Flusso del campo elettrico e legge di Gauss.
- Si definisce superficie gaussiana una ipotetica superficie S chiusa,
che contiene un volume V.
- La legge di Gauss mette in relazione i valori dei campi elettrici su
questa superficie, con le cariche contenute all’interno del volume
racchiuso dalle superfici, attraverso la nozione di Flusso.
n
E
dS
- Flusso elementare: considerata una superficie infinitesima dS che
contiene il punto P, piana, abbastanza piccola per cui si possa ritenere
che il campo elettrico E(P) non vari in modulo, direzione e verso sulla
superficie e detta n la normale uscente (rispetto alla superficie totale)
a questa superficie, si definisce flusso elementare dΦ la quantità
scalare
r
r
r
r
)
d Φ = E (P) ⋅ n (P)dS(P) = E (P) ⋅ d S (P) ≡ E (P) dS(P) cos θ E, dS
dove
r
)
dS : vettore areale ≡ dS(P) n (P)
vettore di modulo uguale all’area della superficie orientato come la
normale.
-Il flusso elementare è positivo se E è uscente dalla superficie,
negativo se E è entrante in essa, nullo se E è parallelo alla superficie (o
E=0).
- Flusso totale uscente dalla superficie chiusa S: è la somma di tutti i
flussi elementari, al tendere a zero delle aree infinitesime:
r
r
r
)
Φ = ∑ E (P) ⋅ n (P)dS(P) i ⇒ ∫ E (P) ⋅ d S (P)
(
i
cap7B
)
S
1
Flusso del campo elettrico.2
-Il flusso può essere definito nello stesso modo per qualsiasi quantità vettoriale: per
esempio per la velocità (per misurare il flusso d’aria attraverso una superficie chiusa
o aperta).
-L’unica differenza qua è che non vi è niente di materiale che passa attraverso la
superficie, il campo elettrico non è associata a materia: la rappresentazione
attraverso linee di forza sono la sola cosa ipoteticamente materiale nei disegni, ma
sono come abbiamo visto linee immaginarie che servono a visualizzare il campo
elettrico. Si può ovviamente definire il flusso anche per il campo gravitazionale
(forza gravitazionale esercitata su una massa m per unità di massa m), come per il
campo elettrico.
n
E
- Se le linee di forza sono come nel disegno sopra, il flusso totale è nullo, perché
nella parte inferiore il campo è in direzione contraria alla normale uscente. Nei
disegni sotto, a sinistra il flusso uscente è negativo perché la carica è negativa e il
campo è entrante, antiparallelo alla normale uscente. A destra a secondo dove
metto la superficie il flusso cambia valore
n
E
Φ=0
-
cap7B
Φ <0
Φ >0
2
Flusso del campo elettrico e legge di Gauss.
- Legge di Gauss: Il flusso del campo elettrico attraverso qualunque
superficie chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche in esse
contenute diviso per la costante dielettrica del vuoto.
Φ(E) =
S3
S2
S1
+q4
+q2
-q3
∑q
ε
int
o
- Applicazione e note:
Le quattro cariche creano TUTTE
il campo E(non visibile in figura).
Il flusso attraverso sia la
superficie S1 che la superficie S2
è lo stesso, perché entrambe
racchiudono le stesse cariche:
q2 − q3 + q4
= Φ S (E)
1
2
ε
o
- flusso attraverso S :
Φ S (E) =
+q1
3
Φ S (E) =
1
q1 + q2 + q4
ε
o
- Le cariche non devono essere puntiformi, possono anche essere
distribuzioni di cariche, e nel caso la distribuzione di carica sia
contenuta solo in parte dentro la superficie gaussiana, nel calcolo del
flusso si tiene conto solo della parte di carica contenuta.
Provare a verificare che la legge di Gauss è valida per una
carica puntiforme positiva posta al centro di una superficie
sferica gaussiana di raggio r.
cap7B
3
Applicazioni della legge di Gauss.
- Per tutti i campi elettrici, statici o meno, vale la legge di Gauss, che
rappresenta una delle proprietà del campo elettrico, e una delle 4 leggi
di Maxwell, che danno le proprietà del campo elettromagnetico.
