LA CRISI DEL MECCANICISMO E
DELLA FISICA CLASSICA
Di Leonardo Milocco
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PREMESSA – IL 'PARADIGMA' ........................................................................................................................................... 3
COS’ È IL MECCANICISMO? ................................................................................................................................................ 4
1) LA FISICA ......................................................................................................................................................................... 5
1.1. La Termodinamica ........................................................................................................................................................................... 5
1.2. Dalla Termodinamica all’ entropia universale ............................................................................................................................. 6
1.3. Elettromagnetismo (Faraday e Maxwell): .................................................................................................................................... 9
1.3.1. Presentazione ............................................................................................................................................................................. 9
1.3.2. Una integrazione difficile ..........................................................................................................................................................10
1.4. Dall’ elettromagnetismo alla Relatività: Lorentz .........................................................................................................................11
1.5. Relatività speciale (Einstein, 1905) ................................................................................................................................................12
1.5.1. Einstein e Kant ...........................................................................................................................................................................12
1.5.2. L’ esperimento mentale dei treni ................................................................................................................................................13
1.5.3. I postulati della Relatività ristretta ............................................................................................................................................15
1.5.4. Massa, tempo e Relatività ..........................................................................................................................................................16
1.5.5. La contrazione tra aspetti paradossali e quotidianità .................................................................................................................17
1.5.6. La formula più famosa del mondo .............................................................................................................................................19
1. 6. La Relatività generale (Einstein, 1916) .......................................................................................................................................20
1.6.1. Principio di equivalenza ............................................................................................................................................................20
1.6.2. Una nuova geometria per l’ Universo ........................................................................................................................................22
1.6.3. Ma che forma ha questo Universo? ............................................................................................................................................23
1.6.4. Dalla geometria alla teologia .....................................................................................................................................................25
1.6.5. Il cono di luce e Dio ...................................................................................................................................................................26
1.6.6. Conclusioni sulla Relatività .......................................................................................................................................................28
1.7. Meccanica quantistica, (158/59) ...................................................................................................................................................30
1.7.1. Principio di indeterminazione di Heisenberg, ............................................................................................................................30
1.7.2. Altre stranezze .........................................................................................................................................................................32
1.7.3. Principio di complementarietà ..................................................................................................................................................33
2) LA FILOSOFIA ................................................................................................................................................................ 34
2.1. L’ empiriocriticismo di Ernst Mach .............................................................................................................................................35
2.1.1. Mach contro Einstein .................................................................................................................................................................35
2.2. Il Convenzionalismo di Poincarè. .................................................................................................................................................36
2.3. Neoempirismo logico. (327/31) .......................................................................................................................................................37
2.3.1. Filosofia del linguaggio: Ludwig Wittgenstein ........................................................................................................................37
2.4. Epistemologia: Karl Popper .........................................................................................................................................................38
OGGI… ................................................................................................................................................................................. 39
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE ............................................................................................................................................ 40
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NB: i numeri tra parentesi in rosso si riferiscono alle pagine del LDT vol. 5 in cui si trovano alcuni
degli argomenti trattati.
Nota terminologica: C è la velocità della luce; per evitare calcoli troppo complicati si assume che essa sia
esattamente uguale a 300.000 km/sec., anche se in realtà è leggermente inferiore.
PREMESSA – Il 'paradigma'
Partiamo dalla nozione di 'paradigma' elaborata dallo storico della scienza Thomas Kuhn1 (403/05):
per "paradigma" si intende l' insieme di convinzioni che, in una data epoca, è condiviso dalla
comunità scientifica e che quindi definisce il confine tra 'scienza' e 'non scienza'. Tale confine è
definito in base alle conoscenze dell’ epoca. I paradigmi dunque si sviluppano, e quindi declinano e
vengono sostituiti. Finché un determinato paradigma 'tiene', le ricerche scientifiche si sviluppano all'
interno di esso. Ma, col passare del tempo, nuove scoperte e ricerche si rivelano sempre più
incompatibili col paradigma ufficiale, che quindi deve essere sostituito.
Si ha quindi una crisi di paradigma, che produce conflitti anche politici e sociali, perché l' intera
società è riluttante ad abbandonare un paradigma consolidato; inoltre ad esso si appoggiano i poteri
costituiti (Chiesa, Stato etc.). I fautori del nuovo paradigma appaiono sulle prime come degli eretici
(Giordano Bruno, Galileo), degli stravaganti portatori di nuove e pericolose idee (Anassagora,
Einstein….)2. La crisi viene superata solo quando nuove scoperte rendono palesemente inadeguato il
vecchio paradigma.
In questo saggio si parlerà della crisi del meccanicismo, paradigma che ha guidato 3 secoli di
ricerche nei campi più disparati, dalla meccanica celeste alla fisica dei gas allo studio della società, alla
psicologia etc.
Si tenga presente che in questa sede si parla esclusivamente di fisica e filosofia, dove il
meccanicismo è nato e si è sviluppato; in quanto al meccanicismo in senso lato, come mentalità ed
insieme di valori, esso è tuttora diffuso o addirittura dominante in ambiti come l’ economia e la
politica. Al meccanicismo (ed al suo correlato gnoseologico, il riduzionismo), vanno ricondotte tutte le
forme di ‘spezzettamento’ del mondo (uomo+natura) in una serie di oggetti separati sui quali produrre
manipolazioni in base a meccanismi propri di quel tipo di oggetti; abbiamo così non l’ Uomo ma bensì
l’ elettore da indirizzare verso un partito politico, il consumatore da indirizzare verso un tale prodotto,
il lavoratore e le sue prestazioni, l’ organismo in senso medico e clinico, etc.; parallelamente abbiamo
la natura-microfisica, la Natura-tessuto vivente, la Natura-meteorologia etc., ed anche qui la
segmentazione dell’ unità produce diverse forme di manipolazione. Possiamo concludere che se anche
il meccanicismo riduzionistico è stato messo in crisi nella fisica già da molti decenni 3, esso tuttavia è
diffuso nelle cosiddette ‘scienze umane’ oltre che nella politica, nell’ economia, nella finanza,
insomma nei principali luoghi decisionali dei Paesi industrializzati.
L’ oggetto qui discusso è solamente la crisi del meccanicismo nella scienza pura (e, di riflesso,
nella filosofia); per un nuovo orientamento olistico e antimeccanicistico, vedi ad es. il manifesto di
Potsdam.
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CfRelatività T. Kuhn, La struttura delle rivoluzioni scientifiche, Einaudi, 1978
Nell’ aprile 1922 ebbe luogo un celebre duello intellettuale fra Einstein e il filosofo Henri Bergson. Oggetto del contendere
il tempo. Il fisico sosteneva si trattasse di una grandezza relativa al sistema di riferimento e subordinata ad esso, mentre il filosofo vi
ravvisava la dimensione fondamentale dell'esistenza. Bergson dedica alla confutazione della Relatività lo scritto Simultaneità e durata,
del 1922.
3
Ad esempio i limiti costitutivi della ‘manipolabilità’ della materia da parte dell’ uomo sono stati dimostrati già nel 1927 da
W. Heisenberg, vedi oltre A.2. 7.1 Principio di indeterminazione di Heisenberg,
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2
Cos’ è il meccanicismo?
Leggiamo un celebre passo scritto nel 1796 da Simon de Laplace:
«Noi dobbiamo considerare lo stato presente dell’Universo come l’effetto di un dato stato anteriore
e come le causa di ciò che sarà in avvenire. Una intelligenza che, in un dato istante, conoscesse tutte le
forze che animano la natura e la rispettiva posizione degli esseri che la costituiscono, e che fosse
abbastanza vasta per sottoporre tutti i dati alla sua analisi, abbraccerebbe in un’unica formula i
movimenti dei più grandi corpi dell’Universo come quello dell’ atomo più sottile; per una tale
intelligenza tutto sarebbe chiaro e certo e così l’avvenire come il passato le sarebbero presenti».
Il nucleo del meccanicismo è questo.
Abbiamo così la matematizzazione della fisica e l’ instaurarsi di una concezione quantitativogeometrica dei processi naturali.4 Il nesso tra Natura e matematica (annunciato da Galileo già all’ inizio
del ‘600) è ciò che differenzia il meccanicismo antico da quello moderno, come afferma Laplace: se l’
Universo è una macchina che risponde a precise leggi matematiche, conoscendo queste leggi è
possibile calcolare ogni suo stato passato e futuro sulla sola base di quello presente.
Ma chi potrebbe farlo? Chi è l’ intelligenza di cui parla Laplace? Nel Seicento ‘l’ orologiaio dell’
Universo’ è Dio; nei secoli successivi la scienza stessa crede di diventare un orologiaio tanto potente
da sottoporre a calcolo la natura intera, o almeno quella che entra nel campo dei suoi interessi. Le
scienze umane (psicologia, demografia, antropologia etc.) approfondiscono questo disegno. Il
meccanicismo, nato nella fisica, si volge all’ indietro per includere anche il soggetto che lo sta
utilizzando, ovvero l’ uomo. Stante il rapporto soggetto-oggetto (che è il modello gnoseologico del
meccanicismo) l’ inclusione dell’ uomo nell’ ambito del ‘calcolabile’ allarga il meccanicismo all’
intero Universo. Non è casuale che il neokantismo, con cui a fine secolo ha inizio la reazione
antipositivistica ed antimeccanicistica, insista proprio sulla differenza qualitativa tra scienze dell’
Uomo e scienze della Natura, sulla irriducibilità delle prime alle seconde. Questo tema è dominante
anche nella Fenomenologia e nell’ Esistenzialismo, e ricorre spesso nella cultura degli anni Venti e
Trenta.
Riassumiamo in breve il meccanicismo come modello esplicativo:
- il soggetto ha di fronte un dato oggetto le cui proprietà sono osservabili ( fenomeno, fatto);
- la materia è qualcosa di oggettivo: o è una ‘cosa’, che sussiste indipendentemente dal soggetto
(realismo), oppure si presenta nel soggetto come cosa indipendente (fenomenismo); sotto l’ aspetto
fisico la cosa non cambia;
- la Natura è deterministica: ad una data causa segue un dato effetto, e sempre e solo quello;
- la Natura è economica, fornendo per ogni fenomeno la spiegazione più semplice possibile;
- lo spazio-tempo è euclideo, come vuole la fisica newtoniana;
- la esperienza, per diventare scienza, va depurata dalle variabili individuali e concrete, verso una
'esperienza tipica' ; il meccanicismo seicentesco distingue le qualità oggettive o primarie da quelle
soggettive o secondarie; nell' Ottocento tale distinzione si presenta piuttosto come coppia
‘percezione-esperienza’ come accade in Kant.
- l’ infinitamente piccolo (atomo), l’ immenso (Cosmo) e la Natura su scala umana rispondono a
questi identici principi generali.
Il meccanicismo esprime, sia pure astraendo dal vissuto individuale, il punto di vista quotidiano
sulla realtà ('common sense' , 'atteggiamento naturale'); da ciò deriva la difficoltà ad imporsi di una
visione antimeccanicistica: negare il meccanicismo mette in crisi il nostro più radicato ed ‘istintivo’
atteggiamento di fronte al mondo ed alle cose in esso presenti.
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Alcuni temi tipicamente meccanicistici noti allo studente sono per esempio: la concezione cartesiana degli animalimacchine; la negazione hobbesiana della libertà umana; il geometrismo morale di Spinoza.
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Il Positivismo apre la breccia: esso costituisce una sorta di 'richiamo all' esperienza', limitando la
realtà fisica al fatto osservabile. Questa spinta in direzione dell' esperienza apre nuove ricerche che
porteranno al superamento del meccanicismo. Si diffonde così nel primo Novecento una atmosfera di
crisi, come si vede anche nell' arte, nella politica, nella società intera di quell' epoca. La crisi del
paradigma meccanicistico porta a sviluppi diversi:
1) C’è chi rifiuta la Ragione, conferendo nuovo valore alla Intuizione ed ai procedimenti a-logici
della mente umana (ricordo, volizione, sentimento). Ciò si unisce al recupero della Metafisica e
dello Spirito su basi non più, o non solo razionali (Bergson, Fenomenologia, Neoidealismo).
2) C’è chi aggiorna la Ragione al nuovo quadro di crisi, salvando così il valore della scienza. Il
meccanicismo diviene una delle possibili rappresentazioni della realtà, valida solo per un certo
ambito di fenomeni (Empiriocriticismo, Convenzionalismo, Pragmatismo, Neoempirismo).
Tali sviluppi portano alle odierne scienze della Natura, che hanno abbandonato le vecchie
‘certezze’, ma anche e le restrizioni che queste ponevano alle indagini fisiche. Si ha una pluralità di
immagini, nessuna delle quali si propone come ‘la’ verità.5 I punti principali dell’ argomento sono
suddivisi in 2 parti: a) le Scienze; b) la Filosofia. Vi è tuttavia una reciproca implicazione, anche
‘anagrafica’: si tratta di scienziati-filosofi e viceversa.
1) LA FISICA
Qui si hanno le scoperte più importanti. Già i concetti di ‘entropia’ ed ‘irreversibilità’ avevano
colpito duramente il Meccanicismo. All’ inizio del ‘900 tutta la Fisica rivede i concetti di spazio,
tempo, materia, causalità, oggetto.
1.1. La Termodinamica
A metà del secolo XIX, nell’ ambito della II Rivoluzione Industriale, si cerca di ottimizzare l’
efficienza dei macchinari. Si cerca di capire se la conservazione dell’ energia (principio-base del
meccanicismo) possa essere applicata anche ai motori a combustione. Nasce così la Termodinamica,
cioè la Dinamica applicata ai motori a differenziale termico. Ovviamente è il differenziale ( d ) di
temperatura tra 2 punti interni al sistema ( T1 e T2 ), e non il calore distribuito in modo uniforme, che
può essere convertito in lavoro, ovvero d = T1 - T2.
La I Legge della Termodinamica conferma il principio di conservazione. Ogni sistema per lavorare
consuma energia (e). Nel motore termico ad inizio ciclo assumiamo che e = T1 - T2. Secondo la I
Legge in un ciclo di funzionamento tutta l’ energia consumata si trasforma in lavoro ( l ) e in calore
residuo (c), ovvero il differenziale iniziale (T1 - T2) viene integralmente conservato. Così un’
automobile viaggia mentre i copertoni ed il motore si scaldano, un frigorifero raffredda l’ interno ma
scarica calore all’ esterno, e anche una bicicletta spostandosi produce calore come attrito di catena,
perni, corona, etc.
I pionieri della Termodinamica, Carnot e Clausius si chiesero se sia possibile convertire c in d1 e
questo in nuovo lavoro l1, ottenendo al limite un rendimento perfetto (l = d – c + d1 = l ), ovvero il
moto perpetuo. Ma si resero conto che è impossibile: il calore residuo c per diventare d1 dev’ essere
trattenuto entro il motore e concentrato solo in T1: concentrare il calore residuo nel punto che è già il
più caldo del sistema richiede una quantità di energia superiore a quella che può essere recuperata
tramite l’ operazione.6
5
Basti pensare a due ambiti come le neuroscienze, dove oggi prevale un indirizzo riduzionistico e meccanicistico, ed alla
fisica della materia, dove prevale invece un atteggiamento fenomenistico e convenzionalistico, quasi che i ruoli ‘tradizionali’ delle
scienze dello Spirito e quelle della Natura si fossero scambiati tra loro.
6
Per es. se si volesse riutilizzare il calore prodotto da una marmitta catalitica (che arriva a temperature interne di 800 gradi), si
dovrebbe immettere tale calore solamente nei cilindri e non certo nell’ abitacolo, nel bagagliaio etc. Il fatto che l’ industria
automobilistica non abbia mai seguito questa strada indica chiaramente che essa è irrealizzabile. Si vedano inoltre le considerazioni
sulle stufe di cui alla nota successiva.
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Si giunse così alla II Legge della Termodinamica che esprime l’ impossibilità del cosiddetto
‘motore ideale’ (d = l ): una volta consumato d per riaverlo va spesa una quantità di energia maggiore
di esso. Il saldo negativo corrisponde a quella parte di c che non può più essere convertita in lavoro
perché non si presenta più in forma ordinata, come differenziale d1, ma bensì in forma disordinata,
come calore uniformemente diffuso in tutto il sistema e da qui disperso all’ esterno. E’ la ‘dissipazione
irreversibile’ di cui parla il premio Nobel Ilya Prigogine: una certa quantità di ordine/di energia (d) non è
più convertibile in lavoro, né lo sarà mai se non a costo di una dissipazione ancora maggiore. Perciò
non esiste il moto perpetuo, così come nessuna molla può ricaricare se stessa. Newton e Cartesio
posero come principio intoccabile la conservazione dell’ energia, e questo è vero a patto di inserire nel
bilancio energetico anche la dissipazione.7
1.2. Dalla Termodinamica all’ entropia universale
Da qui il nesso tra ordine e possibilità di svolgere un lavoro, assieme all’ opposto nesso tra
disordine e impossibilità di svolgere un lavoro. Il differenziale termico è sia ordine che lavoro. Questo
passaggio dal concetto di lavoro a quello di ordine estende le leggi della Termodinamica a sistemi di
qualsiasi genere, di cui i motori termici costituiscono solo una specie: nasce così il concetto di entropia.
Questo passaggio viene affrontato per la prima volta da Rudolf Clausius nel 1865 con la famosa
formulazione:
“l’ energia del mondo è costante”
“l’ entropia del mondo tende verso un massimo”
Le due affermazioni corrispondono alla I e II legge della Termodinamica, ma ne allargano
notevolmente il significato. Abbiamo visto che necessariamente un motore consuma più energia di
quanto ne produce; in termini di entropia si può affermare che nessun lavoro può produrre un ordine
maggiore o uguale al disordine che è stato creato per produrre tale lavoro. L’ entropia è inversamente
proporzionale all’ ordine: più elevata l’ entropia, più disordinato il sistema. Oltre al bilancio energetico
c’è anche un bilancio di ordine, ed è quello che viene misurato con l’ entropia.
Se io metto ordine sulla mia scrivania (che ne ha un disperato bisogno) nel fare questo altrove ho
creato un disordine maggiore: il mio metabolismo ha consumato calorie, scindendo complesse proteine
animali in semplici zuccheri poi eliminati. L’ ordine sulla scrivania è costato un disordine chimico
molto maggiore.
Gli esseri viventi riescono a produrre ordine, ad invertire l' entropia. Ma per fare questo
distruggono altri esseri viventi (catena alimentare). La catena termina sul mondo inanimato dei
composti chimici inorganici. L’ entropia scorre lungo la catena dei sistemi aperti, dai più ai meno
complessi, per attingere dal Cosmo l’ ordine che essa dissipa incessantemente; l’ evoluzione biologica
delle specie va controcorrente in un Cosmo sempre più disordinato ed omogeneo, ma solo finché c’è il
Sole a fornire energia alla Terra. Infatti una stella costituisce uno smisurato differenziale termico
rispetto al vuoto che la circonda. Ma neppure il Sole è eterno: fra qualche miliardo di anni avremo una
nana bianca. La vita sulla Terra se ne sarà andata da un pezzo per non tornare più.
La civiltà industriale pare altamente ordinata, ma ciò getta disordine in tutta la Natura circostante:
foreste abbattute, combustibili fossili (cioè organici) bruciati, particelle combuste che sporcano l’
atmosfera, sostanze tossiche che si mescolano alle acque, montagne di immondizie che deteriorano il
territorio….........L’ inquinamento è pura entropia.
Chiariamo i concetti di ‘ordine/disordine’. Ordinato è un sistema di cui ogni componente può
trovarsi in una sola posizione, e quindi dove la disposizione globale possibile è una sola; disordinato è
lo stato contrario in cui ogni elemento del sistema può trovarsi indifferentemente in una posizione
7
Si può migliorare la resa di una caldaia o di un caminetto recuperando parte del calore disperso ma non si arriva mai al
100%: ciò violerebbe la II legge della Termodinamica. Le migliori stufe raggiungono un rendimento del 90%, contro il 20/25% di un
normale caminetto, in cui addirittura il 75% dell’ energia immessa (legna) viene dissipata tramite il camino. Il classico falò sulla
spiaggia dissipa addirittura il 95% del calore e solo il 5% raggiunge gli amici che stanno suonando la chitarra: la dissipazione è un
fenomeno onnipresente, anche quando noi non ce ne accorgiamo.
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qualsiasi, con molte configurazioni globali tutte equivalenti. Si calcola il numero di permutazioni
(ovvero di configurazioni equivalenti) di un sistema con la formula seguente:
P = N!
dove P è il numero di disposizioni o permutazioni possibili, N il numero di elementi del sistema e ! il
fattoriale di N, ovvero N (N – 1) (N – 2 ) (N–3)………...….(N – N +1).
Quanti modi ci sono di disporre le prime 3 lettere dell’ alfabeto? 6 modi (3x2x1) di cui uno solo
alfabetico (abc); ci sono 5 disposizioni non alfabetiche (acb,bac,bca,cab,cba), pertanto tra quella
ordinata alfabeticamente e le altre il rapporto delle probabilità è di 1/6. Se le lettere sono per esempio 5
(abcde), il rapporto diventa 1/120. Se le lettere da disporre in ordine sono per es. 12, il rapporto diventa
addirittura di 1/quasi 480 milioni. Per l’ intero alfabeto di 21 lettere il rapporto N/P è già astronomico.
Altro esempio astronomicamente più astronomico: quanti modi ci sono di disporre le 1800 pagine
di ‘Guerra e pace’ in perfetto ordine? Solo uno; quanti modi di disporle in un qualsiasi altro modo?
