Appunti di geometria Anno scolastico 2001-2002 Prof

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Appunti di geometria ( Prof. Luigi Cai )
A. s. 2012- 2013
LE ORIGINI E GLI SVILUPPI DELLA GEOMETRIA
1° periodo (dalle origini fino al secolo VII a.C. )
La geometria ha un carattere esclusivamente pratico: le tavolette di argilla e i papiri (famoso il
papiro di Rhind), risalenti al 2000 a.C., contengono risoluzioni di problemi geometrici (calcolo di
semplici aree e volumi) e regole pratiche misurare e costruire.
2° periodo (dal VI secolo a. C. fino al secolo XVIII-XIX)
La geometria nasce come scienza pura e autonoma: l’interesse per la matematica non è più
orientato a risolvere problemi pratici, ma risponde ad un bisogno di conoscenza (chi si occupa di tale
disciplina lo fa con l'unico scopo di soddisfare il proprio intelletto).
Dal VI secolo a.C. gli scambi commerciali che i greci iniziarono con l'Oriente hanno permesso di
introdurre in Grecia le conoscenze geometriche degli Egizi e dei Babilonesi, anche se in modo
disordinato e frammentario (le persone più preminenti di tale periodo furono Talete e Pitagora).
Per i successivi tre secoli lo studio della geometria continuò a progredire in Grecia, fino alla comparsa
di Euclide (III secolo a.C.), che nella sua opera “Elementi” (trattazione di 13 libri), espose in modo
logico e organico tutte le conoscenze geometriche del suo tempo, creando un nuovo metodo di
indagine, detto metodo ipotetico-deduttivo o assiomatico, che costituì il punto di partenza degli
studi successivi e anche il testo basilare per l’insegnamento fino ai giorni nostri.
3° periodo (XVIII-XIX secolo fino ad oggi)
La geometria, dopo la crisi del XIX secolo, mantiene la struttura ideata da Euclide, ma con una
diversa interpretazione.
METODO INDUTTIVO E DEDUTTIVO
Lo studio della geometria può essere affrontato secondo due metodi:
- metodo induttivo: consiste nello stabilire regole e proprietà di validità generale, deducendole
dall'osservazione dei corpi e delle figure.
metodo ipotetico-deduttivo o assiomatico : consiste nel dare:
a) degli enti primitivi: semplici parole di cui non viene data alcuna definizione;
b)degli assiomi o postulati : proposizioni indimostrabili, che stabiliscono solo i legami
che intercorrono tra gli enti primitivi ;
c) i teoremi : proposizioni che devono essere dimostrate in modo rigoroso.
CRISI OTTOCENTESCA DELLA GEOMETRIA
Le cause della crisi si riferiscono al modo in cui vengono definiti gli enti primitivi e ai postulati.
La geometria fino al XIX secolo era quella concepita da Euclide nei suoi "Elementi" (concezione
classica), in cui:
- i termini primitivi dovevano essere scelti tra gli enti che la natura ci suggerisce e la cui essenza è
talmente chiara da poter essere facilmente capita da tutti;
- I postulati dovevano essere semplici ed evidenti:
- I postulati dovevano enunciare cose vere.
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A questa impostazione i matematici del XIX secolo mossero diverse critiche :
- materializzare le idee di punto, retta e piano così come ci vengono suggerite dall'esperienza è
piuttosto grossolano;
- non è sempre possibile stabilire la verità dei postulati (ad esempio, il quinto postulato).
Pertanto i matematici diedero una nuova concezione della geometria (concezione moderna):
- gli enti primitivi sono termini di cui non viene fornita alcuna definizione esplicita;
- i postulati sono semplicemente enunciati né veri né falsi assunti come punti di partenza della
teoria deduttiva e aventi lo scopo di definire implicitamente gli enti primitivi.
- I teoremi vengono dedotti utilizzando unicamente le regole di deduzione logica senza tenere conto
del loro significato.
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NASCITA DELLE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE
La crisi suddetta è da attribuirsi al V° postulato ( da un punto esterno ad una retta data si può
condurre una ed una sola retta parallela), che, sin dall'antichità, non piaceva ai matematici, poiché
era poco evidente e difficilmente verificabile in uno spazio limitato.
