ESAME DI STATISTICA - 27.02.2017
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ISTRUZIONI: Per la prova è consentito luso di una calcolatrice e delle tavole dei quantili. La prova
è valida solo se i risultati degli esercizi sono riportati nell’apposito spazio in calce ad ogni
quesito. I calcoli intermedi vanno riportati (con chiarezza) sui fogli protocollo ricevuti. La consegna del
foglio risposte e di tutti i fogli ricevuti è obbligatoria. I risultati possono essere approssimati a 1/100.
STATISTICA DESCRITTIVA
1. Sia data la seguente distribuzione dei voti ottenuti da due collettivi di studenti all’esame di statistica in due
anni consecutivi.
Voto
[18, 20)
[20, 25)
[25, 30]
Anno 2015
25
20
15
Anno 2016
15
10
15
(a) Individuare la classe modale
Risp.: [18,20)
(b) Calcolare il voto mediano ottenuto nel 2016
Risp.: 22.5
(c) Calcolare il voto medio
Risp.: 22.6
(d) Calcolare il voto medio che si otterrebbe se i voti del 2015 aumentassero del 10%
Risp.: 23.9375
(e) Calcolare la varianza between
Risp.: 0.1426
(f) Calcolare la varianza within
Risp.: 12.2474
2. Per la seguente tabella a doppia entrata, sappiamo che gli uomini fumatori sono pari a 13.
Sesso
M
F
Totale
Fumatore
Sı̀
No
Totale
40
73
100
(a) completare la tabella determinando le frequenze congiunte
Risp.:
Sesso
M
F
Totale
Fumo
Yes NO
13
37
14
46
27
73
Totale
40
60
100
(b) calcolare l’indice Chi Quadro
Risp.: 1.01
3. Si stimi un modello di regressione Y = a + bX, avendo le seguenti informazioni: la covarianza tra Y e X è
pari a 6.4, x̄ = 2, ȳ = 2.4, σy2 = 4 e il residuo dalla retta del punto (1,1) è pari a -1.
(a) calcolare i coefficienti della regression a e b
Risp.: a=1.6; b=0.4
(b) calcolare il coefficiente di determinazione
Risp.: 0.64
(c) calcolare la varianza spiegata
Risp.: 2.56
(d) calcolare la varianza residua
Risp.: 1.44
PROBABILITÀ ED INFERENZA
4. Una variabile aleatoria normale X ha la mediana pari a 4 e il 67-esimo percentile pari a 4.44.
(a) Calcolare la varianza della normale
Risp.: 1
(b) Calcolare la moda della variabile aleatoria Y = 3X − 2
Risp.: 10
(c) calcolare il primo quartile della variabile aleatoria Y = 3X − 2
Risp.: 7.975
5. Siano date due urne, urna A ed urna B. Nell’urna A ci sono 2 biglie bianche ed 1 biglia nera, nell’urna B c’è 1
biglia bianca e 2 nere. Si lancia un dado; se esce un numero minore od uguale a 4 si pesca una biglia dall’urna
A, altrimenti si pesca una biglia dallurna B
(a) Calcolare la probabilità che la biglia estratta sia nera.
Risp.: 4/9
(b) Calcolare la probabilità che sul dado sia uscito un numero minore od uguale a 4 sapendo che si è estratta
una biglia nera
Risp.: 1/2
(c) Calcolare la probabilità che sul dado sia uscito il numero 1 sapendo che si è estratta una biglia nera.
Risp.: 1/2
6. La probabilità che uno studente passi l’esame di statistica senza aver studiato è 0.5. Considerando casualmente
4 studenti calcolare la probabilità che:
(a) almeno uno studente superi l’esame
Risp: 0.9375
(b) almeno uno studente superi l’esame e uno no.
Risp: 0.875
7. Dato un campione di tre valori:
4, 6, 3
estratto da una popolazione con media µ e varianza incognita, si e’ stimato il seguente limite inferiore per
l’intervallo di confidenza 1.7581.
(a) A quanto ammonta il livello di confidenza 1 − α sul quale si basa l’intervallo?
Risp: 0.90
(b) Determinare il limite superiore per l’intervallo di confidenza
Risp: 6.91
(c) da un’indagine preliminare si sa che la varianza della popolazione sia pari a σ 2 = 25: sulla base di tali
informazioni, si calcoli la dimensione campionaria minima per ottenere un intervallo di confidenza al
95% di ampiezza inferiore a 3
Risp: 43
8. In un campione di 10 studenti estratti tra quelli che hanno sostenuto l’esame di statistica, i voti ottenuti sono
i seguenti
15; 17; 17; 21; 27; 29; 30; 24; 27; 25.
(a) Costruire lintervallo di confidenza, al livello 95%, per la proporzione dei promossi Risp.: (.4160; 0.984)
(b) Quale deve essere lampiezza minima n? del campione affinchè lintervallo al 95% abbia ampiezza non
superiore a 0.3?
Risp.: 43
