La risonanza della Z a LEP

Fenomenologia del Modello Standard – Prof. A. Andreazza
Lezione 9
Le misure di precisione al LEP
La lineshape della Z
Il LEP ed il Modello Standard
•  Il Large Electron-Positron collider fu lo strumento successivo all’SPS
nello studio del Modello Standard:
–  LEP-1: energia nel centro di massa ~mZ
–  Affiancato dallo SLAC Linear Collider: misure con fasci polarizzati.
–  LEP-2: energia nel centro di massa >2mW
•  Grande opera ingegneristica:
–  tunnel di 27 km,
•  Stesso tunnel riutilizzato da LHC
–  intenso uso di cavità RF superconduttrici per accelerare i fasci.
•  Cambiamento di paradigma nell’approccio al modello standard:
–  Da misure di scoperta a misure di precisione.
–  Spostamento della 3a grandezza fondamentale da sin2θW a mZ.
•  Testo di riferimento:
–  “Precision electroweak measurements on the Z resonance”
Physics Reports 427(2006) 257–454
2
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Proprietà della Z: misure di precisione a LEP
•  Studio del processo e + e − → Z / γ → f f ad energie nel c.m. vicine a mZ.
–  Propagatore di una particella massiva instabile
–  Accoppiamenti alla Z:
•  Distribuzioni angolari
•  Interferenza Z/γ
•  Misura della lineshape:
–  Determinazione di mZ e ΓZ
•  Misura di luminosità
•  Calibrazione dell’energia dei fasci
–  Determinazione del numero di famiglie di neutrini
–  Stima della massa del top (esempio)
•  Accoppiamenti ai fermioni e misura di sin2θW:
–  Asimmetrie forward-backward dei leptoni
–  Asimmetrie di polarizzazione: polarizzazione dei fasci e nei decadimenti
–  Rb=Γbb/Γhad: rivelatori di vertice e b-tagging
3
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Misure di precisione a LEP: mZ
• 
• 
Nel Modello Standard le interazioni
possono venire descritte da tre
parametri:
–  g, costante di SU(2)L;
–  g’, costante di U(1)Y;
–  v, valore di aspettazione del campo
di Higgs.
Siccome tutte le osservabili sono definite
in base a questi parametri, basta
misurarne tre, scelte opportunamente,
per prevedere i valori di tutte le altre.
•  In particolare:
(
v = 2 2GF
e=
gg !
)
−1/2
g 2 + g !2
= 174 GeV
mZ =
•  Introducendo come quantità ausiliaria
l’angolo di Weinberg θW, definito come:
g
g ʹ′
= cos θW
= sin θW
2
2
2
2
ʹ′
ʹ′
g +g
g +g
•  otteniamo:
sin 2 θW cos2 θW =
Le quantità note con maggior precisione
• 
Storicamente le quantità che sono state
misurate:
e2
α=
= 1/ 137.035999679(94)
4π
GF = 1.166364(5) ×10−5 GeV -2
2
sin θW GeV/c 2
mZ = 91.1876(21)
4
1 2
g + g !2 v
2
πα
2GF mZ2
•  ma per avere accordo con quantità misurate
con precisione, bisogna tenere conto delle
correzione quantistiche, in particolare il
running di α:
α (m
2
Z
α ( me2 )
) = 0.94072 ± 0.00012 = 128.911± 0.02
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Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Misure di precisione a LEP: sin2θW
Fermione
5
Z
gL
gR
(v=)gV=gL+gR
(a=)gA=gL-gR
ν
1/2
0
1/2
1/2
e
-1/2+sin2θW
+sin2θW
-1/2+2 sin2θW
-1/2
u
1/2-2/3 sin2θW
-2/3 sin2θW
1/2-4/3 sin2θW
1/2
d
-1/2+1/3 sin2θW
1/3 sin2θW
-1/2+2/3 sin2θW
-1/2
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Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
La sezione d'urto e+ + e- → γ/Z→ f + f
•  Ad alta energia la annichilazione di elettroni e positroni procede attraverso due
processi:
k
e-
p
e+
k
e-
p
e+
f
γ
f
f
1
Mγ = −e 2 q f uk 'γ µ v p' v pγ µ uk
s
σ γff
4πα 2 q 2f
= NC
3 s
p'
f
Z
k'
k'
p'
numero
di colori
M Z = − 2GmZ2 ⋅ uk 'γ µ ( v f − a f γ 5 ) v p'
1
DZ ( s )
v pγ µ ( ve − aeγ 5 ) uk
propagatore della Z
DZ ( s ) = s − mZ2 + imZ Γ Z
•  e questo lo rende un processo complementare ai precedenti per lo studio delle
costanti di accoppiamento alla Z.
6
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Propagatore di un bosone massivo
•  La regola generica per il propagatore di un bosone vettore è:
−ig µν
q 2 − mZ2
Z
•  Per particelle instabili bisogna tenere conto che possiamo descriverle
attraverso una massa complessa: m-iΓ/2.
•  A denominatore quindi abbiamo:
2
2
!
$
Γ
Γ
2
2
Z
2
mZ → # mZ − i &
= mZ − Z − imZ Γ Z ≈ mZ − imZ Γ Z
2 %
"
4
•  Quando si calcola il quadrato dell’elemento di matrice, il propagatore dà
un contributo pari a:
2
1
1
=
2
2
2
2
2
q − mZ + imZ Γ Z
q − mZ + mZ2 Γ 2Z
(
)
–  per q2 piccolo, è una costante pari a mZ4
–  per q2 grande, ha un andamento asintotico 1/q4, come il fotone
–  presenta una risonanza a q2~mZ2, dove ha il valore massimo
7
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σ(e+ + e- → γ/Z→adroni)
Tristan
CESR
Doris
B-factories
PEP
Petra
σ [mb]
LEP
√s [GeV]
8
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
LEP
Collisore e+e√s=88-94 GeV (LEP-1 1989-1995)
√s=130-209 GeV (LEP-2 1995-2000)
L =1031-1032 cm-2s-1
9
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Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Esperimenti LEP: ALEPH
ALEPH
10
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Esperimenti LEP: DELPHI
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Esperimenti LEP: L3
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Esperimenti LEP: OPAL
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Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
LEP dal 1989 al 2000
• 
• 
Dal 1989 al 2000 LEP ha raccolto una
grande quantità di dati
Dal 1989 al 1995 ad energie prossime al
picco della risonanza
∫ L dt
• 
• 
≈ 160 pb−1 ( s  mZ )
Misure di precisione: 0.1 %
Dal 1996 in poi a luminosità sempre
maggiori Lmax ~ 1032 cm-2 s-1
∫ L dt
• 
Ad
– 
– 
– 
≈ 500 pb
−1
( s > mZ )
40 000 W+W-
energie sempre maggiori per
Misura mW
Ricerca bosone di Higgs
Ricerca particelle supersimmetriche
•  Luminosità:
14
18 Milioni Z’s
dN
= σL
dt
Higgs?
