Scheda (2) per lo svolgimento delle attività

Matebilandia
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•
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dimostrare che i due tipi di moto, deferente/epiciclo e rotolamento di due
circonferenze, sono assimilabili;
conoscere alcune delle curve famose;
prevedere il tipo di curva che scaturirà dalle equazioni parametriche, noto
il valore dei parametri.
Osservazioni
In questo paragrafo si analizzano, in maniera dettagliata, le curve epi-ipocicloidi che si possono tracciare, usando varie combinazioni degli elementi a
disposizione e soffermandosi su alcune curve celebri. Oltre agli spirografi
manuali e digitali, si utilizzano le calcolatrici grafico simboliche TI-Nspire.
Con quest’ultimo strumento, si studiano le curve ottenute da un moto tipo
deferente-epiciclo, assimilabili alle curve disegnate con lo spirografo. In questo modo si mostra, in maniera più approfondita, il legame dello spirografo
con la giostra Colazione da Papere, legame a cui si è fatto cenno durante la
visita al Parco.
Tale sezione è quindi suddivisa in due schede: la prima approfondisce l’uso
degli spirografi e la relazione tra i parametri fisici dello strumento e i parametri geometrici delle curve tracciate. La seconda guida all’utilizzo delle calcolatrici grafiche per tracciare curve notevoli.
Scheda (2) per lo svolgimento delle attività
Prima parte
Domanda 1. Prendi lo spirografo e osserva le varie ruote dentate. Qual
è la relazione matematica tra il numero dei denti delle ruote e la lunghezza del raggio delle stesse?
Il legame tra il raggio delle ruote, r, e il numero dei denti di ciascuna
ruota è:
2π
r r= numero denti * larghezza dente.
Nota. Per semplicità, pensiamo fissa una ruota grande e in moto attorno a essa una ruota più piccola.
Considerando due ruote con denti aventi la stessa forma e stessa distanza l’uno dall’altro, a che cosa è uguale il rapporto dei raggi delle ruote
utilizzate nello spirografo? Il rapporto dei raggi delle ruote utilizzate
nello spirografo è uguale al rapporto tra il numero di denti delle stesse.
Capitolo 6 • Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche
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Nota. Quando parliamo di rivoluzioni di una ruota dentata, intendiamo i giri
che compie attorno a un’altra ruota o all’interno della corona. Quando parliamo di rotazioni, invece, intendiamo i giri che compie attorno al proprio centro: una rotazione si intende completa, quando un dente, che toccava la corona, torna a toccarla nuovamente.
Domanda 2. Considera la corona dello spirografo (96 denti) e la ruota
con 36 denti. Con un pennarello fai un segno su uno dei denti della
ruota da 36 denti e un segno sulla corona circolare dello spirografo, in
corrispondenza di uno spazio vuoto fra due denti. Posiziona la ruota da
36 denti in modo che i segni fatti sulla ruota e sulla corona siano uno di
fronte all’altro. Muovi la ruota da 36 denti entro la corona, fino a quando uno dei denti non torna a inserirsi nello spazio vuoto di partenza.
Dopo che la ruota da 36 denti ha percorso un primo giro (rivoluzione)
della corona dello spirografo, quante rotazioni intere ha compiuto attorno al proprio centro? ........................ 2
Dopo che la ruota da 36 denti ha percorso una seconda rivoluzione,
quante rotazioni intere ha compiuto dall’inizio del moto? ..................... 5
Dopo che la ruota da 36 denti ha percorso una terza rivoluzione, quante rotazioni intere ha compiuto dall’inizio del moto? ........................ 8
Riassumendo, il dente della ruota da 36, marcato, si incastra nuovamente nello spazio vuoto da cui è partito
dopo ................. 3 giri completi della corona dello spirografo;
dopo .................... 8 giri completi della ruota da 36 denti.
Domanda 3. Considera due ruote, una fissa (che immaginiamo grande)
e l’altra più piccola che le si muove sopra. Immagina che la ruota in
movimento debba compiere 3 rivoluzioni attorno alla ruota fissa. Essa
percorrerà, quindi, una lunghezza L pari a 3 volte il perimetro della
ruota fissa, ovvero:
L = 3*2pr = 3 * numero denti ruota fissa * larghezza dente.
Per un numero generico di rivoluzioni, come puoi quindi scrivere la lunghezza L, in funzione del numero dei denti della ruota grande e del numero di rivoluzioni necessarie alla piccola, per coprire tale lunghezza?
L = ................. n°giri_attorno_a_ruota grande * n°denti_ruota_grande*
larghezza_dente
Immagina ora di fissare la ruota piccola e che sia la ruota grande a
dover ruotare attorno all’altra per coprire la stessa lunghezza L. Come
puoi esplicitare la lunghezza L, in funzione del numero dei denti della
ruota piccola e del numero di giri?
Matebilandia
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L = ........................ n°giri_ attorno_a_ruota _piccola * n°denti_ruota_
piccola * larghezza_dente
Uguagliando i due membri di destra relativi alla lunghezza L, a che cosa
corrisponde il rapporto tra il numero dei denti delle due ruote?
Domanda 4. Torna a considerare la corona dello spirografo e la ruota
con 36 denti. Riduci ai minimi termini la frazione 96/36, che corrisponde al numero dei denti della corona dello spirografo / numero dei denti
della ruota in movimento,
8/3
Quindi il .......................... numeratore ridotto ci fornisce il numero delle
rotazioni della ruota mobile, mentre il ............................. denominatore
ridotto ci fornisce il numero delle rivoluzioni della ruota mobile attorno alla circonferenza fissa, che vengono compiute prima di tornare al
punto di partenza.
