Viaggio nell’elettromagnetismo…
Introduzione
A TUTTO CAMPO
Sorprendentemente l'ambra, la resina fossile che
spesso conserva intrappolati grani di polline e insetti,
offrì agli antichi filosofi greci l'opportunità di osservare
un fenomeno elettrico: sapevano, pur ignorando il
motivo, che bastava strofinare un pezzo di ambra,
perché questo potesse attrarre polvere e altri materiali
leggeri. Inoltre essi sapevano che pezzi di magnetite
erano in grado di attirare a sé chiodi di ferro.
L’ obiettivo di questo lavoro è relizzare alcuni esperimenti ed esporre le
riflessioni teoriche che, nei primi anni Venti dell'Ottocento, diedero inizio
allo sviluppo dell'elettromagnetismo. E' avvicente ripercorrrere la
creatività sperimentale e il lavoro intellettuale di interpretazione di
fenomeni nuovi e non riconducibili al quadro teorico precendente:
esperimento di Oersted, esperimento di Ampère, prima e seconda legge
di Ohm, circuiti elettrici con resistori in serie e in parallelo, esperimenti
di Faraday.
“La scienza non è una raccolta, un catalogo di fatti senza nesso. E' una creazione
dell'inteletto umano. Le teorie fisiche tentano di costruire una rappresentazione della
realtà e di determinarne i legami con il vasto mondo. Con l'aiuto delle leggi fisiche
cerchiamo di aprirci un varco attraverso il groviglio dei fatti osservati, di ordinare e
d'intendere il mondo. Aneliamo
a che i fatti osservati discendano logicamente dalla
nostra concezione della realtà senza la convinzione che con le nostre cotruzioni teoriche
è possibile raggiungere la realtà. In tutti i notri sforzi, in ogni drammatico contrasto fra
vecchie e nuove interpretazioni riconosciamo l'eterno anelito d'intendere, nonché
l'irremovibile convinzione nell'armonia del nostro mondo, convinzione ognor rafforzata dai
crescenti ostacoli che si oppongono alla comprensione. “
A. Einstein, L'evoluzione della fisica, 1938.
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Viaggio nell’elettromagnetismo…
Un po’ di storia
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Alcuni curiosi e divertenti fenomeni elettrici e magnetici erano noti fin
dall'antichità. E'difficile andare a ricavare le prime scoperte in tal senso
ma qualcosa si può dire. Intanto la stessa parola elettricità è di origine
greca, deriva cioè da λεκτρον (electron ) che vuol dire ambra. L'
ambra è una resina fossile che mostra particolari proprietà: se
strofinata con un panno attira a sé piccoli corpuscoli posti nelle sue
vicinanze. Fenomeni analoghi erano presenti anche in particolari
minerali ferrosi noti come pietra di Magnesia, dal nome della città che
si trovava alle falde del monte Sipilo, nell'Asia Minore, che
presentavano la proprietà di attrarre a sé pezzettini di ferro. E' quindi
evidente che da ambra e Magnesia discendono i nomi di due branche
della fisica che per iniziare ad essere minimamente comprese
richiederanno centinaia e centinaia di anni.
Per una prima esposizione dei fenomeni magnetici
caratterizzati da un certo rigore scientifico si deve
attendere il saggio di William Gilbert (1544-1603). In
questo libro è presente un capitolo sui fenomeni elettrici
e magnetici che costituisce una sintesi delle poche
conoscenze fino ad allora acquisite. La causa
dell'attrazione dei corpi, come l'ambra e lo zolfo, era
ricondotta a un generico “effluvio” che esse avrebbero
emesso quando venivano strofinate e che ad esse
tornava, trascinando così i corpi elettrici situati nelle
vicinanze, a causa di un'ipotetica “forza specifica”
diretta verso l'origine dell'effluvio. Secondo questa
ipotesi la forza elettrica poteva essere solo attrattiva.
L'idea che potessero esistere forze elettriche repulsive
verrà introdotta solo agli inizi del XVIII secolo da Charles F.