Energia: 88 → 209 GeV
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Campione Z → adroni
• 
• 
• 
La tabella mostra i dati raccolti dal 1990 al
1995 quando il LEP ha raccolto dati
all’energia della risonanza del bosone Z
Nella tabella sono riportati i dati relativi ai
decadimenti adronici del bosone Z
Per la misura della massa del bosone Z i
dati più importanti sono quelli raccolti
negli anni 1993, 1994, 1995
Anno
90-91
1992
1993
1994
1995
Totale
• 
• 
Nel 1993 e nel 1995 si sono raccolti
dati a 3 energie per ottimizzare la
misura della massa
Nel 1994 il LEP è stato ottimizzato per
l’intensità per raccogliere una elevata
statistica per misure di precisione
n. punti pb-1 ALEPH DELPHI L3 OPAL
7
14
451
357
416
454
1
25
680
697
678
733
3
35
640
677
646
646
1
50 1,654
1,241 1,307 1,524
3
30
739
584
311
344
154 4,164
3,556 3,358 3,701
LEP
1,678
2,788
2,609
5,726
1,978
14,779
eventi Z → adroni (migliaia)
15
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Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Campione Z → leptoni
Anno n. Punti pb-1 ALEPH DELPHI L3 OPAL LEP
90-91
7
14
55
36
40
58
189
1992
1
25
82
70
58
88
298
1993
3
35
78
74
64
82
298
1994
1
50
190
135
127 184 636
1995
3
30
80
67
28
42
217
Totale
154
485
382
317 454 1638
eventi Z → leptoni (migliaia)
16
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Vari decadimenti del bosone Z
17
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Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Il processo e+ + e- → f + f
•  Consideriamo il processo di annichilazione e+ e− → f f ad alta energia s≫4mf2
–  trascuriamo tutte le masse dei fermioni
f (k’)
e-(k)
e+ (p)
θ
f (p’)
•  La sezione d’urto è data dalla relazione
dσ =
M
2
4 ( k ⋅ p )2 − me4
dΦ 2 =
s
2
(1 0 0 1)
s
p=
1 0 0 −1 )
2 (
s
k! =
1 sin θ 0 cosθ )
2 (
s
p! =
1 −sin θ 0 −cosθ )
2 (
k=
2
1 pf
dΩ
2
s
4 ( k ⋅ p )2 − me4 ( 4π )
M
•  che si può particolarizzare in
M2
dσ
=
dΩ 64π 2 s
18
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Elicità e chiralità ad alta energia
•  Nel calcolare le sezioni d’urto per questo processo, è utile ricordare due punti:
1.  tutte le interazioni di natura vettoriale e/o assiale connettono solo spinori con
la stessa chiralità:
⎛
W1, µ + iW2, µ ⎞
⎞ ⎛ν L ⎞
⎛ν ⎞
g ⎛ W3, µ
Y
ʹ′
(ν L , eL )γ µ Dµ ⎜ L ⎟ = (ν L , eL )γ µ ⎜ ∂ µ − i ⎜
−
ig
B
⎟
µ ⎟
⎜
⎟ ⎜⎝ eL ⎟⎠
W
−
iW
−
W
e
2
2
2, µ
3, µ
⎝ L ⎠
⎝ 1, µ
⎠
⎝
⎠
Y
eRγ µ Dµ eR = eR ∂/ eR − ig ʹ′ eRγ µ Bµ eR
2
•  ψL contiene gli operatori:
–  di distruzione di un fermione sinistrorso
–  di creazione di un anti-fermione destrorso
•  ψ R contiene gli operatori:
–  di distruzione di un fermione destrorso
–  di creazione di un anti-fermione sinistrorso
2.  per particelle con massa nulla elicità e chiralità coincidono:
•  Gli stati di destrorso e sinistrorso corrispondono a diverse orientazioni dello spin:
•  sono stati distinguibili e quindi non danno interferenza nelle sezioni d’urto;
•  possiamo quindi calcolare separatemente le sezioni d’urto per i diversi stati di
chiralità e sommarle alla fine.
19
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Conservazione dell'elicità ad alte energie
e-
k
e-
k'
e-
k
e-
k'
•  In processi in canale t:
–  un fermione entra ed esce
con la stessa elicità
uRγ µ uR
k
e-
uLγ µ uL
k
e-
•  In processi di canale s:
p
e+
vLγ µ uR
20
p
e+
vRγ µ uL
–  fermione ed anti-fermione
hanno elicità opposta
–  la collisione avviene con Jz=±1
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
e+ + e- → γ/Z→ f + f : tensore fermionico
•  Nei diagrammi rilevanti per il processo:
k
e-
p
e+
k
e-
p
e+
f
γ
1
Mγ = e 2Q f uk 'γ µ v p' v pγ µ uk
s
p'
f
f
Z0
k'
k'
p'
f
#
1 − γ5
1 + γ5 &
M Z = −4 2GmZ2 ⋅ uk 'γ µ % gL, f
+ gR, f
v
$
2
2 (' p'
#
1
1 − γ5
1 + γ5 &
×
×
v
γ
g
+
g
uk
p
µ
L,e
R,e
%
(
2
$
'
2
2
s − mZ + imZ Γ Z
1±γ
5
•  i termini v pγ µ 2 uk danno origine, nel calcolo di M 2 , ad un tensore:
!
1 ± γ5 ν 1 ± γ5 $
µν
TR,L
= Tr # p/ γ µ
k/ γ
"
2
2 &%
!
