La matematica dei fiocchi di neve

La matematica dei fiocchi di neve
Che forma hanno i fiocchi di neve? Il primo matematico a porsi questa domanda e a
trovare un modello che descrivesse i fiocchi di neve fu Keplero che nel 1611 pubblico il
saggio “Strena seu de nive sexangula” (Sul fiocco di neve a sei angoli)1. Il modello
proposto da Keplero si basava su una forma molto semplice: un esagono regolare, ma se
guardiamo attentamente un cristallo di neve scopriremo facilmente che questo ha una
forma particolare, molto ramificata e spesso irregolare.
Può la matematica descrivere semplicità dell’esagono e irregolarità dei fiocchi
contemporaneamente?
LA SEMPLICITÀ DELL’IMPERFEZIONE
Tutto ha origine nell’esagono
I cristalli di ghiaccio (ne possiamo
vedere alcuni in figura) hanno una
grande varietà di forme che
dipende da una serie di complesse
condizioni che si verificano sulla
superficie del cristallo di cui la
temperatura è la più importante.
La forma più semplice di cristallo,
la lamina esagonale, nasce a
temperature appena al di sotto del
punto di congelamento (tra 0° e 3°)
e
a
bassi
livelli
di
sovrassaturazione (meno del 30%).
La ragione è che a tali temperature un bordo diritto di un cristallo di ghiaccio si sviluppa
in modo stabile: qualsiasi piccola irregolarità viene riempita e il bordo rimane dritto
mentre si sviluppa.
Ci si può chiedere perché proprio un
esagono,
e
la
risposta
sta
semplicemente nella forma esagonale
del reticolo cristallino del ghiaccio
(nella figura a destra).
Nel suo libro del 1611, “Strena seu De
nive sexangula”, Keplero tenta di
spiegare la forma dei cristalli
avvalorando la teoria di Democrito
per cui la simmetria del fiocco è
dovuta alla struttura atomica dei
fiocchi di neve: se la materia è fatta da minuscole particelle identiche, la sua struttura
a livello macroscopico dipenderà dalla loro disposizione. Keplero paragonò il fiocco di
neve al nido d’ape, anch’esso esagonale, e scrisse che questa configurazione è cosí
1
Per chi volesse approfondire http://www.nature.com/nature/journal/v480/n7378/full/480455a.html
comune poiché è quella che permette di ammassare il massimo numero di elementi nel
minimo spazio2.
Per provare a vedere se ciò sia vero oppure no immaginiamo che la
neve sia approssimabile da dei piccoli dischi e prendiamo 7 monetine
tutte della stessa dimensione. Posta una di esse sul tavolo,
posizioniamo le altre tutte intorno, ottenendo una forma che si può
ricondurre all’esagono. Andando avanti otteniamo un reticolo
esagonale, molto somigliante a un favo (come in figura).
La matematica dell’esagono
Abbiamo detto che tutto parte da un esagono e abbiamo aggiunto che gli angoli hanno
un’ampiezza di 120°. Possiamo quindi considerare il fiocco di neve approssimabile a un
esagono regolare. Vediamo come possiamo costruire questa forma geometrica.
Costruzione di un esagono regolare
Per costruire un esagono regolare abbiamo bisogno di:
 Foglio di carta
 Compasso
 Righello
 Matita
 Gomma da disegno
Possiamo procedere nel modo seguente.
1. Innanzitutto disegniamo una circonferenza di centro O e raggio casuale col
compasso.
2. Sia A un punto sulla circonferenza e tracciamo il diametro AD.
3. Con la misura del raggio AO puntiamo il compasso in A e tracciamo un arco,
otteniamo come intersezione tra l’arco e la circonferenza i punti B e F.
Sempre con lo stesso raggio puntiamo in B e ripetiamo l’operazione, i punti
ottenuti saranno C ed E.