Ma è anche utile per calcolare i valori dei campi elettrici in particolari
condizioni di simmetria e in casi in cui usare il principio di
sovrapposizione è complicato: per esempio il campo creato da una
distribuzione uniforme sferica di carica.
S
r
Q
n
R
- Supponiamo che la sfera di raggio R
sia piena di carica positiva con carica
totale Q, distribuita uniformemente
con densità di volume
ρ =
dq
dV
≡
Q
4
πR
3
3
(C/m
)
3
- Per ragioni di simmetria, è possibile vedere che il campo elettrico
creato dalla carica Q è radiale, uguale, in modulo, in tutti punti che si
trovano alla stessa distanza dal centro della sfera carica, e in
particolare sulla superficie sferica gaussiana S tratteggiata in figura.
Per ogni punto P di questa superficie la normale è diretta nello stesso
verso del campo elettrico (angolo tra E e n Uguale a zero) per cui il
flusso del campo elettrico (incognito) attraverso S è:
r
r
Φ = ∫ E (P) ⋅ d S (P) = ∫ E(r)dS = E(r) ∫ dS =E(r)4 π r 2
cap7B
S
S
S
4
Applicazioni della legge di Gauss. 2
- per la legge di Gauss, il flusso attraverso S è anche uguale alla carica
contenuta divisa εο :
Φ =
Q
ε0
- Uguagliando le due espressioni per il flusso attraverso S, che è una
generica superficie gaussiana esterna alla carica, a distanza r dal centro
si trova che il campo elettrico di una sfera carica, per i punti esterni
alla sfera (r > R) è:
r
r
E (r > R) =
S
r
Q
n
R
q(r)
- All’esterno della sfera carica il campo
uguale a quello che creerebbe la stessa
carica puntiforme concentrata nel centro
della sfera e nell’origine del sistema.
Riapplicando il procedimento a una
superficie gaussiana Si INTERNA alla
sfera, si trova per r< R
r
r
1 q(r) r
E (r < R) =
4 πε 0 r 2 r
Q
Si
1 Q r
4 πε 0 r 2 r
r
n
R
dove q(r) è la carica contenuta all’interno
e vale
4 3
Q 4 3 Qr 3
q(r) = ρ πr =
πr = 3
4 3 3
3
R
πR
3
Quindi:
r
E (r < R) =
r
1 Q r
r
≡
k
r
4 πε 0 R 3
- All’interno il campo aumenta linearmente con la distanza , è nullo al
cap7B
5
centro
e sulla superficie della sfera i due campi (interno e esterno)sono
uguali.
Applicazioni della legge di Gauss. Sfera cava
- Sfera cava. Ora la carica sia distribuita sulla superficie di una
sfera cava (mostrata in sezione in figura). La densità di carica è
superficiale e vale
dq
Q
σ =
≡
(C/m 2 )
2
dS
4 πr
- Si può dimostrare ancora che
S
Q
r
Si
n
R
r
E (r > R) =
r
1 Q r
4 πε 0 r 2 r
mentre all’interno non vi è nessuna
carica q(r<R)=0 per cui
r
E (r < R) = 0
All’esterno di una sfera cava e una
piena con la stessa carica i campi
elettrici sono indistinguibili.
cap7B
6
Energia potenziale elettrostatica e potenziale elettrico
- La forza di Coulomb ( e quindi la forza ottenuta con il principio di
sovrapposizione e dovuta a cariche elettriche ferme) è conservativa.
- Questo significa che se un sistema di cariche agiscono su una carica
esterna, il lavoro fatto per muovere questa carica da un punto a un altro è
indipendente dal cammino fatto o dalla particolare traiettoria, ma dipende
solo dal punto iniziale e finale considerato.
- Ad ogni punto dello spazio è possibile assegnare una energia potenziale
elettrostatica, (definita a meno di una costante) purché ci siano almeno due
cariche presenti: la carica che “crea” la forza e la carica che la subisce.