1 ± γ5 $
= Tr # p/ γ µ k/ γ ν
"
2 &%
= 2 "# pµ k ν + k µ pν − gµν ( pk ) ± iε µνρσ pρ kσ $%
•  e l’analogo per lo stato finale:
µν
FL,R
= 2 #$ k!µ p!ν + p!µ k!ν − gµν ( p!k! ) ± iε µνρσ kρ! pσ! %&
21
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
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La sezione d'urto e+ + e- → f + f
•  Il prodotto dei tensori per le 4 differenti combinazioni possibili delle
elicità dei fermioni nello stato iniziale e nello stato finale
f
e-
θ
e+
Jz = 1 → Jz = 1
M
2
 TRµν FR,µν = 16 ( pk" ) ( p"k ) = s 2 ( 1 + cosθ )2
f
f
e-
θ
e+
J z = 1 → J z = −1
M
2
 TRµν FL,µν = 16 ( pp# ) ( kk# ) = s 2 ( 1 − cosθ )2
e+
J z = −1 → J z = 1
M
2
 TLµν FR,µν = 16 ( pp# ) ( kk# ) = s 2 ( 1 − cosθ )2
e+
J z = −1 → J z = −1
f
f
e-
θ
f
f
e-
θ
M
2
 TLµν FL,µν = 16 ( pk# ) ( p#k ) = s 2 ( 1 + cosθ )2
f
22
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
La sezione d'urto e+ + e- → γ → f + f
•  Moltiplicando per le costanti
di accoppiamento e lo spazio
delle fasi:
M2
dσ
=
dΩ 64π 2 s
1 e 4Q 2f µν
=
T Fµν
2
2
64π s s
α 2 2 T µν Fµν
=
Qf
4s
s2
f
e-
θ
e+
dσ
dΩ
e+
dσ
dΩ
e+
dσ
dΩ
e+
dσ
dΩ
R,L→R,L
α2 2
Q f ( 1 + cosθ )2
4s
R,L→L,R
α2 2
=
Q f ( 1 − cosθ )2
4s
L,R→R,L
α2 2
=
Q f ( 1 − cosθ )2
4s
L,R→L,R
α2 2
=
Q f ( 1 + cosθ )2
4s
=
f
f
e-
θ
f
f
e-
θ
f
f
e-
θ
f
• 
23
Le sezioni d’urto per le coppie di dσ
elicità “sbagliate”sono tutte nulle: dΩ
=
R,R→R,R
dσ
dΩ
=
L,L→R,R
dσ
dΩ
=
R,R→L,L
dσ
dΩ
=0
L,L→L,L
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
La sezione d'urto e+ + e- → γ → f + f
• 
La sezione d'urto si ottiene sommando sulle polarizzazioni non osservate dello stato finale e
mediando sulle polarizzazioni dello stato iniziale nel caso di fasci non polarizzati
dσ
=
dΩ
1 # dσ
%
4 $ dΩ
+
R,L→R,L
dσ
dΩ
+
R,L→L,R
dσ
dΩ
+
L,R→R,L
dσ
dΩ
&
(
L,R→L,R '
• 
10
dσ α 2 2 "
=
Q f #1 + cos2 θ $%
dΩ 4s
1
integrando su tutto l'angolo solido
si ottiene la sezione d'urto totale
σ [nb]
dσ α 2 2 1 "
=
Q f # 4 + 4 cos2 θ $%
dΩ 4s
4
sdσ/d Ω [nb GeV2/sr]
dσ α 2 2 1 #
=
Q f $ ( 1 + cosθ )2 + ( 1 − cosθ )2 + ( 1 − cosθ )2 + ( 1 + cosθ )2 %&
dΩ 4s
4
0.1
0.01
2
4πα 2
σ=
Qf
3s
24
10
20
30
s [GeV]
40
cos θ
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
e+ + e- → γ/Z→ f + f : propagatori
• 
• 
Nei diagrammi rilevanti per il processo:
k
e-
p
e+
k
e-
p
e+
f
γ
k'
p'
f
f
Z
k'
p'
f
"1 + γ5 1 − γ5 %
1
Mγ = e 2Q f uk 'γ µ v p' v pγ µ uk e 2Q f uk 'γ µ $
+
v
# 2
s
2 '& p'
"1 + γ5 1 − γ5 %
1
× v pγ µ $
+
u
# 2
s
2 '& k
#
1 − γ5
1 + γ5 &
M Z = −4 2GmZ2 ⋅ uk 'γ µ % gL, f
+ gR, f
v
$
2
2 (' p'
#
1
1 − γ5
1 + γ5 &
×
×
v
γ
g
+
g
u
p
µ
L,e
R,e
%$
2
2 (' k
s − mZ2 + imZ Γ Z
i termini dei propagatori e relative costanti di accoppiamento danno un contributo:
e 2Q f 4 2GmZ2 gL(R), f gL(R),e
Mγ + M Z ∝
−
s
s − mZ2 + imZ Γ Z
Mγ + M Z
2
= Mγ
2
+ 2ℜ ( Mγ*M Z ) + M Z
2
2
% e 2Q 4 2Gm 2 g
( 32G 2 m 4 g 2
e 4Q 2f
f
Z L(R), f gL(R),e
Z L(R), f gL(R),e
** +
∝ 2 − 2ℜ ''
2
s
s
s
−
m
+
im
Γ
( Z Z Z ) ) ( s − mZ2 )2 + mZ2 Γ 2Z
&
spesso abbreviata con:
25
1$ 4 2
2
2
&
e Q f − 128πℜ ( e 2Q f gL(R), f gL(R),e χ ( s ) ) + 32 ⋅128π 2 χ ( s ) 2 gL(R),
f gL(R),e '
2%
s
GmZ2
s
χ (s) =
8π 2 s − mZ2 + imZ Γ Z
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
La sezione d'urto e+ + e- → γ/Ζ → f + f
' T µν Fµν
dσ 1 $ α 2Q 2f
2 2
2
= &
− 8ℜ ( αQ f gL(R), f gL(R),e χ ( s ) ) + 64 χ ( s ) gL(R), f gL(R),e )
2
dΩ s % 4
( s
f
e-
θ
e+
dσ
dΩ
f
f
e-
θ
e+
dσ
dΩ
e+
dσ
dΩ
e+
dσ
dΩ
R,L→R,L
(
1 % α 2Q 2f
2
2
2
= '
− 8ℜ ( αQ f gR, f gR,e χ ( s ) ) + 64 χ ( s ) 2 gR,
g
f R,e *( 1 + cosθ )
s& 4
)
R,L→L,R
(
1 % α 2Q 2f
2
2
2
= '
− 8ℜ ( αQ f gL, f gR,e χ ( s ) ) + 64 χ ( s ) 2 gL,
g
f R,e *( 1 − cosθ )
s& 4
)
L,R→R,L
(
1 % α 2Q 2f
2
2
2
= '
− 8ℜ ( αQ f gR, f gL,e χ ( s ) ) + 64 χ ( s ) 2 gR,
g
f L,e *( 1 − cosθ )
s& 4
)
L,R→L,R
(
1 % α 2Q 2f
2 2
2
= '
− 8ℜ ( αQ f gL, f gL,e χ ( s ) ) + 64 χ ( s ) gL, f gL,e *( 1 + cosθ )2
s& 4
)
f
f
e-
θ
f
f
ef
26
θ
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
La sezione d'urto e+ + e- → γ/Z → f + f
• 
La sezione d'urto si ottiene sommando sulle polarizzazioni non osservate dello stato finale e
mediando sulle polarizzazioni dello stato iniziale nel caso di fasci non polarizzati
dσ
=
dΩ
1 # dσ
%
4 $ dΩ
+
R,L→R,L
dσ
dΩ
+
R,L→L,R
dσ
dΩ
+
L,R→R,L
dσ
dΩ
&
(
L,R→L,R '
1 dσ α 2 2
=
Q f ( 1 + cos2 θ )
N C, f dΩ 4s
2αQ f
ℜχ ( s )$% ( gR, f + gL, f ) ( gR,e + gL,e ) ( 1 + cos2 θ ) + 2 ( gR, f − gL, f ) ( gR,e − gL,e ) cosθ &'
s
16
2
2
2
2
2
2
2
2
2
&
+
χ ( s ) 2 $% ( gR,
f + gL, f ) ( gR,e + gL,e ) ( 1 + cos θ ) + 2 ( gR, f − gL, f ) ( gR,e − gL,e ) cosθ '
s
−
α2 2
=
Q f ( 1 + cos2 θ )
4s
=σγ
2αQ f
ℜχ ( s )#$ gV, f gV,e ( 1 + cos2 θ ) + 2gA, f gA,e cosθ %&
s
4
2
2
2
2
2
#
+ χ ( s ) 2 !" ( gV,
f + gA, f ) ( gV,e + gA,e ) ( 1 + cos θ ) + 8gV, f gA, f gV,e gA,e cosθ $
s
−
• 
27
= σ γZ
=σ Z
Si noti che la suddivisione in sezioni d’urto parziali è puramente convenzionale:
–  l’unico oggetto che ha senso fisico è la somma di tutti i termini
–  σγZ potrebbe anche essere negativa
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
MISURA DELLA LINESHAPE DELLA Z
28
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Risonanza
• 
Integrando la parte di σZ, si ottiene:
• 
+ −
σ (e e → Z → f f ) =
= N C, f
= N C, f
• 
)
Z
Z
= N C, f
Γ f f = N C, f
• 
• 
2
2
2
2
G 2 mZ4 ( gV, f + gA, f ) ( gV,e + gA,e )
6π
Γ 2Z
• 
• 
4π
2J + 1
Γ in Γ out / 4
2 2S + 1 2S + 1
k ( 1 ) ( 2 ) ( E − E0 )2 + Γ 2tot / 4
– 
k = momento delle paricelle entranti
nel sistema del c.m.
