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Prefazione
Questo libro è scritto per un corso introduttivo di statistica o di probabilità e statistica per studenti di ingegneria, informatica, matematica, statistica, o scienze naturali.
Presuppone perciò qualche conoscenza dell’analisi.
Il Capitolo 1 è una breve presentazione della statistica ed illustra le due branche
della statistica descrittica e dell’inferenza statistica. La prima è poi affrontata nel
Capitolo 2, dove vengono presentati i tipi di grafici e di tabelle utili a descrivere i
dati campionari. Vengono inoltre introdotte le quantità che sintetizzano alcune delle
proprietà fondamentali dei dati.
Per potere arrivare a delle conclusioni, è necessario avere informazioni sull’origine dei dati. Si assume spesso allora che i dati rappresentino campioni casuali di
una qualche popolazione. Per capire esattamente cosa ciò significhi e come mettere
in relazione le proprietà del campione con quelle dell’intera popolazione è necessario
acquisire qualche competenza in probabilità. Quest’ultimo è l’obiettivo del Capitolo
3, che introduce l’idea di esperimento probabilistico, illustra il concetto di probabilità di un evento e presenta gli assiomi della probabilità. Questo studio prosegue e
viene sviluppato nel Capitolo 4, che si occupa dei fondamentali concetti di variabile
aleatoria e di speranza matematica, e nel Capitolo 5, che passa in rassegna alcuni tipi
speciali di variabili aleatorie che emergono spesso nelle applicazioni. Vengono definite le variabili aleatorie binomiali, di Poisson, ipergeometriche, normali, uniformi,
gamma, chi-quadro, le di Student e le di Fisher.
Nel Capitolo 6 studiamo la distribuzione di statistiche campionarie come la media
e la varianza campionarie. Mostriamo come usare un notevole risultato della teoria
della probabilità, il Teorema del Limite Centrale, per approssimare la distribuzione
di probabilità della media campionaria. Inoltre discutiamo la distribuzione di probabilità congiunta di media e varianza campionaria nel caso fondamentale in cui i dati
provengano da una popolazione gaussiana.
Il Capitolo 7 mostra come usare i dati per stimare parametri di interesse. Pensiamo ad uno studioso che voglia determinare la frazione dei laghi statunitensi afflitta
da pioggia acida. Sono due i tipi di stimatori da studiare. Il primo stima la quantità in
questione con un solo numero (per esempio potrebbe stimare che il 47% dei laghi sia
afflitto da piogge acide), mentre il secondo fornisce una stima nella forma di un intervallo di valori (nel nostro esempio potrebbe stimare che una percentuale tra il 45%
ed il 49% dei laghi sia colpita da piogge acide). Il secondo tipo di stimatori ci dice
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anche il “livello di confidenza” che possiamo avere sulla loro validità. Questo perché
mentre è quasi certo che il valore non sarà precisamente del 47%, possiamo avere
una certa confidenza, ad esempio, del 95% che la percentuale effettiva sia compresa
tra il 45% ed il 49%.
Il Capitolo 8 presenta i test di ipotesi, un settore importante che riguarda l’utilizzo dei dati per verificare la plausibilità di ipotesi definite in precedenza. Per esempio,
un test di questo tipo potrebbe escludere l’ipotesi che meno del 44% dei laghi americani siano afflitti da piogge acide. Viene quindi introdotto il concetto di p-dei-dati,
che misura il grado di plausibilità dell’ipotesi assegnata, dopo l’osservazione dei dati. Sono considerati diversi tipi di test di ipotesi, riguardanti i parametri sia di una,
sia di due popolazioni normali. Vengono anche presentati i test di ipotesi relativi a
parametri di distribuzioni di Bernoulli e di Poisson.
Il Capitolo 9 si occupa della regressione. Vengono trattate sia la regressione
lineare semplice (includendo argomenti come la regressione alla media, l’analisi dei
residui ed i minimi quadrati pesati) sia la regressione lineare multipla.
Il Capitolo 10 introduce l’analisi della varianza. Vengono considerati sia i
problemi one-way sia quelli two-way (con o senza interazione).
Il Capitolo 11 riguarda i test di corrispondenza dei fit, che possono essere usati per verificare se il modello proposto sia compatibile coi dati. Qui presentiamo
anche il classico test del chi-quadro, e lo applichiamo per verificare l’indipendenza
in tabelle di contingenza. La sezione finale di questo capitolo presenta la procedura di Kolmogorov-Smirnov per verificare per verificare se i dati provengano da una
distribuzione di probabilità continua assegnata.
Il Capitolo 12 affronta i test di ipotesi non parametrici, che possono essere impiegati quando non si è in grado di stabilire la particolare classe (ad esempio gaussiana)
della distribuzione originale dei dati.
Il Capitolo 13 considera il controllo di qualità, una tecnica statistica fondamentale
per i processi di fabbricazione e produzione. Vengono affrontate diverse carte di
controllo di Shewhart, e anche altre più sofisticate, basate su medie mobili e somme
progressive.
Il Capitolo 14 affronta i problemi annessi al tempo di vita dei sistemi. In questo
ambito è la distribuzione esponenziale piuttosto che la normale ad avere un ruolo
chiave.
Sul sito web dedicato a questo libro è disponibile un software statistico liberamente scaricabile che include molti programmi che possono essere usati per risolvere
la gran parte dei problemi di statistica del testo. Ad esempio si può calcolare il p-deidati per la maggior parte dei test di ipotesi, compresi quelli sull’analisi della varianza
e la regressione. Può essere usato per ottenere le probabilità che definiscono le più
importanti distribuzioni. (Per chi non ha accesso ad un personal computer o al world
wide web, sono comunque inclusi tabulati che possono essere usati per risolvere tutti
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i problemi del testo). Un altro programma incluso nel nostro software illustra Teorema del Limite Centrale. Considera variabili aleatorie che assumono i valori 0, 1, 2, 3
e 4 con probabilità che sono assegnate dall’utente assieme ad un intero , e visualizza
la funzione di massa di probabilità della somma di variabili aleatorie indipendenti
con questa distribuzione. Facendo crescere si può “vedere” la funzione di massa
convergere alla forma tipica di una densità di probabilità gaussiana.