1800 x 1799 x 1798 x 1797 ...…... Entropia significa che occorre molto più lavoro per rimettere in
ordine le 1800 pagine in ‘Guerra e pace’ che per gettarle in disordine, provare per credere. Figurarsi se
calcolassimo N/P non sulle pagine ma sulle singole frasi o parole: avremmo numeri di milioni di cifre,
scrivibili solo come potenze di potenze. Pensiamo ora al rapporto N/P per sistemi con miliardi e
miliardi di elementi, come gli esseri viventi: l’ ordine del vivente è talmente ma talmente improbabile
che da sempre esso viene concepito come un ‘miracolo’.
La entropia implica una interpretazione in chiave statistica e probabilistica della II legge della
Termodinamica, strada aperta dal fisico austriaco Ludwig Boltzmann (1844/1906): lo stato termico in cui
c’è un certo differenziale di temperatura d = T1 - T2 é più ordinato di uno stato dove T1 = T2 e dato che
lo stato più disordinato è il più probabile l’ entropia non può che aumentare.
Lo stato ordinato contiene più informazione di quello caotico ma costa più lavoro, così come un
elevato differenziale d richiede più energia di un differenziale modesto per essere costituito.
La misura d per un motore a combustione è l’ equivalente dell’ ordine in un sistema qualsivoglia.
Il genio di Boltzmann è stato quello di trasformare l’ entropia in un concetto statistico: lo stato
macroscopico d = T1 - T2 costituisce la disposizione microscopica più ordinata (e quindi assai più rara)
dove le molecole di gas calde stanno tutte da una parte e quelle fredde tutte dall’ altra.
L' entropia è così una informazione sullo stato macroscopico a partire dalle configurazioni
microscopiche. Ad una condizione macroscopica di equilibrio (detto ‘macrostato’, definito da
pressione e temperatura, dove non c’è differenziale termico) corrispondano numerosissime
configurazioni microscopiche equivalenti (detti ‘microstati’, definibili solo se si conoscono posizione e
velocità di tutte le molecole del sistema). Tali configurazioni microscopiche occupano un volume
indicato con Γ.
Allora possiamo definire l' entropia come
dove k è la costante di Boltzmann.
L' entropia così definita possiede tutte le caratteristiche dell' entropia termodinamica di
Clausius: gode in particolare della proprietà di additività e differenza (per cui è calcolabile la
variazione d' entropia e la funzione S è differenziabile, ovvero vi è una corrispondenza precisa tra
macro e microstato). La formula di Boltzmann conferma che è praticamente impossibile, anche se non
teoricamente, che un sistema ritorni da una configurazione finale meno ordinata a quella iniziale più
ordinata. Vi è un nesso profondo tra entropia e temperatura media del sistema, in quanto la prima
misura la diminuzione di scostamenti locali dalla seconda: l’ entropia misura statisticamente lo stato
microscopico di omogeneità termica del sistema (disordine) e la temperatura misura statisticamente lo
stato microscopico di agitazione molecolare (energia).
Ricordiamo l’ esempio di ‘Guerra e pace’: dato il numero di molecole di gas presenti in un motore
termico impossibile che esse si dispongano spontaneamente nella configurazione iniziale T1 - T2. Di
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conseguenza finché c’è una fonte di energia a separarle (scaldando uno dei due ambienti del motore) le
particelle rimarranno in ordine; ma quando questa energia finisce, per la legge delle probabilità esse si
dispongono in uno qualsiasi degli infiniti stati equivalenti dove T1 = T2. L’ ordine può venire
ripristinato nel sistema ma solo a costo di un maggiore dispendio di ordine fuori dal sistema. Ovvero,
considerando il bilancio totale, con un aumento di entropia. 8
Lo stato di entropia massima coincide con la ‘morte termica’, stato finale in cui nulla può più
accadere perché tutti gli elementi del sistema si trovano già in equilibrio. Il sistema continua
indefinitamente a sussistere senza subire nessun cambiamento neppure a livello molecolare; per la
materia è appunto uno stato paragonabile alla morte.
Facciamo un confronto con il meccanicismo: la terza regola della fisica cartesiana afferma che in
ogni urto viene trasmessa tutta l’ energia del moto e quindi non c’è dissipazione: per Cartesio il
mondo fu creato da Dio ad un certo momento e da lì in poi esso prosegue eternamente nei suoi moti,
nelle sue azioni e reazioni, senza che a livello globale vi sia un aumento dell’ entropia. Tutto vi appare
rigorosamente determinato e non è concepibile che il disordine (cioè il caso) si intrometta in alcuno dei
processi fisici. Ricordiamo Laplace.
Anche i concetti di entropia e irreversibilità introducono un determinismo a livello cosmico, ma
esso è ben diverso da quello meccanicistico. A differenza di Newton, l’ entropia non predice la
evoluzione dei singoli elementi, che risulta irrilevante; ciò che conta è l’ insieme di tutti gli elementi,
del quale si può prevedere la evoluzione, statisticamente, verso il disordine.
Osserviamo poi che in base alla II legge della Termodinamica l’ Universo necessariamente ha un
inizio ed una fine: se fosse eterno avrebbe già raggiunto il suo stato di massima entropia chissà quando
e ora noi non esisteremmo.
Riassumiamo le implicazioni cosmologiche dell’ entropia:
1) in un sistema qualsiasi l’ ordine è meno probabile del disordine;
2) tale differenza di probabilità aumenta enormemente con la complessità del sistema;
3) il sistema quindi tende al disordine, a meno che non si intervenga su di esso dall’ esterno;
4) l’ Universo é il sistema più complesso, l’ unico sul quale non si può intervenire dall’ esterno;
5) l’ Universo ha dunque un inizio (entropia zero) ed una fine (entropia massima).
A questo punto sorgono 2 questioni tra loro connesse:
1. Dove se ne vanno l’ energia dissipata e l’ ordine del Cosmo? Si pensi che la freccia del tempo
è puntata invariabilmente nella direzione nella quale l’ entropia aumenta. Infatti:
1 -il tempo scorre dal prima al dopo, mai al contrario;
2-la radiazione procede dal livello energetico superiore a quello inferiore, mai il contrario;
3-il corpo più caldo cede calore a quello più freddo, mai il contrario;
4-la forza gravitazione procede dalla massa e mai verso la massa9.
Abbiamo 4 unidirezionalità diverse: temporale, elettromagnetica, termica, gravitazionale. Tutte e 4
(e non solo la prima) formano la cosiddetta 'freccia del tempo'. La 2 e la 3 costituiscono l’ entropia in
senso stretto; ma la gravità non è da meno: essa porta alla formazione dei corpi celesti, rendendo così
possibile la trasformazione di quasi tutta la loro massa in energia. Se poi la gravità prevale sulle altre
forze della natura abbiamo il buco nero, dove l’ entropia tende all’ infinito. Vedi oltre, pagg. 14.
La freccia è dunque puntata sempre verso il futuro. In un certo senso l’ energia dissipata nell’
Universo è impiegata per spingerlo ‘in avanti’ (nei 4 significati visti), come una sorta di carburante
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Ad essere pignoli nel caso di un motore a differenziale termico le probabilità disordinate non coincidono esattamente con il
fattoriale del numero di molecole complessivo. Infatti c’ è una sola disposizione in cui tutte le molecole calde stanno da una parte e
tutte le fredde dall’ altra, per cui vale la formula fattoriale come in ‘Guerra e pace’; ma ve ne sono di numerosissime (e non una sola)
in cui poche calde sono mescolate a molte fredde e viceversa. Dati i numeri in gioco, anche se per es. 1000 molecole calde stanno
nell’ ambiente freddo, questo in pratica non influisce su T1 - T2 ma richiede calcoli un po’ più complessi. Per una illustrazione dell’
entropia e della termodinamica in chiave (anche) filosofica, vedi Prigogine-Stengers, La nuova alleanza, metamorfosi della scienza,
Torino, Einaudi, 1981, soprattutto capp. IV e VII.
9
In realtà i fisici discutono dell’ esistenza di una forza gravitazionale repulsiva, che agisce su grandi distanze e che sarebbe
responsabile dell’ espansione dell’ Universo, ma qui tratta della gravitazione normale.
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cosmico che produce il divenire. Ma resta una seconda questione più difficile, che richiede forse un
salto oltre la fisica:
2. Da dove proviene la quantità di ordine che, attimo dopo attimo, da sempre, non ha mai
fatto altro che diminuire? Tale interrogativo ci porta fuori dalla fisica: Sia la luce! E la luce fu. Tale è il
decreto divino che fa essere il Cosmo10.
La Cosmologia moderna con il modello del Big Bang pare riprendere la questione 11. L’ esplosione
primordiale proietta fuori da sé tutto ciò che conosciamo: energia e poi materia, ma anche spazio,
tempo e leggi della fisica. Possiamo definire il Big Bang come la generazione istantanea di un ordine
assoluto: tutto l’ essere, con tutte le sue proprietà attuali e potenziali, concentrato in un solo punto; e d’
altra parte il puro nulla senza spazio né tempo. Questo ci riporta alla coppia essere-nulla che, da
Parmenide a Hegel12, è pensata come l’ inizio di tutto: l’ essere subentrò al nulla, ma non accadde il
contrario.13 Un altro approccio al tema della creazione si trova nel capitolo dedicato al cono di luce :
questi interrogativi, anche se espressi in linguaggio scientifico, ci portano alla metafisica ed alla
religione.
1.3. Elettromagnetismo (Faraday e Maxwell):
1.3.1. Presentazione
Fino alla fine del XIX secolo la fisica meccanicistica galileiana, con uno spazio ed un tempo
assoluti di tipo newtoniano, ed i fenomeni elettromagnetici, con regole del tutto diverse, costituivano 2
mondi separati. Seguiremo ora il percorso che ha portato alla loro unificazione.
Anzitutto i fenomeni elettrici e quelli magnetici vengono unificati nelle quattro equazioni di
Maxwell (1831-1879). Non esiste un campo elettrico separato dal campo magnetico (entrambi di
natura vettoriale) ma l' uno e l' altro sono manifestazioni di un' unica realtà fisica, chiamata il tensore
elettromagnetico. Non irrilevante é che la velocità della luce (detta C ed uguale a 299.792.458
km/sec.) è determinabile in base alle equazioni di Maxwell per via puramente matematica, e tutte le
misurazioni empiriche hanno poi confermato quel risultato.
Come si modifica il paradigma meccanicistico in base alle equazioni di Maxwell? Lo spazio non è
più vuoto e neutro, ma orientato dalle linee elettromagnetiche. La carica elettrica prima era vista come
proprietà del corpo, ora piuttosto come un campo che permea lo spazio ad esso circostante. Inoltre l’
annosa questione dello 'status' degli elettroni e dei fotoni di luce (particelle dotate di massa, oppure
onde che si propagano attraverso un mezzo?) riceve una decisa svolta in senso ondulatorio. La
scoperta delle onde elettromagnetiche da parte di Hertz (nel 1887) rappresentò perciò la migliore
conferma della costruzione maxwelliana. Il modello ondulatorio richiede un mezzo attraverso cui le
onde si propaghino (come il suono si propaga nell' aria ma non nel vuoto). Si ipotizza perciò l'
esistenza dell ' etere, sorta di 'mezzo conduttore invisibile' dei campi elettromagnetici. Come si vedrà,
l’ ipotesi dell’ etere aveva anche altre, e forse più importanti, implicazioni circa l’ unificazione di
elettromagnetismo e meccanica newtoniana.
Questa unificazione era veramente possibile?
Newton aveva fornito una precisa formulazione teorica della meccanica classica, nella quale tutto viene
dedotto a partire dall'equazione:
F =ma
Uno strabiliante racconto sulla morte e nascita dell’ Universo è dovuto al noto autore di fantascienza Isaac Asimov, il cui
titolo è: L’ ultima domanda, pubblicato in italiano su Oscar Mondadori
11
Alle sorprendenti analogie tra il modello creazionistico della Bibbia e la Cosmologia di oggi è dedicato il bel libro di Paul
Davies, Dio e la nuova fisica, Mondadori, 1994.
12
Con la triade essere, nulla, divenire ha inizio la Logica che costituisce la prima parte del sistema hegeliano.
13
La classica immagine di un ’Dio orologiaio’ esprime una concezione del Cosmo senza entropia; mentre, per restare nella
metafora cartesiana, Dio dovrebbe alla fine di un ciclo universale (la sua durata dipenderebbe dalla carica iniziale) intervenire per
ricaricare l’ Universo, per esempio producendo un nuovo big-bang. La concezione giudaico-cristiana del tempo orientato in avanti è
assimilabile alla descrizione di un solo ciclo cosmico (creazione-sviluppo-fine) mentre le concezioni cicliche (Eraclito, Stoicismo,
Induismo) si applicherebbero meglio all’ insieme di tutti i cicli.
10
99
9
che a sua volta altro non è che la II legge della dinamica galileiana:
a = F/m
Secondo Newton e Galilei lo spazio ed il tempo sono realtà assolute ed identiche per tutti gli
osservatori. Due eventi che hanno luogo nello stesso punto secondo un osservatore avranno luogo nello
stesso punto secondo qualsiasi altro osservatore; e due eventi giudicati simultanei da uno di essi,
saranno simultanei per tutti. Per passare da un sistema di riferimento all' altro occorre fare uso delle
trasformate galileiane, semplici equazioni che descrivono i moti degli oggetti relativi ad un sistema di
riferimento come vengono visti da un altro sistema in moto rispetto al primo. Queste equazioni
formalizzano l’ esperienza quotidiana della Relatività del moto, per cui il treno si muove se visto dalla
stazione, ma è la stazione a muoversi se vista dal treno.
L’ integrazione di Newton e della Relatività galileiana era semplice: l 'equazione (F=ma) risulta
covariante rispetto alle trasformazioni di Galileo. Se applicate all' equazione fondamentale di Newton,
le trasformazioni galileiane variano secondo una precisa legge matematica. Tali variazioni sono
calcolabili in anticipo in base al presupposto che lo spazio ed il tempo in cui i diversi sistemi di
riferimento si muovono sia unico ed identico: la Relatività galileiana presuppone uno spazio ed un
tempo invarianti di tipo newtoniano.
1.3.2. Una integrazione difficile
Dopo Maxwell usando sole cinque equazioni: la newtoniana (F=ma), le equazioni di Maxwell più
le quattro formule delle trasformazioni galileiane (con il calcolo differenziale ed integrale) sembrava
possibile prevedere in modo univoco l' evoluzione di ogni sistema fisico: dalla classica palla da
biliardo al moto degli elettroni in un conduttore ai fotoni in un fascio di luce.
Ma si coprì che le equazioni di Maxwell cambiando il sistema di riferimento adottato non erano più
valide ; ovviamente questa conclusione era inaccettabile: da qualche parte si nascondeva un errore ed
era necessaria una correzione. Pertanto fu introdotto il già menzionato etere: un mezzo trasparente ad
ogni osservazione che impregnerebbe l' Universo e trasporterebbe le radiazioni. Questo poteva
rappresentare il sistema di riferimento assoluto per tutte le trasformazioni di Galileo, sostituendo lo
«spazio assoluto» newtoniano che l’ elettromagnetismo con le trasformate galileiane aveva messo in
crisi.
Quindi l’ introduzione ad hoc dell’ etere rispondeva ad una doppia
esigenza: 1) trovare il mezzo di propagazione delle onde elettromagnetiche;
2) trovare il sistema di riferimento assoluto invariante rispetto alle
trasformate galileiane. Ci si aspettava dunque che la velocità della luce (C)
risultasse relativa anch’ essa rispetto all’ etere. Ciò comportava che sulla
superficie terrestre ci dovesse essere il cosiddetto ‘vento d’ etere’ dovuto alla
differenza tra l’ immobilità dell’ etere e la velocità di rotazione della
superficie terrestre.14
Ma l’ esperimento di Michelson e Morley (1887) dimostrò -tramite un apparecchio ideato dallo
stesso Michelson, l’ interferometro- che non c’è nessun vento d’ etere, e cioè che il moto di rotazione
terrestre (circa 30km/sec alla latitudine in cui fu effettuato l’ esperimento) non ha nessun effetto sulle
onde elettromagnetiche: in ogni circostanza la velocità della luce risulta sempre uguale a poco meno di
300.00km/sec.
14
Galilei aveva già dimostrato che la rotazione terrestre non comporta alcun effetto fisico (vento, nuvole che si spostano da est
a ovest etc.) perché con la terra ruota l’ intero sistema di riferimento; ma dato che l’ elettromagnetismo non obbedisce alla Relatività
galileiana, l’ etere doveva essere immobile rispetto a tutti i fenomeni elettromagnetici: quando la sorgente di emissione
elettromagnetica si muove la velocità delle onde si dovrebbe comporre/scomporre con quella della sorgente.
11
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1.4. Dall’ elettromagnetismo alla Relatività: Lorentz
Qualche anno prima di Einstein il fisico olandese Hendrik Lorentz (1853-1928) aveva riflettuto sull’
esperimento di Michaelson-Morley. L’ ipotesi di Lorentz (mutuata dall’ irlandese
Fitzgerald) era che, nonostante l’ immobilità assoluta dell’ etere, non fosse possibile
misurare la composizione della velocità della luce col moto terrestre perché gli
strumenti di misura si contraevano nel senso del moto: l’ aumentata velocità della
luce dovuta alla rotazione terrestre sarebbe stata compensata dall’ accorciamento
degli strumenti di misura dovuti pure alla rotazione terrestre. Questo effetto, poi
incluso da Einstein nella Relatività, prende il nome di ‘contrazione di Lorentz-Fitzgerald’.
Se la velocità del corpo è v, la contrazione è
Se la Terra si muove a circa 30 km/s, la contrazione risulta essere circa di una parte su
200.000.000, che si traduce in circa 6 cm sul diametro della Terra. Secondo Fitzgerald e Lorentz questa
piccola differenza bastava a spiegare il risultato dell' esperimento di Michelson e Morley.
Sostituendo alla composizione galileiana delle velocità la contrazione delle lunghezze, Lorentz
constatò che le equazioni di Maxwell risultano valide in tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme
(come la superficie terrestre) e non solamente in un sistema di riferimento privilegiato, l' etere.
Elettromagnetismo e fisica classica si potevano finalmente integrare: bastava modificare le equazioni
trasformate galileiane includendovi la contrazione delle lunghezze. Lorentz trovò nel 1904 le nuove
equazioni trasformate che prevedono una contrazione dello spazio (l) ma anche del tempo (t).
Un evento qualunque in un sistema di riferimento immobile (nell’ esperimento di MichaelsonMorley si pensava all’ etere) è descritto dalle coordinate Spaziotemporali x, y, z, t ; ebbene, in un altro
sistema di riferimento, che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al primo ad una velocità v, e
dove per semplicità assumiamo che il moto si svolga solo lungo l’ asse spaziale x, lo stesso evento
cambia coordinate; confrontiamo le equazioni trasformate galileiane con quelle di Lorentz per trovare
le nuove coordinate dell’ evento viste dal sistema in movimento. Secondo Galileo:
x diventa x-vt;
y resta y;
z resta z;
t resta t;
Si noti che la coordinata temporale è invariante. Ciò significa che, qualunque sia la differenza di
velocità tra i due sistemi di riferimento, i moti possono essere composti o sottratti a piacere facendo
semplicemente co-variare spazio e velocità: il calcolo della nuova posizione di x è valido per qualsiasi
v, anche superiore alla velocità della luce.
Ecco ora le trasformate di Lorentz che modificano quelle galileiane, tenendo conto della noncomponibilità di C e della contrazione delle lunghezze (l):
x
y
z
t
diventa (x-vt / (l –v2/c2)1/2 ;
resta y;
resta z;
diventa {t – (v/c2) x } / (l - v2/c2)1/2
da queste equazioni si ricava il fattore di Lorentz che é poi onnipresente nelle equazioni della
Relatività ristretta, poiché permette di calcolare non solo le nuove coordinate, ma anche altre grandezze
(tempo, massa, energia, lunghezza) passando da un sistema di riferimento ad un altro.
11
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Dalle trasformate di Lorentz si ricavano tre importanti conseguenze:
- per v uguale o inferiore a circa 3/4 di C le trasformate di Lorentz sono identiche a quelle di
Galileo. Ecco perché fino alla scoperta dell’ elettromagnetismo nessuno aveva messo in discussione la
fisica galileiana. Man mano che v si avvicina a C le coordinate previste da Lorentz iniziano a differire
da quelle galileiane; alla velocità della luce per i nuovi valori di l e t la differenza si fa infinita;
- d’ altronde se V = C i denominatori si annullano. Ciò significa che la velocità della luce non è
fisicamente raggiungibile da nessun sistema di riferimento dotato di massa. Le nuove coordinate non
riguardano un impossibile ‘osservatore’ che viaggiasse alla velocità della luce, ma solamente le onde
elettromagnetiche, ed è questo il senso delle nuove equazioni, integrare elettromagnetismo e Relatività
galileiana. Tutto questo verrà spiegato in seguito.
- un altro aspetto importante riguarda il tempo: t è diverso da t', ovvero il tempo viene visto scorrere
nell'altro sistema in modo diverso dal proprio: in un sistema di riferimento in moto uniforme anche il
tempo subisce delle trasformazioni covariando assieme allo spazio (l) in funzione di v. E’ questa la
principale novità, ma Lorentz non ne capì l’ importanza; lo chiamò « tempo locale » ma come affermò
egli stesso anni dopo: « Esisteva per me un solo tempo vero: consideravo la ma trasformazione del
tempo solo come un' ipotesi di lavoro euristico, di modo che la teoria della Relatività è davvero solo
opera di Einstein. »
D’ altronde Einstein riconosce in Lorentz colui senza il quale la teoria della Relatività non sarebbe
nata: “Le indagini profondamente innovatrici di H.A.Lorentz, sui fenomeni elettrodinamici ed ottici nei
corpi in movimento, hanno mostrato che le esperienze in questi campi conducono in modo
inequivocabile ad una teoria dei fenomeni elettromagnetici, che ha per conseguenza necessaria la
costanza della velocità della luce” 15. Questi uomini geniali possedevano anche la virtù della modestia.
