Complementi ed esercizi di sistemi 1 (versione 0.9)

COMPLEMENTI (INCOMPLETI) DI SISTEMI
versione 0.9
30 settembre 2011
2
(v. 0.9)
Indice
1 SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
1.1 Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definizione di sistema . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Le variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 I parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Le relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Classificazione dei sistemi . . . . . . . . . . . .
1.1.6 L’approccio sistemistico e l’approccio analitico
1.2 Modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 La rappresentazione dei sistemi . . . . . . . . .
1.2.2 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Tipologie di modelli . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Modelli statici e modelli dinamici . . . . . . . .
1.3 Processi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Definizioni generali . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Modelli di processi . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 SEGNALI ELETTRICI
2.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Segnale continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Segnale variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Segnale periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Calcolo del valore medio di un segnale periodico . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Componente continua e componente alternata di un segnale periodico
2.1.6 Calcolo del valore efficace di un segnale periodico . . . . . . . . . . . .
2.2 Segnali sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Segnali sinusoidali e moto circolare uniforme . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Parametri delle grandezze sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Valore efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Il metodo simbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Corrispondenza tra grandezze sinusoidali alternate e fasori . . . . . . .
2.3.3 Corrispondenza tra grandezze sinusoidali alternate e numeri complessi
2.4 Strumenti di laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Oscilloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Generatore di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Misure di fase con l’oscilloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
INDICE
2.8
Esperienze di laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Analisi sperimentale della risposta temporale di una rete R-R ad un’onda
quadra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Analisi sperimentale della risposta di una rete RC ad un’onda quadra. . . .
2.8.3 Misura dei parametri caratteristici dei segnali sinusoidali prodotti da un
generatore di funzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 NOZIONI DI ANALISI MATEMATICA
3.1 Insiemi numerici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Limite di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Funzioni continue e discontinue . . . . . . . . . . .
3.4.1 La funzione seno. . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Derivazione di alcune funzioni fondamentali
3.5.2 Derivata seconda . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Funzioni continue e discontinue . . . . . . .
3.8.2 Derivata prima e derivata seconda . . . . .
3.8.3 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.4 Grafici di funzioni con i fogli di calcolo . . .
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4 SISTEMI DINAMICI DETERMINISTICI
4.1 I sistemi deterministici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Proprietà capacitiva . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Proprietà resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Proprietà inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Le analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Componenti meccanici elementari . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Capacità meccanica . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Resistenza meccanica . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Inerzia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Componenti elettrici elementari . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Capacità elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Resistenza elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Inerzia elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Determinazione delle relazioni ingresso-uscita . . . . . .
4.4.1 Sospensione meccanica - sistema meccanico . . .
4.4.2 Circuito RCL - sistema elettrico . . . . . . . . .
4.5 Carica e scarica di un condensatore . . . . . . . . . . . .
4.6 Determinazione della risposta mediante metodi numerici
4.7 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Capitolo 1
SISTEMI, MODELLI E
PROCESSI
Prerequisiti
• conoscere la legge di Ohm e la potenza elettrica.
Obiettivi specifici
• Saper descrivere le caratteristiche di sistemi di natura diversa.
1.1
1.1.1
Sistemi
Definizione di sistema
Il significato del termine sistema è conosciuto intuitivamente da tutti, ma per la sua genericità
siamo difficilmente in grado di formalizzarlo in una definizione che ci permetta di identificare senza
equivoci cosa è e cosa non è un sistema. Per formalizzare il concetto di sistema dobbiamo prima
richiamare il ben noto concetto di insieme.
Per insieme si intende una collezione di elementi che rispettano tutti una legge di appartenenza
denominata proprietà caratteristica.
La legge di appartenenza deve essere univoca, ovvero non si deve prestare a diverse interpretazioni. Però la definizione di insieme non specifica alcunché a proposito delle interazioni esistenti
tra i vari elementi. Quando si prende in considerazione l’esistenza di interazioni tra i vari elementi
di un insieme si comprende che quella collezione di elementi è qualcosa di più di un insieme.
Per sistema si intende un insieme di elementi che interagiscono tra loro in modo tale da
raggiungere una meta comune che non sarebbe stato possibile raggiungere da nessuno degli elementi
presi singolarmente.
Nel linguaggio corrente la parola sistema è molto usata, spesso non consapevolmente, per
descrivere un insieme di parti tra di loro connesse per raggiungere uno scopo comune. Ad esempio
è molto ricorrente il termine sistema scuola con il quale si indica l’insieme delle persone fisiche
(personale docente, studenti, personale ausiliario), delle strutture, delle leggi, dei programmi, ecc.,
che concorrono per ottenere l’educazione e la formazione degli alunni.
Altre espressioni molto usate sono il sistema sanità, il sistema economico, il sistema azienda,
il sistema di gestione delle acque, ecc.
Questi ed altri numerosi esempi di tipo sociologico e antropologico confermano che il concetto di
sistema è comunque del tutto generale e dunque applicabile in qualsiasi campo: tecnico-scientifico,
fisico, economico, politico, sociale,ecc.
La nostra attenzione sarà rivolta quasi esclusivamente all’ambito tecnico-scientifico ma è comunque importante, dato un sistema di qualsiasi tipo, saper individuare:
5
Definizione
di insieme
Definizione
di sistema
6
1.1. SISTEMI
• i componenti, ovvero le parti che compongono il sistema;
• le interazioni tra i componenti in termini di materia, energia ed informazione;
• la funzione, o scopo, per cui il sistema è realizzato.
Esempio 1.1.1. Determinare i componenti, le interazioni e la funzione che caratterizzano il
sistema fresatrice a controllo numerico.
Figura 1.1: Fresa a controllo numerico
Soluzione.
Componenti. La fresatrice a controllo numerico è composta dagli organi meccanici di movimento, dall’unità di controllo, gli azionamenti elettrici, l’alimentazione elettrica e i dispositivi di
misura.
Interazioni. L’alimentazione elettrica riceve energia elettrica dalla rete elettrica e la trasferisce
in parte all’unità di controllo e in parte agli azionamenti elettrici.
Gli azionamenti elettrici trasformano l’energia elettrica in energia meccanica che viene a sua
volta trasferita agli organi meccanici di movimento.
L’unità di controllo per poter funzionare deve ricevere energia elettrica dall’alimentazione ma
contemporaneamente riceve informazione, direttamente dall’operatore o indirettamente mediante
segnali elettrici di comando da un computer supervisore, del tipo di lavorazioni che devono essere
svolte.
Gli organi meccanici di movimento ricevono l’energia meccanica dagli azionamenti elettrici e
mediante essa modificano i pezzi meccanici sottoposti a lavorazione.
I dispositivi di misura rilevano in tempo reale le posizioni e le velocità con cui stanno operando
gli organi di movimento e trasmettono tali informazioni, normalmente sotto forma di segnale
elettrico all’unità di controllo.
Funzione. L’interazione tra i diversi componenti della fresatrice è finalizzata ad ottenere una
determinata lavorazione di un pezzo meccanico, come ad esempio ottenere un certo profilo su una
piastra per mezzo del controllo della posizione dell’utensile sui tre assi x, y e z.
(v. 0.9)
CAPITOLO 1. SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
1.1.2
7
Le variabili
Un sistema è caratterizzato da un certo numero di attributi misurabili, denominati comunemente
variabili, che descrivono l’andamento temporale del sistema stesso. Esse possono essere anche un
indice del raggiungimento dell’obiettivo per il quale è costituito il sistema.
Più precisamente si indicano con il termine variabili quegli attributi misurabili 1 , all’interno dei
sistemi, soggette a variazioni nel tempo.
Le funzioni che rappresentano l’andamento temporale di queste variabili si dicono segnali.
Di regola l’andamento temporale di alcune variabili in un sistema è conseguenza di altre variabili; si distinguono pertanto variabili di ingresso o variabili indipendenti e variabili di uscita (O) o
variabili dipendenti.
Inoltre nei sistemi soggetti a controllo le variabili di ingresso si suddividono a loro volta in
variabili manipolabili (I) e variabili non manipolabili (N) o disturbi.
Vi sono inoltre le variabili interne o variabili di stato (X) che descrivono l’evoluzione interna
del sistema. Esse sono un indice della quantità di energia e/o di materia accumulata dal sistema
nel tempo. Nei sistemi digitali le variabili di stato si identificano anche con l’informazione presente
in essi.
Il modo più comune di rappresentare un sistema è quello di utilizzare un rettangolo e delle
frecce per ogni variabile. Il verso della freccia indica se la variabile è di ingresso oppure di uscita.
Figura 1.2: Le variabili di un sistema.
Questo modo di rappresentare un sistema è denominato schema a blocchi ed è fortemente
diffuso nella teoria dei sistemi come si avrà modo di vedere.
1.1.3
I parametri
I parametri rappresentano le qualità specifiche di un sistema. Sono parametri la lunghezza dell’asse x della fresatrice a controllo numerico, il diametro dell’utensile, il valore di resistenza di un
condensatore oppure il prezzo del caffè memorizzato nel distributore automatico. In questo senso
anche i parametri sono attributi misurabili del sistema, come le variabili, ma a differenza di esse
hanno la caratteristica di essere costanti nel tempo
Forse è più corretto dire che sono costanti nell’intervallo di tempo incui il sistema è sottoposto
ad osservazione. Ad esempio non si può escludere che il valore della resistenza si modifichi nel
tempo, ma sicuramente moloto più lentamente del valore della tensione a cui è sottoposto il
resistore o dal valore di corrente da cui è attraversato.
In alcuni casi con il valore di parametri si intendono dei valori che sono memorizzati in modo
non volatile nel sistema ma che possono essere modificati da un operatore dotato delgi appositi
strumenti di programmazione. E’ questo il caso dei prezzi del distributore.
Non tutti i parametri hanno la stessa importanza per una eventuale analisi del comportamento
del sistema. Ad esempio, nella fresatrice a controllo numerico lo spessore della lamiera utilizzata
per realizzare è un dato importante ma non tanto quanto la lunghezza dell’asse per analizzare il
suo funzionamento.
1 La misurabilità di un una variabile può essere effettuata mediante la corrispondenza con un sistema numerico
opportuno denominato anche SCALA. Esistono tre tipi di scale: scale nominali, scale ordinali e scali proporzionali.
(v. 0.9)
8
1.1. SISTEMI
I parametri di importanza fondamentale sono quelli che entrano in gioco direttamente nelle
relazioni che legano le variabili tra di esse. Poiché tali relazioni sono solitamente di tipo funzionale
i parametri presenti in esse sono denominati parametri funzionali.
1.1.4
Le relazioni
Le variabili di uscita di un sistema dipendono dalle variabili di ingresso mediante delle relazioni.
Di una relazione si può dare una rappresentazione analitica o anche una rappresentazione
grafica.
Le relazioni presenti nei sistemi sono generalmente relazioni di tipo funzionale.
1.1.5
Classificazione dei sistemi
La definizione di sistema vista nelle pagine precedenti è molto generale e comprende al suo interno
tipologie di sistemi anche molto differenti tra di essi, sistemi fisici, economici, sociali, ecc., anche
se si sarà notato che poniamo particolare attenzione a quelli di natura fisica.
Non tutti i sistemi, però, hanno caratteristiche simili ed è per questo motivo che essi possono
essere classificati. Per effettuare una classificazione è necessario conoscerlo e poter disporre di un
criterio.
La classificazione dei sistemi è utile perché permette di unificare le metodologie di studio di
sistemi molto diversi tra di essi dal punto di vista fisico, ma che però presentano caratteristiche
simili in base ai criteri di classificazione adottati.
Classificazione in base all’origine.
I sistemi già esistenti in natura e non modificati dall’uomo sono denominati sistemi naturali.
Un esempio è il bacino idrografico di un torrente.
I sistemi costruiti dall’uomo sono denominati sistemi artificiali. Un esempio di sistema
artificiale è la centrale idroelettrica.
I sistemi naturali che vengono modificati dall’uomo sono denominati sistemi misti. Ad
esempio il bacino idrografico opportunamente modificato per poter accumulare una certa quantità
d’acqua mediante la realizzazione di una diga è un esempio di sistema misto.
Classificazione in base alle qualità dei parametri.
Quando i parametri che caratterizzano un sistema non cambiano significativamente durante il tipo
di osservazione del sistema si è allora in presenza di un sistema invariante.
Quando i parametri cambiano in modo significativo durante il tempo di osservazione del
sistema, esso viene denominato sistema variante.
Prendiamo in considerazione il sistema moto e focalizziamo la nostra attenzione sul parametro
massa M della moto. Nel caso del tragitto da casa a scuola si può ritenere che la moto sia un
sistema invariante, dal punto di vista della massa, perché il consumo di carburante non è tale da
influire in modo significativo sulle prestazioni del mezzo. Se però prendiamo in considerazione
una gara di un motomondiale la variazione del parametro massa del mezzo dovuta al consumo di
carburante diventa significativo dal punto di vista delle prestazioni.
Classificazione in base alle qualità delle variabili
Presenza o meno di variabili di stato. Un sistema statico, o senza memoria, è un sistema
in cui non sono presenti variabili di stato.
Un sistema dinamico, o con memoria, è un sistema incui sono presenti una o più variabili
di stato.
Si è detto che una variabile di stato può essere associata alla quantità di materia, energia o
informazione accumulata nel sistema. Vediamo per ognuno di questi casi alcuni esempi di sistemi
dinamici.
