introduzione alla relatività generale - Lezioni di fisica per gli allievi

INTRODUZIONE ALLA RELATIVITA’ GENERALE
Galileo, lasciando cadere pietre di dimensioni diverse, aveva dimostrato che la gravità è
indipendente dalla massa ossia che oggetti di massa diversa si muovono con la stessa
accelerazione di gravità g.
Dalla seconda legge di Newton segue: 𝑎
=
𝐹
𝑚𝑖
𝑚𝑖 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒
la massa inerziale 𝑚𝑖 rappresenta l’inerzia di un corpo e si misura attraverso
l’accelerazione che una forza costante produce sul corpo
Dalla legge di gravitazione universale segue: 𝐹
=
𝐺𝑀𝑇 𝑚 𝑔
𝑅𝑇2
𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒
la massa gravitazionale mg è responsabile dell’attrazione gravitazionale tra
due corpi
apparentemente le due masse non hanno nulla in comune.
Combinando le due equazioni si ha:
𝑎=
𝐺𝑀𝑇
𝑅𝑇2
∙
𝑚𝑔
𝑚𝑖
Nel 1909 il fisico ungherese Loránd Eötvös dimostrò sperimentalmente l’uguaglianza tra massa
inerziale e massa gravitazionale con una precisione dell’ordine di 10-8. Più recentemente Dicke
è arrivato ad una precisione di 10-12.
Tale uguaglianza prende il nome di PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DEBOLE (PED).
Einstein si rese conto che l’uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale era un fatto
empirico di grandissima importanza e lo estese introducendo un fondamentale principio:
PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FORTE (PEF):
Un sistema accelerato con accelerazione 𝑎 è, localmente, perfettamente equivalente ad un
sistema immerso in un campo gravitazionale avente accelerazione di gravità 𝑔 = 𝑎
Per capire il significato profondo di questo principio
prendiamo in considerazione l’esperimento concettuale
(gedankenexperiment) del razzo.
L’astronave rappresenta un laboratorio spaziale senza oblò
o dispositivi che permettano di guardare all’esterno.
In questo laboratorio un fisico, attrezzato di metri, orologi e
quant’altro necessario, effettua esperimenti per seguire il
comportamento della materia, senza però poter osservare
lo spazio esterno.
Immaginiamo due osservatori collocati all’interno di due astronavi identiche. La prima, A,
ferma sulla rampa di lancio e la seconda, B, in accelerazione nello spazio lontano da qualsiasi
massa.
Supponiamo anche che B si muova con un’accelerazione esattamente pari a quella di gravità
sulla superficie terrestre.
In base al PEF gli osservatori O e O’, qualunque esperimento essi effettueranno, troveranno
esattamente gli stessi risultati.
In altre parole, senza guardare fuori, nessuno dei due osservatori sarà in grado di stabilire se
l’astronave si è già sollevata in volo.
Gli effetti prodotti da un campo gravitazionale sono indistinguibili da quelli prodotti da un
opportuno sistema di riferimento accelerato.
Per definizione un riferimento si dice inerziale se in esso vale la legge d’inerzia, ovvero se un
punto materiale non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme.
In base al PEF si può ritenere localmente inerziale ogni riferimento in caduta libera in un
campo gravitazionale.
Non sono inerziali, in un campo gravitazionale, i riferimenti fermi o comunque che non siano
in caduta libera in quanto avvertono la forza di gravità.
DEFLESSIONE DELLA LUCE
La luce è costituita di fotoni privi di massa e quindi non
dovrebbe essere deviata dal campo gravitazionale.
Mediante il principio di equivalenza si dimostra che anche
la luce deve essere deviata dalla gravità.
Supponiamo di aver montato su una parete dell’astronave
un faretto che emetta un fascio di luce laser parallela al
pavimento.
Se il sistema è inerziale e lontano da campi gravitazionali il
fascio si manterrà parallelo al pavimento.
Cosa succede se ora l’astronave si muove con accelerazione pari a g verso l’alto?
A causa dell’accelerazione l’osservatore all’interno
dell’astronave vedrà il fascio luminoso seguire una
traiettoria curvata verso il basso, esattamente uguale a
quella che seguirebbe un qualsiasi altro corpo.
L’osservatore all’interno dell’astronave, non potendo
guardare all’esterno, non può sapere se l’astronave è in
accelerazione g verso l’alto o è fermo sulla superficie di un
pianeta avente accelerazione di gravità g verso il basso.
In questo caso, l’osservatore all’interno dell’astronave,
attribuisce la deviazione della luce alla forza gravitazionale.
Secondo la relatività generale, la forza di gravità è in grado di deviare la traiettoria della luce,
malgrado essa non abbia massa.
