Domandine a bruciapelo

Domandine a bruciapelo
Il seguente elenco contiene domande, la cui risposta dovrebbe essere conseguita
con semplici argomenti e in pochi passaggi.
Sono tutti esempi di domande che possono essere fatte allo scritto e all’orale e
che è senz’altro conveniente affrontare prima di presentarsi all’esame.
Domandina 1. Mostrare che S 1 = { (x1 )2 + (x2 )2 = 1 } ⊂ R2 è chiuso in R2
(utilizzando qualche proprietà delle funzioni continue e degli spazi di Hausdorff).
Domandina 2. Mostrare che il semispazio H n = { (x1 , . . . , xn ) : xn > 0 } ⊂ Rn
è un aperto di Rn , utilizzando qualche proprietà delle funzioni continue.
Domandina 3. Dare esempi espliciti di spazi topologici connessi (almeno 5, tutti
diversi e che non sono sottospazi uno dell’altro)
Domandina 4. La bottiglia di Klein è connessa? Perchè?
Domandina 5. Il toro è connesso? Perchè?
Domandina 6. Una boccia aperta di Rn è connessa? Perchè? E una boccia chiusa?
Domandina 7. Mostrare che la calotta sferica S n−1 ∩ {xn > 0} ⊂ Rn , n > 1, è
omeomorfa ad una boccia aperta in Rn−1 . Possiamo dire che S n−1 ∩ {xn > 0} è
connessa? E la sua chiusura? E S n−1 è connesso? Perchè?
Domandina 8. Sia n ≥ 1. Lo spazio proiettivo reale di dimensione n è connesso?
Perchè?
Domandina 9. Dato n ≥ 2, sia π = { xn = 0 } ⊂ Rn e A = S n−1 \ π ⊂ Rn .
L’insiema A è connesso? Perchè?
Domandina 10. È vero che uno spazio connesso è sempre connesso per archi?
Domandina 11. È vero che uno spazio localmente connesso per archi è sempre
connesso?
Domandina 12. Il semispazio H n = { (x1 , . . . , xn ) : xn > 0 } ⊂ Rn è connesso?
Perchè?
Domandina 13. La sfera S n ⊂ Rn+1 , n ≥ 1 è connessa? Perchè? E se n = 0?
Domandina 14. Lo spazio proiettivo reale RP n è connesso? Perchè?
Domandina 15. Lo spazio proiettivo reale RP n è compatto? Perchè?
Domandina 16. La bottiglia di Klein è compatta? Perchè?
Domandina 17. La sfera S n ⊂ Rn+1 , n ≥ 1 è compatta? Perchè? E se n = 0?
Domandina 18. La semisfera S n−1 ∩ { xn > 0 } è compatta? Perchè?
1
2
Domandina 19. La sfera S n−1 senza tre punti è compatta? Perchè? È connessa?
Perchè?
Domandina 20. Se su R si sostituisce la metrica Euclidea d con la metrica
d : R × R −→ R ,
d(x, y) = min{d(x, y), 1}
si può ancora dire che ogni sottoinsieme chiuso e limitato ( = limitato relativamente
alla metrica d) è compatto? Perchè?
Domandina 21. L’intervallo ]0, 1[ e l’intervallo [0, 1] (considerati come spazi topologici, ciascuno con la topologia indotta da R) sono fra loro omeomorfi? Perchè?
Domandina 22. Dare esempi espliciti di spazi topologici che non sono compatti
(almeno 5, tutti diversi e che non sono sottospazi uno dell’altro)
Domandina 23. Dare esempi espliciti di spazi topologici compatti (almeno 5, tutti
diversi e che non sono sottospazi uno dell’altro)
Domandina 24. Dare esempi espliciti di spazi normali (sugg.: pensare a spazi di
Hausdorff compatti)
Domandina 25. È vero che ogni sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico completo è completo? Perchè?
Domandina 26. Può un sottoinsieme non chiuso di uno spazio metrico completo
essere completo? Perchè?
