Fisica
Vettori
Autore: prof. Pappalardo Vincenzo
docente di Matematica e Fisica
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Indice
1.
Grandezze scalari e vettoriali
2.
Algebra vettoriale
3.
Rappresentazione cartesiana di un vettore
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1. Grandezze scalari e
vettoriali
Le grandezze fisiche possono essere suddivise in due grandi categorie:
GRANDEZZE SCALARI – Sono tutte quelle grandezze fisiche che per
essere completamente definite e identificate, basta associare
ad esse un valore numerico, derivante da una operazione di
misura, e la relativa unità di misura.
Esempi
Temperatura, volume, tempo, lunghezza, massa, quantità di sostanza, umidità, densità:
sono tutte grandezze scalari in quanto basta assegnare loro un valore numerico e la
rispettiva unità di misura, derivanti da una operazione di misura, per avere tutte le
informazioni necessarie alla loro completa definizione ed identificazione.
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Prendiamo in esame un’altra grandezza fisica come la forza ed esaminiamo il suo
comportamento.
F
M
F
La conoscenza del solo valore della forza F, per esempio F = 10 N, non
definisce in maniera completa la grandezza fisica forza perché non ci dà nessuna
informazione sugli effetti che produce sul corpo di massa M.
La stessa forza applicata in un altro punto e lungo un’altra direzione e verso,
produce un effetto diverso.
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CONCLUSIONE
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Per definire in maniera completa la grandezza fisica forza dobbiamo dare le seguenti
informazioni:
9 il punto di applicazione: è il punto nel quale la forza viene applicata;
9 la direzione: è la retta lungo la quale la forza agisce;
9 il verso: è l’orientazione della forza;
9 l’intensità o modulo: è il valore della forza che viene assegnato attraverso
un ‘operazione di misura.
PUNTO DI
APPLICAZIONE
VERSO
DIREZIONE
INTENSITA’
GRANDEZZE VETTORIALI
– Sono tutte quelle grandezze fisiche che per essere
completamente definite e identificate, è necessario assegnare il punto di
applicazione, la direzione, il verso e l’intensità, e sono rappresentate da oggetti
chiamati vettori.
Per indicare che una grandezza è vettoriale si aggiunge una freccia sul
simbolo che la rappresenta, oppure il simbolo è in grassetto:
F
F
Se invece scriviamo:
F = 10 N
allora stiamo indicando solo l’intensità del vettore, ossia il valore
numerico della grandezza fisica derivante da un’operazione di misura.
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2. Algebra Vettoriale
Alle grandezze scalari si applica il familiare calcolo algebrico:
10 m + 15 m = 25 m
9s–5s=4s
25 kg • 2 kg = 50 kg
30 °C : 3 °C = 10 °C
Invece per le grandezze vettoriali dobbiamo utilizzare un altro tipo di
algebra, la cosiddetta Algebra Vettoriale.
Vettoriale
ATTENZIONE: In generale la somma vettoriale di due o più vettori
non coincide con la somma algebrica, cioè 10 N + 20 N
non dà come risultato 30 N, oppure 25 N – 10 N non dà
come risultato 15 N.
Vediamo perchè
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SOMMA VETTORIALE
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Se su un corpo agiscono più vettori, per esempio forze, bisogna capire in che modo si sommano
per determinare il vettore totale che si chiama vettore risultante che indicheremo con:
FT = F1 + F2 + F3 + ……..+ FN
1° CASO
: I vettori hanno tutti la stessa direzione
F1 = 30 N
F4
F5
F2 = 20 N
F3 = 10 N
F3
F2
F4 = 25 N
F1
F5 = 15 N
FT
Il vettore risultante FT = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 avrà come:
intensità la somma algebrica dei singoli vettori (positivi quelli diretti verso destra e
negativi quelli verso sinistra): FT = F1 + F2 + F3 – F4 – F5 = 30 + 20 + 10 – 25 – 15 = 20 N;
direzione quella dei singoli vettori, che è unica per tutti;
verso quello positivo, in quanto FT è diretto verso destra perché il suo valore è + 20 N;
punto di applicazione lo stesso dei singoli vettori.