(v. 0.9)
CAPITOLO 1. SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
9
Materia. Un esempio di sistema dinamico con variabile di stato associata alla quantità di
materia è un serbatoio con rubinetto e sensore di troppo pieno con galleggiante e lampada,
Energia. La batteria di un auto. Quando la batteria si scarica ciò che varia non è la sua
massa ma la quantità di energia chimica accumulata.
Informazione. Il computer.
Vediamo ora alcuni esempi di sistemi statici.
Conduttore attraversato da una corrente elettrica.
Porta NAND.
Vediamo ora alcuni esempi di sistemi dinamici.
Latch SR.
Presenza o meno di variabili di ingresso e di uscita In questo caso il sistema può essere
classificato come chiuso se non sono presenti variabili di ingresso e di uscita, ovvero se il sistema
non scambia energia, materia ed informazioni con l’ambiente esterno.
Qualora invece siano presenti variabili di ingresso e/o di uscita ovvero il sistema scambia,
energia, materia o informazioni con il mondo esterno, il sistema si dice aperto.
E’ evidente che nella realtà i sistemi sono tutti di tipo aperto, però in alcuni casi e focalizzando la nostra attenzione su alcuni tipi di interazioni alcuni sistemi si possono ritenere chiusi per
approssimazione. Ad esempio quando si prendono in considerazione le trasformazioni adiabatiche
che avvengono in un gas.
Insieme dei valori assunti dalle variabili. Una variabile si dice continua quando può essere
messa in corrispondenza con un sottoinsieme dei numeri reali. In termini più semplici una variabile
è continua quando può assumere qualsiasi valore compreso all’interno di un intervallo.
Una variabile si dice discreta quando può essere messa in corrispondenza con un sottoinsieme
dei numeri interi relativi.
In base ai valori assunti dalle variabili il sistema può essere classificato come:
• continuo, se è descritto da variabili continue;
• discreto, se è descritto da variabili discrete;
• misto, se è descritto da variabili di entrambi i tipi.
Esempio: impianto di riscaldamento di un edificio.
Insieme dei valori assunti dal tempo. I sistemi possono essere classificati anche in base ai
valori del tempo in cui le variabili sono osservabili.
Un sistema è a tempo continuo se l’insieme dei valori del tempo in cui le variabili sono
osservabili è un intervallo continuo.
Un sistema è tempo discreto se l’insieme dei valori del tempo in cui le variabili sono osservabili
è un insieme discreto.
Es.: stazione meteorologica.
Classificazione in base al tipo di relazioni.
Sistemi deterministici e probabilistici Esempio di sistema deterministico: trasmissione
morse tra due stanze.
Esempio di sistema stocastico: ponte radio disturbato.
Sistemi lineari e non lineari. La linearità di un sistema è una caratteristica strettamente
legata al soddisfacimento del principio di sovrapposizione degli effetti.
(v. 0.9)
10
1.1. SISTEMI
Principio di sovrapposizione degli effetti Si dice che un sistema soddisfa il principio di
sovrapposizione degli effetti quando la risposta dovuta alla somma di più sollecitazioni è pari alla
somma delle risposte che si otterebbero applicando le sollecitazioni una alla volta.
Un esempio chiarirà meglio la definizione.
1.1.6
L’approccio sistemistico e l’approccio analitico
I problemi che la realtà pone possono essere affrontati con diversi tipi di approccio. In questo
contesto distinguiamo un approccio di tipo sistemistico ed uno di tipo analitico.
Nell’approccio sistemistico si tende ad affrontare il problema nel modo più generale possibile
considerando tutte le componenti che concorrono a formarlo o che ne influenzano il comportamento,
cercando di sfruttare le analogie esistenti tra sistemi diversi ma con caratteristiche simili.
Uno dei punti di forza dell’approccio sistemico è che le stesse metodologie di studio possono
essere applicate a problemi di natura diversa ma con caratteristiche comuni, utilizzando strumenti
matematici comuni.
Nell’approccio di tipo analitico il problema generale si scompone in sottoproblemi fino a raggiungere un livello di semplificazione che permette di studiare il problema con leggi semplici rispetto
al problema iniziale. Da un punto di vista storico l’approccio analitico trae origine dai secoli passati mentre l’approccio sistemico si è imposto negli ultimi quaranta cinquant’anni quando tra l’altro
si è resa disponibile una sufficiente potenza di calcolo. L’approccio analitico a volte è denominato
con il termine riduzionistico, proprio per evidenziare il tentativo di ridurre un problema complesso
a termini più semplici.
Un tempo discipline quali la filosofia, la fisica e la matematica utilizzavano metodi di analisi
molto simili tra loro. Ne è un esempio il problema cosmologico2 , che, pur essendo un tema
essenzialmente scientifico, nei secoli scorsi fu oggetto di accesi dibattiti filosofici e teologici.
L’evoluzione del pensiero scientifico ha portato nel corso dei secoli ad una differenziazione
sempre più accentuata tra i suoi vari ambiti. Questa evoluzione è alla base dell’approccio di tipo
analitico. Un ruolo di spicco in questo senso è stato svolto da Galileo Galilei.
Parallelamente a questa differenziazione è corrisposta, soprattutto negli ultimi decenni, una
grande volontà di unificazione delle leggi che regolano il mondo fisico. Tale volontà si palesa nel
tentativo di esprimere tali leggi attraverso teorie generali.
La teoria dei sistemi è figlia di questa esigenza di unificazione.
2 Qui
(v. 0.9)
si fa riferimento alla disputa tra la concezione tolemaica e la concezione copernicana dell’universo
CAPITOLO 1. SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
1.2
1.2.1
11
Modelli
La rappresentazione dei sistemi
Prendiamo in considerazione un motore elettrico in corrente continua ad eccitazione indipendente.
Esso è costituito da diversi componenti meccanici ed elettrici il cui scopo è quello di trasformare
l’energia elettrica in energia meccanica.
Il motore a corrente continua è costituito da una parte fissa, che costituisce l’induttore, e da
una parte mobile, che costituisce l’indotto. L’indotto ruota immerso nel flusso magnetico prodotto
dall’induttore.
Figura 1.3: Sezione schematica (modello iconico) di un motore elettrico a corrente continua.
Per comprendere il funzionamento del motore, oltre ad avere una discreta conoscenza di problematiche di tipo elettrico, meccanico e termico, è molto utile dare una rappresentazione grafica
di esso, come ad esempio una sezione schematica (figura 1.3).
Se però si intende studiare il motore da un punto di vista elettrico conviene rappresentarlo
mediante il suo circuito equivalente. Nella figura 1.4 oltre alle variabili e ai parametri elettrici
sono state riportate per completezza le variabili ed i parametri meccanici.
Nel motore a c.c. la velocità angolare ω del rotore è direttamente proporzionale alla tensione
vA applicata al circuito di armatura (figura 1.4) ma nel contempo dipende anche dalla coppia
resistente applicata al carico.
Pertanto possiamo considerare:
• vA tensione di armatura → variabile di ingresso manipolabile
• CR coppia resistente → variabile di ingresso non manipolabile
• ω velocità angolare → variabile di uscita
(v. 0.9)
12
1.2. MODELLI
Figura 1.4: Modello elettrico del motore a c.c. con eccitazione indipendente.
Invece le seguenti grandezze:
• Ra resistenza del circuito di armatura;
• La induttanza del circuito di armatura;
• Re resistenza del circuito di eccitazione;
• Le induttanza del circuito di eccitazione;
• Jmc momento di inerzia del motore e del carico;
sono i parametri, ovvero delle grandezze fisiche costanti che influenzano in qualche modo il
legame esistente tra la tensione vA e la velocità angolare ω. Tale legame può essere evidenziato
mediante il seguente schema a blocchi.
Figura 1.5: Schema a blocchi del motore a c.c..
Si può notare come dello stesso sistema si possano dare rappresentazioni diverse a seconda
dello scopo che ci si prefigge di ottenere attraverso di esse.
Queste rappresentazioni sono denominate modelli.
1.2.2
Definizione
Per risolvere un problema attinente ad un sistema presente nella realtà, per prima cosa si rende
necessario descrivere il sistema, ovvero è necessario costruire un modello mentale della parte di
realtà che ha a che fare con il problema.
Il modello di un sistema altro non è che una rappresentazione del sistema stesso.
Il modello che noi costruiamo è necessariamente una descrizione incompleta della realtà perché
esso deve tenere conto solo degli aspetti significativi per la soluzione del problema per cui esso è
stato prodotto.
In sostanza un modello di un sistema è una rappresentazione semplificata del sistema stesso.
Il carattere di incompletezza proprio dei modelli comporta, in positivo, la semplicità della
descrizione e , in negativo, un carattere di inesattezza ed approssimazione. Se per descrivere e
(v. 0.9)
CAPITOLO 1. SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
13
studiare un sistema si utilizza un modello troppo semplificato si rischia di ottenere delle conclusioni
errate riguardo al sistema.
1.2.3
Funzioni
I modelli vengono prodotti per svolgere diverse funzioni. Le principali sono:
Studio. La costruzione del modello forza la comprensione da parte nostra del sistema stesso e
la organizzazione e verifica della adeguatezza dei nostri concetti riguardo ad esso.
Comunicazione. Il modello permette di descrivere il sistema e di poter comunicare ad altri la
nostra conoscenza di esso. Da questo punto di vista i modelli che si basano su rappresentazioni
grafiche sono particolarmente efficaci. Come si suole dire, una buona figura vale più di mille parole.
Istruzione ed addestramento. I simulatori di volo sono un esempio di modello realizzato per
svolgere funzioni di istruzione ed addestramento.
Previsione e sperimentazione. Un modello può servire a prevedere e/o riprodurre l’evoluzione
temporale del sistema. Un esempio di modelli di questo tipo sono le simulazioni al computer dei
circuiti elettrici ed elettronici basate su modelli matematici dei circuiti stessi.
Analizzando le possibili funzioni che un modello può svolgere appare evidente che un modello
può essere realizzato per due scopi fondamentali: descrittivo e predittivo. In realtà un modello
predittivo comporta quasi sempre una componente descrittiva.
L’aspetto predittivo è strettamente associato alla tecnica della simulazione. Simulare il comportamento di un sistema significa costruire il suo modello, condurre esperimenti su di esso e
trasferire al sistema reale le conoscenze acquisite su di esso. La simulazione è applicata sia a
problemi strettamente ingegneristici, quali il dimensionamento di una struttura portante o la
progettazione di una conduttura, sia a problemi biologici, gestionali, sociali.
1.2.4
Tipologie di modelli
Per i modelli dei sistemi possiamo applicare gli stessi criteri visti in precedenza per i sistemi.
Ad esempio come esistono sistemi lineari e non lineari possiamo avere modelli lineari e non lineari. Oppure i modelli utilizzati per le simulazioni al computer possono essere deterministici o
probabilistici.
I modelli possono però essere classificati mediante un ulteriore criterio, il livello di astrazione
ovvero la distanza dalla realtà fisica che intendono rappresentare. Da qusto punto di vista si
distinguono tre tipologie di modelli: iconici, analogici e matematici.
Modelli iconici
Nei modelli iconici viene mantenuta una forte somiglianza con il sistema originario. Ad esempio
per studiare il comportamento della carena di una nave si realizza un modello in scala della nave
stessa. Esso viene poi sottoposto ad un flusso d’acqua costante all’interno di una vasca navale.
O si pensi al modello in scala che fu effettuato della diga del Vajont. Tra il 1961 e il 1962 la
SADE, ovvero la società che stava costruendo la diga del Vajont, decise una serie di esperimenti
per verificare gli effetti idraulici della caduta della frana del monte Toc nell’invaso del Vajont. Essi
furono effettuati su un modello fisico-idraulico in scal 1:200, costruito a Nove, vicino a Vittorio
Veneto(Fig. 1.6).
In base ai risultati delle prove effettuate si ritenne che in caso di frana le ondate contro la sponda
destra non sarebbero state più elevate di 30 metri sulla quota del lago a 700 metri, ritenuto un
valore sicuro. Purtroppo nella realizzazione del modello e nella esecuzione delle prove furono fatte
(v. 0.9)
14
1.2. MODELLI
Figura 1.6: Modello fisico-idraulico della diga del Vajont.
delle ipotesi semplificative eccessive. In particolare la velocità effettiva della frana fu molto più
catastrofica di quella preventivata e ottenuta mediante un sistema di barre mosse da un trattore
(Fig. 1.7).
Inoltre come materiale si utilizzò della ghiaia il cui effetto era molto diverso rispetto ad una
massa compatta argillosa come quella della frana (Fig. 1.8).
Questo è un esempio emblematico di come una eccessiva semplificazione e sottovalutazione
nella realizzazione di un modello di un sistema può portare a risultati pericolosamente errati.
Modelli analogici
Per analogia si intende una relazione di somiglianza e affinità tra due o più entità, astratte o
concrete, che presentano alcune caratteristiche comuni.
Un classico esempio di analogia è quello esistente tra il circuito elettrico ed il circuito idraulico.
Due sistemi si definiscono analoghi quando, pur essendo di natura diversa (per esempio elettrica ed idraulica) le loro variabili sono legate dalle medesime relazioni matematiche. Il comportamento del sistema idraulico rappresentato in figura 1.9 è analogo a quello del sistema elettrico
rappresentato a lato.
Tra sistemi di tipologia molto differente esistono spesso delle analogie molto potenti ed esse si
possono rivelare di grande utilità nello studio dei sistemi. Infatti si può studiare il comportamento
di un sistema attraverso l’osservazione del comportamento di un altro sistema analogo ad esso.
Ad esempio il sistema meccanico massa-molla può essere simulato con il circuito elettrico
oscillante induttore-condensatore.
Un altro esempio è un qualsiasi ambiente chiuso, dotato di una resistenza termica e di una
capacità termica. Esso può essere modellizzato mediante una resistenza ed una capacità elettrica.
