Rumore in elettronica:
Termine generico, indica tutto cio' che viene rivelato/amplificato/registrato insieme al segnale
e non vorremmo che ci fosse
Per estensione, definizione applicata anche a casi di 'segnali' non elettrici ]
Distinzione:
Disturbo / Interferenza = Origine esterna al circuito
(definizione da specificare meglio)
Rumore = Origine interna al circuito
(come sopra )
Rumore:
Parzialmente correlato al segnale
→ legato a fluttuazioni statistiche di grandezze elettriche caratteristiche del segnale stesso
Parzialmente scorrelato dal segnale
→ legato a fluttuazioni statistiche di grandezze elettriche estranee al segnale,
ma presenti nel circuito
Presente come somma statistica di tutti questi effetti che si aggiunge al segnale
in uscita dal circuito di misura
=
+
Spesso 'riferito all'ingresso' per facilitare il confronto con il segnale di ingresso
Grandezze elettriche caratterizzanti il rumore: Tensione, Corrente
→ Grandezze ( → variabili ) stocastiche
A ogni dato istante t:
Non definito il valore di V ,I in quanto grandezze deterministiche
Definita la probabilita' di osservare V ,I
Evoluzione temporale di una variabile stocastica: Processo stocastico
[ Estensione dell'idea di variabile (deterministica) funzione di t
a variabile (stocastica) funzione di t ]
Quindi: Descrizione matematica del rumore termico in termini probabilistici/statistici
→ Tensione/Corrente di rumore come processo stocastico
Segnali deterministici:
+∞
1
s (t ) =
S (ω ) e jω t d ω
∫
2π −∞
+∞
S (ω ) =
∫
s (t ) e− jω t dt
−∞
Segnali aperiodici :
+∞
Es =
∫
s 2 (t ) dt Energia del segnale (quando l'integrale converge)
−∞
1 +∞
jω t
→ Es = ∫
S (ω )e d ω ⋅ s (t ) ⋅ dt =
∫
2
π
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
+∞
1
1
=
S (ω )d ω ⋅ ∫ dt s (t )e jω t =
∫
∫ S (ω)dω ⋅ S (−ω ) =
2π −∞
2
π
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
1
1
1
*
2
=
S
(
ω
)
⋅
S
(
ω
)
d
ω
=
|
S
(
ω
)
|
d
ω
=
∫
∫
∫ Ws (ω)d ω
2π −∞
2π −∞
2π −∞
→ Ws( E ) (ω ) =| S (ω ) |2 Spettro di energia/Densita' spettrale
Segnali periodici, o aperiodici con Es infinita:
+L
2
1
Ps = lim
s (t ) dt Potenza del segnale
∫
L→∞ 2 L
−L
+∞
1
Ps =
Ws( P) (ω )
∫
2π −∞
| S (ω ) |2
Spettro di potenza/Densita' spettrale
T →∞
T
Ws( ) (ω ) = lim
P
Funzione di auto-correlazione:
+∞
∫ s (τ ) s(τ + t )dτ
*
K (t ) =
−∞
1
K (t ) = ∫
2π
−∞
+∞
=
−∞
*
1
dω ⋅
2π
∫ S (ω )e
jω t
dω
−∞
+∞
∫ S (ω ′)e
jω ′ ( t +τ )
−∞
dω ′ dτ =
j (ω ′ −ω )τ
e jω ′t dω ⋅ dω ′ ⋅ dτ
−∞ −∞ −∞
+∞
∫ dz e
jzx
−∞
1
→ K (t ) =
2π
1
2π
− jω t
∫ ∫ ∫ S (ω ) ⋅ S (ω′) ⋅ e
2
1
δ ( x) =
2π
=
∫ S (ω )e
*
+∞
+∞ +∞ +∞
1
4π
+∞
1
s (t ) =
2π
+∞ +∞
∫ ∫S
*
(ω ) ⋅ S (ω ′) ⋅ e jω ′t ⋅ δ (ω ′ − ω ) ⋅ d ω ⋅ dω ′ =
−∞ −∞
+∞
∫
2
S (ω ) e jω t ⋅ dω
−∞
→ Teorema di Wiener -Kinchin:
1
K (t ) =
2π
+∞
∫ W(ω)e
−∞
jω t
⋅ dω
Segnali stocastici, o aleatori:
Non e' nota la funzione X ( t ) , informazione da:
Distribuzione di probabilita' f X ( x;t )
Momenti:
+∞
m X ( t ) = E X ( t ) =
∫ xf ( x,t )dx = m ( t )
X
−∞
...
