DINAMICA ROTAZIONALE
1. Vero o Falso? Correggi le affermazioni errate.
(a) L’intensità di ~v × w
~ è uguale all’intensità di w
~ × ~v .
(b) Se ~r è parallelo a F~ , allora il momento della forza è nullo.
(c) Il momento di una coppia di forze dipende dal centro rispetto a cui viene calcolato.
(d) Il momento di inerzia è una grandezza scalare.
(e) Il momento di inerzia di un corpo è direttamente proporzionale alla massa del corpo e alla sua distanza dall’asse
di rotazione.
(f) A parità di forza che agisce su un corpo, l’accelerazione angolare è inversamente proporzionale al raggio.
(g) Se su un corpo agiscono solamente forze centrali, allora è nullo il momento della forza.
(h) L’energia cinetica di un corpo in rotazione è direttamente proporzionale alla sua velocità angolare.
(i) In un moto circolare uniforme si conserva il momento angolare.
(j) Il momento angolare si conserva solo se la forza risultante agente sul sistema è nulla.
(k) La forza di gravità è una forza centrale.
(l) Se una pattinatrice raccoglie le braccia intorno al corpo diminuisce il proprio momento di inerzia.
(m) Il momento della forza peso agente su un proiettile lanciato con velocità ~v è sempre nullo.
(n) E’ maggiore il momento di inerzia di un guscio sferico di raggio r e massa m rispetto a quello di una sfera piena
di uguale raggio e massa.
(o) Il momento angolare è una grandezza scalare.
(p) Il momento angolare si conserva solo nei sistemi isolati.
(q) Se si conserva il momento angolare di un corpo e la sua massa è costante, allora la velocità tangenziale è
direttamente proporzionale al quadrato del raggio di rotazione.
(r) Se si conserva il momento angolare di un corpo e la sua massa è costante, allora la velocità angolare è direttamente
proporzionale al raggio di rotazione.
2. Definisci il prodotto scalare e il prodotto vettoriale tra due vettori, evidenziando le differenze.
3. Sapendo che le direzioni dei vettori ~v e w
~ formano un angolo di 30◦ e che v = 2 e w = 5, calcola ~v · w
~ e ~v × w.
~
4. Perchè un tuffatore aumenta la sua velocità angolare se raccoglie le braccia e le gambe attorno al corpo?
5. Uno studente è seduto su una sedia girevole, e in mano ha una ruota di bicicletta in rotazione in verso orario, con
asse di rotazione perpendicolare al terreno. Cosa succede quando lo studente capovolge la ruota, in modo da farla
ruotare in senso antiorario?
6. La durata del giorno sarebbe influenzata se tutta la popolazione del globo si trasferisse nell’Antartide? Se sı̀, in che
senso?
7. In quali condizioni si conserva il momento angolare di un sistema di corpi?
8. Descrivi le possibili corrispondenze tra il moto rettilineo e il moto rotatorio di un corpo.
9. (*) Una palla di cannone e una biglia rotolano giù per una rampa, partendo da fermi. Quale arriverà in fondo per
prima?
Calcolo del momento di una forza
10. Una pallina di massa 0,75 kg è fissata all’estremità di un’asticella lunga 1,25 m, priva di massa, appesa ad un perno
per l’altra estremità. Qual è il momento della forza peso che agisce sul perno quando il pendolo cosı̀ formato si trova
a un angolo di 30◦ dalla retta verticale?
11. La lunghezza della pedivella di una bici è 0,152 m e la forza, diretta verso il basso, applicata dal piede è di 111 N. Qual
è il modulo del momento intorno all’asse di rotazione della pedaliera quando la pedivella forma con l’asse verticale un
angolo di 30◦ , 90◦ e 180◦ ?
Momento di una forza e secondo principio della dinamica
12. Qual è il momento di inerzia di una ruota che acquista un’accelerazione rotatoria di 25 rad/s2 sotto l’azione del
momento di una forza di 32 N·m?
[1,28 kg·m2 ]
1
13. Saltando dal trampolino una tuffatrice, dotata di momento di inerzia di 12 kg·m2 , porta la propria velocità angolare
da zero a 6,2 rad/s in 220 mms. Qual è l’accelerazione angolare corrispondente? Quale momento di forze esterne
agisce sulla tuffatrice durante il tuffo?
14. Un momento di 960 N·m, applicato ad un asse passante per il centro di un guscio sferico sottile di raggio 1,90 m,
gli conferisce un’accelerazione angolare di 6,2 rad/s2 . Qual è il momento di inerzia del guscio rispetto all’asse di
rotazione? Calcola la massa del guscio.
[155 kg·m2 ; 64,4 kg]
15. Un’altalena è poggiata su un fulcro in modo che i suoi due bracci misurino 20 cm e 80 cm. Due blocchi di uguale
massa sono poste alle estremità dei bracci dell’altalena. Questa, inizialmente in posizione orizzontale, è lasciata libera
di ruotare. Calcola l’accelerazione angolare e centripeta dei due blocchi nell’istante in cui iniziano a muoversi.