Interessante a tal proposito il confronto tra il rapporto Lorentz/Einstein e la diatriba di
Leibniz/Newton.16
Concludendo su Lorentz: il nucleo della Relatività ristretta è già tutto qui, qui Einstein trova la base
matematica su cui costruire la nuova teoria; ma gli sviluppi della teoria (che riguarda parecchie altre
cose come massa, energia, nesso causale, Spaziotempo) sono tutti di Einstein, il quale a differenza di
Lorentz capì le enormi implicazioni delle nuove equazioni trasformate.
1.5. Relatività speciale (Einstein, 1905)17
1.5.1. Einstein e Kant
(154/57) Dunque la velocità della luce resta costante nel passare da un sistema di riferimento ad un
altro, e questo obbliga a co-variare le altre grandezze. La Relatività parte da qui: non lo spazio né il
tempo, ma la velocità della luce (d’ ora in poi “C”) è invariante per tutti gli osservatori (fermi/in
moto inerziale).
Introduciamo l’ argomento confrontando Relatività e ‘Rivoluzione Copernicana’ , la nozione più
famosa di Immanuel Kant. Diamo per scontato che lo studente possegga già le basi del pensiero
kantiano.
Il nuovo punto di vista trascendentale inaugurato da Kant nel 1781 era già anticipato da Leibniz da
una parte e da Hume dall’ altra: si trattava della secolare diatriba tra razionalismo (per cui la Natura è
strutturata matematicamente) ed empirismo (per cui le leggi di Natura costituiscono l’ ordine che il
A. Einstein, Relatività: esposizione divulgativa, in La Scienza – Biblioteca di Repubblica, vol. 11, pag. 299
Nel 1695 il matematico Wallis riferì a Newton che in Olanda il calcolo infinitesimale era considerato una scoperta di
Leibniz e suggerì che Leibniz potesse aver appreso ciò durante la sua precedente permanenza a Londra; Newton accusò Leibniz di
plagio sulla sola base di questa congettura, senza conoscere il sistema filosofico leibniziano del quale il calcolo infinitesimale è parte
integrante. Leibniz replicò nel 1704 elevando una protesta alla Royal Society contro la calunnia di Newton. Leibniz muore nel 1716
senza ricevere soddisfazione, poiché gli scienziati inglesi continuano a ritenerlo (ingiustamente) un plagiatore; in seguito Newton
eliminò dalla terza edizione dei Principia ogni accenno al fatto che il collega avesse elaborato n metodo di calcolo simile al suo.
15
16
17
Per una agile ma precisa introduzione all' argomento, vedi N. Farouki, La Relatività, Il Saggiatore, 1997
11
22
1
2
soggetto –cioè noi stessi- mette nella propria esperienza); Kant dimostrò che l’ opposizione derivava
da una errata impostazione gnoseologica che attribuiva/non attribuiva all’ oggetto -cioè alla Natura- l’
ordine matematico di cui la scienza ha bisogno. Solo capovolgendo il senso comune e ponendo il
soggetto conoscitivo a monte (a priori) della scienza e della stessa Natura era possibile conciliare le
ragioni del razionalismo e dell’ empirismo, inserendoli entrambi in un nuovo quadro basato sulle
funzioni a priori della Ragione.
Quindi il criticismo kantiano, in senso storico, unifica Razionalismo (con il
carattere oggettivo e matematico delle leggi fisiche tramite) ed Empirismo (l’
esperienza nella sua particolarità come unica sorgente del conoscere). Tale
unificazione richiedeva anche un nuovo metodo, che Kant chiamò ‘trascendentale’
per sottolinearne la difficoltà e la distanza dal senso comune.
Analogamente la Relatività ci costringe a rivedere le nostre convinzioni più
radicate: come può la velocità della luce essere invariante, essendo un rapporto tra
spazio (300.000 km) e tempo (1 sec.)? Velocità rispetto a cosa, se è identica per
qualsiasi osservatore? Che cosa impedisce ad un corpo, almeno teoricamente, di superare questa
velocità? Questi interrogativi erano già impliciti nel lavoro di Michaelson, Morley e Lorentz; Einstein
dimostra che sono insolubili entro la sola fisica galileiana o il solo elettromagnetismo, richiedendo un
nuovo punto di vista. Questo costituisce una forte analogia storica tra l’ opera di Kant e quella di
Einstein.
Riguardo ai contenuti invece non vi è analogia. Kant non rivoluzionò affatto la
fisica di Newton, prefiggendosi anzi di darle un fondamento filosofico.
Storicamente la sua non è una ‘rottura di paradigma’ come quella di Einstein, ma al
contrario un consolidamento del meccanicismo, proposto nei termini della filosofia
allora dominante, l’ Illuminismo. Secondo Kant uno spazio e un tempo fissi e
immutabili costituiscono le condizioni a priori affinché moto e quiete siano (come
sono) oggetti costanti della nostra esperienza. Nella Relatività è l' opposto ed i
contenuti delle leggi fisiche vengono profondamente modificati. Non sono moto e
quiete a conformarsi alle forme immutabili di spazio e tempo ma, al contrario, sono spazio e tempo
(non più immutabili) a conformarsi a moto e quiete. Inoltre, contro Kant, i complessi rapporti tra
spazio, tempo e movimento delle equazioni relativistiche non possono risiedere a priori nella Ragione
umana (che anzi li trova difficili da capire), ma regolano il mondo e la Natura.18
La fisica kantiana-newtoniana descrive il mondo quotidiano su scala macroscopica e ci immerge in
uno spaziotempo oggettivo ed immutabile; risulta per noi difficilissimo abbandonare questa idea, che
va letteralmente oltre la nostra immaginazione, ma è proprio quello che la Relatività ci chiede di fare.
1.5.2. L’ esperimento mentale dei treni
Cos’ è la simultaneità? E’ questo il tema dello scritto del 1905 che porta il titolo di Elettrodinamica dei
e che inaugura la nuova teoria.
Proviamo a spiegarlo tramite un esperimento mentale in stile galileiano. Immaginiamo 3 elementi
detti A, B, Carlo:
A= un treno che viaggia a velocità V (30km/h) in direzione di Carlo;
B= un altro treno viaggiante a velocità 2V (60km/h) in direzione di Carlo;
Carlo=l' osservatore immobile che misura i moti di A e B.
I 2 treni A e B partono verso Carlo su due binari paralleli nello stesso momento e dallo stesso
punto che dista 10 km da Carlo. Per semplicità supponiamo che non vi sia accelerazione ma che il loro
moto inizi subito alla velocità rispettiva V e 2V.
Il treno A raggiungerà l’ osservatore Carlo dopo 20 minuti mentre il treno B dopo 10 minuti.
Secondo la Relatività galileiana stabilire le velocità di A e B esige un sistema di riferimento condiviso.
Perciò Carlo si considera immobile rispetto agli altri due, e viene considerato tale anche da loro. La
corpi in movimento
18
Sul cosiddetto ‘realismo’ filosofico di Einstein vedi B.2.
11
33
1
3
scelta del sistema di riferimento, in questo caso Carlo, è relativa (da cui l’ origine per es. del
geocentrismo). Perciò anche lo stato/moto è relativo: A e B vedono Carlo e il paesaggio venire loro
incontro, mentre Carlo vede che sono loro a muoversi mentre lui stesso (insieme al paesaggio) è fermo.
Ciò che resta identico per ognuno dei tre è il tempo: durante l’ esperimento Carlo copre uno spazio
uguale a zero, mentre B nello stesso tempo percorre una distanza doppia rispetto ad A, e tutto ciò è
misurabile esattamente nello stesso modo da ciascuno dei 3. Il tempo galileiano è un invariante, come
già visto a proposito delle trasformazioni galileiane; spazio e velocità co-variano rispetto ad esso.
Questa invarianza del tempo in tutti i sistemi di riferimento è la 'simultaneità'. Einstein parte proprio dalla
critica al concetto di simultaneità.
Analizziamo meglio l’ esperimento. Come fanno A, B e Carlo a constatare nello stesso momento
che uno dei tre è partito, sta viaggiando o è arrivato? Vedendolo muoversi e poi fermarsi. La
osservazione dell’ evento non è istantanea ma è leggermente differita poiché la immagine dei treni in
partenza impiega circa 1 decimilionesimo di secondo per giungere a Carlo, e con il loro avvicinarsi
questo tempo già minuscolo si accorcia in proporzione alla velocità rispettiva dei due treni. Tale fatto
parrebbe irrilevante, ma al contrario ha enormi implicazioni.
Immaginiamo per scherzo che la luce rallentasse a meno di 60 km/h o al contrario (ma è lo stesso)
che B viaggiasse più veloce della luce; come andrebbe il nostro esperimento? Si avrebbe un grave
paradosso: Carlo vedrebbe partire B dopo il suo arrivo; ovvero il treno B sarebbe arrivato prima di
partire; invece dal punto di vista di B tutto si svolgerebbe normalmente. La sequenza tra 2 eventi si
presenterebbe in modo opposto per i due osservatori. Ma la Relatività, malgrado il suo nome, non
consente casi come questo: affinché lo stesso ordine cronologico (e causale) prima-dopo valga per tutti
gli osservatori, è necessario che la velocità di qualunque moto, in ogni sistema di riferimento, non
possa mai superare quella delle informazioni tramite le quali i diversi osservatori possono stabilire la
simultaneità degli eventi. Ed è proprio così: la Natura ha stabilito la velocità della luce come la
massima possibile in assoluto. Ma questo è solo l’ inizio.
Immaginiamo ora che la velocità della luce sia uguale a soli 10km/h. Se alla partenza A fosse più
vicino a Carlo di solo 1 km, Carlo lo vedrebbe partire 6 minuti prima di B, anche se dal loro punto di
vista essi sarebbero partiti nello stesso momento. Ma A vedrebbe che B parte nel suo stesso momento
solo se secondo l’ orologio di B egli fosse partito 6 minuti prima di A; B invece si vedrebbe partire
assieme ad A solo se secondo l’ orologio di A egli fosse partito 6 minuti prima di B. Se poi inserissimo
nell' esperimento anche la accelerazione di A e B, e la composizione del moto tra velocità della luce
(10km/h) e velocità rispettive di A e B, ne verrebbe fuori un caos inestricabile. 19
In condizioni normali C=299.792,458 km/sec., e non 10km/h. Essendo una velocità comunque
finita, resta vero che la simultaneità tra 2 sistemi di riferimento non esiste: lo stesso evento accade
sempre in momenti diversi per i diversi osservatori; se questi distano l’ uno dall’ altro e/o si muovono
rispettivamente vanno a costituire due diversi sistemi di riferimento spazio/temporali, a prescindere da
quali accordi abbiano preso in precedenza.
Quali sono le differenze tra diversi sistemi di riferimento ed a quali conseguenze portano? La
risposta è: 'effetti relativistici'. Man mano che la differenza di velocità e/o la distanza tra gli osservatori
aumenta cresce la differenza tra le loro osservazioni; quando la differenza di velocità raggiunge quella
della luce un confronto diventa impossibile: dal punto di vista degli osservatori fermi la meccanica
galileiana vale solo per loro e non per l' osservatore in moto, mentre per quest' ultimo è l' opposto. Ma
questo relativismo (che riguarda solo gli aspetti galileiani della fisica) é solo apparente: proprio perché
le leggi fisiche sono le stesse ovunque, ogni sistema di riferimento vede se stesso come ‘il’ sistema
privilegiato; il confronto tra le proprie misurazioni e quelle degli altri sistemi di riferimento richiede
una nuova e più ampia Relatività che inglobi anche i fenomeni elettromagnetici.
19
Per forzato che possa sembrare questo discorso, ricordiamo che anche nella realtà (in certe condizioni fisiche) la luce può subire drastici
rallentamenti: per esempio la luce impiega oltre un milione di anni per uscire dal nucleo del Sole all’ esterno, viaggiando a circa 2cm/ora, molto
meno dei 10 km/h immaginati prima: la luce che vediamo oggi è stata generata nel Sole quando l’ Homo sapiens muoveva i suoi primi passi. Certo,
effettuare l’ esperimento dei treni nel nucleo solare è fisicamente impossibile, ma è utile immaginare come si svolgerebbe se fosse possibile
effettuarlo anche là.
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1.5.3. I postulati della Relatività ristretta
Infatti il primo postulato della teoria della Relatività (principio di Relatività) recita: “le leggi fisiche
sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali”. O detto altrimenti: le leggi fisiche,
elettromagnetismo compreso, sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz viste più sopra.
Nelle situazioni quotidiane la simultaneità galileiana ‘tiene’ e viene insegnata ancora oggi nelle
scuole, ma ad altissime velocità –o su enormi distanze- non è più valida; ciò emerge particolarmente in
ambito elettromagnetico (dove sono in gioco appunto altissime velocità e/o enormi distanze) e ciò è
ovvio se, come abbiamo visto, la nuova teoria incorpora al suo interno sia la meccanica classica che l’
elettromagnetismo. A velocità e distanze sufficientemente elevate il ‘centro’ intorno a cui tutto ruota
non è più l’ osservatore (come in Galileo) ma bensì il moto della luce; man mano che ci si avvicina al
muro costituito da C, co-variano progressivamente i parametri che nella fisica newtoniana erano
considerati assoluti (cioè invarianti rispetto a qualunque sistema di riferimento): massa del corpo,
spazio, tempo, velocità. La variazione dello spazio –o contrazione di Lorentz-Fitzgerald- è stata
scoperta per prima e ne abbiamo già parlato; altre co-variazioni verranno illustrate più sotto.
Il primo e più semplice effetto sulla simultaneità dipende dalla distanza: per tornare ai treni, se A e
B partono nello stesso momento ma a distanza di 1 km tale partenza secondo Carlo accade in 2 istanti
la cui differenza è un trecentomillesimo di secondo. Se la distanza iniziale di A e B da Carlo fosse di 1
anno-luce, la loro partenza per Carlo differirebbe di 1 anno. Se l’ unico sistema di riferimento assoluto
è la velocità della luce, allora nella ‘storia’ di Carlo A e B e sono realmente partiti con un anno di
distanza perché la luce ha impiegato un anno per raggiungere Carlo. Dal momento che nulla va più
veloce della luce lo stesso evento accade in istanti diversi per i diversi osservatori. Se non è possibile
che un evento distante 1 anno-luce venga osservato prima di un anno dal suo accadimento, esso per noi
accade ora, ma dal ‘suo’ punto di vista esso è accaduto 1 anno fa.20 L’ evento E’ i suoi effetti.21
Questo argomento verrà approfondito oltre (vedi a.2.7 pag.19).
Dunque nulla può andare più veloce della luce. Ma la luce stessa può farlo? Proviamo a pensare
al caso che C variasse nei diversi sistemi di riferimento. Spazio e tempo perderebbero ogni oggettività
per variare da osservatore ad osservatore, da momento a momento, da luogo a luogo. Forse sulla base
di questa idea erronea alcuni accostano Einstein a Pirandello o a Ionesco o a Beckett e ne fanno un
campione del ‘relativismo’. Ma la Relatività è cosa ben diversa dal relativismo: Einstein ha dimostrato
che C costituisce il sistema di riferimento assoluto che permette ai diversi osservatori di concordare
sull’ ordine degli eventi (prima-dopo). E’ così garantita anche la quasi-simultaneità degli eventi, come
dimostra l’ esperimento dell’ aereo di cui tra poche righe. Tale velocità, essendo il sistema di
riferimento universale, non può essere influenzata da ciò che serve a osservare, e quindi è identica per
qualsiasi osservatore: questo è il secondo postulato della teoria della Relatività che recita: “La velocità
della luce nel vuoto ha lo stesso valore (C ) in tutti i sistemici riferimento inerziali”..
Tra il primo ed il secondo postulato della Relatività c’è perfetto accordo, anzi il secondo discende
dal primo: dato che le leggi fisiche sono identiche in ogni sistema di riferimento (primo postulato) è
identica anche la velocità della luce che di queste leggi è parte integrante (secondo postulato). Mentre
se la velocità della luce variasse da un sistema all’ altro, allora le leggi della fisica sarebbero relative al
sistema di riferimento scelto. La nuova teoria, malgrado il suo nome, rispetto a quella galileiana è una
non-Relatività, che garantisce l’ assolutezza ed universalità delle leggi fisiche ed elettromagnetiche.
I paradossi della Relatività derivano dal fatto che, a basse velocità, vale la composizione galileiana,
mentre aumentando la velocità si passa gradualmente al ‘regno’ della luce, dove la sua velocità
costituisce l’ unica grandezza invariante. E’ come se ci fossero 2 fisiche: quella quotidiana, galileiana,
20
Per es. come verrà ricordato più sotto la luce del sole che vediamo in questo momento è stata emessa 8 minuti e 13 secondi
fa.
Così si può stimare l’ età dell’ l’Universo: se i segnali più lontani che riusciamo a captare nel cosmo hanno impiegato 13
miliardi di anni per raggiungere i nostri radiotelescopi, allora l’ Universo –o almeno quello visibile da noi, il che è lo stesso- deve
avere come minimo 13 miliardi di anni. In generale qualsiasi relazione causa-effetto ha come orizzonte la velocità C: se il nostro Sole
esplodesse in supernova (speriamo di no!) la Terra verrebbe distrutta da una esplosione avvenuta 8 minuti e 13 secondi prima ad una
distanza di circa 150 milioni di chilometri, ma per noi quell’ evento accadrebbe adesso.
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21
e quella relativistica; in realtà c’è una sola fisica che le ingloba entrambe, ed è questa l’ origine dei
paradossi relativistici.
Un esempio riguarda la composizione delle velocità che vale nella vita quotidiana ma non in
ambito relativistico: se due automobili si dirigono una contro l' altra a 50 km/h, ci si aspetta giustamente
che ogni auto veda l' altra avvicinarsi a 100 km/h. Se invece due fasci di luce viaggiano uno contro l’
altro, la loro velocità rispettiva non è di 2C (come nel caso delle auto), ma sempre C. Ma tale è anche
la velocità di ciascun fascio nei confronti di noi che la stiamo misurando.
Altro esempio. Se due astronavi viaggiano l’ una verso l’ altra all’ 0,1% della velocità della luce, si
percepiscono reciprocamente come avvicinatesi al doppio di questa velocità, lo 0,2%; ma se le stesse
astronavi viaggiano al 90% della velocità della luce non si percepiscono reciprocamente come
avvicinatesi al 180% della velocità della luce (come vorrebbe la composizione galileiana): la velocità
reciproca è invece leggermente inferiore al 99,5% della velocità della luce.
Questo risultato viene dato dalla formula relativistica per la somma delle velocità:
dove
e
sono le velocità delle astronavi relativamente all' osservatore, e
è la velocità di
avvicinamento delle due astronavi tra loro. Caso significativo: se la velocità delle singole astronavi è
uguale a C, e quindi se + = 2C, d’ altronde esse si vengono incontro ad una velocità che è
2C/2C, ovvero di nuovo C: la composizione galileiana dà come risultato 2C, la formula relativistica
invece 1C. La causa di questa differenza risiede in quel C elevato al quadrato che troviamo nel
divisore di questa formula come di molte altre. 22 Osservando la formula vediamo che questa
differenza si manifesta solo a velocità prossime o uguali a C (dette perciò ‘relativistiche’), ed è per
questo che prima della scoperta dell’ elettromagnetismo nessuno si era accorto di tale differenza. Ma
ora deve risultare chiaro che solo tenendo conto di tale differenza le equazioni trasformate galileiane
sono co-varianti rispetto alle equazioni dell’ elettromagnetismo.
Ovviamente l’ etere sparisce dalla scena: le onde si muovono ad una velocità fissa ed immutabile,
senza bisogno di un mezzo di propagazione e/o di un altro sistema di riferimento assoluto.
1.5.4. Massa, tempo e Relatività
Gli effetti relativistici non riguardano solamente l’ ambiente –per così dire- in cui si trova un corpo:
lo spazio ed il tempo in cui si muove, la velocità del suo moto. Riguardano anche il corpo stesso: a
velocità elevate variano anche massa ed energia intrinseca del corpo, sempre se misurate da un altro
sistema di riferimento in quiete rispetto al primo. Di questo ci occupiamo nel paragrafo seguente.
All’ aumentare di velocità (e dunque di massa ed energia del corpo) spazio e tempo mettono in luce
la loro profonda unità, che nell’ ambito quotidiano non si manifesta. Perciò nella Relatività si usa il
neologismo ‘Spaziotempo’ intendendo l’ unità dinamica di spazio e tempo, una realtà elastica dove
questi possono essere allungati e compressi l’ uno in relazione con l’ altro, co-variando in funzione
della velocità. Come? Più diminuisce il rapporto tra tempo e spazio (incremento di velocità), più
aumenta quello tra velocità e spazio (decremento del tempo). Il tempo rallenta all' aumentare dello
spazio percorso, per fermarsi alla velocità C, che dal punto di vista del tempo ordinario costituisce la
vera e propria 'eternità'. D’ altronde a quella velocità accadono altre stranezze, sempre dal punto di
vista di chi è fermo.
Vediamo ora la contrazione del tempo, che costituisce forse l’ aspetto più noto della Relatività
ristretta. La relazione tempo/velocità risulta dalla formula:
22
La velocità della luce elevata al quadrato è onnipresente nelle equazioni relativistiche e quasi sempre nel divisore, il che ne
fa una sorta di ‘limitatore universale’ di tutte le grandezze che si trovano nel dividendo.
