UNIVERSITA` DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA
FISICA GENERALE I - Sede di Spezia - Prova A di Meccanica del 15/02/2016
Lo studente mostri i passaggi principali con alcune parole di spiegazione leggibile e fornisca
i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI), senza passaggi spiegati
e risultati l’elaborato non verrà corretto. Risultati finali siano espressi con due cifre
significative.
ME 1 – Un blocchetto di massa
= 5.0
è appoggiato
sopra una lastra di massa = 10
e tra lastra e blocchetto
vi è attrito con coefficiente statico
= 0.90 e coefficiente
dinamico
= 0.15. La lastra si sta muovendo lungo un
piano inclinato (angolo di inclinazione = 10°) liscio con
velocità costante come mostrato in figura grazie ad una
forza parallela al piano inclinato applicata al blocchetto. Calcolare:
1. La forza !"# massima che si può applicare per mantenere costante la velocità della lastra
con il blocchetto in quiete sulla lastra
2. L’accelerazione $ della lastra nel caso = 2 !"#
Nota: per la risoluzione si mostrino chiaramente i diagrammi delle forze per il blocchetto e per la
lastra
ME 2 – Una corda ideale, alle cui estremità sono attaccati due
masse m1 =4.0 kg e m2 = 2.0 kg, passa nelle gole di due carrucole
cilindriche di massa M1=3.0 kg e M2=6.0 kg come in figura. I raggi
delle carrucole sono &' = 20 ( e &) = 30 ( . Partendo con le
masse ferme, queste vengono lasciate libere di muoversi, se la
corda è sempre tesa e in contatto con le carrucole (non striscia),
trascurando ogni attrito, calcolare:
1. L’accelerazione della massa m2.
2. La tensione +, della parte di corda orizzontale compresa tra le 2 carrucole
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA
FISICA GENERALE I - Sede di Spezia - Prova B di Meccanica del 15/02/2016
Lo studente mostri i passaggi principali con alcune parole di spiegazione leggibile e fornisca
i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI), senza passaggi spiegati
e risultati l’elaborato non verrà corretto. Risultati finali siano espressi con due cifre
significative.
ME 1 – Un blocchetto di massa = 6.0
è appoggiato
sopra una lastra di massa
= 8.0
e tra lastra e
blocchetto vi è attrito con coefficiente statico
= 0.90 e
coefficiente dinamico
= 0.18. La lastra si sta muovendo
lungo un piano inclinato (angolo di inclinazione / = 20°)
liscio con velocità costante come mostrato in figura grazie ad una forza
inclinato applicata al blocchetto. Calcolare:
parallela al piano
1. La forza !"# massima che si può applicare per mantenere costante la velocità della lastra
con il blocchetto in quiete sulla lastra
2. L’accelerazione $ della lastra nel caso = 2 !"#
Nota: per la risoluzione si mostrino chiaramente i diagrammi delle forze per il blocchetto e per la
lastra
ME 2 – Una corda ideale, alle cui estremità sono attaccati due
masse m1 =3.0 kg e m2 = 2.0 kg, passa nelle gole di due carrucole
cilindriche di massa M1=3.0 kg e M2=6.0 kg come in figura. I raggi
delle carrucole sono &' = 20 ( e &) = 30 ( . Partendo con le
masse ferme, queste vengono lasciate libere di muoversi, se la
corda è sempre tesa e in contatto con le carrucole (non striscia),
trascurando ogni attrito, calcolare:
1. L’accelerazione della massa m1.
2. La tensione +, della parte di corda orizzontale compresa tra le 2 carrucole
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FISICA GENERALE I - Sede di Spezia - Prova C di Meccanica del 15/02/2016
Lo studente mostri i passaggi principali con alcune parole di spiegazione leggibile e fornisca
i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI), senza passaggi spiegati
e risultati l’elaborato non verrà corretto. Risultati finali siano espressi con due cifre
significative.