Du Fay il quale, per spiegare i fenomeni elettrici di
attrazione e repulsione, ipotizzò l'esistenza di fluidi
elettrici detti “vetroso” e “resinoso”, corrispondenti
all'elettricità positiva e negativa rispettivamente:
“Ecco dunque due elettricità di natura completamente diversa, cioè quella
dei corpi trasparenti e solidi come il vetro e quella dei corpi bituminosi e
resinosi come l'ambra. Le une e le altre respingono i corpi che hanno
contratto una elettricità dello stesso tipo della loro e attirano al
contrario quelli la cui elettricità è di natura differente dalla loro.”
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Viaggio nell’elettromagnetismo…
Un po’ di storia
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La teoria dei due fluidi fu portata avanti fino alla fine del XIX secolo e
nel frattempo il lavoro di eminenti personalità scientifiche di tutta
Europa, quali Henry Cavendish e Charles Coulomb, stava trasformando
il confuso e limitato insieme di fenomeni elettrostatici in una scienza
dell'elettricità. Questa, da un parte, aveva iniziato a sfruttare
macchine elettrostatiche per generare effetti elettrici ben più potenti
di quelli prodotti dall'ambra, e dall'altra cominciava a stabilire alcune
leggi ben fondate sperimentalmente.
In questo percorso teorico-sperimentale svolse un ruolo
di fondamentale importanza l'opera di Alessandro Volta
che, infatti, nel marzo del 1800, pubblicò il resoconto
dell'invenzione di un apparato (ricordato come pila di
Volta) capace di generare flussi intensi e continui di
corrente. L'invenzione della pila fu all'epoca considerata
di straordinaria importanza perché facilitò le ricerche
sugli effetti della corrente elettrica consentendo agli
scienziati di fare grandi progressi nella comprensione
dei fenomeni elettrici e magnetici.
In particolare, nel 1820, il danese
Hans Oersted mise in evidenza che
la corrente prodotta da una pila
voltaica è in grado di muovere un
ago magnetico. Con questo
esperimento dunque i due campi
dell'elettricità e del magnetismo,
fino ad allora nettamente
separati, si unirono in un unico
dominio di conoscenze che assunse
il nome di elettromagnetismo.
Allo sviluppo di questa nuova scienza parteciparono,
in maggiore o minore misura, tutti i fisici
dell'Ottocento dei quali, facendo sicuramente torto a
molti, vogliamo ricordare almeno Andrè Marie
Ampère, Georg Simon Ohm e Michael Faraday.
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Viaggio nell’elettromagnetismo…
La carica elettrica
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In natura esistono due tipi di carica elettrica : le particelle con carica
negativa sono gli elettroni e le particelle con carica positiva sono i
protoni. Insieme con i neutroni, privi di carica elettrica, i protoni
formano i nuclei degli atomi. Gli elettroni in movimento intorno al
nucleo, completano la struttura di ciascun atomo.
Eccetto il segno, la quantità di carica posseduta da un elettrone e da
un protone, detta carica elementare, è la stessa. Perciò allo stato
neutro, gli atomi hanno uguale numero di elettroni e protoni.
Un atomo può perdere o acquistare elettroni.
Se ha degli elettroni in meno rispetto al
numero di protoni che risiedono nel loro
nucleo, ha una carica elettrica totale positiva
ed è chiamato ione positivo. Se ha invece un
eccesso di elettroni, la carica totale è negativa
e prende il nome di ione negativo.
La carica elettrica positiva e quella negativa devono essere trattate
come quantità alegbriche: sommando con il proprio segno le quantità
di carica possedute da un corpo si trova che la carica complessiva è
nulla e si conserva nel tempo, come enunciato da Franklin nel 1750.
COME OTTENERE I SOTTOMULTIPLI DI UNA CARICA ELETTRICA?
Una sferetta metallica elettrizzata possiede un
carica Q. Altre due sferette identiche sono,
invece, neutre.
Pongo a contatto le tre sferette. La carica Q
si distribuisce per simmetria in parti uguali:
la carica delle tre sferetta diventa Q/3.
Una volta staccate, ciascuna sferetta possiede
una carica pari a Q/3
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Viaggio nell’elettromagnetismo… Interazione fra cariche elettriche
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Un oggetto elettrizzato è portato a contato con l'estremità di una
bachetta conduttrice neutra. La carica del primo oggetto si trasmette
in parte al secondo che quindi si elettrizza con una carica dello stesso
segno. Un eccesso di carica elettrica di un dato segno, prodotto in un
punto della superficie di un corpo conduttore, si espande su tutta la
superifcie.