11
66
1
6
Dove t1 è il tempo misurato su un sistema di riferimento ‘in quiete’, rispetto a quello t misurabile in
un altro sistema in moto a velocità v rispetto al primo. La formula consente di calcolare dal punto di
vista di t1 la contrazione di t in base al variare di v. Facciamo per semplicità che C sia esattamente
uguale a 300.000km/sec. Applicando la formula al famoso treno immaginario in moto a
240.000km/sec., ne risulta che sul treno passano 60 minuti, mentre fuori dal treno ne sono passati 100;
se il treno viaggiasse a 298.000km/sec., la differenza sarebbe di 60 minuti/8 ore e 50 minuti; se
viaggiasse a 299,999 km/sec. la differenza sarebbe 60 minuti/3 anni e mezzo; se viaggiasse esattamente
a C , allora t1 = t/0, ovvero l’ eternità; per valori di v superiori a C si avrebbe un t negativo, come se
sul treno il tempo scorresse a ritroso; ma si è già visto a proposito dell’entropia che il tempo può
scorrere solo in avanti; anche la unidirezionalità del tempo dimostra che la velocità della luce è la
massima possibile in natura.
Il fenomeno della contrazione del tempo può sembrare strano, ma osservandolo meglio perde gran
parte del suo mistero. La contrazione deriva (come tutto il resto) dalla costanza del valore di C in ogni
sistema di riferimento: quando due osservatori si muovono l’ uno rispetto all’ altro la luce deve
mantenere la stessa velocità rispetto ad entrambi; se uno dei due si allontana da noi ad una velocità
prossima a quella della luce, allora dal nostro punto di vista gli eventi nel sistema in allontanamento
devono avvenire più lentamente che nel nostro sistema, ovvero il loro allontanamento da noi deve
apparire rallentato per permettere alla luce di conservare la sua velocità sia verso di noi che nella
direzione opposta. Caso estremo e paradossale (dal punto di vista galileiano): se l’ altro sistema di
riferimento si allontanasse da noi alla velocità C allora esso ci apparirebbe immobile (su di esso il
tempo si è fermato) altrimenti la sua immagine per raggiungerci dovrebbe viaggiare al doppio della
velocità della luce. Lo stesso ma con parti invertite vale per due sistemi in avvicinamento: la luce non
può andare nemmeno più lenta di se stessa.
Il fenomeno può essere anche spiegato come conseguenza della contrazione lorentziana delle lunghezze già
vista: la distanza da percorrere si accorcia nella direzione del moto in funzione della velocità e questo
porta ad un proporzionale accorciamento del tempo necessario al viaggio. Dato che nella Relatività
spazio=tempo, si contrae lo Spaziotempo.
1.5.5. La contrazione tra aspetti paradossali e quotidianità
Immaginiamo che un’ astronave dovesse raggiungere Alpha-Centauri posta a 4 anni luce dalla
Terra viaggiando a C; come nel caso dei treni ignoriamo le fasi di accelerazione e decelerazione. Per l’
osservatore rimasto sulla Terra l’ astronave non può impiegare meno di 4 anni per il viaggio di andata;
se il tempo fosse un invariante anche sulla astronave passerebbero 4 anni, ma la contrazione di Lorentz dice
che sull’ astronave non sarebbe passato nemmeno un secondo; se il viaggio fosse di 100 o 1.000
anni/luce, sulla Terra sarebbero passati 100 o 1.000 anni, ma sulla astronave nemmeno un secondo,23
come se la sua velocità fosse infinita. Ma si tratta di un vero infinito? Nel resto dell’ Universo sono
comunque passati 4 (o 100 o 1.000) anni, la Terra ha compiuto 4 rivoluzioni intorno al Sole, etc.
E’ vero che per portare un’ astronave alla velocità della luce ci vorrebbe una energia infinita, e
viene da pensare che – almeno dal punto di vista dell’ astronave- sia possibile raggiungere una velocità
infinita. Ma questo discorso è solamente ipotetico, o matematico, dal momento che come vedremo
nessuna astronave può raggiungere queste velocità.
Rifacciamo l’ esperimento seguendo le regole della nella R. ristretta: dato che C è non solo
invalicabile ma anche irraggiungibile (almeno per la materia ordinaria), l’ astronave impiega poco più
di 4 anni per raggiungere Alpha-Centauri, se il suo tempo è misurato dalla Terra; in questa seconda
ipotesi (dove vale la solo la R. speciale) per chi viaggia sull’ astronave stessa sono passati per es. 2
Questa è l’ idea-base di tanta fantascienza; se ne è occupato anche Ron Hubbard, il quale prima di fondare Scientology era
un affermato autore di fantascienza. Ricordiamo il bel romanzo di Joe Haldeman, Guerra eterna, vincitore del premio Hugo 1975.
1
11
7
77
23
anni, come se si fosse viaggiato più veloci della luce, perché si è applicata all’ astronave una energia
ben superiore a quanto previsto dalla fisica classica per quella velocità: l’ energia tende all’ infinito per
V=C come vediamo tra poco. Come dicono i fisici ‘non ci sono pasti gratis nell’ universo’: contrarre il
tempo del proprio sistema di riferimento, come se ci si muovesse ad una velocità (come rapporto
galileiano tra spazio e tempo) tendente all’ infinito, richiede una energia tendente all’ infinito, anche se
osservato dal di fuori questo moto non può mai superare la velocità della luce.
L’ esempio appena visto non è altro che il famoso paradosso dei gemelli leggermente semplificato.
Seguendo B. Greene24 possiamo dire che ogni oggetto nell’ Universo si muove nello Spaziotempo
sempre alla velocità della luce, ma con la seguente differenza: le onde elettromagnetiche impiegano
tutto il loro moto per muoversi solo nelle dimensioni spaziali; i corpi dotati di massa suddividono il
loro moto tra spazio e tempo. Perciò tra i due gemelli quello rimasto sulla terra ha svolto quasi tutto il
suo moto nel tempo ed è invecchiato; quello sull’ astronave si è mosso prevalentemente nello spazio ed
è invecchiato molto meno. Portare un corpo a velocità prossime alla luce richiederebbe enormi energie
ma potrebbe, come nel caso dei gemelli, produrre effetti relativistici di grande entità.
Se si tiene conto della accelerazione-decelerazione e delle energie l’ esperimento dei gemelli va a
farsi benedire: la fase di accelerazione/decelerazione occuperebbe il 99,999..….% del tempo del
viaggio, richiedendo energie pressoché infinite.25 Questi due fatti rendono impossibile una situazione
come quella del treno o dei gemelli. Accelerazione e massa dell’ astronave
nella realtà ci sono e non possiamo ignorarle.
Infatti non ci sono vie di mezzo: o un ente è dotato di massa
macroscopica e viaggia a basse velocità, oppure è privo di massa e viaggia
alla velocità della luce. Transizioni da uno stato all’ altro sono possibili solo
per singole particelle ed a costi energetici salati.26 Riguardo ai corpi
ordinari la transizione è possibile solo nel caso eccezionale in cui il ‘motore’
sia un buco nero massivo.27
Ecco invece un esempio più quotidiano: confrontiamo il moto di un aeroplano con quello della
luce. Esso in un’ ora copre diciamo 1000 km, mentre la luce ne fa circa 1 miliardo; l’ aereo viaggia
circa 1 milione di volte meno veloce della luce; perciò il suo moto è così suddiviso: 1 parte su 1
milione si svolge nello spazio; tutto il resto si svolge nel tempo. Difatti, se si confronta il tempo
trascorso nell’ aereo mentre questo fa 1.000 km, si calcola che esso è più breve dello stesso tempo
misurato a Terra di circa 4 milionesimi di secondo, come risulta dalla formula soprastante. Tale
differenza è stata misurata in più occasioni. Contemporaneamente l’ aereo si accorcia nella direzione
del moto di qualche infinitesimo, come pure la sua massa aumenta di conseguenza. Dunque un
aeroplano qualunque subisce effetti relativistici, piccoli ma misurabili.
Questa parte della trattazione è stata anche presa da http://www.fmboschetto.it/tde/2_3.htm, il cui
autore si ringrazia ed a cui si rimanda per un approfondimento.
24
-Greene,B La trama del Cosmo, Einaudi 2004.
Nei film di fantascienza si viaggia anche e perfino più veloci della luce grazie a ‘tunnel spaziotemporali’ o attraverso l’
iperspazio o in altri modi ancora; alcune di queste idee non sono del tutto peregrine come si vedrà poi.
26
Pensiamo che nel nuovo LHC di Ginevra (il più potente acceleratore di particelle del mondo) per portare singoli protoni ed
elettroni a velocità del 99,9% della velocità della luce si imprime loro un burst di energia tale che ogni esperimento deve venire
concordato in anticipo con le autorità cittadine affinché Ginevra non resti senza energia elettrica; tali esperimenti vengono comunque
effettuati di notte perché di giorno la energia elettrica presente sulla rete potrebbe non bastare.
27
E’ il caso delle potenti emissioni di raggi X che provengono dai bordi di alcuni buchi neri supermassivi; lì la materia
ordinaria viene risucchiata ed accelerata a velocità vicine a quella della luce, e viene convertita in energia smettendo di essere materia.
‘Quasi’ interamente convertita perché la conversione totale è proibita dalla II Legge della Termodinamica. Questo processo energetico
è il più efficiente oggi conosciuto: si calcola che la materia cadente in un buco nero viene trasformata per l’ 85% in energia; pensiamo
che in una bomba all’ idrogeno solo il 7% dell’ della massa esplosiva viene convertito in energia; in una bomba a fissione come quella
di Hiroshima solamente il 3,5% della materia viene convertito. In un esplosivo convenzionale dove abbiamo solamente reazioni
chimiche siamo sull’ ordine dello 0,0001% .
1
11
8
88
25
1.5.6. La formula più famosa del mondo
L’ aumento combinato di velocità/di contrazione dello spazio e del tempo/di massa relativistica/di
energia del corpo è calcolabile secondo il fattore di Lorentz, dove alla velocità della luce corrisponde una
massa relativistica infinita (quale che sia la massa iniziale a riposo) e – in termini relativistici- una
energia infinita immessa nel corpo. Invece secondo la fisica classica per portare un corpo alla velocità
della luce sarebbe sufficiente una forza finita, in base alla II legge della dinamica.28
Il rapporto tra moto-spazio e moto-tempo è parallelo a quello tra massa29 ed energia, dove una
massa =1 equivale ad una energia C2=90 miliardi. In questo caso si tratta di integrare la nota equazione
newtoniana (F=ma) nelle trasformate di Lorentz, e cioè tenendo conto della invarianza di C.
Newton distingue tra massa a riposo (che oppone resistenza alla forza impressa al corpo e che è
inversamente proporzionale alla accelerazione del corpo) e massa gravitazionale (capacità del corpo di
attrarre altri corpi), ritenendole però entrambe identiche in ogni sistema di riferimento. Einstein
dimostra che, ad elevate velocità, la massa a riposo o inerziale si trasforma in massa relativistica che
possiamo definire come la massa del corpo misurata da un altro sistema di riferimento in moto a
velocità v rispetto al corpo stesso. La massa inerziale aumenta in modo direttamente proporzionale all’
energia applicata al corpo. Infatti più un corpo é massiccio, più energia si deve fornire per imprimergli
una certa velocità. Il Secondo Principio della Dinamica (il già citato F=ma) dice che applicando una
forza F ad un corpo, essa gli imprime una accelerazione a al crescere di F, anche a cresce
indefinitamente. Invece secondo Einstein oltre una certa velocità, seguendo il solito fattore di Lorentz,
l' energia fornita invece di produrre ulteriore accelerazione si riversa nella massa del corpo, che quando
v=C diventa infinita, come già sappiamo. Da ciò prenderà spunto la Relatività generale.
Anche per quanto riguarda l’ energia una importante equazione newtoniana (quella sull’ energia
cinetica)30 va adattata alle trasformate di Lorentz. Secondo la meccanica classica un corpo di massa m
che si muove con velocità v rispetto ad un sistema di riferimento inerziale possiede una energia
cinetica E data dalla formula :
E= ½ mv2
da cui risulta che se il corpo è in quiete (v = 0) l' energia cinetica di quel corpo è nulla.
Apportando le correzioni relativistiche si ottiene una formula invariante rispetto alle trasformate di
Lorentz. L'energia di un corpo di massa m in moto con velocità v in un sistema di riferimento inerziale
risponde alla formula:
Dalla formula si ricava che se v=C allora E=infinito. Al contrario, se v=0, ovvero il corpo è in
quiete, l' energia diventa :
Infatti negli acceleratori vengono applicate a singole particelle subatomiche –di massa inerziale molto prossima allo zeroenergie di milioni di elettronvolt per portarle a velocità molto vicine a quella della luce, ma mai esattamente uguali ad essa: per fare
questo l’ acceleratore dovrebbe concentrare sulla particella una energia infinita.
28
29
Vedi http://www.itgcosenza.it/appunti/massa.pdf e anche http://it.wikipedia.org/wiki/Massa_relativistica
Anche qui ricordiamo come Leibniz sia arrivato indipendentemente da Newton allo stesso risultato che lui chiama ‘forza
viva’, vedi http://ppp.unipv.it/PagesIt/StoriaScienza/Presentazioni/Leibviva_file/frame.htm.
1
11
9
99
30
Questa formula è probabilmente la più famosa di tutta la fisica; essa può apparire sconcertante:
un corpo in quiete incorpora una energia pari a 90 miliardi di volte la sua massa, ovvero la sua energia
è ‘congelata’ in una massa 90 miliardi di volte più piccola. Tale equivalenza massa/energia si
manifesta direttamente a livello quantistico, mentre nella materia ordinaria è molto meno evidente;
nondimeno su di essa si basa tutta la tecnologia nucleare, sia civile che militare.31
Dunque anche nel rapporto massa-energia la velocità C costituisce un muro insuperabile. L’
energia per muoversi anche nel tempo de-celera al di sotto della velocità della luce convertendosi in
massa, in particelle elementari: ciò accadde incessantemente nei primi 300mila anni di esistenza dell’
Universo; ciò accade ancora oggi nel centro di una supernova, o in condizioni artificiali come nei
superacceleratori di particelle, ma questa è piuttosto una eccezione che la regola: nelle condizioni
medie dell’ attuale Universo (poco calore, bassa densità) la massa prevale sull’ energia. Lo stesso fatto
che l’ espressione ‘C2 ‘ sia onnipresente nelle equazioni di Lorentz e di Einstein indica che la velocità
della luce, elevata al quadrato, costituisce una sorta di ‘equivalente cosmico’, che può essere energia
(radiazioni, moto nello spazio) o massa (corpi, moto nel tempo), o più raramente un misto tra le due.
Osserviamo infine che la luce, su scala cosmica, è ‘lentissima’: un raggio di luce impiega dai 25 ai
30 miliardi di anni ad attraversare il Cosmo da un capo all' altro. 32 Facendo un paragone tra le
dimensioni del Cosmo e quelle della Terra, la luce è come una talpa che attraversi la Terra dal polo
Nord al polo Sud procedendo alla velocità di 0,00000000000095 Km/h, circa 8,2 millesimi di
millimetro in 1 ora.
1.
2.
3.
4.
5.
Riassumendo:
Le leggi della fisica non variano passando da un sistema di riferimento ad un altro;
C è la massima velocità possibile in qualsiasi sistema di riferimento;
C non è sottoposta alla composizione galileiana del moto.
Massa ed energia si equivalgono con un rapporto di 1 a 90 miliardi;
Lo spazio-tempo è suddiviso in 3 dimensioni spaziali ed una temporale, che co-variano in
funzione della velocità, ovvero sono relative tra loro.
1. 6. La Relatività generale (Einstein, 1916)
1.6.1. Principio di equivalenza
La Relatività ristretta accoglie la equivalenza galileiana tra stato e moto inerziale; se non sta
agendo alcuna forza, le leggi fisiche sono le medesime nelle 2 situazioni. La I legge della dinamica o
principio d’inerzia ha come diretto correlato il I postulato della Relatività; ne deriva che anche l’
elettromagnetismo è invariante rispetto alla I legge della dinamica (II postulato della Relatività).
Ma se passiamo dalla I alla II legge della dinamica, dove una forza viene applicata al sistema di
riferimento e l’ osservatore è in moto accelerato, bisogna chiedersi: saranno ancora invarianti tutte le
leggi della fisica? La Relatività ristretta non fornisce una risposta.
Abbiamo già visto che nella fisica newtoniana la massa ha 2 significati: massa inerziale (per cui
F=m/a) che è inversamente proporzionale alla accelerazione; e la massa gravitazionale che produce
una forza di attrazione (F=m/D2) direttamente proporzionale alla massa ed inversamente proporzionale
al quadrato della distanza. Già Galileo aveva mostrato (contro Aristotele) che sulla Terra tutti i gravi
cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dal peso; questo perché il peso del corpo
esprime il valore della forza che la gravitazione imprime alla sua massa gravitazionale e
contemporaneamente della resistenza che la sua massa inerziale oppone alla caduta; quale che sia il
31
E=MC2 costituisce il fondamento delle armi nucleari, in grado di trasformare una piccola massa in un enorme quantitativo
di energia, che si libera di colpo. Nel nucleare civile invece la trasformazione viene controllata e l’ energia rilasciata lentamente, vedi
nota 27.
32
Le stime più condivise dagli scienziati dicono che il raggio dell' Universo osservabile dalla Terra è di 13 miliardi di anni-luce.
2
22
0
00
peso del grave, il loro rapporto è costante (simbolo G) e produce una accelerazione (detta di caduta
libera) pari a 9,81m/sec. sul livello del mare.
I due tipi di massa vengono assunte anche da Einstein come un solo tipo di massa, la massa
relativistica: è il famoso ‘principio di equivalenza’, per cui applicare una forza F ad una massa inerziale
M provoca la stessa accelerazione uniforme (a=F/m) di una equivalente attrazione gravitazionale G
applicata ad una equivalente massa gravitazionale.33 O, in termini newtoniani, la forza gravitazionale
(massa attiva) esercitata da un grave equivale esattamente alla resistenza inerziale (massa passiva) che
esso oppone all’ essere messo in moto. Tale equivalenza implica anche il terzo principio della dinamica
newtoniana (azione-reazione) anche se la spiegazione della cosa era sfuggita allo stesso Newton:
tipicamente all' azione esercitata dalla massa gravitazionale si oppone la reazione della massa
inerziale.34
Immaginiamo di fare una lunghissima caduta libera, come i
paracadutisti, ma con in più le seguenti condizioni: 1) abbiamo sulla
schiena un motore a reazione puntato all’ indietro, ma non sappiamo se
è spento o acceso; b) abbiamo gli occhi bendati; c) la caduta avviene nel
vuoto, senza le perturbazioni dovute all’ atmosfera terrestre; ebbene, in
base al principio di equivalenza non potremmo dire se stiamo cadendo
verso il basso (massa gravitazionale) oppure se il missile sia acceso e ci
stia accelerando in una qualsiasi direzione (massa inerziale). E’ la base
del famoso esperimento dell’ ascensore.
L’ equivalenza stato/moto inerziale è quindi un caso particolare di
una legge più generale: una teoria che considera valide le leggi della
fisica anche in sistemi di riferimento in moto accelerato deve includere quella relativa al moto
inerziale, allo stesso modo che dalla II legge della dinamica si può dedurre dalla I ma non viceversa. L’
equivalenza dunque porta Einstein alla Relatività Generale che include al suo interno la R. speciale.35
L’ elettromagnetismo mostra che tutti i campi, e non solo quello gravitazionale, agiscono secondo
la relazione /D2 , e quindi che il quadrato della distanza dipende dallo spazio tridimensionale che
circonda il corpo. Il passo ulteriore di Einstein è stato quello di interpretare la relazione /D2 come una
proprietà dello Spaziotempo nel quale i campi si espandono: esso viene modificato dalla presenza di
massa (gravità) o di energia (radiazione) ed è questa modificazione che viene misurata come ‘campo’,
ovviamente in stretta relazione con l’ equivalenza già dimostrata tra massa ed energia.
Principio di equivalenza e nuova teoria dei campi sono il punto di partenza della Relatività
generale: dopo aver dimostrato la non-invarianza di tempo e spazio, ora Einstein studia la noninvarianza dell’ intero Spaziotempo a 4 dimensioni (3 spaziali +1 temporale). Essendo questo
intimamente legato (come si è visto) alla velocità della luce, si trattava di integrare Relatività speciale e
gravitazione newtoniana in una nuova e più ampia teoria, riproponendo su un piano più generale una
unificazione analoga a quella della Relatività ristretta (r. galileiana + elettromagnetismo).
Ricapitolando:
Fisica classica
Fisica relativistica
1.6.2.
I legge della dinamica
I e II postulati della Relatività ristretta
U
II e III legge della dinamica
Principio di equivalenza
relazione /D2 proprietà dei campi
relazione /D2 proprietà dello Spaziotempo
33
campi
si apropagano
nello
spazioci si trovaIschiacciati
campi sono
Spaziotempo
PensiamoI ad
un aereo
reazione in fase
di decollo:
controuno
lo schienale
del sediledeformato
come se su di noi
agisse una forza gravitazionale
‘all’ indietro’.
Gravitazione
universale
Deformazione
della
4°
dimensione
34
Le verifiche sperimentali dell'equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale e dell'UFF sono state effettuate mediante l'uso
spaziotemporale
di piani inclinati (Galileo), pendoli (Newton), fino ad arrivare alle bilance di torsione (Loránd Eötvös).
La realtà è più complicata, in quanto l’ equivalenza con la gravità, oltre alla accelerazione, riguarda anche la massa (legge di Newton)
nonché l’ energia (in base a E=MC2) e la pressione proprie del corpo. La stessa molla arroventata ha una massa superiore a quella della molla fredda,
poiché le sue molecole posseggono una energia cinetica superiore. Ma anche la pressione positiva (cioè diretta verso l’ esterno) di un corpo equivale
alla sua gravità, concetto già espresso da Newton nel principio della azione-reazione.
