INVERSIONE DEI DATI GEOFISICI Determinare le caratteristiche

INVERSIONE DEI DATI GEOFISICI
Determinare le caratteristiche fisiche e geometriche
delle strutture sepolte da osservazioni fatte
su una superficie
Le tecniche di inversione dipendono dalla scala dei “bersagli”
bersagli da studiare
studiare.
In geofisica la scala delle strutture va da qualche metro (geofisica
ingegneristica) a qualche decina-centinaia di metri (Geofisica di esplorazione)
ingegneristica),
esplorazione),
fino alle decine-centinaia di km (Geofisica della Terra Solida).
L inversione può essere applicata alle misure attive (sorgente artificiale) o
L’inversione
passive (sorgente naturale).
La tabella seguente mostra vari esempi di sistema fisico, della fisica sottostante, della quantità fisica a cui siamo interessati e del tipo di dati osservati.
L’inversione dei dati geofisici è complessa perché :
1) non sii misura
i
di
direttamente
tt
t lla grandezza
d
d
da iinvertire
ti
2) L’inversione non è univoca perché le incognite sono i parametri fisici e
le geometrie delle strutture
Sistema fisico
Equazioni
descriventi
Quantità fisica
Dati osservati
Campo
gravitazione
terrestre
Legge di
gravità di
Newton
Densità
Campo
gravitazionale
Campo
magnetico
terrestre
Equazioni di
Maxwell
Suscettività
magnetica
Campo
magnetico
Velocità e
densità
Velocigrammi
Campo
Equazione
elastico (Onde
d'onda
sismiche))
Supponiamo di avere un’equazione
un equazione o un sistema di equazioni scritte in termini
di parametri dei materiali incogniti, per es. nel caso di un campo d’onda
sismico, equazioni che descrivono l’origine e la propagazione delle onde
diffuse in un mezzo
mezzo.
Possiamo porre 2 tipi di problemi:
1) Problema diretto, in cui i parametri sono noti e il campo d’onda è
l’incognita;
2) Problema inverso, in cui i dati sono le osservazioni del campo d’onda.
Le incognite sono i parametri dei materiali e le superfici di discontinuità.
Il problema diretto, detto anche forward modeling, richiede un grosso
dispendio di energie e la soluzione non è valutabile dal punto di
vista statistico.
Le tecniche di inversione sono sufficientemente robuste nel senso che i
risultati peggiorano dolcemente quando le condizioni non sono
ideali.
Per esempio, se una superficie venisse riconosciuta perfettamente per
dati perfetti, noi cerchiamo dei metodi di inversione in grado di farci
riconoscere la superficie leggermente deformata per dati
leggermente “rumorosi”, con l’errore nell’immagine della struttura
proporzionale all’errore nei dati.
L'obiettivo del problema inverso è trovare il miglior modello, m, tale che
d G(m)
d=G(m)
dove G è un operatore descrivente la relazione esplicita tra i dati osservati, d, e
ip
parametri del modello.
L'operatore G è chiamato operatore diretto, operatore di osservazione,
oppure funzione di osservazione.
In un contesto più generale, G rappresenta le equazioni che governano
il collegamento dai parametri del modello ai dati osservati (cioè la fisica sottostante).
I matematici definiscono un problema come “ben posto” o “mal posto” in
b
base
a 3 requisiti:
i iti
Ha soluzione
Che è unica
Dipende contin
continuamente
amente dai dati
dati, do
dove
e per dati si intende una
na q
quantità
antità nota
che riguarda il problema, non solo brutalmente i dati di misura.
L’esistenza
L
esistenza e l’unicità
l unicità delle soluzioni può essere forzata ampliando o
restringendo lo spazio delle soluzioni (spazio del modello).
La stabilità invece dipende dagli errori di misura
misura, ma può essere ricavata
con informazioni addizionali (vincoli a priori).
Problema inverso lineare
Nel caso del problema inverso lineare discreto descrivente un sistema
lineare d e m sono vettori,
lineare,
ettori e il problema può
p ò essere scritto come
d=Gm
dove G è una matrice,, spesso
p
chiamata la matrice di osservazione.