Tempo addietro spesso si effettuava lo studio della trasmissione del calore attraverso pareti o
strutture mediante dei modelli elettrici con reti di resistori e condensatori, che sfruttavano proprio
l’analogia esistente tra sistemi elettrici e sistemi termici. Attualmente tali tecniche di simulazione
sono state soppiantate dall’uso di appositi programmi di simulazione, come ad esempio Simulink.
(v. 0.9)
CAPITOLO 1. SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
15
Figura 1.7: Schenma del dispositivo di trascinamento dei settori immersi nella massa di ghiaia.
Figura 1.8: Modello della diga prima di una prova in cui si vede la massa di ghiaia trattenuta
dalle reti di canapa e da corde.
(v. 0.9)
16
1.2. MODELLI
Figura 1.9: Analogia tra un sistema elettrico ed un sistema idraulico.
Modelli matematici
Analizzare un sistema significa determinare l’andamento temporale delle variabili di uscita quando
è noto l’andamento temporale degli stimoli in ingresso.
L’analisi di un sistema può essere condotta mediante esperimenti o mediante simulazioni. Nel
primo caso si sottopone il sistema allo stimolo di ingresso e, mediante opportune misurazioni, si
rilevano i valori delle grandezze di uscita. I dati ottenuti possono essere riportati su un grafico che
permette di mettere in relazione l’andamento delle uscite con l’andamento degli ingressi.
E’ evidente che non è sempre possibile procedere in questo modo. Nel caso in cui non si
disponga del sistema reale o si ritenga sconveniente approntare un modello analogico è necessario
ricorrere alla tecnica della simulazione. La simulazione di un sistema può essere condotta se si
dispone di un modello matematico in grado di rappresentare correttamente il comportamento del
sistema.
Un sistema può essere rappresentato mediante un modello matematico in due modi diversi:
• mediante le variabili di stato;
• mediante la relazione ingresso-uscita.
La differenza fondamentale tra questi due metodi consiste nel fatto che, mentre il primo concentra la sua attenzione sul comportamento interno del sistema tramite le variabili di stato, il
secondo analizza il sistema dall’esterno evidenziando il legame esistente tra ingresso ed uscita.
Il primo metodo permette una analisi più dettagliata del comportamento del sistema perché
oltre a determinare l’andamento delle variabili di uscita determina anche l’andamento delle variabili
di stato. La conoscenza dell’andamento delle variabili di stato offre una maggiore conoscenza del
fenomeno e permette di migliorare le procedure di controllo. Però questo metodo presenta maggiori
difficoltà perché costringe ad analizzare il sistema nel suo complesso e non permette di suddividere
il sistema in blocchi più semplici.
In effetti i sistemi di controllo possono essere scomposti in blocchi più elementari per i quali
è abbastanza semplice determinare la relazione ingresso-uscita. Dalle singole relazioni ingressouscita è poi possibile determinare in modo abbastanza agevole la relazione complessiva mediante
opportuni calcoli.
Per questo motivo utilizzeremo generalmente il metodo basato sulla relazione ingresso-uscita.
Comunque in ogni caso i componenti fondamentali di un modello matematico sono:
• i parametri;
• le variabili;
• le relazioni funzionali.
(v. 0.9)
CAPITOLO 1. SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
17
Le variabili di uscita sono legate alle variabili di ingresso, manipolabili o non manipolabili,
mediante delle relazioni funzionali che generalmente assumono la forma di espressioni matematiche
in cui sono presenti i parametri e le variabili di ingresso, direttamente o indirettamente attraverso
le variabili interne
Esempio del lunotto termico
1.2.5
Modelli statici e modelli dinamici
(v. 0.9)
18
1.3. PROCESSI
1.3
1.3.1
Processi
Definizioni generali
Il concetto di processo, in seguito agli sviluppi della teoria dei sistemi e della teoria delle comunicazioni elettriche, ha assunto nel tempo un importanza sempre maggiore.
Un processo è una sequenza temporale di azioni svolte o comportamenti tenuti da un sistema
per realizzare una certa funzione.
Le azioni svolte e i comportamenti tenuti dal sistema durante lo sviluppo del processo si identificano con le variazioni temporali degli attributi che descrivono il sistema. Quando conosciamo
l’evoluzione temporale di questi attributi abbiamo in mano una descrizione del processo.
Ad esempio, nel processo di carica e scarica del condensatore noi abbiamo acquisito una conoscenza di esso quando abbiamo rilevato l’evoluzione temporale delle grandezze fisiche elettriche
ad esso associate.
L’evoluzione temporale del processo può essere naturale, come ad esempio nella sintesi clorofilliana, o forzata da cause esterne, come nel caso dei processi industriali.
Da un punto di vista storico, alla base della disciplina dei controlli automatici e dell’automazione industriale sta lo studio e la progettazione dei processi produttivi industriali. Essi è
una sequenza di trasformazioni che avvengono tramite apporto di energia, risorse ed informazioni,
tendenti a dare un prodotto predefinito. Ne sono un esempio la laminazione dell’acciaio, la raffinazione del petrolio, la produzione dell’energia elettrica, ecc. Ogni processo industriale necessita
di un impianto di produzione, ovvero di un insieme di mezzi materiali in cui avviene il processo,
mediante una opportuna alimentazione di risorse.
1.3.2
Modelli di processi
Per poter studiare un processo è necessario costruire un modello del processo stesso, il quale si
basa sul modello del sistema di cui si vuole conoscere l’evoluzione.
Analizzando la definizione di processo si nota la stretta relazione esistente tra tempo e processo.Conseguentemente la modellizzazione dei processi richiede un certo livello di astrazione che può
essere raggiunto solo utilizzando i modelli matematici del sistema coinvolto. D’altronde, i modelli
iconici, come il modellino in scala di un auto o l’assonometria di una casa, sono fondamentalmente
dei modelli statici e male si prestano a rappresentare l’evoluzione temporale di un sistema.
I modelli matematici utilizzati per la modellizzazione dei processi che verranno affrontati in
questa sede sono essenzialmente due:
• modelli ingresso-uscita;
• modelli nello spazio degli stati.
Il modello ingresso-uscita verrà utilizzato per operare prevalentemente con sistemi continui o
con sistemi discreti dotati di un numero infinito di stati, mentre il modello nello spazio degli stati
verrà utilizzato con i sistemi discreti dotati di un numero finito di stati.
Il concetto di stato ha senso nel caso dei sistemi dinamici in cui lo stato coincide con la memoria
interna del sistema stesso. In questo caso la sequenza temporale di azioni porta il sistema a
cambiare il suo stato interno.
Si può allora ridefinire il processo come la successione degli stati assunti dal sistema in seguito
all’azione di opportuni ingressi, al fine di raggiungere un determinato obiettivo.
Nello studio di un processo nello spazio degli stati si può utilizzare una potente rappresentazione
grafica, il diagramma degli stati. Essa, però, è applicabile solo nel caso di sistemi discreti con
un numero finito di stati. I sistemi dinamici discreti ed invarianti che possono assumere solo un
numero finito di stati sono denominati automi a stati finiti.
Nel modello ingresso-uscita, molto utilizzato nel caso dei processi industriali, i sistemi vengono
descritti attraverso blocchi funzionali che forniscono il legame tra la sollecitazione in ingresso e la
risposta in uscita. I sistemi possono essere a loro volta modellizzati con sottosistemi, ognuno dei
(v. 0.9)
CAPITOLO 1. SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
19
Figura 1.10: Esempio di diagramma degli stati.
quali rappresentati da un blocco funzionale, tra loro connessi. Ogni sistema o sottosistema viene
rappresentato da un blocco rettangolare nel quale entrano le variabili di ingresso e dal quale escono
quelle di uscita. In questo modo si ottiene una particolare rappresentazione grafica denominata
diagramma ingresso-uscita.
Figura 1.11: Esempio di diagramma ingresso-uscita.
Nel modello ingresso-uscita ciò che conta è la relazione tra ingresso ed uscita. Essa viene
solitamente indicata all’interno del blocco.
Essa viene denominata anche funzione di trasferimento e nel caso dei sistemi lineari
invarianti è definita proprio come rapporto tra uscita ed ingresso.
(v. 0.9)
20
1.4. DOMANDE
1.4
Domande
Conoscenze
1. Esprimi una definizione di sistema.
2. Le diverse parti che compongono un sistema sono denominate:
(a) parametri;
(b) variabili;
(c) componenti;
(d) modelli;
(e) controlli.
3. Che cosa sono le variabili ed i parametri di un sistema ?
4. Quali tipi di variabili si possono individuare in un sistema ?
5. In un sistema si possono individuare tre tipi di variabili: 1) di ingresso, 2) di uscita 3) di
stato. Associa a ciascun tipo di variabile una delle seguenti azioni.
(a) quantità di energia, materia o informazione accumulata dal sistema;
(b) quantità di energia, materia o informazione ceduta dal sistema;
(c) quantità di energia, materia o informazione fornita al sistema.
6. Le variabili discrete assumono dei valori appartenenti all’insieme dei numeri ..................
7. Le variabili continue assumono dei valori appartenenti all’insieme dei numeri ..................
8. Cos’é un segnale ?
9. Elencare e descrivere brevemente i problemi di cui si occupa la teoria dei sistemi.
10. Lo stato di un sistema è la misura in un determinato istante della quantità di energia, materia
o informazione:
(a) ceduta al sistema;
(b) ceduta dal sistema;
(c) accumulata nel sistema;
(d) dissipata dal sistema;
(e) trasformata dal sistema.
11. Cosa si intende per sistemi varianti ed invarianti?
12. Cosa si intende per sistemi deterministici e stocastici ?
13. Esprimere la definizione di sistema dinamico.
14. Perché la presenza di elementi accumulatori di energia è discriminante per la dinamicità di
un sistema ?
15. Un sistema dotato di elementi accumulatori di energia è un sistema dinamico ? Perché ?
16. Descrivere un esempio di sistema non lineare.
17. Il modello grafico che permette di evidenziare le relazioni presenti tra le varie parti di un
sistema e tra esso ed il mondo esterno è rappresentato da:
(v. 0.9)
CAPITOLO 1. SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
21
(a) la caratteristica ingresso-uscita;
(b) lo schema a blocchi;
(c) il diagramma degli stati;
(d) lo schema equivalente.
18. Esprimere la definizione di modello.
19. Quali sono le funzioni svolte da un modello ?
20. Classificare i modelli di sistemi ed indicare chiaramente il criterio di classificazione utilizzato.
21. Elencare e descrivere brevemente gli aspetti fondamentali di cui è composto un modello
matematico.
22. Può succedere che di uno stesso sistema si possa definire sia un modello statico che un modello
dinamico. Quali condizioni devono essere soddisfatte per ottenere un modello statico e quali,
invece, per ottenere un modello dinamico?
23. Perché nell’ambito dei controlli automatici i modelli matematici statici sono scarsamente
utilizzati ?
24. Disegnare lo schema elettrico-meccanico del motore a c.c., e classificare le grandezze fisiche
presenti in esso.
25. Scrivere le equazioni alla base del modello dinamico di un motore a c.c..
26. Rappresentare il modello dinamico ingresso-uscita del motore a c.c. mediante uno schema a
blocchi.
Abilità
1. Un semaforo, un serbatoio, una auto, un computer sono sistemi dinamici. Indica per ciascuno
di essi la quantità immagazzinata (Materia, energia, informazione).
2. Disegna lo schema elettrico e lo schema a blocchi del sistema partitore di tensione, esprimi
analiticamente la relazione ingresso-uscita e descrivi il modo con cui è stata ottenuta.
(v. 0.9)
22
1.5. ESERCIZI
1.5
Esercizi
1. Si prenda in considerazione il sistema impianto di riscaldamento di un edificio descritto dal
diagramma sinottico riportato in figura.
(a) individuare i componenti, le interazioni, le variabili e la funzione che caratterizzano il
sistema;
(b) classificare il sistema applicando i diversi criteri visti in precedenza;
(c) rappresentare il sistema mediante uno schema a blocchi.
Figura 1.12: Impianto di riscaldamento di un edificio
2. Si prenda in considerazione il sistema di regolazione di portata con serbatoio descritto dal
diagramma sinottico riportato in figura 1.13.
(a) individuare i componenti, le interazioni, le variabili e la funzione che caratterizzano il
sistema;
(b) classificare il sistema applicando i diversi criteri visti in precedenza;
(c) rappresentare il sistema mediante uno schema a blocchi.
Figura 1.13: Sistema di regolazione di portata con serbatoio.
3. Si prenda in considerazione il sistema cancello automatico descritto dal diagramma sinottico
riportato in figura 1.14.
(v. 0.9)
CAPITOLO 1. SISTEMI, MODELLI E PROCESSI
23
(a) descrivi verbalmente la funzione svolta dal sistema;
(b) elenca i componenti e descrivi verbalmente le interazioni tra di essi;
(c) elenca le variabili e per ciascuna indica se è di ingresso, ingresso non manipolabile,
uscita o stato rispetto al sistema nel suo complesso, e se è continua, discreta-non binaria,
discreta-binaria;
(d) classificare il sistema applicando i diversi criteri visti in precedenza;
(e) rappresentare il sistema mediante uno schema a blocchi.
Figura 1.14: Cancello automatico.
(v. 0.9)
24
(v. 0.9)
1.5. ESERCIZI
Capitolo 2
SEGNALI ELETTRICI
Nello specifico per segnale elettrico si intende l’evoluzione temporale di una tensione o di una
corrente a cui è associata una informazione. I segnali elettrici vengono utilizzati sostanzialmente
per due motivi fondamentali: per trasportare energia elettrica o per trasportare informazione. Nel
primo caso siamo nell’ambito di quella disciplina che prende il nome di elettrotecnica, nel secondo
caso di quella disciplina denominata elettronica.