35
22
11
2
1
na nuova geometria per l’ Universo
Da questi presupposti deriva la evidente (anche nel nome) continuità tra le due Relatività: il posto
che nella r. speciale è occupato dalla I legge della Dinamica (inerzia) viene nella r. generale occupato
dalla II legge della Dinamica (accelerazione) e dalla III (equivalenza): mentre un corpo non sottoposto
a forze si muove per inerzia di moto rettilineo uniforme, un corpo sottoposto alla sola gravità si muove
nello spazio-tempo, deformato dal campo gravitazionale, lungo una traiettoria che costituisce il percorso
più breve tra due punti, la geodetica; in uno spazio euclideo essa coincide con il segmento rettilineo che
unisce due punti, ma questo è solo un caso particolare.
Se nella R. speciale l’ equivalente cosmico è costituito da C al quadrato, nella R. generale questo si
connette strettamente con la gravità, che può equivalere a una accelerazione, una massa, una energia (di
qualunque tipo), una pressione, e soprattutto una determinata configurazione locale dello Spaziotempo.
Essendo, tra tutti questi equivalenti, la massa quello di gran lunga più rilevante (ricordiamo che una
massa=1 equivale ad una energia=90 miliardi), nella successiva spiegazione verrà considerata la sola
massa. Perciò la legge di Newton, che mette in relazione la gravità alla sola massa, è una ottima
approssimazione alla R. generale quando si parla di situazioni come quella terrestre, con grandezze
relativamente basse; in altre situazioni entrano in gioco anche altre equivalenze e la teoria newtoniana
si fa sempre meno valida. Il rapporto tra Newton e r. generale è analogo a quello tra Galilei e r.
speciale.
Einstein si dedicò 10 anni ad elaborare le nuove equazioni: ne uscì quella spiegazione della
Gravitazione Universale che Newton non era riuscito a trovare (“Hypothesis non fingo”). La nuova
teoria è detta 'generale' perché descrive l' intero Spaziotempo.
Einstein cercò di vedere lo Spaziotempo nel suo complesso, come ‘dal di fuori’. Ciò è possibile
tramite la geometria: la R. generale è anche una teoria sulla forma geometrica dell’ Universo in cui spazio e
tempo costituiscono un ‘reticolato geografico’ quadridimensionale (3 dimensioni spaziali + tempo);
esso ha una forma euclidea (ovvero piatta) solo nel vuoto. La massa (soli, galassie, buchi neri…)
introduce una curvatura nel reticolo Spaziotemporale, la quale nelle 3 dimensioni spaziali si manifesta
come gravità. Più la massa è concentrata (in base alla relazione G/C2), più il reticolo si curva in uno
spazio di Riemann.36
L’
immagine mostra uno Spaziotempo
deformato a sole 2 dimensioni; dobbiamo
immaginare lo stesso processo di deformazione in 4
dimensioni (3 spaziali+tempo).
Nel caso estremo dei buchi neri37 la curvatura è
infinita e lo Spaziotempo si avvolge in una
singolarità'. Secondo le equazioni di Einstein, al suo
interno non vi sono più né spazio (punto=estensione
zero) né tempo: una accelerazione equivale ad una attrazione gravitazionale. Perciò data l’ equivalenza
accelerazione/gravità all’ aumentare della gravitazione il tempo rallenta, come secondo la Relatività
speciale accade all’ aumentare della velocità. Contemporaneamente la luce perde energia (fa più
‘fatica’ ad allontanarsi da un potente campo gravitazionale) ed allunga la propria lunghezza d’ onda
spostandosi verso il rosso (redshift gravitazionale).
Sulla Terra anche in questo caso gli effetti sono talmente deboli da sfuggire all’ esperienza
quotidiana: in fondo ad un profondo pozzo il tempo scorre di un infinitesimo più lento che sulla cima
dell’ Everest; sul Sole esso scorre ancora più lento, ma circa solo di 2 parti su un milione; su una nana
bianca di 1 su 10.000; su una stella a neutroni di 1 su 10; su un buco nero abbiamo 10/10 di
rallentamento e di redshift gravitazionale, ovvero la luce si spegne avendo allungato all’ infinito la
36
Sullo spazio ellittico vedi per es. http://it.wikipedia.org/wiki/Geometrie_non_euclidee o anche
http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_ellittica
37
I Buchi neri presentano una gravità oltre 6 miliardi di volte quella terrestre. In termini newtoniani, nemmeno la luce raggiunge la
velocità di fuga sufficiente a vincere tale attrazione gravitazionale.
2
22
2
22
propria lunghezza d’ onda, e il tempo si ferma, come nella Relatività speciale è previsto per un oggetto
in moto alla velocità della luce. In realtà è la luce stessa a fermarsi sui bordi di un buco nero, e con essa
il tempo. Parlando di entropia, tutto l’ ordine che era precedentemente contenuto nel sistema-stella si è
convertito in curvatura Spaziotemporale: l’ enorme informazione che la stella conteneva (tipo, spin,
carica, massa, posizione e moto di ogni singola particella) se ne è andata per sempre, lasciando al suo
posto l’ abisso del buco nero. Ciò rientra nel principio di equivalenza per cui luce, energia, massa,
gravità, pressione, accelerazione, sono tutti tra loro collegati e contribuiscono tutti alla curvatura dello
Spaziotempo.
Il centro dei buchi neri è qualcosa di misterioso. Alcuni fisici
sostengono l’ esistenza dei cosiddetti ‘wormholes’, o scorciatoie
Spaziotemporali 38. Questa ipotesi per quanto bizzarra non
contraddice Einstein, semplicemente ne trae le estreme
conseguenze. 39 Altri pensano che l’ imbuto costituito dal centro
del buco nero finisca in un ‘buco bianco’, ovvero una sorgente
che emette in qualche altro punto dell’ Universo la materia e l’
energia inghiottita dal buco nero. Potrebbe essere questa la
origine dei quasars, o addirittura dello stesso big-bang. La gravità non è una azione dei corpi, ma una
proprietà geometrica, che agisce distorcendo in co-varianza lo spazio ed il tempo.40.
1.6.3. Ma che forma ha questo Universo?
Tutte questo accade su scala locale, in presenza di masse più o meno grandi. Ma come agisce l’
insieme di tutti i corpi e tutta l’ energia (massa cosmologica) sull’ intero Spaziotempo? Ovvero: che
forma ha l’ Universo ammesso che ne abbia una? Secondo Einstein esso è una ipersfera, cioé una sfera a
4 dimensioni (trascuriamo per semplicità il tempo che costituisce una ulteriore dimensione). Per
arrivare questa conclusione bisogna prendere la cosa un po’ da lontano.
La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume; è anche la figura più
regolare: ad essa tendono molti oggetti naturali non solidi, in equilibrio tra spinte centrifughe e
centripete. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la tensione superficiale contrasta la pressione interna.
Le stelle sono sferiche perché le forze gravitazionali spingono la massa al centro, mentre le reazioni
nucleari la spingono all’ esterno. Anche nell’ universo, su scala globale, deve esserci un equilibrio tra
forze espansive e forze di contrazione. Ma anche nel caso che prevalga una delle due forze, si ipotizza
che ciò avvenga globalmente senza pregiudicare la forma sferica del tutto, come un palloncino che si
gonfia o sgonfia.
Se l’ Universo è dunque analogo ad una immane sfera, avrà una curvatura superficiale anch’ esso;
la curvatura di una sfera, e la proporzionale deviazione degli angoli e delle rette disegnati su essa
rispetto ad uno spazio euclideo, è detta K; essa è calcolabile per una
superficie sferica a 2 dimensioni, in base alla formula K=1/R2 , dove K è
inversa all’ area dato che A=4πr2. Infatti maggiore è l’ area della sfera e
minore è la sua curvatura superficiale.
Tale formula trovata da Friedrich Gauss nel 1827 dà inizio (ufficioso,
quello ufficiale è successivo) allo studio degli spazi non euclidei. Gli
inventori ‘ufficiali’ delle geometrie non euclidee, LobacevskiJ, Boylai e
Riemann, lavorarono partendo dagli studi di Gauss sulla sfera. 41 Il grande
Questa struttura’ curva’ della regione contigua ad un buco nero permette forse di viaggiare a velocità superiore a quella della luce,
che è costante lungo le linee dello Spaziotempo , ma che potrebbe variare in presenza di fortissime curvature delle linee medesime.
39
Per una pagina sull’ argomento vedi http://www.mednat.org/new_scienza/buco_nero_suono.htm
40
la RELATIVITÀ Generale, anche se integrata con più recenti teorie astrofisiche, rimane la base dell’ astrofisica di oggi; permette
poi di spiegare numerosi fenomeni, come la deviazione della luce in presenza di grandi masse, i buchi neri, il decadimento radioattivo
‘irregolare’ di atomi viaggianti a velocità ‘relativistiche’.
41
Su questi temi vedi T. Regge, op. cit., pagg. 207/08.
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Escher,
forse l’ artista olandese più noto del ‘900, trae dalle geometrie non euclidee una inesauribile
ispirazione artistica.
Lo Spaziotempo di Einstein sarebbe euclideo (K=0) solo se completamente vuoto; ma la massa
cosmologica e le forze repulsive agiscono rendendolo non euclideo. Tale K universale è ricavabile
dalla equazione di campo di Einstein, che permetterebbe di calcolare la curvatura Spaziotemporale dell’
Universo, conoscendone forze repulsive e densità media. Dalle diverse ipotesi su queste grandezze
derivano modelli cosmologici diversi. Einstein prediligeva un modello ‘statico’, con un Universo
curvato su se stesso dalla massa cosmologica ma nel contempo in perfetto equilibrio: in realtà Einstein
considerava le sole forze attrattive, mentre oggi sappiamo che nell’ Universo agiscono forze repulsive
attualmente superiori a quelle attrattive, tant’ è che lo Spaziotempo si espande, come scoperto nel 1929
da E. Hubble. Su questo ritorniamo tra poco.
Nella seguente esposizione per semplicità la dimensione temporale viene ignorata, ma ricordiamoci
che la Relatività riguarda lo Spaziotempo e non il solo spazio. Perché vi sono non 3 ma 4 dimensioni
spaziali, e l’ universo è una ipersfera? Qual è il rapporto tra le nostre 3 dimensioni e la quarta? I campi
gravitazionali sono la risposta. Einstein spiega la gravitazione universale come deformazione della
quarta dimensione ad opera della massa cosmologica. Per chi vive dentro l’ universo (come noi) solo 3
dimensioni sono avvertibili. Per percepire la quarta dimensione si dovrebbe osservare l' Universo dal di
fuori, il che è forse il punto di vista divino. Quindi la quarta dimensione che contiene le altre 3 ci resta
sempre nascosta, anche se la massa agisce su di essa deformandola localmente (nella successiva
analogia a 2 dimensioni, il cadere in un buco). L’ attrazione gravitazionale è il manifestarsi nelle 3
dimensioni delle deformazioni della quarta dimensione.
Immaginiamo l’ Universo come una anguria gigantesca, con un raggio di 100 metri: rispetto al suo
volume, che ha 3 dimensioni ed è finito, la superficie dell’ anguria ha solo 2 dimensioni, con un' area
senza bordi né confini. Un ipotetico microbo bidimensionale (analogo all’ osservatore inerziale di
Einstein) potrebbe percorrere la superficie dell’ anguria senza mai fermarsi né incontrare ostacoli,
impiegando un tempo infinito. La curvatura K della circonferenza dell’ anguria (lunga 628,3 metri, per
un microbo è un’ enormità) è troppo piccola perché lui possa avvertirla. D’ altronde il microbo è
bidimensionale e può guardarsi intorno a 360° ma non in su e in giù. Per lui il mondo è piatto ed
infinito, mentre noi vediamo l’ anguria dal di fuori per quello che é, curva e finita. L’ osservatoremicrobo potrebbe accorgersi dell’ esistenza di una terza dimensione solo se cadesse dentro un buco
ripido e profondo presente sulla superficie dell’ anguria, ma non ne uscirebbe mai più, analogamente
ad un buco nero. Come il centro dell’ anguria si trova fuori dalla sua superficie bidimensionale, così
noi ci muoviamo in 3 dimensioni mentre la quarta, nella quale pure ci stiamo muovendo, resta sempre
‘fuori’, manifestandosi solo come curvatura dello Spaziotempo. Ogni punto della superficie dell’ anguria è
equivalente rispetto al centro ed equidistante da esso, costituendo quasi una sua proiezione verso l’
esterno; così il centro del nostro Universo è equivalentemente dappertutto, ma in realtà non è in nessun
luogo: resta sempre fuori, nella quarta dimensione.
Una conseguenza di questo è che il big bang ha avuto luogo ovunque contemporaneamente, così
come la successiva espansione dell’ Universo non procede da un luogo ma ha luogo dappertutto in
tutte le direzioni, non solo nello spazio ma anche nel tempo, che scorre ovunque uniforme ed
omogeneo: è l’ anguria che si gonfia. Quindi nel nostro Universo non vi è né centro né periferia. Un
buco nero è come un buco nell’ anguria talmente profondo che il microbo non potrebbe uscirne mai
più (o meglio: impiegherebbe un tempo infinito per farlo). Un ‘wormhole’, ammesso che esista, è
come un tunnel che attraversa l’ anguria da una parte all’ altra.
Come si vede la Relatività generale è una cosmologia radicalmente nuova. Spazio e tempo non
sono più contenitori vuoti ed inerti ma diventano parte integrante dell’Universo insieme a materia ed
energia. Detto con Einstein: la massa dice allo spazio come incurvarsi, lo spazio dice alla massa come
muoversi.
1.6.4. Dalla geometria alla teologia
Non pochi (tra cui Pitagora, Platone, Cusano, Keplero, Leibniz, lo stesso Einstein) hanno visto
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nella matematica la via maestra per la comprensione del divino. Notevoli infatti sono le implicazioni
religiose dell’ universo ipersferico già descritto prima di Einstein: l’ idea (occidentale ed orientale) di
un Dio onnipresente ma trascendente, che abbraccia il Cosmo stando tuttavia fuori di esso (fuori dallo
spazio e dal tempo, noi diciamo con Einstein) può essere rappresentata tramite il rapporto sferaIpersfera. Tale idea mette al centro Dio, che dal nostro punto di vista è ovunque e in nessun luogo, in
un centro che sta fuori dal nostro universo abbracciandolo tutto.
Circa le dimensioni l’ Universo è finito solo se visto 'dal di fuori' (come l’ anguria), e questo dev’
essere il punto di vista di Dio, come dice l’ ateo Stephen Hawking riprendendo questa tradizione;
invece per qualsiasi osservatore interno all’ Universo (per noi tutti) lo Spaziotempo si presenta come
infinito anche se è solo illimitato, poichè è tutto a contatto con se stesso senza interruzioni. Cerchiamo
di esplicare meglio questa analogia:
- se il Cosmo avesse solo 1 dimensione, e fosse come un immenso equatore, allora Dio sarebbe
come la superficie della sfera a 2 dimensioni che lo contiene ma che resta invisibile per esso;
- se il Cosmo avesse 2 dimensioni e fosse come l’ intera superficie della sfera, allora Dio sarebbe
come l’ intero solido sferico a 3 dimensioni che la contiene ma che resta invisibile per essa (come il
sottosuolo resta invisibile dalla superficie della Terra);
- dato che il Cosmo ha 3 dimensioni, esso è l’ intera sfera; allora Dio è l’ ipersfera che la contiene
ma che resta invisibile per essa, ed in cui si trova il vero centro della sfera.
Tale idea del mondo divino come ipersfera ritorna quando si cerca di superare immagini
antropomorfiche e mitologiche di Dio; lo Sfero di Parmenide è una prima intuizione, anche se il
filosofo eleate lo concepiva come finito (per i Greci sinonimo di perfezione); Nicolò Cusano dice che
“Dio è una sfera intelleggibile il cui centro è dappertutto e la circonferenza in nessun luogo”, e il suo
discepolo Giordano Bruno scrive: “Possiamo affermare con certezza che l’ Universo sia dappertutto e
la sua circonferenza in nessun luogo”.42
La geometria ipersferica è utilizzata (ma non spiegata,
altrimenti non sarebbe poesia checché ne pensasse Croce) da
Dante nel Paradiso: le sfere celesti sono la proiezione della
ipersfera divina in uno spazio tridimensionale, ovvero la
visualizzazione dell’ iperspazio divino da parte di Dante che
resta un essere tridimensionale anche quando ascende alle
dimensioni superiori. La analogia dantesca paradiso-ipersfera è
chiara e consapevole, come si può leggere qui. Dante precursore di
Einstein?
Notiamo che la ipersfera resta una semplice analogia del
rapporto Dio-mondo: la superiorità divina rispetto al Cosmo va
trasposta dal piano geometrico (puramente quantitativo) a tutti
gli infiniti aspetti qualitativi della manifestazione divina.
Restano fondamentali Cusano e la sua Docta Ignorantia.
L’ immagine meccanicistica di uno Spaziotempo assoluto
ed euclideo costituisce un notevole impoverimento dell’ idea di
Infinito, che perde ogni aspetto di trascendenza per ridursi alla semplice estensione in quantità. Ci è
voluta la fisica del Novecento per restituire al Cosmo la complessità che ad esso compete in quanto
opera divina. Einstein stesso aveva un tale rispetto per la perfezione del Cosmo da avere, a suo modo,
una forte religiosità come testimoniano numerosi episodi della sua esistenza.43
Sull’ Ipersfera (anche) in senso religioso vedi T. Regge, op. cit. pagg. 202-203.
Da vedere il breve filmato presentato da Odifreddi :
http://www.la7.it/approfondimento/dettaglio.asp?prop=atlantide&video=5848
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1.6.5. Il cono di luce e Dio
Sulle basi della Relatività generale il fisico tedesco Hermann
Minkowski creò una rappresentazione geometrica dello Spaziotempo
detta ‘cono di luce’, in cui viene rappresentato un sistema di riferimento
galileiano in uno Spaziotempo relativistico.
L’ intero disegno coi 2 coni rovesciati rappresenta lo Spaziotempo;
tale campo di eventi reali o possibili, passati o futuri, ha origine da un
sistema di coordinate classico (3 spaziali, ridotte per semplicità a solo 2,
più il tempo). Il piano orizzontale (x, y) è lo spazio, quello verticale (w) è il
tempo; i confini del cono rappresentano la luce. La parte superiore
delimita l’ insieme degli eventi futuri che potranno ricevere azioni ed
emissioni elettromagnetiche da quelli presenti; la parte inferiore delimita l’
insieme degli eventi passati che possono avere inviato azioni ed emissioni elettromagnetiche a quelli
presenti. ‘Azioni’ nel seno generico di tutto ciò che dal presente può arrivare al futuro viaggiando più
lento o uguale alla velocità della luce; è sinonimo di ‘influenza causale’, il cui tipo più veloce è l’ onda
elettromagnetica (immagini, onde radio, calore solare, una telefonata….).
Io mi trovo alla congiunzione dei 2 coni futuro e passato, e la mia posizione è definibile (da me)
tramite le coordinate spaziali (x=0, y=0) e temporale (w=0): qui ed ora. Dal mio punto di vista, che è
poi l’ Universo in cui vivo, qualunque punto interno al cono rappresenta un oggetto od evento col
quale io potrei entrare in qualche rapporto. Il tipo più veloce di nesso tra due elementi è la radiazione
elettromagnetica (vedere l’ oggetto/essere visto da lui). Perciò le emissioni elettromagnetiche sono
rappresentate dal bordo esterno dei coni; ogni altro elemento e nesso tra elementi deve necessariamente
trovarsi dentro ai coni, altrimenti sarebbe più veloce della luce. Questa situazione è rappresentata dalla
linea verde detta anche linea di Universo, che verrà spiegata meglio tra poco. E’ un qualsiasi elemento
e/o nesso causale che agisce dal passato al futuro più lento della luce, che passa attraverso le mie
coordinate (altrimenti non eserciterebbe una azione su di me), come ad es. mia zia che dagli Stati Uniti
mi viene a trovare qui in Italia.
La sorgente dei due coni, il presente, non ha estensione e pertanto noi non siamo in rapporto con
eventi ed oggetti presenti, ma solo passati o futuri. Per esempio la luce solare che vediamo ora è partita
dal Sole più di 8 minuti fa, e quella che sta partendo adesso arriverà qui tra più di 8 minuti: la luce che
vediamo appartiene al passato ma per noi è presente, poiché viene percepita nelle coordinate (w=0).
Anche le parole che tu lettore stai leggendo in questo momento vengono dal tuo passato, quel
pochissimo che la luce ha impiegato per andare dallo schermo ai tuoi occhi.
Tutto l’ Universo appare nel presente ma esiste nel passato/luce e nel futuro/luce. Così a qualche
frazione di secondo c’è lo schermo del PC, ad 8 minuti e 13 secondi c’è il Sole che ci riscalda; a 4 anni
c’è la stella Proxima Centauri, a 13 miliardi di anni c’è il big bang.44
Torniamo alla causalità come linea di Universo: quando due eventi o elementi si trovano entrambi
nello stesso cono di luce possono essere uniti tramite una linea di Universo (la linea verde); significa
che il primo evento (e1), movendosi nello Spaziotempo incontrerà il secondo evento (e2), che entrerà
nel campo di osservazione ed interazione di e1; data la finitezza della velocità della luce, due eventi
possono invece trovarsi fuori dalla reciproca influenza se assegnando ad e1 le coordinate (x,y,w=0), e2
si trovi fuori dal suo cono (e ovviamente viceversa). In tal caso essi sono troppo lontani perché la luce
abbia il tempo di congiungerli, almeno finché sia passato abbastanza tempo perché il cono di e2 si
allarghi tanto da includere e1 o viceversa Questo vale sia per il passato che per il futuro, ma con la
fondamentale asimmetria dovuta alla irreversibilità della freccia temporale. Ad una distanza sufficiente
dal presente, il cono del futuro di e1 sarà abbastanza grande da includere e2: la luce partita oggi da qui
sarà arrivata nel futuro ad essere osservata da e2. Ma noi osserviamo eventi passati e non futuri, perciò
Tornano in mente le profonde riflessioni si S. Agostino sul Tempo e sul paradosso del presente che in realtà ‘non esiste’.