4. Col righello uniamo i punti trovati e otteniamo così un esagono regolare ACDBEF.
Per la dimostrazione della congettura di Keplero si dovette attendere il 1930, quando Fejes
Tóth dimostrò proprio che questa è la disposizione più densa che si può ottenere nel piano.
2
LE ISOMETRIE
SIMMETRIA ASSIALE (O BILATERALE)
Questa simmetria domina nel regno animale, ed è anche la più semplice.
La simmetria assiale è quella trasformazione che, data una retta r nel piano, associa ad
ogni punto P il punto P’, simmetrico di P rispetto ad r. La retta r si chiama asse di
simmetria.
La simmetria assiale è una isometria in quanto mantiene:
1. l’allineamento dei punti,
2. l’incidenza e il parallelismo delle rette,
3. la lunghezza dei segmenti,
4. l’ampiezza degli angoli.
Gli unici punti uniti presenti in una simmetria assiale
sono i punti dell’asse; le rette unite sono, oltre
all’asse, tutte le rette perpendicolari ad esso (ma
non sono formate da punti uniti).
Questo tipo di simmetria è evidente in tanti animali e
vegetali, anche nella forma esterna del corpo umano
(ma non in quella interna).
Le forme bilateralmente simmetriche hanno
normalmente soltanto una simmetria di riflessione,
mentre altre possono averne un numero maggiore.
I fiocchi di neve, per esempio, hanno diverse
simmetrie di riflessione, anche se la psicologia
umana fa sì che noi ci concentriamo in maniera molto
più forte sulla simmetria rotazionale esagonale.
In realtà, ogni fiocco di neve perfettamente simmetrico ha sei distinte simmetrie di
riflessione: in figura tre sono evidenziate con il giallo e uniscono un vertice con quello
diametralmente opposto, mentre altre tre sono evidenziate in azzurro e uniscono il
punto medio di un lato con quello diametralmente opposto.
Tutte le linee si incontrano al centro dell’esagono e gli angoli tra due linee speculari
vicine sono esattamente di 30°.
SIMMETRIA ROTAZIONALE E ROTAZIONE
Si dice che una figura piana f ha una simmetria
rotazionale se f coincide con la sua trasformata in una
rotazione (diversa dall’applicazione identica) intorno a
una retta r detta asse di simmetria rotazionale: ciò
significa che ogni punto P di f viene portato dalla
rotazione in un punto P’ che pure appartiene a f.
Detta α l’ampiezza di rotazione, se α è un
sottomultiplo di 360°,iterando la rotazione di
ampiezza α per 1, 2, 3, ...., n volte, la figura si
sovrappone sempre a se stessa e specificamente all'nesima iterazione non soltanto la figura ritorna su se
stessa, ma anche le sue singole parti. Ovvero n applicazioni successive della rotazione
equivalgono all’applicazione identica, in questo caso n si chiama ordine della simmetria
rotazionale. Se n è pari, cioè n = 2k, l' iterata k-esima della rotazione rappresenta il
mezzo giro, cioè la simmetria rispetto alla retta r.
Alcune forme sono simmetriche rispetto a qualsiasi rotazione, e hanno quindi una
simmetria rotazionale continua, come il cerchio. Altre, come il fiocco di neve, hanno
una simmetria rotazionale discreta, cioè soltanto alcuni angoli specifici vanno bene, per
esempio 60°, come in figura, o multipli di 72° nel caso dei fiocchi di neve a cinque
punte.
(La simmetria centrale è un caso specifico di rotazione, dove l’angolo α vale 180°.)
LA GEOMETRIA FRATTALE
Abbiamo detto che guardando un fiocco di neve viene immediato associarlo ad un
esagono. E quindi basterebbe studiare le forme “classiche” della geometria euclidea per
capire un fiocco di neve. Ma ingrandendo l’oggetto del nostro studio con un microscopio
ci accorgiamo invece che non è propriamente un esagono… è qualcosa di più complesso,
fatto di particolari molto piccoli, che prima non si percepivano.
