Esercizi vari per il corso di Fisica 2

Esercizi vari per il corso di Fisica 2 – C.d.L. Ing. Industriale
Elettrostatica e Correnti stazionarie
1) Un banco di nuvole si trova ad una quota h = 1200 m rispetto al suolo; si consideri il sistema costituito dalle nuvole e dalla superficie terrestre come un condensatore a facce piane e parallele. a) Sapendo che, nelle condizioni atmosferiche esistenti nella situazione considerate, si produce un fulmine quando il campo elettrico raggiunge il valore limite E* = 300 KV/m calcolare la d.d.p. fra nuvola e suolo e la carica che si ha su una superficie di nuvola S=104mm2 un’istante prima che parta la scarica elettrica. b) Calcolare l’energia elettrostatica accumulata nella stessa porzione di nuvola della domanda a). c) Supponendo per la scarica elettrica un’andamento esponenziale con una costante di tempo τ = 600 µs e sapendo che essa libera complessivamente sotto forma di calore un’energia WJ = 2 104 J calcolare la resistenza equivalente della colonna d’aria attraversata dal fulmine.
2) Un condensatore a facce piane e parallele è costituito da due lamine conduttrici di superficie S = 30 cm2 separate da un foglio di materiale dielettrico di spessore d = 1 mm e costante dielettrica relativa εr. Le armature del condensatore sono collegate tramite un filo di sezione A = 0.5 mm2 , lunghezza complessiva l = 80 cm e resistività ρ ad un generatore di tensione V = 24 V. Inizialmente il condensatore è scarico e l’interruttore T è aperto; una volta chiuso l’interruttore si osserva che la capacità si carica con una costante di tempo τ = 8.5 ms e che viene dissipata per effetto Joule un’energia WJ = 6.1 µJ. a) Calcolare la costante dielettrica relativa εr del materiale e la resistività del filo ρ. b) Se il condensatore , una volta aperto l’interruttore T, si scarica in un tempo θ = 30 h determinare qual’è la resistività del dielettrico posto fra le sue armature.
3) Nel circuito di figura l’interruttore T è inizialmente chiuso. a) Calcolare la d.d.p. fra i punti AF. b) Calcolare la d.d.p. fra i punti AB , BD e DF. c) Una volta aperto l’interruttore T il sistema si scarica. Determinare dopo quanto tempo l’energia del banco di condensatori si è ridotta al 10% del valore iniziale. ( V = 1.2 KV, C = 120 nF, R1= 300 Ω, R2 = 2 KΩ ).
A
R1 T
C B
V
C
C
D
C
C
C
R2
F
4) Un conduttore sferico di raggio r = 10 cm si trova con il suo centro O ad un’altezza h = 2m dal suolo ed è elettricamente isolato rispetto ad esso. Il massimo campo elettrico oltre il quale l’aria, in cui si trova immersa la sfera, diventa conduttrice è EB = 3.2 MV/m. a) Calcolare qual’è il massimo voltaggio VB a cui si può caricare il conduttore rispetto a terra e la corrispondente carica su di esso. b) Una volta raggiunto il voltaggio VB parte verso terra una scintilla che scarica il conduttore: si calcoli l’energia contenuta nella scarica elettrica. c) Sapendo che la scarica elettrica ha una durata τ = 1 ns si calcoli la resistenza dell’aria attraverso cui avviene la conduzione e la massima intensità di corrente ad esso associata. (Si risolva l’esercizio supponendo trascurabili gli effetti delle cariche indotte )
5) Nel circuito di figura l’interruttore T è inizialmente chiuso. a) Calcolare in condizioni stazionarie la carica presente sul condensatore. b) Una volta aperto l’interruttore T si raggiunge una nuova condizione stazionaria: calcolare la nuova carica presente sul condensatore. c) Calcolare l’energia dissipata per effetto joule ed il lavoro fatto dal generatore durante il transitorio. (R1= 150 Ω , R2= 2R1= 300 Ω , r = 100 Ω, C = 12 nF, V1 = 9 V, V2 = 12 V )
R1 T R2
C
V1 V2
r
6) Si consideri una distribuzione lineare di carica a forma di anello di raggio R=0.50 m, tale che la parte superiore abbia una carica +Q e quella inferiore ­Q (Q=100nC). a) Si calcoli il campo elettrostatico e il potenziale elettrostatico generato da tale distribuzione su un generico punto dell'asse dell'anello. b) Un dipolo elettrico di lunghezza a=2cm formato da due sferette cariche (­q1 = q2 = q = 10nC) di massa m1 = 2m2 = 10g è posto verticalmente sull'asse dell'anello a distanza d=2m: q1 ha coordinate (2m,1cm), q2 di coordinate (2m,­1cm). Una volta ruotato leggermente rispetto alla sua posizione di equilibrio viene lasciato oscillare liberamente. Si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni supponendo il campo elettrico circa costante nella regione occupata dal dipolo.
Soluzioni
1) a) ∆V = E*h ∆V = 360 MV
Q = ε0E*S Q = 26.5 mC
b) W = ∆VQ/2 W = 4.77 MJ
c) R = 2WJ τ/Q2 R = 3422 Ω
2) a) εr= 2dWJ /ε0SV 2 εr = 797
ρ = τAV 2/2WJ l ρ = 0.05 Ωm
b) ρ’ = θ/ε0εr ρ’ = 1.52 1013 Ωm
3) a) VAF = VR2/(R1 + R2) VAF = 1043 V
b) VAB = 6VAF /11 VAB= 569 V
VBD = 3VAF /11 VBD= 284 V
VDF = 2VAF /11 VDF = 189 V
c) t* = 6CR2(ln10)/22 t* = 151 µs
4)
C = 4πε0r = 11.12 pF
a) VB = EBr Q = VBC VB = 320 KV Q = 3.56 µC b) W = CVB2/2 W = 0.57 J c) R = τ/C I = VB/R R = 90 Ω I = 3560 A 5) a) Q = C (V1 R2 + V2 R1)/(R1+R2) Q = 120 nC
b) Q’ = V2 C Q’ = 144 nC c) Lg = V2 (Q’ – Q ) Lg = 288 nJ
∆Ue = (Q’2 – Q2 )/2C ∆W = 264 nJ
LJ = Lg ­ ∆W LJ = 24 nJ 6) a) E diretto verticalmente verso il basso
E(x) = 2Q R/[4πε0(R2+x2)3/2]
V = 0
b) I = (m1+m2) (a/2)2 momento di inerzia rispetto al centro del dipolo
p = a q
T = 2π (I/p E(x=d))1/2
T = 76 s