Si = spin delle particelle incidenti
– 
J = spin della risonanza.
GmZ3
2
2
gV,
(
f + gA, f
6 2π
)
Nota 1:
la misura di sezioni d’urto fornisce la
combinazione di accoppiamenti:
2
2
gV,
f + gA, f
dove:
– 
29
Z
confrontandola con la tradizionale
formula delle risonanze,
σ=
• 
(
che al picco dà la sezione d’urto
σ 0ff
• 
64π
2
2
2
2
χ ( s ) 2 ( gV,
f + gA, f ) ( gV,e + gA,e )
3s
2
2
2
2
G 2 mZ4 s ( gV, f + gA, f ) ( gV,e + gA,e )
2
6π
s − m2 + m2 Γ2
si ottiene l’espressione delle
larghezze di decadimento parziali:
• 
Nota 2:
una forma migliore del termine del
propagatore che viene spesso usata è
GmZ2
s
χ (s) =
2
8π 2 s − mZ + isΓ Z / mZ
in cui si tiene conto che la
“larghezza” aumenta con s, a causa
del maggiore spazio delle fasi.
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
La risonanza
• 
• 
Nella zona della risonanza la sezione d'urto
è dominata dal termine della Z e tutti gli
altri termini sono in prima approssimazione trascurabili
È conveniente riscrivere la sezione d'urto
relativa alla Z nel seguente modo
σ ff ( s ) = σ 0ff
• 
• 
sΓ 2Z
(
2
s − mZ2
)
+ mZ2 Γ 2Z
= σ 0ff H ( s )
La funzione H(s) determina la forma della
curva di risonanza
I termini
σ 0ff =
12π Γ e Γ f
mZ2 Γ 2Z
0
σ had
=
ΓZ
12π Γ e Γ had
mZ2 Γ 2Z
rappresentano la sezione d'urto al picco
–  ΓX → larghezza di decadimento
parziale nella coppia di fermioni ff
–  ΓZ → larghezza di decadimento totale
30
mZ
• 
la larghezza di decadimento in adroni
Γ had =
∑
ΓX
X=u,d,s,c,b
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Misura della lineshape
• 
• 
Per studiare la risonanza si misurano
le sezioni d’urto adronica e leptoniche
in funzione della energia
le 4 curve vengono parametrizzate
0
σ had ( s ) = σ had
H (s)
• 
dove
σ0
Γ had
R = had
=
0
Γ
σ 
• 
0
σ  ( s ) = σ had
H ( s ) / R
H (s) =
sΓ 2Z
( s − mZ2 )
2
+ mZ2 Γ 2Z
a questo punto si costruisce la funzione
2
2
2
(" h
µ
e
"
%
%
"
%
" σ iτ − σ ττ ( Ei ) %2 +
σ
−
σ
E
σ
−
σ
E
σ
−
σ
E
(
)
(
)
(
)
µµ
i
i
had
i
i
ee
i
i
2
χ = ∑* $
' +$
' +$
' +$
' h
e
µ
τ
*
δ
δ
δ
δi
& #
& #
& -,
& #
i
i
i
i )#
0
χ 2 = χ 2 ( mZ , Γ Z , σ had
, Re, Rµ , Rτ )
• 
31
errori di misura
e si minimizza χ2 in funzione dei 6
parametri
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Parentesi: radiazione di stato iniziale
• 
Gli elettroni e positroni del fascio hanno una
probabilità non trascurabile di irraggiare un
fotone prima dell’interazione:
f
Z
e+
p
• 
k'
γ
k
e-
f
p'
La sezione d’urto misurata è in realtà la
convoluzione di quella elementare per la
probabilità di irraggiamento:
σ ( s) =
∫
1
4m2f /s
( )
( )
dzH QED z, s σ e+e− →γ /Z→ f f zs
–  deformazione della curva di risonanza
–  ad energie sopra il picco della Z,
compare la possibilità di un ritorno
radiativo sulla risonanza
32
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
La misura delle sezioni d’urto
• 
• 
• 
• 
La sezione d’urto può essere misurata dai dati
sperimentali mediante la relazione
σ=
N sel − N back
ε ∫ L dt
δσ ≈ 0.1%
• 
Il background viene stimato mediante
simulazioni Montecarlo e mediante studi
sperimentali: Nback/Nsel = 0.3% ± 0.1%
Anche l’efficienza viene stimata con
studi Montecarlo: ε = 99% ± 0.1%
dove
–  Nsel è il numero di eventi selezionati
mediante opportuni criteri (tagli) per
individuare un campione (ad esempio
adroni o coppie di muoni)
–  Nback è il numero di eventi di fondo che
contaminano il campione
–  ε è l’efficienza della selezione
–  l’integrale è la luminosita integrata che
corrisponde agli eventi selezionati
gli errori sulla sezione d’urto si calcolano
mediante la propagazione degli errori
–  l’errore statistico su Nsel è molto piccolo:
per ALEPH Nsel ≈ 3 106;
δ N sel
1
Trascurabile!