Domandina 27. Esiste un sottoinsieme completo di Rn che non è compatto?
Perchè?
Domandina 28. Esiste un sottoinsieme compatto di Rn che non è completo?
Perchè?
Domandina 29. Esiste un sottoinsieme completo di Rn che non è chiuso? Perchè?
Domandina 30. Esiste un sottoinsieme completo di Rn che non è connesso?
Perchè?
Domandina 31. Esiste un sottoinsieme connesso di Rn che non è completo?
Perchè?
Domandina 32. Esiste un sottoinsieme connesso di Rn che non è compatto?
Perchè?
Domandina 33. Esiste un sottoinsieme compatto di Rn che non è connesso?
Perchè?
Domandina 34. Rn è sottoinsieme di un insieme compatto che non è connesso?
Perchè?
Domandina 35. Rn è sottoinsieme di un insieme connesso che non è compatto?
Perchè?
3
Domandina 36. Esiste una funzione continua da R in R che assume il valore 2
su tutti
√ i punti di Z e il valore 3 sui punti dell’insieme A = { x ∈ R : x =
n + 2 per n ∈ Z }? Perchè?
Domandina 37. Esiste una funzione continua da R in R che assume il valore 2
su tutti
√ i punti di Q e il valore 3 sui punti dell’insieme A = { x ∈ R : x =
n + 2 per n ∈ Q }? Perchè?
Domandina 38. Descrivere almeno una compattificazione di R7 , distinta dalla
compattificazione di Alexandroff di R7 (ovvero con più di un punto all’infinito).
Domandina 39. È vero che ogni spazio compatto è anche localmente compatto?
Perchè?
Domandina 40. È vero che un sottoinsieme A chiuso e limitato di Rn è completo
(si intende A dotato della metrica indotta dalla metrica Euclidea)? Perchè?
Domandina 41. È vero che un sottoinsieme limitato A di Rn è anche totalmente
limitato (si intende A dotato della metrica indotta dalla metrica Euclidea)? Perchè?
Domandina 42. È vero che un sottoinsieme A completo e limitato di Rn è chiuso
(si intende A dotato della metrica indotta dalla metrica Euclidea)? Perchè?
Domandina 43. Il sottoinsieme { n1 , n ∈ N} di R è compatto? Perchè?
Domandina 44. È vero che uno spazio connesso e localmente connesso per archi
è connesso per archi? Perchè?
Domandina 45. È vero che uno spazio localmente connesso per archi è connesso
per archi? Perchè?
Domandina 46. È vero che uno spazio localmente connesso per archi è connesso?
Perchè?
Domandina 47. È vero che uno spazio localmente semplicemente connesso è semilocalmente semplicemente connesso? Perchè?
Domandina 48. È vero che uno spazio semi-localmente semplicemente connesso
è localmente semplicemente connesso? Perchè?
Domandina 49. Sia f : R −→ R continua. È possibile trovare una famiglia
di
P
funzioni continue fk : R −→ R con supp fk ⊂ [k, 2 + k] tali che f (x) = k fk (x)
per ogni x ∈ R? Perchè?
Domandina 50. Sia X uno spazio topologico connesso e localmente connesso
per archi e sia p : E −→ X un suo rivestimento semplicemente connesso. Se la
cardinalità di ciascuna fibra è 2, cosa si può dire del gruppo fondamentale π1 (X)?
Domandina 51. Sia X uno spazio topologico connesso, localmente connesso per
archi e SLSC e sia p : E −→ X un suo rivestimento. Se la cardinalità di ciascuna
fibra è 1, cosa si può dire del gruppo fondamentale π1 (E)?
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Domandina 52. Sia X uno spazio topologico connesso, localmente connesso per
archi e SLSC e sia p : E −→ X un suo rivestimento universale. Se la cardinalità
di ciascuna fibra è k, cosa si può dire della cardinalità del gruppo fondamentale
π1 (X)?
