Impulsi trasversali in una corda tesa
In questa scheda ricaveremo la velocità di propagazione un impulso trasversale generato in una
corda tesa posizionata in direzione orizzontale, usando la II legge della dinamica nella sua
formulazione nota come “teorema dell’impulso”.1
Considereremo la corda come una successione di
“elementi di massa”. Ciascuno di questi elementi è
sottoposto ad una tensione S che gli è trasmessa dagli
elementi adiacenti e che mantiene l’intera corda in
tensione.
Figura 1 L'elemento di corda è in equilibrio sotto l'azione
della tensione esercitata dagli elementi di corda adiacenti
Immaginiamo spostare un estremo della corda di un y in un tempo t,
Figura 2 Un estremo della corda viene spostato di un y in un t
la velocità è
u
y
t
Sull’elemento di corda viene esercitata una forza F che si trasmetterà all’elemento adiacente e il
disturbo si propagherà in tutta la corda come un’onda.2
La situazione è descritta in figura 3 dove, per chiarezza
viene mostrato un y grande, in realtà la trattazione
seguente prevede che l’ampiezza del disturbo sia
piccola abbastanza perché
la tensione della corda non cambi sensibilmente
se non nei punti che delimitano il tratto di corda
interessato al disturbo
l’angolo sia abbastanza
giustificare l’approssimazione
Figura 3 L’angolo deve essere piccolo
piccolo
da
sen tg
Il teorema dell’impulso enuncia che la variazione della quantità di moto di una massa in un intervallo finito di tempo
è uguale all’impulso, cioè alla forza per l’intervallo di tempo durante il quale ha agito: Ft=p
2
Se una sollecitazione simile venisse data ad un corpo rigido, ad esempio una sbarra di ferro, questo si muoverebbe
tutto, nel caso in esame, invece solo una porzione della corda viene coinvolta nel movimento.
1
Chiamiamo A il punto della corda nel quale ha inizio il movimento lungo y e seguiamo come esso si
sposta lungo la corda al passare del tempo. Il punto A rappresenta il fronte d’onda e la velocità con
la quale viaggia sulla corda (posizionandosi istante per istante in diversi punti della corda) è quella
di propagazione, che chiameremo ct per indicare la trasversalità dell’impulso. Delimitiamo la
porzione di corda interessata al movimento lungo y nell’intervallo di tempo t con le lettere A e B.
Tutti i punti di questo tratto di corda si muovono lungo y con velocità u, mentre il punto B (ovvero
la perturbazione) si sposta sulla corda con velocità ct e che assumiamo essere costante 3 .
Interessata dal movimento inizialmente causato dall’azione della mano è, in buona
approssimazione, una porzione di corda
x ct t
ciascun elemento di corda che appartiene a questa porzione si muove in direzione y, con una
velocità u.
Figura 5 tratto di corda interessato dal moto lungo y
Figura 4 schematizzazione di quanto avviene nella
corda tesa quando un estremo viene mosso in direzione y
con velocità u per un intervallo di tempo t.
Detta la massa per unità di lunghezza della corda, potremo scrivere la massa interessata dal moto
come
m x ct t
di conseguenza la quantità di moto nel tratto di corda diventa
py ct t u
e la sua variazione nell’intervallo di tempo
E’ importante distinguere l’oggetto fisico “tratto di corda” , che è legato all’elemento di massa, dalle etichette A e B
che rappresentano i punti nei quali la perturbazione è in atto nell’istante fotografato. I tratti della corda non hanno una
velocità lungo x.
3
p y
t
ct u
Questa quantità di moto è stata fornita alla corda tesa dalla mano, che esercita l’unica forza esterna
lungo y. Applicando il teorema dell’impulso:
Fy t p y
otteniamo
Fy
p y
t
ct u
4
Quando la mano non agisce più sulla corda la forza che permetterà la propagazione dell’impulso
sarà la tensione della corda. Analizziamo adesso le forze che agiscono su un elemento di corda
nell’istante in cui è interessato dal movimento. Nella parte di corda a destra dell’elemento
p y
considerato si ha una variazione della quantità di moto
ct u prodotta dalla tensione della
t
corda. Se la corda si trovasse tutta in posizione
orizzontale, non ci sarebbe alcuna forza lungo y sulla
porzione di destra, ma poiché parte della corda è
inclinata, c’è una componente di forza lungo y che
produce una variazione di quantità di moto.
L’angolo di inclinazione della corda è ricavabile dalla
relazione
Figura 6: la tensione nella corda è mantenuta
tan
y ut u
x ct t ct
dalla forza F. Quando la direzione di F viene
cambiata si produce il movimento ondoso.
che, con le assunzioni fatte precedentemente e cioè che l’angolo sia piccolo, ovvero <<1 e che
u
sin
quindi
(che equivale ad assumere che la
ct
velocità della mano sia molto minore della velocità di
propagazione dell’impulso) permette di scrivere la
relazione
Fy S sen S
u
ct
Figura 7: quando è molto piccolo la forza
lungo x è approssimativamente uguale alla tensione
Potrebbe sembrare strano che la forza sia proporzionale alla velocità piuttosto che all’accelerazione, in realtà siamo in
presenza di un sistema a massa variabile, per cui la corretta formulazione è: dp m du u dm , poiché la velocità u degli
4
dt
dt
dt
dm
elementi di corda in moto è costante m du 0 , la massa varia come
ct e quindi dp ct ut
dt
dt
dt
Questa relazione, combinata con l’espressione con Fy ct u trovata precedentemente5,
permette di ricavare la relazione per la velocità di propagazione dell’impulso:
S
ct
Come è evidente dall’espressione:
La velocità di propagazione di un impulso di piccola ampiezza lungo un corda tesa dipende solo
dalla tensione e dalla densità lineare della corda, 6 e non dipende dall’ampiezza o dalla frequenza
dell’impulso.
Le assunzioni fatte per giungere alla relazione che lega la velocità di propagazione dell’impulso alle
sole caratteristiche del mezzo e non alle caratteristiche del disturbo possono sembrare molto forti
ma vengono confermate sperimentalmente.
u
uct
ct
S ct2
5
Passaggi: S
6
L’analisi dimensionale dell’espressione mostra che
M LT
2
S è una velocità: la tensione S ha le dimensioni di una forza
mentre la massa per unità di lunghezza M L
1
, quindi S L T 1