33
• 
N sel
=
N sel
≈ 0.06%
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Misura della luminosità
• 
Per misurare la luminosità si utilizza un
processo X di cui è possibile calcolare
teoricamente la sezione d’urto σX con
elevata precisione:
–  nel corso di un periodo di tempo (RUN)
si osservano NX eventi
–  per definizione la luminosità integrata
relativa a quel RUN è
• 
Risultano invece trascurabili i diagrammi
e-
e-
Z
• 
e-
γ,Z
e-
e+
e+
e+
e+
per misurare questo processo si utilizzano
due rivelatori posizionati vicino al fascio
N
∫ L dt = σ XX
• 
• 
A LEP il processo utilizzato è lo scattering
Bhabha e+ e- → e+ eA piccoli angoli il processo è dominato dal
diagramma
e-
e-
γ
e+
34
e+
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Misura della luminosità
• 
35
LCAL: calorimetro piombo e tubi
proporzionali
• 
SICAL: calorimetro silicio e tungsteno
θ min = 45 mrad
θ max = 155 mrad
θ min = 24 mrad
θ max = 58 mrad
Rmin = 9.2 cm
Rmax = 30 cm
Rmin = 6.1 cm
Rmax = 14.4 cm
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Misura della luminosità
• 
Nella regione di interesse ( θ << 1 ) la
sezione d’urto al primo ordine è
• 
Per renderci conto dell’importanza
dello angolo minimo approssimiamo
dσ 32α 2 1
=
dθ
s θ3
• 
L ∝ NL ∝ σ L ≈
Si registrano tutti gli eventi compresi
in un intervallo angolare θmin θmax
• 
θmax
• 
" 1
1 %
σ L = 0.125$ 2 − 2 ' nb
# θ min θ max &
• 
36
da cui
θ min =
per mantenere l’errore sistematico
sulla misura della luminosità entro
10-3 occorre controllare Rmin
ΔRmin = 0.5 × 61 ×10−3 mm = 30 µ m
Il parametro più critico è
θmin
2
θ min
ΔL
Δθ
ΔR
= −2 min = −2 min
L
θ min
Rmin
θmin
• 
k
Rmin
L
L’errore sistematico sulla luminosità
per ALEPH era 0.05%
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
La misura di mZ
• 
• 
• 
Lo “scan” in energia fatto negli anni
1993,1994, 1995 ha concentrato la presa
dati a 3 energie
–  dati al picco, cioè nel punto di
massima sezione d’urto: ~ 91.2 GeV
–  dati in due punti, circa equidistanti,
distanti ciascuno circa 1.8 GeV dal
picco
Questi punti sono stati scelti con una
procedura di ottimizzazione:
–  i punti P+2 e P-2 determinano molto
bene la posizione del picco
–  i punti P+2 e P-2 hanno una sezione
d’urto circa 3 volte inferiore e quindi
minore precisione statistica
Ovviamente, per una misura di precisione
occorre conoscere con estrema precisione
l’energia dei fasci
P-2
• 
P
P+2
Ecm = Eb1+Eb2
L’errore sulla massa della Z dovuto
all’errore sull’energia del fascio è circa
ΔmZ ≈ 0.5Δ ( EP−2 + EP+2 )
• 
Analogamente l’errore sulla larghezza
ΔΓ Z ≈ 0.7Δ ( EP−2 − EP+2 )
37
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Risultati del fit
•  Il fit delle sezioni d’urto con la formula della risonanze produce i
valori dei 6 parametri. In particolare, la massa del bosone Z
dominato dall’errore sull’energia
del energia LEP
38
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Risultati del fit
• 
Analogamente i risultati relativi alla
larghezza del bosone Z
mH at LHC
L’errore dominato dall’errore sistematico
sulla luminosità e l’incertezza punto-punto
dell’energia
• 
39
La dipendenza della previsione teorica
della larghezza dalla massa del bosone
di Higgs dipende dalla inclusione delle
correzioni radiative
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Risultati del fit
• 
I risultati per del fit della “lineshape” per
l’esperimento ALEPH sono i seguenti
91.1893 ± 0.0031
mZ ( GeV )
91.1876 ± 0.0021
Γ Z ( GeV )
2.4959 ± 0.0043
Γ Z ( GeV )
2.492 ± 0.0023
σ h0 ( nb )
41.559 ± 0.057
σ h0 ( nb )
41.541 ± 0.050
Re0
20.690 ± 0.075
Re0
20.804 ± 0.050
Rµ0
20.801 ± 0.056
Rµ0
20.785 ± 0.033
Rτ0
20.708 ± 0.062
Rτ0
20.764 ± 0.045
La parte dominante degli errori su mZ e
ΓZ è stata discussa precedentemente
• 
L’errore sulla sezione d’urto adronica σh0
è dominato dall’errore sulla calibrazione
assoluta della luminosità
Questi errori sono correlati e sono comuni ai 4 esperimenti
40
I risultati combinati per i 4 esperimenti
mZ ( GeV )
• 
• 
• 
• 
per grafici e risultati aggiornati:
http://cern.ch/LEPEWWG
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Moto in campo magnetico
• 
• 
• 
L’equazione del moto di una particella carica in un
campo magnetico è
dp
= ev × B
dt
• 
in relatività ristretta la quantità di moto si può
scrivere come pc = ε v/c con
–  ε l’energia della particella
–  v la sua velocità
moltiplicando per p si ottiene (εv è perpendicolare a v×B )
2
dp
1d p
v
⋅p =
= e( v × B ) ⋅ ε = 0
dt
2 dt
c
• 
• 
41
se v è perpendicolare a B la traiettoria della
particella è una circonferenza percorsa in un
tempo T = 2π/Ωv
Per trovare il raggio della circonferenza
vT
2π R
v
=v →R=
=
2π
T
Ωv
vε
p
R=
R
=
eB
eBc 2
• 
esprimendo il momento in GeV, il raggio in metri
e il campo magnetico in Tesla
p = 0.3R B
ritroviamo il risultato che il campo magnetico non
fa lavoro e l’energia ed il momento totale si
conservano.
l’equazione del moto diventa pertanto
dv
= v × Ωv
dt
• 
• 
Ωv =
eB 2
c
ε
cioè la velocità precede con velocità angolare Ωv
z
s
x
da
R
ds=Rda
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Energia e Campo Magnetico
• 
La relazione fra momento e campo
magnetico è (per gli elettroni di LEP p = E)
p = 0.3 ⋅ B ⋅ R
• 
Tenendo condo delle variazioni di B lungo
l’orbita
ds
p = 0.3 ⋅ B ( s ) ⋅
dα
∫ p dα = 0.3∫ B ( s ) ds
• 
Definendo il momento medio
p ≡
1
2π
E = p =
• 
42
∫ p dα
• 
• 
• 
• 
• 
• 
0.3
∫ B ( s ) ds
2π 
Il sistema magnetico di LEP (dipoli,
quadrupoli, sestupoli) è conosciuto con
elevata precisione (relativa):
–  Modelli per la variazione del campo
nelle varie posizioni
• 
I dipoli forniscono il 99.9% del campo
magnetico
Il campo magnetico dei dipoli è ~0.05 T con
una corrente di eccitazione di circa 2000 A
La corrente è la stessa per tutti i dipoli
(dipoli connessi in serie)
La corrente di alimentazione è controllata
con una precisione di circa 10-5
In 8 dipoli sono installate sonde NMR per la
misura del campo magnetico
Durante il funzionamento dell’acceleratore
vengono registrate continuamente:
–  la corrente dei magneti
–  la temperatura dei magneti
–  le letture delle sonde NMR
–  … molto altro …
Se in una data condizione conosciamo ⟨E⟩
possiamo poi correggere l’energie tramite le
informazioni registrate
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Polarizzazione
• 
• 
Un elettrone in un’orbita circolare …
… emette radiazione
• 
La sezione d’urto di emissione di fotone con
variazione di spin da up a down
B
σ+
• 
• 
• 
• 
In un acceleratore circolare un fascio di
elettroni (o positroni) si polarizza spontaneamente (effetto Sokolov–Ternov)
Si sceglie come asse di quantizzazione z la
direzione del campo magnetico B
Inizialmente il fascio di elettroni non è
• 
polarizzato
–  50% di elettroni polarizzati up
–  50% di elettroni polarizzati down
43
• 
La sezione d’urto di emissione di fotone con
variazione di spin da down a up
σ−
Le due sezioni d’urto non sono uguali
σ − >σ +
Pertanto col passare del tempo il fascio si
polarizza con spin up
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Misura della Polarizzazione
• 
Per misurare la polarizzazione di un fascio
di elettroni si utilizza lo scattering