ME 1 – Un blocchetto di massa
= 5.0
è appoggiato
sopra una lastra di massa
= 8.0
e tra lastra e
blocchetto vi è attrito con coefficiente statico
= 0.90 e
coefficiente dinamico
= 0.20. La lastra si sta muovendo
lungo un piano inclinato (angolo di inclinazione = 15°)
liscio con velocità costante come mostrato in figura grazie
ad una forza parallela al piano inclinato applicata al blocchetto. Calcolare:
1. La forza !"# massima che si può applicare per mantenere costante la velocità della lastra
con il blocchetto in quiete sulla lastra
2. L’accelerazione $ della lastra nel caso = 2 !"#
Nota: per la risoluzione si mostrino chiaramente i diagrammi delle forze per il blocchetto e per la
lastra
ME 2 – Una corda ideale, alle cui estremità sono attaccati due
masse m1 =4.0 kg e m2 = 2.0 kg, passa nelle gole di due carrucole
cilindriche di massa M1=4.0 kg e M2=6.0 kg come in figura. I raggi
delle carrucole sono &' = 20 ( e &) = 30 ( . Partendo con le
masse ferme, queste vengono lasciate libere di muoversi, se la
corda è sempre tesa e in contatto con le carrucole (non striscia),
trascurando ogni attrito, calcolare:
1. L’accelerazione della massa m2.
2. La tensione +, della parte di corda orizzontale compresa tra le 2 carrucole
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FISICA GENERALE I - Sede di Spezia - Prova D di Meccanica del 15/02/2016
Lo studente mostri i passaggi principali con alcune parole di spiegazione leggibile e fornisca
i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI), senza passaggi spiegati
e risultati l’elaborato non verrà corretto. Risultati finali siano espressi con due cifre
significative.
ME 1 – Un blocchetto di massa
= 6.0
è appoggiato
sopra una lastra di massa = 10
e tra lastra e blocchetto
vi è attrito con coefficiente statico
= 0.90 e coefficiente
dinamico
= 0.22. La lastra si sta muovendo lungo un
piano inclinato (angolo di inclinazione / = 20°) liscio con
velocità costante come mostrato in figura grazie ad una
forza parallela al piano inclinato applicata al blocchetto. Calcolare:
1. La forza !"# massima che si può applicare per mantenere costante la velocità della lastra
con il blocchetto in quiete sulla lastra
2. L’accelerazione $ della lastra nel caso = 2 !"#
Nota: per la risoluzione si mostrino chiaramente i diagrammi delle forze per il blocchetto e per la
lastra
ME 2 – Una corda ideale, alle cui estremità sono attaccati due
masse m1 =3.0 kg e m2 = 2.0 kg, passa nelle gole di due carrucole
cilindriche di massa M1=4.0 kg e M2=6.0 kg come in figura. I raggi
delle carrucole sono &' = 25 ( e &) = 30 ( . Partendo con le
masse ferme, queste vengono lasciate libere di muoversi, se la
corda è sempre tesa e in contatto con le carrucole (non striscia),
trascurando ogni attrito, calcolare:
1. L’accelerazione della massa m1.
2. La tensione +, della parte di corda orizzontale compresa tra le 2 carrucole
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA
FISICA GENERALE I - Sede di Spezia - Prova E di Meccanica del 15/02/2016
Lo studente mostri i passaggi principali con alcune parole di spiegazione leggibile e fornisca
i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI), senza passaggi spiegati
e risultati l’elaborato non verrà corretto. Risultati finali siano espressi con due cifre
significative.