Infatti, facendo ruotare la retta r attorno
P
al punto P , il punto Q si allontana
sempre di più, finendo per uscire dal
r
foglio e cessando di essere osservabile.
s
Q
E' proprio l’impossibilità di vedere il distacco di r da s che rende problematica l'accettazione del
V° postulato.
Pertanto i matematici, per eliminare questo difetto, provarono a:
- dedurre il V postulato dagli altri postulati , ma ogni tentativo si concluse con un fallimento;
- sostituire il V postulato con la sua negazione ,cioè ammettere che per il punto non passano rette
parallele oppure che ne passano infinite.
Tra i molti tentativi di dimostrazione ebbe maggior risonanza quella del matematico e gesuita ligure
Gerolamo Saccheri (1667 – 1733), che, comunque, non riuscì a risolvere il problema.
Dopo circa 50 anni i matematici Bolyai (1802-1860), Gauss (1777-1855), Lobacevski (1793-1856) e
Riemann (1826-1866) scoprirono che le proposizioni "strane" , che Saccheri ottenne durante la
stesura del suo trattato e che urtavano il senso comune, erano in realtà teoremi appartenenti a nuove
geometrie. Le nuove geometrie, che rappresentano un’alternativa a quella euclidea, furono
denominate geometrie non euclidee.
Le geometrie, che concordano fino al quarto postulato (fino a questo punto si parla di geometria
assoluta) , si differenziano nel momento in cui si introduce il V postulato, il quale a secondo del
numero delle rette che, da un punto esterno ad una retta data, si possono condurre parallelamente a
questa, assume la forma:
- dal punto non si possono condurre rette parallele (geometria di Riemann o ellittica);
- dal punto si può condurre una sola retta parallela (geometria euclidea);
- dal punto si possono condurre infinite rette parallele (geometria di Lobacevski o iperbolica ).
Studi successivi, dovuti a Klein (1849-1925) e a Poincarè (1854-1912), hanno confermato la assoluta
coerenza logica delle nuove geometrie e hanno mostrato che il postulato di Euclide non è
dimostrabile a partire dagli altri postulati.
E' comunque evidente che le tre geometrie conducono a risultati differenti.
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Noi studieremo la geometria euclidea, perché ammette una trattazione più semplice e, avendo a
che fare con distanze opportunamente piccole, è giustificato il suo uso esclusivo nella vita ordinaria.
MODELLI DI GEOMETRIE
Una geometria ha validità logica, cioè non si contraddice, se è possibile fornire un modello che
soddisfi ai postulati sui quali essa è costruita.
Per costruire un modello (rappresentazione pratica di una teoria) occorre dare una interpretazione
agli enti primitivi e verificare se i postulati sono validi.
Modello di Riemann della geometria ellittica
Gli enti primitivi hanno la seguente interpretazione:
- piano: una qualunque superficie sferica;
- punto: coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica;
- retta: una qualunque circonferenza massima.
Si può verificare che i primi quattro gruppi di postulati sono verificati.
Esempio
• Per due punti passa una sola retta (figura 1). Per un punto passano infinite rette (figura 2)
• Il quinto postulato di Euclide è sostituito dal seguente: fissati un punto P (la coppia di punti A e B) e
una retta r’ (una circonferenza massima) non esiste alcuna retta passante per P (cioè una
circonferenza massima di diametro AB) e parallela a r’ (figura 3)
Fig.1
fig.2
fig.3
Modello di Klein, Lobacevski della geometria iperbolica
Gli enti primitivi hanno la seguente interpretazione:
- piano: cerchio aperto;
- punto: qualunque punto interno al cerchio;
- retta: una qualunque corda, esclusi gli estremi.
Si può verificare che i primi quattro gruppi di postulati sono verificati.
Esempio
• Per un punto passano infinite rette;
• Il quinto postulato di Euclide è sostituito dal seguente: fissati un punto P e una retta r esistono
infinite rette passanti per P e parallele a r ( cioè che non incontrano la retta r) (figura 4)
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Fig. 4
ENTI PRIMITIVI
Si assumono come concetti primitivi : il punto, la retta, il piano.