16. (*) Una corda circonda l’equatore di un mappamondo di massa M e raggio r fissato su un tavolo in modo che, tirando
la corda, il mappamondo ruoti. L’estremità libera della corda passa senza slittamenti attorno a una puleggia avente
momento di inerzia I e raggio r, e sostiene un peso di massa m che penzola dal cavo. Lasciando il peso libero di cadere,
quale sarà la sua velocità dopo che è disceso di un’altezza h? (si consideri il principio di conservazione dell’energia).
Equilibrio di un corpo rigido
17. Un’altalena di massa trascurabile inizialmente orizzontale ha tre blocchi appoggiati su di essa. Il primo blocco, di 10
kg, è ad un’estremità dell’altalena, 3 m a sinistra del fulcro. Il secondo blocco, di 5 kg, è 1 m a sinistra del fulcro.
Il terzo blocco, di 35 kg, è all’altra estremità dell’altalena, 1 m a destra del fulcro. L’altalena è in equilibrio? Come
modificheresti la massa del terzo blocco in modo da farla risultare in equilibrio?
18. Risolvi il problema precedente, supponendo che la massa dell’altalena non sia trascurabile, e pesi 5 kg. Supponi che
la forza peso sia applicata al centro dell’altalena.
19. Un’asta è lunga 4 m ed è vincolata nel centro. Nell’estremo destro c’è un peso di 200 N. A sinistra del fulcro, a
distanza x, c’è un altro peso di 500 N. L’asta è in equilibrio. Quanto vale x?
20. Due operai trasportano un peso di 1200 N tenendolo su una sbarra (di peso trascurabile) poggiata sulle spalle. La
sbarra è lunga 180 cm, il peso è sistemato a 100 cm dalla spalla di un operaio e a 80,0 cm da quella dell’altro. Quale
forza deve esercitare ogni operaio?
21. Un uomo di 800 N e un bambino di 200 N stanno in equilibrio su un’altalena. In che rapporto stanno le loro distanze
dal fulcro?
[1/4]
Calcolo del momento angolare
22. Un corpo di massa 10 kg ruota su una traiettoria circolare di raggio 2 m, con velocità costante in modulo pari a 5
m/s. Calcola il momento angolare del corpo.
[100 kg · m2 /s]
23. Un aereo di massa 105 kg vola a un’altezza costante dal suolo pari a 1 km e a una velocità costante di 360 km/h.
Determina il modulo del momento angolare dell’aereo rispetto a un punto sorvolato dall’aereo stesso. [1010 kg · m2 /s]
Conservazione del momento angolare
24. Una persona di massa 80 kg salta sull’unico seggiolino di una giostra in rotazione a velocità angolare costante.
Sapendo che il raggio della giostra è di 5 m, che la massa del seggiolino è di 100 kg e che compie un giro in 4 s, calcola,
trascurando gli attriti e la velocità iniziale della persona, il periodo di rotazione della giostra dopo che la persona è
salita (nell’ipotesi che non agiscano forze esterne).
[7,2 s]
25. Calcola il rapporto tra le velocità tangenziali di Mercurio all’afelio (r = 69,8·106 km) e al perielio (r = 46,0 ·106 km).
[0,66]
26. Un corpo di massa m = 1 kg ruota su una traiettoria circolare di raggio 2 m con velocità costante in modulo di 2
m/s. Il corpo è legato ad una fune che passa in un tubo cavo, al centro della traiettoria circolare. Tirando la fune
è possibile ridurre il raggio della traiettoria. Calcola il modulo della velocità tangenziale del corpo se il raggio della
traiettoria viene ridotto a 1 m.
[4 m/s]
27. Un uomo ruota al centro di una piattaforma girevole di massa 10 kg e raggio 2 m, con velocità angolare di 1 rad/s.
L’uomo ha le braccia alzate orizzontalmente e regge, in ognuna delle braccia, lunghe circa 50 cm, un peso di 5 kg.
Supponendo che il momento di inerzia dell’uomo sia costante e uguale a 8 kg·m2 , indipendentemente dalla lunghezza
delle braccia, calcola la velocità angolare del sistema quando l’uomo abbassa le braccia con i pesi lungo il corpo.
Supponi che, a braccia abbassate, la distanza dei pesi dall’asse di rotazione sia di 10 cm. La velocità angolare del
sistema cambia se l’uomo, mantenendo inalterata la sua posizione, lascia cadere liberamente i pesi sulla piattaforma?
[1,1 rad/s; no]
2
28. Una persona di massa 70 kg in moto alla velocità costante di 5 m/s salta su una giostra circolare in movimento. La
massa della giostra è di 200 kg, il suo raggio è uguale a 3 m, la sua velocità angolare è di 1 rad/s, la velocità della
persona è diretta secondo la tangente alla giostra e con lo stesso verso. Calcola la velocità angolare del sistema dopo
che è salita la persona.