Esempio: Il campo gravitazionale terrestre
Dalla Legge di Gravitazione di Newton, sappiamo che l'espressione matematica per la
gravità è:
d=a=KM/r2
dove a è una misura dell'accelerazione g
gravitazionale locale,, K è la costante di
gravitazione universale, M è la (densità) di massa locale in prossimità della superficie
ed r2 è la distanza dalla massa al punto di osservazione.
osservazione
Per esempio, consideriamo il caso in cui effettuiamo 5 misure sulla superficie terrestre.
In tal caso, il nostro vettore dei dati, d, è un vettore (in formato) colonna di dimensione (5x1).
S pponiamo inoltre di avere
Supponiamo
a ere una
na distribuzione
distrib ione di cinque
cinq e masse al di sotto della ssuperficie
perficie .
Quindi, possiamo costruire un sistema lineare che collega le cinque masse incognite ai cinque
dati puntuali come segue:
Il sistema ha cinque equazioni, G, con cinque incognite, m.
Per ottenere i parametri del modello che si adattano ai nostri dati, possiamo invertire
la matrice G:
m=G-1d
Tuttavia, non tutte le matrici quadrate sono invertibili (G è il più delle volte non invertibile).
Questo perché non abbiamo la garanzia di avere informazione sufficiente per
determinare unicamente la soluzione di un'equazione
q
data a meno di avere misure
indipendenti (cioè misure aggiungenti ciascuna un'informazione univoca sul sistema).
In termini algebrici, la matrice G è deficiente in rango (cioè ammette autovalori nulli), quindi
non è invertibile.
invertibile
Inoltre, se noi aggiungiamo ulteriori osservazioni (cioè ulteriori equazioni), allora la
matrice G non rimane più di tipo quadrato.
Anche in tal caso non abbiamo la g
garanzia di ottenere un rango
g p
pieno p
per la matrice delle
osservazioni.
Perciò molti problemi inversi sono considerati sotto determinati, intendendo in tal modo che
non abbiamo soluzioni univoche al problema inverso.
Se abbiamo un sistema a pieno rango,
rango allora la nostra soluzione può essere unica
unica.
L’ equazione d=G m mette in relazione un vettore di dati di dimensioni n (numero osservazioni)
e un vettore del modello di dimensione m ( numero dei parametri del modello).
In generale n>m (problema sovradeterminato) e G non è quadrata (righe>colonne).
Se G è quadrata,
quadrata possiamo risolvere ll’equazione
equazione direttamente per ottenere m (modello).
(modello)
Basta infatti moltiplicare ambo i membri per l’inversa G -1
poiché G G-1 = I (matrice identità)
si ottiene:
G-1 d = m
Possiamo scrivere un’ equazione che misura il misfit del modello:
E = [ d-Gm
d Gm ]
Se il modello fitta esattamente tutti i dati, allora E è un vettore di dimensione n
con gli elementi nulli.
Poiché questo non avviene, il problema inverso viene progettato per trovare un modello
che renda minimo E. Un modo comune è quello di considerare il quadrato dell’errore:
Forma generalizzata
mest = G-g dobs
dove G-g è ll’inversa
inversa generalizzata
ERRORE di PREDIZIONE
obs
ei= di
pre
– di
pre
Essendo d
= G mest
ERRORE TOTALE
N
E= Σ ei
i=1
2
MATRICE RISOLUZIONE DATI
di
pre
est
=Gm
-g obs
= G [G d
-g
obs
] = [G G ] d
N matrice
N=
t i risoluzione
i l i
dei
d i dati
d ti
N= I (matrice identità)
d
pre
= d
obs
MATRICE RISOLUZIONE MODELLO
tru
Gm
est
m
= d
obs
-g
g obs
=G d
-gg
tru
= G [G m
tru
]=Rm
R= matrice risoluzione dei parametri del modello
Problema inverso non lineare
I problemi inversi non lineari presentano una relazione più complessa tra dati e modello
d=G(m)
In questo caso G non è un operatore lineare e non può essere separato in modo
da rappresentare una mappatura lineare dei parametri del modello che trasforma m nei dati.
dati
Nel cercare la soluzione, la prima priorità è comprendere la struttura del problema e
dare una risposta teorica ai tre quesiti di Hadamard .
Solamente in una fase di studio successivo la regolarizzazione e l'interpretazione della
dipendenza della soluzione (o delle soluzioni
soluzioni, a seconda delle condizioni di unicità)
dai parametri e dai dati/misure (probabilistiche o altre) può essere fatto.