Domandina 53. Sia X uno spazio topologico connesso, localmente connesso per
archi e SLSC e p : E −→ X un suo rivestimento. Se π1 (X) non ammette sottogruppi
propri, ad eccezione del sottogruppo banale e se (E, p) non è il suo rivestimento
universale, cosa si può dire della cardinalità delle fibre di (E, p) e in particolare di
E stesso?
Domandina 54. Sia X = S 1 e (E, p) è un rivestimento di X, con E non semplicemente connesso. Cosa di può dire di E (sugg.: pensare ad un esercizio assegnato
in certa settimana)?
Domandina 55. Sia f : S 1 −→ S 1 un’applicazione di rivestimento e sia p : R −→
S 1 il rivestimento universale di S 1 . Esiste un sollevamento fe : S 1 −→ R di f a R,
cioè tale che p ◦ fe = f ? Perchè?
Domandina 56. Se un gruppo fondamentale ha esattamente due elementi, a meno
di isomorfismi, che gruppo può essere?
Domandina 57. Esiste uno spazio con un gruppo fondamentale che non contiene
alcun elemento?
Domandina 58. Il disco ∆ = { (x1 , x2 ) ∈ R2 : (x1 )2 + (x2 )2 < 1 } in R2 è
omeomorfo al semidisco H = ∆ ∩ { x2 ≥ 0 }? Perchè?
Domandina 59. Una coppia di rette incidenti è una varietà topologica? Perchè?
Domandina 60. Una sfera senza un punto è omeomorfa a R2 ? Perchè?
Domandina 61. La sfera S 2 è diffeomorfa al disco unitario ∆ = { (x1 , x2 ) ∈ R2 :
(x1 )2 + (x2 )2 < 1 } ⊂ R2 ? Perchè?
Domandina 62. Un cilindro circolare retto è diffeomorfo ad una sfera privata di
un punto?
Domandina 63. E‘ vero che ciascuna delle due componenti connessa di una iperbole in R2 è una curva differenziabile e regolare? Perchè?
Domandina 64. Qualè la rotazione totale di una ellisse in R2 ? Perchè?
Domandina 65. Sia C una curva diff. e regolare orientata in R3 , la cui torsione
assume, a seconda del punto, tutti i valori compresi fra 2 e 3. Può essere congruente
ad un arco di elica? Perchè?
Domandina 66. Qualè il gruppo fondamentale di una curva topologica compatta?
E di una curva topologica non compatta?
Domandina 67. Il bordo di un quadrato è una curva differenziabile e regolare?
Perchè?
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Domandina 68. Sia C ⊂ R3 una curva diff. e regolare non compatta, con torsione
identicamente nulla e curvatura costante pari a 25. Che forma ha?
Domandina 69. Un toro ed una sfera sono isometrici? Perchè?
Domandina 70. Un toro ed una sfera sono diffeomorfi? Perchè?
Domandina 71. Un cilindro circolare retto ed un cilindro retto a sezione quadrata
sono isometrici? Perchè?
Domandina 72. Una calotta sferica ed una sfera sono cogruenti? Perchè?
Domandina 73. Un piano senza un punto è omogeneo? Perchè?
Domandina 74. La sfera unitaria in R3 è completa? Perchè?
Domandina 75. Un toro è diffeomorfo ad un piano? Perchè?
Domandina 76. Un toro è congruente ad un piano? Perchè?
Domandina 77. Un cono è una superficie differenziabile e regolare? Perchè?
Domandina 78. Un cilindro circolare retto è semplicemente connesso? Perchè?
Domandina 79. Qual’è il rivestimento universale della superficie di un cubo?
Domandina 80. Sia C ⊂ R3 una delle due falde di un cono circolare retto. Quand’è
che l’intersezione di un piano π con C determina una pre-geodetica?
Domandina 81. Sia C ⊂ R3 un cilindro circolare retto. Quali sono i piani π che,
intersecando C, determinano delle pre-geodetiche?