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Avviciniamo un oggetto elettrizzato ad esempio
negativamente di un qualsiasi materiale a un
oggetto conduttore neutro. Il conduttore si carica
positivamente nella parte più vicina,
negativamente nella parte più lontana. Il
conduttore rimane neutro e il corpo elettrizzato
non perde carica.
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L'elettroforo di Volta, ideato da Volta nel 1775
è costituito da una base di materiale resinoso e
da un disco metallico provvisto di manico
isolante. Appogiando il disco sulla base carica
negativamente per induzione si genera un
eccesso di carica positiva sulla faccia inferiore
del disco e se il disco viene toccato con un dito
sulla parte superiore gli elettroni si disperdono
a terra e il disco rimane carico positivamente.
L'elettroscopio è uno strumento che permette di
stabilire se un oggetto è elettrizzato.
Portando a contatto con il pomello un oggetto
metallico eletrizzato, la carica elettrica, tramite la
barra, si trasmette alle fog lioline d'oro.
Acquistando una carica dello stesso segno, queste
esercitano l'una sull'altra una forza repulsiva che
le fa divergere.
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Seconda legge di Ohm
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Sperimentalmente si vede che la resistenza di un conduttore, ad
esempio di un filo, è direttamente proporzionale alla lunghezza e
inversamente proporzionale alla sezione ( area ).
In altre parole la corrente fluisce più
facilmente in cavi corti e di grande sezione.
Possiamo quindi scrivere:
dove ρ è la costante di proporzionalità, chiamata resistività,
sezione del filo e ℓ la lunghezza.
L'unità di misura della resistività è l'Ohm per metro.
A è la
L'alimentatore fornisce ai morsetti una
differenza di potenziale pari a 5 V che
viene mantenuta fissa.
Inzialmente la pinza a coccodrillo è
posta all'estremo del filo di nichelcromo, che è lungo un metro. Si sposta
lentamente il coccodrillo lungo il filo di
nichel-cromo osservando come varia la
corrente che scorre nel circuito.
Lunghezza)
filo)(m))
I)
(A))
R)
(Ohm))
0,65)
0,7)
0,75)
0,8)
0,85)
0,9)
1)
0,92)
0,87)
0,83)
0,78)
0,72)
5)
5,43)
5,75)
6,02)
6,42)
6,94)
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Lunghezza)
filo)(m))
I)
(A))
R)
(Ohm))
0,65)
0,7)
0,75)
0,8)
0,85)
0,9)
0,52)
0,47)
0,44)
0,42)
0,4)
0,37)
9,62)
10,64)
11,36)
11,9)
12,5)
13,52)
Si ripete la precedente operazione
disponendo in parallelo al primo, il
secondo filo di nichel-cromo, che è
identico al primo.
Inzialmente la pinza a coccodrillo è
posta all'estremo del filo di nichelcromo, che è lungo un metro. Si
sposta lentamente il coccodrillo
l u n g o i l fi l o d i n i c h e l - c r o m o
osservando come varia la corrente
che scorre nel circuito.
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Viaggio nell’elettromagnetismo…
Il magnetismo
A TUTTO CAMPO
Avvicinando un pezzo di magnetite a una barra di acciaio si ottiene un
magnete artificiale, o calamita; l'ago magnetico di una bussola è un
magnete artificiale. La bussola magnetica si è diffusa nei paesi
Occidentali nel XII secolo, ma era usata ancora prima dai cinesi
Un ago magnetico libero di ruotare intorno al
suo centro orienta una delle sue estremità,
sempre la stessa, verso il Nord terrestre e
l'altra verso il Sud. Le due estremità del
magnete sono chiamate, rispettivamente,
polo Nord e polo Sud.
Le calamite interagiscono fra loro con forze
attrattive o repulsive, che vicino ai poli sono
particolarmente intense. Poli magnetici di
nome diverso si attraggono, come fanno le
cariche di segno opposto, mentre i poli dello
stesso nome si respingono, così come le
cariche elettriche dello stesso segno.
C'è però una notevole differerenza fra i poli
magnetici e le cariche elettriche: le cariche di
un segno si possono separare da quelle di
segno opposto, ma altrettanto non si può fare
con i poli. La ricerca del cosidetto monopolo
magnetico non ha avuto fino ad ora esito
positivo.