L’elettronica si occupa della generazione, della trasmissione e della elaborazione di segnali
elettrici a cui è associata una informazione. Esempi di segnali elettrici che rispondono a queste
caratteristiche sono i segnali audio e video.
Nell’ambito dei sistemi automatici la conoscenza dei segnali elettrici è di fondamentale importanza. Praticamente tutti gli apparati di automazione fanno uso di segnali elettrici per trasferire
le informazioni tra un componente e l’altro.
In particolare vengono utilizzati dei segnali elettrici di forma particolare, denominati segnali
di test, per la verifica della funzionalità delle apparecchiature elettriche ed elettroniche.
I segnali di test vengono prodotti con uno strumento denominato generatore di funzioni (Function generator) e visualizzati con uno strumento denominato oscilloscopio (Oscilloscope).
Forme d’onda tipiche dei segnali di test sono:
• sinusoidale;
• quadra e rettangolare;
• triangolare;
• ad impulsi.
Un segnale elettrico può essere rappresentato fondamentalmente mediante due modalità:
• rappresentazione grafica;
• espressione analitica o funzionale.
2.1
2.1.1
Definizioni
Segnale continuo
E’ un segnale elettrico che in ogni istante di tempo assume sempre lo stesso valore. Ne è un
esempio la tensione ai capi di una batteria.
Rappresentazione grafica
Rappresentazione analitica
25
26
2.1.2
2.1. DEFINIZIONI
Segnale variabile
E’ un segnale elettrico che nel tempo assume con continuità valori diversi. Il valore assunto dal
segnale in un dato istante di tempo t è detto valore istantaneo e si indica con l’espressione v(t).
Si parla di segnale bidirezionale quando esso nel tempo assume valori sia positivi che negativi.
Esempio di segnale bidirezionale
Si parla di segnale unidirezionale quando nel tempo esso assume solo valori o solo positivi o
solo negativi.
Esempio di segnale unidirezionale
2.1.3
Segnale periodico
E’ un segnale che si ripete ciclicamente, ovvero esso riassume dopo un intervallo di tempo T,
denominato periodo, gli stessi valori. In termini più sintetici:
dove s(t) è il valore assunto dal segnale all’istante t ed s(t+T) è il valore assunto dal segnale
all’istante t+T. Esempio di segnale periodico Per un segnale periodico, come quello in figura, si
possono definire alcune grandezze tipiche. Faremo riferimento, per comodità, ad un segnale in
tensione.
s (t) = s (t + T )
∀t
(2.1)
Parametri dei segnali periodici
f frequenza E’ il numero di cicli compiuti dal segnale in un secondo. Frequenza e periodo sono
legati dalla seguente relazione
1
(2.2)
f=
T
La frequenza indica quante volte in un secondo il segnale si ripete. L’unità di misura della frequenza
è l’Hertz (simbolo Hz). 1Hz = 1s−1 .
Vpp - valore picco-picco.
segnale assume nel periodo.
E’ la differenza tra il valore massimo ed il valore minimo che il
Vp - valore di picco. E’ il massimo valore in valore assoluto che il segnale può assumere
rispetto allo zero di rfierimento.
Vm - valore medio. E’ il valore continuo dato dalla media aritmetica di tutti i valori assunti
dal segnale in un periodo. Se il segnale è simmetrico rispetto all’asse dei tempi il valore medio
risulta nullo. In tal caso si parla di segnale alternato.
Vrms - valore efficace. E’ quel valore continuo che provoca in una resistenza la stessa dissipazione media di potenza provocata dal segnale periodico stesso (rms = root mean square, radice
quadratica media).
2.1.4
Calcolo del valore medio di un segnale periodico
Una definizione alternativa alla definizione precedentemente data di valore medio è la seguente:
Il valore medio di un segnale periodico è il segnale continuo che sottende in un periodo la stessa
area del segnale periodico.
Il concetto pittoresco di ‘area sottesa’ fa riferimento all’area totale della figura formata dal
grafico del segnale periodico in un certo intervallo di tempo, avendo cura di considerare positivi
le parti dell’area corrispondenti ad ordinate positive e negative quelle corrispondenti ad ordinate
negative.
(v. 0.9)
CAPITOLO 2. SEGNALI ELETTRICI
27
Figura 2.1: Rappresentazione grafica del valore medio.
Se indichiamo con A l’area sottesa, con T il periodo e con Vm il valore medio, si ha dalla
definizione precedente che:
A = Vm · T
da cui
Vm =
2.1.5
A
T
Componente continua e componente alternata di un segnale periodico
Tutti i segnali periodici possono essere decomposti in una componente continua e in una componente alternata.
Figura 2.2: Componente continua e componente alternata .
figura
(v. 0.9)
28
2.1. DEFINIZIONI
Dalla figura precedente si denota che la tensione periodica vA è data dalla somma della
componente continua VA e della componente alternata va .
v A = VA + v a
Un modo per ottenere la tensione vA potrebbe essere quello suggerito dalla seguente figura.
figura
Da quanto esposto precedentemente si può notare che è stata utilizzata una specifica convenzione per rappresentare le grandezze elettriche continue, periodiche e alternate, che riassumiamo
qui di seguito.
• Le tensioni e le correnti continue si rappresentano con una lettera maiuscola seguita da un
pedice maiuscolo che indica il nodo (o il ramo) a cui si riferisce la tensione (o la corrente).
• I segnali variabili si rappresentano con una lettera minuscola seguita da un pedice minuscolo,
se il segnale è a valore medio nullo, maiuscolo se il segnale è a valore medio non nullo.
2.1.6
(v. 0.9)
Calcolo del valore efficace di un segnale periodico
CAPITOLO 2. SEGNALI ELETTRICI
2.2
29
Segnali sinusoidali
Le reti elettriche in cui tensioni e correnti rimangono costanti nel tempo sono solo un caso
particolare nell’ambito elettrico ed elettronico.
Ad esempio nelle reti elettriche utilizzate in ambito civile ed industriale per distribuire ed
utilizzare l’energia elettrica le tensioni e le correnti assumono tutte un andamento sinusoidale
alternato come quello riportato in figura 2.3.
Figura 2.3: Tensione sinusoidale prodotta in laboratorio da un alternatore.
Limitandoci al solo ambito elettrico, i motivi che hanno determinato questo predominio delle
grandezze elettriche alternate nel settore elettrico sono la maggiore semplicità costruttiva dei generatori di corrente alternata, la possibilità di effettuare la trasformazione mediante i trasformatori
da bassa tensione ad alta tensione e viceversa , e inoltre la maggiore semplicità e robustezza dei
motori a corrente alternata rispetto a i motori in corrente continua.
2.2.1
Segnali sinusoidali e moto circolare uniforme
Per comprendere più in profondità l’origine dei segnali sinusoidali, vediamo come il segnale sinusoidale è strettamente connesso al moto circolare uniforme.
Disegnamo una circonferenza goniometrica sul piano cartesiano, avente come centro O l’origine
degli assi x ed y e consideriamo un punto P sulla circonferenza che si muove su di essa con moto
circolare uniforme. Il raggio della circonferenza è pari alla lunghezza del segmento OP . All’istante
t=0 il punto P si trova nella posizione indicata in figura 2.4. Inoltre il punto si muove con una
velocità angolare ω pari a:
ω=
2π
T
(2.3)
dove con T si intende il tempo impiegato a compiere un giro completo, corrispondente ad un
angolo in radianti pari a 2π.
Consideriamo ora il punto Py , proiezione del punto P sull’asse delle y. Esso determina la
coordinata y del punto P. Noi siamo interessati a determinare l’andamento temporale y(t) della coordinata y generato dal moto circolare uniforme del punto P. Otteremmo tale andamento
mediante la seguente costruzione grafica.
Consideriamo la posizione di P sul cerchio goniometrico in successivi istanti di tempo, scelti in
modo da dividere in almeno 8 parti un intervallo di tempo pari al periodo T, necessario perché P
compia un giro completo. Riportiamo il corrispondente valore y in un diagramma cartesiano t-y
posto a destra del cerchio (Fig. 2.5).
(v. 0.9)
30
2.2. SEGNALI SINUSOIDALI
Figura 2.4: Moto circolare uniforme.
Figura 2.5: Costruzione di un segnale sinusoidale.
(v. 0.9)
CAPITOLO 2. SEGNALI ELETTRICI
31
Si può notare che l’andamento temporale della proiezione y assume una forma sinusoidale. Inoltre, si può osservare che il valore massimo YM assunto da y è pari al raggio OP della
circonferenza.
Esercizio proposto 2.2.1. Esercizio: si determini l’andamento temporale y(t) del segnale sinusoidale generato dal moto circolare uniforme di un punto P che si muove in senso antiorario su
una circonferenza di diametro pari a 4, partendo con un angolo iniziale pari a 90◦ e compiendo
un giro completo in 0.1s .
La grandezza sinusoidale altrnata y è univocamente determinata quando sono noti la pulsazione
ω, l’ampiezza YM e la fase iniziale ϕ.
Una tensione sinusoidale alternata può essere indotta ai capi di una spira in rotazione all’interno
di un campo elettrico.
(v. 0.9)
32
2.2.2
(v. 0.9)
2.2. SEGNALI SINUSOIDALI
Parametri delle grandezze sinusoidali
CAPITOLO 2. SEGNALI ELETTRICI
2.2.3
33
Valore efficace
(v. 0.9)
34
2.3
2.3. IL METODO SIMBOLICO
Il metodo simbolico
Quando si opera con tensioni e correnti sinusoidali alternate è di grande utilità applicare il metodo simbolico. Esso consiste, sostanzialmente, nella rappresentazione delle tensioni e correnti
presenti in una rete elettrica lineare in regime sinusoidale mediante numeri complessi, attraverso
l’introduzione di particolari vettori denominati fasori.
Per comprendere da dove nasce tale esigenza si propone un problema concreto.
- schema elettrico V = V1 + V2
- grafico
- formula
Trovare un metodo relativamente semplice per risolvere il problema precedente è di fondamentale importanza per poter risolvere le reti elettriche lineari.
Infatti, quando si applica una eccitazione sinusoidale dotata di una frequenza f ad una rete
elettrica lineare dopo una fase transitoria più o meno lunga, , tutte le differenze di tensione e le
correnti assumono a regime un andamento sinusoidale alla stessa frequenza f.
Queste tensioni e correnti si differenziano tra loro solo per il loro valore efficace e per lo
sfasamento reciproco.
Questa situazione prende il nome di regime sinusoidale.
Un comune impianto elettrico alimentato dalla tensione di rete si trova normalmente in condizioni di regime sinusoidale.
2.3.1
Fasori
Per fasore si intende un vettore, caratterizzato da un modulo e da una fase, rotante in senso
antiorario a velocità angolare costante.
2.3.2
Corrispondenza tra grandezze sinusoidali alternate e fasori
Ad ogni grandezza elettrica sinusoidale in un impianto elettrico può essere associato un ben
determinato fasore utilizzando la seguente tabella di corrispondenza
riproposizione problema precedente con i fasori
- soluzione grafica
- soluzione matematica
- necessità dei numeri complessi
2.3.3
(v. 0.9)
Corrispondenza tra grandezze sinusoidali alternate e numeri complessi
CAPITOLO 2. SEGNALI ELETTRICI
2.4
35
Strumenti di laboratorio
I segnali elettrici fanno parte a pieno titolo dell’insieme di oggetti con cui si opera in un laboratorio
di sistemi, siano essi segnali in ingresso o segnali in uscita da sistemi elettrici/elettronici di svariata
complessità. Pertanto è inevitabile dover operare con gli strumenti tipici di un laboratorio di
elettronica. Per questo motivo si ritiene opportuno in questa sede introdurre i più importanti
strumenti elettronici.
2.4.1
Oscilloscopio
Un oscilloscopio può essere considerato essenzialmente come un voltmetro con immagini. Ma,
mentre un normale voltmetro offre un dato numerico che rappresenta il valore medio assunto dalla
tensione in un certo punto di un sistema elettrico/elettronico, l’oscilloscopio mostra l’andamento
storico del segnale in forma grafica.
Un’ulteriore differenza risiede nel fatto che, mentre un voltmetro normalmente può gestire un
solo segnale alla volta, un oscilloscopio permette di visualizzare l’andamento di due o più segnali
contemporaneamente.
Esistono fondamentalmente due tipi di oscilloscopi:
• gli oscilloscopi analogici o tradizionali;
• gli oscilloscopi digitali o DSO1 .
Quanto viene esposto qui di seguito si riferisce propriamente alla prima tipologia di oscilloscopi,
anche se molti dei principi espressi possono essere applicati anche agli oscilloscopi digitali.
2.4.2
Generatore di funzioni
Il generatore di funzioni è in grado di fornire segnali periodici in una gamma di frequenze che vanno
dalla frazione di hertz a qualche megahertz. Le forme d’onda disponibili sono la sinusoidale, la
triangolare e la quadra. Spesso si ha la possibilità di regolare il duty cicle e di aggiungere una
componente continua (offset di tensione) al segnale con la possibilità, quindi, di ottenere segnali
bidirezionali o unidirezionali. L’ampiezza in uscita è normalmente regolabile da pochi millivolt ad
alcune decine di volt.
E’ normalmente presente una uscita quadra TTL compatibile.