EFFETTI DEL CAMPO GRAVITAZIONALE SULLO SPAZIO-TEMPO
Supponiamo di avere un enorme disco
rotante sul quale siano segnate due
circonferenze: una circonferenza 𝐴 molto
piccola e una circonferenze 𝐵 grandissima.
Questo riferimento, a causa della
rotazione, non rappresenta un sistema
inerziale.
Al di sotto di questo disco si trova un altro
disco identico ma non rotante sul quale
sono segnate altre due circonferenze
uguali 𝐴′ e 𝐵′ .
Questo secondo disco, dato che non ruota, rappresenta un sistema di riferimento inerziale.
I due osservatori verificano l’uguaglianza dei loro metri nel centro dei dischi. I due osservatori
misurano i raggi 𝑎 e 𝑎′ e le circonferenze 𝐴 e 𝐴′ e verificano che sono uguali.
I raggi sono trasversi al moto e di conseguenza non subiscono effetti relativistici mentre per
quanto riguarda le circonferenze, essendo queste molto piccole, sono trascurabili gli effetti
relativistici.
Facendo il rapporto
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎
𝑟𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜
entrambi gli osservatori otterranno:
𝐴
𝑎
=
𝐴′
𝑎′
= 2𝜋 quindi è
valida la GEOMETRIA EUCLIDEA.
I due osservatori si portano sulla circonferenza esterna. In questo caso, essendo grandissima,
si osservano effetti relativistici.
Per quanto riguarda i raggi b e b′ la situazione è analoga alla precedente per cui misureranno
lo stesso valore.
Per quanto riguarda le circonferenze 𝐵 e 𝐵′ invece la situazione sarà diversa in quanto,
essendo i raggi molto grandi, le velocità sono relativistiche e di conseguenza 𝐵 ≠ 𝐵′ .
L’osservatore a bordo del disco in quiete verifica nuovamente la validità della relazione
𝐵′
𝑏′
𝐵
𝑏
= 2𝜋 GEOMETRIA EUCLIDEA mentre questo non è vero per l’osservatore in rotazione
< 𝜋. La conclusione è quindi che, per l’osservatore nel sistema rotante, la geometria
euclidea non è valida.
L’osservatore a bordo del disco rotante avverte la forza centripeta ma, in base al PEF, questa
forza è equivalente alla forza causata dalla presenza di una massa che esercita una attrazione
gravitazionale diretta verso l’esterno.
LA PRESENZA DI MASSE RENDE LO SPAZIO NON EUCLIDEO.
Supponiamo di avere quattro orologi
denominati: 𝐴, 𝐴′ , 𝐵, 𝐵′ . (vedi figura)
Come per le lunghezze, essendo le velocità
reciproche molto ridotte, si troverà che 𝐴
e 𝐴′ indicheranno lo stesso tempo. Questo
stesso tempo lo misurerà anche 𝐵′ , in
quiete rispetto ad 𝐴′ . L’osservatore in
quiete troverà invece che l’orologio 𝐵, in
moto relativistico, indicherà un tempo
dilatato rispetto a 𝐵′ e conseguentemente
anche rispetto ad 𝐴.
Da ciò segue che nel riferimento in rotazione gli orologi non sono sincronizzati (riferimento
non inerziale).
L’osservatore a bordo del disco rotante avverte la forza centripeta ma, in base al PEF, questa
forza è equivalente alla forza causata dalla presenza di una massa che esercita una attrazione
gravitazionale diretta verso l’esterno.
LA PRESENZA DI MASSE MODIFICA IL RITMO DEGLI OROLOGI.
In particolare lo scorrere del tempo risulta essere rallentato rispetto al tempo misurato da un
orologio posto in assenza di gravità.
∆𝑡 = ∆𝜏 1 +
2𝑈
𝑐2
con 𝑈 = −
𝐺𝑀
𝑟
potenziale gravitazionale
SPAZIO-TEMPO CURVO
𝑪
< 𝟐𝝅
𝒓
I matematici dell’800 avevano dimostrato
che la geometria euclidea non è l’unica
geometria possibile. Esistono altre
geometrie possibili in cui il valore del
𝐂
rapporto ≠ 𝟐𝛑.
𝐫
𝑪
> 𝟐𝝅
𝒓
l’effetto del campo gravitazionale è
quello di modificare lo spazio rendendolo
non euclideo.