Ponendo nello spazio una calamita, essa genera una
campo magnetico ossia una perturbazione che si
propaga nello spazio circostante a velocità finita. Per
eplorare un campo magnetico si utilizza un ago
magnetico. Infatti in ogni punto in prossimità di un
magnete, un ago magnetico assume una determinata
orientazione di equilibrio: la direzion lungo la quale
si dispone l'ago è la direzione del campo nel punto
considerato. Il verso del campo, per convenzione, è
quello che va dal polo S al polo N dell'ago. L'intensità
di tale perturbazione diminuisce mano a mano che ci
si allontana dal magnete.
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Campo magnetico
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Consideriamo il campo magnetico generato da un filo
rettilineo percorso da corrente continua di intensità i.
Ponendo nelle sue vicinanze un ago magnetico esso di
dispone lungo la direzione del campo magnetico. Le
linee di campo sono circonferenze concentriche con
centro sul filo stesso.
Visualizzazione delle linee
di campo di una spira
circolare. Con il termine
spira si intende un filo
conduttore chiuso su sé
stesso e di forma circolare.
Visualizzazione delle linee di campo di
un solenoide. Con il termine solenoide
si intende un avvolgimento di spire
infinitamente lungo. All'interno le linee
sono parallele all'asse del solenoide.
AZIONE DI UN MAGNETE SULLA CORRENTE Consideriamo un filo percoso da corrente
disposto fra le estremità di una calamita a
ferro di cavallo e disponiamo
perpendicolare al filo un dinamometro.
Facendo variare la corrente che circola e
la lunghezza del filo, il valore segnato del
dinamometro varia. Indicando con F
l'intensità della forza, possiamo scrivere
AZIONE RECIPROCA TRA CORRENTI Stimolato dalla scoperte di Oersted sulle interazioni tra
correnti e magneti, il francese Andrè-Marie Ampère
dimostrò con una serie di esperimenti che due fili paralleli
percorsi da corrente esercitano una forza l'uno sull'altro: si
attraggono o si respingono a seconda che le correnti
scorrano nello stesso verso o in versi opposti. Trovò,
inoltre che, a condizione che i due fili siano separati da
una distanza piccola rispetto alla loro lunghezza,
l'intensità della forza con cui essi interagiscono per unità
di lunghezza dipende dalla loro distanza e dalle intesità
delle correnti.
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Induzione elettromagnetica
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Dopo che Oersted, nel 1820, ebbe dimostrato che un filo percorso da
corrente genera un campo magnetico, si moltiplicarono le ricerche per
verificare se fosse possibile l'effetto simmetrico: ottenere correnti
elettriche da campi magnetici.
Fu l'inglese Michael Faraday, nel 1831, a scoprire che in particolare
condizioni un campo magnetico può generare una corrente elettrica.
In figura è riportato un dispositivo utilizzato da Faraday
in uno dei suoi esperimenti, costitutito da una calamita e
da un circuito di cui fa parte una bobina e un
galvanometro, un misuratore di corrente molto sensibile.
Il movimento della calamita mette in circolazione una
corrente nella bobina e la sua intensità cresce se la
calamita è spostata più rapidamente, si annulla se la
calamita viene arrestata. La corrente che si produce
allontanando dalla bobina il polo N ha verso opposto
rispetto a quella che si produce avvicinandolo e avvicinare
il polo S ha lo stesso effetto che allontanare il polo N. La
corrente che circola nella bobina è detta corrente indotta
e la sua produzione è nota come induzione
elettromagnetica.
Faraday rilevò una corrente indotta anche in
un'altra circostanza. Ora l'esperimento è
costituito da due bobine avvolte a un anello di
ferro. La prima è alimentata da una batteria
ed è provvista di un interruttore mentre la
seconda è chiusa su un galvanometro. Facendo
circolare corrente nella prima bobina, si
registra un passaggio di corrente anche nella
seconda. Questa corrente cessa quando,
terminata la fase transitoria che segue la
chiusura dell'interruttore, la corrente nel
primo circuito diventa costante. Torna poi a
scorrere, per un breve intervallo di tempo, nel
momento in cui si riapre l'interruttore.
Ma cosa perme+e la produzione di corrente indo+a? In tutti e due i casi, il circuito in cui si produce una corrente è immerso
in campo magnetico, generato dalla calamita o dalla bobina percorsa
da corrente ma la presenza di un campo magnetico non basta. Ad
esempio se la calamita è ferma, nella bobina non scorre corrente.
