Anteprima Estratta dall' Appunto di Fisica
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Università : Università degli studi L'Aquila
Facoltà : Ingegneria
Indice di questo documento
L' Appunto
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Corsi di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica e delle Telecomunicazioni
A.A. 2005-06 - Corso di Fisica Generale II
Prof. Elia Palange
Secondo gruppo di problemi
(Campo elettrico, potenziale ed applicazioni della legge di Gauss)
rib
e.c
om
Problema 2.1 (Problema d’esame)
Si ha una calotta sferica di raggio R e si vuole studiare il campo elettrico nel suo centro O, nei
due casi mostrati nella Figura:
(i) nel caso della situazione (a) tutta la superficie sferica fino ad una quota h1=R sinϑ1 è
uniformemente carica con densità superficiale σ. La calotta sferica superiore (per angoli
maggiori di ϑ1) ha invece una densità di carica superficiale uniforme σ1;
(ii) nel caso della situazione (b), la calotta sferica superiore è sostituita da un disco, anch’esso
uniformemente carico, con densità superficiale uniforme σ2.
Sapendo che ϑ1=60°, si determini:
1. il rapporto n1=σ1/σ ed il segno relativo delle cariche nelle due regioni della situazione (a),
per avere un campo elettrico nullo in O; (4 punti)
2. il rapporto n2=σ 2/σ ed il segno relativo delle cariche nelle due regioni della situazione (b),
per avere un campo elettrico nullo in O; (4 punti)
3. il valore del campo elettrico in O in modulo, direzione e verso, quando σ=−σ 1= 1 μC/m2,
nella situazione (a); (1 punto)
4. il valore del campo elettrico in O in modulo, direzione e verso, quando σ=−σ 2= 1μC/m2,
nella situazione (b); (1 punto)
y
AB
Ct
y
ϑ
R
ϑ1
O
R
ϑ
ϑ1
O
x
x
situazione (b)
situazione (a)
Soluzione:
Per rispondere alla 1a domanda, si prenda in esame un elemento generico infinitesimo di
superficie dS della calotta sferica. Il campo elettrico in O ad esso associato è:
r
σ dS v
dE =
uR
4πε 0 R2
Ora, per ragioni di simmetria, la componente lungo x del campo elettrico in O è nulla. Pertanto
la sola componente non nulla è quella lungo l’asse delle ordinate. Dunque, nel caso si consideri
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per il momento la parte di superficie sferica fino alla quota h1=R sinϑ1, indicando con
ϑ=
π
2
− ϑ1 , si ha:
dE y =
σ dS
cos ϑ
4πε 0 R2
Per calcolare il campo totale in O è utile usare le coordinate sferiche per le quali l’elemento
generico di superficie è dS = R2 sin ϑ dϑ dϕ . Sostituendo nella precedente equazione si ha:
dE y =
σ
sin ϑ cos ϑ dϑ dϕ
4πε 0
Il campo elettrico totale E1,y generato dalla carica distribuita sulla parte di superficie sferica
fino alla quota h1 è dato da:
E1,y =
σ
4πε 0
π
2π
∫
0
dϕ
2
−ϑ1
∫
π
sin ϑ cos ϑ dϑ =
σ
4πε 0
sin
2π
∫
dϕ
0
2
σ
∫π sin ϑ (d sin ϑ ) = 4ε
⎛
⎞
sin⎜ −ϑ1 ⎟
⎝2
⎠
sin2 ϑ1 .
0
om
2
π
σ1
∫ dϕ ∫ sin ϑ (d sin ϑ ) = 4ε
rib
σ1
4πε 0
⎛π
⎞
sin⎜ −ϑ1 ⎟
⎝2
⎠
2π
0
0
cos2 ϑ1 .
0
Ct
E2,y =
e.c
Analogamente, per la parte di calotta sferica di quota superiore ad h1, l’espressione del campo
elettrico E2,y sarà:
AB
Dovendo essere nullo il campo elettrico totale in O, le due densità di carica σ e σ1 devono
avere segno opposto. In queste condizioni, il rapporto, in modulo, tra le due densità superficiali
di carica è dato allora da:
σ1
= tan2 ϑ1 = 3.
σ
Nel caso della situazione (b), alla parte di calotta sferica superiore si sostituisce un disco di
raggio R1=Rcosϑ1. Il valore in modulo del campo elettrico generato lungo l’asse del disco di
raggio R1, uniformemente carico, è:
E(O) =
σ ⎡⎢
1−
2ε 0 ⎢
⎣
⎤
⎥,
R12 + y 2 ⎥⎦
y
con y la distanza generica di un punto appartenente all’asse dal centro del disco. Nel caso del
problema si ha y=Rsinϑ1, (distanza del punto O dal centro del disco), e l’espressione del
campo elettrico E3,y in O diviene:
E3,y =
σ2
(1 − sin ϑ1 ) .
2ε 0
Anche nel caso della situazione (b), il campo elettrico in O deve essere nullo e le due densità di
carica σ e σ2 devono avere segno opposto. Pertanto, in questa situazione si ha che il rapporto
tra le due densità di carica superficiale è:
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