+∞
m
(k )
X ( t ) = E X k ( t ) =
∫x
k
f X ( x,t )dx = m(
k)
(t )
−∞
Distribuzione di probabilita' congiunta f X i X j ( xi ,x j ;ti ,t j ) ,xi , j = x ( ti , j ) ,i ≠ j
Momenti: Complicati
Piu' importante: Funzione di auto-correlazione
+∞ +∞
RXX ( t1 ,t2 ) =
∫ ∫ xx
1 2
f X1 X 2 ( x1 ,x2 ) dx1dx2
−∞ −∞
Distribuzione di probabilita' congiunta f X i X j X k ( xi ,x j ,xk ;ti ,t j ,tk ) ,xi , j ,k = x ( ti , j ,k ) ,i ≠ j ≠ k
e altre di ordine superiore: di solito non considerate
Ipotesi & Speranza:
Insieme dei momenti sufficiente a descrivere completamente il processo
Processo stazionario in senso allargato:
m ( t ) ,RXX ( t1 ,t2 ) costanti nel tempo
t → t +T :
m ( t + T ) = m ( t ) → m = cost
RXX ( t1 + T ,t2 + T ) = RXX ( t1 ,t2 ) → RXX ( t1 ,t2 ) = RXX ( t1 − t2 ) ≡ RXX (τ )
→ m ( t ) ,RXX ( t1 ,t2 ) caratterizzano completamente il processo stazionario
Esempio di processo stazionario gaussiano:
p(v ) =
1
2π < v 2 >
e-v
2
/2<v 2 >
Tipi principali di rumore elettronico:
Termico (Johnson, Nyquist)
Shot (Schottky)
Flicker
Rumore termico:
Legato a 'moto browniano' degli elettroni di conduzione
Osservato da Johnson e spiegato da Nyquist (anni '20)
Derivazione alla van der Ziel:
Circuito RC parallelo:
Bilancio energetico da equipartizione dell'energia
1
1
CV 2 = kT
2
2
Dimostrazione:
Campo elettrico in C trattato come sistema meccanico
Possibile usare metodi caratteristici della meccanica statistica
Ipotesi: Stato di equilibrio termodinamico
Sistema in bagno termico a temperatura T
→ Scambio di energia fra RC e termostato
→ Distribuzione statistica dell'energia del sistema
1
E = CV 2
2
Distribuzione di Boltzmann:
Probabilita' di trovare il sistema con tensione fra V e V + dV
E
−
kT
dP = K0e
CV 2
−
2kT
dV = K0e
dV
Normalizzazione:
+∞
CV 2
−
2kT
∫ Ke
0
dV =1
−∞
CV 2
C
x =
→ dx =
dV
2kT
2kT
2
+∞
CV 2
−
2kT
→ ∫ K0e
+∞
dV =K0
−∞
+∞
∫
−∞
2kT
−x2
e
∫ dx
C −∞
+∞
+∞
+∞ +∞
e dx = A → ∫ e dx ∫ e dy = A → ∫
−x2
−x2
− y2
−∞
+∞+∞
→∫
(
− x2 +y2
∫e
)
−∞−∞
2
−∞
∫
e−x e−y dxdy = A2
2
2
−∞−∞
2π +∞
1 2
dxdy = ∫ ∫ e rdrdϕ =− e−r
2
0 −∞
∞
−r2
2π = π = A2 → A = π
0
2kT
C
π =1→ K0 =
C
2πkT
→ K0
2
C −CV
e 2kT dV prob. di avere tensione (V ,V + dV ) su C
→ dP =
2πkT
+∞
+∞
2
CV
−
dP
C
2
dV =
→ V =∫V
∫ V e 2kT dV
dV
2
kT
π
−∞
−∞
2
x=
2
C
2kT
2kT
V →V =
x → dV =
dx
2kT
C
C
3 2 +∞
C 2kT
→V =
2πkT C
2
∫
−∞
x2e−x dx
2
2
2
1
1
2 x 2e− x dx = − ∫ x (−2 x ) e− x dx
∫
2
2
du = dx
u = x
1 − x2
2
2 − x2
− xe − e− x dx
→
→
x
e
dx
=
2
2
∫
∫
−x
2
dv = (−2 x) e− x dx
v = e
+∞
1 − x2
1
= π
2 − x2
2 − x2
− x2
− x2
xe
→ ∫ x e dx = ∫ e dx − xe → ∫ x e dx = π −
2
2
2
dispari −∞
∫xe
dx =
→ V
C
=
2πkT
2 − x2
2
3 2 +∞
2kT
C
1
1
→ C V 2 = kT
2
2
∫
2 − x2
xe
−∞
C
dx =
2πkT
2kT
C
32
π
1
= kT
2
C
OK
V : tensione stocastica, non prevedibile; solo probabilita'
V gen. ideale di tensione in serie a R, C
Contributo elementare a V 2 dall'intervallo di frequenza d ν :
d V 2 = S (0) d ν , S (0) densita ' spettrale di potenza associata a V 2
→ Contributo elementare a VC2 :
2
d VC2 = d V 2
→ d VC2 =
→ V
2
C
=
1
2
1
1
j ωC
= S ( 0) d ν
= S ( 0) d ν
2
1
jωCR +1
1 + (ω RC )
R+
j ωC
S (0 )
1
2π 1 + (ω RC )2
S ( 0)
2π
∞
1
∫ 1 + (ω RC )
2
dω
dω
0
S ( 0)
S ( 0)
dx
1
∞
x = ω RC → d ω =
→ VC2 =
dx =
arctan x 0
2
∫
RC
2π RC 0 1 + x
2π RC
∞
S (0) π S (0) kT
=
=
= VR2
2π RC 2 4 RC
C
d VR2
→ S ( 0) =
= 4kTR V 2 Hz −1
dν
→ VC2 =
S (0) indipendente da ω → Rumore bianco
S (0) indipendente da C → Origine in R
Modelli semplificati utilizzati nei circuiti:
Resistenza R priva di rumore + gen. ideale di tensione/corrente di rumore
Vn2 = 4kTR∆v
I n2 =
4kT
∆v
R
A cosa serve C nella derivazione?
→ A limitare la banda passante e ottenere cosi' un valore finito per Vn2