Chissà cosa avrebbe pensato il vescovo africano del cono di luce?.
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44
la gran parte delle considerazioni sul cono di luce va riferita al rapporto passato-presente piuttosto che
a quello presente-futuro.
Quando si osservano gli oggetti celesti più lontani (come alcuni quasars situati a 13 miliardi di
anni-luce, ai bordi dell’ universo osservabile) significa che essi attualmente si trovano entro il cono del
nostro passato; non significa invece che questo oggetto fosse visibile anche per es. 1000 anni fa.
Teoricamente potrebbero essere osservati nuovi oggetti in posizioni prima vuote, talmente lontani che
diventano osservabili solamente ora, nel momento in cui entrano nel nostro cono e la loro luce inizia a
raggiungerci. 45
Quindi tutto ciò che è più lontano (nello spazio, nel tempo) è irraggiungibile da noi e viceversa,
ovvero nel nostro Universo questo oggetto non esiste. Se il cono si allarga infinitamente nel futuro e
nel passato (se lo Spaziotempo è infinito) allora prima o poi qualsiasi evento, anche il più remoto,
viene a far parte del nostro passato, poiché la sua luce ha un tempo infinito a disposizione per
raggiungerci. In tal caso anche l’ osservatore (l’ umanità) dovrebbe essere eterno. Se invece l’
Universo ha avuto un inizio (probabile), e/o l’ umanità non è eterna (molto probabile), allora ci deve
essere una infinità di eventi che rimangono per sempre fuori dal nostro cono di luce: la durata dell’
intera umanità è troppo breve perché questi eventi possano entrare nel nostro Universo.
Pertanto quando affermiamo che il nostro Universo ha (circa) 13 miliardi di anni intendiamo dire
piuttosto: dalle coordinate Spaziotemporali in cui ci troviamo è visibile una porzione di Universo del
raggio di (circa) 13 miliardi di anni luce; ne deduciamo che ‘prima’ l’ universo non c’ era, altrimenti l’
orizzonte visibile oggi avrebbe un diametro superiore. Tra 1 miliardo di anni noi vedremo una regione
presumibilmente dal raggio di 14 miliardi di anni luce, ma ci sarà ancora un ‘noi’?
Sulla natura di ciò che c’è oltre (se ha senso dire “c’è” anche in assenza di un osservatore) sono
ammesse varie domande: si tratta del famoso 'prima del big bang'? Vi sono anche là stelle e galassie, vi
è anche là uno Spaziotempo? Le leggi della fisica sono uguali alle nostre? 46 In certi casi la domanda
può avere importanza anche senza la risposta: forse ciò che si trova fuori dal nostro cono di luce
costituisce una sorta di kantiana ‘cosa in sé’, essendo al di fuori dal nostro spazio e dal nostro tempo:
in base alla Relatività ciò che non è osservabile non rientra nella fisica, proprio come vuole Kant’.47
Forse Dio esiste al di fuori delle nostre linee di Universo. E’ un’ ipotesi suggestiva: anche Democrito
ed Epicuro, i pensatori più materialisti dell’ antichità, immaginavano gli Dèi come esseri eterni che
vivono ‘tra i mondi’; sostituiamo a ‘mondo’ il nostro Spaziotempo, ed abbiamo un altro nesso
significativo tra fisica e teologia.
Precisazione: tutto questo discorso vale per uno Spaziotempo euclideo, ovvero localmente non
deformato (come sulla Terra). In presenza di forti deformazioni dello Spaziotempo (buchi neri,
Universo primordiale etc.) la forma dei coni cambia, nonché la loro disposizione rispetto agli assi x,y,w
che non è più ortogonale. I coni di luce costituiscono un argomento difficile di cui noi abbiamo
esaminato solo l’ ABC del caso più semplice, quello euclideo. Chi vuole saperne di più si prepari a
letture impegnative.48
Osservazione conclusiva sul cono di luce: in base a questo modello cosmologico siamo noi che ci
muoviamo nello Spaziotempo, e non è viceversa il tempo che ci viene incontro assieme allo spazio. 49
45
Tale possibilità è solo teorica, data la diversità di scala: delle osservazioni astronomiche sistematiche possono durare un
anno, o dieci, o cinquanta, mentre le massime distanze cosmiche si misurano in miliardi di anni-luce. E’ altamente improbabile che
proprio oggi inizi ad arrivarci una immagine in viaggio da oltre 13 miliardi di anni, e che proprio oggi i nostri telescopi siano puntati
esattamente in quel settore del cielo, a captare questo nuovo segnale presumibilmente debolissimo.
46
Similmente ci si può domandare se in questo momento esistono ancora oggetti che su scala cosmica sono vicinissimi. Se la
stella più vicina a noi, Proxima Centauri, dovesse esplodere in supernova in questo momento, lo verremmo a sapere solo tra 4 anni,
forse per esserne distrutti. Ritorniamo così all’ equivalenza tra esistere ed essere osservato, di cui abbiamo già parlato a proposito di
una ipotetica esplosione del Sole (vedi pag.13).
Secondo il modello cosmologico del big bang l’ inizio ha avuto luogo contemporaneamente dappertutto poiché l’ universo
non ha un centro geometrico, ma i suoi bordi sono equidistanti da qualsiasi punto di osservazione.
48
Sulla fisica dei coni di luce vedi S. Hawking-R. Penrose, La natura dello spazio e del tempo , Rizzoli 2002, come pure F. De
Felice, Gli incerti confini del Cosmo, cit., pp.158-193
49
Una interessante discussione su questo tema (è il tempo a muoversi o siamo noi?) si trova alle pagine 186/92 di P. Davies,
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1.6.6. Conclusioni sulla Relatività
La meccanica classica prevedeva che il tempo scorresse sempre e ovunque a una velocità fissa e
che lo spaziosi estendesse all' infinito in modo uniforme. Si credeva in un cosmo infinito e immutabile,
e non si vedeva la necessità di cercare un inizio e un'evoluzione dell' Universo. Ma l’ interrogativo si
pone nuovamente con la Relatività generale. Se lo Spaziotempo è globalmente variabile, l’ Universo
nel suo complesso è statico o dinamico?
Secondo la prima versione della R. generale (1916) il cosmo si va contraendo sotto l'azione delle
forze gravitazionali esercitate da galassie, stelle eccetera. Ma poiché lo stesso Einstein era affezionato
alla classica immagine di un Universo fisso ed immutabile, aggiunse nella sua teoria una "costante
cosmologica", che creava una forza repulsiva in grado quindi di opporsi alla contrazione dell'Universo.
Concepì quindi un modello di cosmo fisso che né si contrae né si espande.
Finché, nel 1929, l'astronomo americano Edwin Hubble scoprì che le galassie si allontanano a una
velocità maggiore quanto più sono lontane: ciò significa che l'Universo si sta espandendo. Quando
Einstein lo venne a sapere, definì la sua costante cosmologica come “il più grande errore della mia
vita”. Perciò la cosmologia di oggi corregge Einstein su questo punto decisivo: l' Universo non è una
statica ipersfera, ma è in espansione continua; anzi pare che la velocità di espansione vada
aumentando; tale incremento di espansione, secondo alcuni, verrebbe spiegato proprio in base alla
costante cosmologica che lo stesso Einstein aveva ricusato. Ciò rende ancora più incerta ed ipotetica la
fatidica determinazione della curvatura globale dell’ Universo. Se la massa è sufficiente a
controbilanciare l’ espansione allora ci sarà il cosiddetto big crunch; se viceversa è insufficiente, allora
si espanderà eternamente; ma in ogni caso è ben difficile che essa raggiunga e conservi per sempre uno
stato di perfetto equilibrio tra forze repulsive ed attrattive, dato che adesso non è in equilibrio. In
particolare di recente la scoperta della cosiddetta ‘materia oscura’ ha fatto volgere il dibattito scientifico
più a favore di un modello ‘chiuso’ (curvatura positiva) piuttosto che ‘aperto’ (curvatura negativa) o
‘piatto’ (curvatura nulla, cioè euclideo). Il fatto che l’ Universo si espande (fatto ignorato – anche
volutamente- da Einstein) rende estremamente improbabile l’ ipotesi dello Spaziotempo piatto e fa
pendere la bilancia decisamente verso una delle altre due ipotesi. Come che sia, tale espansione ha
avuto un preciso inizio, il cosiddetto Big Bang. Anche in base alla seconda legge della Termodinamica,
se l’ Universo avesse un’ età infinita esso avrebbe raggiunto la cosiddetta ‘morte termica’ (il massimo
dell’ entropia) da un tempo infinito, ma evidentemente non è così. Se si assume che l’ espansione dell’
Universo non avviene nello spazio e nel tempo, ma piuttosto che anche lo spazio ed il tempo si
estendano con l’ Universo, il momento iniziale è stimato appunto in circa 13 miliardi di anni fa.
Conclusione sul nome della teoria: Einstein sostituisce allo spazio ed al tempo assoluti lo
Spaziotempo, entro alla quale spazio e tempo sono relativi tra loro: si tratta di una teoria nettamente
deterministica, da cui la nota ostilità di Einstein verso l’ indeterminismo della fisica quantistica. Invece la
Relatività, anche a causa del suo nome (scelto da Max Planck), fu accolta come una manifestazione
della crisi culturale di inizio secolo per cui Einstein avrebbe introdotto il Relativismo anche nella
cittadella finora inespugnabile della Fisica. Ma come già detto Relatività non significa affatto
Relativismo: confondere le due cose denota come minimo ignoranza; nel passato chi accusava Einstein
di ‘Relativismo’ aveva anche altre ragioni per farlo: nella Germania del III Reich la Relatività venne
messa all’ indice come ‘fisica giudaica’ ed il suo insegnamento fu proibito; i libri di Einstein vennero
pubblicamente bruciati nel famoso rogo del 10 maggio 1933. 50 Il risultato – ironia della sorte- fu che
anche grazie alla ‘fisica giudaica’ gli Stati Uniti realizzarono l’ arma nucleare prima dei nazisti, anche
se la loro decisione di usarla su inermi popolazioni civili solleva oggi più di ieri un giusto sdegno:
Dio e la nuova fisica, cit.
50
Sui rapporti Einstein/nazismo vedi ad esempio http://digilandeRelativitàlibero.it/geomath/CREATIV3.pdf; su nazismo e
scienza in generale vedi http://guide.dada.net/fisica_applicata/interventi/2000/08/9267.shtml; sul rogo di libri vedi
http://guide.dada.net/storia/interventi/2005/11/234979.shtml
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quello stesso Paese che usa come pretesto inesistenti ‘armi di distruzione di massa’ per invadere un
altro Paese non solo possiede quelle armi, ma è anche l’ unico che si sia mai permesso di usarle!
La Relatività, malgrado le profonde differenze che la separano dalla fisica classica, appare
storicamente come una sua evoluzione. Ciò emerge chiaramente se osserviamo la sequenza delle
diverse teorie fisiche che abbiamo illustrato:
- per Galileo le leggi della fisica sono le stesse ovunque, a patto di tenere conto dello stato/moto
di esso rispetto ad altri osservatori (Relatività galileiana);
- per Newton le leggi della fisica sono le stesse ovunque, a patto di tenere conto del suo
stato/moto rispetto allo spazio ed al tempo ‘assoluti’;
- per Lorentz le leggi della fisica sono le stesse ovunque, a patto di tenere conto del suo
stato/moto rispetto all’ etere;
- per la Relatività speciale le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema in stato/in moto
rettilineo uniforme, a patto di tenere conto della invarianza della velocità della luce;
- nella Relatività Generale le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema in stato/in moto
rettilineo uniforme/in moto accelerato, a patto di tenere conto del principio di equivalenza.
- Nella teoria standard (Big-bang + fisica delle particelle puntiformi) le leggi della fisica sono le
stesse ovunque perché tutto deriva da una singolarità iniziale, unica ed omogenea, come unico ed
omogeneo (se considerato su grande scala) è l’ Universo.
- Nella teoria inflazionaria (uno dei più importanti aggiornamenti della teoria standard) le leggi della
fisica sono le stesse ovunque, poiché l’ intero Universo deriva da una violenta transizione di fase
subita alle origini dal campo unificato preesistente detto ‘inflaton’: questo avrebbe subito una
colossale inflazione (ovvero: espansione esponenziale ben più veloce della luce) che lo ‘srotola’
venendo a costituire lo Spaziotempo oggi osservabile. Il modello in realtà non spiega perché le
leggi della fisica debbano essere quelle che sono, anzi prevede che il nostro universo costituisca
una eccezione di ordine in un processo caotico eterno. In tal modo i sostenitori dell’ inflazione
cosmica sono costretti a ricorrere al principio antropico, ma questo principio viene considerato da
alcuni come una semplice constatazione che non spiega nulla. Queste difficoltà impediscono al
modello inflattivo, che d’ altronde ben si accorda con la distribuzione (uniforme su grande scala) di
materia e radiazione cosmica, di affermarsi in modo netto contro altri modelli.
- Nella teoria inflazionarla eterna che è una evoluzione di quella precedente, va rovesciato il rapporto
causale big bang/inflazione cosmica: all’ interno di un processo eterno di ‘srotolamento’ dello
Spaziotempo hanno luogo continue e successive generazioni di universi: ogni nuovo universo ha
inizio con un big bang; noi saremmo dunque in un universo ‘vecchio’ e non più inflazionario, ma
proprio in questo momento altrove starebbero nascendo nuovi universi. Si tratta di un ritorno (ma
sulla base delle più recenti scoperte microfisiche) ad un Cosmo nel suo complesso infinito ed
eterno;
- Nella teoria delle stringhe le leggi della fisica sono le stesse ovunque, poiché tutte le particelle
elementari, nonché le leggi della fisica nonché le loro interazioni si basano su un unico ed
universale elemento-base, identico dappertutto, la stringa.
- Nella recentissima teoria ciclica o ecpirotica, che anche nel nome riprende la cosmologia degli
antichi Stoici e di Nietzsche, materia e radiazione si genererebbero periodicamente da uno scontrofusione tra le M-brane; secondo i suoi sostenitori questo modello si accorda meglio di quello
inflazionarlo con la presenza della materia oscura ed evita del tutto il ‘miracolo’ implicito nel già
visto principio antropico.51
Siamo arrivati: in ogni luogo e tempo le leggi della fisica sono le stesse, tenendo conto di
opportune variabili. Questo esito non è poi così ovvio: chi lo dice che le leggi fisiche debbano essere
51
Vedi Steinhardt-Turok, Universo senza fine, Il Saggiatore 2006
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esattamente le stesse in ogni luogo e tempo immaginabile? E’ questa una fortunata coincidenza oppure
qui si nasconde qualche nuovo aspetto del Cosmo che non abbiamo ancora esaminato? L’ interrogativo
ci rimanda ad argomenti più specialistici che qui non tratteremo.52
1.7. Meccanica quantistica, (158/59)
Tutto ha inizio nel 1901, quando Max Planck scopre il cosiddetto ‘ corpo nero’; per una spiegazione
del medesimo vedi il link; ci interessa qui vedere gli sviluppi della tematica del corpo nero: in
astronomia abbiamo la analisi spettrale delle righe di assorbimento delle stelle, infatti la differenza tra
lo spettro di un oggetto celeste e quello di un corpo nero ideale permette di individuare temperatura e
composizione chimica anche di quelli più lontani; in microfisica abbiamo la scoperta del quanto di energia
che sta alla base (ad iniziare dal nome) della meccanica quantistica. Le scoperte si sono susseguite numerose
e complesse ed è qui impossibile riferirle tutte; la tabella finale chiarisce alcune differenze tra il mondo
delle particelle e quello macroscopico, dove valgono le leggi della Relatività.
La meccanica quantistica si è allargata ben oltre le particelle da cui era nata: c’è la teoria microfisica
standard, che prevede le particelle puntiformi; sulla scala cosmica abbiamo il cosiddetto modello
standard (big bang) di cui abbiamo già parlato; la fisica quantistica abbraccia dunque l’ immensamente
piccolo e l’ immensamente grande. Vediamone solo alcuni aspetti più marcatamente
antimeccanicistici.
1.7.1. Principio di indeterminazione di Heisenberg,
E’ forse la legge quantistica più famosa. Tutte le maggiori teorie quantistiche, anche quelle
cosmologiche sull’ origine dell’ Universo, prendono le mosse da qui.
Partiamo dalla banale constatazione che per osservare un oggetto è necessario che questo sia colpito
da una radiazione, o che esso stesso la stia emettendo. Se tale radiazione ha una lunghezza d’ onda
visibile, compresa dai 380 ai 750 nm, l’ oggetto é illuminato, cioè visibile coi nostri occhi. Se la
radiazione ha una lunghezza d’ onda diversa l’ oggetto non è visibile con gli occhi, ma può esserlo in
altro modo (es. con i raggi x nei microscopi a scansione); se invece non è colpito o non emette
radiazione esso non è osservabile. Data la relazione E=hν, minore è la lunghezza d’ onda della
radiazione e maggiore è la sua energia intrinseca, dato che l’ energia di una radiazione è inversamente
proporzionale alla sua lunghezza d’ onda λ53. Ricordiamo che la radiazione è energia allo stato libero.
Pertanto l’ oggetto osservabile è differente dall’ oggetto non osservabile in quanto riceve o emette
energia.
Nel caso del corpo macroscopico visto ad occhio nudo l’ energia di irradiamento è di solito
pochissima in confronto alla sua massa, e perciò l’ influenza dell’ osservazione è limitata ad un blando
aumento della temperatura del corpo; ad es. un foglio di carta nera messo al sole è più caldo dello
stesso foglio lasciato al buio.
Ma per osservare una particella subatomica è necessario colpirla con una radiazione la cui energia
modifica fortemente moto e posizione della particella stessa. E’ il principio di indeterminazione di Heisenberg
formulato nel 1927.
Parliamo ora di fotografia digitale, dove più megapixels di risoluzione = più dettagli visibili (più
determinazione) e meno megapixels = meno dettagli (più indeterminazione); come in fotografia è
impossibile catturare un dettaglio se questo è più piccolo di un singolo pixel, così in fisica quantistica
è impossibile localizzare una particella con una precisione superiore a λ che costituisce la unità minima
osservabile, analogamente al pixel fotografico. Per catturare oggetti macroscopici in una fedele
immagine fotografica sono del tutto sufficienti 6 megapixel di risoluzione, dove ogni singola cella ha
un’ area di circa 0,0036 mm2. Ma per vedere una particella elementare bisogna che il ‘pixel’ sia
enormemente più piccolo, ovvero che la lunghezza d’ onda sia inferiore alle dimensioni della particella
52
Tali argomenti vengono agevolmente spiegati in B. Greene, La trama del Cosmo, Einaudi, 2004, pagg. 265/287.
Perciò le lampade abbronzanti utilizzano i raggi ultravioletti (di lunghezza d’ onda inferiore a quella della luce visibile)
piuttosto che gli infrarossi (di lunghezza d’ onda superiore a quella della luce visibile).
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53
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(λ<L); ma così facendo, in base a E=hν, forniamo alla particella una energia tale da modificarne
fortemente il moto (indeterminazione della traiettoria).
Facciamo il caso concreto di osservare un singolo elettrone colpendolo con un singolo fotone; l’
elettrone nell’ urto col fotone riceve un quanto di energia che lo porta su una nuova traiettoria la cui
deviazione da quella precedente rimane sconosciuta (‘effetto Compton’); infatti per sapere di quanto ha
deviato l’ elettrone dovremmo inviargli un altro fotone, deviandolo ulteriormente. Se decidiamo di
aumentare λ la deviazione sarà minore, ma crescerà la incertezza sulla posizione attuale dell’ elettrone.
Anche qui la fotografia ci aiuta a capire meglio: una immagine nitida mostra l’ oggetto in modo più
preciso ma non dice come esso si stia muovendo (λ minore), mentre una immagine mossa mi mostra
l’oggetto in modo meno preciso ma mi fornisce informazioni sul suo moto (λ maggiore). I fotografi
professionisti a volte vogliono immagini mosse, e le ottengono allungando il tempo di esposizione
(aumentando λ).
La tabella sottostante riassume il principio di indeterminazione di Heisenberg:
Fotone di controllo
Posizione dell’ elettrone Traiettoria dell’ elettrone
λ minore
(immagine
nitida )
λ maggiore
(immagine
mossa)
L’ onda che colpisce l’ elettrone localizzato in una
elettrone è più energetica
zona più piccola: aumento
di determinazione
L’ onda che colpisce l’ elettrone localizzato in una
elettrone è meno energetica zona più grande: aumento di
indeterminazione
traiettoria deviata maggiormente: aumento di indeterminazione
traiettoria deviata di meno:
aumento di determinazione
La indeterminazione quantistica in realtà è un fenomeno molto più ampio poiché ogni tipo di
misurazione, e non solo quello di posizione e traiettoria, influisce su ciò che viene osservato :
- l’ indeterminazione riguarda tutte le coppie di grandezze osservabili a livello microfisico, e non solo
quella posizione/velocità (che resta la più chiara per fare un confronto con la fisica classica); ad
esempio la coppia energia/tempo di misurazione, ovvero E/t; se si vuole misurare la diminuzione di
energia di un elettrone nel momento in cui questo emette un quanto di luce (fotone), passando ad uno
stato meno eccitato, paradossalmente meglio misuriamo la quantità di energia ceduta e peggio
sappiamo quando essa viene ceduta; al contrario determinando con estrema precisione t si ha una
indeterminazione assoluta circa E ; secondo alcuni questo principio si potrebbe applicare allo stesso
big bang: in un intervallo sufficientemente piccolo di tempo si potrebbe avere ‘gratis’ una energia
sufficientemente grande da produrre un intero universo. Alla indeterminazione E/t è legato l’ effetto
tunnel quantistico, che sta alla base della radioattività e di numerosi altri effetti; si tratta di un fenomeno
bizzarro ma nello stesso tempo del tutto quotidiano; sta perfino alla base delle memorie Flash come
quella della pendrive su cui si trova il file che state leggendo.