Le entrate e le uscite del generatore di funzioni sono normalmente disponibili su connettori
BNC. Il connettore BNC viene utilizzato con i cavi schermati , o cavi coassiali. La calza del cavo
schermato viene collegata alla massa del generatore di funzioni; in questo modo si impedisce ad
eventuali disturbi di natura elettromagnetica di essere captati dal conduttore centrale del cavo, e
di essere quindi sovrapposti al segnale stesso.
Comandi
DC OFFSET Permette di sovrapporre al segnale in uscita una componente continua di ampiezza
regolabile. Permette quindi di ottenere segnali periodici non alternati.
DUTY CICLE Permette di regolare il ciclo utile del segnale e serve per ottenere un segnale
rettangolare oppure ad impulsi.
2.5
Misure di fase con l’oscilloscopio
Vediamo come si può misurare la differenza di fase tra due segnali sinusoidali.
1 Digital
Storage Oscilloscope
(v. 0.9)
36
2.6. DOMANDE
2.6
Domande
Conoscenze
1. Dare una definizione di segnale.
2. Dare una definizione di segnale alternato.
3. Come si definisce il tempo di salita, o rise time (tr ), di un segnale ?
4. Disegnare lo schema a blocchi dell’oscilloscopio.
5. Qual’é la funzione svolta dal comando AC/DC/GD nell’oscilloscopio ?
6. Qual’é la funzione svolta dal circuito di trigger ?
7. Qual funzione svolge il comando amplitude ?
8. Disegnare lo schema elettrico del circuito di ingresso dell’oscilloscopio.
9. Disegnare lo schema a blocchi e l’andamento temporale delle varie tensioni presenti all’interno
della base tempi di un oscilloscopio.
10. Qual’è la funzione svolta dal comando DC OFFSET nel generatore di funzioni ?
Abilità
1. In quale modo si può valutare il valore medio di un segnale con l’ausilio dell’oscilloscopio ?
(a) Commutando il selettore di ingresso AC-DC-GD tra DC e GD.
(b) Commutando il selettore di ingresso AC-DC-GD tra AC e DC.
(c) Commutando il selettore di ingresso AC-DC-GD tra AC e GD.
(d) Commutando il selettore di ingresso AC-DC-GD tra AC, DC e GD.
(v. 0.9)
CAPITOLO 2. SEGNALI ELETTRICI
2.7
37
Esercizi
1. In figura è rappresentato un segnale periodico rettangolare. Determinare:
(a) il periodo e la frequenza;
(b) il valore medio;
(c) il duty cicle.
Figura 2.6: Esercizio 1
2. Dato il segnale periodico di figura determinare:
(a) il periodo e la frequenza;
(b) il valore massimo, il valore minimo e il valore picco-picco;
(c) il valore medio.
Figura 2.7: Esercizio 3
3. Disegnare un segnale periodico rettangolare definito dai seguenti parametri: f = 2000Hz,
Vpp = 10V , δ% = 25%, VM IN = 0V . Dopo averlo disegnato, calcolare il valore medio.
4. Disegnare la componente continua e la componente alternata del segnale periodico dell’esercizio precedente.
5. Determinare il periodo T, la frequenza f, il valore massimo VM AX , il valore minimo VM IN , il
valore picco-picco Vpp e il valore medio Vm delle due forme d’onda visualizzate dallo schermo
di oscilloscopio di figura 2.8.
6. Sullo schermo di un oscilloscopio compaiono le due forma d’onda v1 e v2 riportate in figura
2.9. Determinare:
(a) il periodo, la frequenza ed il duty cicle delle due forme d’onda;
(b) il valore massimo, il valore minimo, il valore picco-picco e il valore medio di v1 ;
(v. 0.9)
38
2.7. ESERCIZI
Figura 2.8: Esercizio 5
Figura 2.9: Esercizio 6
(v. 0.9)
CAPITOLO 2. SEGNALI ELETTRICI
39
(c) il valore massimo, il valore minimo, il valore picco-picco e il valore medio di v2 ;
(d) la relazione esistente tra v1 e v2 .
(v. 0.9)
40
2.7. ESERCIZI
.
(v. 0.9)
CAPITOLO 2. SEGNALI ELETTRICI
2.8
2.8.1
41
Esperienze di laboratorio
Analisi sperimentale della risposta temporale di una rete R-R ad
un’onda quadra
Obiettivi didattici
• Saper utilizzare l’oscilloscopio per effettuare misure di una onda quadra.
• Comprendere la relazione esistente tra ingresso ed uscita in un sistema statico lineare.
Schema elettrico
Procedimento.
1. Redarre l’elenco della strumentazione e la lista dei componenti messi a disposizione per la
prova.
2. Predisporre la strumentazione ed i componenti secondo le indicazioni dello schema elettrico.
3. Accendere gli strumenti e regolare il generatore di funzioni, con l’ausilio dell’oscilloscopio,
in modo da applicare in ingresso alla rete R-R un segnale alternato quadro di tensione
picco-picco pari a 5 V e frequenza pari ad 1 kHz.
4. Visualizzare sull’oscilloscopio le forme d’onda in ingresso ed in uscita dalla rete R-R e trascrivere fedelmente quanto presente sullo schermo dell’oscilloscopio su una griglia precedentemente predisposta, avendo cura di indicare la posizione della massa di entrambi i canali, i settaggi della sensibilità orizzontale, della sensibilità verticale e dell’accoppiamento di
entrambi i canali.
5. Determinare il periodo T, la frequenza f, il valore picco-picco Vpp e il valore medio Vm delle
due forme d’onda visualizzate dall’oscilloscopio.
6. Applicare in ingresso alla rete R-R un segnale quadro di valore medio 5V di tensione piccopicco pari a 10 V, frequenza pari ad 1 kHz e ripetere i due punti precedenti.
Domande.
• Si intravede qualche relazione tra ingresso ed uscita ?
• Tale relazione è legata al valore di R1 ed R2 ?
(v. 0.9)
42
2.8. ESPERIENZE DI LABORATORIO
2.8.2
Analisi sperimentale della risposta di una rete RC ad un’onda
quadra.
Obiettivi didattici
• Saper misurare il tempo di salita di un segnale e la costante tempo di una rete RC.
• Conoscere e saper confrontare le risposte nel dominio del tempo di un sistema statico e di
un sistema dinamico.
Schema elettrico
Procedimento.
1. Redarre l’elenco della strumentazione e la lista dei componenti messi a disposizione per la
prova.
2. Predisporre la strumentazione ed i componenti secondo le indicazioni dello schema elettrico.
3. Calcolare la costante tempo nominale τn della rete RC in base ai valori nominali di R e C.
4. Calcolare le costanti tempo τmin e τmax in base alle tolleranze dei componenti utilizzati.
5. Disporre il deviatore nella posizione 1, accendere gli strumenti e regolare il generatore di
funzioni, con l’ausilio dell’oscilloscopio, in modo da applicare in ingresso alla rete R-R un
segnale TTL compatibile di periodo T ∼
= 10 ÷ 12 τn
6. Disporre il deviatore in posizione 2 e misurare il tempo di salita e la costante tempo
sperimentale τsp .
7. Trascrivere fedelmente quanto presente sullo schermo dell’oscilloscopio su una griglia precedentemente predisposta, avendo cura di indicare la posizione della massa di entrambi i
canali, i settaggi della sensibilità orizzontale, della sensibilità verticale e dell’accoppiamento
di entrambi i canali.
8. Aumentare e diminuire di 10 volte la frequenza del segnale in ingresso e rilevare cosa accade
al segnae in uscita.
Domande.
• Cosa accade al segnale in uscita quando il deviatore passa dalla configurazione R-R alla
configurazione RC ? Perché ?
• Che relazione c’è tra τn e le altre τ ?
• Cosa accade se si aumenta o diminusice la frequenza ? Perché ?
(v. 0.9)
CAPITOLO 2. SEGNALI ELETTRICI
2.8.3
43
Misura dei parametri caratteristici dei segnali sinusoidali prodotti
da un generatore di funzioni.
Obiettivi didattici
• Saper misurare la differenza di fase tra due segnali sinusoidali.
• Sapere che la differenza di fase tra la tensione di ingresso e la tensione di uscita di una rete
RC dipende dalla frequenza.
Schema elettrico
Procedimento.
1. Redarre l’elenco della strumentazione e la lista dei componenti messi a disposizione per la
prova.
2. Predisporre la strumentazione ed i componenti secondo le indicazioni dello schema elettrico.
3. Rilevare i valori nominali di R e C e settare il generatore di funzioni in modo che fornisca
un segnale sinusoidale alternato di frequenza fT 2 pari a:
fT =
1
2πRC
4. Si visualizzi sull’oscilloscopio la tensione di ingresso v1 rilevata dal canale 1 e la tensione di
uscita v2 rilevata dal canale 2, utilizzando riferimenti di massa coincidenti.
5. Misurare i parametri T, f, Vp, Vpp e Vm di entrambe le forme d’onda.
6. Trascrivere fedelmente quanto presente sullo schermo dell’oscilloscopio su una griglia precedentemente predisposta, avendo cura di indicare la posizione della massa di entrambi i
canali, i settaggi della sensibilità orizzontale, della sensibilità verticale e dell’accoppiamento
di entrambi i canali.
7. Determinare lo sfasamento φ della forma d’onda sul secondo canale rispetto a quella nel
primo canale, seguendo i seguenti passi:
(a) ricavare la distanza temporale ∆t tra i primi due picchi delle due forme d’onda
(b) convertire l’intervallo di tempo ∆t utilizzando la seguente formula di conversione dove
T è il periodo delle due forme d’onda precedentemente misurato.
2f
T
rappresenta la frequenza di taglio del filtro passabasso RC
(v. 0.9)
44
2.8. ESPERIENZE DI LABORATORIO
ϕ = 360 ·
∆t
T
8. Ripetere i punti precedenti per una frequenza 10 volte inferiore ed una frequenza 10 volte
superiore a fT
Domande.
• Cosa succede allo sfasamento per le varie frequenze applicate ?
• Ci sono altre grandezze fisiche che variano con la frequenza ? Perché?
(v. 0.9)
Capitolo 3
NOZIONI DI ANALISI
MATEMATICA
Prerequisiti
• Conoscere gli insiemi numerici.
• Conoscenze di algebra.
Obiettivi specifici
• Conoscere i concetti intuitivi di funzione continua, derivata, integrale ed equazione differenziale.
3.1
Insiemi numerici.
In questa sede non si intende trattare estensivamente gli insiemi numerici ma si vuole richiamare
molto velocemente gli insiemi numerici tipicamente utilizzati in un corso di sistemi. Essi sono, in
ordine di complessità, i seguenti:
• Insieme N dei numeri naturali.
• Insieme Z dei numeri interi.
• Insieme Q dei numeri razionali.
• Insieme R dei numeri reali.
• Insieme C dei numeri complessi.
45
46
3.2
(v. 0.9)
3.2. FUNZIONI
Funzioni
CAPITOLO 3. NOZIONI DI ANALISI MATEMATICA
3.3
47
Limite di una funzione
(v. 0.9)
48
3.4
3.4. FUNZIONI CONTINUE E DISCONTINUE
Funzioni continue e discontinue
In termini intuitivi una funzione è continua se può essere disegnata senza staccare la matita dal
foglio.
3.4.1
La funzione seno.
La funzione seno è un caso particolarmente importante di funzione continua. Appartengono alla
famiglia delle funzioni sinusoidali le grandezze sinusoidali alternate che variano nel tempo secondo
la seguente legge:
y = YM · sen (ωt + ϕ)
(v. 0.9)
(3.1)
CAPITOLO 3. NOZIONI DI ANALISI MATEMATICA
3.5
49
Derivata
Intendiamo introdurre il concetto di derivata prima da punto di vista fisico e poi da un punto di
vista geometrico.
Significato fisico.
Prendiamo in considerazione una macchinetta che viene lanciata lungo un percorso rettilineo
partendo da ferma. All’istante t0 = 0 s essa si trova nella posizione y (t0 ) = 0 m. Si supponga di
rilevare la posizione y della persona negli istanti di tempo t1 , t2 , t3 , ...,ti , ti+1 , ... regolarmente
distanziati di un secondo uno dall’altro.
Dopo aver effettuato il rilevamento siamo in grado di tracciare l’andamento temporale y(t) su
un grafico.
Figura 3.1: Legge oraria del moto
L’incremento del tempo ∆t = ti+1 − ti è costante e pari a 1 s, per ogni valore di i scelto, mentre
l’incremento della posizione ∆y = y (ti+1 ) − y (ti ) non è altrettanto costante.
E’ altrettanto evidente che anche la velocità del corpo non è costante. Per ottenere una prima
valutazione sommaria del suo andamento possiamo calcolare le velocità medie per ogni intervallo
di tempo [ti , ti+1 ] utilizzando la seguente formula.
vi =
y (ti+1 ) − y (ti )
ti+1 − ti
(3.2)
Tenendo conto dei valori indicati in figura 3.1 si ottiene l’andamento riportato in figura 3.2.
Figura 3.2: Velocità medie.
(v. 0.9)
50
3.5. DERIVATA
Se si vuole ottenere una stima più precisa della velocità posseduta dal corpo istante per istante
è necessario ridurre il valore dell’incremento temporale ∆t.
Se poi ∆t viene fatto tendere a 0 allora la velocità media calcolata con la (3.2) tende alla
velocità istantanea v (t). Infatti la velocità istantanea viene definita nel seguente modo:
v (t) = lim
∆t→0
y (t + ∆t) − y (t)
∆t
(3.3)
In figura () è riportato l’andamento della velocità istantanea al variare del tempo.
Figura 3.3: Andamento della velocità istantanea.