Affinchè nel circuito scorra corrente il campo magnetico deve variare nel
tempo. In alternativa, le linee di campo e il circuito devono essere in
moto relativo.
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Conclusioni
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Gli esperimenti di Faraday gettarono le premesse per
la teoria dell'elettromagnetismo sviluppata da James
Clerk Maxwell.
Che un campo magnetico variabile nel tempo
producesse un campo elettrico era noto ma si
pensava, però, che allo spegnersi del campo
magnetico corrispondesse quello del campo elettrico.
Invece il campo elettrico e il campo magnetico si
propagano nello spazio sostenendosi reciprocamente
perché, come previsto da Maxwell, un campo elettrico
variabile è sorgente di un campo magnetico. Ha perciò
origine la propagazione di un impulso
elettromagnetico che viaggia nello spazio. La
per turbazione elettr omagnetica ha tutt e le
caratteristiche di un'onda : si parla quindi di onda
elettromagnetica.
Alla fine del XIX secolo, alla maggior parte dei
ricercatori sembrava che il quadro teorico della Fisica,
fondato sulla teoria del campo elettromagnetico e
sulla meccanica, non richiedesse ulteriori
completamenti teorici.
Così si esprimeva Lord Kelvin nel 1891:
“Abbiamo scoperto tutto ciò che si poteva scoprire nel mondo delle
scienze fisiche. Il resto non comporta altro che misurazioni sempre
più perfezionate.”
Questo giudizio si dimostrò però del tutto errato e
vent'anni dopo, Max Plank, uno dei fondatori delle
nuove teorie del Novecento, affermò:
“Chi contempli dall'alto e da una certa distanza lo stato attuale delle teorie fisiche
non può sottrarsi all'impressione che i numerosi nuovi reperti sperimentali, in parte
del tutto imprevisti, abbiano portato lo scompiglio nel campo dell'indagine teorica, che
sembra oramai costretta a camminare a testoni, mentre nel periodo precedente, che
ben a ragione fu detto classico, procedeva con tanta tranquilla sicurezza. La fisica
teorica odierna può fare l'impressione di un vecchio e venerabile edificio che va in
sfacelo, di cui un pezzo dopo l'altro si stacca e cade, mentre gli stessi muri maestri
minacciano di vacillare.”
I fondamenti di questo nuovo quadro concettuale furono posti durante
i primi tre decenni del XX secolo e furono poi sviluppati nei decenni
successivi. La loro applicazione consentì di comprendere quei fenomeni
che la fisica dell'Ottocento aveva messo in evidenza senza riuscirne a
darne una spiegazione soddisfacente.
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STRUMENTI DI MISURA
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Per misurare l'intensità di corrente in un circuito e la differenza di potenziale fra gli estremi di
un generatore si adoperano, rispettivamente, l'amperometro e il voltmetro.
Amperometro
Gli amperometri misurano la corrente che circola in un circuito
e funzionano se gli elettroni fluiscono al loro interno in un
verso prestabilito. Perciò il terminale positivo (quello rosso)
deve essere collegato con il polo positivo del generatore o
della lampadina, il terminale negativo (quello nero) deve
essere collegato con il polo negativo del generatore o della
lampadina.
Voltmetro
Il voltmetro rileva la differenza di potenziale fra i propri
terminali che è anche l'energia erogata dal generatore. Il
terminale positivo (quello rosso) deve essere collegato con il
polo positivo del generatore, il terminale negativo (quello
nero) deve essere collegato con il polo negativo del generatore.
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RESISTORI IN SERIE
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Consideriamo il circuito in figura, costituito da due resistori collegati in serie.
a) In questo caso abbiamo che la stessa quantità di carica passa, in un
dato tempo, sia nel resistore R1 che in R2. Se così non fosse avremmo,
nel tempo, un accumulo di carica in uno dei due resistori.
b) Questo equivale a dire che la stessa corrente, I, passa per i due
resistori.
c) La differenza di potenziale, invece, si ripartisce fra i resistori in
modo che ΔV1 = I R1 e ΔV2 = I R2.