I punti si indicano con le lettere maiuscole, le rette con le lettere minuscole e i piani con le lettere
greche.
POSTULATI O ASSIOMI
Vengono suddivisi nei seguenti gruppi:
I° gruppo :
Postulati di appartenenza
Hanno il compito di stabilire l’appartenenza dei punti alla retta , dei punti al piano e delle rette al
piano ; essi sono:
1) per un punto passano infinite rette;
2) per due punti passa una ed una sola retta;
3) una retta avente due punti in comune con un piano giace interamente sul piano;
4) tre punti non allineati individuano uno ed un solo piano.
II° gruppo :
Postulati di ordinamento
Hanno il compito di stabilire l’ordinamento dei punti sulla retta ; essi sono:
1) i punti di una retta si possono ordinare secondo due versi;
2) la retta è formata da infiniti punti e in ciascuno dei due versi non vi è nè un primo punto nè un
ultimo punto;
3) l’insieme dei punti di una retta è denso, cioè tra due punti cade sempre almeno un punto (e quindi
infiniti).
Essi permettono di introdurre i segmenti, le semirette e le poligonali.
III° gruppo :
Postulato di partizione del piano
Ha il compito di stabilire il legame che esiste tra retta e piano. Permette di definire il semipiano.
Una retta divide il piano in due parti ( dette semipiani ) tali che :
- il segmento congiungente due punti appartenenti allo stesso semipiano non incontra la retta ( il
segmento AC in figura);
- il segmento congiungente due punti appartenenti a semipiani opposti incontra la retta in un punto ( il
segmento BD in figura).
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A
B
r
C
D
IV° gruppo :
α
Postulati di congruenza dei segmenti e degli angoli
Si definisce congruenza tra due figure la corrispondenza biunivoca tra i loro punti.
La congruenza dei segmenti e degli angoli viene definita implicitamente dai seguenti postulati e
proprietà:
1) Postulato
La congruenza tra segmenti (angoli) soddisfa alle proprietà :
a) riflessiva: ogni segmento (angolo) è congruente a se stesso; AB ≅ AB
b) simmetrica :se un segmento (angolo) è congruente ad un altro, allora questi è congruente al
primo; se AB ≅ DC allora DC ≅ AB
c) transitiva: due segmenti (angoli) congruenti ad un terzo sono congruenti tra loro;
se AB ≅ DC e DC ≅ EF allora AB ≅ EF.
2) Postulato del trasporto dei segmenti (degli angoli)
Su ogni retta, prefissati un origine e un verso, esiste uno ed un solo punto che con l’origine forma un
segmento congruente ad un segmento dato.
(In ogni fascio di raggi, prefissati un verso e un ‘origine, esiste uno ed un solo raggio che con l’origine
forma un angolo congruente ad un angolo dato).
3) Postulato di invertibilità dei segmenti (degli angoli)
Segmenti (angoli) sono congruenti a se stessi anche con il verso cambiato.
4) Per i segmenti (angoli) si introduce l’operazione di somma; tale somma soddisfa alle proprietà:
commutativa, associativa, esistenza dell’elemento neutro.
5) Per i segmenti (angoli) si può considerare l’operazione di sottrazione solo se il minuendo è
maggiore del sottraendo.
6) Postulato di addizionabilità
Somme o differenze di segmenti (angoli) rispettivamente congruenti sono congruenti.
7) Multiplo di un segmento (angolo)
Si dice multiplo del segmento AB (dell’angolo ABˆ C ) secondo il numero naturale n il segmento
CD = n ⋅ AB (l’angolo EFˆG = n ⋅ ABˆ C ).
8) Postulato di Eudosso-Archimede
Dati due segmenti (angoli) non nulli e diversi tra loro, esiste sempre un multiplo del minore che
supera il maggiore.
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Tale postulato serve per stabilire l’esistenza di segmenti (angoli) sempre più grandi.
9) Postulato di divisibilità
Ogni segmento (angolo) è sempre possibile dividerlo in n parti tra loro congruenti.
Serve per stabilire l’esistenza di segmenti (angoli) sempre più piccoli.