Domanda 5. Inserisci ora un pennarello colorato in uno dei fori della
ruota dentata da 36. Fai muovere la ruota fino a quando il pennarello
non torna al punto di partenza. Quanti “petali” o “punte” disegna il pennarello? ......................... 8
cioè il ......................... numeratore ridotto fornisce anche il numero degli
apici della curva tracciata dal pennarello
Domanda 6. Considera due ruote dentate, una fissa e una in rotazione
sulla prima. Con un pennarello fai un segno su uno dei denti della ruota
in movimento. Muovi la ruota in senso antiorario attorno al suo centro.
In che senso avviene la rotazione?........... antiorario
In che senso avviene la rivoluzione?.......... antiorario
Capitolo 6 • Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche
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Allora, i versi di rotazione dei denti delle due ruote dentate sono concordi o discordi? ............... concordi
La curva, che verrà disegnata da un pennarello inserito in uno dei fori
della ruota dentata in movimento, si chiama ..................... epicicloide
A ogni rotazione della ruota in movimento, la penna disegnerà apici
simili a petali di un fiore o a punte di una stella? ......................... petali
Cosa significa EPI? .................... Al di sopra, cioè all’esterno
Dove si trova la ruota che si muove, rispetto alla ruota fissa?
...................... Sopra, fuori
Domanda 7. Ora considera la corona dello spirografo e una qualsiasi
ruota dentata. Con un pennarello fai un segno su uno dei denti della
ruota in movimento. Muovi la ruota in senso antiorario, attorno al suo
centro.
In che senso avviene la rotazione? ........... antiorario
In che senso avviene la rivoluzione? .......... orario
Allora, i versi di rotazione dei denti delle due ruote dentate sono concordi o discordi? ............... discordi
La curva, che verrà disegnata da un pennarello inserito in uno dei fori
della ruota dentata in movimento, si chiama ..................... ipocicloide
A ogni rotazione della ruota in movimento, la penna disegnerà apici
simili a petali o a punte? ......................... punte
Cosa significa IPO? .................... Al di sotto, cioè all’interno
Dove si trova la ruota che si muove, rispetto alla corona dello spirografo? ...................... Dentro, sotto
Domanda 8. A questo punto, sei in grado di scegliere una qualsiasi coppia di ruote dentate e prevedere il tipo di curva che verrà disegnata:
se sarà una ipo- o epicicloide, analizzando la posizione delle due ruote
una rispetto all’altra;
quanti petali/punte avrà, riducendo ai minimi termini il rapporto tra il
numero dei denti delle ruote.
Esempio:
La curva sarà un’ipocicloide o un’epicicloide?
Quanti petali o punte verranno disegnati? .................................... 7
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella
fissa, prima che il pennarello torni al punto di partenza?
.................................... 4
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Seconda parte
Domanda 9. Lo spirografo manuale ti vincola a tracciare solo alcune
curve. Usando quello digitale, invece, è possibile disegnarne molte di
più, tra cui anche alcune curve “famose”. Avvia il software SpiroGraph.
Imposta i valori:
a = 60
b = 60
h = 60
Quanti petali o punte verranno disegnati? .................................... 1
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella
fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?
.................................... 1
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Come si chiama questa curva? Cardioide.
Domanda 10. Imposta:
a = 120
b = 60
h = 60
Quanti petali o punte verranno disegnati? .................................... 2
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella
fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?
.................................... 1
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Come si chiama questa curva?
Nefroide.
Capitolo 6 • Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche
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Domanda 11. Imposta:
a = 150
b = 50
h = 50
Quanti petali o punte verranno disegnati? .................................... 3
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella
fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?
.................................... 1
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Come si chiama questa curva?
Curva a tre petali.
Domanda 12. Imposta:
a = 150
b = 30
h = 30
Quanti petali o punte verranno disegnati? ................................... 5
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella
fissa, prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza?
................................... 1
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Come si chiama questa curva?
Ranuncoloide.
Matebilandia
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Domanda 13. Imposta:
a = 120
b = -60
h = 60
Quanti petali o punte verranno disegnati? .................................... 2
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella fissa,
prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza? .............. 1
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Come si chiama questa curva?
Segmento.11
Come mai non si notano punte o
petali nel grafico tracciato? ……
Perché la curva degenera in un segmento i cui estremi corrispondono
alle punte dell’ipocicloide.
Domanda 14. Imposta:
a = 120
b = -60
h = 110
Quanti petali o punte verranno disegnati? .................................... 2
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella fissa,
prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza? ............... 1
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Come si chiama questa curva?
Ellisse.
Domanda 15. Imposta:
a = 150
b = -50
h = 50
Quanti petali o punte verranno disegnati? .................................... 3
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella fissa,
prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza? ............... 1
Fai uno schizzo della curva tracciata.
11 Sostituendo nelle equazioni del rotolamento il valore dei parametri suindicato, risulta evidente che si tratta dell’equazione di un segmento scritta in forma parametrica. Lo stesso vale
per l’ellisse della domanda successiva.
Capitolo 6 • Laboratorio di matematica relativo alle attrazioni, con applicazioni informatiche
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Come si chiama questa curva? Deltoide.
Domanda 16. Imposta:
a = 120
b = -30
h = 30
Quanti petali o punte verranno disegnati? .................................... 4
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella fissa
prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza? ............... 1
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Come si chiama questa curva? Asteroide.
Domanda 17. Imposta:
a = 150
b = -30
h = 30
Quanti petali o punte verranno disegnati? .................................... 5
Quante rivoluzioni compirà la ruota in movimento attorno a quella fissa,
prima che il punto che disegna torni alla posizione di partenza? ............... 1
Fai uno schizzo della curva tracciata.
Come si chiama questa curva? Stella.