R1#
ΔV1
R2#
ΔV2
Poichè la differenza di potenziale totale è ΔV = ΔV1 + ΔV2 , si ha che
ΔV = I R1 + I R2 = I (R1 + R2)
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RESISTORI IN PARALLELO
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Consideriamo il circuito in figura, costituito da due resistori collegati in parallelo.
a) In questo caso abbiamo che ai capi di entrambi i resistori vi è
applicata la stessa differenza di potenziale, ΔV.
b) La corrente, invece, viene ripartita fra i due resistori in modo che:
I1 = ΔV / R1 e I2 = ΔV / R2.
c) La corrente totale che scorre nel circuito è data da I = I1 + I2.
ΔV
R1#
I1#
R2#
I2#
Poichè la corrente totale è I = I1 + I2 , si ha che
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RETI ELETTRICHE
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Predisposto l'alimentatore in modo da avere in uscita una differenza di potenziale pari a 10 V, è
possibile montare un circuito il cui schema elettrico è riportato in figura. In esso sono presenti
quattro resistori disposti sia in serie che in parallelo.
a) Nel resistore da 10 Ω e da 15 Ω circola la
stessa corrente di intensità I. Mentre la
corrente quando arriva nel punto B, per il
teorema dei nodi, si ripartisce in parte sul
resistore da 22 Ω e in parte sul resistore da 56
Ω in modo che I = I1 + I2 .
b) Per quanto riguarda la differenza di
potenziale ai poli dei resistori abbiamo che:
ΔV = ΔVA,B + ΔVB,C + ΔVC,D
I resistori da
22 Ω e da
56 Ω sono
caratterizzati ai loro poli dalla stessa
differenza di potenziale denominata nella
formula precedente con ΔVB,C.
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RESISTENZA ELETTRICA E TEMPERATURA
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I conduttori e gli isolanti si distinguono per la loro resistività: per i conduttori la resistività assume
valori compresi fra 10-8 e 10-5, mentre i buoni isolanti hanno valori superiori a 1011.
Il valore di resistività cambia da un materiale all'altro e, per un dato materiale, aumenta
all'aumentare della temperatura.
La corrente elettrica è un flusso ordinato di elettroni che grazie al generatore si dirigono dal punto
a potenziale più basso verso il punto a potenziale più alto. L'aumento di temperatura crea una
maggiore agitazione termica nel reticolo atomico del conduttore e un conseguente aumento dei
moti disordinati che si oppongono alla conduzione ordinata. Ciò equivale ad un aumento di
resistività.
E' possibile sfruttare la corrente
elettrica per osservare l'effetto termico
cioè la trasformazione di energia
elettrica in
calore. All'interno del
calorimetro è contenuta dell'acqua che
deve essere scaldata: ciò avviene per
mezzo di una serpentina di rame posta
all'interno del recipiente in cui scorre
della corrente. Ciò è visibile vedendo
come varia la t emper atur a del
termometro posto nel calorimetro.
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ESPERIMENTO DI OERSTED
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“L'elettromagnetismo fu scoperto nell'anno 1820, dal professore H.C.Oersted
dell'università di Copenaghen. Lungo tutta la sua carriera egli aveva persistito nella tesi
che gli effetti magnetici sono prodotti dalle stesse forze che producono gli effetti
elettrici. Nell'inverno del 1819-1820, tenne una serie di corsi sull'elettricità e gli studi
preparatori di tali lezioni lo impegnarono in ricerche molto approffondite. Egli provò per la
prima volta un suo esperimento davanti al pubblico: il progetto era di far passare
attraverso un filo di platino molto sottile messo sopra una bussola ricoperta da una lastra
di vetro, la corrente fornita da un generatore.
L'ago magnetico, pur chiuso in una scatola, si agitò ma dato
che l'effetto era molto debole e molto irregolare,
l'esperimento non fece molta impressione all'uditorio.
Sovraccaricato di lavori di routine per parecchi mesi lui
stesso non tentò altre esperienze. In luglio ricominciò i suoi
espetimenti con un generatore più potente e ora il successo
era evidente., malgrado gli effetti rimanessero deboli in
quanto egli usava dei fili molto sottili; scoprì in seguito,
continuando le esperienze per qualche giorno, la legge
fondamentale dell'elettromagnetismo, cioè che l'effetto
magnetico della corrente elettrica ha un movimento
circolare attorno a questa.”
Introduzione alla storia delle Scienze, H.C.Oersted
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