Definizioni matematiche.
Ora diamo alcune definizioni matematiche. Il seguente rapporto tra l’incremento ∆y e l’incremento
∆t
y (t + ∆t) − y (t)
∆y
=
∆t
∆t
prende il nome di rapporto incrementale della funzione y (t). Mentre
si definisce derivata prima y’(t) della funzione y(t) nel punto ti , il limite del rapporto
incrementale ∆y
∆t per ∆t tendente a 0.
y ′ (t) = lim
∆t→0
∆y
∆t
Un altra notazione matematica molto diffusa per rappresentare la derivata prima di una
funzione è la seguente:
y ′ (t) =
(v. 0.9)
dy
dt
CAPITOLO 3. NOZIONI DI ANALISI MATEMATICA
51
Significato geometrico.
Riconsideriamo ora quello che accade tra i due generici istanti di tempo ti e ti+1 . Dalla figura
(3.4) si rileva che il rapporto incrementale è uguale al coefficente angolare della secante Pi Pi+1 .
Figura 3.4: Significato geometrico della derivata.
Se ∆t tende a 0 allora P2 tende a P1 ed il rapporto incrementale tende ad essere pari al
coefficiente angolare della tengente alla curva nel punto P1 .
Esempio 3.5.1. Un braccio meccanico si muove linearmente con la seguente legge oraria. Disegnare il corrispondente andamento della velocità.
Soluzione.
(v. 0.9)
52
3.5.1
3.5. DERIVATA
Derivazione di alcune funzioni fondamentali
Vediamo ora come si derivano alcune famiglie di funzioni fondamentali.
Funzioni lineari
Le funzioni lineari assumono la seguente forma:
y =m·t+q
(3.4)
I parametri m e q sono denominati rispettivamente coefficiente angolare e intercetta della
funzione y.
Esempio 3.5.2. Intendiamo determinare la derivata della funzione lineare y = 2 · t − 3.
Soluzione. Per prima cosa determiniamo l’espressione dell’incremento ∆y.
∆y = y (t + ∆t) − y (t) = 2 · (t + ∆t) − 3 − (2 · t − 3) = 2 · ∆t
A questo punto valutiamo il limite del rapporto incrementale ∆y/δt per ∆t tendente a 0.
y ′ = lim
∆t→0
∆y
2 · ∆t
= lim
= lim 2 = 2
∆t→0 ∆t
∆t→0
∆t
Dall’esempio precedente si intuisce che la derivata prima di una funzione lineare coincide con
il valore del suo coefficiente angolare m.
y′ = m
La derivata prima di una funzione lineare è una funzione costante.
Esercizio proposto 3.5.1. Disegnare l’andamento temporale della funzione lineare y = m · t + q
e della sua derivata y’ nel intervallo [-2,2] sapendo che m = 0,5 e q = -1.
Funzioni quadratiche
Le funzioni quadratiche assumono la seguente forma:
y = a · t2 + b · t + c
Esempio 3.5.3. Determiniamo la derivata della funzione quadratica y =
(3.5)
1
2
· t2 .
Soluzione. Per prima cosa determiniamo l’espressione dell’incremento ∆y.
∆y = y (t + ∆t) − y (t) =
1
1
2
· (t + ∆t) − · t2
2
2
Dopo aver sviluppato il quadrato del binomio (t + ∆t) si ottiene:
∆y = t · ∆t + ∆t2
A questo punto valutiamo il limite del rapporto incrementale ∆y/∆t per ∆t tendente a 0.
(v. 0.9)
CAPITOLO 3. NOZIONI DI ANALISI MATEMATICA
53
∆y
t · ∆t + ∆t2
= lim
= lim (t + ∆t) = t
∆t→0 ∆t
∆t→0
∆t→0
∆t
y ′ = lim
Più in generale si può dimostrare che la derivata prima y’ della funzione quadratica (3.5) è
pari a
y ′ = 2at + b
(3.6)
In pratica, la derivata prima di una funzione quadratica è una funzione lineare.
Esercizio proposto 3.5.2. Dimostrare la relazione (3.6).
Suggerimento.
Applicare la definizione di derivata come si è visto nell’esempio 3.5.2.
Esercizio proposto 3.5.3. Disegnare l’andamento temporale della funzione quadratica y e della
sua derivata y’ nell’intervallo [-2,2] sapendo che a=1, b=1 e c=0.
Suggerimento.
Disegnare la funzione quadratica per punti scegliendo per t i valori -2, -1, 0, 1, 2.
3.5.2
Derivata seconda
Si è visto che la derivata della legge oraria y(t) del moto di un corpo è pari alla sua velocità
istantanea. Cosa otteniamo se effettuiamo la derivata della velocità ?
Sappiamo che la rapidità con cui varia la velocità di un corpo è una grandezza fisica denominata accelerazione. In particolare l’accelerazione media è il rapporto tra la variazione di velocità
e l’intervallo di tempo in cui avviene tale variazione. Indicando con v (t1 ) e v (t2 ) le velocità
rispettivamente negli istanti di tempo t1 e t2 e con am l’accelerazione media possiamo scrivere
am =
∆v
v (t2 ) − v (t1 )
=
t2 − t1
∆t
In modo analogo a quanto visto quando si è definita la velocità istantanea come limite della
velocità media, definiamo l’accelerazione istantanea a come limite dell’accelerazione media am
per ∆t tendente a 0. In pratica l’accelerazione istantanea rappresenta la derivata della velocità
istantanea.
a = v ′ = lim
∆t→0
∆v
∆t
Esempio 3.5.4. Consideriamo un corpo che si muove su una traiettoria rettilinea con legge oraria
y (t) = t2 . Determinare le espressioni analitiche della velocità istantanea v (t) e della accelerazione
istantanea a (t). Disegnare inoltre gli andamenti temporali di y (t), v (t) e a (t) nell’intervallo di
tempo [0, 4s].
(v. 0.9)
54
3.5. DERIVATA
Soluzione.
La y (t) è una funzione quadratica del tipo (3.5) in cui a = 1, b = 0 e c = 0. Pertanto, per
quanto riguarda la velocità, si ha che
v (t) = y ′ (t) = 2at + b = 2t
mentre per l’accelerazione si ha
a (t) = v ′ (t) = 2a = 2
Si può notare che l’accelerazione è costante. Dalla fisica sappiamo che i moti in cui l’accelerazione è costante sono denominati moti uniformemente accelerati.
Poiché la velocità istantanea è a sua volta la derivata della legge oraria, l’accelerazione istantanea è la derivata della derivata della legge oraria del moto, o in altri termini, la derivata seconda
della legge oraria.
a=
dy ′
= y ′′
dt
Un altro modo di indicare la derivata seconda della grandezza y è il seguente:
y ′′ =
d2 y
dt2
Se applichiamo ad un corpo, non soggetto ad alcun attrito, una forza di intensità F, in base al
secondo principio della dinamica esso sarà sottoposto ad una accelerazione costante pari a
a=
F
m
Questo è il moto uniformemente accelerato.
Esercizio proposto 3.5.4. Un corpo si muove con una legge oraria di tipo quadratico pari a
y (t) =
3 2
·t
2
Disegnare l’andamento temporale di y(t), v(t) e a(t) nell’intervallo di tempo [0,3s].
(v. 0.9)
CAPITOLO 3. NOZIONI DI ANALISI MATEMATICA
3.6
55
Integrale
Quando è stato introdotto il concetto di derivata si è ricavato l’andamento della velocità di un
corpo dalla sua legge oraria. Ora, per introdurre il concetto di integrale si seguirà un percorso
inverso; dall’andamento temporale della velocità di un corpo si cercherà di determinare la legge
oraria del suo moto.
Si prenda in considerazione un oggetto fermo che si mette improvvisamente in moto con velocità
costante V = 2 m/s lungo un percorso rettilineo. Si vuole risalire alla legge oraria del corpo y(t).
E’ evidente che dopo 1 secondo sono stati percorsi 2 metri, dopo 2 secondi sono stati percorsi
4 metri, e cosı̀ via ... ; si intuisce che l’andamento di y(t) è una semiretta che parte da y(0), il
valore della posizione iniziale che per semplicità questa volta ipotizzeremo pari a 0 metri.
Figura 3.5: Determinazione della legge oraria dalla velocità.
Poiché in questo caso la velocità è costante, si ha
V =
∆y
∆t
∀ ∆t
da cui si ottiene
∆y = V · ∆t
Tale espressione afferma che l’incremento ∆y è pari all’area sottesa dalla funzione v (t) = V
nell’intervallo di tempo ∆t.
y (t1 ) = y (t0 ) + V · (t1 − t0 )
Se si considera t0 = 0 e t1 = t∗ l’espressione precedente diventa
y (t∗ ) = y (0) + V · t∗ = y (0) + S
dove con S si intende l’area sottesa dalla funzione v (t) = V tra 0 e t∗ .
A ben vedere si può notare che non vi è una sola legge oraria che ha una velocità con l’andamento riportato in figura 3.5, ma ve ne sono infinite, tanti quanti sono i valori che può assumere
y(0).
(v. 0.9)
56
3.6. INTEGRALE
Figura 3.6: Caso generale.
Quanto si è visto nell’esempio precedente può essere generalizzato per qualsiasi andamento della
velocità. In particolare, si afferma che
y (t∗ ) = y (0) + S
(3.7)
Una giustificazione della validità della relazione (3.7) si ottiene suddividendo in n intervalli
uguali l’intervallo di tempo [0, t∗ ] e considerando la velocità v ′ ottenuta considerando i valori
assunti da v negli istanti di tempo t1 , t2 , . . . , tn .
Figura 3.7: La velocità v’.
Alla velocità v’ corrisponde una legge oraria y’(t). All’istante di tempo t1 , in base a quanto
visto nell’esempio precedente,
y ′ (t1 ) = y ′ (0) + v (t1 ) · ∆t
All’istante di tempo t2 ,
y ′ (t2 ) = y ′ (t1 ) + v (t2 ) · ∆t = y ′ (0) + v (t1 ) · ∆t + v (t2 ) · ∆t
e cosı̀ via fino all’istante di tempo tn = t∗ ,
y ′ (t∗ ) = y ′ (0) +
n
X
i=1
(v. 0.9)
v (ti ) · ∆t
CAPITOLO 3. NOZIONI DI ANALISI MATEMATICA
57
Il termine
n
X
v (ti ) · ∆t
i=1
altro non è che l’area S’ sottesa da v’.
Se aumentiamo il numero di intervalli, che equivale a ridurre il valore di ∆t, notiamo che v’
tende a confondersi con v ed S’ tende a diventare pari ad S. Questo fatto, utilizzando una notazione
matematica ormai non del tutto sconosciuta, si esprime anche nel seguente modo
S = lim
∆t→0
n
X
v (ti ) · ∆t
i=1
I matematici amano esprimere l’espressione precedente nel seguente modo
S=
Zt
∗
v (t) dt
0
Essa si legge integrale definito da 0 a t∗ della funzione v(t). Perciò riassumendo la legge oraria
y(t) associata ad una velocità di andamento qualsiasi si ottiene nel seguente modo:
y (t) = y (0) +
Zt
∗
v (t) dt
0
L’integrazione di una funzione è a tutti gli effetti una operazione inversa dell’operazione di
derivazione. Dalla derivazione della legge oraria y(t) si ottiene la velocità v(t). Dall’integrazione
della velocità v(t) si ottiene la legge oraria y(t) a meno di una costante y(0).
Esempio 3.6.1. Si determini la legge oraria y(t) del moto di un corpo che si muove su una
traiettoria rettilinea con la seguente velocità
0
per t < 0
v=
k · t per t ≥ 0
tenendo conto che y (0) = 1m e k = 0, 5m/s2 .
Soluzione.
Si tratta di calcolare l’area S di un triangolo di base pari a t∗ e altezza k · t∗ .
1
per t < 0
2
y=
k · t2 per t ≥ 0
(v. 0.9)
58
3.7. DOMANDE
Figura 3.8: Esempio 3.6.1
3.7
Domande
Conoscenze
1. Perché l’insieme ℜ dei numeri reali è denominato il continuo ?
2. Scrivere la definizione di funzione.
3. Scrivere la definizione di intervallo chiuso [a, b].
4. Scrivere la definizione di intervallo aperto (a, b).
5. Esporre la definizione di funzione limitata.
6. Scrivere la definizione di funzione continua.
7. Che legame c’é tra le due seguenti notazioni matematiche:
∆y dy
∆t , dt
Abilità
1. Quanto vale il rapporto incrementale ∆y
∆t nel caso della funzione y (t) = 2 · t − 1 per t=2 e
∆t = 2 e cosa esso rappresenta da un punto di vista fisico qualora y sia la legge oraria del
moto rettilineo di un corpo ?
2. Dimostrare che la derivata prima della funzione lineare y (t) = m · t + q è pari a m.
(v. 0.9)
CAPITOLO 3. NOZIONI DI ANALISI MATEMATICA
3.8
59
Esercizi
3.8.1
Funzioni continue e discontinue
1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni:
(a) y =
t2 −4
t+2
(b) y =
1
t2 +1
2. Data la funzione discontinua riportata in figura 3.9, determinare:
(a) i limiti destro e sinistro della funzione per t = 1;
(b) i limiti destro e sinistro della funzione per t = 2;
Figura 3.9: Esercizio 2
3. Disegnare la seguente funzione, indicare se essa è continua o discontinua e giustificare la
risposta.
t
per t < 2
y=
t + 1 per t ≥ 2
4. Tracciare l’andamento temporale della seguente tensione periodica, sapendo che l’ampiezza
vale 311 V, la pulsazione è pari a 314,2 rad/s e la fase è pari a 1,047 rad.
v (t) = VM · sen (ω · t + ϕ)
3.8.2
Derivata prima e derivata seconda
5. Disegnare l’andamento temporale della funzione lineare y = m · t + q e della sua derivata y’
nel intervallo [-3,3] sapendo che m = -1 e q = 2.