- Supponiamo di avere una carica q1 puntiforme, positiva in un punto dello
spazio che coincide con l’origine del sistema di riferimento e che non ci sia
niente altro intorno. L’energia potenziale elettrostatica associata alla
forza esercitata dalla carica q1 su una seconda carica q2 è definita come il
lavoro, cambiato di segno, che viene compiuto per portare la carica q2
dall’infinito ad un punto a distanza r dalla carica:
r
1 q1 q2
1 q1 q2
dr
=
2
4π
ε
4 π ε0 r
r
0
∞
Uq q2 (r) = −L∞ ≡ − ∫
(J=Nm)
- nella definizione è implicita l’assunzione che l’energia sia zero all’infinito,
e si usa la possibilità di scegliere il cammino più comodo e la carica q2 è
mossa su un cammino che è nella stessa direzione della forza (lungo una
linea di forza). Si nota che si ottiene la stessa energia se le cariche q1 e
q2 invertono il ruolo, ovvero è q2 che esercita la forza e q1 portata a
cap7B
distanza r dalla carica q2.
7
Energia potenziale elettrostatica e potenziale elettrico 2
r
1 q1 q2
1 q1 q2
dr
=
4π ε0 r 2
4 π ε0 r
∞
Uq q2 (r) = −L∞ ≡ − ∫
- Questa energia viene chiamata anche energia di configurazione, perché è
l’energia che deve essere fornita al sistema delle due cariche:
a) per formare il sistema se le cariche hanno lo stesso segno: l’energia di
configurazione è positiva , segno che il lavoro deve essere compiuto
dall’esterno applicando alla carica in movimento una forza pari ma di segno
contrario alla forza di repulsione elettrostatica;
b) per separarle , se le cariche hanno segno opposto: l’energia di
configurazione è negativa , il sistema si è formato “spontaneamente” e per
separarlo deve essere fatto lavoro contro la forza di attrazione..
- Una volta che il sistema delle cariche q1 e q2 è formato, entrambe
esercitano una forza su una eventuale carica q3 che dall’infinito venga
portata a distanza r31 dalla carica q1 e a distanza r23 dalla carica q2.
Ovvero: l’energia potenziale elettrostatica è dovuta a tutte le cariche che
si trovano a esercitare una forza su una carica che non e’ considerata parte
del sistema di cariche agenti. Quando si dice un elettrone ha energia
potenziale elettrostatica di tot Joule, significa che esiste da qualche parte
una distribuzione di cariche ferme che crea un campo elettrico, e che se
una carica estranea alla distribuzione si trova nel campo risente di una
forza elettrostatica e quindi l’elettrone ha potenzialmente energia
elettrostatica . L’energia dell’elettrone preso come esempio dipende dalla
sua distanza dalle cariche che creano il campo, ma anche dalla carica
dell’elettrone stesso. Per studiare la potenzialità che la distribuzione di
carica fornisce a qualsiasi carica si preferisce parlare di POTENZIALE
ELETTRICO, potenziale associato al campo creato dalla distribuzione della
cap7B
carica.
8
Potenziale elettrico
-Il campo elettrostatico E(r) , essendo la forza elettrostatica per unità di
carica, è anch’esso conservativo.
-Questo significa che per ogni curva nello spazio che unisce due punti
distinti i e f il lavoro fatto dal campo elettrico sulla carica di prova q0 è
indipendente dalla forma della curva, ma dipende solo dai punti di inizio i e
di fine f, o il lavoro fatto su una curva chiusa è nulla
f r
f r
r
r
E(r) conservativo → q0 ∫ E (r) ⋅ d l 1 = q0 ∫ E (r) ⋅ d l 2
i
r
r
E(r) conservativo → q0 ∫ E (r) ⋅ d l = 0
i
- Nelle relazioni sopra dl1 e dl2 indicano due vettori infinitesimi su due
percorsi differenti, tangenti alle curve stesse.
P
dl1
i
dl2
dl
f - Il potenziale elettrico in un
punto dello spazio è associato
al campo elettrostatico che vi
è ed è definito come il lavoro
per unità di carica di prova per
portare la carica stessa
dall’infinito al punto P( definito
attraverso il suo vettore
posizione r) .
r
V(r) = - ∫ E(r)dr
V( ∞) = 0
∞
- Il potenziale elettrico è anche l’energia potenziale fornita dal campo
elettrostatico E(r) per unità di carica che subisce il campo (U(r)/q).