Questa forma viene a grandi linee descritta nel 1904 dal matematico svedese Helge von
Koch, nella celebre forma che prende il suo nome: “fiocco di neve di von Koch”. Una
sola accortezza: il fiocco di neve esiste nella realtà, il fiocco di Koch è un’astrazione
matematica.
Il fiocco di Koch parte da una delle prime curve
frattali di cui si conosca una descrizione (la curva
di Koch) e considera l’area che essa racchiude.
La costruzione parte da un triangolo equilatero; si
divide ogni lato parti congruenti e sul terzo
centrale di ogni lato si disegna un triangolo
equilatero di lato pari a un terzo del lato iniziale.
Si ottiene così la nota “stella di David”, di
perimetro uguale a 4.
Si ripete il processo su ognuno dei dodici lati e
così all’infinito.
La particolarità di questa figura è che l’area in essa racchiusa è finita, mentre il
perimetro è infinito3.
Possiamo quindi paragonare i due “fiocchi” e scoprire che entrambi hanno una forma
complessa generata da regole semplici, siano esse matematiche o fisiche; entrambe
presentano la caratteristica combinazione di ordine e disordine: l’ordine è la simmetria
esagonale, il disordine sono le complicate configurazioni ramificate.
Per capire meglio il concetto di frattale da un punto di vista geometrico, possiamo dire
che tutto parte dal concetto di autosimilarità.
L’AUTOSIMILARITÀ
3
Approfondimento per la dimostrazione
L’autosimilarità è la proprietà di qualunque ingrandimento: una roccia piccola vista da
vicino ha lo stesso aspetto di una roccia grande vista da lontano. Questo perché ogni
piccola parte possiede una struttura molto simile a quella dell’insieme.
Si possono avere due tipi di autosimilarità:
 Esatta quando su scale diverse le strutture si ripetono esattamente identiche;
 Statistica quando su scale diverse le strutture conservano solo le qualità
statistiche del disegno.
Ci sono oggetti che hanno un genere più regolare di autosimilarità: piccole parti
dell’oggetto sono sue versioni in miniatura. In natura, questo genere di autosimilarità
non è mai perfetto. I piccoli pezzi hanno una forte somiglianza con l’oggetto nella sua
totalità, ma ne differiscono nei dettagli.
Un esempio di quanto stiamo dicendo può essere la
felce: una serie di fronde disposte su entrambi i lati di
un fusto centrale. Le fronde hanno la massima ampiezza
alla base del fusto e si assottigliano man mano che si
avvicinano alla punta. La stessa descrizione si può
applicare alle fronde, e anche alle foglioline sulle
fronde.
Studiando le configurazioni naturali e costruendo forme
ideali, cioè versioni più chiare e pulite delle strutture
naturali, che sono meno regolari, i matematici sono
riusciti a idealizzare l’autosimilarità della natura, che è
approssimativa, in una autosimilarità perfetta.
Quindi, costruendo copie ridotte della forma originale
perfette in ogni dettaglio, dovremmo poter ricostruire la forma nella sua interezza
originale.
Per poter idealizzare anche l’autosimilarità statistica, si
ragiona in modo simile: le copie più piccole dell’oggetto e
l’oggetto intero devono avere la stessa distribuzione
statistica delle caratteristiche.
Lo stesso possiamo dire di un fiocco di neve: osservando un
raggio del fiocco si vede che da esso partono altri raggi che a
loro volta “portano” altri raggi e così via, in base alla
complessità del fiocco.
CONCLUSIONI
La nostra ricerca ci ha portato a vagare tra tanti concetti matematici… e dire che
pensavamo che tutto si riducesse all’esagono!
Abbiamo capito che la matematica è un linguaggio che ci permette di interpretare la
natura e che anche ciò che noi pensiamo distante dai numeri in realtà può essere
descritto con essi.
Concludiamo l’intera unità didattica con un laboratorio che ci permetta di divertirci a
costruire i più strani fiocchi di neve. A partire dagli origami fino ad arrivare alle forme
più strane.