ME 1 – Un blocchetto di massa
= 7.0
è appoggiato
sopra una lastra di massa
= 8.0
e tra lastra e
blocchetto vi è attrito con coefficiente statico
= 0.90 e
coefficiente dinamico
= 0.20. La lastra si sta muovendo
lungo un piano inclinato (angolo di inclinazione = 30°)
liscio con velocità costante come mostrato in figura grazie
ad una forza parallela al piano inclinato applicata al blocchetto. Calcolare:
1. La forza !"# massima che si può applicare per mantenere costante la velocità della lastra
con il blocchetto in quiete sulla lastra
2. L’accelerazione $ della lastra nel caso = 2 !"#
Nota: per la risoluzione si mostrino chiaramente i diagrammi delle forze per il blocchetto e per la
lastra
ME 2 – Una corda ideale, alle cui estremità sono attaccati due
masse m1 =4.0 kg e m2 = 2.0 kg, passa nelle gole di due carrucole
cilindriche di massa M1=3.0 kg e M2=7.0 kg come in figura. I raggi
delle carrucole sono &' = 20 ( e &) = 40 ( . Partendo con le
masse ferme, queste vengono lasciate libere di muoversi, se la
corda è sempre tesa e in contatto con le carrucole (non striscia),
trascurando ogni attrito, calcolare:
1. L’accelerazione della massa m2.
2. La tensione +, della parte di corda orizzontale compresa tra le 2 carrucole
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA
FISICA GENERALE I - Sede di Spezia - Prova F di Meccanica del 15/02/2016
Lo studente mostri i passaggi principali con alcune parole di spiegazione leggibile e fornisca
i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI), senza passaggi spiegati
e risultati l’elaborato non verrà corretto. Risultati finali siano espressi con due cifre
significative.
ME 1 – Un blocchetto di massa
= 7.0
è appoggiato
sopra una lastra di massa = 10
e tra lastra e blocchetto
vi è attrito con coefficiente statico
= 0.90 e coefficiente
dinamico
= 0.18. La lastra si sta muovendo lungo un
piano inclinato (angolo di inclinazione / = 30°) liscio con
velocità costante come mostrato in figura grazie ad una
forza parallela al piano inclinato applicata al blocchetto. Calcolare:
1. La forza !"# massima che si può applicare per mantenere costante la velocità della lastra
con il blocchetto in quiete sulla lastra
2. L’accelerazione $ della lastra nel caso = 2 !"#
Nota: per la risoluzione si mostrino chiaramente i diagrammi delle forze per il blocchetto e per la
lastra
ME 2 – Una corda ideale, alle cui estremità sono attaccati due
masse m1 =4.0 kg e m2 = 1.0 kg, passa nelle gole di due carrucole
cilindriche di massa M1=4.0 kg e M2=6.0 kg come in figura. I raggi
delle carrucole sono &' = 15 ( e &) = 30 ( . Partendo con le
masse ferme, queste vengono lasciate libere di muoversi, se la
corda è sempre tesa e in contatto con le carrucole (non striscia),
trascurando ogni attrito, calcolare:
1. L’accelerazione della massa m1.
2. La tensione +, della parte di corda orizzontale compresa tra le 2 carrucole
SOLUZIONI
ME 1
1. (per fila A, le altre file hanno soluzioni simili) Assumiamo un sistema di riferimento con asse x
lungo il piano inclinato verso l’alto, y perpendicolare al piano inclinato verso l’alto. Disegniamo
i diagrammi delle forze per il blocchetto e la lastra (nota: le forze reali sono scambiate tra 2
corpi e vale il principio di azione-reazione, blocchetto e lastra interagiscono tra loro e quindi
le forze su uno devono comparire anche sul secondo corpo: la forza normale sul blocchetto è
dovuta alla lastra, l’attrito sul blocchetto è dovuta alla lastra).
Applichiamo la II legge di Newton al blocchetto (la forza di attrito statico deve essere opposta
a ) e per il suo equilibrio:
x: !"# 2 34 2
sin = 0 ( è costante→$ = 0)
y: 54 2
cos = 0 (non c’è moto lungo y, sempre = 0)
→ 54 =
cos
Applichiamo la II legge di Newton alla lastra (ricordandoci di tutte le
interazioni della lastra anche applicando la terza legge di Newton):
sin = 0 ( è costante)
x: 34 2
y: 56 2 54 2
cos = 0 (non c’è moto lungo y)
da cui 34 =
sin
(verifichiamo che 34 =
sin = 17.0349 5 7 54 =
cos = 43.4743 5(*), valore massimo dell’attrito statico, altrimenti la lastra scivola
lungo il piano inclinato se l’attrito con il blocchetto non riesce a
tenerli uniti, condizione vera per tutte le file) e quindi !"# =
sin 8
sin = 25.5523 5 9 26 5 (risultato che si
poteva ottenere considerando il sistema blocchetto+lastra ma
che poteva portare a conclusioni errate se (*) non era verificata)
(fila B !"# = 46.973 5 9 47 5, fila C 33N, fila D 54 N, fila E 74
N, fila F 83 N).
