moto rispetto ad un polo O lo stesso ruolo della quantita’
di moto. In particolare vale un’analoga legge di conservazione:
Il momento angolare totale rispetto a un polo O di un sistema
di punti interagenti si conserva se la risultante dei momenti
delle forze esterne rispetto allo stesso polo e’ nulla.
L1 + L 2 + L3 + Λ + L N = costante
Il momento angolare puo’ essere variato sia variando la quantita’ di moto, che variando il
raggio vettore.
Va notato che la definizione di momento angolare e la rispettiva legge di conservazione non
sono legati al fatto che il moto sia in qualche modo curvilineo. Il momento angolare
rispetto a un punto e’ definito anche per una particella in moto rettilineo.
Esempio
Supponiamo di avere un punto di massa m che si muove di moto circolare uniforme legato
a un filo ideale inestensibile, passante per un foro nel piano. La velocita’ angolare del
punto materiale e’ ω=0.15rad/s, e la sua distanza dal foro e’ R=1.5m. Ad un certo punto il
filo viene tirato fino a quando la massa raggiunge una distanza dal foro R’=0.5m. Calcolare
la velocita’ del punto materiale nella nuova orbita.
m
R
R’
La forza F agente sulla massa ha momento
nullo rispetto al polo O (in quanto diretta
radialmente). Possiamo quindi usare la
conservazione del momento angolare fra le
due orbite:
R2
mR ω = mR ' ω' ⇒ ω' = ω 2
R'
2
F
2
2
⎛ 1.5m ⎞
ω' = 0.5 rad s⎜
⎟ = 4.5 rad s
⎝ 0.5m ⎠
Esempio
Una particella di massa m e’ legata ad un filo di lunghezza l=1m, a sua volta legato nell’
altra estremita’ ad un piolo. La particella si trova inizialmente in moto rettilineo uniforme
con velocita’ di modulo v0=0.4m/s su una retta distante d=40cm dal piolo. Nell’ istante in
cui la corda si tende, la particella inizia un moto circolare uniforme intorno al piolo.
Determinare la velocita’ angolare della particella.
O
O
v
T
m
v0
m
Nell’ momento in cui il filo si tende, la
particella subisce l’ effetto della
tensione della fune, che ne cambia
istantaneamente la quantita’ di moto
(che passa da mv0 a mv). Tuttavia
notiamo che la tensione della fune e’
sempre diretta radialmente rispetto ad
O. Avremo quindi che la quantita’ di
moto non si conserva, mentre si
conserva il momento angolare, in
quanto le forze esterne hanno momento
nullo rispetto ad O.
Esempio
Dobbiamo quindi calcolare la quantita’ di moto della particella prima e dopo l’ istante in cui
la fune si tende:
La traiettoria della particella e’ rettilinea. Applichiamo comunque
la definizione di momento angolare rispetto al punto O. Avremo
che:
O
Lin = R × mv 0
R
d
θ
m
Lin = mRv0 sin(π − θ ) = mv0 R sin θ = mv0d
v0
Il momento angolare rispetto ad O e’ quindi costante, e dipende
solo dalla distanza della traiettoria dal punto O.
Considerando che il moto della particella dopo che il filo si e’ teso e’ circolare uniforme, e applicando la
conservazione del momento angolare otteniamo:
0.4m/s ⋅ 0.4m
v0d
L = L ⇒ mv0d = mR ω ⇒ ω = 2 ⇒ ω =
= 0.16 rad
2
s
(1m)
R
in
fin
2