Si misura in Volt (V) =J/C=Nm/C. Si assume che il potenziale all’infinito
sia nullo, in accordo alla convenzione per l’energia
cap7B
9
Potenziale elettrico: 2
La differenza di potenziale tra due punti è una quantità misurabile
ed è definita dal lavoro per unità di carico compiuto dal campo elettrico per
spostare la carica da un punto i a un punto f, cambiato di segno
rf
r
r
∆V = V(rf ) - V(ri ) = - ∫ E (r) ⋅ dr
ri
La differenza di energia potenziale di una carica q che si muove tra i due
punti nel campo è conseguentemente definita come
∆U = q ∆V
Superfici equipotenziali sono le superfici su cui il potenziale ha il medesimo
valore: spostandosi su queste superfici la differenza di potenziale (d.d.p.) è
nulla.
Il campo elettrico è sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali (se
così non fosse, il campo avrebbe una componente sulla superfici e la
differenza di potenziale tra due punti non sarebbe nulla), il verso è nella
direzione del potenziale decrescente.
Linea di forza
∆V sulla superficie =0
V =100 V
E
∆V max
V =200 V
La direzione e il verso di massima variazione del potenziale definiscono la
direzione e il verso di variazione del “gradiente” del potenziale. La
direzione coincide con la direzione delle linee di forza, il verso è opposto al
verso delle linee di forza.
cap7B
10
Potenziale elettrico: 3
Potenziale dovuto a una carica puntiforme posta in un punto individuato dal
vettore posizione r’:
r
q
q
1
1
=
dr
4πε 0 r - r' 2
4 πε 0 r - r'
∞
V(r) = −L∞ ≡ − ∫
V2<V1
r-r’
r
r’
V(∞) = 0
V1
Potenziale di
una carica
negativa
posta in r’=1
E (r)
Lo stesso potenziale della carica puntiforme ( in valore e forma) si misura
anche se esso è generato da una distribuzione di carica sferica ,all’esterno
della distribuzione stessa: una sfera carica o un guscio sferico carico con la
stessa carica totale q generano all’esterno (r> raggio delle sfere) un campo
come se la carica fosse una carica puntiforme concentrata al centro della
sfera stessa, piena o vuota che sia. Quindi il potenziale è lo stesso.
1 Q
V(r) =
r>R
V(∞) = 0
4 π ε0 r
r
Q
cap7B
r
Q
R
R
11
Potenziale elettrico: 4
Le cose cambiano per il potenziale di
queste distribuzioni all’interno: Il campo
all’interno è nullo per il guscio sferico e
questo significa che la differenza di
potenziale tra un qualsiasi punto P
all’interno del guscio e la superficie è nullo:
Q
P
R
R
r
r
∆V = V(P) - V(R) = - ∫ E (r) ⋅ dr = 0
rp
Questo significa che: V(P) = V(R) ≡
1 Q
= costante per ogni r<R
4 πε 0 R
r
Q
R
Per la sfera piena, il campo all’interno della
sfera è in modulo E(r)= kr (lineare con la
distanza dal centro( per cui per un punto r
generico si ha:
R
1
∆V = V(R) - V(r) = - ∫ krdr = − k(R 2 − r 2 )
2
r
⇓
1
k(R 2 − r 2 ) + V(R)
2
1
1 Q
= k(R 2 − r 2 ) +
2
4π ε o R
k=
V(r) =
cap7B
Calcolare quanto vale il potenziale al centro della sfera piena.
1 Q
4π ε 0 R 3
12
Potenziale elettrico: 5
Per ottenere il potenziale di un insieme di cariche distribuite in vari punti
basta sommare algebricamente i potenziali: il potenziale è una funzione
scalare e il calcolo è molto più semplice anche nel caso di distribuzioni di
cariche continue in confronto al calcolo del campo elettrico
corrispondente:
Date N cariche qi posizionate nei punti ri, il potenziale totale nel punto r,
che non deve coincidere con nessuno dei punti ri è:,
1
V(r) =
4 πε 0
N
∑
1
qi
1
⇒ V(r) =
r - ri
4 πε 0
ρ(r')dV(r')
∫ r - r'
V
La seconda espressione è la generalizzazione della prima quando la
distribuzione di carica è continua su un volume (una sfera piena per
esempio): se la distribuzioner>>d
di carica è di superficie o di linea
formalmente riscrivere il potenziale per l’appropriata distribuzione.