L’ effetto tunnel fu accolto dal fisico Max Born con la seguente dichiarazione: “Trovo assolutamente
intollerabile l'idea che un elettrone esposto a radiazione scelga di sua spontanea volontà non
soltanto il momento di "saltare", ma anche la direzione del "salto". In questo caso preferirei fare il
croupier di casinò piuttosto che il fisico”. Come vedremo tra poco Born non fu l’ unico a rifiutare
le stranezze quantistiche.
- l’ indeterminazione riguarda anche grandi aggregati di materia come automobili e grattacieli.
Heisenberg dimostrò che il range di indeterminazione della posizione (dx) e traiettoria (dv) di un
oggetto dipende anche dalla sua massa, dato che dx x dv > h/m, dove h è la costante di Planck e m la
massa. C’ é una relazione inversa tra massa e indeterminazione: risulta perciò molto più difficile
localizzare un elettrone che un grattacielo, ma anche quest’ ultimo – sia pure infinitesimamente- è
soggetto ad una posizione ed a un moto la cui indeterminazione è diversa da zero. Mentre per un
elettrone il range di incertezza è ben di 6,63cm nella posizione e 6,63 cm/sec. nella velocità, e cioè
migliaia di miliardi di volte più grande dell’ oggetto medesimo54, per un grattacielo è l’ inverso ed il
range è migliaia di miliardi di volte più piccolo, ovvero quasi assente. Per particelle molto più piccole
Per capire le dimensioni dell’ indeterminazione quantistica, misurare posizione e velocità di un elettrone sarebbe come dire
che una pallina da tennis si trova in Europa e si muove alla velocità di 7.000km/h ma non si sa in quale direzione.
3
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dell’ elettrone, come alcuni tipi di quark, l’ indeterminazione si fa letteralmente astronomica; quando
queste particelle vengono prodotte negli acceleratori esse vengono ‘viste’ come immobili (anche se
viaggiano quasi alla velocità della luce), perché se si include nella rilevazione il loro moto, allora esse
potrebbero trovarsi contemporaneamente qui e dall’ altra parte dell’ Universo. Pare andare contro il
buon senso, eppure più si scende di scala e più enormi si fanno le misure dell’ indeterminazione.55
Il principio di indeterminazione smentisce uno dei postulati del meccanicismo (oltre che del senso
comune) per cui conoscere la traiettoria di un oggetto comporta la conoscenza della sua posizione
attuale e permette la previsione delle sue posizioni future e, al limite, passate. Secondo Laplace Dio può
prevedere il moto dell’ “atomo più sottile”, ma secondo il principio di Heisenberg nemmeno Dio
potrebbe farlo; questa idea è difficile da digerire al punto che nemmeno Einstein ci riuscì; resta famosa
la sua infelice battuta a Niels Bohr che gli illustrava il principio di indeterminazione: ”Dio non gioca a
dadi con l’ Universo!”. Bohr gli rispose: “Vuoi smetterla di dire a Dio ciò che deve o non deve fare?”
56
L’ arguta risposta di uno dei padri della fisica quantistica al padre della Relatività evidenzia due
cose: anche geni come Einstein possono dire stupidaggini (che nel loro caso passano alla storia); a
parte questo vi è una reale incompatibilità tra i quanti e la Relatività, al punto che la loro possibile
unificazione resta ancora oggi il più ambizioso obiettivo della fisica.
1.7.2. Altre stranezze
Dai tempi di Heisenberg (quando erano conosciuti solo elettroni, protoni e neutroni) ad oggi la
fisica subatomica si è popolata di decine e decine di subparticelle 57, divise in bosoni e fermioni, e collegate
da relazioni sempre più strane58 in un panorama assai più complesso di quanto queste brevi note
possano suggerire. Lo spazio subatomico è assai diverso da quello ordinario, in quanto non è né pieno
né vuoto, anche in presenza di materia, ma pare costituito da continue ed imprevedibili ‘fluttuazioni
quantistiche’, stati di probabilità in cui particelle e gruppi di particelle appaiono e scompaiono
contemporaneamente nello spesso punto, scambiandosi pacchetti di energia. Anzi, a livello quantistico
non ha troppo senso distinguere nettamente materia ed energia: si tratta di due manifestazioni diverse
dello stesso fenomeno, che poi contrappongono solo a livello macroscopico. Così la celebre formula
E=MC2 proprio a livello subatomico trova il suo significato più pieno.59
Anche le traiettorie delle particelle subatomiche sono molto strane se paragonate a quelle degli
oggetti ordinari, con elevati livello d’ indeterminazione. Per esempio un singolo elettrone può
attraversare contemporaneamente 2, 3 o più feritoie in una lastra metallica, disegnando sullo sfondo
dello schermo delle ‘onde di interferenza’, come se ad attraversare le feritoie fossero diversi fasci di
elettroni. Si potrebbe dire che a livello quantistico cade la distinzione tra ‘singolo’ e ‘gruppo’ (di
particelle), per lasciar posto a distribuzioni puramente probabilistiche, calcolabili tramite la cosiddetta
‘funzione d’ onda’.
55
Questi dati sono tratti da Hack/Gjergo, Così parlano le stelle, cit., pag. 99-100.
Sull’ aneddoto vedi per es. http://dellefragilicose.blogsome.com/2006/12/03/dio-non-gioca-a-dadi-con-luniverso/
57
La più nota subparticella (ma non certo l’ unica) è il quark, presente in ben 19 varietà diverse e mai osservato allo stato
libero, ma solamente ‘impacchettato’ a formare altre particelle quali elettroni, protoni e neutroni.
58
Una recente e bizzarra scoperta è il cosiddetto entanglement quantistico, un legame tra 2 particelle che agirebbe a qualunque
distanza istantaneamente, ovvero senza la limitazione della velocità della luce.
59
Sui concetti-base della fisica quantistica vedi T. Regge, Infinito, Mondatori 1999, cap.XXII, pagg. 158 e segg.
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56
Un discorso a parte merita il concetto di ‘vuoto’. Se battiamo la testa contro il muro ci facciamo
male, ma la materia che compone sia la testa che il muro è quasi interamente vuota. Se il nucleo di un
atomo di idrogeno fosse grande come una palla da tennis, l’ orbita dell’ elettrone avrebbe un’ area di
circa 8 campi di calcio. Per elementi pesanti come l’ Uranio abbiamo 238 palline da tennis, tenute
strette dalla forza nucleare forte, circondate da circa 200 campi di calcio percorsi da 92 elettroni grandi
come granelli di sabbia (fatte le debite proporzioni) a migliaia di volte la velocità della luce. Se fosse
solo per il nucleo atomico potremmo attraversare tranquillamente i muri. Anzi, se li urtassimo sarebbe
un miracolo. Nel mondo macroscopico è l’ opposto: il miracolo sarebbe se noi potessimo attraversarli.
La ‘materia piena’ è in realtà uno spazio vuoto per il 99,999%. E’ solo grazie al principio di esclusione di
Pauli che noi non attraversiamo i muri e che in genere le orbite elettroniche non sono comprimibili se
non in condizioni estreme come quelle presenti nel nucleo delle stelle: tutto merito degli elettroni, i
quali forniscono circa 1/2.000 della massa dell’ intero atomo di idrogeno per arrivare a circa 1/5.000
nell’ uranio, ma lo rendono impenetrabile. Se abolissimo lo spazio
subatomico fino ad avere i nuclei dei diversi atomi a contatto tra loro (le
palline da tennis senza i campi di calcio), avremmo materia nucleare pura
come nelle stelle di neutroni, dove la densità media è 1014 volte più alta del
normale e dove 1 cucchiaio di materia pesa quanto il monte Everest.
Ma se a livello subatomico il pieno non è così pieno, è vero anche il
contrario: il vuoto non è così vuoto. La fisica quantistica nega la opposizione
macroscopica pieno/vuoto per una nuova idea di vuoto quantistico nel quale
appaiono e scompaiono di continuo coppie di particelle/antiparticelle dalla
vita troppo breve per essere osservate (dette perciò ‘virtuali’), ma dagli effetti indiretti osservabili.
Questo vuoto possiede una energia diversa da zero e quindi può produrre e subire degli effetti. Un nuovo
campo di ricerca vede in un originario vuoto quantistico (ma già pieno di un universo ‘virtuale’) la
fluttuazione iniziale che, cresciuta smisuratamente su se stessa, diede origine al big bang. Dunque torna
di attualità l’ antichissima domanda: cosa c’ era prima della creazione? Un nome importante in questo
campo è quello dell’ italiano Gabriele Veneziano.
La fisica antica aveva intuìto l’ esistenza di questo vuoto pre-materiale? Platone descrive così l’
intervento del divino Demiurgo sullo spazio vuoto primordiale: “ ...… prese quanto c’ era di visibile
che non stava quieto, ma si agitava sregolatamente e disordinatamente, e lo ridusse dal disordine all’
ordine”.60 Da notare che il termine usato da Platone per designare questa realtà caotica è il greco chora
che significa vuoto: ma si tratta di un vuoto in piena e caotica agitazione, proprio come il vuoto
quantistico. Anche nella fisica moderna ad un costitutivo disordine subatomico corrisponde, negli
ordini di grandezza superiori, un grande ordine come dimostra la tavola periodica degli elementi. Se togliamo
la figura mitologica del Demiurgo (che lo stesso Platone definisce non vera ma ‘verosimile’) il
parallelo si fa ancora più preciso.
Un altro caso è il concetto epicureo di clinamen: esso è stato descritto dagli avversari di Epicureo
(soprattutto stoici) come una trovata ad hoc che spiegasse la libertà umana; ma dal punto di vista
puramente fisico esso esprime una ineliminabile casualità dei fenomeni microfisici, cui corrisponde su
scala più grande un ordine macroscopico ordinato da leggi deterministiche (i ‘foedera naturae’ di
Lucrezio). Secondo altri Epicureo e Lucrezio avrebbero anticipato concetti fondamentali di microfisica
dello stato fluido, come quello di turbolenza.61
Insomma, il contatto tra alcune grandi idee del passato e del presente non può essere negato.
1.7.3. Principio di complementarietà
Scoperto da Niels Bohr (1927) ed alla base della cosiddetta ‘interpretazione di Copenhagen’: le particelle
atomiche si comportano come onde o come corpuscoli a seconda del tipo di rilevazione. I due modelli di
60
Timeo, 29C
Gli aspetti di microfisica moderna già presenti nell’ atomismo antico vengono esaurientemente spiegati in: M. Serres,
Lucrezio e la nascita della fisica, Sellerio, Palermo 1982.
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3
spiegazione sono appunto ‘complementari’, rendendo così impossibile una descrizione univoca del
fenomeno osservato. Sarà il contesto, o la scelta dello scienziato, a decidere. Questa scoperta pone
definitivamente fine alla lunga diatriba tra i sostenitori del modello corpuscolare (da Newton ad
Einstein) e quello ondulatorio (Maxwell, Faraday, Lorentz): avevano ragione entrambi.
Tra complementarietà e indeterminazione c’è perfetto accordo (d’ altronde Heisenberg fu allievo di
Bohr), in quanto entrambe le leggi definiscono un modello subatomico probabilistico ed
antideterministico, una nuova idea di ‘legge fisica aleatoria’ che Einstein non riuscì mai a digerire.
Per finire, le stranezze della meccanica quantistica paiono mettere in crisi l’ idea newtoniana di una
natura ‘economica’: anziché tendere alla semplicità il modello quantistico pare andare verso una
incredibile complicatezza. La Natura non appare più come un insieme semplice e lineare di leggi tra loro
correlate, ma piuttosto come un mondo bizzarro dove può accadere di tutto e dove la stessa idea di
‘legge’ può essere messa in discussione. Una vivace illustrazione divulgativa delle stranezze
quantistiche si trova in B. Greene, L’ Universo elegante, Torino 2003, pp. 74 e seguenti.
Tabella riassuntiva:
FISICA CLASSICA
Oggetto visibile ad occhio nudo, è sufficiente un
blando ‘bombardamento’ di fotoni (illuminazione)
Fenomeni fisici continui
Netta separazione tra materia ed energia
Coordinate (v,x,E,t) determinate
Un corpo si muove solo se riceve un impulso,
altrimenti sta fermo (I e II legge della dinamica)
Lo spazio occupato da un corpo è pieno (volume, peso
specifico, estensione cartesiana);
Dicotomia pieno/vuoto
Un corpo non supera una barriera fisica a meno che
non abbia l’ energia cinetica per farlo (non possiamo
attraversare i muri)
Un oggetto ripresenta esattamente la stessa faccia solo
dopo una rotazione completa di 360°.
62
FISICA QUANTISTICA
Scala inferiore al visibile, oggetto osservabile tramite
‘bombardamenti’ di particelle altamente energetiche
Fenomeni quantistici ‘a pacchetti’
Principio di complementarietà
Principio di indeterminazione
Gli elettroni ruotano eternamente senza aver ricevuto
alcun impulso; i fotoni per definizione viaggiano in
linea retta alla velocità della luce.
Lo spazio è comunque quasi vuoto; la massa dell’
atomo occupa uno spazio immensamente più piccolo
dell’ intero atomo
Vuoto quantistico
effetto tunnel: una particella può attraversare una
barriera anche senza avere l’ energia sufficiente (può
‘attraversare i muri’),
le varie particelle ripresentano la stessa faccia dopo
rotazioni diverse a seconda dello spin che può essere
diverso da 360°.62
Lo spin posseduto da ogni particella ha un valore s fissato che dipende solo dal tipo di particella e che non può essere
alterato. Inoltre, il teorema dello spin statistico enuncia che le particelle con spin intero (i fotoni con spin=1 o l'ipotetico gravitone con
spin=2) corrispondono ai bosoni, e le particelle con spin semi-intero (spin=1/2 per elettroni, neutrini, quark) corrispondono ai
fermioni.
3
33
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44
2) LA FILOSOFIA
Vengono qui accennati alcuni orientamenti dove si riflettono in modo chiaro le scoperte di cui
sopra. Si sceglie di accennare a 3 importanti scuole di inizio secolo, al cui centro vi è una nuova
visione scientifica del mondo. Comune ad esse è un forte recupero del ruolo attivo del soggetto
nella conoscenza, in comune con la stessa fisica (vedi a.2.4 e 2.5).
2.1. L’ empiriocriticismo di Ernst Mach
Noto fisico viennese, combatte il riduzionismo della psicologia sperimentale nella celebre Analisi
delle sensazioni (1896). Studiando le interazioni tra corpo e mente, approda ad un rigoroso monismo
psicofisico, secondo cui esiste una unica realtà che non è solamente ‘fisica’ (come vuole il
riduzionismo materialistico) né solo ‘spirituale’ (come vuole lo spiritualismo e l’ idealismo). 63
Il dualismo soggetto-oggetto, costitutivo del senso comune, per Mach non esprime alcun carattere
della realtà (non è ‘vero’), ma ha una origine ed una finalità pratica e convenzionale. Il mondo è
costituito da un unico tipo di elementi, che si presentano in gruppi e configurazioni, alle quali diamo
il nome di ‘io’, ‘cosa percepita’, ‘atto del percepire’. Anche spazio, tempo, materia, non sono
‘elementi fissi’ della esperienza, ma solo schemi di risposta agli stimoli ambientali. La cultura umana,
nell’ adattarsi ad un ambiente caotico e privo di forme, ha elaborato alcuni schemi di base (anzitutto
la distinzione io-mondo, soggetto-oggetto), dai quali poi è nata la metafisica. Mach vuole ricondurre i
concetti della scienza e della filosofia alla loro origine pratica. In ciò riprende Nietzsche ed è legato al
Convenzionalismo ed al Pragmatismo, correnti a lui coeve. Mantiene però un legame sia con Kant
(‘configurazioni’/‘forme’ kantiane), sia. con l’ evoluzionismo darwiniano (la conoscenza è una forma
di adattamento all’ambiente).
Mach critica anche il concetto di ‘Legge naturale’, che ai suoi occhi è una riedizione del
Platonismo: come se le Leggi avessero una loro esistenza autonoma, come ‘Decreti del Creatore’. In
realtà le leggi scientifiche in quanto tali non esistono, ma sono solo descrizioni di fenomeni
percettibili (che cos’ è la ‘gravità’ separata dal fenomeno della caduta dei gravi?). Le Leggi naturali
quindi non sono affermazioni sul mondo (in quanto tali sarebbero metafisica), ma solo utili riassunti,
cioè simboli per designare gruppi di fenomeni tra loro simili, che hanno una origine ed una finalità
‘economica’.64
Da questa critica deriva un altro punto importante: le Leggi sono tutte uguali, e cioè
convenzionali; la distinzione tra ‘Principi’ (che secondo il Positivismo esprimono caratteri
fondamentali della realtà) e ‘Leggi’ derivabili dai primi è convenzionale anch’ essa. Le Leggi sono
tutte sullo stesso piano gerarchico. Nulla vieta, se non questioni di utilità, di mutare l’ ordine di una
teoria, cambiando i Principi che la fondano.
2.1.1. Mach contro Einstein
Come scienziato Mach è (secondo molti) il vero anticipatore della Relatività; già nel 1870 Mach
affronta il famoso ‘esperimento del secchio’ di Newton, fornendone una interpretazione del tutto
nuova. In un ipotetico Universo vuoto, se vi fosse un solo corpo (come il secchio di Newton) ruotante
intorno al proprio asse, esso non avvertirebbe alcuna forza centrifuga, non essendoci nessun altro
corpo rispetto al quale il secchio sia in rotazione piuttosto che fermo; ma non avvertirebbe neanche l’
accelerare e decelerare (rispetto a cosa)? Secondo Mach noi avvertiamo la forza di una accelerazione,
di una frenata, di una rotazione del nostro corpo solamente perché nell’ Universo c’è una certa massa
Il ‘monismo psicofisico’ di Mach è derivato dalle ricerche di Fechner sulla soglia assoluta e differenziale nelle
sensazioni (1860), ma interpreta i ‘dati oggettivi’ delle sensazioni ‘misurabili’ in modo antiriduzionista.
64
Mach ha perfezionato la lezione dell’ empirismo inglese seicentesco; la sua critica della Legge scientifica ricalca
quella di Locke e Hume sulla Sostanza, in un rigoroso nominalismo e contro ogni tentativo di rendere ‘reali’ e ’vere’
creazioni e forme che hanno natura puramente convenzionale e pratica.
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5
55
63
distribuita uniformemente. L’ unico sistema di riferimento assoluto è costituito dalla quantità media
di massa (intesa solo come materia, la equivalenza massa-energia doveva ancora essere scoperta)
presente nell’ Universo. 65 Invece secondo Newton, anche in un vuoto assoluto la forza centrifuga
agirebbe rispetto al sistema di riferimento comunque presente, lo spazio assoluto.
Le idee di Mach anticipano chiaramente la Relatività generale.
All’ apparire nel 1902 della Relatività speciale Mach non si affanna a rivendicare alcuna paternità
sulle idee ivi contenute.66 La Relatività ristretta piace a Mach per il suo carattere antimetafisico:
spazio e tempo assoluti sono concetti non verificabili, essi si manifestano solo come relazioni tra
diverse velocità; inoltre Einstein aveva eliminato l' etere, costruendo una teoria che ne faceva a meno.
Ma non si può dire lo stesso per la Relatività generale: dal punto di vista di Mach, il concetto di
'Spaziotempo ' (con tutte le sue proprietà, vedi sopra) è metafisico, cioè non osservabile; così anche
Einstein sarebbe caduto nell' atteggiamento dogmatico di chi crede di aver 'scoperto la realtà', non
accontentandosi di spiegare le proprie osservazioni. Einstein sarebbe caduto in una metafisica
realistica (esiste una realtà vera, lo Spaziotempo, che non cade sotto l' esperienza ma che è possibile
conoscere per via matematica). Einstein rispondeva fondatamente che lo Spaziotempo non può essere
verificato a livello sperimentale perché costituisce l’ insieme di coordinate entro cui avviene qualsiasi
verifica possibile. Era poi chiaro che la distribuzione media della massa nell’ Universo come sistema
di riferimento porta direttamente al concetto di Spaziotempo, e quindi le critiche alla Relatività erano,
dal punto di vista di Einstein, anche una confutazione delle concezioni dello stesso Mach. Questi
ribadiva che la massa media, a differenza dello Spaziotempo, è un concetto empiricamente
verificabile, almeno in linea di principio.
Le critiche di Mach si muovevano su un terreno rigidamente empiristico, e quindi –
paradossalmente- era il filosofo Mach a richiamare lo scienziato Einstein affinché tenesse i piedi ben
saldi a terra. Ma oggi la posizione di Mach mostra i suoi limiti: l’ ossessione antimetafisica preclude a
Mach la comprensione della più grande teoria fisica di tutti i tempi. Nonostante la stima che legava i
due scienziati queste divergenze portarono ad una rottura definitiva.
Dopo un secolo si può dire che, mentre la Relatività speciale è rimasta intatta, la Relatività
generale ha ricevuto conferme ma anche correzioni da parte delle successive ricerche scientifiche.67
Anche sotto l’ aspetto gnoseologico la visione di Einstein diverge da quella machiana: mentre per
il secondo, come si è visto, il concetto di ‘realtà’ non ha alcun valore e va sostituito integralmente con
quello di ‘fenomeno’, Einstein propone una visione più conservatrice: alla fine la costruzione
concettuale dello scienziato, se verificata sperimentalmente, deve rispecchiare la realtà delle cose.