6. Date le seguenti funzioni, calcola il loro valore e quello della derivata prima per i seguenti
valori di t: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Aiutandoti con i valori calcolati, disegna l’andamento delle
funzioni e delle derivate prime nell’intervallo [-3,3].
(a) y (t) = 2 · t − 1
(b) y (t) = 2 · t2 − t
(c) y (t) = 3
(d)
(v. 0.9)
60
3.8. ESERCIZI
3.8.3
Integrale
7. Una moto effettua una partenza lanciata lungo un percorso rettilineo da una posizione iniziale
y (0) = 1, 5 m e seguendo la seguente legge della velocità:
v (t) = 2 · t + 1
Disegnare per punti l’andamento temporale nell’intervallo di tempo [0,4s] di y (t), y (t) ed
y (t). Determinare l’espressione analitica della legge oraria del moto y (t) e dell’accelerazione
istantanea a (t).
3.8.4
Grafici di funzioni con i fogli di calcolo
I fogli di calcolo si prestano bene a tracciare grafici di funzioni. Si propongono qui di seguito
alcuni spunti di lavoro come rinforzo a quanto appreso nelle pagine precedenti.
1. Tracciare il grafico della funzione seno, espressa nella seguente forma trigonometrica
y (t) = YM · sen (ωt + ϕ)
Associare a YM , T e ϕ il contenuto di singole celle e calcolare gli altri valori da essi.
utilizzare un congruo numero di valori di t all’interno di un periodo.
2. Tracciare il grafico della funzione seno e della sua derivata stimata mediante il calcolo dei
rapporti incrementali associati a ciascun incremento temporale utilizzato per tracciare la
funzione.
(v. 0.9)
Capitolo 4
SISTEMI DINAMICI
DETERMINISTICI
4.1
I sistemi deterministici
La classe di sistemi che più di ogni altre è oggetto del nostro studio sono i sistemi dinamici
deterministici continui e lineari. Essi sono una classe molto importante nell’ambito dei sistemi
di controllo perché essi rappresentano buona parte dei fenomeni fisici sottoposti ad attività di
controllo. Ad esempio il controllo della temperatura di un edificio, un acquedotto o un motore
elettrico sono esempi di sistemi di questo tipo.
I componenti presenti in un sistema di controllo sono molto spesso di diverso tipo. Infatti,
è normale rilevare nello stesso sistema la presenza di componenti elettrici, meccanici, termici,
idraulici e pneumatici.
Se intendiamo analizzare il sistema di controllo utilizzando il modello ingresso-uscita è necessario esaminare dapprima il comportamento di ciascuno dei componenti e poi ricavare il comportamento complessivo del sistema.
E’ già stato sottolineato che questa procedura consente di semplificare la ricerca del modello
matematico, ovvero della relazione ingresso-uscita complessiva, qualora si conosca la relazione
ingresso-uscita per ciascuno dei componenti.
Un ulteriore aiuto viene dal fatto che il comportamento di componenti di tipo diverso possa
essere ricondotto alla presenza o meno di quattro proprietà fondamentali:
• la proprietà resistiva;
• la proprietà capacitiva;
• la proprietà inerziale;
Nel caso più semplice un componente può presentare un sola delle proprietà precedenti, ad
esempio quella resistiva, nel caso più complesso il componente può presentare contemporaneamente
tutte e tre le proprietà.
La possibilità di individuare le stesse quattro proprietà elementari in sistemi di tipo anche
completamente diverso apre la strada al metodo delle analogie ovvero alla possibilità di utilizzare
modelli dello stesso tipo per componenti di tipo diverso.
La formulazione delle quattro proprietà è indipendente dal tipo di sistema ma richiede un
approfondimento sulle proprietà delle variabili fisiche. Le variabili di un componente sono degli
attributi misurabili, come ad esempio l’altezza del livello dell’acqua in un serbatoio o la temperatura di un locale, che descrivono quantitativamente le trasformazioni che avvengono nel componente
in termini di scambio e/o l’accumulo di energia, materia ed informazione.
61
62
4.1. I SISTEMI DETERMINISTICI
Pertanto le variabili sono degli indicatori dello scambio e dell’accumulo di energia, materia ed
informazione.
Da questo punto di vista si possono distinguere due tipi di variabili: le variabili che sono
indicatori dei fenomeni che causano lo scambio e l’accumulo e le variabili che sono una misura
dell’avvenuto scambio o accumulo. Per cui alcune variabili sono indicatori della causa di un
fenomeno ed altre sono indicatori dell’effetto prodotto dal fenomeno.
Potenziale. Si indica con potenziale le variabili sono la causa dello scambio e/o accumulo di
energia, materia o informazione.
Quantità. Si indica con quantità le variabili che sono l’effetto dello scambio e/o accumulo di
energia, materia o informazione.
Vediamo alcuni esempi.
Sistema meccanico traslatorio La forza applicata ad un corpo provoca lo spostamento lineare
del corpo. La forza rappresenta la causa o potenziale e lo spazio percorso è l’effetto o quantità.
Sistema meccanico rotatorio La coppia applicata ad un corpo provoca lo spostamento angolare del corpo. La coppia rappresenta la causa o potenziale e l’angolo percorso è l’effetto o
quantità.
Sistema termico La differenza di temperatura fra le due superfici di una parete determina uno
scambio di energia termica. In questo caso la differenza di temperatura è la causa dello scambio
di energia termica. Pertanto la temperatura è il potenziale e il calore è la quantità.
Sistema idraulico Il volume d’acqua che attraversa un tubo dipende dalla differenza di pressione presente ai capi del tubo. La variabile pressione è il potenziale ed è la causa dello spostamento
del volume d’acqua che è la quantità.
Sistema elettrico La tensione elettrica presente ai capi di una lampada determina il passaggio
di cariche elettriche. In questo caso la tensione elettrica è il potenziale mentre lo spostamento di
cariche elettriche è la quantità.
4.1.1
Proprietà capacitiva
La capacità è la proprietà di un componente sottoposto ad una variazione del potenziale di
accumulare la quantità.
Un modo per verificare se un componente presenta effetto capacitivo è quello di fornirgli una
variazione del potenziale e verificare se si determina di conseguenza una variazione della quantità
presente in esso. Il valore della capacità, che viene indicato con il simbolo C, è pari al rapporto
tra la quantità ottenuta e il potenziale che la ha prodotta.
C=
q
p
L’unità di misura della capacità dipende dalle variabili potenziale e quantità effettivamente in
gioco, e quindi dal tipo di sistema, meccanico, elettrico, ecc.
(v. 0.9)
CAPITOLO 4. SISTEMI DINAMICI DETERMINISTICI
4.1.2
63
Proprietà resistiva
La resistenza è la proprietà di un componente di opporsi allo spostamento della quantità nel
tempo. Lo spostamento di una quantità nel tempo implica il moto della quantità stessa. Il moto
della quantità si esprime in termini matematici come derivata della quantità. Pertanto possiamo
definire la resistenza nel seguente modo:
La resistenza è la proprietà di un componente di opporsi al moto della quantità.
Un modo per verificare se un componente presenta una caratteristica resistiva e quello di
sottoporlo ad un moto della quantità e verificare la presenza ai capi del componente di un differenza
di potenziale, segno dell’opposizione presentata dal componente al moto. Il valore della resistenza
si indica solitamente con il simbolo R, è pari al rapporto tra il potenziale e la velocità di variazione
della quantità.
p
R = dq
dt
L’unità di misura della resistenza dipende dalle variabili potenziale e quantità effettivamente
in gioco.
4.1.3
Proprietà inerziale
Ricordando la definizione di moto della quantità, possiamo dare la seguente definizione di inerzia.
L’inerzia è la proprietà di un componente di opporsi alla variazione nel tempo del moto della
quantità. Un modo per verificare se un componente presenta inerzia è di fornirgli una variazione
del moto della quantità nel tempo e di verificare se ciò determina la presenza di un potenziale nel
componente. Il valore dell’inerzia si indica in vari modi a seconda del tipo di componente. Se il
componente è meccanico traslatorio si indica con m, se è meccanico rotatorio si indica con J, se è
elettrico si indica con L. Noi per ora la indichiamo molto genericamente con I. L’inerzia è pari al
rapporto tra il potenziale e la velocità di variazione del moto della quantità.
p
I = d2 q
dt2
Anche in questo caso l’unità di misura dell’inerzia dipende dalle variabili potenziale e quantità
effettivamente in gioco.
4.1.4
Le analogie
Nei paragrafi seguenti si prenderanno in considerazione i modelli matematici dei componenti fisici
elementari ordinati per tipologia e per funzione. Sarà cosı̀ evidente l’esistenza di analogie tra
componenti di tipologia diversa ma che hanno comportamenti simili.
L’analogia si estenderà anche agli aspetti strutturali dei sistemi compositi, come i concetti di
nodo e maglia e alle leggi che regolano tali sistemi. Per esempio nelle reti elettriche è valido il
primo principio di Khirchhoff che afferma che la somma algebrica delle correnti entranti in un
nodo è nulla. Nei sistemi meccanici ad esso corrisponde il principio di D’Alambert che la somma
delle forze applicate ad un corpo in equilibrio dinamico è nulla.
L’utilità delle analogie è duplice: astratta e sperimentale. Astratta perché le analogie permettono di individuare una struttura matematica potente in grado di rappresentare sistemi concreti
intrisecamente diversi venendo incontro in questo modo all’esigenza di unificazione sempre presente sotto traccia nell’ambito della ricerca scientifica. Sperimentale perché può essere possibile
costruire modelli fisici analogici, generalmente circuiti elettrici, di sistemi fisici diversi.
4.2
4.2.1
Componenti meccanici elementari
Capacità meccanica
(v. 0.9)
64
4.3. COMPONENTI ELETTRICI ELEMENTARI
Esercizio proposto 4.2.1. Una molla, sottoposta ad una forza di 95N, subisce una dilatazione
elastica pari a 25 cm. Determinare i valori della capacità meccanica e della costante della molla.
4.2.2
Resistenza meccanica
Esercizio proposto 4.2.2. Determinare il valore della resistenza meccanica introdotta in un
sistema meccanico da uno smorzatore che, in base a rilevamenti sperimentali, presenta una coppia
di valori forza-velocità pari a 100N - 200m/s. Il regime del moto del fluido nello smorzatore è
laminare.
4.2.3
Inerzia meccanica
Esercizio proposto 4.2.3. Un automobile ha una massa pari a 1600 kg. Determinare la forza
necessaria per portarla alla velocità di 100 km/ora in 5 s.
4.3
4.3.1
Componenti elettrici elementari
Capacità elettrica
Esercizio proposto 4.3.1. Determinare il valore della capacità di un componente elettrico che
sottoposto ad una corrente costante I = 2 mA in un intervallo di tempo pari a 10 ms subisce un
incremento di tensione pari a 30 V.
Esercizio proposto 4.3.2. Un condensatore da 1 mF è sottoposto ad una corrente costante pari
a 10 mA per un intervallo di tempo pari a 10s. Determinare l’andamento temporale della carica
e della tensione ai capi del condensatore nell’ipotesi che il condensatore sia inizialmente scarico.
4.3.2
Resistenza elettrica
Esercizio proposto 4.3.3. determinare il valore della resistenza offerta al passaggio delle cariche
elettriche in un componente il quale sottoposto ad una differenza di potenziale ∆V = 12V , è
attraversato da 0,36 mC in 0,1 s.
(v. 0.9)
CAPITOLO 4. SISTEMI DINAMICI DETERMINISTICI
4.3.3
65
Inerzia elettrica
Esercizio proposto 4.3.4. Un impulso di tensione di ampiezza pari a ∆V = 3, 8V e durata
∆t = 12ms, applicato ai capi di una bobina determina una una variazione della corrente che vi
circola da 0 a 45 mA. Determinare il valore dell’induttanza del dispositivo.
4.4
Determinazione delle relazioni ingresso-uscita
4.4.1
Sospensione meccanica - sistema meccanico
4.4.2
Circuito RCL - sistema elettrico
Figura 4.1: Rete LRC.
(v. 0.9)
66
4.5. CARICA E SCARICA DI UN CONDENSATORE
4.5
Carica e scarica di un condensatore
Le relazioni ingresso-uscita rischiano di essere un puro esercizio matematico se non cerchiamo
di addentrarci nell’aspetto fisico del problema. Per questo motivo cercheremo di comprendere
l’andamento di un sistema leggermente più semplice di quelli appena visti, ma fondamentale per
comprendere anch’essi.
Prenderemo in considerazione un circuito elettrico formato da un generatore di tensione continua E , da un resistore R e da un condensatore C (figura 4.2). Il generatore è collegato al resistore
mediante un deviatore.
Figura 4.2: Circuito di carica e scarica di un condensatore.
Fase di carica.
Il deviatore si trova inizialmente nella posizione 2; in questo modo siamo sicuri che il condensatore sia completamente scarico prima di iniziare il processo di carica. All’istante iniziale t0+ ,
cioè appena dopo aver commutato il deviatore nella posizione 2, la tensione vC (t0+ ) ai capi del
condensatore è nulla, perché il condensatore è scarico.