POTENZIALE DI DIPOLO:
1 ⎛q q⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ =
4πε0 ⎝ r+ r− ⎠
i=1
q ⎛ r− - r+ ⎞
⎜⎜
⎟⎟
=
4πε0 ⎝ r+r− ⎠
2
V(P) = ∑Vi =
z
P
Per r>>d si ha:
r-
2
r
d
⎛d⎞
r+ = r + ⎜ ⎟ − 2 rcosθ
2
⎝2⎠
2
r+
2
d
⎛d⎞
r− = r + ⎜ ⎟ + 2 rcosθ
2
⎝2⎠
2
d cosθ
-q
⇓
θ
d/2
cap7B
d/2
p=qdi
+q
r− - r+ ≈ d cosθ
x
r− r+ ≈ r
q
V(P) =
4 πε 0
⎛ r− - r+
⎜⎜
⎝ r+ r−
2
r r
⎞ qdcosθ
p ⋅r
⎟⎟ ≈
=
2
4 πε 0 r 3
⎠ 4π ε0 r
r>>d
13
z
V>0
+
V=0
V<0
z
V<0
V>0
-
cap7B
+
V=0
Superfici equipotenziali
di un dipolo allineato
sull’asse z (sezione
verticale passante per il
dipolo stesso).
Su un piano orizzontale
a quota z, le superfici
equipotenziali sono simili
a quelle di una carica
positiva.
Superfici equipotenziali sul piano
orizzontale a quota z di un dipolo
allineato perpendicolarmente
all’asse z. Il potenziale ha un
massimo positivo a destra, e un
massimo negativo a sinistra. E’
nullo su tutto il piano x=0.
+
14
+
z
+σ
+
+
+
+
+
V=0
cap7B
+
E
V1
V2
x
Linee equipotenziali di una carica positiva sul
piano orizzontale a quota z. Il potenziale ha un
massimo positivo al centro. Se la carica ha
simmetria sferica, sfere con la stessa carica si
diverso raggio e diverse profondità danno
risultati uguali in superficie.
Sono necessarie altre analisi per distinguere le
caratteristiche della sorgente.
Il potenziale generato da una distribuzione
piana di carica “infinita” vale:
σ
V(x) = − x
V(x = 0) = 0
ε0
L’assunzione V(x=0)=0 è convenzionale, ma può
essere posto potenziale nullo in un qualunque
punto (per esempio a distanza d dal piano). La
ddp non cambia.
Le superfici potenziali sono piani paralleli alla
distribuzione.
15
Relazione tra potenziale e campo elettrico
La differenza di potenziale tra due punti in una zona dello spazio
dove vi sia un campo elettrico E è definito come:
rf
r
r
∆V = V(rf ) - V(ri ) = - ∫ E (r) ⋅ d l
ri
Se si considera una variazione “infinitesima” si può scrivere :
dr
V
ri
r
r
dV = − E (r) ⋅ d l = − E(r) dl cosθ
V-dV
dV
dr
∂V
→ E(r) dl cosθ = El (r) dl ⇐⇒ El (r) = −
∂l
→ E(r) dl cosθ = E(r) dr ⇐⇒ E(r) = −
E
θ
dl
rf
A)
B)
A) Il campo elettrico si può ottenere
calcolando le variazioni (infinitesime) del potenziale
lungo la direzione di massima variazione e cambiando
di segno ( il campo è il gradiente vettoriale del
potenziale)
B) la componente del campo elettrico lunga la
direzione l si ottiene considerando le variazioni del
potenziale lungo quella direzione ( per questo vi è il
simbolo di derivata parziale). Se per esempio la
direzione è la direzione x: Ex = - ∂V(x,y,z)/∂x .
Analogamente per le altre direzioni in un sistema
cartesiano Ey = - ∂V(x,y,z)/∂y , Ez = - ∂V(x,y,z)/∂z .
Poiché l’energia di una carica Q che si trova immersa in un campo
elettrostatico E(x,y,z) il cui potenziale sia V(x,y,z) è:
U(x,y,z)= Q V(x,y,z)
e la forza sulla carica Q è:
F(x,y,z)= Q E(x,y,z)
Le componenti della forza possono essere trovate calcolando le variazioni
dell’energia potenziale cambiate di segno:
Fy= -∂U(x,y,z)/∂y
Fz= -∂U(x,y,z)/∂z .
Fx= -∂U(x,y,z)/∂x
cap7B
16