L’inversione
L
inversione geofisica consiste nel trovare un valore ottimale di una funzione di
misfit, funzione che definisce la differenza (o la similarità) tra dati osservati
e dati sintetici calcolati assumendo un determinato modello della Terra.
La superficie di misfit
misfit, intesa come una funzione del modello dei parametri
parametri,
può essere molto complicata, con molti massimi e minimi.
Il minimo dei minimi è detto minimo globale o assoluto, mentre tutti gli altri
sono chiamati minimi locali. Purtroppo non è facile trovare il minimo
assoluto.
Esistono metodi:
di ottimizzazione locale (metodi del gradiente discendente, steepestgradient),
g
ad e ), cche
e tentano
e a od
di trovare
o aeu
un minimo
o locale
oca e nelle
e e vicinanze
c a e de
della
a
soluzione iniziale).
Sono metodi deterministici: usano le proprietà locali della funzione di misfit
per calcolare e aggiornare
p
gg
l’ultima soluzione trovata e p
procedere nella
direzione di un altro minimo.
di ottimizzazione globale: questi metodi sono di natura probabilistica ed
usano informazioni globali sulla superficie di misfit per aggiornare la
soluzione più recente.
PROPRIETA’ SOLUZIONI METODI D’INVERSIONE
Le soluzioni dei problemi inversi devono godere di alcune proprietà
fondamentali:
1) ESISTENZA : implica che esista almeno un modello che possa
spiegare i dati.
2) UNICITA’ : ognii modello
d ll d
deve generare un iinsieme
i
unico
i di d
dati.
ti
3) STABILITA’ : la stabilità indica come piccoli errori nei dati possono
propagarsi nel modello; una soluzione stabile è insensibile a piccoli
errori nei dati. L’instabilità può condurre alla non-unicità.
4) ROBUSTEZZA: la robustezza indica il livello di insensibilità delle
soluzioni rispetto ad un piccolo numero di grandi errori nei dati.
CLASSIFICAZIONE METODI D’INVERSIONE
Sulla base del metodo di ricerca adottato per trovare la soluzione ottimale, i
metodi d’inversione possono essere classificati come:
1. Metodi di inversione lineare o linearizzata
2. Metodi lineari iterativi o del gradiente
3 Metodo enumerativo o della griglia di ricerca (Trial and Error)
3.
4. Metodo Monte Carlo
5. Metodi Monte Carlo controllati
Un buon metodo ((Hedgehog)
g g) è basato sulla ricerca dei
minimi di una funzione MULTIDIMENSIONALE,
co b
combinando
do
i metodi
MONTECARLO
TRIAL-AND-ERROR
Individua un primo
investiga in maniera
punto di minimo
sistematica i punti adiacenti
La funzione MULTIDIMENSIONALE è la
CURVA di DISPERSIONE del MODO FONDAMENTALE
di RAYLEIGH/LOVE
I parametri dello spazio dei modelli esplorati sono
ggeneralmente le velocità Vs e ggli spessori
p
H degli
g strati
Fissato un modello di Terra (caratterizzato da spessori H, Vs, Vp, ρ) con la tecnica
della SOMMA dei MODI, si calcola una curva di dispersione teorica. È
accettata come soluzione se e solo se:
1) La curva di dispersione teorica è compresa tra le barre di errore della curva
sperimentale.
2) L’r
L’r.m.s.
m s (root
( t mean square)) tra
t le
l curve di dispersione
di
i
teorica
t i e sperimentale
i
t l è
inferiore a una soglia prefissata (circa 60% della media degli errori calcolati
sulla curva sperimentale).
La ricerca sistematica con il metodo TRIAL-AND-ERROR
è effettuata variando i valori dei parametri di una quantità
pari al loro p
p
potere risolutivo
Parametro
P1=Vs
P2=H
Valore centrale
Vso
Ho
Potere risolutivo
Δ Vs
ΔH
Per le Vs,
Vs il potere risolutivo è calcolato mediante:
1) La quantità δU(Ti)/ δVsj si stima con le derivate
(combinazione della curva di dispersione sperimentale e un
modello di Terra iniziale)
2) L’incertezza σ(Ti) è l’errore ai diversi periodi della curva
sperimentale
Per gli spessori H, il potere risolutivo è stabilito dall’operatore
quanto più ampio è il range di periodi campionati nella
curva sperimentale, tanto maggiore sarà la profondità
investigabile
quanto più piccola è l’incertezza sulla curva sperimentale,
tanto maggiore sarà il potere risolutivo sulle velocità e
sugli spessori degli strati da invertire.