ATTENZIONE – Solo in questo caso l’intensità del vettore risultante va calcolata
attraverso una somma algebrica.
2° CASO
: I vettori hanno direzione diversa
F1
SOMMA DI DUE VETTORI:
METODO DEL PARALLELOGRAMMA
P
¾ Dalla punta di F1 si traccia la parallela a F2
¾ Dalla punta di F2 si traccia la parallela a F1
¾ La risultante FT = F1 + F2 è il vettore che unisce
il comune punto di applicazione P con l’intersezione
delle due parallele tracciate.
FT
F2
DIFFERENZA DI DUE VETTORI:
FT = F1 – F 2 oppure FT = F2 – F 1
- F2
FT
Si traccia il vettore opposto a F2 cioè - F2 nel primo
F1
caso; si traccia il vettore opposto a F1 cioè - F1 nel
secondo caso;
- F1
FT
F2
Si applica la regola del parallelogramma tra F1 e -F2
nel primo caso; tra F2 e -F1 nel secondo caso.
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SOMMA DI PIU’ VETTORI:
METODO DEL PARALLELOGRAMMA
Si applica la regola del parallelogramma ai vettori
F1 e F2 per determinare la risultante F12
F1
P
F4
Si applica la regola del parallelogramma tra F12 e
F3 per determinare la risultante F123
F12
Si applica la regola del parallelogramma tra F123 e
F4 per determinare la risultante finale:
F2
FT = F1 + F2 + F3 + F4
La regola va applicata ripetutamente in
F3
F123
FT
presenza di più vettori.
FT = F 1 + F 2 + F3 + F4
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SOMMA DI PIU’ VETTORI: METODO DELLA POLIGONALE
Si fissa nel piano, a piacere, il punto P
Si riporta nel punto P il vettore F1 conservando tutte le sue caratteristiche (intensità,
direzione, verso)
Si riporta la coda del vettore F2 sulla punta del vettore F1, conservando tutte le
caratteristiche di F2
Si ripete il procedimento per F3 e F4
La risultante FT si ottiene unendo il punto P con la punta del vettore F4
F1
F1
P
P
F4
F2
F2
FT
F3
F3
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F4
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ESEMPIO
Fissare nel punto P cinque vettori con intensità, direzione,
verso scelti arbitrariamente e determinare la risultante sia con
il metodo del parallelogramma che con quello della poligonale.
F1 = 30 N
F2 = 20 N
F3 = 10 N
F4 = 25 N
F5 = 15 N
5 N = 1 cm
F1
METODO DEL PARALLELOGRAMMA
F12
P
F5
L’intensità della risultante FT si
determina nel seguente modo:
F2
F4
F3
F123
FT
F123
FT = 10 x 5 = 50 N
dove 10 cm, per esempio, è la
lunghezza del vettore FT misurata
con una riga.
Metodo della poligonale
F1
F1
F2
P
F5
P
F2
F4
F3
FT
F3
F4
F5
ATTENZIONE – I due metodi sono equivalenti, per cui l’intensità del vettore FT è :
FT = 10 x 5 = 50 N
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MOLTIPLICAZIONE DI UN NUMERO PER UN VETTORE
Il prodotto di un numero k per un vettore F dà come risultato un vettore FT
che ha lo stesso punto di applicazione, direzione e verso del vettore F ed un
modulo k volte quello di F:
FT = k · F
FT = k · F (modulo di FT)
Esempio
Sia F = 10 N una forza applicata ad un corpo. Se
triplichiamo la forza, quanto vale la forza risultante?