Compton con fotoni polarizzati circolarmente
• 
• 
• 
• 
L’apparato utilizzato è il seguente
Polarizzatore
Specchio
I fotoni vengono deflessi indietro in un
cono di apertura circa 1/γ intorno alla
direzione del fascio di elettroni
Il rivelatore è posto a circa 250 m di
distanza
La distribuzione della posizione di ingresso
del fotone sul rivelatore è asimmetrica
–  Dipende dalla polarizzazione del
fotone ξ ( ±1 )
–  Dipende dalla polarizzazione
dell’elettrone Pe
Laser
Rivelatore
1000
elettroni
Specchio
0
-10
y = kPeξ
44
0
10
mm
k = 500 ± 30 µ m
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Misura della Polarizzazione
•  Il limite alla polarizzazione sono gli effetti depolarizzanti,
principalmente irregolarità dei campi magnetici
50
t
#
−
P ( t ) = P∞ %% 1 − e τ
$
&
((
'
P (%)
Accensione dei
solenoidi degli
esperimenti
40
Accensione
solenoidi di
compensazione
30
20
10
Il magnete di L3 non ha
un giogo di ritorno per
contenere il campo
0
0:00
2:00
4:00
6:00
8:00
10:00
12:00
ore
45
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Precessione dello spin
• 
Ricordiamo l’equazione di Bargmann, Michel
e Telegdi
 ds µ
= m F µν sν − uµm "F νλ uν sλ
2 dτ
• 
e la definizione del momento magnetico e
del momento magnetico anomalo
m=
• 
• 
e
m2
m! =
dξ
= ξ × Ωξ
dt
• 
• 
g−2 e 
2 m 2
per una particella di Dirac g–2=0
Nel caso in cui E = 0 e v·B = 0, espressa in
termini del vettore di polarizzazione nel
sistema di riposo della particella l’equazione diventa
• 
eBc 2
Ωξ =
( 1 + aγ )
ε
il vettore spin precessa intorno al campo
magnetico
supponiamo per il momento che a=0: la
velocità angolare con cui precessa lo spin è
uguale alla velocità di precessione della
velocità
supponiamo che ad un dato istante lo spin
abbia una proiezione non nulla sul piano
B
dξ e # 1 g − 2 &
= % +
(ξ × B
dt m $ γ
2 '
• 
46
introducendo il vettore Ωξ e l’anomalia
magnetica dell’elettrone a = ( g - 2 )/2
• 
L’angolo fra lo
spin e la velocità
rimane costante
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Precessione dello spin
• 
Supponiamo adesso che l’anomalia magnetica sia diversa da zero
dξ
= ξ × Ωξ
dt
• 
• 
eBc 2
Ωξ =
( 1 + aγ )
ε
ν=
le due velocità di precessione sono adesso
diverse
• 
47
L’anomalia magnetica e la massa dell’elettrone sono note con estrema precisione
ae = 1.15965218076 ± 0.00000000027 ×10−3
2.2×10-8
me = 0.510998928 ± 0.000000011MeV
2.2×10-8
lo spin ruota rispetto alla velocità con
velocità
2
eBc
Ω0 =
aγ
ε
Ω0
= aγ
Ωv
2.3×10-10
• 
• 
Il numero di rotazioni per orbita è dato dallo
spin tune, cioè il rapporto
• 
pertanto, se si misura con precisione ν si
determina con precisione γ cioè l’energia
dell’elettrone (in MeV)
misura assoluta
ν = ae
Eb
Eb
=
mec 2 440.64844 ± 0.00001
Per realizzare questa misura si adopera la
depolarizzazione risonante
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Depolarizzazione Risonante
• 
• 
• 
• 
Si installa sull’orbita un magnete veloce
“kicker” in grado cioè di rispondere velocemente ad una eccitazione sinusoidale
il campo magnetico oscillante Bk è diretto • 
lungo un raggio dell’orbita
Quando la particella entra nel magnete il • 
suo spin precessa intorno alla direzione
del campo radiale
Lo spin oscilla casualmente
in media nessun effetto
• 
B
Bk
A questo punto lo spin ha una componente sul
piano perpendicolare al campo magnetico che
guida le particella sull’orbita circolare
Lo spin comincia a precedere intorno al
campo guida B
Supponiamo che la frequenza di precessione
dello spin intorno alla velocità e la frequenza
di oscillazione del campo magnetico Bk siano
diverse:
–  quando la particella ripasserà nel
magnete lo spin avrà una direzione non
correlata con la direzione del campo Bk
(che oscilla)
Se le due frequenze sono uguali (o una
multipla dell’altra)
–  la componente orizzontale dello spin e il
campo magnetico Bk sono in fase e lo spin
precessa ulteriormente
Depolarizzazione Risonante
48
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Depolarizzazione Risonante
• 
• 
Per verificare il principio è stata fatta una
•  La frequenza del magnete veniva fatta
misura continua della polarizzazione
variare in funzione del tempo,
uniformemente.
Allo stesso tempo era in funzione il
magnete “kicker”
inversione della polarizzazione
Sokolov - Ternov
49
f
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Depolarizzazione Risonante
• 
• 
Alcuni dati:
Ebeam [MeV]
–  il magnete “kicker” ruota lo spin di
140 µrad per attraversamento
–  per ruotare lo spin fino al piano
orizzontale occorrono 104 rivoluzioni
–  Alla energia del picco della Z pari a
Eb = 45.6 GeV lo spin tune è circa
ν =103
La condizione di risonanza è ( [ν] è la
parte frazionaria di ν, k = 0, 1 )
• 
Ebeam ≈ 44.7 GeV
ν = 101
fdep = ( k + [ ν ] ) frev
• 
• 
• 
50
La precisione di misura su [ν] è ~0.5×10-3
alla quale corrisponde una precisione
sulla energia del fascio di 0.22 MeV
In questo modo si conosce l’energia del
fascio per una data condizione
Per ottenere ⟨E⟩ nelle altre condizioni
si usa un modello che calcola l’energia
utilizzando tutti i dati registrati
[ν]
– 
– 
– 
– 
– 
correnti, temperature, NMR
posizione del fascio
… fase della luna …
… previsioni del tempo …
… orario ferroviario …
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
La misura dell’energia del fascio
• 
• 
• 
Con il metodo della depolarizzazione risonante si riuscì a calibrare il modello della
dipendenza dell’energia del fascio dai
parametri dei magneti
Fu iniziato uno studio per determinare
l’errore sistematico del metodo
In particolare vennero installate numerose
sonde NMR con le quali misurare il valore
assoluto del campo magnetico
• 
• 
• 
Il grafico mostra la differenza fra
–  l’energia prevista dalla misura di B con
le sonde NMR
–  l’energia misurata con la depolarizzazione risonante
L’errore della singola misura è molto piccolo
Dato che però le singole misure non sono
concordi bisogna concludere che l’errore
sistematico è molto elevato
errore della singola misura
errore sistematico
indice delle misure: k=1,2,…n
51
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
LEP e la Luna
• 
• 
• 
• 
Non fu subito chiara quale fosse l’origine di
un errore sistematico così elevato
La conoscenza del comportamento dei
magneti era molto buona e continuamente
verificata da misure di laboratorio
Dopo molte ipotesi e ragionamenti si capì
che l’effetto osservato dipendeva dalle fasi
lunari
La Luna esercita una forza gravitazionale
che deforma la terra
ΔR
• 
ΔR 
• 
• 
M
3cos2 θ − 1 )
3(
2a
Localmente la variazione di raggio a
Ginevra è ± 12 cm
Una variazione di raggio della terra comporta la variazione della distanza fra due
punti
ΔL
M
ΔL ΔR
=
L
R
a
• 
52
La variazione locale del raggio della terra
dovuta alla forza gravitazionale è
La variazione di ΔR può essere calcolata
partendo da modelli geologici e tenendo
conto delle posizioni di Luna e Sole
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Appendice: stabilità di fase
• 
Una particella circola con energia costante se, quando
passa per la cavità a radio-frequenza RF, trova un campo
elettrico che compensa l’energia persa in un giro.