𝑪
𝒓
= 𝟐𝝅
METRICA DELLO SPAZIO-TEMPO
La distribuzione di materia ed energia
determina la curvatura e quindi la metrica
La metrica determina il moto degli oggetti
nello spazio-tempo
In presenza di campo gravitazionale le
masse si muovono in uno spazio-tempo
curvo descrivendo delle geodetiche ( linea
più breve nello spazio-tempo)
1
𝑅𝜇𝜐 − 𝑔𝜇𝜐 𝑅 = −8𝜋𝐺𝑇𝜇𝜐
2
𝑅𝜇𝜐 = tensore di curvatura di Ricci
𝑅 = scalare di curvatura
𝑔𝜇𝜐 = tensore metrico
𝑇𝜇𝜐 = tensore energia-impulso
VERIFICHE SPERIMENTALI DELLA RELATIVITA’ GENERALE
 Precessione del perielio
 Deflessione della luce - Lente gravitazionale
 Red-shift gravitazionale
 Onde gravitazionali
 GPS: global positioning system
Precessione del perielio
In astronomia viene chiamato precessione del
perielio il fenomeno per cui, per effetto delle
interazioni gravitazionali tra i pianeti del
sistema solare, le loro orbite non sono ellissi
fisse e immutabili, come previsto dalle leggi di
Keplero, ma cambiano lentamente forma.
Tra tutti i pianeti del sistema solare, Mercurio
è quello che presenta la precessione del
perielio più accentuata, essendo il più vicino al
Sole.
Il fenomeno è previsto dalla teoria della
gravitazione universale di Isaac Newton, ma i valori previsti non sono in accordo con i dati
sperimentali. Le previsioni fornite dalla relatività generale sono invece in ottimo accordo.
Deflessione della luce - Lente gravitazionale
la luce subisce segue il percorso a distanza
minima (geodetica). In prossimità di grandi masse
la geometria dello spazio-tempo non è euclidea e
le geodetiche non sono le rette. Se la luce
proveniente da una stella, nel suo viaggio verso la
Terra, passa in prossimità del Sole, essa verrà
deviata e la stella ad un osservatore sulla Terra
apparirà nella posizione B invece che in quella
reale A.
Einstein propose di verificare tale deviazione
durante un’eclisse in quanto grazie ad essa è possibile osservare la posizione apparente di
stelle molto vicine al bordo del disco solare. Confrontando poi la posizione di queste stelle in
tale situazione con la posizione delle stesse stelle in assenza del Sole è possibile misurare la
deviazione della Luce. La verifica fu fatta con
successo in occasione dell’eclisse di Sole del 1919.
L’esistenza delle lenti gravitazionali è un altro
fenomeno fisico previsto dalla teoria della
relatività generale. Quando un corpo di grande
massa viene a trovarsi fra una sorgente di luce e
l'osservatore, i raggi di luce provenienti dalla
sorgente vengano deviati in modo tale da
provocare un'amplificazione del segnale luminoso
simile a quella causata da una lente.
Red-shift gravitazionale
Un fotone emesso da una stella deve risalire il
campo gravitazionale per allontanarsi dalla stella. La
luce emessa dal Sole per esempio, mentre si
allontana dallo stesso, spende energia ed arriva
sulla. Dato che l’energia di un fotone è pari a
𝐸 = 𝑕 ∙ 𝑓 se l’energia diminuisce diminuirà anche la
frequenza. Tale fenomeno venne chiamato
spostamento gravitazionale verso il rosso.
Onde gravitazionale
Se una grande quantità di materia
subisce una rapida accelerazione la
curvatura dello spazio-tempo subisce
una “increspatura” e vengono generate
onde gravitazionali, simili alle onde
dell’acqua.
Tali onde furono previste teoricamente
da Einstein e scoperte nel 2016 Grazie
alla misura effettuata con gli
interferometri gemelli LIGO.
GPS: global positioning system
24 satelliti che orbitano ad una altitudine da terra di
circa 20000 𝑘𝑚 con un periodo di rotazione di 12
ore. Ogni satellite ha un orologio atomico a bordo.
Il ricevitore GPS compara i segnali degli orologi di
diversi satelliti per usare poi il metodo del
posizionamento sferico per individuare la sua posizione sulla superficie della Terra. Affinchè
possa funzionare correttamente ci deve essere perfetta sincronia tra gli orologi a bordo dei
satelliti e quelli a Terra. Per un corretto funzionamento occorre tener in considerazione sia la
R.R. che la R.G. in quanto a causa del loro moto orbitale a velocità molto elevate gli orologi a
bordo dei satellite hanno un ritardo di 7μs/giorno mentre gli orologi a Terra (campo
gravitazionale più intenso) hanno un ritardo di 46μs/giorno.
Se non si tenesse conto di questi fattori si avrebbe un errore di circa 10 𝑘𝑚 al giorno.