Potere risolutivo di un set di dati rispetto ai parametri
strutturali
Il passo di variazione dPj lungo l’asse del parametro Pj coincide
con il potere risolutivo σ(Pj) sullo stesso Pj.
Il potere risolutivo σ(Pj) dipende a sua volta dalle incertezze nei
valori sperimentali della funzione dei parametri.
Quanto
Q
t più
iù piccola
i
l è l’i
l’incertezza
t
sulla
ll curva sperimentale,
i
t l ttanto
t
migliore è il potere risolutivo sui parametri da invertire.
La risoluzione massima per un dato parametro Pj (potere risolutivo ottimistico, step
massimo per il parametro Pj) è definita come:
⎡⎛ ∂u (T ) ⎞ −1
⎤
i ⎟
(
σ ott (Pj ) = min ⎢⎜⎜
σ
Ti )⎥
u
⎥
⎢⎝ ∂Pj ⎟⎠
⎣
⎦
Essendo u la velocità di fase o di gruppo osservata al periodo Ti, σu(Ti)
ll’errore
errore sperimentale
sperimentale, N il numero di periodi campionati
campionati.
Il parametro Pj cambia di una quantità ∂Pj dal suo valore iniziale mentre
gli altri parametri rimangono fissi
Inversione non lineare hedgehog
(Valyus et al.,1968; Panza, 1981)
P1, P2,
P1
P2 P3,
P3 P4 Vs velocities (m/s)
P5, P6, P7
layer thickness (m)
Parameters Min
Max
Step
P1
160
220
30
P2
130
270
70
P3
160
280
60
P4
150
450
150
P5
1
9
4
P6
4
14
5
P7
9
21
6
Lo spazio dei parametri viene
esplorato
mediante
uno
step
d’indagine
legato
all’
errore
sperimentale. Il modello è accettato
come soluzione quando r.m.s è
inferiore ad una quantità definita a
priori.
(a)
(b)
(a) Curve di dispersione della velocità di gruppo relative ai segnali con
50 60,
50,
60 70,
70 e 80m di offsets,
offsets con la curva di dispersione media (punti
pieni) e le relative barre di errore 2σ. (b) Modelli di velocità delle
onde di taglio, Vs (linee nere) e area esplorata (linea grigia)
(Nunziata et al
al., 1999a)
VESUVIO
Reggia
gg di Portici
SAMPLING DEPTH
Vs models
(
(Hedgehog
g
g
solutions) obtained at
Epipoli, Siracusa
from the inversion of
the group velocity
dispersion curve.
curve The
stratigraphic
sequence
q
is
hypothesized
according to the
geology
l
off the
h
investigated area.
FTAN in Archeological sites
Vs models
(Hedgehog
solutions)
obtained at St.
Nicolò l’Arena
church Catania
church,
from the
inversion
ve s o oof tthee
group velocity
dispersion
curve. The
stratigraphic
sequence of a
close drilling is
also shown.
Velocità Vs relative a tutti i prodotti napoletani ottenute con misure in foro
(Comune di Napoli, 1994) e con i metodi FTAN-Hedgehog (Nunziata et al., 2004).
Confronto tra velocità di fase calcolate con FTAN (tra segnali registrati a 50 e 80m dalla
sorgente) e SASW. Le linee tratteggiate rappresentano le velocità di fase calcolate per le
soluzioni Hedgehog. Il confronto SASW-FTAN è buono a piccole distanze
intergeofoniche (10 m).
m) A distanze maggiori,
maggiori le velocità di fase,
fase a causa di un erroneo
numero di cicli, possono essere erroneamente interpretate come velocità più alte
(Nunziata et al., 1999a).
FTAN and down-hole measuremets
Site 10
Comparison between down-hole Vs measurements (Comune di
Napoli, 1994) and the Vs models inverted from average FTAN
group velocity with Hedgehog non-linear method at Napoli.