Il periodo deve essere un multiplo del periodo dell’RF:
T0 =
• 
Una particella più energetica:
– 
– 
– 
– 
• 
53
Raggio R maggiore
Impiega più tempo
Arriva più tardi
Sente un campo inferiore: perde energia
Una particella meno energetica:
– 
– 
– 
– 
• 
2π R0
2π
1
=
p0 = N
c
0.3Bc
f
RF
• 
(particelle relativistiche)
Raggio R minore
Impiega meno tempo
Arriva più presto
Sente un campo maggiore: guadagna energia
L’orbita di equilibrio è stabile!
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
LEP e la Luna
• 
• 
Ricordiamo che la circonferenza del fascio
è fissata dalla RF
Il fascio è posizionato in modo da passare
al centro dei quadrupoli
• 
Il fascio non passa più per il centro dei
magneti
z
S
N
ΔL ≈ 2 mm
N
• 
• 
modello geologico
E=
• 
54
S
x
L’integrale del campo cambia
–  intervengono anche i quadrupoli
Esperimento: misura di E con la
Depolarizzazione Risonante in funzione del
tempo
0.3
∫ B ( s ) ds
2π 
La forza gravitazionale della Luna cambia
le dimensioni dell’acceleratore
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
LEP e la pioggia
• 
Un fenomeno analogo a quello provocato
dalla forza gravitazionale della Luna è
provocato dal livello delle acque del lago di
Ginevra
• 
Utilizzando la Depolarizzazione Risonante si
è studiata la correlazione fra l’energia del
LEP e il livello dell’acqua nel lago
Si sono anche evidenziate brusche variazioni
dell’energia (o della circonferenza) in
occasione di abbondanti piogge
• 
55
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
TGV per Parigi
• 
• 
56
Nel 1995 le misure del campo magnetico
con le sonde NMR mostravano un comportamento inatteso
–  Un continuo aumento del campo
durante il fill
–  Molto rumore durante le misure che
scompariva durante la notte dalle
00:00 alle 5:00
L’utilizzo della Depolarizzazione
Risonante per la misura dell’energia rivelò
che si trattava di un effetto reale e non di
un errore di misura
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
TGV per Parigi
• 
La variazione di campo misurata era molto
piccola
" ΔB ( t ) %
B ( t ) = Bo $ 1 +
'
Bo &
#
• 
Fu inoltre notato che il valore istantaneo di
ΔB/B era anticorrelato nei punti di misura 4
e8
10
NMR 8
ΔB
 10−5
Bo
-10
0
ΔB
≈ 10−5
B0
-10
0
10
NMR 4
57
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
TGV per Parigi
• 
• 
• 
58
Dopo molte discussioni e congetture fu
compreso che le fluttuazioni di corrente
erano dovute al passaggio dei treni sulla
linea Ginevra – Bellegarde
In particolare il TGV Ginevra – Parigi
• 
• 
• 
La corrente entra nell’anello in corrispondenza di IP1
Ritorna fuori a Versoix
Si tratta di una corrente parassita di ~1 A
Circa il 20% della corrente non ritorna a
terra tramite le rotaie ma si disperde nel
terreno
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
TGV per Parigi
• 
• 
• 
• 
La corrente media parassita in sè non ha
influenza sull’energia
I brevi e intensi impulsi di corrente hanno
effetto sul ferro dei magneti
Infatti, a causa del’isteresi del ferro, il
magnete non ritorna al valore di campo
che aveva prima dell’impulso
Gli effetti si sommano e danno luogo alla
crescita in funzione del tempo
Questo effetto si somma ad un altro
effetto simile causato dall’aumento della
temperatura dei magneti durante il
funzionamento
14
12
8
6
4
2
0
59
totale
10
ΔB/B [10-5]
• 
Corretto per
Temperatura
0
10
Tempo [ore]
20
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
In conclusione
ΔmZ = 1.7MeV
ΔΓ Z = 1.2 MeV
60
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Universalità dei leptoni
• 
• 
• 
• 
Il modello standard prevede che i leptoni
abbiano gli stessi accoppiamenti alla Z0
La conseguenza è che le larghezze Γ ( o le
Rl ) siano tutte uguali
Con questa ipotesi si può rifare il fit della
lineshape con un numero inferiore di
parametri liberi: 4
Il risultato ( GeV,GeV,nb,1 ):
• 
Γ Z = Γ had + 3Γ  + Γ inv
• 
• 
• 
mZ
ΓZ
σ h0
Rl
61
91.1875±0.0021
2.4952±0.0023
41.540±0.037
20.767±0.025
mZ
1.00
-0.23
-0.045
0.033
correlazione
ΓZ
σ h0
La larghezza della Z si può scrivere come
Rl
1.00
-0.297 1.00
0.004 0.183 1.00
dove Γinv, la larghezza invisibile, è dovuta al
decadimento della Z in neutrini:
I neutrini ovviamente non sono visibili ma
determinano parte della larghezza di decadimento della Z
dagli ultimi 3 parametri della tabella si
possono ricavare le 3 larghezze
correlazione
Γ inv
Γ had
Γ ll
499.0±1.5
1.00
1744.4±2.0 -0.29 1.00
83.984±0.086 0.49 0.39 1.00
Width [MeV]
Γ inv
Γ had
Γ ll
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Il numero di specie di neutrini
• 
• 
Come abbiamo detto la larghezza invisibile Γinv è dovuta la decadimento della Z in
neutrini
Abbiamo calcolato teoricamente la
larghezza di decadimento
Γνν
• 
GF mZ3
=
12 2π
Si può calcolare pertanto il numero di
neutrini prodotti a LEP nei decadimenti
della Z e che contribuiscono a Γinv come
Nν =
Γ inv
Γνν
• 
si trova
• 
Si noti anche che, data la relazione
Nν = 2.984 ± 0.009
0
σ had
=
12π Γ e Γ had
mZ2 Γ 2Z
la sezione d’urto adronica è molto
sensibile a Γinv.
62
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Esercizio 11.1
Determinazione di αs
•  La larghezza di decadimento in adroni riceve una correzione
dovuta alle interazioni forti:
Γ had
GmZ3 " α s %
2
2
=3
+ gA,q
$ 1 + ' ∑ ( gV,q
)
π & q≠t
6 2π #
•  Considerando il valore di sin2θW=0.23149±0.00013:
–  Calcolare il valore atteso di Rl=Γhad/Γll.