[1,3 rad/s]
29. Un’elica lunga 2 m ha un momento di inerzia di 20 kg·m2 . Un motore applica all’elica, inizialmente in quiete, un
momento di 1000 N·m. Calcola, trascurando gli attriti, quale velocità angolare raggiunge in 10 s e quanto tempo
impiega il motore per portare la frequenza di rotazione a 1000 giri al minuto.
[500 rad/s; 2,1 s]
Conservazione del momento angolare nei corpi rigidi
30. Calcola il momento di inerzia e il momento angolare di un anello di raggio 1 e massa 10 kg che compie un giro di 2 s
intorno al suo asse.
[10 kg·m2 ; 31,4 kg · m2 /s]
31. Calcola il momento di inerzia e il momento angolare di una sfera piena di raggio 2 m e massa 50 kg che compie un
giro di 5 s.
[80 kg·m2 ; 100,5 kg · m2 /s]
32. Calcola il momento di inerzia di una sbarra sottile lunga 1 m e di massa 5 kg rispetto ad un asse perpendicolare
passante per un estremo della sbarra. Calcola quindi il momento angolare della sbarra sapendo che compie un giro in
1 s intorno all’asse sopra descritto.
[1,7 kg·m2 ; 10,5 kg · m2 /s]
33. Un disco di massa 300 kg e raggio 3 m cade su una piattaforma circolare rotante di massa 500 kg e raggio 5 m. I
centri dei due corpi coincidono. Calcola la frequenza di rotazione finale della piattaforma dopo la caduta del corpo,
sapendo che inizialmente era di 0,1 Hz.
[0,08 Hz]
34. (*) Risolvi il problema precedente nel caso in cui i due dischi siano identici e nel caso in cui il secondo disco abbia un
momento di inerzia doppio, triplo... rispetto al primo disco. Quale relazione esiste tra momento di inerzia complessivo
e velocità angolare del sistema?
[0,31 rad/s; I2 = n I1 ⇒ ω = ω0 /(n + 1)]
35. Un disco di raggio 1 m e massa 10 kg è in quiete appeso ad un filo verticale passante per il suo centro, intorno al quale
può ruotare. Un corpo di massa 100 g e velocità uguale a 50 m/s urta tangenzialmente il disco e vi rimane incastrato
dopo l’urto. Calcola la velocità angolare e la velocità tangenziale del sistema dopo l’urto.
[0,98 rad/s; 0,98 m/s]
36. Risolvi il problema precedente nel caso in cui il disco abbia una velocità angolare ω0 = 2 rad/s in verso contrario al
moto imposto dal proiettile.
[0,98 rad/s; 0,98 m/s]
37. Un’asta lunga 1 m e di massa 5 kg, che ruota in un piano orizzontale appesa a un filo che passa per il suo centro con
velocità angolare uguale a 1 rad/s, urta una piccola sfera di massa 0,5 kg in quiete. Dopo l’urto i due corpi rimangono
incastrati. Determina la velocità angolare e la velocità tangenziale del sistema dopo l’urto, considerando la sfera come
un punto materiale.
[0,77 rad/s; 0,38 m/s]
38. Risolvi il problema precedente nel caso in cui la sfera abbia velocità angolare di -5 rad/s (cioè diretta in verso contrario
al moto dell’asta).
[-0,38 rad/s; -0,19 m/s]
39. Un cilindro pieno di raggio 50 cm e massa 10 kg, in moto circolare uniforme con velocità angolare di 20 rad/s, è
rallentato e poi fermato dall’attrito in 40 s. Calcola il valore del momento della coppia esercitata sul cilindro. Quanti
giri compie il cilindro prima di fermarsi?
[0,625 N·m; 64]
40. Una sbarra sottile lunga 1 m e di massa 5 kg, appesa a un filo, è messa in rotazione intorno a un asse a essa
perpendicolare passante per il centro, da una coppia di forze applicata ai suoi estremi. L’intensità della forza è di 20
N. Calcola quale velocità angolare e tangenziale raggiunge dopo 20 s. Se la sbarra fosse posta in rotazione intorno
a un asse a essa perpendicolare passante per un suo estremo da una forza F’ avente lo stesso momento della coppia,
quale velocità angolare e tangenziale raggiungerebbe la sbarra?
[960 rad/s; 480 m/s; 240 rad/s; 240 m/s]
Energia cinetica nel moto rotatorio
41. Calcola l’energia cinetica rotazionale di una sfera di raggio 0,5 m e massa 100 kg, sapendo che compie un giro al
secondo intorno al suo diametro.
[197,4 J]
42. Calcola l’energia cinetica rotazionale di una sbarra sottile di massa 10 kg e lunghezza 1 m che ruota intorno a un asse
perpendicolare alla sbarra passante per il centro, compiendo due giri al secondo. Di quanto aumenta l’energia cinetiva
rotazionale se si raddoppia la velocità angolare? E se, a parità di massa, raddoppia la lunghezza della sbarra? [65,8
J; 4 volte; 4 volte]
3