Per Einstein quando una teoria riesce a fornire una correlazione matematica semplice ed una
rappresentazione altrettanto semplice dell' esperienza, costituisce una "copia" adeguata della realtà.
Nella sua visione gnoseologica c' é una forte componente "realistica": una teoria scientifica è
composta da un insieme di assiomi o principi fondamentali scelti liberamente dall'atto creativo dello
scienziato. Da questi assiomi si deducono matematicamente teoremi, i quali devono poi essere
verificati sperimentalmente. A differenza di Newton, Einstein non credeva che gli assiomi potessero
venire derivati dai dati dell'esperienza, da fenomeni. Essi richiedevano, invece, un atto creativo di
costruzione matematica. La connessione con i fenomeni viene alla fine della catena di deduzioni,
quando i teoremi dei sistema matematico vengono messi a confronto con l'esperienza. L' intero
processo è guidato da un assunto apparentemente a priori, che ci sia una sorta di "armonia
prestabilita" fra pensiero e realtà, quasi come avevano detto molto tempo prima gli aristotelici.
Einstein insomma, come filosofo della scienza, tende piuttosto al realismo galileiano che all’
approccio ultraempiristico di Mach.
65
Sul rapporto Mach-Einstein vedi Greene, La trama del Cosmo, cit., pp. 40-48 e 490-93.
Abbiamo già visto che anche Lorentz riconobbe pubblicamente la originalità della nuova teoria di Einstein, pur avendo, lui
per primo, ipotizzato la co-varianza di spazio e tempo. Entrambi gli scienziati, Mach e Lorentz, dimostrarono in quella occasione una
correttezza ed uno stile degni di altri tempi.
67
vedi Farouki, op. cit., pagg. 78-83.
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6
66
66
2.2. Il Convenzionalismo di Poincarè.
Partito dalle geometrie non euclidee che evidenziano il carattere convenzionale delle proprie
premesse, Poincarè approda alla teoria elettromagnetica di Maxwell: l’ uso di diversi modelli
esplicativi gli pare del tutto giustificata, poiché la Natura non mostra mai una sola faccia al
ricercatore: è quest’ ultimo che, in base alle premesse adottate, ‘scoprirà’ una Legge piuttosto che un’
altra. In quanto ai Principi della fisica, essi sono costituiti da proposizioni talmente generali da essere
svincolate dall’ esperienza. Perciò non risultano né confutabili, né confermabili (ci vorrebbe la totalità
delle esperienze possibili). I Principi sono dunque utili ipotesi, da sostituirsi quando una nuova serie
di osservazioni li rende superati (è il caso della fisica newtoniana e della sua ‘crisi’ ad opera della
Relatività). Ma anche i nuovi Principi sono provvisori, in quanto tutto, in Natura, è interpretato e
nulla è puramente ‘dato’. D’ altronde Poincarè non negava una legittimità ai ‘fatti’ scientifici: se
alcuni fenomeni vengono adeguatamente spiegati da una teoria essa risulta ‘vera’, almeno
provvisoriamente.68
Non devono sfuggire gli scopi di queste teorie, che aldilà della critica alla metafisica intendono
rifondare il ruolo della scienza all' interno del conoscere. Viene certamente meno l' immagine di un
soggetto inteso come un punto di vista universale e disinteressato; cade così anche la pretesa,
sviluppatasi da Cartesio al neokantismo, di fondare l' oggettività delle scienze naturali sulla 'purezza'
del soggetto. Ma con il convenzionalismo e l' empiriocriticismo la scienza trova un nuovo
fondamento, non più universale e necessario (come era in Kant). Tale fondamento è costituito dalla
rispondenza della scienza ai bisogni del soggetto e dall' affermarsi del dominio umano sulla Natura,
di ciò che Nietzsche chiama 'Volontà di potenza'. La scienza non viene vista più come l' erede della
metafisica (conoscenza di 'ciò che è'), ma piuttosto come una manipolazione della Natura, quindi
essenzialmente come tecnica. D' altronde è così che anche la filosofia antiscientifica di Heidegger
legge la scienza contemporanea. Sulla base del comune riconoscimento della 'morte del soggetto' si
sviluppano dunque filosofie negative o al contrario neo-scientistiche, a seconda dei casi.
2.3. Neoempirismo logico. (327/31)
Nel 1929 a Vienna viene pubblicato un opuscolo dal titolo La concezione scientifica del mondo,
ad opera di Hahn, Neurath e Carnap. E’ il manifesto del cosiddetto ‘circolo di Vienna’, che raccoglie
eminenti logici e scienziati ‘in lotta’ contro la metafisica che, secondo loro, affligge ancora la scienza.
La metafisica si nasconde all’ interno di molte teorie in apparenza scientifiche, come quella
newtoniana.. Si cerca perciò un semplice principio per discriminare che ciò che è scientifico da ciò
che non lo è. Il circolo di Vienna propone il celebre ‘ principio di verificazione’: 1) ha significato
solo un problema i cui elementi risultino empiricamente osservabili; 2) un elemento è osservabile se
riducibile a ‘proposizioni atomiche’ , che esprimono fatti elementari, non composti da altri fatti; 3) la
verifica deve partire dalla ricerca dei ‘fatti elementari’ di cui devono essere costituite le sue teorie.
Tutto il resto è metafisica. La novità di tali principi è relativa; lo stesso Hahn cita esplicitamente
Hume ed il suo scetticismo. Nuova è la radicalità di tale programma. Alla luce di tali principi
vengono demolite teorie filosofiche (Heidegger tra i primi) ma anche la teoria di Einstein stessa,
poiché introduce elementi non verificabili. Ciò che non è ‘scientifico’ non si può dire che sia né vero
né falso: esso consiste in enunciati non verificabili , e quindi privi di significato.69
Il terreno d' indagine della scuola dunque è costituito dal legame tra linguaggio e realtà, dove per
'realtà' si intende l' insieme dei fatti empiricamente osservabili. Il rigoroso ‘principio di verificazione’
proposto all’ inizio dalla scuola di Vienna viene in seguito modificato in varie direzioni. Ci si accorge
che la verificazione si basa sul presupposto che sia sempre possibile stabilire l’ esistenza o meno di
un nesso logico tra linguaggio e realtà. Ma tale presupposto è a sua volta metafisico poiché in esso
‘linguaggio’ e ‘realtà’ vengono assunti a-criticamente come entità statiche, date una volta per tutte. Si
Il convenzionalismo di Poincarè è alla base di gran parte dell’ epistemologia contemporanea, ad iniziare dalle tesi di Thomas
Kuhn discusse all’ inizio.
69
Queste sono le basi dell’ atomismo logico che sta a fondamento del primo Wittgenstein (Ttractatus Logicophilosofico,1922). Il celebre saggio del filosofi viennese voleva sistematizzare e dare forma ‘definitiva’ alla concezione del
circolo di Vienna, almeno riguardo alla teoria del significato logico delle proposizioni.
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va dunque verso un superamento del principio di verificazione; tali sviluppi costituiscono rilevanti
indirizzi della filosofia successiva, di cui faremo solo 2 esempi significativi, dal momento che il tema
del presente testo è limitato all’ inizio del secolo XX: 1) filosofia del linguaggio, Ludwig
Wittgenstein; 2)epistemologia, Karl Popper:-
2.3.1. Filosofia del linguaggio: Ludwig Wittgenstein
Con il suo Tractatus del 1922 si segnalò come esponente di punta del Circolo di Vienna. In quella
opera Wittgenstein sviluppa una concezione logico-formale del linguaggio scientifico che permette di
discriminare con esattezza vero, falso, probabile, improbabile, significativo, insignificante. Poi
Wittgenstein ( Ricerche filosofiche ,1929) apre la sua indagine al linguaggio quotidiano, e introduce la
dimensione 'pragmatica', attenta cioè all' uso (anche sociale e meta-comunicativo) degli enunciati
dotati di senso. Al posto della rigida corrispondenza (o non corrispondenza) tra enunciati e fatti,
Wittgenstein elabora la complessa teoria dei ‘giochi linguistici’, dove studia le concrete pratiche
linguistiche del linguaggio quotidiano(323). Wittgenstein getta così le basi della successiva 'filosofia
analitica', ovvero della riflessione filosofica sul linguaggio come viene portata avanti soprattutto in
InghilTerra (con Quine e Morris per esempio) e che oggi gode di un certo seguito. I giochi linguistici
riguardano non più il significato, ma bensì l’ uso delle parole e degli enunciati. Un enunciato dunque, a
prescindere dal suo significato, è un dispositivo che produce degli effetti, e va inquadrato in una teoria
sociale della comunicazione, piuttosto che in una teoria puramente logica della conoscenza.
2.4. Epistemologia: Karl Popper
Morto nel '94, uno dei filosofi più popolari degli ultimi decenni, sviluppa una radicale revisione del
neopositivistico principio di verificazione. (398-400) Secondo Popper, il Neopositivismo era talmente
ossessionato dal timore della metafisica da dimenticare la questione principale, che Popper sintetizza
così: che cosa è un enunciato 'scientifico', che cosa lo distingue da altri tipi di enunciato (ideologico,
mitologico, metafisico etc.)? La strada neoempiristica lo intende come basato sui 'fatti empirici'. Ma
che cos' è un fatto empirico? La ricerca di fatti elementari, il cosiddetto 'atomismo logico' (il primo
Wittgenstein) pone più problemi di quanti ne risolva, come peraltro anche Wittgenstein in seguito
ammette. Secondo Popper il problema della verificazione, in quanto ricerca di un fondamento che
dovrebbe (se verificato empiricamente) condurre ad enunc iati universali, è mal impostato. L'
esperienza, come già Hume ha dimostrato, è per definizione solo particolare. Popper rifiuta il principio
di induzione, che è alla base dell' empirismo. Qualunque enunciato, anche il più ovvio ("Domani
sorgerà il Sole") è in effetti una ipotesi la cui verificazione riguarda solo il caso particolare
("domani")70.
Oltre a questa critica non troppo originale, Popper va più a fondo quando accusa il Neoempirismo
di introdurre un concetto, anch’ esso metafisico, di ‘realtà’: la realtà intesa come l’ insieme dei fatti,
invocata da Schlick e Carnap, costituisce un concetto insoddisfacente, poiché mette tra parentesi il
nesso tra realtà e linguaggio, assumendo acriticamente lo stesso linguaggio come ‘specchio del
mondo’, espressione di Wittgenstein. Quest’ ultimo infatti definisce ‘mondo’ l’ insieme di tutti gli
enunciati corrispondenti ad altrettanti fatti, ma così il rapporto realtà-linguaggio si risolve in un circolo
vizioso: il linguaggio rispecchia il mondo come insieme dei fatti, e questi fatti costituiscono una
categoria di enunciati, e cioè si presentano nel linguaggio. Ma esiste una realtà al di fuori del
linguaggio? Il neoempirismo in fondo non conosce la risposta. Popper rileva inoltre l’ arbitrarietà del
concetto di ‘fatto’: il cosiddetto ‘fatto oggettivo’, come la crisi del Positivismo ha dimostrato, è una
costruzione del soggetto che non può venire dogmaticamente assunta come ‘realtà’, pena la ricaduta in
quella metafisica che il neoempirismo vuole assolutamente evitare. Popper non intende però ricadere
nello scetticismo: bisogna re-impostare il problema della conoscenza in forma 'negativa': che cosa non
è scientifico? Assai più chiaro è il caso in cui un enunciato o una teoria vengono clamorosamente
smentiti dall' esperienza. Sulla 'prova dei fatti' poggia la differenza (che nessuno contesta) tra il vero e
il falso. Quindi l' unico criterio empiricamente valido (sempre vero) non è quello della conferma
tramite esperienza, ma bensì quello della falsificazione tramite esperienza. L' intero edificio della
70
Evidente il richiamo a Hume, debito esplicitamente riconosciuto da Popper, LDT p.397.
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scienza perde così il suo fondamento empirico ed il suo carattere di universalità: resta solo il carattere
di falsificabilità delle teorie scientifiche. Una teoria è 'scientifica' se è possibile (anche solo in linea di
principio) escogitare una contro-prova per verificarne la 'tenuta'; ed è 'vera' provvisoriamente, finché
riesce a 'tenere' ad ogni controprova. Su tale base Popper costruisce una efficace teoria epistemologica
(Il "Realismo critico"). Da tutto ciò deriva anche la riduzione popperiana delle teorie scientifiche a
mere ipotesi : nessuna affermazione scientifica può divenire teoria smettendo di essere ipotesi, perché
in tal caso essa perderebbe il carattere della falsificabilità, che ne costituisce l' aspetto propriamente
scientifico. Viene così risolta anche la questione della corrispondenza tra linguaggio e realtà, in quanto
ogni enunciato scientifico assume una dimensione ipotetica, provvisoria, che lo mette al riparo da ogni
deriva di tipo metafisico. E' in base alla identificazione di teoria ed ipotesi che Popper afferma la non
scientificità di alcune moderne teorie (come la Psicanalisi ed il Marxismo) che scientifiche non sono
perché rifiutano di farsi 'falsificare' dai fatti. Il discorso popperiano in realtà non è molto originale
(ripete le classiche argomentazioni contro l' induzione, si riaggancia a Kuhn e all' empiriocriticismo),
ma ha il pregio di concludere una lunga discussione, apertasi con Mach, circa lo 'statuto' delle
enunciazioni scientifiche. Difatti anche i successivi critici di Popper (come Fayerabend e Lakatos)
ritengono il falsificazionismo popperiano una teoria inadatta a spiegare la storia della scienza, ma
sostanzialmente corretta nel merito.
Tornando al Circolo di Vienna, esso prosegue l' attività fino all' avvento del nazismo dividendosi
in due indirizzi: quello fenomenistico puro, che rimane fedele alla impostazione antimetafisica
suddetta; e quello fisicalista, abbracciato da Rudolph Carnap, importante esponente della scuola, per
cui ‘fatti elementari’ sono solamente quelli ‘fisici’, o interpretabili come fatti fisici. Ne risulta una
nuova metodologia che confronta le teorie e le Leggi in base a ‘protocolli’ di esperienza, simili a
quelli dei laboratori scientifici. L’ obiettivo è quello di estendere alla stessa filosofia la metodologia
del gabinetto di fisica. 71
OGGI…
Il meccanicismo è stato travolto da tutte le scoperte scientifiche che abbiamo visto, ma non si può
ancora indicare con esattezza che cosa lo abbia sostituito. L' esplosione della fisica di una miriade di
indirizzi di ricerca, alcuni oramai consolidati (come lo studio dei gas degeneri e la superconduttività),
altri ancora pionieristici (come l' elettronica quantistica) rende difficile definire un nuovo paradigma.
Un po’ più di chiarezza si ha solo nella 'fisica di base', dove le ricerche dividono in due grandi ambiti:
- l' infinitamente piccolo, o microfisica; qui almeno lo scopo è chiaro: capire una volta per tutte
'che cos' è la materia'. E' vero che proprio in tale ambito si manifestano più chiaramente i limiti
dell' oggettività del conoscere (vedi sopra, A.2.4.); la stessa domanda 'che cos' è la materia'
parrebbe mal posta: è più che mai lecito chiedersi se la materia sussista in sé o sia piuttosto un
insieme di fenomeni (nel senso kantiano). Le bizzarre proprietà del mondo subatomico (spin,
colore, sapore etc.) non sono qualità nel senso corrente, ma piuttosto manifestazioni osservabili
dietro le quali non si può affermare che ci sia 'qualcosa' (un substrato, una sostanza…), piuttosto
che l' oggetto si risolva interamente nelle qualità osservate. Pertanto a proposito degli enti
subatomici si parla di 'osservabili', piuttosto che di oggetti o di loro qualità, lasciando indeterminata
anche a livello lessicale la natura ultima degli enti coi quali si ha a che fare. In ogni caso queste
difficoltà di ordine gnoseologico non modificano il compito che la ricerca si è data: 'aprire' le
particelle subatomiche per entrarvi dentro, scendendo così a scale sempre più piccole. In confronto
alle particelle studiate oggi, il classico atomo di Fermi e Rutherford appare come un sistema
gigantesco, che si mantiene in equilibrio grazie ad un complesso gioco di forze e controforze
Lo stesso Carnap verrà poi criticato (da Popper in particolare) poiché la sua concezione dei
‘protocolSpaziotempoli’,come pure quella di Wittgenstein, contiene a sua volta un presupposto metafisico e non
verificabile: che il linguaggio umano sia uno specchio fedele della esperienza.
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ancora in parte sconosciuto. I progressi fatti negli ultimi decenni sono tali e tanti che è impossibile
anche solo accennarne. Ci si limita ad indicare un paio di titoli di facile lettura.72
- l' infinitamente grande e distante, o cosmologia. Anche qui vale lo stesso discorso: ci si è
allontanati moltissimo dal 'senso comune' e dal meccanicismo; Relatività, stringhe e superstringhe,
gravità quantistica, inflazione cosmica, sono tutte direzioni di ricerca che intersecandosi tra loro
portano ad una immagine dell' Universo molto lontana dalla quella della scienza 'normale'. Il
campo è affascinante, e si consiglia qualche facile lettura.73
Come sintesi tra i due mondi (microscopico e cosmico) oggi ci si concentra sulla ricerca della
G.U.T. (Great Unified Theory, Grande Teoria Unificata), che dovrebbe descrivere in una unica serie di
equazioni i fenomeni, solo apparentemente opposti, della microfisica e della cosmologia. Il nesso tra i
due ambiti è dato dalle alte e altissime energie, quelle che nei primi istanti dell' Universo hanno 'deciso'
come si sarebbe evoluto il Cosmo e quali sarebbero state le sue leggi. Ma sono le stesse energie che ci
permetterebbero di 'smontare' la materia per vedere 'cosa c'è dentro', impresa che trova un limite
invalicabile nelle tecnologie necessarie, e questo vale anche per il futuro più lontano. Di conseguenza
le simulazioni e le conoscenze –oramai molto sviluppate, ben al di là di semplici ipotesi- sui primi
istanti di vita del Cosmo forniscono anche conoscenze utili sulla struttura ultima della materia. Un
ramo particolarmente promettente è la cosiddetta teoria delle 'superstringhe', basata sull' idea che lo
spazio microscopico non abbia 3 ma 11 dimensioni, di cui 8 rimangono arrotolate in una scala
microscopica per noi inaccessibile. Tale teoria descrive una scala dimensionale miliardi di miliardi di
volte più piccola dell' atomo; le leggi della fisica quantistica troverebbero la loro ragione ultima nelle
vibrazioni multidimensionali delle superstringhe, le quali sono candidate al ruolo di 'entità ultime', nel
senso di non ulteriormente divisibili. Tale teoria, anche se le sue entità non risultano ancora osservabili
per limiti tecnologici, se confermata e sviluppata adeguatamente potrebbe costituire il quadro generale
per l' unificazione di tutte le leggi e le forze della fisica, gravità compresa. La teoria delle superstringhe
è contemporaneamente di portata sia cosmologica che microfisica74.
Così lo studio dei primi istanti dell' Universo (13 miliardi di anni fa), compito della Cosmologia, si
sovrappone allo studio degli oggetti grandi 10 alla –43 centimetri.
La conclusione del nuovo paradigma è insomma ancora da scrivere, ammesso che questa impresa
sia alla portata dei nostri mezzi e del tempo che ancora ci rimane su questo pianeta.
72
Vedi per es. Tullio Regge, Infinito, Mondadori 1999;
Vedi Paul Davies, L' Un iverso che fugge, Mobndadori 1989; S. Hawking, dal Big Bang ai buchi neri, Rizzoli 1998; J.
Barrow, Le origini dell' Universo, Rizzoli 2003.
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B. Greene, L' Universo elegante, Einaudi 2003; La trama del Cosmo, Einaudi 2004
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BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
-Barrow, Le origini dell' Universo, Rizzoli 2003
-Bartolomei-Magni, Filosofia, Atlas, 2000, vol. 5
-Bergson H. Simultaneità e durata, 1922, tr. It. Cortina 2004
-Davies, Paul, Dio e la nuova fisica, Mondatori 1994
-Davies, L' Universo che fugge, Mondadori 1989
- F. De Felice, Gli incerti confini del Cosmo, Bruno Mondadori, 2000
-Kuhn T., La struttura delle rivoluzioni scientifiche, Einaudi, 1978
- Farouki, N. La Relatività, Il Saggiatore, 1997
-Greene,B., L' Universo elegante, Einaudi 2003
-Greene,B La trama del Cosmo, Einaudi 2004
-Hack M., Cjergo E., Così parlano le stelle, Sperling & Kupfer 2007
-Hawking, dal Big Bang ai buchi neri, Rizzoli 1998
- S. Hawking-R. Penrose, La natura dello spazio e del tempo , Rizzoli 2002
- Odifreddi, P.Dagli anni Quaranta, in AAVV La scienza – Biblioteca di Repubblica, 2005, vol. 14
-Prigogine-Stengers, la nuova alleanza, metamorfosi della scienza, Torino, Einaudi, 1981
- Popper, K. Congetture e confutazioni, in Brianese, G. Popper e il dibattito epistemologico postpopperiano, Paravia 1988
-Regge T., Infinito, Mondadori 1999
- Serres, M. Lucrezio e la nascita della fisica, Sellerio, Palermo 1982
- Steinhardt-Turok, Universo senza fine, Il Saggiatore 2006
- Wittgenstein, L. Tractatus logicus-philosophicus, tr. It. Einaudi, 1980
- Wittgenstein, L. Ricerche filosofiche, tr. It. Einaudi, 1982
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