–  Confrontarlo con quello misurato di 20.767±0.025 e ricavare αs
–  Confrontare con il valore riportato sul PDG: αs(mZ) = 0.1184(07)
63
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Esercizio 11.2
Ottimizzazione scan della Z
•  Supponiamo di voler pianificare uno
scan della lineshape della Z.
•  I vincoli sono:
–  la luminosità integrata raggiungibile è
di 150 pb-1
–  l’acceleratore funziona per 80 GeV <
√s < 100 GeV
•  La strategia è utilizzare una frazione
f della luminosità sul massimo del
picco Em ed il resto in parti uguali sui
punti Em±ΔE
•  Si misura la sezione d’urto nei tre
punti e si parametrizza con la forma
della risonanza:
σ ff ( s )
64
= σ 0ff
sΓ 2Z
(
2
s − mZ2
)
+ mZ2 Γ 2Z
1.  Determinare i valori f e ΔE che
minimizzano gli errori su ΓZ, in presenza
dei soli errori statistici sul numero di
eventi osservati.
2.  Dare in questa situazione la stima degli
errori su σ0 e mZ.
3.  Stimare le incertezze sui parametri,
dopo aver aggiunto l’effetto di un errore
sull’energia di 0.5 MeV correlato tra i
diversi valori dell’energia nel centro di
massa ed uno di 2.3 MeV indipendente
tra i diversi punti.
•  Si usino i parametri:
mZ = 91.2 GeV
Γ Z = 2.5 GeV
0
σ had
= 40 nb
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Esercizio: ottimizzazione scan della Z
• 
Per prima cosa, scriviamoci una libreria
di RooT con un po’ dati di utilità
// Generatore di numeri casuali
TRandom2 gen(0);
// Funzione della lineshape
// parametro 0: sezione d'urto al picco
// parametro 1: massa della Z
// parametro 2: larghezza della Z
double risonanza(double *x, double *p) {
double s=x[0]*x[0];
double M2=p[1]*p[1];
double G2=p[2]*p[2];
return p[0]*s*G2/((s-M2)*(s-M2)+M2*G2);
}
TF1 lineshape("lineshape",risonanza,
80.,100.,3);
// Altri dati dell'esercizio
const double MZ=91.2, GZ=2.5, sigma0=40.;
const double lumint = 150000.; // 150 nb-1
65
• 
Poi scriviamo la funzione più importante:
quella che simula l’esito di un esperimento:
TGraphErrors* scan(double f, double DeltaE,
double sEc=0, double sEu=0) {
TGraphErrors* myGraph = new TGraphErrors(3);
lineshape.SetParameter(0,sigma0);
lineshape.SetParameter(1,MZ);
lineshape.SetParameter(2,GZ);
double err_corr = gen.Gaus(0.,sEc);
double sigmaE = sqrt(sEc*sEc+sEu*sEu);
for (int i=-1; i<=1; i++) {
double E=MZ+i*DeltaE;
double sigma=lineshape.Eval(E);
double lumi;
if (i) lumi=0.5*(1-f)*lumint;
else lumi=f*lumint;
int NE=lumi*sigma;
NE = gen.Gaus(NE,sqrt(NE));
E += (err_corr+gen.Gaus(0.,sEu));
sigma = NE/lumi;
myGraph->SetPoint(i+1,E,sigma);
myGraph->SetPointError(i+1,
sigmaE,sqrt(NE)/lumi);
}
myGraph->Fit(&lineshape);
return myGraph;
}
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Esercizio: ottimizzazione scan della Z
• 
Chiamata senza errori sull’energia dei
fasci:
•  scan(0.5,2.)
66
• 
Chiamata con errori (esagerati)
sull’energia dei fasci:
•  scan(0.5,2.,0.5,0.5)
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Esercizio: ottimizzazione scan della Z
Ora ripetiamo diverse volte lo scan per ottenere un
istogramma dei residui rispetto al valore vero:
double* multiscan(int N, double f, double DeltaE,
double sEc=0, double sEu=0) {
TH1F *residuiS = new TH1F("residuiS",
"#epsilon(#sigma^{0})",100,-.1,0.1);
TH1F *residuiM = new TH1F("residuiM",
"#epsilon(M_{Z})",100,-10.,10.);
TH1F *residuiG = new TH1F("residuiG",
"#epsilon(#Gamma_{Z})",100,-10.,10.);
TGraphErrors *grafico;
for (int i=0; i<N; i++) {
grafico=scan(f,DeltaE,sEc,sEu);
residuiS->Fill(
lineshape.GetParameter(0)-sigma0);
residuiM->Fill(
(lineshape.GetParameter(1)-MZ)*1000.);
residuiG->Fill(
(lineshape.GetParameter(2)-GZ)*1000.);
delete grafico;
}
double *results= new double[3];
results[0]=residuiS->GetRMS();
results[1]=residuiM->GetRMS();
results[2]=residuiG->GetRMS();
return results;
}
67
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Esercizio: ottimizzazione scan della Z
Vediamo l’errore per diversi ΔE
void optimizeDE(double frac, double sEc=0,
double sEu=0)
int npoints=20.;
double Emin=0.1;
double Emax=6.;
double h=(Emax-Emin)/npoints;
TGraph *errorsS = new TGraph(npoints+1);
TGraph *errorsM = new TGraph(npoints+1);
TGraph *errorsG = new TGraph(npoints+1);
for(int i=0; i<=npoints; i++) {
double DE=Emin+h*i;
double *results=multiscan(1000, frac,
DE, sEc, sEu);
errorsS->SetPoint(i,DE,results[0]);
errorsM->SetPoint(i,DE,results[1]);
errorsG->SetPoint(i,DE,results[2]);
}
TCanvas *myCanvas=new TCanvas(
"myCanvas","Fit residues",600,800);
myCanvas->Divide(1,3);
myCanvas->cd(1); errorsS->Draw("AC*");
myCanvas->cd(2); errorsM->Draw("AC*");
myCanvas->cd(3); errorsG->Draw("AC*");
return;
}
68
{
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Esercizio: ottimizzazione scan della Z
...e per diversi valori di f:
void optimizef(double DeltaE, double sEc=0,
double sEu=0)
{
int npoints=20.;
double fmin=0.01;
double fmax=0.99;
double h=(fmax-fmin)/npoints;
TGraph *errorsS = new TGraph(npoints+1);
TGraph *errorsM = new TGraph(npoints+1);
TGraph *errorsG = new TGraph(npoints+1);
for(int i=0; i<=npoints; i++) {
double frac=fmin+h*i;
double *results=multiscan(1000, frac,
DeltaE, sEc, sEu);
errorsS->SetPoint(i,frac,results[0]);
errorsM->SetPoint(i,frac,results[1]);
errorsG->SetPoint(i,frac,results[2]);
}
TCanvas *myCanvas=new TCanvas(
"myCanvas","Fit residues",600,800);
myCanvas->Divide(1,3);
myCanvas->cd(1); errorsS->Draw("AC*");
myCanvas->cd(2); errorsM->Draw("AC*");
myCanvas->cd(3); errorsG->Draw("AC*");
return;
}
69
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari
Lezione 9- A. Andreazza - a.a. 2014/15