2. Verifichiamo se con la nuova forza il blocchetto è unito alla lastra:
assumendolo essi avranno la stessa accelerazione $;
x: 2 !"# 2 34 2
sin = $;
x: 34 2
sin = $; da cui sommando le equazioni 2 !"# 2
sin 2
sin =
sin 2
sin )/< 8 ), valutiamo la forza di attrito
< 8 )$; →$; = <2 !"# 2
necessaria per accelerare la lastra 34 =
sin 8 $; = 34.0698 5 7 54 =
cos = 43.4743 5.
La condizione è verificata per A e C quindi la soluzione per la fila A è $ = $; = 1.7035 /> ) 9
1.7 /> ) , fila C $ = $; = 2.539 /> ) 9 2.5 /> ) , per le altre file la condizione non è
verificata → il blocchetto scivola sulla lastra e l’attrito è dinamico, i diagrammi delle forze sono
gli stessi di prima e applichiamo la II legge di Newton alla lastra nella nuova condizione:
x: 34 2
sin = $
y: 56 2 54 2
cos = 0
34 =
fila
54 =
?
B 22.1107 @A
cos → $ =
9
?
22.1 @A ,
fila
cos 2
?
D 22.1 @A ,
fila E
?
!
?
F 23.8 @A .
sin →$ =
?
23.4 @A ,
fila
cos 2
sin
=
ME 2 (soluzione per fila A)
1. Scegliamo un sistema di riferimento con asse x orizzontale verso destra, e asse y verticale
verso l’alto e asse z uscente dal foglio per tutti i corpi.
Massa 1: y: +' 2 ' = ' $' →+' = ' 8 ' $'
Massa 2: y: +) 2 ) = ) $)→+) = ) 8 ) $)
Le carrucole non traslano e quindi usiamo solo la II
eq.Cardinale e come polo il loro asse di rotazione (nota:
in effetti, per semplificare, non indichiamo nel disegno ne’
la forza peso della carrucola ne’ la reazione vincolare del
perno che tiene fissa la carrucola e fornisce l’asse di
rotazione, vedi disegno sotto per il diagramma completo)
'
Carrucola 1: II eq. Cardinale z: &' +' 2 &' +, = B' /' con B' = )
'
Carrucola 2: II eq. Cardinale z: &) +, 2 &) +) = B) /) con B) =
)
' &'
)
) &)
)
Essendo la corda ideale è inestendibile →vincolo sugli spostamenti 2C' = C) →derivando
2$' = $) = $ e poiché non striscia sulle carrucole 2C' = &' ' = &) ) = C) e derivando
$ = &' /' e $ = &) /) .
+' = ' 8 ' <2$) , +) = ) 8 ) $, ricavando +, ed eguagliandolo dalle 2 eq.Cardinali
'
<&' +' 2 B' /' )/&' = <B) /) 8 &) +) )/&) →+' 2 +) = D
)
'
'
8)
)E $
'
'
→ ' 2 ' $ 2 ) 2 ) $ = D) ' 8 ) ) E $
'
'
?
?
→$ = < ' 2 ) )/ D ' 8
8 ' 8 ) E = 1.8686 @A 9 1.9 @A
)
) )
?
?
(fila C 1.8 @A , fila E 1.7 @A ) (ricordarsi che la massa ' ha accelerazione – $,
?
?
D 20.98 @A e fila F 22.9 @A )
?
fila B 21.0 @A , fila
2. +, = <&) +) 8 B) /) )/&) =28.9629 5 9 29 5(fila B 25 5, fila C 29 5, fila D 25 5, fila E 29 5,
fila F 22 5)
Diagramma delle forze completo per la carrucola 2