1
1
· q (t0+ ) =
·0=0
(4.1)
C
C
Se la tensione ai capi del condensatore è nulla allora il resistore R viene interessato da una
corrente i pari a
vC (t0+ ) =
E
i 0+ =
(4.2)
R
Mediante la corrente i il generatore sottrae elettroni all’armatura connessa al morsetto positivo
per poi spingerli verso l’armatura connessa al polo negativo. Questa fase transitoria termina
quando ai capi delle armature, grazie all’accumulo di cariche di segno opposto su entrambe le
armature1 , si viene a creare una differenza di potenziale man mano crescente tale da contrastare
la f.e.m. E del generatore e quindi anche la corrente di carica che diventa sempre più piccola.
Siamo allora entrati nella fase a regime (t = ∞) e la tensione ai capi del condensatore è pari a E.
vC (∞) = E
(4.3)
mentre la corrente i dovrà necessariamente essere nulla.
i (∞) = 0
(4.4)
Durante la fase transitoria assistiamo contemporaneamente ad una tensione che cresce da un
valore nullo ad un valore di regime ed una corrente che da un valore massimo scende a 0. Siamo
quindi in presenza di una corrente e di una tensione variabili: siamo allora usciti dal campo
dell’elettrostatica ed entrati nel campo dell’elettrodinamica.
1 Nell’armatura collegata al morsetto positivo vi sarà una carenza di elettroni quindi una presenza di ioni positivi,
mentre nell’armatura connessa al morsetto di negativo vi sarà una prevalenza uguale ed opposta di elettroni.
(v. 0.9)
CAPITOLO 4. SISTEMI DINAMICI DETERMINISTICI
67
Se analizziamo il problema della carica del condensatore da un punto di vista sistemistico siamo
in presenza di un circuito RC a cui viene applicata in ingresso una tensione variabile vI (t) con
andamento a gradino e da cui si ottiene in uscita una tensione vO (t) che coincide con la tensione
vC (t) ai capi del condensatore. Ci poniamo allora il problema di determinare l’espressione analitica
dell’andamento della tensione vO (t) come funzione del tempo. Questo problema si suddivide in
due fasi:
• determinazione della relazione ingresso-uscita;
• soluzione della relazione ingresso-uscita.
Cominciamo con il determinare la relazione ingresso-uscita che contraddistingue il nostro
sistema. Applichiamo il secondo principio di Kirchhoff al nostro circuito durante la fase di carica.
Esempio 4.5.1. Si prenda in considerazione il circuito di figura 4.2, con E = 10 V, R = 100 kΩ
e C = 50 µF . All’istante t = 0 s il deviatore passa dalla posizione 1 alla posizione 2
1. Determinare la tensione vO ai capi del condensatore e la corrente i che lo attraversa nell’istante di tempo t = 0,5 τ .
2. Determinare dopo quanto tempo la tensione vO ha raggiunto il 10 % del valore finale.
3. Dopo 10 secondi il deviatore passa dalla posizione 2 alla posizione 1. Scrivere l’espressione
analitica dell’andamento della tensione negli istanti di tempo successivi.
Soluzione.
Fase di scarica.
Fase di carica con condensatore inizialmente carico
Esempio 4.5.2. Il circuito della figura seguente presenta gli stessi valori di resistenza e capacità
del precedente. La fem E1 vale 2V mentre la fem E2 vale 10 V Prima dell’istante t = 0 il deviatore
si trova nella posizione 1 e poi per t = 0 si trova nella posizione 2. a.Determinare l’espressione
analitica della tensione vO e della corrente i che lo attraversa nell’istante di tempo t = 0,5 t.
b.Determinare la tensione vO ai capi del condensatore e la corrente i che lo attraversa negli istanti
di tempo t = 0, t = 0,5·t e t = t.
Soluzione.
(v. 0.9)
68
4.6. DETERMINAZIONE DELLA RISPOSTA MEDIANTE METODI NUMERICI
4.6
Determinazione della risposta mediante metodi numerici
Lo studio di un sistema dinamico conduce allo studio di una equazione differenziale. Esistono molti
tipi di equazioni differenziali ed ogni tipo ha il suo metodo di soluzione. Abbiamo visto che le
equazioni differenziali che descrivono i semplici sistemi con cui noi operiamo sono lineari, ovvero a
coefficienti costanti, del primo e del secondo ordine. Esistono dei metodi analitici di soluzione che
non sono però alla portata di chi non abbia una discreta conoscenza dei fondamenti dell’analisi
matematica. Esistono però dei metodi di numerici, facilmente implementabili con un foglio di
calcolo in un computer, che producono delle soluzioni approssimate ma comunque sufficenti a dare
un’idea dell’andamento della risposta.
Il metodo numerico più semplice per la soluzione delle equazioni differenziali del primo ordine
è il metodo di Eulero. Introduciamo il metodo di Eulero applicandolo subito ad un caso pratico.
Prendiamo in considerazione la rete RC riportata in figura 4.2 a cui viene applicata in ingresso
la seguente tensione a gradino:
0 per t < 0
vi (t) =
E per t ≥ 0
Sappiamo già che il comportamento dinamico del sistema è descritto dall’andamento di vO ,
soluzione della seguente equazione differenziale:
dvO
(4.5)
+ vO = vI
dt
Per poter applicare il metodo di Eulero cominciamo con dividere l’intervallo temporale in cui
intendiamo calcolare vO (t) in n parti uguali di ampiezza pari a ∆t.
τ·
Gli istanti di tempo t0 , t1 , t2 , . . ., ti , ti+1 ,. . ., tn−1 , tn sono tra di essi tutti equidistanziati e
noi andremo a stimare il valore assunto dalla tensione vO proprio in tali istanti.
Il metodo di Eulero si basa sul fatto che se ∆t è abbastanza piccolo la derivata prima di vO è
quasi uguale al rapporto incrementale,
d vO (ti ) ∼ vO (ti+1 ) − vO (ti )
=
dt
ti+1 − ti
(4.6)
ovvero la derivata prima di vO , calcolata nell’istante di tempo ti , è quasi uguale al rapporto
incrementale calcolato tra ti e ti+1 .
Se sostituiamo nell’equazione differenziale (4.5) la derivata prima con il corrispondente rapporto
incrementale, trascurando l’errore commesso, otteniamo la seguente equazione alle differenze.
τ·
vO (ti+1 ) − vO (ti )
+ vO (ti ) = vI (ti )
∆t
Dalla precedente equazione si ottiene la seguente espressione di vO (ti+1 )
vO (ti+1 ) = vO (ti ) +
(v. 0.9)
∆t
· (vI (ti ) − vO (ti ))
τ
(4.7)
CAPITOLO 4. SISTEMI DINAMICI DETERMINISTICI
69
L’espressione precedente dimostra che la tensione vO aumenta nell’intervallo di tempo [ti , ti+1 ]
della quantità
∆vO =
∆t
· (vI (ti ) − vO (ti ))
τ
Mediante l’applicazione iterata della (4.7), se si conoscono i valori della tensione di ingresso vI
nei vari istanti di tempo t0 , t1 , . . ., tn−1 , tn , e le condizioni iniziali, ovvero il valore della tensione
vO nell’istante di tempo iniziale t0 , si può calcolare la vO nei successivi istanti di tempo t1 , t2 , . . .,
tn−1 , tn .
La vO (t1 ) si ottiene da vO (t0 ) e vI (t0 ). vO (t2 ) a sua volta si ottiene da vO (t1 ) e da vI (t1 ), e
cosı̀ via.
(v. 0.9)
70
4.7. DOMANDE
4.7
Domande
Conoscenze
1. Quali sono le caratteristiche dei sistemi più diffusamente sottoposti a controllo ?
2. In che cosa consiste l’analisi di un sistema e come essa può essere effettuata ?
3. Esprimi la definizione di proprietà capacitiva.
4. Esprimi la definizione di proprietà resistiva.
5. Esprimi la definizione di proprietà inerziale.
6. Scrivi le relazioni funzionali alla base delle proprietà capacitiva, proprietà resistiva e proprietà
inerziale.
7. Cosa si intende per analogia ?
8. Scrivere la relazione tensione-corrente nel caso di un condensatore.
9. Scrivere la relazione forza-velocità nel caso di un elemento meccanico capacitivo.
10. Scrivere la relazione tensione-corrente nel caso di un resistore e la analoga relazione nel caso
di uno smorzatore.
11. Se la corrente che attraversa un condensatore è costante come varia la tensione ai suoi capi?
12. Se la corrente che attraversa un induttore è costante quanto vale la tensione ai suoi capi?
13. Scrivere la relazione tensione-corrente nel caso di un induttore.
14. Che differenza passa tra l’incognita di una equazione algebrica e l’incognita di una equazione
differenziale ?
15. Perché quando si tenta di aprire in modo brusco un circuito in cui sono presenti elementi
induttivi può formarsi un arco elettrico tra i due contatti dell’interruttore ?
16. Perché la sospensione meccanica ed il circuito RCL sono classificati come sistemi del secondo
ordine ?
17. Per determinare la relazione ingresso-uscita del sistema sospensione meccanica da quale
famoso principio della fisica si è partiti ?
18. Per determinare la relazione ingresso-uscita del sistema circuito RCL da quale famoso principio della fisica si è partiti ?
19. Perché un sistema elettrico che contiene condensatori e induttori è di tipo dinamico, mentre
se contiene solo resistori è di tipo statico ?
Abilità
1. Prova a determinare la relazione ingresso-uscita di un circuito RC partendo dalle relazioni
tensione-corrente di ciascun componente ed applicando le leggi fondamentali dei circuiti
elettrici.
2. Perché la tensione misurata ai capi di un condensatore durante la fase di carica mediante un
resistore può essere influenzata dal tipo di strumento utilizzato per effettuare la misura ?
3. Ai capi di una bobina di induttanza L = 100 mH si rileva una picco di tensione di 10V. Cosa
è successo alla bobina ?
(v. 0.9)
CAPITOLO 4. SISTEMI DINAMICI DETERMINISTICI
4.8
71
Esercizi
1. Un condensatore da 100µF , dotato di una carica iniziale di 100µC, è sottoposto ad una
corrente costante pari a 2 mA per un intervallo di tempo pari a 5s. Determinare l’andamento
temporale della carica e della tensione ai capi del condensatore.
2. La bobina riportata in figura 4.3, di induttanza L1 = 0, 25H, è sottoposta alla corrente i1 che
presenta l’andamento temporale riportato a lato. Determinare l’andamento della tensione
e1 ai suoi capi.
Figura 4.3: Esercizio 4.3.
3. Dato il sistema LR riportato in figura 4.4 determinare la relazione ingresso-uscita nel dominio
del tempo.
Figura 4.4: Esercizio 3.
4. Determinare la relazione ingresso-uscita del sistema elettrico riportato in figura 4.5.
Figura 4.5: Esercizio 4
5. Determinare la relazione ingresso-uscita del sistema elettrico riportato in figura 4.6.
6. Sia dato un condensatore di capacità C = 1µF inizialmente carico alla tensione V0 = 4V .
Esso viene collegato all’istante di tempo t0 = 0s ad un generatore reale di f.e.m. E = 12V e
resistenza interna R = 1kΩ.
(a) Determinare la tensione vC ai suoi capi negli istanti di tempo t1 = 0, 5 · τ , t2 = τ ,
t3 = 1, 5 · τ , t4 = 2 · τ e t5 = 2, 5 · τ .
(v. 0.9)
72
4.8. ESERCIZI
Figura 4.6: Domanda 5
(b) Tracciare su un diagrammma cartesiano l’andamento temporale della tensione interpolando i punti determinati al punto precedente.
7. Si prenda in considerazione il circuito di figura , con E = 10 V, R = 100 kΩ e C = 50 µF .
All’istante t = 0 s il deviatore passa dalla posizione 2 alla posizione 1.
(a) Determinare la tensione vO ai capi del condensatore e la corrente i che lo attraversa
negli istanti di tempo t = 0 s, t = 0, 5 · τ e t = τ .
(b) Tracciare l’andamento della tensione e della corrente.
(c) Determinare negli stessi istanti di tempo i valori della carica e dell’energia elettrostatica
accumulata dal condensatore.
(d) Determinare dopo quanto tempo la tensione vO ha raggiunto il 10% del valore finale.
(e) Dopo 10 secondi dall’istante iniziale il deviatore ritorna alla posizione 2. Scrivere
l’espressione analitica dell’andamento della tensione negli istanti di tempo successivi.
Figura 4.7: Esercizio 7
8. Il circuito di figura 4.8 presenta i valori di resistenza e capacità R = 470 kΩ e C = 2200 µF .
La f.e.m. E1 è pari a 2V mentre la f.e.m. E2 è pari a 10V. All’istante t = 0 il deviatore
passa dalla posizione 1 alla posizione 2. Determinare:
(a) l’espressione analitica della tensione vO e della corrente i del condensatore
(b) la tensione vO ai capi del condensatore e la corrente i che lo attraversa negli istanti di
tempo t = 0, t = 0, 5 · τ e t = τ .
(c) il grafico della tensione e della corrente.
9. All’istante t = 0 s si chiude l’interruttore della rete elettrica riportata in figura. Determinare:
(a) la costante di tempo di carica τ di carica del condensatore;
(b)
(v. 0.9)
CAPITOLO 4. SISTEMI DINAMICI DETERMINISTICI
73
Figura 4.8: Esercizio 8.
(v. 0.9)
74
(v. 0.9)
4.8. ESERCIZI
Bibliografia
[1] A.De Santis, M.Cacciaglia, C.Saggese Sistemi 1, Fondamenti di informatica e di teoria dei
sistemi, Vol.1, Calderini Bologna (2005)
[2] G. Licata, SISTEMI 1, Paravia Bruno Mondadori Editori, Torino (2007)
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