FT
F
F = 10 N
FT = 30 N
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PRODOTTO TRA DUE VETTORI
Esistono due tipi di prodotti tra vettori:
PRODOTTO SCALARE: il prodotto scalare tra due vettori F1 e F2 dà
come risultato uno scalare S dato da:
r r
S = F • F = F ⋅ F ⋅ cos α
1
PRODOTTO
VETTORIALE
2
1
2
Il prodotto vettoriale tra due vettori
F1 e F2, e si
r r r
indica con V = F ⊗ F dà come risultato un vettore
1
2
V diretto perpendicolarmente al piano che contiene
V
i due vettori F1 e F2 , e come modulo :
F1
V = F ⋅ F ⋅ senα
1
2
F2
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3. Rappresentazione
cartesiana di un vettore
Componenti
del vettore F
F = F ⋅ cos α
X
F = F ⋅ senα
Y
Modulo del
vettore F
F= F +F
2
2
X
Y
Argomento del
vettore F
F
F
α = arctgα
tgα =
Y
X
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Esempio
Rappresentare nel piano cartesiano i seguenti vettori e
determinare il loro modulo:
F1= (2; 3)
F2 = (-3; 4)
F3 = (-5; -6)
Y
F1 = 4 + 9 = 13 = 3,6 N
tgα =
F2
-5
4
3
-3
F4 = (6; -8)
F2 = 9 + 16 = 25 = 5 N
F1
2
3
= 1,5 ⇒ α = 56,3°
2
tgα =
6
4
= −1,33 ⇒ α = −53,1° = 126,9°
−3
F3 = 25 + 36 = 61 = 7,8 N
X
tgα =
−6
= 1,2 ⇒ α = 50,2° = 230,2°
−5
F4 = 36 + 64 = 100 = 10 N
F3
-6
-8
tgα =
F4
−8
= −1,33 ⇒ α = −53,1° = 306,9°
6
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Somma di vettori:
Metodo grafico - analitico
Si rappresentano i vettori
sul piano cartesiano
Si applica la regola del
parallelogramma
Si individuano le coordinate
(x; y) della punta del vettore
risultante
Si applica il teorema di
Pitagora per calcolare l’intensità
del vettore risultante
E T = 100 + 23 = 123 = 11,1 N / C
4,8
tgα =
= −0, 48
− 10
α = −25,6
ESEMPIO
Determinare il campo elettrico risultante
che agisce nell’origine del sistema di assi
cartesiani:
E1 = (2; 3) E2 = (-4; 6) E3 = (-8; -4)
E12
ET
E2
-10 -8
Y
6 4,8
E1
3
-4
2
-4
ET = (-10; 4,8)
X
E3
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Esempio
Determinare la risultante delle seguenti forze che agiscono su un corpo posto
nell’origine degli assi cartesiani:
F1 = (7; 3)
F2 = (-3; 8)
Y
F2
FT = (6.8; 6.5)
F3 = (2; -4)
F12
8
6,5
FT
tgα =
6,5
= 0,96
6,8
α = 43,7°
F1
3
-3
FT = 46,2 + 42,3 = 88,5 = 9, 4 N
2
6,8 7
X
-4
F3
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Esempio
Determinare la risultante delle seguenti forze
che agiscono su un corpo posto nell’origine
degli assi cartesiani:
F1 = (5; 3)
F2 = (-3; 9)
Si rappresentano i vettori sul piano cartesiano
Si calcolano le coordinate del vettore risultante
Si applica il teorema di Pitagora per calcolare
l’intensità del vettore risultante e le nozioni di
trigonometria per calcolare il suo sfasamento
F3 = (2; -5)
Y
Si disegna il vettore risultante
9
F2
Somma di vettori:
Metodo analitico
FT
7
F = F − F + F = 5 − 3 + 2 = 4N
Tx
3
Ty
3x
1y
2y
3y
F = F + F = 4 + 7 = 8,1N
T
-3
2x
F = F + F − F = 3 + 9 − 5 = 7N
F1
α
1x
2
4
5
X
tgα =
2
2
Tx
Ty
2
2
F
7
= = 1,75 ⇒ α = 60,3°
F
4
Ty
Tx
-5
F3
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